Lineer olmayan kompleks kısmi türevli denklemlerin çözümleri için lokal varlık ve teklik teoremleri

Tam metin

(1)KIRIKKALE ÜNøVERSøTESø FEN BøLøMLERø ENSTøTÜSÜ. MATEMATøK ANABøLøM DALI YÜKSEK LøSANS TEZø. LøNEER OLMAYAN KOMPLEKS KISMø TÜREVLø DENKLEMLERøN ÇÖZÜMLERø ·øÇøN LOKAL VARLIK VE TEKLøK TEOREMLERø. Hakan ÖZTÜRK. Haziran 2014.

(2) Matematik Anabilim DalÕnda Hakan Öztürk tarafÕndan hazÕrlanan LøNEER OLMAYAN KOMPLEKS KISMø TÜREVLø DENKLEMLERøN ÇÖZÜMLERø ·øÇøN LOKAL VARLIK VE TEKLøK TEOREMLERø AdlÕ Yüksek Lisans Tezinin Anabilim DalÕ standartlarÕna uygun oldu÷unu onaylarÕm.. Prof. Dr. Kerim KOCA Anabilim DalÕ BaúkanÕ. Bu tezi okudu÷umu ve tezin Yüksek Lisans Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdi÷ini onaylarÕm.. Prof. Dr. Kerim KOCA DanÕúman. Jüri Üyeleri. Baúkan (DanÕúman) : Prof. Dr. Kerim KOCA. ___________________. Üye. : Doç. Dr. Ali OLGUN. ___________________. Üye. : Doç. Dr. Hakan ùøMùEK. ___________________. 24/06/2014 Bu tez ile KÕrÕkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onaylamÕútÕr.. Doç. Dr. E. Kamil YILDIRIM Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü.

(3) ÖZET. LøNEER OLMAYAN KOMPLEKS KISMø TÜREVLø DENKLEMLERøN ÇÖZÜMLERø ·øÇøN LOKAL VARLIK VE TEKLøK TEOREMLERø ÖZTÜRK, Hakan KÕrÕkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim DalÕ, Yüksek Lisans Tezi DanÕúman: Prof. Dr. Kerim KOCA Haziran 2014, 35 sayfa. Bu tez dört bölümden oluúmaktadÕr.. Birinci bölümde tezin amacÕ, konunun güncelli÷i ve kaynaklar hakkÕnda bilgi verilmiútir. økinci bölümde bir kompleks sÕnÕr de÷er probleminin çözümlerinin varlÕk ve tekli÷i konusunda lokal bir inceleme yapÕlmÕútÕr.. Üçüncü bölümde ise bir kompleks diferensiyel denklem sistemi vektörel diferensiyel denklem formuna dönüútürülerek çözümün varlÕk ve tekli÷i için sa÷lanmasÕ gereken koúullar ortaya konmuútur.. Son bölümde ise tezdeki sonuçlar hakkÕnda kÕsa bilgi verilmiú ve ileri bir aúama olarak nelerin yapÕlabilece÷i açÕklanmÕútÕr.. Anahtar kelimeler: Kompleks kÕsmi türevli denklemler, Lokal varlÕk ve teklik teoremi, Hölder uzayÕ, Schwarz problemi. i.

(4) ABSTRACT. LOCAL EXISTENCE AND UNIQUENESS THEOREMS FOR COMPLEX PARTIAL SOLUTION OF NONLINEAR EQUATION ÖZTÜRK, Hakan KÕrÕkkale University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematic, M. Sc. Thesis Supervisor: Prof. Dr. Kerim KOCA June 2014, 35 pages. This thesis consists of four parts.. In the first part of the thesis goal and topicality of the subject is given information about the resources.. In the second part of a complex existence and uniqueness of solutions of boundary value problems has been evaluated on the local.. In the third part of a complex system of differential equations converted to vector form solutions of differential equations to be satisfied for the existence and uniqueness conditions have been revealed.. In the last part of the thesis results and provided brief information about what can be done in an advanced stage is described.. Key Words: Complex partial differential equations, Local existence and uniqueness theorem, Hölder space, Schwarz problem. ii.

(5) TEùEKKÜR. ÇalÕúmalarÕm boyunca; tecrübe ve katkÕlarÕ ile beni yönlendiren, tez konusunun oluúmasÕnda ve hazÕrlanmasÕnda hiçbir zaman yardÕmÕnÕ eksik etmeyen de÷erli hocam, SayÕn Prof. Dr. Kerim KOCA’ya, Arú. Gör. ølker GENÇTÜRK’e, çalÕúmalarÕm esnasÕnda beni daima destekleyen KÕrÕkkale Üniversitesi Matematik Bölümündeki de÷erli hocalarÕma ve deste÷ini hiçbir zaman eksik etmeyen sevgili anneme ve babama teúekkür ederim.. iii.

(6) ødø1'(.ø/(5'ø=ø1ø. Sayfa. ÖZET....................................................................................................................... i. ABSTRACT ............................................................................................................ ii. 7(ù(..h5 .......................................................................................................... iii. ødø1'(.ø/(5 ..................................................................................................... iv. 6ø0*(/(5 'ø=ø1ø…………………………………………………………….. vi. 1. *ø5øù ................................................................................................................. 1. 1.1. 7H]LQ$PDFÕ ................................................................................................ 1. 1.2. Kaynak Özetleri .......................................................................................... 2. 1.3. Temel Kavramlar ....................................................................................... 2. 2. 9$5/,.7(25(0/(5ø ................................................................................ 5. 2.1. .RPSOHNV.ÕVPL7UHYOL'HQNOHP6LVWHPOHULQLQd|]P<DSÕVÕ .............. 5. 3. %ø5 .203/(.6 .,60ø 7h5(9/ø '(1./(0 6ø67(0ø ødø1 6&+:$5=352%/(0ø ..................................................................................... 28 4. 7$57,ù0$9(SONUÇ.................................................................................. 35 KAYNAKLAR……………….. …………………………………………………. 36. iv.

(7) Anneme ve babama…. v.

(8) SøMGELER DøZøNø. N. Do˘gal sayılar kümesi. Z. Tamsayılar kümesi. C. Kompleks düzlem (z-düzlemi). D. Kompleks düzlemin bir alt bölgesi. D. D bölgesinin kapanı¸sı. ∂D. D alt bölgesinin sınırı. Re z. z kompleks sayısının reel kısmı. Im z. z kompleks sayısının sanal kısmı. Lp. p normlu fonksiyon uzayı. TD. Cauchy tipi zayıf singülerlili˘ge sahip operatör. ΠD. Cauchy tipi kuvvetli singülerli˘ge sahip operatör. C1 ∂ ∂z Cα (D; C). 1. basamaktan kısmi türevleri sürekli fonksiyonlar sınıfı z ye göre kısmi türev operatörü D üzerinde tanımlı Hölder sürekli kompleks de˘gerli fonksiyonların sınıfı. Cα,1 (D; C) 1.basamaktan kısmi türevleri mevcut ve Hölder sürekli fonksiyonların sınıfı mD. D bölgesinin Lebesque ölçümü. C0k (D; C). D ye ait k.basama˘ga kadar türevlere sahip tüm test fonksiyonların sınıfı. vi.

(9) 1. GI= RI= S ¸. Reel veya kompleks diferensiyel denklemler teorisinde en önemli konulardan birisi de denklemi çözmeden çözümlerin varlNk ve tekliQ ginin ara¸stNrNlmasNdNr. Bunun için denklemde bilinen fonksiyonlar, denklemin katsayNlarN, ba¸slangNç veya sNnNr ko¸sullarN, v.s. yardNmNyla varlNk ve teklik ko¸sullarN ortaya konmaktadNr. Ortaya konulan ko¸sullarNn gerekli veya yeterli olup olmadNQ gN ayrN bir ara¸stNrma konusudur. SNnNr deQ ger problemlerinin çözümlerinde verilen bölge deQ gi¸smez. Çünkü verilen bölgenin sNnNrN üzerinde bilinmeyen fonksiyonunun deQ geri verilmektedir. Ancak sNnNr ko¸sulu olmaksNzNn belli tipten kompleks diferensiyel denklemlerin çözümlerinin varlNQ gN ve tekliQ gi verilen bölgenin ölçüsüne de baQ glN olabilir. Bu tezde z = F (z, , z ) formundaki diferensiyel denklemin sNnNr ko¸sullarN olmaksNzNn çözümünün varlNk ve tekliQ ginin herhangi bir bölgenin ölçüsüne nasNl baQ glN olduQ gu ortaya konulmu¸stur. IO nceleme Hölder uzayNnda yapNlmN¸stNr. Çe¸sitli fen ve mühendislik alanNnda ortaya çNkan diferensiyel denklemlerin çözümleri genellikle integral denklemlerle veya integral denklem sistemleri ile ifade edilebilmektedir. Bu durumda diferensiyel denklemin çözümünün varlNk ve tekliQ gi integral denklemin veya integral denklem sisteminin çözümünün varlNk ve tekliQ gine dönü¸stürülebilmektedir. VarlNk ve Teklik teorisinin temelini ise operatör teoride Sabit Nokta Teoremleri olu¸sturmaktadNr.. 1.1.. Tezin Amac<. Bu tezin temel amacN, skaler ve vektörel formdaki z = F (z, , z ) kompleks diferensiyel denkleminin çözümlerinin var ve tek olmasN için denklemin tanNmlandNQ gN bölgenin ölçüsüne nasNl baQ glN olduQ gunu ara¸stNrmak ve bunun için yeterli ko¸sullarN ortaya koymaktNr. DiQ ger bir amaç ise incelenen problemin genelle¸stirilip yeni sonuçlar ortaya koyabilmenin temelini olu¸sturmaktadNr. 1.

(10) 1.2.. Kaynak Özetleri. Öncelikle [1] kaynaQ gNndan kompleks diferensiyel teorisinde çok kullanNlan TD ve D operatörleri ve temel kavramlar öQ grenilmi¸stir. Daha sonra aynN kaynaQ gNn 4. bölümünden (Sayfa 130 — 149) tezin esas konusu olan bölgenin ölçüsüne baQ glN varlNk ve teklik teoremleri incelenmi¸stir. Son kNsNmda [3] kaynaQ gNndan kompleks ve vektörel formda bir diferensiyel denklem için tanNmlanan sNnNr deQ ger probleminin çözümünün varlNk ve tekliQ gi ele alNnmN¸stNr. 1.3.. Temel Kavramlar. Tan<m 1.1 (X, A, ) ölçülebilir bir uzay ve 1 p < olsun. Lp (X) uzayN & p Lp (X) = f | f : X C öyleki |f | d < olarak tanNmlanNr ve f Lp (X) fonksiyonunun normu ise f p =.

(11) &. p. |f | d. 1/p. ¸seklindedir.. Teorem 1.1 Lp uzayN ·p normuna göre tamdNr. I= spat: IO spatN için referans [7] bakNnNz.. Tan<m 1.2 (Hölder E¸sitsizli? gi) p > 0 ve q,. 1 p. +. 1 q. = 1 ko¸sulunu saQ glayan. bir sayN olmak üzere her f Lp [a, b] , g Lp [a, b] için f g f p gq dNr.. Tan<m 1.3 D C sNnNrlN bir bölge olmak üzere, D de tanNmlN kompleks deQ gerli bir f fonksiyonu için 1 (TD f ) (z) = . && D. 2. f () dd, z. (1.1).

(12) ¸seklinde tanNmlN TD operatörüne zayNf singülerliQ ge sahip Vekua integral operatörü denir.. Tan<m 1.4 D C sNnNrlN bir bölge olmak üzere, D de tanNmlN kompleks deQ gerli bir f fonksiyonu için 1 (D f ) (z) = . && D. f () dd, ( z)2. (1.2). ge sahip Vekua integral oper¸seklinde tanNmlN D operatörüne kuvvetli singülerliQ atörü denir.. Tan<m 1.5 Bir reel veya kompleks z deQ gi¸skeninin bir f fonksiyonu verilmi¸s olsun. D bölgesinin tüm z1 , z2 noktalarN için |f (z1 ) f (z2 )| H |z1 z2 | olacak ¸sekilde H ve 0 < < 1 sabitleri mevcutsa, f ye D bölgesinde bir Hölder ¸sartN saQ glar veya D bölgesinde Hölder süreklidir denir. H = H (f ) = H (f ; D.) ya Hölder sabiti, ya Hölder üssü denir. D bölgesinde Hölder sürekli fonksiyonlarNn olu¸sturduQ gu uzaya da Hölder uzayN denir. Hölder uzayNn da norm f C =. |f (z1 ) f (z2 )| |z1 z2 | z1 =z2 D sup. ¸seklinde tanNmlanNr.. Tan<m 1.6 (Cauchy Dizisi) (X, R) bir uzay ve (xn ) bu uzayda bir dizi olgunda |xn xm | < olacak ¸sekilde a sun. Her > 0 için m, n > n olduQ gal sayNsN bulunabiliyorsa (xn ) dizisine bir Cauchy dizisi denir. Her baQ glN bir n doQ Cauchy dizisi bu uzayNn bir noktasNna yakNnsNyor ise o zaman bu uzaya Tam uzay denir.. Teorem 1.2 Her yakNnsak dizi bir Cauchy dizisidir.. Teorem 1.3 Her Cauchy dizisi yakNnsaktNr. 3.

(13) Teorem 1.4 Bir sayN dizisinin yakNnsak olmasN için gerek ve yeterli ¸sart bir Cauchy dizisi olmasNdNr.. Teorem 1.5 Her Cauchy dizisi sNnNrlNdNr. Fakat her sNnNrlN dizi, Cauchy dizisi deQ gildir.. Tan<m 1.7 f : X R olsun. Her x, y X çifti için |f (x) f (y)| < L |x y| gerçeklenmek üzere bir L R+ sabiti varsa, f fonksiyonuna Lipschitz ko¸sulunu saQ glayan fonksiyon; L ye f nin Lipschitz sabiti denir.. Tan<m 1.8 X bir normlu vektör uzay ve T : X X bir fonksiyon olsun. EQ ger her x, y X için ||T x T y|| ||x y|| olacak ¸sekilde bir 0 < < 1 varsa T ye bir daralma(büzülme) fonksiyonu denir.. Teorem 1.6 (X, ||.||) bir Banach uzayN olmak üzere T : X X bir daralma fonksiyonu ise o zaman (i) T nin bir ve yalnNz bir sabit noktasN vardNr; (ii) herhangi bir x0 X için {T n x0 } iterasyon dizisi, T nin bu sabit noktasNna yakNnsar; yani her n N için xn = T xn1 ile tanNmlN {xn } iterasyon dizisi T nin bu sabit noktasNna yakNnsar.. 4.

(14) 2. VARLIK TEOREMLERI= 2.1.. Kompleks K<smi Türevli Denklem Sistemlerinin Çözüm Yap<s< j = fj (z, 1 , 2 , ..., m ) , z. j = 1, 2, ..., m. (2.1). sistemini gözününe alalNm. Burada j = j (z) , j = 1, 2, ..., m, m tane kompleks deQ gerli fonksiyonlarN belirlenmeye çalN¸sNlacaktNr. Önce bu sistemin çözüm yapNsN ortaya konulacak, daha sonra çözümün tekliQ gi ve tek anlamlNlNQ gN ara¸stNrNlacaktNr.(2.1) in saQ gNndaki fj fonksiyonlarNn tümü özde¸s olarak sNfNr ise (2.1) sistemi j = 0, z. j = 1, 2, ..., m. (2.2). sistemine indirgenir. Bu durumda j (z) ler uygun bir G C alt bölgesinde holomorf fonksiyonlar ise = ( 1 , 2 , ..., m ) , (2.2) sisteminin çözümü olur. O halde her holomorf bile¸senli Vektör-deQ gerli fonksiyonlar (2.2) sistemini saQ glar. (2.1) sisteminin çözümlerini ortaya koymadan önce dyj = fj (t, y1 , y2 , ..., ym ) , j = 1, 2, ..., m dt. (2.3). reel adi türevli diferensiyel denklem sistemini gözününe alalNm. Diferensiyel hesabNn temel teoreminden t = t0 noktasNnNn uygun bir kom¸suluQ gunda (2.3) sisteminin bir çözümü. yj (t) = Cj +. &t. fj ( , y1 ( ) , y2 ( ) , ..., ym ( )) d , j = 1, 2, , ..., m. (2.4). =t0. geridir. Yani Cj = olarak yazNlabilir. Burada Cj ler yj lerin t0 noktasNndaki deQ yj (t0 ) dNr. Tersine (2.4) sisteminin her iki tarafNnNn t ye göre türetilmesiyle (2.3) sisteminin saQ glandNQ gN gösterilebilir. fj ler üzerine konulan uygun ko¸sullar altNnda (2.4) integral denklem sisteminin tek anlamlN olarak çözülebilirliQ gi gösterilebileceQ ginden (2.3) ün (y1 , y2 , ..., ym ) ¸seklinde bir çözümü tek anlamlN olarak belirlenebilir. Böylece (2.3) sisteminin yj (t0 ) = Cj ba¸slangNç ko¸sullarNnN saQ glayan çözümü (y1 , y2 , ..., ym ) tek anlamlN olur ve t = t0 noktasNnda (C1 , C2 , ..., Cm ) 5.

(15) deQ gerini alNr. O halde her bir çözüm (2.4) deki Cj sabitleri yardNmNyla tespit edilebilir. S ¸ imdi benzer durumu j = fj (z, 1 , 2 , ..., m ) , z. j = 1, 2, ..., m. sistemi için ortaya koyalNm. G sNnNrlN bir bölge olsun ve ( 1 , 2 , ..., m ) (2.1) in G da sürekli verilmi¸s bir çözümü olsun. Bu durumda (2.1) diferensiyel denklem sisteminin ( 1 , 2 , ..., m ) çözümü için . 1 j (z) + z. && G. . j fj (, 1 () , ..., m ()) dd = fj (z, 1 , 2 , ..., m ) = 0 z z. e¸sitliQ gi yazNlabilir. Böylece kö¸seli parantezin içi bir holomorf fonksiyon belirtir. O halde 1 j (z) = j (z) . && G. fj (, 1 () , ..., m ()) dd, j = 1, 2, ..., m z. (2.5). olup burada j (z) , G de tanNmlanmN¸s holomorf fonksiyonlardNr. Sonuç olarak (2.1) sisteminin G da sürekli her çözümü (2.5) integral denklem sistemini saQ glar. Burada j ler G de holomorf, G da sürekli fonksiyonlardNr. (2.5) integral denklem sistemi (2.4) integral denklem sistemine benzemektedir. (2.4) deki Cj sabitlerinin yerine (2.5) sisteminde j , holomorf fonksiyonlarN gelmi¸stir. DiQ ger bir ifadeyle holomorf fonksiyonlarda z ye göre türev sabit rolünü oynamaktadNr. Tersine j holomorf fonksiyonlar olmak üzere (2.5) integral denkleminin her çözümü (2.1) denklem sisteminin çözümü olur. (2.1) diferensiyel denklem sisteminin çözümlerini ortaya koymak için (2.5) integral denklem sistemini çözmemiz gerekmektedir. Bunun için fj lerin üzerine konulacak uygun ko¸sullar altNnda Banach Sabit Nokta Teoremi kullanNlabilir. Bu durumda her m için G de holomorf, G da sürekli 1 , 2 , ..., m fonksiyonlarN için (2.1) sisteminin bir ( 1 , ..., m ) çözümü bulunur. O halde (2.1) denklem sisteminin ( 1 , ..., m ) çözümleri, elemanlarN holomorf fonksiyonlar olan (1 , 2 , ..., m ) vektör deQ gerli fonksiyonlarN yardNmNyla karakterize edilebilir. 6.

(16) Dikkate alNnacak varlNk teoremlerini ortaya koymak için önce j (z) = fj (z, 1 , 2 , ..., m ) ; j = 1, 2, ..., m z sistemindeki fj fonksiyonlarN üzerine bazN ko¸sullar koymamNz gerekmektedir: gi¸skenlerinin fonksiya) z G olmak üzere fj ler m + 1 tane z, 1 , 2 , ..., m deQ gunu onlarN olarak sürekli olsun. AyrNca her j için | j | R ve |fj | KR olduQ kabul edelim. b) fj ler, | j | R, |' j | R olmak üzere her z G için |fj (z, 1 , 2 , ..., m ) fj (z, '1, ' 2 , ..., ' m )| LR. m % j=1. | j 'j |. (2.6). düzgün Lipschitz ko¸sulunun saQ glandNQ gNnN varsayalNm. Burada LR alN¸sNlmN¸s Lipschitz sabitleridir. Banach sabit nokta teoremini kullanabilmek için, (2.5) integral denklem sisteminin içinde bulunduQ gu Banach uzayNnN vermemiz gerekir. gerli fonksiyonlar olmak j = j (z) , G da tanNmlN sürekli, kompleks deQ gerli fonksiyonlarNn sNnNfNnN R ile üzere = ( 1 , 2 , ..., m ) formundaki vektör deQ gösterelim. R deki norm sup | j (z)| ifadelerinin en büyüQ gü olarak tanNmlanNrsa G. bu durumda = max sup | j (z)| 1jm G. normuna göre R sNnNfN bir Banach uzayN olur. S ¸ imdi MR = { R : R} sNnNfNnN tanNmlayalNm.. Lemma 2.1 MR kümesi kapalNdNr. gNlma noktasN olsun. Bu durumda I= spat. = ( 1 , ..., m ), MR nin bir yNQ noktasNna yakNnsayan ve MR uzayNndan seçilen. (k) (k) = 1 , ..., (k) m 7.

(17) (k). dizisi mevcuttur. R sNnNfNndaki yakNnsaklNk j. larNn j ye düzgün yakNnsamasN. anlamNnda olduQ gundan noktasal olarak her j ve z G için (k). j (z) j (z) , k . olur. dNr.. (k). (k) (k) . MR olduQ gundan R dNr. AyrNca tanNm nedeniyle j R (k). lim j (z) = j (z) olmasN nedeniyle | j | R yazNlabilir.. k. (2.7). Böylece. = max sup | j (z)| olur. Böylece MR dNr. MR kapalNdNr.(2.1) diferenG. siyel denklem sisteminin saQ gNndaki fj fonksiyonlarN üzerine konulan (a) hipotezi nedeniyle bir elemanN = ( 1 , 2 , ..., m ) MR olan fj (z, 1 (z) , ..., m (z)) fonksiyonu yardNmNyla tanNmlanan bile¸ske fonksiyon da G da sürekli olur. Bu durumda her MR için && 1 fj (, 1 () , ..., m ()) dd. z G. integrali ile tanNmlanan fonksiyon kompleks düzlemin tamamNnda tanNmlN ve sürekli olur. EQ ger 1 , 2 , ..., m fonksiyonlarN G de holomorf ve G da sürekli iseler bu durumda 1 Wj (z) = j (z) . && G. fj (, 1 () , ..., m ()) dd z. (2.8). olmak üzere W = (W1 , ..., Wm ) G da sürekli bir vektör fonksiyonu tanNmlar. Sonuç olarak (2.8) dönü¸sümü her MR elemanN W R elemanNna dönü¸stürür. Bu dönü¸süm operatörünü T

(18) ,f : MR . R. T

(19) ,f = W = (W1 , ..., Wm ). ¸seklinde gösterelim. S ¸ imdi = (1 , 2 , ..., m ) olmak üzere R < R e¸sitsizliQ ginin saQ glandNQ gNnN varsayalNm. DiQ ger taraftan & & && dd dd 2 mG z | z| G. G. 8.

(20) Schmidt e¸sitsizliQ ginin kullanNlmasNyla && 1 |fj (, 1 () , ..., m ())| dd |Wj (z)| |j (z)| +. | z| G. 1 R + 2 KR mG. e¸sitsizliQ gi yazNlabilir. Böylece 2 W = maxsup |Wj (z)| R + KR mG j. G olur. EQ ger G bölgesinin mG ölçüsü

(21) 2 KR mG R R e¸sitsizliQ gi saQ glanacak ¸sekilde seçilirse W R elde edilir. Bu durumda W = T

(22) ,f görüntüsü MR kümesi içine dü¸ser. Böylece a¸saQ gNdaki lemma ispatlanmN¸s oldu.. Lemma 2.2 EQ ger mG . (R R )2 4KR2. (2.9). e¸sitsizliQ gi saQ glanNrsa bu durumda T

(23) ,f operatörü MR kümesini yine kendi içine dönü¸stürür. DiQ ger taraftan T

(24) ,f. :. MR MR. T

(25) ,f = W = (W1 , ..., Wm ) , j = 1, 2, ..., m && fj (, 1 () , ..., m ()) 1 Wj =

(26) j (z) dd. z G. gNnN ara¸stNrolarak tanNmlanan T

(27) ,f operatörünün daralma dönü¸sümü olup olmadNQ ( = T

(28) ,f ' görüntülerini mak için her , ' MR elemanlarNnNn W = T

(29) ,f , W. (= W (1 , ..., W (m dNr. TanNm 'm) , W dikkate almak gerekir. Burada ' = (' 1 , ..., (2.8) den. (j (z) = 1 Wj (z) W. && G. fj (, 1 () , ..., m ()) fj (, ' 1 () , ..., ' m ()) dd z. (2.10). yazNlabilir. (2.6) Lipschitz ko¸sulu göz önüne alNnNrsa integrantNn payN için |fj (, 1 () , ..., m ()) fj (, ' 1 () , ..., ' m ())| LR 9. m % j=1. | j () ' j ()|. mLR max sup | j 'j | j. G. = mLR d (, ').

(30) e¸sitsizliQ gi elde edilir. (2.10) baQ gNntNsNna Schmidt e¸sitsizliQ ginin uygulanmasNyla 2m (j (z) m LR d (, ' ) 2 mG LR d (, ' ) mG Wj (z) W. bulunur. Böylece. . 2m . . ( ( d (T

(31) ,f , T

(32) ,f ' ) W W = maxsup Wj (z) Wj (z) mGLR d (, ') j. G e¸sitsizliQ gi elde edilir. Bu durumda a¸saQ gNdaki Lemma verilebilir:. Lemma 2.3. , mG < 4m2 L2R.

(33). 2m LR mG < 1. (2.11). e¸sitsizliQ gi saQ glanNrsa T

(34) ,f operatörü daralma dönü¸sümüdür.. Sonuç 2.1 (R R )2 mG < , 4KR2 mG <.

(35). KR = sup |fj , 1 , ..., m | , (MR yi kendi içine dönü¸stürmek için) G. , (LR , fj lere ili¸skin Lipschitz sabitlerinin maksimumu) ( daralma için) 4m2 L2R. e¸sitsizlikleri aynN anda saQ glandNQ gNnda T

(36) ,f operatörü MR kapalN kümesinden yine kendi için bir daralma dönü¸sümüdür. . (R R )2 K = min , 4KR2 4m2 L2R dersek mG < K e¸sitsizliQ gi saQ glandNQ gNnda T

(37) ,f : MR MR dönü¸sümü daralma olur. Bu durumda Banach Sabit Nokta Teoremine göre T

(38) ,f operatörü, MR sNnNfNnda bir tek sabit noktaya sahiptir. O halde T

(39) ,f = olacak ¸sekilde tek anlamlN bir MR elemanN vardNr. O halde W = için && fj (, 1 () , ..., m ()) 1 dd, j = 1, 2, ..., m Wj (z) = j (z) . z G. saQ glanNr. Bu durumda Wj (z) gösterilimi ile && fj (, 1 () , ..., m ()) 1 dd j (z) = j (z) . z G. 10.

(40) ifadesi özde¸s olarak aynN olur. Böylece a¸saQ gNdaki teorem ispatlanmN¸s oldu:. Teorem 2.1 = (1 , 2 , ..., m ) G’de holomorf, G da sürekli olsun. EQ ger G bölgesinin mG ölçüsü (2.9) ve (2.11) e¸sitsizlikleri saQ glanacak ¸sekilde yeterince küçük seçilirse bu takdirde j = fj (z, 1 (z) , ..., m (z)) , j = 1, 2, ..., m z diferensiyel denklem sisteminin dolayNsNyla && fj (, 1 () , ..., m ()) 1 j (z) = j (z) dd, j = 1, 2, ..., m. z G. integral denklem sisteminin bir tek çözümü vardNr.. Not 2.1 mG, (2.9) ve (2.11) ko¸sullarNnN saQ glamNyorsa, bu e¸sitsizlikler saQ glanacak ¸sekilde G bir alt bölgesi seçilebilir.. Not 2.2 R0 > R alNnNr ve z G için, | j (z)| < R0 , j = 1, 2, ..., m olmak üzere fj = fj (z, 1 (z) , ..., m (z)) fonksiyonlarN sürekli türetilebilir, yani. fj fj , . kNsmî türevlerine sahip ise bu takdirde fj ler Lipschitz ko¸sulunu da saQ glarlar. = u + iv olsun. Bu durumda kompleks kNsmî türev tanNmNndan

(41). fj fj fj fj fj fj = + , =i u v . olup, buradan fj nin u ve uv deQ gi¸skenlerine göre de kNsmN türevlerininin var ve sürekli olduQ gu sonucu ortaya çNkar. Böylece u ve uv fonksiyonlarNnNn da ilgili türevlerinin sürekli olduQ gu da elde edilmi¸s oldu. S ¸ imdi her z G ve | | R, = 1, 2, ..., m için. Re fj , Im fj , Re fj , Im fj u u v v. kNsmi türevlerinin M ile sNnNrlN olduQ gunu kabul edelim. Yani her z G için < M, < M, < M, <M Re f Im f Re f Im f j j j j u v v u. | | R, = 1, 2, ..., m, ' = u ' + i' v olmak üzere türev için ortalama deQ ger teoreminden. Re fj (z, 1 , ..., m )Re fj (z, ' 1 , ..., 'm) = 11. m % Re fj =1. u. Re fj (u u ' ) + (v v' ) v (2.12). .

(42) yazNlabilir. Burada. Re fj Im fj , v u. türevleri, (z, 1 , ..., m ) ve (z, ' 1 , ..., ' m ) nokta-. larNnN birle¸stiren doQ gru üzerindeki bir noktada hesaplanmN¸stNr. Benzer ¸sekilde (2.12) baQ gNntNsN Im fj için de yazNlabilir.. Böylece tekrar fj nin reel ve sanal kNsNmlarN birle¸stirilip |u u ' | | ' | |v v' | | ' |. e¸sitsizlikleri de göz önüne alNnNrsa LR = 4M Lipschitz sabitleri olmak üzere ' 1 , ..., ' m )| 4M |fj (z, 1 , ..., m ) fj (z, . e¸sitsizliQ gi elde edilir. Çünkü. m % =1. | ' |. ' 1 , ..., ' m )| |fj (z, 1 , ..., m ) fj (z, . = |Re fj (z, 1 , ..., m ) Re fj (z, ' 1 , ..., 'm). + i [Im fj (z, 1 , ..., m ) Im fj (z, ' 1 , ..., ' m )]|. |Re fj (z, 1 , ..., m ) Re fj (z, ' 1 , ..., ' m )|. + |Im f (z, 1 , ..., m ) Im fj (z, ' 1 , ..., ' m )| m j % Re f Re fj j = (u u ' ) + (v v' ) u v =1 m % Im fj Im fj + (u u ' ) + (v v' ) u v =1 m % Re fj Re fj |v v' | ' | + u |u u v =1 m % Im fj Im fj |v v' | ' | + + u |u u v =1 . m %. [M | ' | + M | ' |]. =1 m %. +. [M | ' | + M | ' |]. =1 m %. = 4M. =1. olur.. | ' |. Not 2.3 | | R olmak üzere -düzlemindeki, fj lerin tanNmlN olduQ gu R yarNçaplN diskleri lerin normlarN için R olmasN halinde teorem 12.

(43) geçerlidir. Ancak z G ve herhangi ler için fj lerin tanNmlN olmasN halinde herhangi bir için de teorem geçerli olabilir. EQ ger z G ve 1 , ..., m deQ gi¸skenlerine göre. fj . kNsmî türevleri var sürekli. ve sNnNrlN ise bu takdirde Lipschitz ko¸sulu daima saQ glanNr. herhangi bir ¸sekilde seçilmek üzere < R ve = R alNnabilir. Bu durumda LR Lipschitz sabiti tek olarak belirlenebilir. z G ve | | R olmak üzere (z, 1 , ..., m ) noktalarNnNn kümesi kompakt olduQ gundan bu küme üzerinde |fj | ifadeleri sNnNrlNdNr. Her z G, | | R için KR sayNlarN |fj | KR olarak seçilir. Böylece mG nin bir üst sNnNrN için gerekli olan tüm sabitler tespit edilebilir. Bu durumda G bölgesi, mG ölçüsü (2.9) ve (2.11) e¸sitsizliklerini saQ glayacak ¸sekilde seçilebilir. Kar¸sNt olarak G bölgesi, mG ölçüsü (2.9) ve (2.11) e¸sitsizliklerini saQ glayacak ¸sekilde küçültülebilir. S ¸ imdi KR sayNlarNnNn ve LR Lipschitz ko¸sulunun, fj (z, 1 , ..., m ) fonksiyglN onun da içinde tanNmlN olduQ gu düzlemindeki diskin R yarNçapNna nasNl baQ olduQ gunu görmek için basit iki örnek verelim. Her iki örnek de m = 1 hali için verildi. Yani düzlemde = (z) ¸seklindeki bir çözümün bulunmasN problemi ele alNnacaktNr. f (z, ) = A (z) . olsun. Burada bir doQ gal sayN ve |A (z)| k dNr. Bu durumda |f (z, )| KR = kR , z G, || R olup böylece ) ) , N f (z, ) f (z, ' ) = A ( (' = A (z) ( ' ) 1 + 2 ' + ... + '. olduQ gundan, || R, |' | W için. '| |f (z, ) f (z, ' )| k R 1 | . yazNlabilir. O halde LR = k R 1 elde edilir.. DiQ ger bir örnek olarak saQ g taraftaki fonksiyonu f (z, ) = A (z) 13. . 1 + ||2.

(44) ¸seklinde seçelim. N, 2, z G, |A (z)| k olsun. 0 (1 ||)2 = 1 2 || + ||2 olmasN nedeniyle nin bütün deQ gerleri için 2 || 1 + 2 olur. Böylece || 1 2 2 1 + ||. (2.13). yazNlabilir. Bu durumda her z G, || R için 1 |f (z, )| KR = kR 1 2 elde edilir. AyrNca. | 2 |. 1+| |2. olacaQ gNndan |f (z, )| KR .1.R 2 de yazNlabilir.. DiQ ger taraftan | 2 | = olmasN nedeniyle. ). * A (z). 1+ ' f (z, ) f (z, ') = ' ' (1 + ) 1 + ||2 1 + |' |2 ) * A (z). ' + ' ' ' = 1 + ||2 1 + |' |2. * ) A (z). 1. 1 ' ) + ' ' ' ( = 1 + ||2 1 + |' |2. yazNlabilir ve. ' = ( ' ) 1 + 2 ' + ... + ' 1 . (2.14). olmasNndan dolayN. | ' | |' | 1 || 1 + ... + | '| 1 + ||2 1 + |' |2 1 + ||2 1 + |' |2 1 + ||2 1 + |' |2. e¸sitsizliQ gi elde edilir. Öte yandan kö¸seli parantezde || ve |' | nNn çarpan olarak ayrNlmasNyla ve 1 1 1 2 1, 1 + || 1 + |' |2. olmasN nedeniyle, || < R, |' | < R. | ' | 1 1 | '| 2 2 R 2 1 + || 1 + |' | 14. (2.15).

(45) bulunur. AyrNca. ' ' 1 = ' 1 ' 1 + ' 1 ' 1 . (2.16). ' 1 için yazNlNrsa yazNlabilir. (2.14) de için yazNlan ifade, (2.16) deki 1 . ' = |' | , ' ' = |' | , 1 ' 1 = ( ' + ... + ' 1 ' ) 1 + 2 olduklarN da gözönüne alNnNrsa || < R, |' | < R. ' 1 ' ' 1 |' |2 ||. 2 | ' | + R 2 | '| 2 2 2 2 ( 1) R 1 + || 1 + |' | 1 + || 1 + |' | (2.17). elde edilir. |' |2 1 || 1 ve 2 1 + ||2 1 + |' |2. (2.18). ' | ile sNnNrlandNrNlae¸sitsizlikleri gözününe alNnNrsa (2.17) nNn saQ g tarafN 12 R 2 | bilir.Böylece (2.15) ve (2.18) den. |f (z, ) f (z, ' )| k R 2 | '|. elde edilir.Çünkü. * ) A (z). 1. 1 ' ) + ' ' ' ( 1 + ||2 1 + |' |2 . . 1 . 1. ' ' A (z) ' . ' | A (z) | + 1 + ||2 1 + |' |2 1 + ||2 1 + |' |2 k R 2 | ' | 1 2 | '| + R 2 2. |f (z, ) f (z, ' )| . dNr. Böylece Lipschitz sabiti LR = k R 2 olur.. Not 2.4 Bundan sonra. j z. = fj (z, 1 , ..., m ) , j = 1, 2, ..., m sisteminde fj (z, 1 , ..., m ). fonksiyonunun her z G ve 1 , ..., m için tanNmlN ve sürekli olduQ gunu kabul edeceQ giz. Her G için fj (, 1 () , ..., m ()) fonksiyonu sürekli ve böylece sNnNrlN olduQ gundan herhangi bir R elemanN için 1 Wj (z) = j (z) . && G. fj (, 1 () , ..., m ()) fj (, ' 1 () , ..., ' m ()) dd, z 15.

(46) j = 1, 2, ..., m operatörü tanNmlNdNr. IO kinci varsayNm olarak her z G ve herhangi 1 , ..., m için fj fj , kNsmî türevlerinin mevcut, sürekli ve sNnNrlN olduklarNnN varsayalNm. Bu durumda her z G ve herhangi = ( 1 , ..., m ) , ' = (' 1 , ..., ' m ) için Lipschitz ko¸sulu. saQ glanNr.. Bu durumda L Lipschitz sabiti fj lerin kNsmî türevlerinin mutlak. deQ gerinin sNnNrN olarak tespit edilebilir.. (2.8) integral operatörü her R için tanNmlN olduQ gundan, Banach sabit nokta teoremi R uzayNnNn tamamN için kullanNlabilir. Çünkü R nin tamamN da yine R nin kapalN bir alt bölgesidir. Bu durumda (2.8) integral operatörünün daralma olmasNnN garanti eden G nin ölçüsü ile ilgili olan mG <. 4m2 L2R. e¸sitsizliQ gine ihtiyaç vardNr. AyrNca G nin ölçüsü ile ilgili (2.11) e¸sitsizliQ ginin, özel olarak önceden verilen (z) holomorf fonksiyonundan baQ gNmsNz olduQ gu gösterilmelidir. Böylece G nin tamamNnda tanNmlN her holomorf fonksiyonu için ilgili çözüm olu¸sturulabilir. holomorf fonksiyonu ile çözümü arasNndaki ili¸skiyi ara¸stNrmak için ' fonsiyonuna kar¸sNlNk gelen bir ba¸ska diQ ger bir ' çözümünü gözönüne alalNm.Bu durumda. '= ' T

(47) ,f = , T,f . yazNlabilir. Bu denklem her bir bile¸sen için yazNlNr ve kar¸sNlNklN bile¸senler için fark olu¸sturulursa ' j (z) 1 j (z)' = j (z). && G. fj (, 1 () , ..., m ()) fj (, ' 1 () , ..., ' m ()) dd, z. elde edilir. Lipschitz ko¸sulunun da gözönüne alNnmasNyla buradan L && R ' ' j (z) j (z) j (z) + j (z) . G. m #. =0. | () ' ()| z. yazNlabilir. R uzayNndaki metrik tanNmNndan . ' j (z) d j , ' j ; | () ' ()| d (, ') j (z) 16. dd.

(48) yazNlabilir. Böylece Schmidt e¸sitsizliQ ginin kullanNlmasNyla,. mL ' ' j (z)| d , + | j (z) d (, ' ) 2 mG. bulunur..

(49) 2mL

(50) mG. = dersek. ' + d (, ' j | d , ') d (, ' ) = max sup | j j. (2.19). G. yazNlabilir. S ¸ imdi G nin mG ölçüsünü öyle belirleyelim ki integral operatörü için (2.11) daralma ko¸sulu saQ glansNn. Bu ise bize < 1 olmasN gerektiQ gini söyler.. onlarN. ' holomorf fonksiy çözümünü belirleyen , veya ' çözümünü belirleyen '= ' T

(51) ,f = , T,f . ' ya göre çözüm yapNlarak bunlarNn bile¸senleri denklemlerinden veya && fj (, 1 () , ..., m ()) 1 j (z) = j (z) + dd,. z &G& 1 fj (, ' 1 () , ..., ' m ()) ' j (z) = ' j (z) + dd, j = 1, 2, ..., m. z G. ¸seklinde elde edilir. Buradan fark olu¸sturulup farkNn mutlak deQ geri için aynN sNnNrlandNrma metodu kullanNlNrsa 1 ' j (z) d (, ' ) + mL2 mGd (, ') j (z) . ve buradan da. elde edilir.. ' d , (1 + ) d (, '). (2.20). = T

(52) ,f integral denkleminin holomorf fonksiyonu yardNmNyla olu¸sturulan çözümünü = ve benzer ¸sekilde T,f '= ' integral denkleminin ' ile göstererek (2.19) ve (2.20) dan çözümünü de ' = . ' + d (, d (, ' ) d , '). ' d , (1 + ) d (, '). ' ' + d , ' d , d , . ' ' (1 ) d , d , . '. d , ' d , 1 17.

(53) ve ikinci denklemden. ' d , 1+. ' d , . olup son iki e¸sitsizliQ gin birle¸stirilmesiyle. ' '. d , d , ' d , 1+ 1. (2.21). e¸sitsizliQ gi elde edilir.. ler G de sürekli G de holomorf fonksiyonlar olmak üzere (k) 1. (k) (k) (k) dizisini gözönüne alalNm. Burada = 1 , ..., m dNr. (k) 1 dizisinin (k). j. gNnN R uzayNndaki metriQ ge göre = (1 , ..., m ) vektör fonksiyonuna yakNnsadNQ (k). varsayalNm. Bu durumda R, metriQ ge göre kapalN olduQ gundan 1 ler k için G da j ye düzgün yakNnsar. Fonksiyonlar Teorisinde holomorf fonksiyonlar için Weierstrass YakNnsaklNk Teoremlerine göre j limit fonksiyonlarN holomorf olmak zorundadNr. ginden S ¸ imdi (k) = (k) , = olsun.Bu durumda (2.21) e¸sitsizliQ d (k) , . 1 d (k) , 1. (2.22). yazNlabilir. k için (k) olduQ gundan k + için d (k) , 0 olur. O halde (2.22) den k + için d (k) , 0 olup buradan (k) = (k). dizisi = ifadesine yakNnsar. BunlarNn bir sonucu olarak dönü¸sümünün sürekli olduQ gunu söyleyebiliriz. dönü¸sümü tek anlamlNdNr. Çünkü G sürekli, verilen her = ( 1 , ..., m ) glar. Bu durumda her çözümünde j ler (2.5) integral denklem sistemini saQ çözümüne kar¸sNlNk = (1 , ..., m ) holomorf fonksiyonu tek anlamlN olarak belirlenebilir. Tek anlamlNlNk nedeniyle operatörünün 1 tersi vardNr. Bu ters dönü¸süm her çözümüne = 1 ¸seklinde bir holomorf fonksiyon kar¸sNlNk getirir. çözümün ve holomorf fonksiyonu = T

(54) ,f operatörü yardNmNyla birbirine baQ glNdNr. ' ' = 1 EQ ger ' = , ' denirse o zaman (2.21) e¸sitsizliQ gi. (1 ) d (, ' ) d 1 , 1 ' (1 + ) d (, ') 18.

(55) formunda da yazNlabilir (2.21) e¸sitsizliQ ginden de operatörünün sürekliliQ gi elde edilir. Böylece son e¸sitsizlikten 1 operatörünün de sürekli olduQ gu görülebilir. G de holomorf, G de sürekli fonksiyonlarNn sNnNfNnN H ile ve diferensiyel denklem sisteminin G de sürekli çözümlerinin sNnNfNnN W ile gösterelim. Bu durumda H ve W, R sNnNfNnNn alt kümeleri olur. AyrNca H; operatörü yardNmNyla W sNnNfN üzerine tek anlamlN olarak dönü¸stürülebilir. Tek anlamlNlNk ve ve 1 Nn (iki taraIN) sürekliliQ ginden bir topolojik dönü¸sümdür. Böylece a¸saQ gNdaki önerme elde edilmi¸s oldu: dönü¸sümü, holomorf vektörlerin H kümesini, çözümler kümesine dönü¸stüren Topolojik bir dönü¸sümdür.. Not 2.5 Tutschke [4] çalN¸smasNnda, H üzerindeki sNnNrlandNrNlmasN ile aynN olan ve R sNnNfNnNn yine kendi içine dönü¸stüren bir topolojik dönü¸sümün var olduQ gunu gösterdi. S ¸ imdi. 1 ' 1 d , ' d , 1 ' d , 1+ 1. e¸sitsizliQ ginden a¸saQ gNdaki önermeyi (Yakla¸sNm Teoremini) verebiliriz:. Teorem 2.2 EQ ger G de holomorf, G de sürekli (k) vektör fonksiyonlarN dizisi , holomorf vektör fonksiyonuna düzgün olarak yakNnsarsa bu takdirde (k) yardNmNyla olu¸sturulan (k) çözümler dizisi de yardNmNyla olu¸sturulan çözümüne düzgün olarak yakNnsar.. Not 2.6 Bu teoremin ortaya çNkN¸sNnda ve Not 2.5 in elde edili¸sinde Cauchy singülerliQ gi olan katlN integral & & h () sup |h| 2 mG dd z G G. ¸seklinde Schmidt e¸sitsizliQ gi yardNmNyla sNnNrlandNrNldN. Burada h (z) , G de tanNmlN, sürekli ve sNnNrlN bir fonksiyondur. AyrNca Teorem 1 in elde edili¸sinde ve Not 3 19.

(56) de h nNn sNnNrlNlNQ gN h nNn G daki sürekliliQ ginden ortaya çNkar. Çünkü G sNnNrlN bir gi daha bölge ve G kompakttN. Bu tip integraller için 2 ayrN sNnNrlandNrma tekniQ vardNr. Önce G bölgesi için mG ölçüsü yerine G nin çapNnN kullanalNm. Bunun için önce r, z- merkezli disk için kutupsal koordinatlar olmak üzere & & & & && h () h () drd dd rdrd sup |h| z r G G. G. G. yazNlabilir.EQ ger z G ise G noktalarNnNn z ye olan uzaklNklarN G nin diamG yarNçapNndan daha büyük olmayacak ¸sekilde seçilebilir.. Not 2.7 Bir kümenin çapN, G nin iki¸ser iki¸ser tüm noktalarN arasNndaki uzaklNklarNn supremumu olarak tanNmlanNr. Yani diamG = sup |zi zj | , zi , zj G. G. SNnNrlN bölge için diamG daima sonludur. G nin açNk olmasN nedeniyle G den seçilen sabit bir z için G noktalarNnNn z ye olan uzaklNQ gN diamG den kesin küçük olur. Böylece her z G için & & h () dd sup |h (z)| 2 diamG z G G. bulunur.. DiQ ger bir sNnNrlandNrma ise p1 1q & & && && h1 h2 dd ! |h1 |p dd " ! |h2 |q dd " G. G. G. ¸seklindeki Hölder e¸sitsizliQ gidir. Burada p, q. 1 1 + =1 p q. (2.23). e¸sitliQ gini saQ glayan birbirinden farklN pozitif sayNlardNr. p, q sayNlarNna konjuge üsler denir. 1 z olmak üzere Cauchy-singülerliQ gine sahip katlN integrale Hölder-e¸sitsizliQ gi uyguh1 () = h () , h () =. lanNrsa 1q p1 & & && && h () dd " |h ()|p dd " ! dd ! z | z|q G. G. G. 20.

(57) elde edilir. SaQ g taraftaki ikinci integralde tekrar r, kutupsal koordinatlar kullanNlNrsa q < 2 olmak üzere 2q diamG && && && 2 dd rdrd r 1q = r drd 2 = (diamG)2q q = q | z| r 2q 0 2q G. G. G. bulunur. Böylece q < 2 ko¸sulu altNnda. &&. dd |z|q. integralin mevcut olduQ gu görülmü¸s. G. olur. q < 2 ve. 1 p. +. 1 q. = 1 olmasN nedeniyle p > 2 olmalNdNr. !. && G. p1. |h ()|p dd " = hp. dersek bu e¸sitlik h fonksiyonunun Lp normu adNnN alNr.. Sonuç olarak h fonksiyonu p > 2 olmak üzere Lp normuna sahipse bu durumda. & & h () 2 2q dd hp (diamG) z 2q G. e¸sitsizliQ gi geçerlidir. Bu sNnNrlandNrma, h fonksiyonunun sNnNrlN olmamasN halinde de kullanNlabilir. Yani bu son e¸sitsizlik sNnNrsNz h fonksiyonlarN için de geçerli olabilir. gini sistematik olarak Vekua kendi kitabNnda [[5]] bu sNnNrlandNrma tekniQ kullandN. Kesim 1.3 deki Lemma 1’in ispatNnda bu metodla

(58) 1 2q && dd mG 2 | z|q 2q. G. e¸sitsizliQ gi elde edildi.. Not 2.8 (2.5) integral denklem sisteminin tek anlamlN olarak çözülebilirliQ gi Banach Sabit nokta teoremi yardNmNyla hesaplanabilir. Ancak IO ntegral operatörün daralma olmasNnN saQ glamak için G bölgesinin mG ölçüsünün (2.11) e¸sitsizliQ gini saQ glamasN gerektiQ gini gördük. Ancak H. MEDEN [6] çalN¸smasNnda gösterdiQ gi gibi eQ ger Schauder Sabit Nokta Teoremi yardNmNyla çözümün varlNQ gN ve Liouville Teoremi yardNmNyla tekliQ gi ispatlanabilirse ölçüsü büyük olan G bölgeleri için de benzer sNnNrlandNrmalar yapNlabilir. 21.

(59) S ¸ imdi m = 1 için Liouville teoremini kullanarak sNnNrlandNrmayN görelim: gi¸skenleri için tanNmlN, f = f (z, (z)) , fonksiyonu her z G ve uygun deQ sürekli ve sNnNrlN olmak üzere 1 (z) = (z) . && G. f (, ()) dd z. (2.24). integral denklemi gözönüne alalNm. f = f (z, ) sNnNrlN olduQ gundan her z G için |f (z, )| K. (2.25). olacak ¸sekilde K sabiti vardNr. fonksiyonu G de holomorf, G da sürekli ve G nin de sNnNrlN bir bölge olduQ gunu kabul edelim. gu (2.24) ün saQ g tarafN, G da sürekli bir = (z) fonksiyonu (2.8) de olduQ gibi 1 W (z) = (z) . && G. f (, ()) dd z. ¸seklinde bir W = W (z) fonksiyonuna kar¸sNlNk getiren bir T

(60) ,f operatörü olarak tanNmlanabilir. W = W (z) fonksiyonu z düzleminin tamamNnda özellikle de G da tanNmlN ve sürekli bir fonksiyondur. Schmidt e¸sitsizliQ ginin tekrar kullanNlmasNyla W (z) (z) farkN için |W (z) (z)| . 1 2K mG K2 mG . yazNlabilir ve böylece 2K d (W, ) = sup |W | mG. G elde edilir.. (2.26). 2K mG = R. diyelim. G da tanNmlN, sürekli = (z) fonksiyonlarNnNn Banach uzayNnN R ile gösterelim. R den seçilen ve R deki metriQ ge göre fonksiyonuna olan uzaklNQ gN R den küçük kalan fonksiyonlarNnNn sNnNfNnN M,R ile gösterelim. Yani M,R = { R : d (, ) R} 22.

(61) olsun. (2.26) e¸sitsizliQ gi, her R için W = T

(62) ,f elamanNnNn; M,R sNnNfNna ait ginden dolayN M,R sNnNfNnN yine olduQ gun gösterir. Özellikle T

(63) ,f , (2.26) e¸sitsizliQ kendi içine dönü¸stürür. Böylece her MR için tanNma uygun olarak d (, ) = R gu yazNlabilir. = 0 dersek 0 R olup buradan 0 MR olduQ görülür.Buna göre M,R nin elemanN 0 MR olmak üzere = + 0 formunda yazNlabilir.Tersine eQ ger 0 MR ise + 0 elamanN M,R sNnNfNna aittir. Sonuç olarak, M,R sNnNfN , MR nin elamanlarNnNn bir holomorf fonksiyon ile toplamNndan elde edilen elemanlardan olu¸smaktadNr. DiQ ger taraftan MR sNnNfN Lemma1 nedeniyle kapalN olduQ gundan M,R sNnNfN da kapalNdNr. , R ve 0 < < 1 olsun. Bu durumda + (1 ) elemanN glayan doQ gru parçasN olarak tanNmlanNr. , elemanlarNnN birbirine baQ AyrNca , M,R ise o zaman R ve R olup böylece [ + (1 ) ] = ( ) + (1 ) ( ) + (1 ) R + (1 ) R = R olur. O halde , M,R elemanlarNnN birbirine baQ glayan doQ gru parçasN yine M,R sNnNfNna aittir. Yani , M,R için 0 < < 1 olmak üzere + (1 ) M,R olur. EQ ger bir lineer uzaydaki bir kümenin elamanlarNnNn iki¸ser iki¸ser birle¸stirilmesiyle olu¸san doQ gru parçalarN yine bu kümeye aitse bu kümeye konvekstir denir. Buna göre M,R konveks ve kapalN bir kümedir. S ¸ imdi ilave olarak her z G için f (z, ) nNn |f (z, ) f (z, ' )| L | '|. Lipschitz ko¸sulunu saQ gladNQ gNnN kabul edelim. 23. (2.27).

(64) Not 2.9 Not 2.2 deki Lipschitz ko¸sulu yerine uygun bir bölgede. f f , . türev-. lerinin var, sürekli ve sNnNrlN olduklarN hipotez olarak alNnabilir. Bu ko¸sullar yeterlidir. AlN¸sNlmN¸s olduQ gu gibi , M,R olduQ gunu kabul etmemiz yeterlidir.. ( = T

(65) ,f , ' M,R olmak üzere W = T

(66) ,f , W ' görüntü elemanlarN için. (Schmidt e¸sitsizliQ ginin de kullanNlmasNyla) & & 1 f (, ' ()) f (, ()) ( dd W (z) W (z) = z G. yazNlabilir. Buradan. olur.. 1 L ' 2 mG . 2L = mGd (, '). . 2L ( ( W (, W = (z) W (z) d W mGd (' , ) = sup W W. G EQ ger k + için d (k) , 0 olacak ¸sekilde bir (k) 1 dizisi olu¸s-. turulursa o zaman bu sNnNrlandNrmaya göre W (k) = T

(67) ,f (k) , W = T

(68) ,f görüntü elemanlarN için 2L d W (k) , W mGd (k) , . e¸sitsizliQ gi yazNlabilir. O halde k için d T

(69) ,f (k) , T

(70) ,f 0 olur.Bu ise T

(71) ,f. operatörünün sürekli olduQ gunu gösterir.. Not 2.10 EQ ger hk = hk (z) fonksiyonlarN G de tanNmlN, sürekli ve |hk | m ¸seklinde düzgün sNnNrlN ise bu takdirde 1 Hk (z) = . && G. hk (z) dd z. integrali de G da düzgün sNnNrlN ve bütün noktalarda aynN dereceden süreklidir.. Not 2.11. |hk | m olduQ gunda her Hk larNn tümü aynN zamanda sNnNrlN ise. buna aynN dereceden süreklidir denir. Böylece a¸saQ gNdaki önerme geçerlidir: 24.

(72) . M,R dizisi verilsin. Bu takdirde T

(73) ,f (k ) =1 görüntüleri yakNnsak olan (k ) alt dizisi vardNr. (k). 1. Not 2.12 T

(74) ,f operatörü R sNnNfNnNn tamamNnda tanNmlNdNr. AynN sonuç nedeniyle. sNnNrlN herhangi bir dizinin (yani her k için (k) M ) bir alt dizisi vardNr ve. ger bir ifade bu dizinin T

(75) ,f operatörü altNndaki görüntüsü de yakNnsak olur. DiQ ¸sekli ile T

(76) ,f operatörü tamdNr. (2.25) hipotezinden dolayN her z G ve her k = 1, 2, . . . için f z, (k) K. ger bir ifadeyle olur. DiQ ger taraftan W (k) = T

(77) ,f (k) olmasN yani diQ W (k). 1 = (z) . && G. f , (k) () dd z. olmasN nedeniyle W (k) 1 dizisi düzgün sNnNrlN ve aynN dereceden süreklidir. Arzela — Ascoli Teoreminden W (k) 1 dizisinin düzgün yakNnsak özellikle de R deki metriQ ge göre de düzgün yakNnsak olan W (k ) =1 alt dizisi vardNr. DiQ ger taraftan W (k) = T

(78) ,f (k ) olmak üzere T

(79) ,f operatörü (k ) =1 yakNnsak alt dizisi yine yakNnsak T

(80) ,f (k ) =1 alt dizisine dönü¸stürür.. M,R ve T

(81) ,f nin ortaya konulan özellikleri nedeniyle Schauder Sabit Nokta. Teoremi kullanNlabilir. Böylece T

(82) ,f operatörünün sabit noktasN = T

(83) ,f e¸sitliQ gini saQ glar. Bu durumda sabit noktasN (2.24) integral denkleminin çözümü olur ve nin holomorf bir fonksiyon olmasN nedeniyle , G bölgesinde = f (z, ) z diferensiyel denklemini saQ glar. S ¸ imdi tespit edilen bir (z) holomorf fonksiyonuna kar¸sNlNk (2.24) integral denkleminin çözümünün tek olup olmadNQ gNnN ara¸stNralNm. 25.

(84) Bunun (2.24) integral denkleminin ba¸ska G de sürekli diQ ger bir çözümün ' olduQ gunu kabul edelim. Bu durumda && 1 f (, ' ()) ' (z) = (z) dd. z G. olup buradan ' farkN dan baQ gNmsNz olarak && f (, ()) f (, ' ()) 1 (z) ' (z) = dd. z. (2.28). G. ¸seklinde elde edilir.. Cauchy singülerliQ gine sahip katlN integral z düzleminin tamamNnda tanNmlN sürekli ve sNnNrlN bir fonksiyon tanNmlandNQ gNndan, (2.28) önce yalnNzca G de tanNlanmN¸s ' fonksiyonunun tüm kompleks düzleme geni¸sletmesi olarak dü¸sünülebilir. Bu ¸sekilde geni¸sletilmi¸s fonksiyon ' olsun. (2.28) nin saQ g tarafN G Nn dN¸sNnda. holomorf bir fonksiyon tanNmladNQ gNndan ' , G nNn dN¸sNnda holomorftur. Böylece G bölgesinde. ( ' ) = f (z, ) f (z, ') z. olur. f = f (z, ) Lipschitz ko¸sulunu saQ gladNQ gNndan = L | ( ' ) '| z. yazNlabilir. O halde ' , G de (1.1).den. ' = e. formunda yazNlabilir. Burada , G de holomorf bir fonksiyondur. ise (1.1) de anlatNlan, Cauchy-singülerliQ gine sahip ve katlN integralle tanNmlanan bir fonksiyondur. Yani. g (z) = olmak üzere (z) = 1. &&. . 1 , z. 0. g() dd z. ,. = 0 =0. dNr.. G. ve ' fonksiyonlarN kompleks düzlemin tamamNnda sürekli ve sNnNrlN. olduklarNndan holomorf fonksiyonu kompleks düzlemde bir sürekli geni¸sletmeye sahiptir.. 26.

(85) ve ' fonksiyonlarN G Nn dN¸sNnda holomorf olup ve böylece de G. Nn dN¸sNnda holomorf fonksiyondur. G ve G nNn dN¸sNnda holomorf olan sürekli bir fonksiyon olan. = ( ' ) exp (). (2.29). fonksiyonu kompleks düzlemin tamamNnda holomorf olmak zorundadNr. ve ' fonksiyonlarNnNn sNnNrlNQ gNndan dolayN fonksiyonu da sNnNrlNdNr.. Klasik fonksiyonlar teorisindeki Liouville Teoreminden sabit olmak zorundadNr. Böylece (2.28) den z için (z) ' (z) 0 olur.. DiQ ger taraftan fonksiyonunun sNnNrlN olmasN z için (z) 0. olmasNnN gerektirir. O halde kompleks düzlemde sabit bir fonksiyon olan (z), kompleks düzlemde sNfNr olmak zorundadNr. O halde her z için özellikle de z G için (z) ' (z) = 0 olur. O halde (2.24) integral denkleminin G de birbirinden. farklN iki çözümü olamaz.. 27.

(86) 3. BI= R KOMPLEKS KISMI= TÜREVLI= DENKLEM SI= STEMI= I= ÇI= N SCHWARZ PROBLEMI= G C basit irtibatlN, düzgün sNnNra sahip bir bölge olmak üzere, G de. Re j |G. j = Fj (z, 1 , ..., m ) ; j = 1, 2, ..., m; z G z = j ; Im j (z0 ) = cj ; z0 G; j C1 G, R , 0 < < 1. (3.1) (3.2). sNnNr-deQ ger problemini göz önüne alalNm. Burada cj reel sabitler ve C1 G, R G = G G üzerinde türetilebilir Hölder-sürekli reel deQ gerli fonksiyonlarNn sNnNfNdNr.. (3.1) sistemindeki Fj , j = 1, 2, ..., m fonksiyonlarNnNn a¸saQ gNdaki ko¸sullarN saQ gladNQ gNnN varsayalNm: gi¸skenlerine göre sürekli ve (a) z G olmak üzere Fj ler m + 1 tane z, 1 ..., m deQ | j (z)| R, |Fj (z, 1 (z) , ..., m (z))| K (R) olacak ¸sekilde R ve K (R) sabitleri mevcut olsun. (b) | j (z)| R, j (z) R olmak üzere her z1 , z2 G için Fj ler m % |Fj (z, 1 , ..., m ) Fj (z, 1 , ..., m )| LR |z1 z2 | + | i i |. (3.3). (3.4). i=1. düzgün Lipschitz ko¸sulunu saQ glasNn. Burada LR , alN¸sNlmN¸s Lipschitz sabitlerinin maksimumudur. DiQ ger taraftan. = (1 , ..., m ) ; c0 = (c1 , ..., cm ) ; w = ( 1 , ..., m ) = (u1 + iv1 , ..., um + ivm ) = (u1 , ..., um ) + i (v1 , ..., vm ) =: u + iv olmak üzere, (3.1) (3.2) sNnNr deQ ger problemi w z. = F (z, w) , z G, w = ( 1 , ..., m ) , F = (F1 , ..., Fm ). u|G = , v (z0 ) = c0 , z0 G 28. (3.5).

(87) ¸seklinde vektörel formda yazNlabilir. (3.1) sisteminden && 1 Fj (, 1 () , ..., m ()) j (z) = fj (z) dd, = + i. z. (3.6). G. = fj (z) + TG Fj (z, 1 (z) , ..., m (z)) , j = 1, 2, ..., m olur. Burada fj ler G de keyH holomorf fonksiyonlar ve && Fj (, 1 () , ..., m ()) 1 TG Fj (z, 1 (z) , ..., m (z)) = dd. z G. dNr. Böylece (3.5) deki vektörel denklemin bir çözüm gösterimi && F (, w ()) 1 dd = f (z) + TG F (z, w) w (z) = f (z) . z. (3.7). G. olarak, vektörel integral denklem formunda yazNlabilir. Burada f = (f1 , ..., fm ) ve TG F (z, w) = (TG F1 (z, 1 (z) , ..., m (z)) , ..., TG Fm (z, 1 (z) , ..., m (z))) dir. w vektörel fonksiyonunun G sNnNrNndaki davranN¸sN ile f keyfî holomorf fonksiyonunun sNnNrdaki davranN¸sN arasNndaki baQ gNntNyN ortaya çNkarmak için önce f fonksiyonunun f = + f w ¸seklinde iki holomorf fonksiyonun toplamN ¸seklinde yazNlabildiQ gini kabul edelim. AyrNca ve fw holomorf fonksiyonlarN sNrasNyla Re w|G = u|G = Re |D = , Im w (z0 ) = v (z0 ) = Im (z0 ). (3.8). Re fw |G = Re TG F (., w)|G , Im fw (z0 ) = Im TG F (., w) (z0 ). (3.9). sNnNr ko¸sullarNnN saQ glasNn. Böylece (3.7) çözümü w (z) = + f w + TG F (z, w). (3.10). ¸sekline gelir.. Teorem 3.1 EQ ger (3.10) daki ve fw holomorf fonksiyonlarN sNrasNyla (3.8)(3.9) sNnNr ko¸sullarNnN saQ glarsa bu takdirde (3.10) ile tanNmlanan w fonksiyonu (3.5) Schwarz probleminin çözümü olur. j C G olmak üzere j skaler fonksiyonunun normunu | j (z2 ) j (z1 )| j = max sup | j (z)| , sup G z1 =z2 |z2 z1 | 29. (3.11).

(88) ¸seklinde tanNmlayalNm. Burada C G , G ta kompleks deQ gerli Hölder-sürekli fonksiyonlarNn sNnNfNdNr. Bu norma göre C G sNnNfN bir Banach uzayNdNr. S ¸ imdi. K = w = ( 1 , ..., m ) : j C G ; j = 1, ..., m. sNnNfNnN tanNmlayalNm. Bu sNnNftaki bir normu w =. max j . (3.12). j=1,2,...,m. ¸seklinde verebiliriz. Bu norma göre de K sNnNfN bir Banach uzayNdNr. K sNnNfNnNn bir alt sNnNfN olan R = {w = ( 1 , ..., m ) K : w R} K; 0 < R < +. (3.13). sNnNfNnN göz önüne alalNm. EQ ger w R ise Fj (z, 1 (z) , ..., m (z)) fonksiyonu G ta tanNmlN bir fonksiyon olur. Bu ¸sekilde G ta tanNmlN bile¸ske fonksiyonlarNn sNnNfNnN Fj (., w) ile gösterelim. Teorem 3.2 w R ise (3.4) ko¸sulu altNnda Fj (., w) C G dNr.. I= spat. w = ( 1 , ..., m ) R olsun. olsun. Bu takdirde olup i C G , i = 1, ..., m olup buradan her z1 , z2 G için. | i (z2 ) i (z1 )| i |z2 z1 | yazNlabilir. (3.4) ko¸sulunun göz önüne alNnmasNyla . . |Fj (z2 , w (z2 )) Fj (z1 , w (z1 ))| LR |z2 z1 | + . LR 1 +. m % i=1. m % i=1. . . | i (z2 ) i (z1 )|. i |z2 z1 |. olur. Bu da Fj (., w) C G olduQ gunu gösterir.. Lemma 3.1 R sNnNfN (3.12) normuna göre kapalNdNr. gNlma noktasNna I= spat. Göz önüne alNnan hipotezler altNnda, R’nin bir w yNQ 30.

(89) gu gösteryakNnsayan ve R’den seçilen her (wn ) 1 Cauchy dizisi için w R olduQ. ilebilir. (3.4) ko¸sulunun yanNnda ilave olarak F = (F1 , ..., Fm ) fonksiyonunun her w,w ' R için. ' F (., w) F (., w) ' L1 ww. (3.14). F (., 0) = M, M R+. (3.15). Hölder-Lipshitz ko¸sulunu saQ gladNQ gNnN varsayalNm. DiQ ger taraftan. olsun. Bu durumda F (., w) F (., w) F (., 0) + F (., 0) L1 w + M yazNlabilir. Böylece, eQ ger w R ise F (., w) L1 w + M L1 R + M. (3.16). olur. DiQ ger taraftan TG operatörünün TG : C G C1 G. gundan TG F (., w) C1 G . ¸seklinde olduQ gu bilinmektedir. F (., w) C G olduQ gerli Burada C1 G , birinci basamaktan türetilebilir Hölder-sürekli kompleks deQ fonksiyonlarNn sNnNfNdNr.. Lemma 3.2 fw holomorf fonksiyonu için Re fw |G = Re TG F (., w)|G Im fw (z0 ) = Im TG F (., w) (z0 ) , z0 G sNnNr ko¸sullarNnNn saQ glandNQ gNm varsayalNm. EQ ger TG F (., w) C1 G ise bu takdirde fw K1 () TG F (., w). e¸sitsizliQ gi saQ glanacak ¸sekilde K1 () sabiti vardNr. gNna bakNlabilir. I= spat. Bu lemmanNn ispatN için [1] kaynaQ 31. (3.17).

(90) EQ ger holomorf fonksiyonu (3.8) sNnNr ko¸sullarNnN saQ glarsa ve Re |G = ko¸sulundaki fonksiyonu G sNnNrNnda C1 G sNnNfNna aitse, bu takdirde C1 G olur. Bu durumda önceden verilen her ve c0 için K2. (3.18). olacak ¸sekilde bir K2 sabiti bulunabilir. Ortaya konulan hipotezler altNnda (3.10) daki , fw fonksiyonlarN C1 G sNnNfNna ait olur. S ¸ imdi. T : R . K. w W = + f w + TG F (z, w) gu açNktNr. DolayNsNyla operatörünü tanNmlayalNm. , fw , TG F (., w) C1 G olduQ W C1 G ,dir. (3.14) , (3.15) , (3.16) nNn göz önüne alNnmasNyla W + fw + TG F (., w) K2 + K1 () TG F (., w) + TG F (., w) = K2 + [K1 () + 1] TG F (., w) K2 + [K1 () + 1] TG F (., w) K2 + [K1 () + 1] TG (L1 R + M ) yazNlabilir. Böylece a¸saQ gNdaki lemmayN verebiliriz:. Lemma 3.3 EQ ger K2 + [K1 () + 1] TG (L1 R + M ) R. (3.19). e¸sitsizliQ gi saQ glanNrsa, T operatörü R sNnNfNnN yine kendi içine dönü¸stürür. (3.19) ko¸sulunun gerçeklendiQ gini varsayalNm. Bu takdirde T operatörü T : R . K. w W = + fw + TG F (z, w) ¸sekline gelir. S ¸ imdi T operatörünün hangi ko¸sullar altNnda daralma operatörü olduQ gunu gösterelim. 32.

(91) radan. ( R elamanNnN göz önüne alalNm. BuW R elemanNndan ba¸ska bir W ( = fw f w + TG [F (z, w) F (z, w)] ' WW. (3.20). ' R için yazNlabilir. Burada w. ( + f w +TG F (z, w) ' W=. dNr. DiQ ger taraftan fw f w holomorf fonksiyonu için. ' G Re [fw f w ]|G = Re [TG (F (z, w) F (z, w))]|. (3.21). ' (z0 ) Im [fw f w ] (z0 ) = Im [TG (F (z, w) F (z, w))]. sNnNr ko¸sullarN saQ glanNr. (3.21) ko¸sullarNnN saQ glayan holomorf fonksiyonlar için ' fw f w K1 () TG (F (z, w) F (z, w)). ' K1 () TG (F (z, w) F (z, w)). e¸sitsizliQ gi geçerlidir. Böylece (3.16) nNn göz önüne alNnmasNyla. ( WW. . ' fw f w + TG (F (z, w) F (z, w)) ' K1 () TG F (z, w) F (z, w) ' + TG F (z, w) F (z, w). ' = [K1 () + 1] TG F (z, w) F (z, w). ' [K1 () + 1] TG L1 w w. (3.22). ' dNr. elde edilir. Bu e¸sitsizliQ gin sol tarafN TG w TG w. Sonuç 3.1 EQ ger. [K1 () + 1] TG L1 < 1. (3.23). e¸sitsizliQ gi saQ glanNyorsa, T : R R operatörü bir daralma dönü¸sümüdür. Böylece a¸saQ gNdaki teoremi verebiliriz:. Teorem 3.3 K1 () , K2 , L1 , R, M pozitif reel sabitleri sNrasNyla (3.17), (3.18), 33.

(92) (3.14), (3.13) ve (3.15)’teki gibi olmak üzere, (3.19) ve (3.23) e¸sitsizliklerinin saQ glandNQ gNnN varsayalNm. Bu takdirde T : R . K. w W = TG w = + f w + TG F (z, w) olarak tanNmlanan operatörün T w = w ¸seklinde bir tek sabit noktasN vardNr. Sonuç 3.2 (3.12) normuna göre R sNnNfN bir Banach uzayNdNr. (3.19) e¸sitsizliQ ginin saQ glanmasN durumunda T : R K. operatörü R sNnNfNnN kendi. içine dönü¸stürür. (3.23) e¸sitsizliQ gi saQ glanNrsa, T operatörü bir daralma dönü¸sümü olur. Böylece Banach Sabit Nokta Teoremi’ne göre T : R R. oper-. atörünün TG w = w ¸seklinde bir tek w R sabit noktasN vardNr. Bu w sabit noktasN (3.5) sNnNr-deQ ger probleminin çözümüdür. DolayNsNyla w = ( 1 , ..., m ) çözümünün bile¸senleri için (3.1) sistemi ve (3.2) ko¸sullarN saQ glanNr. Böylece (3.1) sisteminin (3.2) ko¸sullarNnN saQ glayan çözümü var ve tektir.. 34.

(93) 4. TARTI¸SMA VE SONUÇ Bu tez, iki temel problemden olu¸smaktadNr. IO lk kNsNmda bir kompleks diferensiyel denklemin çözümünün varlNk ve tekliQ ginin bölgenin ölçüsüne nasNl baQ glN olduQ gunu Hölder normu kullanarak incelenmi¸stir. DolayNsNyla bu bir lokal problemdir. Kompleks düzlemde incelenen bu problem kompleks diferensiyel denklem sistemine ve n boyutlu kompleks uzaya da uygun ko¸sullar altNnda geni¸sletilebilir. Bu durum henüz incelenmemi¸stir. AyrNca Hölder uzayNnda Hölder normu kullanNlarak incelenen bu lokal problem Banach uzayN gibi ba¸ska fonksiyon uzaylarNnda da incelenebilir. Tezin ikinci kNsmNnda kompleks düzlemin bir basit irtibatlN bölgesinde tanNmlanan belli tipten kompleks diferensiyel denklem sistemi bir tek vektörel denkleme dönü¸stürülmü¸s ve daha sonra bu vektörel denklem için tanNmlanan Schwarz probleminin çözümünün varlNk ve tekliQ gi ara¸stNrNlmN¸stNr. Burada incelenen problem için varlNk ve teklik bölgenin ölçüsüne baQ glN deQ gildir. Bu problemde de Hölder normu kullanNlmN¸stNr. Bu normun dN¸sNnda ba¸ska fonksiyon uzayN normu kullanNlarak yeni sonuçlar elde edilebilir. AyrNca ele alNnan kompleks diferensiyel denklem sistemi için Dirichlet sNnNr deQ ger problemi henüz incelenmemi¸stir.. 35.

(94) KAYNAKLAR. [1] Tutschke, W. Partielle DiMerentialgleichungen, klassische, funktionalanalytische und komplexe Methoded, Teubner-TEXTE zur Mathematik, Band 27, 1983. [2] Tutschke, W. Partielle komplexe DiMerentialgleichungen in einer und mehreren komplexen Variablen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1977. [3] Tutschke, W. Lösung nichtlinearer partieller DiMerentialgleichungssyteme erster Ordnung in der Ebene durch Verwendung einer komplexen Normalform, Math. Nachr., 75, 283-298, 1976. ... [4] Tutschke, W. Topologische abschatzungsmethoden für Lösungen partieller komplexer DiMerentialgleichungen. Math. Nachr. 63, 89-95, 1974 [5] Vekua, I. N. , Verallgemeinerte analytische Funktionen, Berlin, AkademieVerlang, 1963. [6] Meden, H. , Zuordnung der Lösungen partieller DiMerentialgleicbungen und der holomorphe Funktionen bei Existenzbeweisen mittel des Schauderschen Fixunksatzes” Math. Machr. 67, 251-254, (1975). [7] Royden, H. L., Real Analysis, Macmillan Publishing Company, New York, 1988.. 36.

(95)