Sayısal Kontrol

Sayısal Kontrol Sistemleri

Prof. Dr. Muammer GÖKBULUT

t x(t)

0 t

x(t)

0 A

t 1 x(t)

0 A

Hatırlatma: Analog (Sürekli Zaman) Sinyaller ve Sistemler

Analog (sürekli zaman) Temel Test Sinyalleri: Basamak, impuls, rampa

G(s)

U(s) Y(s)

• Doğrusal ve zamanla değişmeyen analog sistemlerin matematiksel modelleri

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

t Du t

Cx t

y

t Bu t

Ax t

dt x d









) t ( u dt 5

) t ( 4 du )

t ( y dt 3

) t ( 2 dy dt

) t ( y d

2

2    

3 s 2 s

5 s 4 )

s ( U

) s ( ) Y

s (

G ₂





 

 Diferansiyel denklem

Durum denklemi

Transfer fonksiyonu

G(s)

U(s) Y(s)

Örnek: Verilen sistemin birim rampa cevabını bulunuz.

2 1 )

( ) ) (

(   

s s

U s s Y

G

G(s)

U(s) Y(s)

Örnek: Verilen sistemin birim basamak cevabını bulunuz.

2 s 3 s

1 )

s ( U

) s ( ) Y s (

G ₂



 



Kontrolör Referans

giriş

r(t)

Sistem girişi u’(t)

Sistem çıkışı

y(t) +

-

Sistem

Geri besleme birimi

Yükseltici- Dönüştürücü Kontrol

sinyali Hata

sinyali

e(t) u(t)

Bozucu giriş b(t)

Birimler:

Kontrolör,

Kontrol edilen sistem,

 Geri besleme birimi ya da algılayıcı,

Yükseltici/dönüştürücü birim

Sinyaller:

Referans giriş

Hata sinyali,

 Kontrol sinyali,

 Sistem girişi ve çıkışı

Kapalı Çevrim Kontrol Sistemi : Analog-Sürekli Zaman

Referans giriş r(k)

Sistem çıkışı

y(t)

Algılayıcı

+

-

Yükseltici Sayısal

Denetleyici

Hata e(k)

Denetim sinyali

v(t)

Sistem girişi

u(t)

Sistem

ADC DAC

Sayısal kontrol sistemlerinde genellikle denetlenen sistem analog (sürekli zaman) bir sistem iken denetleyici sayısal (ayrık zaman) bir birimdir.

Tutma

Örnekleme

1.1 Kapalı Çevrim Sayısal Kontrol Sistemi

1.2 Ayrık Zaman Temel Test Sinyalleri: Basamak, impulse, rampa

Basamak / birim basamak sinyaller:

Rampa / birim rampa sinyaller:

İmpuls / birim impulse sinyaller:

Örnek: Bilgisayar programlama dillerinde, MATLAB gibi, buradaki temel test sinyalleri nasıl tanımlanır.?

0 k

A x(k)

x(k)

k A

0

x(k)

0 12 10 k 10

1.3 Sürekli Zaman Sinyallerin Ayrıklaştırılması / Örnekleme

Örnekleme Yuvarlatma Kodlama

Analog sinyal

Sayısal sinyal Ayrık zaman

sinyal

Yuvarlatılmış sinyal

Analog-dijital dönüştürücü (ADC)

0 0 0

111 110 101 100 011 010 001 000

Bilgisayar/

Mikroişlemci

t

e

) t (

f 

Sürekli zaman üstel fonksiyonu ayrıklaştırınız ve grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız.

a

) k (

f 

Analog ya da sürekli zaman sinyallerin örneklenerek ayrıklaştırılması: t=kT

) 25 . 0 ( 10

)

(k e ^0.1 Sin k

f  ^{ k}

) 5 ( 10

)

( t e

Sin t f 

Sönümlü sinüsoidal bir fonksiyonun ayrıklaştırılması.

Sönümlü sinüsoidal fonksiyonu ayrıklaştırınız ve grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız.

T=?

t

te

) t (

f 

1-) Verilen sinyali ayrıklaştırarak grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız. T=?

1.4 Sayısal (Ayrık zaman) Sistemler

• Statik / Dinamik sistem ya da bellekli /belleksiz sistem

• Doğrusal / doğrusal olmayan sistem

• Zamanla değişen / zamanla değişmeyen sistem

• Ayrık zaman sistem, ayrık zaman u(k) giriş sinyalini alarak ayrık zamanda tanımlı bir giriş-çıkış ilişkisi verir.

• Ayrık zaman sistemlerde, sinyallerin o anki, önceki ve sonraki değerleri kullanılabilir.

) k ( u e

) k (

y  ^0.2k

1 ) k ( u 2 ) k (

y  

) k ( u )

1 k ( y 8 . 0 ) k (

y   

) k ( u 2 .

ke 0

) k (

y  ^

) 1 k ( u ) k 10 ( Sin )

k (

y  

Ayrık zaman Sistemlerin Cevabını Bulma

a-) Sistemlerin zaman bölgesi blok şemasını çiziniz.

b-) birim basamak, birim impuls ve birim rampa

cevaplarını k=0,1,2 örnek için iteratif çözerek bulunuz.

) 1 k

( u 5 . 0 )

k ( u )

k (

y   

u(k) T u(k-1)

Bellek elemanı

) k ( u 2 .

ke

) k (

y 

1-) 2-)

Ayrık zaman Sistemlerin Cevabını Bulma

a-) Sistemlerin zaman bölgesi blok şemasını çiziniz.

b-) birim basamak, birim impuls ve birim rampa

cevaplarını k=0,1,2 örnek için iteratif çözerek bulunuz.

c-) Cevapları bulan MATLAB programı yazınız.

) k ( u )

1 k

( y 8 . 0 )

k (

y   

u(k) T u(k-1)

Bellek elemanı 3-)

Kararlılık: Sınırlı girişe karşı sınırlı çıkış veren sistemler SGSÇ kararlıdır.

Ayrık zaman Sistemlerde Kararlılık

) 1 k

( u 5 . 0 )

k ( u )

k (

y   

) k ( u )

1 k

( y 2 )

k (

y   

kararlı ise

b k

y için

a k

u ( )  ( )   

Örnekler: Kararlı olup olmadıklarını gösteriniz.

) k ( u 2 .

ke

) k (

y 

• Sayısal Türev: Bir sinyalin herhangi bir noktadaki türevi sinyalin o noktadaki eğimidir.

Bir f(t) sinyalinin türevi y(t) ile gösterilirse bu sinyalin herhangi bir t (yada k, kT) noktasındaki eğimi, sinyalin o noktadaki teğetinin zaman ekseni ile yaptığı açı kullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir.



tan )

( )

(  f t 

dt t d

y

1.4 Sürekli zaman sistemlerin ayrıklaştırılması

Fonksiyonun eğimi, farklı yaklaşımlarla bulunabilir.

Bunlardan ileri fark, geri fark ve merkezi fark olarak bilinen yöntemler yaygın olarak kullanılmaktadır.

t f(t)

k

.

f(k)

• İleri fark yönteminde fonksiyonun bir gelecekteki örneklenmiş değeri kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir. Örnek: Verilen fonksiyonun sayısal türevini bulunuz.

t f(t)

k

.

f(k)

k+1

f(k+1)

.

İleri Fark Yöntemi

) t ( dt f

) d t ( ' f )

t ( y ise e

) t (

f 

 

• Geri fark yönteminde fonksiyonun bir önceki örneklenmiş değeri kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir . Örnek:

Geri Fark Yöntemi

t f(t)

k-1

.

f(k-1)

k

f(k)

.

) t ( dt f

) d t ( ' f )

t ( y ise e

) t (

f 

 

Merkezi Fark Yöntemi (Bilineer Dönüşüm-Tustin Algoritması)

Merkezi fark yönteminde ise fonksiyonun bir önceki ve bir gelecekteki örneklenmiş değerleri kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir. Örnek:

t f(t)

k-1 f(k-1)

.

k

f(k)

.

k+1

f(k+1)

.

) t ( dt f

) d t ( ' f )

t ( y ise e

) t (

f 

 

Sayısal İntegral

• Bir sinyalin herhangi bir andaki integrali (belirli-sınırlı integrali) bu sinyalin o ana kadar taradığı alanın toplamıdır. Bir f(t) fonksiyonun integrali y(t) ile gösterilirse t anındaki integral,

• Bir fonksiyonun herhangi bir t anındaki taradığı alanı bulmak için çeşitli

yöntemler geliştirilmiştir. Burada en çok kullanılan sol kenar, sağ kenar ve yamuk yöntemleri verilmiştir.

 ^



0 t

) 0 t ( y dt

) t ( f )

t

(

y

Sayısal İntegral

t f(t)

k

.

k-1 f(k-1)

f(k)

y(k-1)

Alan

integrali y(k)

t f(t)

k

.

k-1 f(k-1)

f(k)

y(k-1)

Alan

integrali y(k) t

f(t)

k

.

k-1 f(k-1)

f(k)

y(k-1)

Alan

integrali y(k)

Sol Kenar kuralı Sağ kenar kuralı Yamuk Kuralı:







0 t t

2

ise y ( t ) f ( t ) dt e

) t ( f

Örnek

Örnekler

) t ( dt v C d )

t (

i 

1-) Kapasitansı C=0.1 F olan bir kondansatöre birim rampa gerilim uygulanmıştır. Değişik yöntemlerle kondansatörün akımını sayısal olarak bulan bir MATLAB programı yazınız.

2-) Endüktansı L=0.2 H olan bir bobine uygulanan gerilim aşağıda verilmiştir. Değişik yöntemlerle bobinin akımını sayısal olarak bulan bir MATLAB program yazınız.





0

dt ) t ( L v

) 1 t ( i

t

e

5 )

t (

v 

• Sürekli zamanda doğrusal-zamanla değişmeyen-dinamik sistemlerin matematiksel modelleri diferansiyel denklemlerle tanımlanırken,

• Ayrık zaman doğrusal-zamanla değişmeyen-bellekli sistemlerin modelleri ise fark denklemleri ile tanımlanır.

) m k

( u b ) 1 k

( u b ...

) k ( u )

n k

( y a ) 1 k

( y a ...

) k (

y  

 

   

 



1.5 Fark Denklemleri

Burada, k=0 için y(-1), y(-2),……y(-n) başlangıç koşullarıdır.

) k ( u b ) 1 k

( u b ...

) m k

( u )

k ( y a ) 1 k

( y a ...

) n k

(

y   

 

   

 

Burada, k=0 için y(n-1), y(n-2),……,y(1), y(0) başlangıç koşullarıdır.

İleri farklar şeklinde yazılan fark denklemi:

Geriye farklar şeklinde yazılan fark denklemi:

Örnek:

Örnek:

2 ) 0 ( y , ) 1 k ( u ) k ( y 5 . 0 ) 1 k (

y     

2 )

2 ( y , 4 ) 1 ( y , ) 1 k ( u 3 ) k ( u ) 2 k

( y ) 1 k ( y 2 ) k (

y            

Fark denklemleri, başlangıç koşulları hesaplanmak koşuluyla ileri ya da geri yönde ötelenebilir.

Birim basamak giriş için 2 örnek ileriye öteleyiniz.

Birim rampa giriş için bir örnek geriye öteleyiniz.

1 ) 2 ( y , 0 ) 1 ( y ,

) 1 k ( u 2 ) k ( u ) 2 k ( y 4 . 0 ) 1 k ( y 5 . 0 ) k (

y           

Fark Denklemlerinin Blok Şema ile Gösterimi ve Ardışıl (iteratif) ya da Bilgisayarla Çözümü

u(k) T u(k-1)

Bellek elemanı

Örnek: Verilen fark denkleminin a-) blok şemasını çiziniz. b-) k=0,1,2

örnek için birim basamak cevabını bulunuz yani denklemi ardışıl çözünüz.

c-) MATLAB programını yazınız.

Örnek: Verilen fark denkleminin a-) blok şemasını çiziniz. b-) k=0,1,2

örnek için birim basamak cevabını bulunuz yani denklemi ardışıl çözünüz.

c-) MATLAB programını yazınız.

u(k) T u(k-1)

Bellek elemanı

0 ) 1 ( y , 6 . 0 ) 0 ( y ,

) k ( u 2 . 0 ) 1 k ( u ) 1 k ( y 8 . 0 ) k ( y ) 1 k (

y          

0 )

0 ( y )

t ( u 3 )

t ( y dt 2

) t (

dy   

Örnek: Verilen diferansiyel denklemi,

a-) Geri fark yöntemi ile ayrıklaştırınız. T=0.1 alınabilir.

b-) Fark denkleminin blok şemasını çiziniz.

Diferansiyel denklemlerin ayrıklaştırılması

Fark denklemleri, diferansiyel denklemlerin ileri, geri ya da merkezi fark yöntemi

kullanılarak ayrıklaştırılması ile de elde edilebilir.

c-) Fark denkleminin birim basamak cevabını k=0,1,2 örnek için hesaplayınız.

d-) Birim basamak cevabını bulan MATLAB programı yazınız ve analog ve sayısal çözümleri karşılaştırınız.

) t ( u 3 )

t ( y dt 2

) t (

dy  

Örnekler: İleri fark yöntemi ayrıklaştırarak blok şemasını çiziniz. T=0.1s dt

) t ( 4 du )

t ( y dt 2

) t ( y d

2

2

 

Örnek: Seri RLC devresinin birim basamak gerilim kaynağı için cevabını (akımını)

sayısal olarak bulan bir MATLAB programı yazınız. R=2, L=0.1 H, C=0.2 F, T=0.1

saniye alınız.

Fark Denklemlerinin Analitik Çözümü

Homojen çözüm ve özel çözümün toplamından meydana gelir.

n 2

1

r ... r

r   

0 a

r a r

da ya

0 r

a ...

r a

1 

 









Homojen çözüm yh(k):

Karakteristik denklem

KD’ in kökleri reel ve ayrık ise

KD’ in kökler reel ve katlı ise KD’in kökleri kompleks ise

k n n k

2 2 k

1

1

r A r ... A r

A )

k (

yh    

jb a

r , jb a

r

 

 

n 2

1

, r ,... r r

k 1 1 n n k

1 2 k

1

1

r A kr ... A k r

A )

k (

yh    

) a / b ( tan ,

b a

), k ( Sin A

) k ( Cos A

) k (

yh  ₁^k   ₂^k    ²  ²   ^1

) k ( u )

n k

( y a ...

) 1 k

( y a )

k (

y 

  

 

Diferansiyel denklemlerde olduğu gibi kaynak fonksiyonunun türüne bağlı olan, bir de özel çözüm vardır.

) k ( Cos da

ya ) k ( Sin

k ) a (

1 . K

n k

k





özel çözüm Kaynak

) k ( Cos C

) k ( Sin C

) k ( yö

k . C k

. C )

k ( yö

) a .(

C )

k ( yö

1 . C )

k ( yö

2 1

1 2 n

1 n

k k



 













• Özel çözümün aynısı, homojen çözümde de varsa her defasında özel çözüm k ile çarpılmalıdır.

• Özel çözüm yö(k), fark denkleminde yerine yazılarak C katsayıları bulunmalıdır.

• Toplam çözüm olduğundan başlangıç koşulları uygulanarak homojen çözümün A katsayıları bulunmalıdır.

) k ( yö )

k ( yh )

k (

y  

Özel çözümü

0 )

2 ( y ,

1 )

1 ( y ,

) k ( u )

2 k

( y 04 . 0 )

1 k

( y 4 . 0 )

k (

y         

Örnek: Verilen fark denkleminin birim basamak giriş için cevabını analitik olarak bulunuz.

Çözüm:

k k

k

0 . 05 k ( 0 . 2 ) 1 . 5625 ( 1 ) )

2 . 0 ( 1625 .

0 )

k (

y    

0 )

1 ( y ,

0 )

0 ( y ,

) 5 . 0 ( ) 1 k

( y 2 . 0 )

k ( y 9 . 0 )

1 k

(

y     

  

Örnek: Verilen fark denklemini, analitik olarak çözünüz.

Çözüm:

k k

k

40 k ( 0 . 4 ) 10 k ( 0 . 5 ) )

5 . 0 ( 40 )

k (

y    

1 )

1 ( y ,

) k ( u )

1 k

( y 5 . 0 )

k (

y     

Örnek: Verilen fark denkleminin birim rampa cevabını analitik olarak bulunuz.

Çözüm:

2 k

2 )

5 . 0 ( 5 . 2 )

k (

y 

 

Örnek: Verilen durum denkleminin ayrık zaman karşılığını bulunuz. (İleri Fark yöntemi ile)

u(t) 0

1 )

t ( x

) t ( x 2 0

2 1 )

t ( x

) t ( x

2 1

2

1 



 



 



 



 



 







 

















 

) t ( x

) t ( 0 x

1 ) t ( y

2

1  



 



 

Analog Durum Denklemlerin Ayrıklaştırılması ve Ayrık Zaman Durum Denklemleri Analog durum denklemleri ayrıklaştırılırsa ayrık zaman durum denklemleri elde edilebilir.

) k ( Du )

k ( Cx )

k ( y

) k ( u B )

k ( x A )

1 k

(

x _{d d}











Ayrık zaman durum denklemleri

) t ( Du )

t ( Cx )

t ( y

) t ( Bu )

t ( Ax )

t ( x







 

Analog durum denklemleri

İleri Fark

 y ( k )  Y ( z ) y ( k ) z ...

Z

0 k









Örneklenmiş bir sinyalin Z dönüşümü de aşağıdaki gibi alınabilir.

 

0 k

z ) kT ( y )

z ( Y )

kT ( y

Z







Doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümünde Laplace dönüşümünden yararlanıldığı gibi, doğrusal fark denklemlerinin çözümünde de z dönüşümünden yararlanılır. Z dönüşümü fark denklemlerini cebirsel hale getirir. Tek yönlü Z Dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanır.

Bölüm 2

Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Matematiksel Temelleri

2.1 z -Dönüşümü

Z-dönüşümüne dikkat edilirse sonsuza giden bir seridir ve seriler belirli koşullarda belirli bir değere yakınsar. Bu nedenle z- dönüşümü bulunurken serilerin yakınsaklığını da belirlemek gerekir.

Çoğu seriler, aşağıdaki açılıma uygundur ve bu serilerin yakınsaklığı aşağıdaki ifade ile belirlenebilir.

1 q

q , 1 q 1

...

q q

q 1 q

0 n

n 3

2

n



 















Serilerin Yakınsaklığı









 

0 n

1 n n

q 1

q q 1

 

0 k

z ) k ( y )

z ( Y )

k ( y

Z







0 1 2 3 4….

1 f(k)

k











0 k

z

).

k ( f )

z ( F

1 z

z z

1 ) 1 z (

F

 

 

)

1 ( )

k (

f 

1

| z

|



Örnek: Birim basamak fonksiyonunun Z dönüşümü

. . . .

k 1 2 3 . . .

f(k)

Örnek: Ayrık zaman üstel fonksiyonun z dönüşümünü alınız.

a z

z z

. a 1

) 1 z (

F

 

 

)

a ( )

k (

f  









0 k

z

).

k ( f )

z

(

F

Örnek: Geriye ötelenmiş birim impuls fonksiyonun z dönüşümü.

1 . z ...

0 0 z

).

1 1 ( z

) 1 0 ( ...

z ) 1 k ( )

z ( F

0 k

1 1

0









        



   

Örnek: İleri ötelenmiş birim impuls fonksiyonun z dönüşümü.

1 . z ...

0 z 0 ...

z ).

1 0 ( z

) 1 1 ( ...

0 z

).

1 k ( )

z ( F

k

0 )

1 (











            



   

Örnek: Ayrık zaman birim impuls fonksiyonun z dönüşümü.









      



0

1

0

( 1 ). ... 1 0 ... 1

) 0 ( ).

( )

(

k

k

z z

z k z

F   

Örnek: Yukarıdaki sonuçlara göre İki geriye ötelenmiş birim basamak fonksiyonun z dönüşümü nedir?.

(k)

k 1

0















     



0

4 3

2

1

2 3 4 ...

0 ).

( )

(

k

k

z z z z

z k f z

F

k )

k (

f 

0 1 2 3 4….

f(k)

k

Önceki seriden farklıdır

(1)

ve sağ taraf parantezine alınırsa,

2 2

1 1

) 1 (

) 1

) (

(  

  ^_

z z z

z z

1 F

1 1

1 ) 1

( ) 1

( ^{ } _

 

 z F z z z

Örnek: Birim rampa fonksiyonunun z dönüşümü

z

z

j 2

e ) e

k ( f )

wk ( Sin )

k (

f









Örnek: Sinüsoidal fonksiyonunun z dönüşümü

 



 

  

 

 

 

 

 

e z

z e

z z j

2 ) 1 z ( F

Seriye açılarak da Z dönüşümü bulunabilir ancak üstel ifadelerin Z dönüşümü bilindiğine göre,

1 )

w ( zCos 2

z

) w ( ) zSin

z (

F



 

Euler bağıntısı

Fonksiyon f(k)

) wk ( Cos

) wk ( Sin

) a (

k k

) k ( u

) k (

k 2



1 zCoswa 2

z

) w Cos z

( z

1 w zCos 2

z

w zSin a z

z ) 1 z (

) 1 z ( z

) 1 z (

z 1 z

z 1

2 2

3 2





















Bazı Ayrık Fonksiyonların z- Dönüşümleri

Analog Fonksiyon f(t)

z- Dönüşümü F(z)

) wkT (

Cos

) wkT (

Sin e kT

bkT

1 wT

zCos 2

z

) wT Cos

z ( z

1 wT

zCos 2

z

wT zSin

e z

z ) 1 z

( T z

2 2

bT 2

















) wt ( Cos

) wt ( Sin

e t

bt

Bazı Örneklenmiş Fonksiyonların z- Dönüşümleri

Örneklenmiş Fonksiyon

f(kT)

1-) Toplama-Çıkarma ve sabit çarpan

 ay

( k )  by

( k )   aY

( z )  bY

( z )



Bazı Önemli z – Dönüşüm Teoremleri

2) İlk Değer Teoremi 3) Son Değer Teoremi

) z ( Y Lim )

k ( y Lim )

0 (

y 



) 5 . 0 z

/(

z )

z (

F  

Örnek: İlk ve son değerlerini bulunuz.

16 . 0 4

zCos 6

. 1 z

4 zSin 4

. ) 0

z (

F ₂



 

4) Karmaşık Dönüşüm (üstel ile çarpma)

 

 



 



 a

F z )

z ( F )

k ( f a )

k (

f

5) Rampa ile çarpma

) z ( F dz )

z d (

) z ( F )

k ( f k )

k (

f 

  

)

8 . 0 ( k 5 )

k (

f 

Örnek:Verilen fonksiyonun z dönüşümünü bulunuz

2 k

) a z

( ) za z ( F ise

) a ( k )

k (

f   

Genel hali

? )

z ( F )

k 10 ( Cos )

5 . 0 ( ) k (

f 

 

2 2

k 2

2 2

k

a wT

zaCos 2

z

wT zaSin

) z z ( F ise

) wk ( Cos )

a ( ) k ( f

a wT

zaCos 2

z

wT zaSin

) z ( F ise

) wk ( Sin )

a ( ) k ( f





 





 

Sonuç



Örnek:

 



 



 















 n

1 k

k n

nY(z) z y(k)z z

) n k

(



6) Geciktirme:

 y ( k  n )   z

Y ( z )



7) Öngörme:

 y ( k  n )   z

Y ( z )



  _



 



 



 

 1  n

0 k

k n

n

Y ( z ) z y ( k ) z z

) n k

(

 y

İki yönlü dönüşüm Bir yönlü dönüşüm

İki yönlü dönüşüm

Bir yönlü dönüşüm

Z{y(k-2)} ?

Z{y(k+2)} ?

y(-1)=1, y(-2)=-4 olsun.

y(0)=-2, y(1)=3 olsun.

Örnek: Verilen fark denkleminin z-dönüşümünü alarak z-bölgesi çözümünü bulunuz.

)

5 . 0 ( ) k ( u ve 0

) 2 ( y , 1 )

1 ( y

) k ( u )

2 k

( y 64 . 0 )

1 k

( y 6 . 1 )

k ( y





















Fark denklemlerinin z-dönüşümü: z bölgesi çözümü

2 2

2 3

) 8 . 0 z (

z 64 . 0 z

6 . 1 )

8 . 0 z )(

5 . 0 z ( ) z z (

Y 

 



 

) z ( U )}

2 ( y )

1 ( y z )

z ( Y z

{ 64 . 0 )}

1 ( y )

z ( Y z

{ 6 . 1 ) z (

Y 

  



   

NOT: Denkleme dikkat edilirse önceki örnekte verilen fark denkleminin k=k+2 yazılarak 2 ileri ötelenmiş halidir.

Örnek: Verilen fark denkleminin z-dönüşümünü alarak z-bölgesi çözümünü bulunuz.

02 . 4 )

1 ( y , 6 . 2 )

0 ( y

) 2 k

( u )

k ( y 64 . 0 )

1 k

( y 6 . 1 )

2 k

( y

















) 1 ( zu )

0 ( u z ) z ( U z ) z ( Y 64 . 0 )]

0 ( zy )

z ( zY [ 6 . 1 ) 1 ( zy )

0 ( y z ) z ( Y

z²  ²      ²  ² 

2 2

2 3

) 8 . 0 z (

z 64 . 0 z

6 . 1 )

8 . 0 z )(

5 . 0 z ( ) z z (

Y 

 



 

)

5 . 0 ( ) k (

u 

2.2 Ters z – Dönüşümü

Ters z-dönüşümünde genellikle kısmi kesirlere ayırma yöntemi kullanılır.

Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi: Verilen karmaşık ifade basit kesirlerine ayrılarak her bir basit kesrin ters z-dönüşümü bulunur.

Ancak z-dönüşüm tablosuna dikkat edilirse basit terimlerin z- dönüşümlerinin payında her zaman z çarpanı vardır. Bu nedenle, Z bölgesinde verilen bir F(z) ifadesi, öncelikle

F(z)/z

haline getirilerek basit kesirlerine ayrılmalıdır.

1-) Kökler reel ve ayrık ise ) 5 . 0 z

).(

1 z

( ) z z (

F   

Örnek

) 2 ).(

1 (

) 1

(   

z z z

Örnek E

) 1 .(

) 2 (

) 2

(

3





 

z z

z z z

X

) k ( u 3 2

2 2 k

) 9 k (

x 





Örnek

Kökler reel ve çakışık ise,

Karmaşık Kök Durumu

Karmaşık kök durumunda da basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılabilir. Ancak z-dönüşüm tablosuna dikkat edilirse

karmaşık kökler sinüsoidal fonksiyonlarda ortaya çıkmaktadır. Bu nedenle, karmaşık kökü olan z-bölgesindeki fonksiyonlar saf

sinüsoidal ya da sönümlü sinüsoidal fonksiyonlara benzetilebilir.

Bu amaçla aşağıdaki z-dönüşümleri tekrar hatırlanabilir.

2 2

k

2 2

k

2 2

a w

azCos 2

z

) w aCos z

( ) z

z ( F ise ) wk ( Cos a

) k ( f

a w

azCos 2

z

w azSin )

z ( F ise

) wk ( Sin a

) k ( f

1 w

zCos 2

z

) w Cos z

( ) z

z ( F ise ) wk ( Cos )

k ( f

1 w

zCos 2

z

w ) zSin

z ( F ise

) wk ( Sin )

k ( f





 





 







 





 



) 2 k sin(

) k ( f 1 ise

z ) z

z ( F )

1



 





Örnekler:

) 2 k cos(

) k ( f 1 ise

z ) z

z ( F )

2



 





NOT: sin(wk) ve cos(wk) dönüşümlerini hatırla: