Taylor Serisi Yöntemi

NÜMER· IK ANAL· IZ

Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

Nuri ÖZALP

Diferensiyel Denklemlerin Say¬sal Çözümleri

1. Çözümlerin Varl¬k ve Tekli¼gi

Varl¬k ve Teklik

( dx

dt =f(t, x) x(t₀) =x₀

(1)

formunda bir ba¸slang¬ç-de¼ger problemini göz önüne alal¬m.

Teorem (Varl¬k)

E¼ger f, (t₀, x₀)merkezli bir

R = f(^{t, x}) : j^{t t0}j ^α, j^{x x0}j ^βg ⁽²⁾ dikdörtgeninde sürekli ise, bu durumda (1) ba¸slang¬ç-de¼ger problemi j^{t t0}j ^min(α, β/M)için bir x(t)çözümüne sahiptir. Burada M,R dikdörtgeni içinde j^f(t, x)j in maksimumudur.

1. Çözümlerin Varl¬k ve Tekli¼gi

Teorem (Teklik)

E¼ger (2) ile tan¬ml¬R diktörtgeninde f ve ∂f/∂x sürekli ise, bu durumda (1) ba¸slang¬ç-de¼ger problemi j^{t t0}j <^min(α, β/M)aral¬¼g¬nda tek bir çözüme sahiptir.

Teorem

E¼ger f , a t b, ∞<x< ∞ ¸seridinde sürekli ve orada

j^f(t, x₁) f(t, x₂)j ^Lj^{x1 x2}j ⁽³⁾ e¸sitsizli¼gini ( Lipschitz ko¸sulu) sa¼gl¬yorsa, bu durumda (1) ba¸slang¬ç-de¼ger problemi [a, b]aral¬¼g¬nda tek bir çözüme sahiptir.

2. Taylor Serisi Yöntemi

Taylor Serisi Yöntemi

x⁰ =f(t, x) x(t0) =x0

ba¸slang¬ç-de¼ger problemini göz önüne alal¬m. Burada f önceden verilmi¸s iki de¼gi¸skenli bir fonksiyon ve (t0, x0), çözüm e¼grisinin geçti¼gi, verilen tek bir noktad¬r. bdp-nin bir çözümü, t0 ¬n bir kom¸sulu¼gundaki tüm t ler için dx(t)/dt =f(t, x(t))ve x(t₀) =x₀ olacak ¸sekilde bir x 7 !^x(t) fonksiyonudur.

x(t)çözümünü t nin bir fonksiyonu olarak veren bir formül olarak elde etmek yerine, genellikle fonksiyon de¼gerlerinin

t₀ t₁ t₂ t₃ . . . t_m x₀ x₁ x₂ x₃ x_m

formunda bir tablosunu olu¸stururuz. Burada xi, ti deki kesin çözüm olan x(t) nin hesaplanm¬¸s yakla¸s¬k de¼geridir.

2. Taylor Serisi Yöntemi

Örnek

Taylor serisi yöntemi için somut bir örnek alal¬m:

x⁰ =cos t sin x+t² x( 1) =3.

Yöntemin temeli,

x(t+h) =x(t) +hx⁰(t) +^h

2

2!x⁰⁰(t) +^h

3

3!x⁰⁰⁰(t) + ^h

4

4!x⁽⁴⁾(t) + (4) olarak yaz¬lan x için Taylor serisidir. Burada görünen türevler diferensiyel denklemden elde edilebilir. Bunlar,

x⁰⁰ = sin t x⁰cos x+2t

x⁰⁰⁰ = cos t x⁰⁰cos x+ (x⁰)²sin x+2 x⁽⁴⁾ = sin t x⁰⁰⁰cos x+3x⁰x⁰⁰sin x+ (x⁰)³cos x

2. Taylor Serisi Yöntemi

Örnek (Devam)

(4) formülündeh⁴ ü içeren terimlere kadar olan¬kullanmaya karar verirsek, almad¬¼g¬m¬z terimler h⁵ ile ba¸slayanlar olup, yöntemin toplamdaki kesme hatas¬n¬verir. Bu durumda ortaya ç¬kan say¬sal yöntem 4 üncü

basamaktand¬r denir. ( E¼ger hⁿx⁽ⁿ⁾(t)/n! e kadar olan terimler

kullan¬l¬rsa, Taylor serisi yönteminin basama¼g¬n dir.) Dikkat edilirse sin x gibi t ye göre türevi al¬nan terimlerde, onu df^sin[x(t)]g^{/dt olarak} dü¸sünüp, türevde zincir kural¬n¬ uyguluyoruz. Bu da ku¸skusuz x⁰⁰, x⁰⁰⁰, ...

formüllerinin karma¸s¬kl¬¼g¬n¬do¼gurur. Sa¼g tarafta x in türevlerini içermeyecek ¸sekilde x⁰⁰, x⁰⁰⁰, ...için formüller elde etmek için birçok yerle¸stirme yapmal¬y¬z. Fakat, e¼ger formüller ardarda s¬rada kullan¬l¬rsa bunu yapmam¬z gerekmez. Çünkü, do¼gas¬gere¼gi ard¬¸s¬kt¬rlar.

2. Taylor Serisi Yöntemi

Örnek (Devam)

A¸sa¼g¬da, (3) ba¸slang¬ç-de¼ger problemini çözmek için bir algoritma verilmi¸stir. t = 1 den ba¸slayarak h =0.01ad¬m uzunluklar¬al¬nm¬¸st¬r.

[ 1, 1]aral¬¼g¬nda bir çözüm arzu etti¼gimiz için 200 ad¬m uygulamal¬y¬z.

girdi M 200; h 0.01; t 1.0; x 3.0 ç¬kt¬0, t, x

k =1 den M ye döngü x⁰ cos t sin x+t² x⁰⁰ sin t x⁰cos x+2t

x⁰⁰⁰ cos t x⁰⁰cos x+ (x⁰)²sin x+2 x⁽⁴⁾ sin t+ ((x⁰)³ x⁰⁰⁰)cos x+3x⁰x⁰⁰sin x x x+h(x⁰+ ^h₂(x⁰⁰+^h₃(x⁰⁰⁰+ ^h₄(x⁽⁴⁾)))) t t+h

ç¬kt¬k, t, x döngü sonu

2. Taylor Serisi Yöntemi

Örnek (Devam)

Hesaplad¬¼g¬m¬z çözümün hatas¬hakk¬nda ne söyleyebiliriz? Taylor serisindeki h⁵, h⁶, ... terimlerini almad¬¼g¬m¬z için, herbir ad¬mda yerel kesme hatas¬O(^h5)dir. Bu nedenle yerel hatalar¬n davran¬¸s¬h !^{0 için} Ch⁵ e benzer olmal¬d¬r. Ne yaz¬k ki C yi bilmiyoruz. Fakat, h=10 ² oldu¼gundan h⁵ =10 ¹⁰ dur. O halde, e¼ger ¸sansl¬ysak, herbir ad¬mdaki hata, boyut olarak kabaca 10 ¹⁰ olmal¬d¬r. Birkaç yüz ad¬mdan sonra, bu küçük hatalar birikir ve say¬sal çözümü mahveder. (·Ilki hariç) herbir ad¬mda x(t_k) n¬n x_k tahmini halihaz¬rda hata içermektedir ve sonraki hesaplamalar bu hatalar¬art¬rmaya devam eder. Bu uyar¬lar, bir diferensiyel denklemin say¬sal çözümündeki tüm desimal de¼gerleri körü körüne kabul etme konusunda çok dikkatli olmak gerekti¼gini söylemektedir. Yukar¬daki algoritma programlan¬p çal¬¸st¬r¬l¬rsa t =1deki çözüm x200 =6.42194olur.

Program¬n örnek bir ç¬kt¬s¬¸su ¸sekildedir:

2. Taylor Serisi Yöntemi

k t x

0 1.00000 3.00000 1 0.99000 3.01400 2 0.98000 3.02803 3 0.97000 3.04209 4 0.96000 3.05617 5 0.95000 3.07028 6 0.94000 3.08443 7 0.93000 3.09861

... ... ...

... ... ...

196 0.96000 6.36566 197 0.97000 6.37977 198 0.98000 6.39386 199 0.99000 6.40791 200 1.00000 6.42194

Bir sonraki bilgisayar çal¬¸st¬rmas¬nda diferensiyel denklem, bu x₂₀₀ de¼geri ba¸slang¬ç ko¸sulu al¬n¬p,h = 0.01 ile çal¬¸st¬r¬ld¬¼g¬nda; program bu kez t = 0.99999da x₂₀₀ 3.00000verir. Orjinal ba¸slang¬ç de¼gerine olan bu yak¬nl¬k, say¬sal çözümün, yakla¸s¬k olarak görünen 6 de¼gerinin, yani

görünen rakamlar¬n tümüne kadar duyarl¬oldu¼gunu dü¸sünmemizi sa¼glar.

2. Taylor Serisi Yöntemi

Tart¬¸st¬¼g¬m¬z örnekte, say¬sal çözümün her ad¬m¬ndaki yerel kesme hatas¬n¬

tahmin etmek güç de¼gildir. Bunun için (4) Taylor serisindeki hata teriminin

E_n = ¹

(n+1)!hⁿ⁺¹x⁽ⁿ⁺¹⁾(t+θh) (0< θ<1) oldu¼gunu hat¬rlayal¬m. Bu, h n¬n toplamda içerilen son kuvvetinin hⁿ olmas¬durumundaki hatad¬r. Örnekte, n=4 ve h =0.01 alm¬¸st¬k. Basit bir sonlu-fark ile x⁽⁵⁾(t+θh)e bir yakla¸s¬m yap¬l¬rsa

E₄ 1 5!h⁵

"

x⁽⁴⁾(t+h) x⁽⁴⁾(t) h

#

= ^h

4

120 h

x⁽⁴⁾(t+h) x⁽⁴⁾(t)ⁱ (5)

elde edilir. Taylor yönteminde n =1durumuna Euler yöntemi denir. Yani x(t+h) =x(t) +hf(t, x)

Bu formül aç¬k olarak f nin herhangi türevini içermeme avantaj¬na sahiptir. Bu avantaj, kabul edilebilir bir duyarl¬l¬k için h n¬n küçük