• Sonuç bulunamadı

Lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin beş farklı teknikle tam çözümleri

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin beş farklı teknikle tam çözümleri"

Copied!
93
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

T.C.

NİĞDE ÖMER HALİSDEMİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

LİNEER OLMAYAN KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BEŞ FARKLI TEKNİKLE TAM ÇÖZÜMLERİ

RASİME KÜBRA ESEN

Ocak 2018 YÜKSEK LİSANS TEZİ R. K. ESEN, 2018NİĞDE ÖMER HALİSDEMİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

(2)

T. C.

NİĞDE ÖMER HALİSDEMİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

LİNEER OLMAYAN KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BEŞ FARKLI TEKNİKLE TAM ÇÖZÜMLERİ

RASİME KÜBRA ESEN

Yüksek Lisans Tezi

Danışman

Doç. Dr. Durmuş DAĞHAN

Ocak 2018

(3)
(4)
(5)

ÖZET

LĐNEER OLMAYAN KISMĐ TÜREVLĐ DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐN BEŞ FARKLI TEKNĐKLE TAM ÇÖZÜMLERĐ

ESEN R.Kubra

Niğde Ömer Halisdemir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Durmuş DAĞHAN Ocak 2018, 82 sayfa

Bu tez çalışmasında, lineer olmayan kısmi türevli Drinfeld-Sokolov denklem sistemi, Modifiye-Benjamin-Bona-Mahony ve Boito-Leon-Manna-Pempinelli kısmi türevli diferansiyel denklemlerinin tam çözümleri, direkt integrasyon, (G'/ G) -açılım metodu,

(G'/ G) -açılım metodunun farklı formu, (G'/ G,1 / G) -açılım metodu ve (1 / G') -açılım metodu gibi beş farklı teknik kullanılarak elde edilmiştir. Literatürde mevcut çözümlerin yanı sıra literatür açısından yeni çözümlere ulaşılmıştır.

Anahtar Sözcükler: Drinfeld-Sokolov denklem sistemi, Modifiye-Benjamin-Bona-Mahony denklemi, Boito-Leon-Manna-Pempinelli denklemi, (G'/ G)-açılım metodu, (G'/ G)-açılım metodunun farklı formu, (G'/ G,1 / G)-açılım metodu, (1 / G')-açılım metodu.

(6)

SUMMARY

THE EXACT SOLUTIONS OF NONLINEAR PARTIAL DIFFERANTIAL EQUATIONS USING FIVE DIFFERENT TECNIQUES

ESEN R.Kubra

Niğde Ömer Halisdemir University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Professor. Dr. Durmus DAGHAN January 2018, 89 pages

In this thesis, Drinfeld-Sokolov system of equation, Modifiye-Benjamin-Bona-Mahony and Boito-Leon-Manna-Pempinelli nonlinear partial differential equations are studied analytically by using five different techniques which are direct integration, (G'/ G) - expansion method, different form of (G'/ G) -expansion method, two variable

(G'/ G,1 / G) -expansion method and (1 / G') -expansion method. We obtain the same solutions in literature. Moreover, we have obtained, for the first time, the new exact solutions of the equation mentioned above.

Keywords: Drinfeld-Sokolov, Modifiye-Benjamin-Bona-Mahony, Boito-Leon-Manna-Pempinelli,

(G'/ G)-expansion method, different form of (G'/ G)-expansion method,(G'/ G,1 / G)- expansion method, (1 / G')- expansion method.

(7)

ÖN SÖZ

Gerek ders gerek tez çalışmalarımda emeğini hiçbir zaman esirgemeyen değerli danışman hocam Doç. Dr. Durmuş DAĞHAN’a, tezin yazımı esnasında özverili yardımlarda bulunan Doç. Dr. Serkan KADER hocama, bu zamana kadar maddi manevi desteğini benden esirgemeyen, her zaman yanımda olan canım annem Müfide ESEN ve canım babam Aydın ESEN’e teşekkürü bir borç bilirim.

(8)

ĐÇĐNDEKĐLER

ÖZET ... iv

SUMMARY ... v

ÖN SÖZ ... vi

ĐÇĐNDEKĐLER DĐZĐNĐ ... .vii

ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ ... ix

SĐMGE VE KISALTMALAR DĐZĐNĐ ... x

BÖLÜM I GĐRĐŞ ... 1

BÖLÜM II GENEL KAVRAMLAR ... 3

BÖLÜM III KULLANILAN METOTLAR ... 5

3.1 ( '/G G - Açılım Metodu ... 5 )

3.2 ( '/G G - Açılım Metodunun Farklı Formu ... 9 )

3.3 ( '/G G,1 /G - Açılım Metodu ... 10 )

3.4 (1 /G - Açılım Metodu ... 12 ')

BÖLÜM IV UYGULANAN ÖRNEKLER VE TAM ÇÖZÜMLERĐ ... 16

4.1 Drinfeld-Sokolov Denklem Sisteminin Tam Çözümleri ... 16

4.1.1 Direkt integral ile çözüm ... 17

4.1.2 ( '/G G - açılım metodu ile çözüm ... 20 )

4.1.3 ( '/G G - açılım metodunun farklı formu ile çözüm ... 23 )

4.1.4 ( '/G G,1 /G -açılım metodu ile çözüm ... 26 )

(9)

4.1.5 (1 /G - açılım metodu ile çözüm ... 32 ')

4.2 Modifiye- Benjamin- Bona- Mahony Denkleminin Tam Çözümleri ... 34

4.2.1 Direkt integral ile çözüm ... 34

4.2.2 ( '/G G - açılım metodu ile çözüm ... 37 )

4.2.3 ( '/G G - açılım metodunun farklı formu ile çözüm ... 38 )

4.2.4 ( '/G G,1 /G - açılım metodu ile çözüm ... 41 )

4.2.5 (1 /G - açılım metodu ile çözüm ... 46 ')

4.3 Boito-Leon-Manna-Pempinelli Denkleminin Tam Çözümleri ... 47

4.3.1 Direkt integral ile çözüm ... 48

4.3.2 ( '/G G - açılım metodu ile çözüm ... 50 )

4.3.3 ( '/G G - açılım metodunun farklı formu ile çözüm ... 56 )

4.3.4 ( '/G G,1 /G - açılım metodu ile çözüm ... 61 )

4.3.5 (1 /G - açılım metodu ile çözüm ... .69 ')

BÖLÜM V SONUÇLAR ... 72

KAYNAKLAR ... 74

ÖZ GEÇMĐŞ ... 81

TEZ ÇALIŞMASINDAN ÜRETĐLEN ESERLER ... 82

(10)

ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ Şekil 4.1. BLMP denkleminin G'

G

 

 

 -açılım metodunda birinci tip 1. çözümü...53

Şekil 4.2. BLMP denkleminin G' G

 

 

 -açılım metodunda birinci tip 2. çözümü...54

Şekil 4.3. BLMP denkleminin G' G

 

 

 -açılım metodunun farklı formuyla birinci tip çözümü………...59

Şekil 4.4. BLMP denkleminin ' 1 G , G G

 

 

 -açılım metoduyla 1. çözümü………...65

Şekil 4.5. BLMP denkleminin ' 1 G , G G

 

 

 -açılım metoduyla 2. çözümü…………...65

(11)

SĐMGELER VE KISALTMALAR DĐZĐNĐ

Simgeler Açıklama

c i Đntegrasyon sabitleri

λ

Keyfi sabit

µ Keyfi sabit η Geçiş değişkeni U' U

η

V' V

η

W'W

η

Vp Açısal hız φ (G'/ G) ϕ (1 / G)

ν

c12c22 (λ<0)

ν

c12+c22 (λ >0)

Kısaltmalar Açıklama

DS Drinfeld-Sokolov Denklem Sistemi KdV Korteweg-de Vries Denklemi BBM Benjamin-Bona-Mahony Denklemi

MBBM Modifiye- Benjamin-Bona-Mahony Denklemi BLMP Boito-Leon-Manna-Pempinelli Denklemi

(12)

BÖLÜM I

GĐRĐŞ

Fen ve mühendislik gibi farklı disiplinlerde bir çok problem lineer olmayan diferansiyel denklemler vasıtasıyla modellenmekte ve çözülmeye çalışılmaktadır. Bunlardan biri, dalga denklemlerinin çözümüdür ki bu çözümler özellikle plazma fiziğinde çok önemli bir yere sahiptir. Model denklemlerin lineer olmaması çözümü oldukça karmaşık ve zor hale getirmektedir. Lineer olmayan denklemlerin çözümlerinde bazen birden çok çözümle karşılaşılabilmektedir. Bu durum bilim insanlarını, denklemleri analitik olarak çözebilen yeni teknikler bulmaya ve kullanmaya yöneltmektedir. Nonlineer kısmi türevli denklemlerin analitik tam çözümleri için kullanılan bir çok yöntem ve yeni yaklaşımlar literatürde gün geçtikçe artmaktadır (Ablowitz ve Clarkson,1991 ;Yokuş, 2011).

Tez kapsamında bu yeni yaklaşımlardan; (G'/ G)-açılım metodu (Wang vd., 2008), (G'/ G)-açılım metodunun farklı formu (Li ve Wang, 2009), iki değişkenli(G'/ G, 1 / G) -açılım metodu (Li vd., 2010) ve (1 / G ')- açılım metotları (Yokuş, 2011) kullanılmıştır. Bu yeni metotların uygulaması için lineer olmayan Dirinfeld-Sokolov (DS) denklem sistemi (Wang, 2002; Yıldız, 2011, 2015), Benjamin-Bona-Mahony (Benjamin vd., 1972) denkleminin modifeye edilmiş versiyonu olan Modifiye- Benjamin-Bona-Mahony (MBBM) (Aslan, 2009; Yıldız, 2011) ve Boiti-Leon-Manna- Pempinelli (BLMP) (Gilson vd., 1993; Zamiri, 2013) denklemleri ele alınmıştır. Bu üç farklı denklemin analitik tam çözümleri için yukarıda bahsedilen dört farklı teknik kullanılmıştır. Ayrıca, yine bu üç denklemin tam çözümleri için direk integrasyon tekniği de uygulanmıştır. Farklı metotlar kullanılarak elde edilen çözümler hem kendi aralarında hem de literatürle karşılaştırılmıştır. DS ve MBBM denklemleri için literatürle uyumlu çözümlere ulaşılmıştır. BLMP denklemi için literatür açısından yeni çözümler elde edilmiştir. Bununla birlikte, elde edilen bazı yeni çözümlerin grafikleri iki boyutta çizdirilmiştir.

Lineer olmayan bu tip denklemlerle elde hesap yapmak son derece uzun, zaman alıcı ve karmaşık hesap gerektirmektedir. Bu sebepten dolayı da hesaplarımızı farklı sembolik

(13)

paket programlar vasıtasıyla yapabilmekteyiz. Bu tez çalışmasında, hesaplamalar yapılırken denklemlerin çözümü için metotların kullanılmasında REDUCE paket programı, elde edilen tam çözümlerin denklemleri sağladığının gösterilmesinde MATHEMATICA paket programı kullanıldı. Ayrıca çözümlerin grafikleri için MATLAB programı kullanılmıştır.

Tez kapsamında yapılan çalışmalar beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde konuya genel anlamda giriş yapılmış olup, ikinci bölümde ise temel kavramlardan bahsedilerek çözülecek denklemler tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde tez kapsamında kullanılacak dört farklı metot tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde; DS denklem sistemi, MBBM ve BLMP denklemlerinin analitik tam çözümleri beş farklı teknikle elde edilmiştir. Beşinci ve son bölümde ise yapılan çalışmanın sonuçları verilmiştir.

(14)

BÖLÜM II

GENEL KAVRAMLAR

Tanım 2.1: x bağımsız değişken, y=U x( ) bağımlı değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre çeşitli mertebeden türevleri y y y', '', ''',...,y( )n olmak üzere adi türevli diferansiyel denklem kapalı formda

( , , ', '', ''',..., ( )n ) 0

P x y y y y y = (2.1)

ile verilir.

Tanım 2.2: , ,...x t bağımsız değişkenler, y=U x t( , ,...) bağımlı değişken olmak üzere bağımlı değişkenin bağımız değişkenlere göre çeşitli mertebelerden kısmi türevlerini içeren diferansiyel denklem kapalı formda

( , t, x, tt, xt,....) 0

P U U U U U = (2.2)

şeklinde verilir.

Tanım 2.3: (Benjamin-Bona-Mahony Denklemi (BBM))

Benjamin, Bona ve Mahony tarafından yazılmış olan lineer olmayan Benjamin-Bona- Mahony denklemi Korteweg de Vries (KdV) denkleminin bir alternatif modelidir ve

t x x xxt 0

U +U +UUU = (2.3)

formunda ifade edilir (Benjamin vd., 1972). Burada U =U(x, t), xR t, ≥0 şeklinde tanımlıdır.

(15)

Tanım 2.4:(Modifiye-Benjamin-Bona-Mahony Denklemi (MBBM))

Benjamin-Bona-Mahony denkleminin modifiye versiyonu olan Modifiye-Benjamin- Bona-Mahony Denklemi, farklı fiziksel sistemlerin çözümünde kullanılır ve

2 0, (x, t), , 0

t x x xxt

UUU U −γU = U =U xR t≥ (2.4)

şeklinde verilir (Aslan, 2009).

Tanım 2.5: (Dirinfeld-Sokolov Denklem Sistemi (DS))

Lineer olmayan Dirinfeld-Sokolov denklem sistemi, ,x t bağımsız değişkenler, U ve V bağımlı değişkenler olmak üzere;

( )

2 0

3 3 0

t x

t xxx x x

U V

V aV bU V kUV

+ =

− + + = (2.5)

formunda verilir (Dağhan vd., 2015).

Tanım 2.6: (Boiti-Leon-Manna-Pempinelli Denklemi (BLMP))

Boiti-Leon-Manna-Pempinelli denklemi lineer olmayan kısmi türevli bir diferansiyel denklem olup, U bağımlı değişken ve , y,x t bağımsız değişkenler olmak üzere;

3 3 0

yt xxxy xx y x xy

U +UU UU U = (2.6)

şeklindedir (Arbabi ve Najafi, 2016).

(16)

BÖLÜM III

KULLANILAN METOTLAR

3.1 G' G

 

 

 -Açılım Metodu

Bu metot, ilk defa Wang, Li ve Zhang (Wang vd., 2008) tarafından ortaya atılmış, nonlineer denklemlerin tam çözümlerinin bulunmasında kullanılmıştır. (2.2) denklemi ile kapalı formda verilen denklemde

( ) ( )

, ,

U η =U x t η= −x wt (3.1)

değişken dönüşümü yapılırsa, aşağıdaki adi türevli denkleme ulaşılır.

(

, ', ', 2 '' '''....

)

0

P UwU U w UwU = (3.2)

λ µ keyfi sabitler olmak üzere ikinci mertebeden sabit katsayılı lineer homojen ,

( ) ( ) ( )

'' ' 0

G η +λG η +µ ηG = (3.3)

diferansiyel denklemin çözümünden faydalanarak çözüm;

( )

1 0

1

... 0

' '

m m

m m

U G G

G G

   

=     + + =

 

+

 

α α α

η

(3.4)

formunda aranır. (3.2) denkleminde derecesi en yüksek, lineer olan ve lineer olmayan terimler arasında balans yapılarak m sabiti bulunur. Bu m sabiti belirlendikten sonra elde edilen cebirsel denklem takımında katsayılar sıfıra eşitlenerek bilinmeyen

m, m 1, ...., 0

α α α katsayıları ve varsa ekstra şartlar hesaplanır. Burada, (3.3) ile verilen denklemin çözümü,

λ

2−4

µ

’ye göre hiperbolik, trigonometrik ve rasyonel fonksiyonlar türünden yazılır (Wang vd., 2008).

(17)

Birinci tip: λ2 −4µ>0

(3.3) ile verilen denklemin çözümü c ve 1 c keyfi sabitler olmak üzere 2

1 2

2 4 2 4

2 2 2

( )

G e c e c e

λ µ λ µ

λη η η

η

 

 + 

 

 

=

şeklinde olur ve burada hiperbolik fonksiyonlar

2 2

2 4

2 4 4

cosh sinh

2 2

e

λ µη λ µ λ µ

η η

− −

 +  

=    

   

2 2

2 4

2 4 4

cosh sinh

2 2

e

λ µη λ µ λ µ

η η

− −

 −  

=    

   

kullanılırsa çözüm

( ) ( )

2 2

2 1

2 2

2 2

2 2

2

1 2 1 2

( ) 4 4

c cosh sinh

2 2

4 4

c cosh sinh

2 2

4 4

c c cosh c c sinh

2 2

G e

e

e

λη

λη

λη

η λ µη λ µη

λ µη λ µη

λ µη λ µη

  −   − 

    

= +

   

    

 

  −   − 

    

+ −

   

    

 

  −   − 

    

= + + −

   

    

 

olarak elde edilir. Burada

(

c1 +c2

)

=c1 ,

(

c1 c2

)

=c2 şeklinde seçilirse çözüm

2 2

2

1 2

( ) 4 4

c cosh c sinh

2 2

G e

λη

η

λ µ λ µ

η η

  −   − 

=   +  

formunda olur. G'( )η ifadesi hesaplanırsa,

(18)

olarak bulunur. G

( )

η ve G'

( )

η ifadeleri yerlerine yazılırsa;

( )

2 2

1 2

2

2 2

1 2

4 4

c sinh c cosh

2 2

' 4

2 2 4 4

c cosh c sinh

2 2

G G

λ µη λ µη

λ µ

η λ

λ µ λ µ

η η

  −   − 

  +  

   

 −   

  =− +     

        

      − +  − 

   

    

 

(3.5)

sonucuna varılır.

Đkinci tip: λ2 −4µ<0

c ve 1 c keyfi sabitleri olmak üzere (3.3) ile verilen denklemin çözümü 2

( )

1 2

2 2

4 4

2 2

i i

G

c e c e

η

λ µ λ η λ µ λ

η

− + − − − −

= +

şeklinde olur. Burada

4 2

2 β = µ λ

olmak üzere

( )

2

(

1 i 2 i

)

G e c e c e

λη βη βη

η

= +

şeklinde yazılır. Bu ifade tekrar düzenlenirse,

2 2

2

1 2

2 2 2

2

1 2

'( ) 4 4

c cosh c sinh

2 2 2

4 4 4

c sinh c cosh

2 2 2

G e

e

λη

λη

η λ λ µη λ µη

λ µ λ µ λ µ

η η

  −   − 

−      

=     +  

 

 −   −   − 

 

     

+ +

     

     

(19)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

1 2

2

1 2 1 2

cos i sin cos isin

c c cos c c sin

G e c c

e i

λη

λη

η βη βη βη βη

βη βη

=  + + − 

=  + + − 

bulunur. Benzer şekilde

(

c1 +c2

)

=c1 ,i

(

c1 c2

)

=c2 seçilirse

( ) [

1 2

]

2 c cos sin

G e c

λη

η βη βη

= +

olup, G' ( )

G η

 

 

  ifadesinde β değeri açık olarak yazılırsa (3.3) ile verilen denklemin genel çözümü

( )

2 2

1 2

2

2 2

1 2

4 4

sin cos

2 2

4 '

2 2 4 4

cos sin

2 2

c c

G G

c c

µ λ η µ λ η

µ λ η λ

µ λ η µ λ η

  −   − 

−  +  

 −   

  =− +     

        

      − +  − 

(3.6)

şeklinde elde edilir.

Üçüncü tip: λ2 −4µ =0

c ve 1 c keyfi integrasyon sabitleri olmak üzere (3.3) denkleminin genel çözümü 2

( )

1 2

2 2

G ce c e

λη λη

η η

=

+

şeklinde olur ve böylece G' G

 

 

  ifadesi aşağıdaki formda yazılır.

( )

2

1 2

'

2

G c

G c c

η λ

η

 

  =− +  

  +

    (3.7)

(20)

3.2 G' G

 

 

 -Açılım Metodunun Farklı Formu

' G

G

 

 

 -açılım metodunun farklı formu Li ve Wang tarafından geliştirilmiştir (Li ve Wang, 2009). (2.2) ile verilen denkleme (3.1) ile verilen dönüşüm uygulanırsa (3.2) denklemi elde edilir ve çözümü

( )

m ' m .... m ' m ...

G G

U η α G α G

   

=   + +   +

    (3.8)

formunda olur. (3.2) denkleminde en yüksek mertebeli lineer ve lineer olmayan terimler arasında ayar yapılarak m sabiti hesaplanır. (3.8) denklemi (3.2) ile verilen denklemde yerine yazılarsa cebirsel bir denklem takımı elde edilir. Bu cebirsel denklem takımı çözülürse U( )η çözümüne ulaşılır. Burada yardımcı denklem

( ) ( )

'' 0

G η +µG η = (3.9)

olarak alınırsa (3.9) denkleminden G' G

 

 

  ifadesi µ ’nün durumuna göre hiperbolik, trigonometrik ve rasyonel formda aşağıdaki şekilde verilir (Li ve Wang, 2009):

Birinci tip: − >

µ

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

sinh cosh

'

cosh sinh

c c G c

G c

µ

µη µη

µη µη

η

 + 

 

  = −  

   

   + 

− −

− −

. (3.9a)

Đkinci tip: − <

µ

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

sin c cos

c

' c

c cos sin

G G

 + 

 

  =  

   

   + 

µ

− µη µη

µη µη

η

. (3.9b)

(21)

Üçüncü tip: − =

µ

0

( )

2

1 2

'

G c

G

η

c c

η

  =

  +

  . (3.9c)

3.3 ' 1 G ,

G G

 

 

 -Açılım Metodu

Bu bölümde, lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin hareketli dalga çözümlerinde kullanılan ' 1

G , G G

 

 

  açılım metodu tanıtılacaktır (Li vd., 2010). λ ve µ keyfi sabitler olmak üzere, ikinci mertebeden, sabit katsayılı, homojen olmayan, aşağıda verilen adi türevli lineer denklem göz önüne alınsın.

''( ) ( )

G η +λ ηG = (3.10) µ

Burada

' G

φ

=   G

  , 1

ϕ

G

=

şeklinde tanımlanırsa,

' 2 , '

φ

= −

φ

+

µϕ λ ϕ

− = −

φϕ

(3.11)

ifadeleri elde edilir. (3.10) ile verilen adi türevli denklemin çözümleri λ parametresine göre aşağıdaki üç durumda incelenebilir (Li vd., 2010).

Birinci tip: λ < 0

(3.10) ile verilen denkleminin λ <0 durumunda genel çözümü

(22)

( )

1 2

G

η

c

e

λη c

e

λη

µ λ

= + + (3.12)

şeklindedir. Burada e λη ve e ληifadeleri

( ) ( )

sinh

cosh

e

λη

=

−λη + −λη

( ) ( )

sinh

cosh

e

λη

=

−λη − −λη

olarak yazılır. Böylece (3.10) ile verilen denklemin genel çözümü,

( ) (

1 2

)

cosh

( ) (

1 2

)

sinh

( )

G η c c λη c c λη µ

+ − + − − +λ

=

olur. Burada

(

c1c2

)

=c1 ,

(

c1+c2

)

=c2 şeklinde seçilirse (3.10) ile verilen denkleminin çözümü hiperbolik fonksiyonlar cinsinden elde edilmiş olup

( )

1sinh

( )

2cosh

( )

G c c µ

η λη λη

− + − + λ

=

(3.13)

şeklinde yazılır. c1 ve c2 keyfi sabitler olmak üzere ν =c12c22 için gerekli düzenlemeler yapılırsa,

( )

2 2

2 λ 2 2

ϕ φ µϕ λ

λ ν µ

= − − +

+ (3.14)

eşitliğine ulaşılır. Bu durumda aşağıdaki şekilde gösterilir.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

cosh sinh

'

sinh cosh

c c

G

G c c

λη λη

φ η λ

λη λη µ

λ

− + −

 

=  = −

  − + − +

( )

1

( )

2

( )

1 1

sinh cosh

G c c

ϕ η λη λη µ

λ

 

=  =

  − + − +

(23)

Đkinci tip: λ >0

(3.10) ile verilen denkleminin λ >0 durumda genel çözümü

( )

1 2

i i

G η ce λη c e λη µ λ

+ +

= (3.15)

şeklindedir. Burada

e

λiη ve

e

λiηifadeleri

( )

sin

( )

i

cos

e

λη

=

λη +i λη

( )

sin

( )

i

cos

e

λη

=

λη −i λη

olarak yazılır. Böylece (3.15) ile verilen denklem

( ) (

1 2

)

cos

( ) (

1 2

)

sin

( )

G η c c λη c c i λη µ

= + + −

şeklinde yazılabilir. Burada i c

(

1c2

)

=c1,

(

c1+c2

)

=c2 şeklinde seçilirse (3.10) ile verilen denkleminin çözümü trigonometrik fonksiyonlar cinsinden olup

( )

1sin

( )

2cos

( )

G c λη c λη µ

η

= + + λ (3.16)

şeklinde yazılır. Burada c ve 1 c2 keyfi sabitler olmak üzere 2 2

1 2

c c

ν = +

için,

( )

2 2

2 λ 2 2

ϕ φ µ ϕ λ

λ ν µ

= − +

− (3.17)

ifadesi elde edilir. Böylece

(24)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

cos sin

'

sin cos

c c

G

G c c

λη λη

φ η λ µ

λη λη

λ

  −

=  = + +

( )

1

( )

2

( )

1 1

sin cos

G c c

ϕ η λη λη µ

λ

 

=  =

  + +

olarak yazılır.

Üçüncü tip: λ =0

(3.10) ile verilen denkleminin λ = durumu için genel çözüm rasyonel fonksiyonlar 0 cinsinden olup,

( )

2 1 2

G

µ

2 c c

η

=

η

+

η

+ (3.18)

şeklinde yazılır. Burada c ve 1 c keyfi sabitler olmak üzere 2

( )

2 2

2

1 2

1 2

2

c c

ϕ φ µϕ

= µ −

− (3.19)

ifadesi elde edilir. Böylece φ ve ϕ ifadeleri

( )

1

2

1 2

'

2

G c

G c c

φ η µη

µ η η

  +

=  =

  + +

( )

2

1 2

1 1

2

G c c

ϕ η

µη η

=   =

  + +

olarak bulunur.

' 1, G

G G

 

 

 -açılım metodunun temel adımları aşağıdaki şekilde özetlenebilir. (3.2) ile verilen adi türevli denklemin çözümü metot gereği

(25)

( )

1

0 0

N N

i i

i i

i i

U a b

= =

=

+

η φ φ ϕ (3.20)

şeklinde aranır (Li vd., 2010). (3.2) denkleminde en yüksek mertebeli lineer olan ve lineer olmayan terimler arasında balans yapılarak N sayısı belirlenir. (3.20) denklemi (3.2) denkleminde yerine yazılırsa (3.3) denklemiyle birlikte (3.4) , (3.7) ve (3.9) denklemleri kullanılırsa i=1, 2,...,N için a ,i b ,i

λ

,µ ve c’ye bağlı φ ve ϕ değişkenlerine göre iki değişkenli bir cebirsel denklem elde edilir. Bu cebirsel denklemin katsayıları sıfıra eşitlenerek a , i b bilinmeyen katsayılar hesaplanır ve eğer i varsa ekstra şartlar elde edilir. Bulunan bu katsayılar (3.20) denkleminde yerine yazılırsa (3. 2) ile verilen adi türevli denklemin denkleminin çözümleri elde edilir.

Son olarak (3.1) ile verilen dönüşüm uygulanarak (2.2) ile verilen kısmi türevli denklemin tam çözümlerine ulaşılır.

3.4 1 ' G

 

 

 -Açılım Metodu

Lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin hareketli dalga çözümlerinde kullanılan bir diğer metot 1

' G

 

 

 -açılım metodudur (Yokuş, 2011). Çözüm önerisi metot gereği

( )

0

1 '

N i i i

U η α G

=

 

=  

 

(3.21)

şeklinde olup, en yüksek mertebeli lineer olan ve lineer olmayan terimler arasında balans yapılarak N sayısı bulunur. (3.21) denklemi (3.2) denkleminde yerine yazılarak

α , i

λ

, µ ve w ye bağlı 1 ' G

 

 

  değişkenine göre cebirsel bir denklem elde edilir. Bu cebirsel denklemin katsayıları sıfıra eşitlenerek αi

(

i =1, 2, 3,...,N

)

katsayıları hesaplanır.

Bu metotta kullanılan yardımcı denklem

''( ) '( ) 0

G η +λG η + = (3.22) µ

(26)

şeklinde olup, çözüm yalnızca hiperbolik fonksiyon cinsinde aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. (3.22) denkleminin genel çözümü

1 2

( )

Gη =c

e

λη

+

cµη

λ (3.23)

şeklinde olup, bu çözüm hiperbolik fonksiyonlar cinsinden

1 2

( ) (cosh sinh )

G c c µη

η λη λη

= −

+

− λ

şeklinde yazılabilir. Böylece 1 '( )

G η ifadesi

( ) ( )

( )

1

1

'( ) cosh sinh

G c

λ

η =− +µ λ λη − λη (3.24)

şeklinde elde edilir (Yokuş, 2011).

(27)

BÖLÜM IV

UYGULANAN ÖRNEKLER VE TAM ÇÖZÜMLERĐ

4.1 Drinfeld-Sokolov Denklem Sisteminin Tam Çözümleri

(2.5) ile verilen DS denklem sistemi direkt integrasyon, G' G

 

 

 -açılım metodu ve '

G G

 

 

 -açılım metodunun farklı formu kullanılarak elde edilmiştir (Dağhan vd., 2015).

Bu bölümde, elde edilen bu çözümler tekrarlanmış, ilave olarak farklı yeni iki teknikle DS denklem sisteminin analitik tam çözümleri elde edilmiştir. (2.5) ile verilen DS denklem sistemine η = −x βt dönüşümü uygulanırsa

( )

2

' ' 0

U V

β

− + = (4.1a)

' ''' 3 ' 3 ' 0

V +aVbU VkUV =

β (4.1b)

adi diferansiyel denklem sistemi elde edilir (Yıldız, 2011; Dağhan vd., 2015). Burada

( )

U =U η , V =V

( )

η , U' dU

= d

η

ve V' dV

= d

η

dir. (4.1b) ile verilen denklem integrallenebilir olup, bir kez integre edilirse c keyfi integrasyon sabiti olmak üzere

(

2

)

U 1 V c

=

β

+ (4.2)

şeklinde elde edilir. (4.2) denklemi (4.1b) yerine yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa

2 3

V''' ( 3 ) V' (2 b k)(V ) ' 0

a

β

+

β

ck − + =

(28)

sonucuna ulaşılır ve tekrardan integrali alınırsa e yeni bir keyfi integrasyon sabiti olmak üzere

2

( 3 ) (2 ) 3

'' ck b k e 0

V V V

a a a

− +

+

β

− + =

β β β

(4.3)

formuna dönüşür (Yıldız, 2011; Dağhan vd., 201)].

4.1.1 Direkt integrasyon ile tam çözüm

(4.3) denkleminin her iki tarafı

αβ

V

'

ile çarpılırsa denklem

2 3

' '' ( 3 ) ' (2 ) ' ' 0

a V V

β

+

β

ck V Vb+k V V +eV = (4.4)

şeklinde integrallenebilen bir denkleme dönüşür. (4.4) denklemi bir kez integre edilir ve düzenlenirse, f keyfi bir integral sabiti olmak üzere

2

4 2

2 3 2 2

' 2

b k ck e f

V V V V

a a a a

β

β β β β

+ −

=∓ − − + (4.5)

olur. (4.5) denkleminde yeniden integral alınırsa

( )

4 2 2

2 3 2 2

2

a dV d

b k

V ck V eV f

β η

β + =

− − − +

∫ ∫

( )

4 2 2

2 3 2 2

2

a dV g

b k

V ck V eV f

β η

β

+ − − − + = +

(4.6)

olarak yazılabilir (Dağhan vd., 2015). Burada g yeni integral sabitidir.

0

e= f = =g ve

β

2−3ck= durumunda (4.6) denklemi 0

(29)

2 4

2 a dV

b k V

β =η

+

formuna dönüşür.

β

=

±

3ck olmak üzere

( )

1 2 , 1( 2 c)

2

V a U V

b k η β

η β

= = +

∓ +

şeklinde yazılabilir (Dağhan vd., 2015).

Benzer şekilde e= f = = , g 0

β

2−3ck ≠ ve 0 V >0 alınırsa (4.6) denklemi

(

2

)

2

2

2 2 3

2

a dV

b k ck

V V b k

β η

β =

+ −

− +

olur. 1

V = dönüşümü yapılırsa s

( )

2

2

2

3 2

2 3

a ds

ck b k

s ck

β η

β

β

− =

− +

− −

(4.7)

olarak yazılabilir. (4.7) denklemi bir kez integre edilirse

( )

2

2 2

ln 2

3 2 3

a b k

s s

ck ck

β η

β β

 + 

 

− + − =

 

−  − 

(4.8)

formunda yazılır. (4.8) denkleminde 1

V = dönüşümü tekrar kullanılır ve çözülürse s

(

22

)

2 3

b k γ ck

β

= +

− olmak üzere

(30)

( )

2 3 2 3

2

ck ck

a a

V

e e

β β η β β η

η

γ

− −

− −

=

+

(4.9)

şeklinde yazılabilir (Dağhan vd., 2015). (4.9) çözümünde iki durum söz konusudur.

Eğer,

2 3

ck 0

β

αβ

− − > ise (4.9) denkleminin çözümü

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2

2

3 3

1 cosh 1 sinh

V

ck ck

a a

η β β

γ η γ η

β β

= − −

+ − ∓ − −

(4.10)

şeklinde olup, bu çözüm daha açık olarak

( ) ( )

( ) ( )

2

1 2 2

4 3

3 3

cosh sinh

V ck

ck ck

A B

a a

η β

β β

η η

β β

= −

− −

− ∓ −

formunda yazılabilir. Burada A=2

(

β23ck

)

+2b+k B, =2

(

β2 3ck

)

+2b+ k

şeklindedir. Eğer,

2 3

ck 0 a

β

β

− − < ise (4.9) denkleminin çözümü

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2

3 3

1 cos 1 sin

V

ck ck

a i a

η β β

γ η γ η

β β

= − −

+ ∓ −

(4.11)

şeklinde olup, bu çözüm daha açık olarak

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2

4 3

3 3

cos sin

V

ck

ck ck

A B

η

β

β β

η η

αβ αβ

=

(31)

formunda yazılır (Dağhan vd., 2015).

Burada A

=

2

(

β2 3ck

)

+2b+k, B=i2

( β

2 3ck

)

+2b+k ve η = −x βt

şeklinde tanımlanır. Ayrıca, 1,2 1 1,22

( ) ( ) c

U

η

= V

η

+ 

β

olarak elde edilir.

4.1.2 G' G

 

 

 -açılım metodu ile tam çözüm

(4.3) denkleminde balans yapılırsa m =1olup,

( )

1 0

' V G

G η =α  +α

 

  (4.12)

şeklinde çözüm önerisi yapılır. (4.12) denklemi (4.3) denkleminde yerine yazılırsa

(

2

)

1 1

3

2

: 1 2

' 2 b k a

G

G

α α

α β

− +

(

1

)

1 1

2

0 0

' :

2 b k a

G

G

α α

α

α

α β λ

− +

( )

1

2 2 2 2

1 0 0

: 3

'

6

3 2 ck

G b k a a

G

α α α λ β βµ β

− + + + −

denklem takımına ulaşılır (Dağhan vd., 2015). Elde edilen bu denklem takımı sıfıra eşitlenip çözülürse

(

2

)

2

1 0

2 3

2 2

, , 4 , 0

2 2 2

a a ck

b k b k a e

β λ β β

α α λ µ

β

= ± = ± − = − =

+ + (4.13)

katsayıları bulunur. (4.13) katsayıları (4.12) denklemindeki çözüm önerisinde yerine yazılırsa (4.3) denklemi ile verilen DS denklem sisteminin çözümü

0

3 3 2

1 0 0 0

' : 2 3

G a a b k ck e

G

α βµλ α α β α

  − − + − +

 

 

(32)

( )

2 '

2 2

a G

V b k G

β λ

η = ± +

+

  

 

  

  ,

1 2

( ) ( ( ) )

U η V η c

= β + ,

şeklinde olur. (4.3) çözümü (3.3) ile verilen denklemdeki gibi hiperbolik, trigonometrik, rasyonel şekillerde yazılabilir (Dağhan vd., 2015).

Birinci tip: λ2−4µ> 0

Bu durum için çözüm hiperbolik fonksiyonlar cinsinden olup, aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

( )

2 2

1 2

2

1 2 2

1 2

4 4

sinh cosh

2 2

2 4

2 2 4 4

cosh sinh

2 2

c c

V a

b k

c c

λ µ η λ µ η

λ µ

η β

λ µ η λ µ η

    

    

   

 

     

 

     

     

    

    

 

− + −

= ± −

+ − + −

(4.14)

(4.14) çözümünde

λ

=0 alınırsa

2 3

2

β

ck

µ

= −

αβ

olmak üzere

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 2

2

1 2

sinh cosh

3

2 cosh sinh

c c

V ck

b k c c

µη µη

η β

µη µη

 − + − 

−  

= ± +  − + − 

(4.15)

şeklinde yazılabilir. Özel olarak c2 = ve 0 c1≠0 veya c1= ve 0 c2 ≠0 alınırsa (4.15) denklemi

η = −

x

β

t için aşağıdaki şekilde gösterilir (Dağhan vd., 2015).

( )

2

( )

3

3 tanh

2 V ck

b k

η = ± β −µη

+

( )

2

( )

4

3 cot h 2

V ck

b k

η = ± β −µη

+

(33)

Đkinci tip:

λ

2−4µ< 0

Bu durum için de çözüm trigonometrik fonksiyonlar cinsinden olup, aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

( )

2

2 2

1 2

5 2 2

1 2

2 4

4 4

sin cos

2 2

2

2 4 4

cos sin

2 2

c c

V a

b k

c c

µ λ

µ λ η µ λ η

η β

µ λ η µ λ η

µ

− −

− +

± + − −

+

=

(4.16)

(4.16) çözümünde

λ

=0 alınırsa

2 3

2

β

ck

µ

= −

αβ

olmak üzere

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 2

1 2

6

sin cos

3

cos sin

2

c c

ck

c c

V b k

µη µη

µη µη

η

β

− +

=

+

± +

(4.17)

şeklinde yazılabilir. Özel olarak c2 = ve 0 c1≠0 veya c1= ve 0 c2 ≠0 alınırsa (4.17) denklemi

( )

2

( )

7

3 tan 2

V ck

b k µη

η = ± β +

( )

2

( )

8

3 cot 2

V ck

b k µη

η = ± β +

olarak yazılır (Dağhan vd., 2015). Burada

η = −

x

β

t şeklindedir.

Üçüncü tip: λ2−4µ= 0

Son olarak burada çözüm rasyonel fonksiyonlar cinsinden olup,

β

=

±

3ck olmak üzere

(34)

( )

1

9

1 2

2 2

a c

V b k c c

η β

η

 

= ± +  +  (4.18)

şeklinde yazılabilir. (4.18) çözümünde özel olarak c1= ve 0 c2 ≠0 alınırsa

( )

10

1 2

2 V a

b k η β

= ±η

+ (4.19)

çözümüne ulaşılır (Dağhan vd., 2015). Burada η = −x βtolmak üzere

2 1,2...,10 1, 2,...,10

( ) 1( ( ) c)

U

η

= V

η

+

β

şeklindedir.

4.1.3 G' G

 

 

 -açılım metodunun farklı formu ile tam çözüm

(4.3) denkleminde balans yapılırsa m =1olup,

( )

1 G' 1 G' 1

V

η α

G

α

G

   

=  +  

    (4.20)

şeklinde çözüm önerisi yapılır. (4.20) denklemi (4.3) denkleminde yerine yazılırsa

( )

3

2 2

1 1 1

' : 2 2

G b k a

G

α α α β

  − − +

 

 

( )

1

2

1 1 1 1 1

' : 6 3 2 3

G b k a ck

G

α α α

α α

βµ β

  − − + + −

 

  ' 0

G : G e

 

 

 

( )

1

2

1 1 1 1 1

' : 6 3 2 3

G b k a ck

G

α α α α α βµ β

  − − + + −

 

 

(35)

( )

3

2 2 2

1 1 1

' : 2 2

G b k a

G

α α α βµ

  − − +

 

 

denklem takımına ulaşılır. Elde edilen denklem takımı sıfıra eşitlenip çözülürse, µ ’nün durumuna göre üç farklı grup çözüm aşağıdaki şekilde verilir (Dağhan vd., 2015).

Durum I:

2

1 1

2 3

, 0, , 0

2 2

a ck

b k a e

β β

α α µ

β

= ± = = − − =

+ (4.21a)

Durum II:

2

1 1

2 2 3

, , , 0

2 2 4

a a ck

b k b k a e

β β β

α α µ

β

= ± = ± = − =

+ + (4.21b)

Durum III:

2

1 1

2 2 3

, , , 0

2 2 8

a a ck

b k b k a e

β β β

α α µ

β

= ± = = − − =

+ ∓ + (4.21c)

Birinci tip:

− > µ 0

(4.21a), (4.21b) ve (4.21c) katsayıları (4.20) denkleminde yerine yazılırsa (4.3) ile verilen DS denklem sisteminin çözümü

( )

2

1

2 ' 3

,

2 2

a G ck

V

b k G a

β β

η µ

β

= ± = − −

+

 

 

 

( )

1 2

2

2 ' 2 ' 3

2 2 , 4

a G a G ck

V b k G b k G a

β β β

η µ µ

β

= ± =

+ +

 ±  

   

   

( )

1 2

3

2 ' 2 ' 3

2 2 , 8

a G a G ck

V b k G b k G a

β β β

η µ µ

β

= ± = −

+ +

   

   

   

olarak elde edilir. Burada G' G

ifadesi (3.9a)’daki gibidir. Yukarıda verilen V1

( ) η

ve

3

( )

V

η

çözümlerinin aynı tip çözümler olduğu aşağıdaki uyarıda verilmiştir (Dağhan vd., 2015).

Uyarı 4.1: V1

( ) η

ve V3

( ) η

çözümlerinin aynı tip çözümler olduğu (Dağhan vd., 2015)’te Lemma 3.1 ile ispatlanmıştır.

(36)

Đkinci tip: − < µ 0

(4.18a), (4.18b) ve (4.18c) katsayıları (4.17) denkleminde yerine yazılırsa (4.3) ile verilen DS denklem sisteminin çözümü

( )

2

4

2 ' 3

,

2 2

a G ck

V

b k G a

β β

η µ

β

= ± = − −

+

 

 

 

( )

1 2

5

2 ' 2 ' 3

,

2 2 4

a G a G ck

V

b k G b k G a

β β β

η µ µ

β

= ± =

+ +

 ±  

   

   

( )

1 2

6

2 ' 2 ' 3

2 2 , 8

a G a G ck

V b k G b k G a

β β β

η µ µ

β

= ± = −

+ +

   

   

   

şeklinde yazılır. Burada G' G

 

 

  ifadesi (3.9b)’daki gibidir. Yukarıda verilen V4

( )

η ve

( )

V6 η çözümlerinin aynı tip çözümler olduğu aşağıdaki uyarıda verilmiştir (Dağhan vd., 2015).

Uyarı 4.2: V4

( )

η ve V6

( ) η

çözümlerinin aynı tip çözümler olduğu (Dağhan vd., 2015)’de Lemma 3.2 ile ispatlanmıştır.

Üçüncü tip: − = µ 0

(4.21a), (4.21b) ve (4.21c) katsayıları (4.20) denkleminde yerine yazılırsa (4.3) ile verilen DS denklem sisteminin çözümü

( )

2

7

1 2

2 , 3

2

a c

V ck

b k c c

η β β

η

 

= ± +  +  = ±

olur. Burada G' G

 

 

  ifadesi (3.9c) daki gibi olup 1,2,...7 1 1,2,...,72

( ) ( ( ) c)

U

η

= V

η

+

β

dir.

Referanslar

Benzer Belgeler

Bu teknik; süreç hata türüyle ilişkili ürünün potansiyelini belirler, hataların müşteri üzerindeki etkilerinin potansiyelini ortaya çıkarır, potansiyel imalat

question des rapports de Byzance et de la Russie ancienne dans la Cambridge Médiéval History,IV,p... Byzance et les Arabes* Les relations politiques de

Araştırmaya katılanların prosedür adaleti puanları ortalamalarının medeni durumu değişkenine göre anlamlı bir farklılık gösterip göstermediğini belirlemek

lere; müzelerden · eğitim araci olarak fa~dalanmaları gereği öğretilmelidir. Bu konuda ilerlemiş ülkelerde öğretmen okulu öğrencilerinin eğitim staj-. 7)

Bu çalışmada, 1985-2001 dönemi yıllık verilerine dayanarak, Türk imalat sanayi ve onun en önemli alt sektörlerinden biri olan tekstil sektörüne ilişkin Cobb-Douglas (C-D),

Bu bölümde Lineer olmayan Drinfeld-Sokolov-Wilson, Drinfeld-Sokolov ve Modifiye- Benjamin-Bona-Mahony denklemlerinin pertürbatif çözümleri Homotopi pertürbasyon metodunu

Bu bölümde belirlenmiş birer Riccati ve Bernoulli denklemlerinin Euler, Runge- Kutta ve Picard Ardışık Yaklaşımlar Yöntemleri ile yukarıda tanımını verdiğimiz

Ele alınan kısmi türevli diferansiyel denklem Hirota’nın bilinear yöntemi [16], ters saçılım dönüşümü [17], kesilmiş (truncated) Painleve açılımı [18],