(8 puan) Z π/2 0 cos3x Z π/2 0 cos3x Z π/2 0 cos3x sinsinsin222xxx dxdxdx belirli integralini hesaplayınız

F˙INAL SINAV KA ˘GIDI

Adı: Dersin Adı: MATEMAT˙IK II Not

Soyadı: Dersin Kodu: MAT1034

Numarası: B¨ol¨um¨u: ˙ISTAT˙IST˙IK

˙Imzası: Sınav Tarihi: 04/06/2018

SORULAR 1. (12 puan)

Z ∞ 0

xe^xdx Z ∞

0

xe^xdx Z ∞

0

xe^xdx genelle¸stirilmi¸s integralin tipini belirleyerek yakınsak veya ıraksak oldu˘gunu g¨osteriniz.

2. (10 puan)

Z dx

(9 + x²)^3/2

Z dx

(9 + x²)^3/2

Z dx

(9 + x²)^3/2 belirsiz integralini hesaplayınız.

3. (8 puan) Z π/2

0

cos³x Z π/2

0

cos³x Z π/2

0

cos³x sinsinsin²²²xxx dxdxdx belirli integralini hesaplayınız.

4. (15 puan) y = xy = xy = x²²² ile y = 2 − xy = 2 − xy = 2 − x²²² e˘grilerinin sınırladı˘gı b¨olgenin:

a) (7 puan) Alanını bulunuz. b) (8 puan) Bu b¨olgenin x-ekseni etrafında d¨ond¨ur¨ulmesiyle olu¸san d¨onel cismin hacmini bulunuz.

5. (10 puan) x = cos(t) + t sin(t)x = cos(t) + t sin(t)x = cos(t) + t sin(t), y = sin(t) − t cos(t)y = sin(t) − t cos(t)y = sin(t) − t cos(t), 0 ≤ t ≤ 2π0 ≤ t ≤ 2π0 ≤ t ≤ 2π parametrik denklemi ile verilen e˘grinin uzunlu˘gunu bulunuz.

6. (10 puan) r = 6r = 6r = 6 ¸cemberinin i¸cinde r = 3r = 3r = 3 cosec(θ)cosec(θ)cosec(θ) do˘grusunun ¨ust tarafında kalan b¨olgeyi

¸cizerek bu b¨olgenin alanını ifade eden integrali veya integralleri yazınız. (Buldu˘gunuz integrali(leri) hesaplamayınız !)

7. (8x3=24 puan) A¸sa˘gıdaki serilerin karakterini belirleyiniz. E˘ger m¨umk¨unse toplamlarını bulunuz. (Yalnızca 3 tanesi yapılacak.)

a)X^∞

k=1

1 4k²− 1 X^∞

k=1

1 4k²− 1 X^∞

k=1

1

4k² − 1, b)X^∞

n=1

 5

2ⁿ + 1 3ⁿ⁻¹

 X^∞

n=1

 5 2ⁿ + 1

3ⁿ⁻¹

 X^∞

n=1

 5

2ⁿ + 1 3ⁿ⁻¹



, c)X^∞

n=2

1 n ln(n) X^∞

n=2

1 n ln(n) X^∞

n=2

1 n ln(n), d)X^∞

n=1

n + 1 n²+√

n + 5, X^∞

n=1

n + 1 n²+√

n + 5, X^∞

n=1

n + 1 n²+√

n + 5, e)X^∞

n=0

(n!)³ 2⁵ⁿ (3n)!

X^∞

n=0

(n!)³ 2⁵ⁿ (3n)!

X^∞

n=0

(n!)³ 2⁵ⁿ (3n)! .

8. (11 puan) aaa_nnn≥ 0≥ 0≥ 0 olmak ¨uzere X^∞

n=0a_n X^∞

n=0a_n X^∞

n=0a_n serisinin n. kısmi toplamı S_n= n² 1 + 2n² S_n= n²

1 + 2n² S_n = n²

1 + 2n² olsun.

Bu durumda a) (3 puan)X^∞

n=0an

X^∞

n=0a_n X^∞

n=0an serisi yakınsak mıdır? A¸cıklayınız.

b) (3 puan) limlimlim_n→∞n→∞_n→∞aaa_nn_n=?=?=? A¸cıklayınız.

c) (5 puan)X^∞

n=0

a_n 1 + an

X^∞

n=0

an

1 + a_n X^∞

n=0

a_n 1 + an

serisi yakınsak mıdır? A¸cıklayınız.

Not: T¨um cevaplarınızı anla¸sılır bir bi¸cimde a¸cıklayarak yazınız. A¸cıklaması ol- mayan cevaplar de˘gerlendirilmeyecektir.

*Sınav s¨uresi 100 dakikadır.

BAS¸ARILAR

Dr. ¨O˘gr. ¨U. Fatih KIZILASLAN

Sorular 1 2 3 4 5 6 7 8

Puan