13. Matematik Sempozyumu, Karabük Üniversitesi

(1)

Endüstriyel Matematik ve Demir-Çelik Endüstrisinde Uygulamalar¬

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi

15 May¬s, 2014

13. Matematik Sempozyumu, Karabük Üniversitesi

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Endüstriyel Matematik

15 May¬s, 2014 13. Matematik Sempozyumu, Karabük Üniversitesi 1 / 35

(2)

Sunum Özeti

Endüstriyel Matematik?

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬

Güncel bir çal¬¸stayda(ESGI100, Oxford, 7-11 Nisan 2014) incelenen baz¬problemler

Kamera yüz görüntüsünden duygu alg¬lama problemi (Ayr¬k Fourier dönü¸sümü, Konvolüsyon,...)

Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬nda incelenen Demir-Çelik Endüstrisi kaynakl¬Problem örnekleri

(3)

Sunum Özeti

Endüstriyel Matematik?

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬

Güncel bir çal¬¸stayda(ESGI100, Oxford, 7-11 Nisan 2014) incelenen baz¬problemler

Kamera yüz görüntüsünden duygu alg¬lama problemi (Ayr¬k Fourier dönü¸sümü, Konvolüsyon,...)

Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬nda incelenen Demir-Çelik Endüstrisi kaynakl¬Problem örnekleri

(4)

Sunum Özeti

Endüstriyel Matematik?

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬

Güncel bir çal¬¸stayda(ESGI100, Oxford, 7-11 Nisan 2014) incelenen baz¬problemler

Kamera yüz görüntüsünden duygu alg¬lama problemi (Ayr¬k Fourier dönü¸sümü, Konvolüsyon,...)

Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬nda incelenen Demir-Çelik Endüstrisi kaynakl¬Problem örnekleri

(5)

Sunum Özeti

Endüstriyel Matematik?

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬

Güncel bir çal¬¸stayda(ESGI100, Oxford, 7-11 Nisan 2014) incelenen baz¬problemler

Kamera yüz görüntüsünden duygu alg¬lama problemi (Ayr¬k Fourier dönü¸sümü, Konvolüsyon,...)

Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬nda incelenen Demir-Çelik Endüstrisi kaynakl¬Problem örnekleri

(6)

Sunum Özeti

Endüstriyel Matematik?

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬

Güncel bir çal¬¸stayda(ESGI100, Oxford, 7-11 Nisan 2014) incelenen baz¬problemler

Kamera yüz görüntüsünden duygu alg¬lama problemi (Ayr¬k Fourier dönü¸sümü, Konvolüsyon,...)

Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬nda incelenen Demir-Çelik Endüstrisi kaynakl¬Problem örnekleri

(7)

Sunum Özeti

Endüstriyel Matematik?

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬

Güncel bir çal¬¸stayda(ESGI100, Oxford, 7-11 Nisan 2014) incelenen baz¬problemler

Kamera yüz görüntüsünden duygu alg¬lama problemi (Ayr¬k Fourier dönü¸sümü, Konvolüsyon,...)

Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬nda incelenen Demir-Çelik Endüstrisi kaynakl¬Problem örnekleri

(8)

Endüstriyel Matematik

Matemati¼ gin endüstriyel problemlere odaklanan ve gittikçe önem kazanan bir alt alan¬.

Endüstriyel alanda ortaya ç¬kan ve

Çözümü matematiksel yöntem içeren problem

Uygulamal¬matematikten farkl¬olarak de¼ gerlendirilmekte Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

Topluluklar¬(Society for Industrial and Applied Mathematics,ECMI)

(9)

Endüstriyel Matematik

Matemati¼ gin endüstriyel problemlere odaklanan ve gittikçe önem kazanan bir alt alan¬.

Endüstriyel alanda ortaya ç¬kan ve

Çözümü matematiksel yöntem içeren problem

Uygulamal¬matematikten farkl¬olarak de¼ gerlendirilmekte Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

Topluluklar¬(Society for Industrial and Applied Mathematics,ECMI)

(10)

Endüstriyel Matematik

Matemati¼ gin endüstriyel problemlere odaklanan ve gittikçe önem kazanan bir alt alan¬.

Endüstriyel alanda ortaya ç¬kan ve

Çözümü matematiksel yöntem içeren problem

Uygulamal¬matematikten farkl¬olarak de¼ gerlendirilmekte Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

Topluluklar¬(Society for Industrial and Applied Mathematics,ECMI)

(11)

Endüstriyel Matematik

Matemati¼ gin endüstriyel problemlere odaklanan ve gittikçe önem kazanan bir alt alan¬.

Endüstriyel alanda ortaya ç¬kan ve

Çözümü matematiksel yöntem içeren problem

Uygulamal¬matematikten farkl¬olarak de¼ gerlendirilmekte

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

Topluluklar¬(Society for Industrial and Applied Mathematics,ECMI)

(12)

Endüstriyel Matematik

Matemati¼ gin endüstriyel problemlere odaklanan ve gittikçe önem kazanan bir alt alan¬.

Endüstriyel alanda ortaya ç¬kan ve

Çözümü matematiksel yöntem içeren problem

Uygulamal¬matematikten farkl¬olarak de¼ gerlendirilmekte Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

Topluluklar¬(Society for Industrial and Applied Mathematics,ECMI)

(13)

Endüstriyel Matematik

Matemati¼ gin endüstriyel problemlere odaklanan ve gittikçe önem kazanan bir alt alan¬.

Endüstriyel alanda ortaya ç¬kan ve

Çözümü matematiksel yöntem içeren problem

Uygulamal¬matematikten farkl¬olarak de¼ gerlendirilmekte Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

Topluluklar¬(Society for Industrial and Applied Mathematics,ECMI)

(14)

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

KTN Smith Institute(· Ingiltere)

"The KTN helps industry harness the power of mathematics to meet business challenges. We listen to the

needs of industry and welcome expressions of interest for short term engagements".

https://connect.innovateuk.org/web/mathsktn

(15)

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

KTN Smith Institute(· Ingiltere)

"The KTN helps industry harness the power of mathematics to meet business challenges. We listen to the

needs of industry and welcome expressions of interest for short term engagements".

https://connect.innovateuk.org/web/mathsktn

(16)

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

DFG Research Center Matheon (Almanya)

"develops mathematics for key technologies and supports partners in industry, economy and science.

We also cooperate with schools and the general public.

Founded in 2002, Matheon is a joint initiative of the three Berlin universities and the mathematical research centers (WIAS and ZIB)"

http://www.matheon.de/

(17)

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

DFG Research Center Matheon (Almanya)

"develops mathematics for key technologies and supports partners in industry, economy and science.

We also cooperate with schools and the general public.

Founded in 2002, Matheon is a joint initiative of the three Berlin universities and the mathematical research centers (WIAS and ZIB)"

http://www.matheon.de/

(18)

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

SIAM( ABD)http://www.siam.org

"Our mission is to build cooperation between mathematics and the worlds of science and technology through our publications, research, and community".

Çal¬¸sma Gruplar¬(Cebirsel Geometri, KDD,Lineer Cebir, Optimizasyon, Ayr¬k Matematik, Finansal matematik,...)

"Algebraic Geometry (The purpose of this activity group is to bring together researchers who use algebraic geometry in industrial and applied mathematics )."

Kanada(Fields institute for research in mathematical sciences, http://www.…elds.utoronto.ca/, founded in 1992)

"The Fields Institute is a center for mathematical research activity - a place where mathematicians from Canada and abroad, from business, industry and …nancial institutions, can come together to carry out research and formulate problems of mutual interest. The Fields Institute helps to expand the application of mathematics in modern society."

(19)

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

SIAM( ABD)http://www.siam.org

"Our mission is to build cooperation between mathematics and the worlds of science and technology through our publications, research, and community".

Çal¬¸sma Gruplar¬(Cebirsel Geometri, KDD,Lineer Cebir, Optimizasyon, Ayr¬k Matematik, Finansal matematik,...)

"Algebraic Geometry (The purpose of this activity group is to bring together researchers who use algebraic geometry in industrial and applied mathematics )."

Kanada(Fields institute for research in mathematical sciences, http://www.…elds.utoronto.ca/, founded in 1992)

"The Fields Institute is a center for mathematical research activity - a place where mathematicians from Canada and abroad, from business, industry and …nancial institutions, can come together to carry out research and formulate problems of mutual interest. The Fields Institute helps to expand the application of mathematics in modern society."

(20)

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

SIAM( ABD)http://www.siam.org

"Our mission is to build cooperation between mathematics and the worlds of science and technology through our publications, research, and community".

Çal¬¸sma Gruplar¬(Cebirsel Geometri, KDD,Lineer Cebir, Optimizasyon, Ayr¬k Matematik, Finansal matematik,...)

"Algebraic Geometry (The purpose of this activity group is to bring together researchers who use algebraic geometry in industrial and applied mathematics )."

Kanada(Fields institute for research in mathematical sciences, http://www.…elds.utoronto.ca/, founded in 1992)

"The Fields Institute is a center for mathematical research activity - a place where mathematicians from Canada and abroad, from business, industry and …nancial institutions, can come together to carry out research and formulate problems of mutual interest. The Fields Institute helps to expand the application of mathematics in modern society."

(21)

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

SIAM( ABD)http://www.siam.org

"Our mission is to build cooperation between mathematics and the worlds of science and technology through our publications, research, and community".

Çal¬¸sma Gruplar¬(Cebirsel Geometri, KDD,Lineer Cebir, Optimizasyon, Ayr¬k Matematik, Finansal matematik,...)

"Algebraic Geometry (The purpose of this activity group is to bring together researchers who use algebraic geometry in industrial and applied mathematics )."

Kanada(Fields institute for research in mathematical sciences, http://www.…elds.utoronto.ca/, founded in 1992)

"The Fields Institute is a center for mathematical research activity - a place where mathematicians from Canada and abroad, from business, industry and …nancial institutions, can come together to carry out research and formulate problems of mutual interest. The Fields Institute helps to expand the application of mathematics in modern society."

(22)

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

SIAM( ABD)http://www.siam.org

"Our mission is to build cooperation between mathematics and the worlds of science and technology through our publications, research, and community".

Çal¬¸sma Gruplar¬(Cebirsel Geometri, KDD,Lineer Cebir, Optimizasyon, Ayr¬k Matematik, Finansal matematik,...)

"Algebraic Geometry (The purpose of this activity group is to bring together researchers who use algebraic geometry in industrial and applied mathematics )."

Kanada(Fields institute for research in mathematical sciences, http://www.…elds.utoronto.ca/, founded in 1992)

"The Fields Institute is a center for mathematical research activity - a place where mathematicians from Canada and abroad, from business, industry and …nancial institutions, can come together to carry out research and formulate problems of mutual interest. The Fields Institute helps to expand the application of mathematics in modern society."

(23)

Endüstriyel ve Uygulamal¬Matematik Ara¸st¬rma Merkezleri

SIAM( ABD)http://www.siam.org

"Our mission is to build cooperation between mathematics and the worlds of science and technology through our publications, research, and community".

Çal¬¸sma Gruplar¬(Cebirsel Geometri, KDD,Lineer Cebir, Optimizasyon, Ayr¬k Matematik, Finansal matematik,...)

"Algebraic Geometry (The purpose of this activity group is to bring together researchers who use algebraic geometry in industrial and applied mathematics )."

Kanada(Fields institute for research in mathematical sciences, http://www.…elds.utoronto.ca/, founded in 1992)

"The Fields Institute is a center for mathematical research activity - a place where mathematicians from Canada and abroad, from business, industry and …nancial institutions, can come together to carry out research and formulate problems of mutual interest. The Fields Institute helps to expand the application of mathematics in modern society."

(24)

Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬

Avrupa Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬(ESGI,European Study Groups with Industry)

Endüstride Matematiksel Problemler Çal¬¸staylar¬(MPI,Amerika) Lisansüstü ö¼ grenci matematiksel modelleme çal¬¸staylar¬

(25)

Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬

Avrupa Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬(ESGI,European Study Groups with Industry)

Endüstride Matematiksel Problemler Çal¬¸staylar¬(MPI,Amerika)

Lisansüstü ö¼ grenci matematiksel modelleme çal¬¸staylar¬

(26)

Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬

Avrupa Endüstriyel Matematik Çal¬¸staylar¬(ESGI,European Study Groups with Industry)

Endüstride Matematiksel Problemler Çal¬¸staylar¬(MPI,Amerika) Lisansüstü ö¼ grenci matematiksel modelleme çal¬¸staylar¬

(27)

Endüstriyel Matematik Çal¬¸stay Format¬(ESGI100 den)

(28)

ESGI100 den Problemler(TESCO)

TESCO Problemi:Bir ürünün optimal …yat¬ne olmal¬?

(Forcasting)Ürüne ait Talep tahminini en hassas biçimde nas¬l gerçekle¸stirebilirsiniz?

(Objective function) Mü¸steriler için en iyi …yat¬belirleyecek olan objektif fonksiyonunu nas¬l tan¬mlars¬n¬z?

(Optimization) Tan¬mlanan hedef fonksiyonunu optimize eden …yat¬ nas¬l hesaplars¬n¬z?

(29)

ESGI100 den Problemler(TESCO)

TESCO Problemi:Bir ürünün optimal …yat¬ne olmal¬?

(Forcasting)Ürüne ait Talep tahminini en hassas biçimde nas¬l gerçekle¸stirebilirsiniz?

(Objective function) Mü¸steriler için en iyi …yat¬belirleyecek olan objektif fonksiyonunu nas¬l tan¬mlars¬n¬z?

(Optimization) Tan¬mlanan hedef fonksiyonunu optimize eden …yat¬ nas¬l hesaplars¬n¬z?

(30)

ESGI100 den Problemler(TESCO)

TESCO Problemi:Bir ürünün optimal …yat¬ne olmal¬?

(Forcasting)Ürüne ait Talep tahminini en hassas biçimde nas¬l gerçekle¸stirebilirsiniz?

(Objective function) Mü¸steriler için en iyi …yat¬belirleyecek olan objektif fonksiyonunu nas¬l tan¬mlars¬n¬z?

(Optimization) Tan¬mlanan hedef fonksiyonunu optimize eden …yat¬ nas¬l hesaplars¬n¬z?

(31)

ESGI100 den Problemler(TESCO)

TESCO Problemi:Bir ürünün optimal …yat¬ne olmal¬?

(Forcasting)Ürüne ait Talep tahminini en hassas biçimde nas¬l gerçekle¸stirebilirsiniz?

(Objective function) Mü¸steriler için en iyi …yat¬belirleyecek olan objektif fonksiyonunu nas¬l tan¬mlars¬n¬z?

(Optimization) Tan¬mlanan hedef fonksiyonunu optimize eden …yat¬

nas¬l hesaplars¬n¬z?

(32)

ESGI100 den Problemler(ARALIA)

ARALIA(S¬k¬¸st¬r¬lm¬¸s video verilerinden farkl¬renkteki cisimlerin ayr¬¸st¬r¬lmas¬(segmentation))

(33)

ESGI100 den Problemler(RDS International)

RDS International(Hareket halindeki bir Trenin ön k¬sm¬nda bulunan kamera görüntülerinden elde edilecek olan tren ray e¼ grilik ve yükselti verileri yard¬m¬yla tren pozisyonunun belirlenmesi. Bu amaçla

Video görüntülerindeki hatalar¬n ay¬klanmas¬ Tren h¬z ve ray e¼ griliklerinin hesaplanmas¬

Bütün bu verileri biraraya getirerek, tren konumunun belirlenmesi

(34)

ESGI100 den Problemler(RDS International)

RDS International(Hareket halindeki bir Trenin ön k¬sm¬nda bulunan kamera görüntülerinden elde edilecek olan tren ray e¼ grilik ve yükselti verileri yard¬m¬yla tren pozisyonunun belirlenmesi. Bu amaçla

Video görüntülerindeki hatalar¬n ay¬klanmas¬

Tren h¬z ve ray e¼ griliklerinin hesaplanmas¬

Bütün bu verileri biraraya getirerek, tren konumunun belirlenmesi

(35)

ESGI100 den Problemler(RDS International)

RDS International(Hareket halindeki bir Trenin ön k¬sm¬nda bulunan kamera görüntülerinden elde edilecek olan tren ray e¼ grilik ve yükselti verileri yard¬m¬yla tren pozisyonunun belirlenmesi. Bu amaçla

Video görüntülerindeki hatalar¬n ay¬klanmas¬

Tren h¬z ve ray e¼ griliklerinin hesaplanmas¬

Bütün bu verileri biraraya getirerek, tren konumunun belirlenmesi

(36)

ESGI100 den Problemler(RDS International)

RDS International(Hareket halindeki bir Trenin ön k¬sm¬nda bulunan kamera görüntülerinden elde edilecek olan tren ray e¼ grilik ve yükselti verileri yard¬m¬yla tren pozisyonunun belirlenmesi. Bu amaçla

Video görüntülerindeki hatalar¬n ay¬klanmas¬

Tren h¬z ve ray e¼ griliklerinin hesaplanmas¬

Bütün bu verileri biraraya getirerek, tren konumunun belirlenmesi

(37)

ESGI100(CrowdEmotion)

(38)

ESGI100(Crowd Emotion)

Web Kameras¬ile elde edilen insan yüzü görüntülerinden duygularla ilgili mikro ölçekli yüz ifadelerinin alg¬lanmas¬. Bu amaçla

Duygularla ilgili 32 kas hareketinden(AU1:göz, AU27: a¼ g¬z) farkl¬ duygusal durumlarda aktive olan alt kümenin belirlenmesi için

Görüntüdeki süreksizliklerinin(renk tonlar¬ndaki ani de¼ gi¸sim) uygun yöntemler yard¬m¬yla belirginle¸stirilmesi(edge detection)

Olu¸san süreksizliklerin kas hareketleriyle e¸sle¸stirilmesi(SVM) Duygusal durumun belirlenmesi

(39)

ESGI100(Crowd Emotion)

Web Kameras¬ile elde edilen insan yüzü görüntülerinden duygularla ilgili mikro ölçekli yüz ifadelerinin alg¬lanmas¬. Bu amaçla

Duygularla ilgili 32 kas hareketinden(AU1:göz, AU27: a¼ g¬z) farkl¬

duygusal durumlarda aktive olan alt kümenin belirlenmesi için

Görüntüdeki süreksizliklerinin(renk tonlar¬ndaki ani de¼ gi¸sim) uygun yöntemler yard¬m¬yla belirginle¸stirilmesi(edge detection)

Olu¸san süreksizliklerin kas hareketleriyle e¸sle¸stirilmesi(SVM) Duygusal durumun belirlenmesi

(40)

ESGI100(Crowd Emotion)

Web Kameras¬ile elde edilen insan yüzü görüntülerinden duygularla ilgili mikro ölçekli yüz ifadelerinin alg¬lanmas¬. Bu amaçla

Duygularla ilgili 32 kas hareketinden(AU1:göz, AU27: a¼ g¬z) farkl¬

duygusal durumlarda aktive olan alt kümenin belirlenmesi için Görüntüdeki süreksizliklerinin(renk tonlar¬ndaki ani de¼ gi¸sim) uygun yöntemler yard¬m¬yla belirginle¸stirilmesi(edge detection)

Olu¸san süreksizliklerin kas hareketleriyle e¸sle¸stirilmesi(SVM) Duygusal durumun belirlenmesi

(41)

ESGI100(Crowd Emotion)

Web Kameras¬ile elde edilen insan yüzü görüntülerinden duygularla ilgili mikro ölçekli yüz ifadelerinin alg¬lanmas¬. Bu amaçla

Duygularla ilgili 32 kas hareketinden(AU1:göz, AU27: a¼ g¬z) farkl¬

duygusal durumlarda aktive olan alt kümenin belirlenmesi için Görüntüdeki süreksizliklerinin(renk tonlar¬ndaki ani de¼ gi¸sim) uygun yöntemler yard¬m¬yla belirginle¸stirilmesi(edge detection)

Olu¸san süreksizliklerin kas hareketleriyle e¸sle¸stirilmesi(SVM)

Duygusal durumun belirlenmesi

(42)

ESGI100(Crowd Emotion)

Web Kameras¬ile elde edilen insan yüzü görüntülerinden duygularla ilgili mikro ölçekli yüz ifadelerinin alg¬lanmas¬. Bu amaçla

Duygularla ilgili 32 kas hareketinden(AU1:göz, AU27: a¼ g¬z) farkl¬

duygusal durumlarda aktive olan alt kümenin belirlenmesi için Görüntüdeki süreksizliklerinin(renk tonlar¬ndaki ani de¼ gi¸sim) uygun yöntemler yard¬m¬yla belirginle¸stirilmesi(edge detection)

Olu¸san süreksizliklerin kas hareketleriyle e¸sle¸stirilmesi(SVM) Duygusal durumun belirlenmesi

(43)

ESGI100(Crowd Emotion) Problem?

Mevcut yöntemde kullan¬lan herbir a¸saman¬n hesaplama maliyetini dü¸sürecek alternatif yöntemlerin belirlenmesi

Yüz ifadelerinin netle¸strilmesi için kullan¬lan …ltreleme yönteminin hesaplama yükünün indirgenmesi

· I¸slem hassasiyetinin art¬r¬lmas¬ Filtre: Küçük boyutlu özel bir matris Anl¬k gri tonlu bir Görüntü=Matris

Filtreleme = GörüntüFiltre(:konvolüsyon)

(44)

ESGI100(Crowd Emotion) Problem?

Mevcut yöntemde kullan¬lan herbir a¸saman¬n hesaplama maliyetini dü¸sürecek alternatif yöntemlerin belirlenmesi

Yüz ifadelerinin netle¸strilmesi için kullan¬lan …ltreleme yönteminin hesaplama yükünün indirgenmesi

· I¸slem hassasiyetinin art¬r¬lmas¬ Filtre: Küçük boyutlu özel bir matris Anl¬k gri tonlu bir Görüntü=Matris

Filtreleme = GörüntüFiltre(:konvolüsyon)

(45)

ESGI100(Crowd Emotion) Problem?

Mevcut yöntemde kullan¬lan herbir a¸saman¬n hesaplama maliyetini dü¸sürecek alternatif yöntemlerin belirlenmesi

Yüz ifadelerinin netle¸strilmesi için kullan¬lan …ltreleme yönteminin hesaplama yükünün indirgenmesi

· I¸slem hassasiyetinin art¬r¬lmas¬

Filtre: Küçük boyutlu özel bir matris Anl¬k gri tonlu bir Görüntü=Matris

Filtreleme = GörüntüFiltre(:konvolüsyon)

(46)

ESGI100(Crowd Emotion) Problem?

Mevcut yöntemde kullan¬lan herbir a¸saman¬n hesaplama maliyetini dü¸sürecek alternatif yöntemlerin belirlenmesi

Yüz ifadelerinin netle¸strilmesi için kullan¬lan …ltreleme yönteminin hesaplama yükünün indirgenmesi

· I¸slem hassasiyetinin art¬r¬lmas¬

Filtre: Küçük boyutlu özel bir matris

Anl¬k gri tonlu bir Görüntü=Matris

Filtreleme = GörüntüFiltre(:konvolüsyon)

(47)

ESGI100(Crowd Emotion) Problem?

Mevcut yöntemde kullan¬lan herbir a¸saman¬n hesaplama maliyetini dü¸sürecek alternatif yöntemlerin belirlenmesi

Yüz ifadelerinin netle¸strilmesi için kullan¬lan …ltreleme yönteminin hesaplama yükünün indirgenmesi

· I¸slem hassasiyetinin art¬r¬lmas¬

Filtre: Küçük boyutlu özel bir matris Anl¬k gri tonlu bir Görüntü=Matris

Filtreleme = GörüntüFiltre(:konvolüsyon)

(48)

ESGI100(Crowd Emotion) Problem?

Mevcut yöntemde kullan¬lan herbir a¸saman¬n hesaplama maliyetini dü¸sürecek alternatif yöntemlerin belirlenmesi

Yüz ifadelerinin netle¸strilmesi için kullan¬lan …ltreleme yönteminin hesaplama yükünün indirgenmesi

· I¸slem hassasiyetinin art¬r¬lmas¬

Filtre: Küçük boyutlu özel bir matris Anl¬k gri tonlu bir Görüntü=Matris

Filtreleme = GörüntüFiltre(:konvolüsyon)

(49)

ESGI100(Crowd Emotion)(Gabor Filtresi:)

Denis Gabor(1900-1979)

G : R

²

> C tan¬ml¬bir fonksiyon, K =

_2πσ¹

xσy

olmak üzere, G ( x, y ; θ, γ, σ )

= K exp ( ¹

2 (( x

_r

/σ

x

)

²

+ ( y

_r

/σ

y

)

²

)) exp ( 2i π ( µ

_x

x

_r

/σ

x

+ µ

_y

y

_r

/σ

y

)) x

_r

y

r

= ^{cos θ} ^{sin θ} sin θ cos θ

x x

₀

y y

0

,

(50)

ESGI100(Crowd Emotion)(Gabor Filtresi:)

Denis Gabor(1900-1979)

G : R

²

> C tan¬ml¬bir fonksiyon,

K =

_2πσ¹

xσy

olmak üzere, G ( x, y ; θ, γ, σ )

= K exp ( ¹

2 (( x

_r

/σ

x

)

²

+ ( y

_r

/σ

y

)

²

)) exp ( 2i π ( µ

_x

x

_r

/σ

x

+ µ

_y

y

_r

/σ

y

)) x

_r

y

r

= ^{cos θ} ^{sin θ} sin θ cos θ

x x

₀

y y

0

,

(51)

ESGI100(Crowd Emotion)(Gabor Filtresi:)

Denis Gabor(1900-1979)

G : R

²

> C tan¬ml¬bir fonksiyon, K =

_2πσ¹

xσy

olmak üzere, G ( x, y ; θ, γ, σ )

= K exp ( ¹

2 (( x

_r

/σ

x

)

²

+ ( y

_r

/σ

y

)

²

)) exp ( 2i π ( µ

_x

x

_r

/σ

x

+ µ

_y

y

_r

/σ

y

))

x

_r

y

r

= ^{cos θ} ^{sin θ} sin θ cos θ

x x

₀

y y

0

,

(52)

ESGI100(Crowd Emotion)(Gabor Filtresi:)

Denis Gabor(1900-1979)

G : R

²

> C tan¬ml¬bir fonksiyon, K =

_2πσ¹

xσy

olmak üzere, G ( x, y ; θ, γ, σ )

= K exp ( ¹

2 (( x

_r

/σ

x

)

²

+ ( y

_r

/σ

y

)

²

)) exp ( 2i π ( µ

_x

x

_r

/σ

x

+ µ

_y

y

_r

/σ

y

)) x

_r

y

r

= ^{cos θ} ^{sin θ} sin θ cos θ

x x

₀

y y

0

,

(53)

ESGI100 Crowd Emotion(Gabor Filtresi)

σ

x

= 1, σ

y

= 2, µ

_x

= pi /8, µ

_y

= pi /4 için [ 4, 4 ] [ 4, 4 ] bölgesi üzerinde Gabor …ltresinin reel k¬sm¬

-4 -2 0 2 4

-0 . 0 6 -0 . 0 4 -0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4

-4 -2 0 2 4

-0 . 0 6 -0 . 0 4 -0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4

-4 -2 0 2 4

-0 . 0 6 -0 . 0 4 -0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4

-4 -2 0 2 4

-0 . 0 6 -0 . 0 4 -0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4

Figure: S¬ras¬yla θ = [ 0, pi /4, pi /2, 3pi /4 ] de¼ gerlerine kar¸s¬l¬k gelen Gabor

…ltresinin reel k¬s¬mlar¬(sol- > sa¼ g,yukar¬– > a¸sa¼ g¬)

(54)

ESGI100 CrowdEmotion Filtrelenmis goruntu

I iki boyutlu görüntü, G de bir …ltre olmak üzere …ltrelenmi¸s görüntü [ I G ][ m, n ] =

∑

∞ i= _∞

∑

∞ j= _∞

I ( i , j ) G ( m j, n j )

lineer konvolüsyonu ile tan¬mlan¬r.

I

_N _N

, G

_M _M

ise I G lineer konvolüsyonunun boyutu ( N + M 1 ) ( N + M 1 ) dir.

Konvolüsyon i¸slem(çarpma ve toplama) say¬s¬O ( N

²

M

²

) A¸s¬r¬yük!

(55)

ESGI100 CrowdEmotion Filtrelenmis goruntu

I iki boyutlu görüntü, G de bir …ltre olmak üzere …ltrelenmi¸s görüntü [ I G ][ m, n ] =

∑

∞ i= _∞

∑

∞ j= _∞

I ( i , j ) G ( m j, n j )

lineer konvolüsyonu ile tan¬mlan¬r.

I

_N _N

, G

_M _M

ise I G lineer konvolüsyonunun boyutu ( N + M 1 ) ( N + M 1 ) dir.

Konvolüsyon i¸slem(çarpma ve toplama) say¬s¬O ( N

²

M

²

) A¸s¬r¬yük!

(56)

ESGI100 CrowdEmotion Filtrelenmis goruntu

I iki boyutlu görüntü, G de bir …ltre olmak üzere …ltrelenmi¸s görüntü [ I G ][ m, n ] =

∑

∞ i= _∞

∑

∞ j= _∞

I ( i , j ) G ( m j, n j )

lineer konvolüsyonu ile tan¬mlan¬r.

I

_N _N

, G

_M _M

ise I G lineer konvolüsyonunun boyutu ( N + M 1 ) ( N + M 1 ) dir.

Konvolüsyon i¸slem(çarpma ve toplama) say¬s¬O ( N

²

M

²

)

A¸s¬r¬yük!

(57)

ESGI100 CrowdEmotion Filtrelenmis goruntu

I iki boyutlu görüntü, G de bir …ltre olmak üzere …ltrelenmi¸s görüntü [ I G ][ m, n ] =

∑

∞ i= _∞

∑

∞ j= _∞

I ( i , j ) G ( m j, n j )

lineer konvolüsyonu ile tan¬mlan¬r.

I

_N _N

, G

_M _M

ise I G lineer konvolüsyonunun boyutu ( N + M 1 ) ( N + M 1 ) dir.

Konvolüsyon i¸slem(çarpma ve toplama) say¬s¬O ( N

²

M

²

) A¸s¬r¬yük!

(58)

ESGI100 CrowdEmotion FFT Konvolüsyon

Dairesel Konvolüsyon için konvolüsyon teoremi

FFT(Fast Fourier Transform)H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü FFT ( Filtrelenmi¸s Görüntü) = FFT(Görüntü Filtre )

= FFT ( Görüntü ) FFT ( Filtre ) .

Filtrelenmi¸s Görüntü = Görüntü Filtre

= FFT

¹

( FFT ( Görüntü ) FFT ( Filtre )) Dairesel konvolüsyon görüntü kenarlar¬n¬bozmakta!

(59)

ESGI100 CrowdEmotion FFT Konvolüsyon

Dairesel Konvolüsyon için konvolüsyon teoremi FFT(Fast Fourier Transform)H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

FFT ( Filtrelenmi¸s Görüntü) = FFT(Görüntü Filtre )

= FFT ( Görüntü ) FFT ( Filtre ) .

Filtrelenmi¸s Görüntü = Görüntü Filtre

= FFT

¹

( FFT ( Görüntü ) FFT ( Filtre )) Dairesel konvolüsyon görüntü kenarlar¬n¬bozmakta!

(60)

ESGI100 CrowdEmotion FFT Konvolüsyon

Dairesel Konvolüsyon için konvolüsyon teoremi FFT(Fast Fourier Transform)H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

FFT ( Filtrelenmi¸s Görüntü) = FFT(Görüntü Filtre )

= FFT ( Görüntü ) FFT ( Filtre ) .

Filtrelenmi¸s Görüntü = Görüntü Filtre

= FFT

¹

( FFT ( Görüntü ) FFT ( Filtre ))

Dairesel konvolüsyon görüntü kenarlar¬n¬bozmakta!

(61)

ESGI100 CrowdEmotion FFT Konvolüsyon

Dairesel Konvolüsyon için konvolüsyon teoremi FFT(Fast Fourier Transform)H¬zl¬Fourier Dönü¸sümü

FFT ( Filtrelenmi¸s Görüntü) = FFT(Görüntü Filtre )

= FFT ( Görüntü ) FFT ( Filtre ) .

Filtrelenmi¸s Görüntü = Görüntü Filtre

= FFT

¹

( FFT ( Görüntü ) FFT ( Filtre )) Dairesel konvolüsyon görüntü kenarlar¬n¬bozmakta!

(62)

ESGI100 CrowdEmotion Lineer FFT Konvolüsyon

S¬f¬rlarla yast¬klama

( 2

ⁿ

, 2

^m

) >= ( M

₁

+ N

₁

1 ) ( M

₂

+ N

₂

1 )

Görüntü_b ( i , j ) = ^Görüntü ( i , j ) ( i , j ) 2 ^N ^N 0 di¼ ger indisler

Filtre_b ( i , j ) = ^Filtre ( i , j ) ( i , j ) 2 ^M ^M 0 di¼ ger indisler

FFT

¹

( FFT ( Görüntü_b ) FFT ( Filtre_b )) lineer konvolusyon

(63)

ESGI100 CrowdEmotion Lineer FFT Konvolüsyon

S¬f¬rlarla yast¬klama

( 2

ⁿ

, 2

^m

) >= ( M

1

+ N

1

1 ) ( M

2

+ N

2

1 )

Görüntü_b ( i , j ) = ^Görüntü ( i , j ) ( i , j ) 2 ^N ^N 0 di¼ ger indisler

Filtre_b ( i , j ) = ^Filtre ( i , j ) ( i , j ) 2 ^M ^M 0 di¼ ger indisler

FFT

¹

( FFT ( Görüntü_b ) FFT ( Filtre_b )) lineer konvolusyon

(64)

ESGI100 CrowdEmotion Lineer FFT Konvolüsyon

S¬f¬rlarla yast¬klama

( 2

ⁿ

, 2

^m

) >= ( M

1

+ N

1

1 ) ( M

2

+ N

2

1 )

Görüntü_b ( i , j ) = ^Görüntü ( i , j ) ( i , j ) 2 ^N ^N 0 di¼ ger indisler

Filtre_b ( i , j ) = ^Filtre ( i , j ) ( i , j ) 2 ^M ^M 0 di¼ ger indisler

FFT

¹

( FFT ( Görüntü_b ) FFT ( Filtre_b )) lineer konvolusyon

(65)

ESGI100 CrowdEmotion Lineer FFT Konvolüsyon

S¬f¬rlarla yast¬klama

( 2

ⁿ

, 2

^m

) >= ( M

1

+ N

1

1 ) ( M

2

+ N

2

1 )

Görüntü_b ( i , j ) = ^Görüntü ( i , j ) ( i , j ) 2 ^N ^N 0 di¼ ger indisler

Filtre_b ( i , j ) = ^Filtre ( i , j ) ( i , j ) 2 ^M ^M 0 di¼ ger indisler

FFT

¹

( FFT ( Görüntü_b ) FFT ( Filtre_b )) lineer konvolusyon

(66)

ESGI100 CrowdEmotion Lineer FFT Konvolüsyon

S¬f¬rlarla yast¬klama

( 2

ⁿ

, 2

^m

) >= ( M

1

+ N

1

1 ) ( M

2

+ N

2

1 )

Görüntü_b ( i , j ) = ^Görüntü ( i , j ) ( i , j ) 2 ^N ^N 0 di¼ ger indisler

Filtre_b ( i , j ) = ^Filtre ( i , j ) ( i , j ) 2 ^M ^M 0 di¼ ger indisler

FFT

¹

( FFT ( Görüntü_b ) FFT ( Filtre_b )) lineer konvolusyon

(67)

ESGI100 CrowdEmotion Lineer FFT Konvolüsyon performans

S¬f¬rlarla yast¬klama

Görüntü Filtre Cpu Zaman¬(100) Cpu Zaman¬(100) ( N N ) ( M M ) (Geleneksel Conv.) (FFT Conv.)

N = 200 M = 10 2.5156 2.5000

20 4.1250 2.4375

30 7.7813 2.4531

40 13.7031 2.5000

50 20.0156 2.5000

100 68.7344 15.6563

(1)

(68)

ESGI100 CrowdEmotion Lineer FFT Konvolüsyon performans

S¬f¬rlarla yast¬klama

Görüntü Filtre Cpu Zaman¬(100) Cpu Zaman¬(100) ( N N ) ( M M ) (Geleneksel Conv.) (FFT Conv.)

N = 200 M = 10 2.5156 2.5000

20 4.1250 2.4375

30 7.7813 2.4531

40 13.7031 2.5000

50 20.0156 2.5000

100 68.7344 15.6563

(1)

(69)

ESGI100 CrowdEmotion Lineer FFT Konvolüsyon(MATLAB)

function Result=fftconv2(Image,Filter)

%Linear convolution with fft of size 2^n,

%Author: Erhan Coskun, May, 2014.

[N1,N2]=size(Image);

[M1,M2]=size(Filter);

K1=N1+M1-1; % Size of Linear Filter K2=N2+M2-1; % "

n=pow_two_n(K1); %smallest n such that 2^n>=K1 m=pow_two_n(K2); %smallest m such that 2^m>=K2 two_to_n=2^n;

two_to_m=2^m;

Image_e=zeros(two_to_n,two_to_m);

Filter_e=zeros(two_to_n,two_to_m);

Filter_e(1:M1,1:M2)=Filter; % padded filter Image_e(1:N1,1:N2)=Image; % padded image

fftfilter=fft2(Filter_e); % fft of padded filter fftimage=fft2(Image_e); % fft of padded image

Frprod=fftfilter.*fftimage; % pointwise multiplication of fft’s Result=ifft2(Frprod); % Inverse fft

Result=Result(1:K1,1:K2); %Isolate zero paddings M1p=ceil((M1-1)/2); % Indices for central part M2p=ceil((M2-1)/2); % "

Result=Result((M1p+1):(N1+M1p),(M2p+1):(N2+M2p));

% central part function n=pow_two_n(K);

test=1;n=0;

while test n=n+1;

test=2^n<K;

end

(70)

ESGI100 CrowdEmotion Süreksizlik çizgileri

σ

x

= 1,σ

y

= 2,µ

_x

= pi /8,µ

_y

= 0

Figure: Gabor Filter and edge detection with θ = 0 ( top ) , θ = π/4 ( bottom )

(71)

ESGI100 CrowdEmotion Süreksizlik çizgileri

σ

x

= 1,σ

y

= 2,µ

_x

= pi /8,µ

_y

= 0

Figure: Gabor Filter and edge detection with θ = π/2 ( top ) , θ = 3π/4 ( bottom )

(72)

Demir-Çelik Endüstrisinde Endüstriyel Matematik

Scheduling of Material through a steel plant(M.M. Ali at all)

Mathematics in Industry Study Groups in South Africa > MISGSA 2004

Problem: Haftal¬k çelik ürünleri talebi dikate al¬nd¬¼ g¬nda, bu talebi kar¸s¬lamak amac¬yla fabrikadaki çelik i¸slem birimlerinin günlük çal¬¸sma program¬nas¬l olmal¬d¬r?

Optimizasyon problemi(Genetik Algoritma)

(73)

Demir-Çelik Endüstrisinde Endüstriyel Matematik

Scheduling of Material through a steel plant(M.M. Ali at all) Mathematics in Industry Study Groups in South Africa > MISGSA 2004

Problem: Haftal¬k çelik ürünleri talebi dikate al¬nd¬¼ g¬nda, bu talebi kar¸s¬lamak amac¬yla fabrikadaki çelik i¸slem birimlerinin günlük çal¬¸sma program¬nas¬l olmal¬d¬r?

Optimizasyon problemi(Genetik Algoritma)

(74)

Demir-Çelik Endüstrisinde Endüstriyel Matematik

Scheduling of Material through a steel plant(M.M. Ali at all) Mathematics in Industry Study Groups in South Africa > MISGSA 2004

Problem: Haftal¬k çelik ürünleri talebi dikate al¬nd¬¼ g¬nda, bu talebi kar¸s¬lamak amac¬yla fabrikadaki çelik i¸slem birimlerinin günlük çal¬¸sma program¬nas¬l olmal¬d¬r?

Optimizasyon problemi(Genetik Algoritma)

(75)

Demir-Çelik Endüstrisinde Endüstriyel Matematik

Scheduling of Material through a steel plant(M.M. Ali at all) Mathematics in Industry Study Groups in South Africa > MISGSA 2004

Problem: Haftal¬k çelik ürünleri talebi dikate al¬nd¬¼ g¬nda, bu talebi kar¸s¬lamak amac¬yla fabrikadaki çelik i¸slem birimlerinin günlük çal¬¸sma program¬nas¬l olmal¬d¬r?

Optimizasyon problemi(Genetik Algoritma)

(76)

Demir-Çelik Endüstrisinde Endüstriyel Matematik

Annealing steel coils(Çelik sar¬mlar¬n¬n ¬s¬t¬lmas¬), Mark McGuinness vd,

Australian and New Zealand Mathematics in Industry Study Group > 25th MISG [2008]

Figure: (Çal¬¸stay raporundan)

(77)

Demir-Çelik Endüstrisinde Endüstriyel Matematik

Annealing steel coils(Çelik sar¬mlar¬n¬n ¬s¬t¬lmas¬), Mark McGuinness vd,

Australian and New Zealand Mathematics in Industry Study Group >

25th MISG [2008]

Figure: (Çal¬¸stay raporundan)

(78)

Demir-Çelik Endüstrisinde Endüstriyel Matematik

Annealing steel coils(Çelik sar¬mlar¬n¬n ¬s¬t¬lmas¬), Mark McGuinness vd,

Australian and New Zealand Mathematics in Industry Study Group >

25th MISG [2008]

Figure: (Çal¬¸stay raporundan)

(79)

Is¬tma modeli

∂T

∂t = D

_r

∂

∂r r ∂T

∂r + D

_z

∂

∂z

∂T

∂z

k

_r

∂T

∂r = H ( T T

_g

) , r = a; k

_r

∂T

∂r = H ( T T

_g

) , r = b T ( r , z = 0, t ) = T ( r , z = L, t ) = T

g

, T ( r , z, t = 0 ) = T

0

Yöntem: Sabit katsay¬– > De¼ gi¸skenlerine ayr¬¸s¬m ve Sturm-Liouville teori

De¼ gi¸sken katsay¬– > (örne¼ gin çeli¼ gin di¤üzivitesi s¬cakl¬¼ g¬n azalan fonksiyonu) – > say¬sal yöntem

(80)

Is¬tma modeli

∂T

∂t = D

_r

∂

∂r r ∂T

∂r + D

_z

∂

∂z

∂T

∂z

k

_r

∂T

∂r = H ( T T

_g

) , r = a; k

_r

∂T

∂r = H ( T T

_g

) , r = b T ( r , z = 0, t ) = T ( r , z = L, t ) = T

g

, T ( r , z, t = 0 ) = T

0

Yöntem: Sabit katsay¬– > De¼ gi¸skenlerine ayr¬¸s¬m ve Sturm-Liouville teori

De¼ gi¸sken katsay¬– > (örne¼ gin çeli¼ gin di¤üzivitesi s¬cakl¬¼ g¬n azalan fonksiyonu) – > say¬sal yöntem

(81)

Is¬tma modeli

∂T

∂t = D

_r

∂

∂r r ∂T

∂r + D

_z

∂

∂z

∂T

∂z

k

_r

∂T

∂r = H ( T T

_g

) , r = a; k

_r

∂T

∂r = H ( T T

_g

) , r = b T ( r , z = 0, t ) = T ( r , z = L, t ) = T

g

, T ( r , z, t = 0 ) = T

0

Yöntem: Sabit katsay¬– > De¼ gi¸skenlerine ayr¬¸s¬m ve Sturm-Liouville teori

De¼ gi¸sken katsay¬– > (örne¼ gin çeli¼ gin di¤üzivitesi s¬cakl¬¼ g¬n azalan fonksiyonu) – > say¬sal yöntem

(82)

Demir-Çelik Endüstrisinde Endüstriyel Matematik

Bir çelik döküm ünitesi

Figure: (http://www.cse.salford.ac.uk/)

(83)

Çelik döküm i¸sleminde su …skiyeleriyle so¼ gutma

(J. Ockendon vd, Shanghai Endüstriyel Matematik Çal¬¸stay¬, 2000)

Model: S¬cak çelik tabaka kom¸sulu¼ gunda damlac¬klar¬n buharla¸smas¬ ve ak¬¸s¬n¬analiz etmektedir.

Amaç: Optimal buharla¸sma ad¬verilen ve Çelik tabakaya yakla¸san damlac¬k çaplar¬n¬n s¬f¬ra yakla¸smas¬durumunu ortaya ç¬karan d¬¸s etkenlerin belirlenmesi

800 1000

Heat Transfer(Q)

Steel Temperature(Degree)

Kabüller:Tekboyutlu ak¬¸s, sadece iki faz(damlac¬k, buhar) Bilinmeyenler: Ortalama(x yönündeki damlac¬k ve buhar h¬zlar¬, damlac¬k ve buhar s¬cakl¬klar¬, buhar bas¬nc¬ve ortamdaki damlac¬k oran¬,damlac¬k yar¬çap de¼ gi¸sim oran¬)

(84)

Çelik döküm i¸sleminde su …skiyeleriyle so¼ gutma

(J. Ockendon vd, Shanghai Endüstriyel Matematik Çal¬¸stay¬, 2000) Model: S¬cak çelik tabaka kom¸sulu¼ gunda damlac¬klar¬n buharla¸smas¬

ve ak¬¸s¬n¬analiz etmektedir.

Amaç: Optimal buharla¸sma ad¬verilen ve Çelik tabakaya yakla¸san damlac¬k çaplar¬n¬n s¬f¬ra yakla¸smas¬durumunu ortaya ç¬karan d¬¸s etkenlerin belirlenmesi

800 1000

Heat Transfer(Q)

Kabüller:Tekboyutlu ak¬¸s, sadece iki faz(damlac¬k, buhar) Bilinmeyenler: Ortalama(x yönündeki damlac¬k ve buhar h¬zlar¬, damlac¬k ve buhar s¬cakl¬klar¬, buhar bas¬nc¬ve ortamdaki damlac¬k oran¬,damlac¬k yar¬çap de¼ gi¸sim oran¬)

(85)

Çelik döküm i¸sleminde su …skiyeleriyle so¼ gutma

(J. Ockendon vd, Shanghai Endüstriyel Matematik Çal¬¸stay¬, 2000) Model: S¬cak çelik tabaka kom¸sulu¼ gunda damlac¬klar¬n buharla¸smas¬

ve ak¬¸s¬n¬analiz etmektedir.

Amaç: Optimal buharla¸sma ad¬verilen ve Çelik tabakaya yakla¸san damlac¬k çaplar¬n¬n s¬f¬ra yakla¸smas¬durumunu ortaya ç¬karan d¬¸s etkenlerin belirlenmesi

800 1000

Heat Transfer(Q)

Kabüller:Tekboyutlu ak¬¸s, sadece iki faz(damlac¬k, buhar) Bilinmeyenler: Ortalama(x yönündeki damlac¬k ve buhar h¬zlar¬, damlac¬k ve buhar s¬cakl¬klar¬, buhar bas¬nc¬ve ortamdaki damlac¬k oran¬,damlac¬k yar¬çap de¼ gi¸sim oran¬)

(86)

Çelik döküm i¸sleminde su …skiyeleriyle so¼ gutma

(J. Ockendon vd, Shanghai Endüstriyel Matematik Çal¬¸stay¬, 2000) Model: S¬cak çelik tabaka kom¸sulu¼ gunda damlac¬klar¬n buharla¸smas¬

ve ak¬¸s¬n¬analiz etmektedir.

Amaç: Optimal buharla¸sma ad¬verilen ve Çelik tabakaya yakla¸san damlac¬k çaplar¬n¬n s¬f¬ra yakla¸smas¬durumunu ortaya ç¬karan d¬¸s etkenlerin belirlenmesi

800 1000

Heat Transfer(Q)

Kabüller:Tekboyutlu ak¬¸s, sadece iki faz(damlac¬k, buhar) Bilinmeyenler: Ortalama(x yönündeki damlac¬k ve buhar h¬zlar¬, damlac¬k ve buhar s¬cakl¬klar¬, buhar bas¬nc¬ve ortamdaki damlac¬k oran¬,damlac¬k yar¬çap de¼ gi¸sim oran¬)