ELEKTRONİK SİSTEMLERDE KAOTİK
SİNYALLERİN AKTİF KONTROLÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Elektrik Elektronik Müh. Ferhunde Tuğba İSKURT
Enstitü Anabilim Dalı : ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ Enstitü Bilim Dalı : ELEKTRONİK
Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Yılmaz UYAROĞLU
Ocak 2012
Tez çalışmalarımda yardımlarını ve teşviklerini esirgemeyen değerli hocam Yrd.
Doç. Dr. Yılmaz UYAROĞLU’na teşekkür ederim.
Tüm eğitim hayatım boyunca hep yanımda olan, beni destekleyen annem ve babama, anlayışı ve teşvikleri için eşime, bana destek veren tüm aileme, uslu durup beni rahatsız etmeden bekleyen, yeni doğacak olan oğluma teşekkür ederim.
ii
İÇİNDEKİLER
TEŞEKKÜR………... ii
İÇİNDEKİLER……….. iii
SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ……… v
ŞEKİLLER LİSTESİ ………... ix
ÖZET………... xiii
SUMMARY………... xiv
BÖLÜM 1. GİRİŞ………... 1
BÖLÜM 2. KAOTİK SİSTEMLER………. 11
2.1. Lorenz Sistemi………... 11
2.2. Duffing Sistemi………... 15
2.3. Rössler Sistemi………... 17
2.4. Chua Sistemi ………... 21
2.4.1. Chua devre analizi………. 21
2.4.2. Chua devresinin durum uzay modeli 22 2.5. Chen Sistemleri………... 26
2.6. Rikitake Sistemi……….. 30
2.7. Burke-Shaw Sistemi……… 32
2.8. Van Der Pol Sistemi……… 35
2.9. Colpitts Sistemi………... 37
2.10. Malasoma 2000 Sistemi ……… 41
2.11. Wien-Köprü Osilatörü……… 43
BÖLÜM 3. AKTİF KOTROL VE SENKRONİZASYON... 48
iii
BÖLÜM 4.
KAOTİK RUCKLIDE SİSTEMİ İNCELENMESİ VE AKTİF KONTROL İLE SENKRONİZASYONU... 54 4.1. Kaotik Rucklidge Sistemi İncelenmesi ………. 54 4.1.1. Kaotik Rucklidge sisteminin Pecora-Carroll yöntemi ile
Matlab-Simulink modellenmesiyle incelenmesi…... 54 4.1.2. Rucklidge Devresinin Pspice Simülasyonuyla İncelenmesi 57 4.2. Kaotik Rucklidge Sisteminin Aktif Kontrol İle Senkronizasyonu 60 4.2.1. Kaotik Rucklidge sisteminin, Matlab-Simulink P-C
senkronizasyon modellemesi………..
60 4.2.2. Kaotik Rucklidge devresinin Pspice simülasyonuyla
Senkronizasyonu...
69 BÖLÜM 5.
SONUÇLAR………... 71 KAYNAKLAR……….. 73 ÖZGEÇMİŞ………... 75
iv
SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ
t : Zaman
x : Kaotik Durum Değişkeni y : Kaotik Durum Değişkeni z : Kaotik Durum Değişkeni
xO : Durum Değişkeninin Başlangıç Değeri yO : Durum Değişkeninin Başlangıç Değeri zO : Durum Değişkeninin Başlangıç Değeri x 2 : Cevap Sisteminin Kaotik Durum Değişkeni y2 : Cevap Sisteminin Kaotik Durum Değişkeni z 2 : Cevap Sisteminin Kaotik Durum Değişkeni
x& : Durum Değişkeninin Türevi y& : Durum Değişkeninin Türevi z& : Durum Değişkeninin Türevi e x :Kaos Senkronizasyon Hatası ey :Kaos Senkronizasyon Hatası e z :Kaos Senkronizasyon Hatası e 1 :Kaos Senkronizasyon Hatası e 2 :Kaos Senkronizasyon Hatası e 3 :Kaos Senkronizasyon Hatası
v
v 3 :Kontrol Girişi u 1 : Kontrol Fonksiyonu u 2 : Kontrol Fonksiyonu u 3 : Kontrol Fonksiyonu A :Sabit Bir Matris
λ1 :Özdeğer
λ1 :Özdeğer
λ1 :Özdeğer
a : Parametre
b :Parametre
c : Parametre
d : Parametre
e : Parametre
w 0 : Parametre μ : Parametre
r : Parametre
β : Parametre
f : Parametre
W : Parametre
m 0 : Parametre m 1 : Parametre
σ : Parametre
vi
A : Parametre C 1 :1 Nolu Kapasitör C 2 : 2 Nolu Kapasitör
L : Endüktör
R : Direnç
NR : Chua Diyodu
İ NR : Chua Diyodundan Geçen Akım iL : L Indüktöründen Geçen Akım
1
V C : C1 Diyod Gerilimi
2
V C : C2 Diyod Gerilimi g1 : Dış Bölge Eğimlerini g2 : İç Bölge Eğimlerini
s : Zaman Birimi Ω : Ohm Direnç Birimi
a 12 : A Matris Elemanı a 21 : A Matris Elemanı
kHz : Kilohertz Frekans Birimi mV : Milivolt (Potansiyel Fark) sqrt :Kare
pi :Pi Sayısı
A :Opamp Kazancı VOA :Voltaj Modlu Op-Amp CFOA :Akım Modlu Op-Amp
NIC : Negatif Empedans Çeviricisidir R 5 : Direnç
vii
W :Watt Güç BIRIMI
kW : KiLOWATT Güç BIRIMI
nF :Nanofarad KAPASITANS BIRIMI
viii
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil 1.1. E. Lorenz’ in 1963’te bulduğu “kelebek etkisi”... 7
Şekil 1.2. Rössler sisteminin a) x-y, b) x-z, ve c) y-z kaotik çekicileri…... 8
Şekil 2.1. Lorenz sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi………. 13
Şekil 2.2. Lorenz Sisteminin x,y,z durum değişkenlerinin zamana göre kaotik değişimi……….. 14
Şekil 2.3. a.Lorenz sisteminin x-y kaotik çekicileri b.Lorenz sisteminin x-z kaotik çekicileri c.Lorenz sisteminin y-z kaotik çekicileri... 15
Şekil 2.4. A’nın değerlerine göre x(t) davranışları……….. 16
Şekil 2.5. Duffing Kaotik Osilatörünün Oluşturduğu Kaotik Yapı……… 16
Şekil 2.6. Rössler sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi……… 18
Şekil 2.7. a Rössler sisteminin x durum değişkeninin zamana göre kaotik değişimi b Rössler sisteminin y durum değişkeninin zamana göre kaotik değişimi c Rössler sisteminin z durum değişkeninin zamana göre kaotik değişimi……….. 19
Şekil 2.8. a. Rössler sisteminin x-y kaotik çekicileri b. Rössler sisteminin x-z kaotik çekicileri c. Rössler sisteminin y-z kaotik çekicileri... 20 Şekil 2.9. Rössler sisteminin üç boyutlu x-y-z kaotik faz portresi……… 20
ix
Şekil 2.12. Doğrusal Olmayan Negatif Direnç Karakteristiği……….. 23
Şekil 2.13. Şekil 2.13 Chua sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi………... 25
Şekil 2.14. R=1667 değeri için elde edilen simulasyon sonuçları Ω a)Vc1 ve Vc2 ve IL b)x-y kaotik çekicisi ……….. 26
Şekil 2.15. Chen sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi……… 28
Şekil 2.16. Chen sisteminin a) x-y b) y-z c) x-z kaotik çekicileri……….. 30
Şekil 2.17. Rikitake sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi……….. 31
Şekil 2.18. Rikitake sisteminin x,y,z durum değişkenlerinin zamana göre kaotik değişimi……….. 32
Şekil 2.19. Burke-Shaw çekicisinin Matlab-Simulink modeli……… 33
Şekil 2.20. Burke-Shaw çekicisinin x, y, z zaman serileri……….. 33
Şekil 2.21. Burke-Shaw çekicisinin x-y-z kaotik faz portresi……… 34
Şekil 2.22. Burke-Shaw sisteminin a) x-y, b) x-z ve c) y-z kaotik çekicileri………... 34 Şekil 2.23. Van Der Pol kaotik osilatörünün Matlab-Simulink modellemesi …. 36 Şekil 2.24. Van Der Pol çekicisinin x, y zaman serileri………... 36
Şekil 2.25. Van Der Pol kaotik osilatörünün; x-y kaotik faz portresi (limit döngü)………. 37
Şekil 2.26. Colpitts osilatörü Matlab-Simulink modeli……… 39
x
Şekil 2.27. Colpitts osilatörü devre modeli……….. 40 Şekil 2.28. Matlab simulink modelinde ölçülen output değeri………. 40 Şekil 2.29. Malasoma 2000 sisteminin Matlab-Simulink modellemesi………... 41 Şekil 2.30. Malasoma 2000 sisteminin
a) x-y b) x-z, ve
c) y-z kaotik çekicileri... ……
42 Şekil 2.31. Klasik Wien Köprü Osilatör……….. 43 Şekil 2.32. CFOA-Tabanlı Wien Köprü Osilatör……….
.
45 Şekil 2.33. VOA-Tabanlı Kaotik Wien Köprü Osilatör……… 46 Şekil 2.34. CFOA-Tabanlı Kaotik Wien Köprü Osilatör………. 46 Şekil 2.35. VOA-Tabanlı Kaotik Wien Köprü Osilatörünün Simülasyon
Sonuçları
a. Devredeki Kaotik Dinamikler (V01 V02)
b. Çeker Gösterimi (V01-V02) ………. 47 Şekil 3.1. Pecora-Carroll metoduyla yapılan senkronizasyonun blok
diyagramı ……….……… 50
Şekil 3.2. Kaskat bağlanmış senkronize sistem şematiği (P-C metodu)……… 50 Şekil 4.1. Rucklidge Sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi………... 54 Şekil 4.2. Rikitake sisteminin x1,y1,z1 durum değişkenlerinin zamana göre
değişimi……….. 55 Şekil 4.3. a . Rucklidge Çekicisinin X-Y kaotik çekicileri
b. Rucklidge Çekicisinin Y-Z kaotik çekicileri
c . Rucklidge Çekicisinin X-Z kaotik çekicileri………...
56 Şekil 4.4. Rucklidge çekicisinin üç boyutlu x-y-z kaotik yörüngesi (faz
portresi)………
57 Şekil 4.5. Rucklidge sisteminin Pspice simülasyon devresi………. 57
xi
Şekil 4.7. Rucklidge sistemi Pspice P-C senkronizasyon devresi simülasyon sonuçları
(a) Senkronizasyon öncesi Sürücü(X) ve Cevap(Xc) kaotik sinyallarin zamana göre değişimi
(b) Senkronizasyonsuz X-Xc değişimi………..
58 Şekil 4.8. Rucklidge devresi pspice simülasyon sonuçları
a)x-y, b)x-z, d) y-z kaotik çekicileri……….. 59
Şekil 4.9.
Şekil 4.10.
Rucklidge sisteminin Simulink P-Csenkronizasyon modellemesi Senkronizasyondan önceki zaman serileri………
61 62 Şekil 4.11. Rucklidge Çekicisinin senkronizasyondan önce a)X1-X2, b)Y1-
Y2, c)Z1-Z2 değişimi……….. 63 Şekil 4.12. Rucklidge kaotik sisteminin kontrolör uygulanmadan önceki hata
işareti a)e1,b)e2, c)e3... 64 Şekil 4.13. Kontrolör aktif iken sürücü (master) ve cevap (slave) sistemlerinin
zaman serileri………. 68 Şekil 4.14. Kontrolör uygulandıktan sonra sürücü ve cevap sistemlerinin
arasındaki senkronizasyon hatası………. 68 Şekil 4.15. Rucklidge sistemi Pspice P-C senkronizasyon devresi……….. 69 Şekil 4.16. Rucklidge sistemi Pspice P-C senkronizasyon devresi simülasyon
sonuçları ……….... 70
xii
ÖZET
Anahtar Kelimeler: Kaos Teorisi, Kaotik Sistemler, Kaos Kontrolü, Senkronizasyon, Aktif Kontrol
Kaos kavramı günlük dildeki kullanımından farklı olarak bilimsel anlamda
“düzensizliğin içindeki düzen” manasında kullanılmaktadır. Kısaca günlük dildeki kullanımı ile bilimsel kullanımı arasında oldukça önemli fark vardır.”Kompleks, doğrusal olmayan dinamik sistemlerin düzensiz ve öngörülemez davranışı” şeklinde yorumlanmıştır. Teoride, gerçekte zamana göre oluşan her şey örneğin; polen üretimi, nüfus artışı, ekonomik değişimler, dünya buz kütlesi vb. kaotik olabilir.
Kaos teorisi, borsadan meteorolojiye, iletişimden tıbba, kimyadan mekaniğe, biyolojiden iktisata kadar uzanan çok farklı dallarda önemli kullanım alanları mevcuttur. Fizik, kimya, matematik, fizyoloji, sosyoloji, ekonomi, tarih, ekoloji astronomi, hidrolik, atmosferik, uluslararası ilişkiler, solar sistemler, mühendislik gibi alanlarda da kaotik çalışmalar görülmektedir. Kaosun, güç sistemleri, yüksek performanslı devreler ve cihazlar, bilgi teknolojileri, düşük enerji tüketimi ile sıvı karıştırma, güç sistemlerinin çöküşünü önlemek, lazerlerin gücünün artırılması elektronik devrelerin çıkışlarının senkronize edilmesi, kimyasal reaksiyonların osilasyon kontrolü, beyin dalgalarının incelenmesi, görüntü sıkıştırma ve iletilmesi, güvenli haberleşme, otomatik kontrol sistemleri, lazer fiziği ve finansal modelleme gibi alanlarda birçok başarılı ve yaygın kullanım alanı vardır.
Bu tezde amaç, kaos bilimini, günümüze gelene kadar yapılan çalışmalarını incelemek, kaos biliminin hangi alanlarda kullanıldığını araştırmak, kaotik sistemleri tanıtmak, devre modellerini ve Matlab programında simulasyonunu yapıp, sistem davranışlarını incelemek, aktif kontrol yöntemini ve senkronizasyonu incelemek, tanıtmak ve bu doğrultuda iki kaotik sistemin aktif kontrol uygulanarak, senkronizasyonunu sağlamaktır.
Bu tezde, senkronizasyon tanımlanmış, yöntemleri incelenmiş, senkronizasyon için geniş çaplı ve etkili bir teknik olarak kabul görmüş aktif kontrol yöntemi incelenmiştir. Bu doğrultuda Rucklidge kaotik sistemi incelenmiş, iki kaotik Rucklidge sisteminin aktif kontrol ile senkronizasyonu sağlanmıştır. Kontrolden önceki ve sonraki sistem davranışı incelenmiştir.
xiii
SUMMARY
Key Words: Chaos Theory, Chaotic Systems, Chaotic Control, Synchronization Active control
Unlike the useage of everyday language the concept of chaos uses in the meaning that “irregularity in order “ in science. There is pretty important difference between use of everyday language and use of scientific.Chaos is interpreted that irregular unpredictable behavior of complex ,nonlineear dynamic systems.In theory,everything that occur according to the time in practice for example pollen production, population growth, economic changes , world ice field etc. may be chaotic.
Chaos theory has a various important usage that stock market, meteorology ,communication, medicine, mecenic, chemistry, biology, economy. Studies are chaotic. in areas such as physics, chemistry, mathematics, physiology, sociology, economics, history, ecology, astronomy, hydraulics, atmospheric, international relations, solar systems, engineering.
There are many successful and widely usage of chaos that in fields such as power systems, high-performance circuits and devices, information technology, liquid mixing with low energy consumption, to prevent the collapse of power systems, increasing the power of lasers, electronic circuits to synchronize the outputs, oscillating chemical reactions, control, examination of brain waves, image compression and transmission, automatic control systems, secure communications, laser physics, and financial modeling.
This thesis aims are examining the science of chaos and works of the science of chaos until the present day, investigating the areas of chaos that used in, introducing chaotic systems, making a simulation of chaotic circuit models on Matlab and searching the systems behaviours, examining and introducing active control method and synchronization and in this direction ensuring the synchronization between two chaotic systems by applying the active control.
In this thesis, synchronization is introduced and examined methods of synchronization, active control method that recognized as the large-scale effective technique is investigated for synchronization. In this direction Rucklidge chaotic system is examined and the synchronization is ensured between two chaotic systems by applying the active control. The system behavior were examined before and after the control.
xiv
BÖLÜM 1. KAOS BİLİMİ
Kaos teorisi ve kaotik sistem çalışmalarına kaos bilimi denir. Kaos biliminin gelişimi, matematik fizikle başlayıp, kimya, biyoloji, mühendislik ve sosyal bilimlerde de devam etmektedir.
Jules Henri Poincare, 1890 yılında İsveç kralı Oscar II tarafından düzenlenen yarışma ile kaosu ilk tanıtan kişi olmuştur. Kral Oscar ödülü, ilk olarak güneş sisteminin istikrarını kanıtlamak için n-body problemini çözebilen kişiye verilmemiş, Poincare probleme en yakın çözümü bulan kişi olarak, önceden belirlenemeyen davranışlar sergileyen, üç bölüm göksel sistemin yörüngesini bularak ödülü kazanmıştır. Lorenz 1963’te kaotik belirleyici sistemi bulana kadar, Poincare’in buluşları hak ettiği ilgiyi görmedi. Geçtiğimiz 60 yıl içinde, doğrusal olmayan dinamikler ve kaos terimleri, bilim ve teknoloji terimi olarak çok aşina olunan terimler haline gelmiştir. Zaman içinde gelişen olayların büyük çoğunluğunun matematiksel formülleri, doğrusal olmayan sıra veya kısmi diferansiyel denklemlerden ya da doğrusal olmayan uzay ve ayrık zaman yenilemeli işlemlerden oluşur. Fonksiyonları ya da dinamik davranışları sabit, periyodik veya yarı-periyodik olmayan osilatörlere, “kaotik”, “aperiyodik” ya da “düzensiz” denir. Periyodiklik, yüksek derecede düzenliliği gösterir.
Yunanistan, Çin, Hindistan, Mısır gibi farklı medeniyetlerde kaosla ilgili çeşitli efsaneler vardır. Kavram, Yunanca “boşluk, yarık, hudutsuzluk” anlamlarına gelen
“Khaos” kelimesinden gelmektedir. Fakat modern dünyada, kaos kavramı sözcük anlamı itibariyle günlük dilde, “karmaşıklık, düzensizlik, belirsizlik gibi ifadeleri çağrıştırır.1997 yılında Oxford İngilizce Sözlük Online “kaos” kelimesinin anlamını;
“Determinist yasalar tarafından yönetilen ancak parametrelerdeki değişikliklere karşı aşırı duyarlı ya da çok sayıda bağımsız değişkene bağımlı olduğundan dolayı
önceden kestirilemez ve neredeyse rastgeleymiş gibi gözüken bir sistemin davranışı, böylesi bir davranışın belirlediği durum.” olarak güncelledi [1].
Kaos kavramı günlük dildeki kullanımından farklı olarak bilimsel anlamda
“düzensizliğin içindeki düzen” manasında kullanılmaktadır. Kısaca günlük dildeki kullanımı ile bilimsel kullanımı arasında oldukça önemli fark vardır. Kavram ile ilgili en doğru tanımı veren teorik fizikçi Jensen, kaos’u “kompleks, doğrusal olmayan dinamik sistemlerin düzensiz ve öngörülemez davranışı” şeklinde ifade eder. Tanımda yer alan kompleks ifadesi karmaşıklığa, doğrusal olmayan (nonlineer) ifadesi özgün bir matematiksel yapıya, dinamik ifadesi ise sabit olmayan değişken bir yapıya işaret etmektedir [2].
James Gleick’ın Kaos, Yeni Bir Bilim Yaratmak adlı kitabı, kaotik sistemlerin oldukça farklı matematik modeller kullanan farklı araştırmacılar tarafından incelenmesine rağmen her defasında nasıl olup da tüm çalışmaların aynı sonuçlara vardığını açıklıyor: ” önceleri saf “düzensizlik” olarak düşünülen şeyin içinde bir
“düzen” vardır ” [19].
Kaos, deterministik bir sistemin düzensiz yani hiç beklenmedik bir şekilde davranabilmesidir. Örneğin, düzgün bir borudan akan bir sıvının akışında bazen kaotik durumlar görülebilir. Kaotik sistemlerin en önemli özelliği başlangıç şartlarına hassas duyarlılıklarıdır. Deterministik bir sistemin başlangıç durumu ve denklemleri biliniyorsa, sistemin sonraki davranışı belirlenebilir. Kaotik sistemlerde, sistemin zaman içindeki gelişimini tam olarak belirleyebilmek için başlangıç değerlerini sonsuz hassasiyetle bilmek gerekmektedir. Çünkü kaotik sistemler doğrusal olmadıkları için hata zamanla üstel olarak artacaktır [3] . Newton kanunlarından elde edilen dinamik denklemler düzgün akışları ifade edebilirken, akışkanın akış hızı belirli bir değeri aştıktan sonra akışta girdaplar oluşur ve Newton kanunları geçerliliğini yitirir. Yani artık akış kaotiktir. Sigara dumanı birtakım düzensiz helezonlar şeklinde dönerek yükselir. Bir sigara dumanının havada yaptığı şekiller tamamen düzensiz ve bağımsız rastlantıların ürünü olarak görülebilir. Ancak bir teorik fizikçi dumanın bu dinamiğinin aslında ortamdaki birçok parametre ve etken ile belirlendiği görüşündedir [20]. Bu girdiler o kadar çoktur ve o kadar değişkendir
3
ki incelemek ve net bir kanıya varmak imkânsızdır. Parametrelerin bu denli değişken olması aslında o parametrelerin de bir çıktı olmasından kaynaklanır. Dumanın hareketine neden olan hafif bir hava akımı aslında odanın başka yerindeki bir sıcaklık değişikliği ve basınç farkının neden olduğu bir harekettir. Ayrıca dumanın dinamiğini etkileyen girdiler birbirlerine bağlı olabilirler ki bu durumu tam anlamıyla içinden çıkılmaz hâle sokar. Sigara dumanı örneğine geri dönersek, hava akımının yalnızca sıcaklık değişiminden kaynaklandığını farz edelim (ki pratikte bu milyonlarca etkenden biridir). Sıcaklık değişimi ortamda basınç farkı yarattığından hava akımını etkiler. Ancak oluşan hava akımı sıcaklıkta tekrar değişimlere neden olacağından farklı girdilerle tekrar bir fonksiyon oluşturur ve bu değişim sonsuza kadar devam eder. Birçok farklı girdinin sürekli değişerek fiziksel değişimler ve farklı düzenler yaratması ve bu düzenlerin yine kendisini etkilemesi insan zekasının ve günümüzdeki gözlem ve bilimsel tahmin yeteneklerinin çok çok üstünde olmasından dolayı kaos olarak nitelendirilir [4].
Musluktan damlayan su önce düzenli aralıklarla düşerken sonra düzeni bozulur.
Havanın davranışında, otoyolda birbiri peşi sıra giden arabaların davranışında, kaos ortaya çıkar. İçinde bulunulan ortam ne olursa olsun, davranış biçimi yeni keşfedilmiş bulunan bu yasalara uyar. Bu anlamda kimi fizikçilere göre kaos bir durumun bilimi değil bir sürecin bilimi, bir varoluşun bilimi değil, bir oluşumun bilimidir. Kaosun meydana gelmesi, belirli parametrelere bağlı olduğu gibi sistemin yapısına da bağlıdır. Kaos genellikle kararsız, karmaşık ve doğrusal olmayan sistemlerde ortaya çıkmaktadır. Karmaşık sistemler, çok sayıda elemanın birbiriyle etkileştiği, pek çok serbestlik derecesi olan yani çeşitli davranış şekilleri gösterebilen, genellikle de dışarıyla madde ve enerji alışverişi yapan, incelenmesi zor sistemlerdir. Doğrusal olmayan bir sistem, değişim anında değişim kurallarının da değiştiği bir sistemdir ve sistem, dışarıdan gelebilecek etkilere karşı açıksa sistemden beklenmeyen davranış biçimleri görülebilir.
Teoride, gerçekte zamana göre oluşan her şey örneğin; polen üretimi, nüfus artışı, ekonomik değişimler, dünya buz kütlesi vb. kaotik olabilir. Son yıllarda kaos teorisinin ve onun bir uzantısı olan fraktal geometrinin, borsadan meteorolojiye, iletişimden tıbba, kimyadan mekaniğe, biyolojiden iktisata kadar uzanan çok farklı
dallarda önemli kullanım alanları bulmuştur. Fizik, kimya, matematik, fizyoloji, sosyoloji, ekonomi, tarih, ekoloji, astronomi, hidrolik, atmosferik, uluslararası ilişkiler, solar sistemler, mühendislik gibi alanlarda da kaotik çalışmalar görülmektedir.
Kaosun, güç sistemleri, yüksek performanslı devreler ve cihazlar, bilgi teknolojileri, düşük enerji tüketimi ile sıvı karıştırma, güç sistemlerinin çöküşünü önlemek gibi birçok disiplinde yararlı ve kullanışlı olduğu görülmüştür.
Kaos sisteminin ayrıca lazerlerin gücünün artırılması, elektronik devrelerin çıkışlarının senkronize edilmesi, kimyasal reaksiyonların osilasyon kontrolü, beyin dalgalarının incelenmesi, görüntü sıkıştırma ve iletilmesi, güvenli haberleşme otomatik kontrol sistemleri, lazer fiziği ve finansal modelleme gibi alanlarda birçok başarılı ve yaygın kullanım alanı vardır [3].
Dünyanın nonlineer sistemler halinde yaratılmış olması itibariyle birçok bilimsel yöntemde de kaotik sistemler kullanılmaktadır. Örnek olarak yapay zekâ için kaos teorisi vazgeçilmezdir. Çünkü yapay zekanın temel yaklaşımlarından olan matematiksel yaklaşımın temelini kaos teorisi oluşturmaktadır.
Beynin fizik yapısı ve görünüşü fraktaldır. Bu yapı, beynin gerek evrimsel, gerekse canlının yaşamı sürecindeki gelişimin ürünüdür ki, bu gelişimin deterministik (genlerle belirli), ancak çevre ve başlangıç koşullarına son derece duyarlı, yani kaotik olduğu açıktır. Önümüzdeki yıllarda beynin yalnız alt düzey fizyolojik işleyişinin değil, öğrenme, hatırlama, fikir yürütme gibi üst düzey işlevlerinin de modellenmesinde kaosun çok önemli bir rol oynayacağı görülmektedir.
Sanal Özel Ağ çözümlerimiz sayesinde şirketinizin yurt çapındaki tüm şube, bölge ofisi, bayiler, iş ortakları, üretim ve satış birimleriniz, mağaza ve depolarınız arasında en uygun, ekonomik ve güvenli şekilde iletişim kurma imkânı elde edersiniz. Aynı anda ağınızdaki tüm bilgisayarlar ile veri, ses ve görüntü iletişimi kurarak, ayrıca ödeyeceğiniz iletişim masraflarından kurtulur, şirket işlerini daha hızlı ve güvenli bir şekilde uzaktan yürütme ve kontrol etme imkânına kavuşursunuz.
5
Görüntü, ses veri transferi hedefe gönderilen kaotik sinyalin üzerine iletilmek istenilen verinin bindirilmesi şeklinde günümüz teknolojisi için kolay bir uygulamadır. Gönderilen verinin kaotik sinyaller üzerine bindirilmiş olması hasebiyle çözülmesi çok zor olan bir şifreleme metodu kullanılmış olunur. Karşı taraf gönderilen kaotik sinyalin aynısını üretemeden kesinlikle üzerindeki bilgiyi ayıklayıp çözememektedir.
Ayrıca görüntü şifreleme teknikleri ve günümüzde çeşitli organların ve sistemlerin dinamiğine ilişkin bilgiler toplanmakta, kayıtları kullanarak boyut analizi yapılıp, fizyolojik sistemi tanımlamak için kullanılması gereken parametre sayısını belirlendikten sonra, çeşitli yöntemlerle hesaplamalar yapılarak sistemin kaotik davranış gösterip göstermeyeceği konusunda bilgi sahibi olunmaktadır. Bu bilgiler ışığında organ ve sistemlerin davranışları hakkında hesaplamalar yapılarak tedavi şekli ve metodu belirlenmektedir. Hatta ne zaman nasıl bir rahatsızlık meydana geleceği tahmin edilebilmektedir. Savunma sistemlerinde de görüntü işleme sistemlerinde olduğu gibi gönderilecek bilgi kaotik bir sinyale bindirilmekte ve bu yolla şifreli olarak gönderilmiş olmaktadır. Gökbilimciler, yıldızların, gezegenlerin ve Güneş Sistemindeki uydu ve kuyruklu yıldızların hareketini modellemek için kaos teorisini kullanmaktadır. Haberleşme sistemlerin kaos dinamiğinin kullanılması güvenli bilgi aktarımının araştırılması sonucu ortaya çıkmıştır. Kaos dinamiği girişe olan hassas bağımlılığı ve doğrusal olmayan yapıda olması haberleşme sistemlerini, kaotik işaret üreten osilatörlerle bilgi işaretinin taşıması ilgi çekici bir konu haline getirmiştir. Bu işlem için kullanılan ve bilen en önemli kaotik işaret üreten osilatörler; Chua, Lorenz ve Rössler dir. Bunların dışında ayrıca geliştirilmiş olan çok sayıda kaotik osilatör devre mevcuttur.
Kaos ile ilgili genel algı bozukluğu onun “düzensizlik” ve hatta ” rastgele” ile eşdeğer olduğudur. Şu husus doğru anlaşılmalıdır ki kaos, tam olarak düzensiz değildir ve rastgele gibi görünen davranışı bir kural tarafından yönetilir ve matematiksel olarak bu kural, şans unsuru içeremeyen bir deterministik bir model veya denklemdir. Aslında, kaosun düzensiz ya da rastgele gibi algılan davranışı, başlangıç koşullarına olan yüksek duyarlılığından kaynaklanır. Benzer birçok
bilimsel terim gibi, kaosunda standart bir tanımı yoktur. Yine de kaosun bazı tipik özellikleri şunlardır:
- Doğrusalsızlık (Nonlinearity) : Kaos doğrusal bir sistemde oluşamaz.
Doğrusal olmama kaosun meydana gelmesi için gerekli ancak yeterli şart değildir. Esasen, tüm gerçekçi sistemler belirli bir dereceye kadar doğrusalsızlık sergiler.
- Determinizm (Determinism): Kaos, herhangi rastgele faktör içermeyen, bir veya birden fazla deterministik denkleme tabi olmalıdır. Geçmiş, şimdiki ve gelecekteki sistem durumları olasılıksaldan ziyade deterministik temel kurallar tarafından kontrol edilmelidir. Pratik olarak, deterministik ve olasılıksal sistemler arasındaki sınır çok belirgin olmayabilir çünkü ilk bakışta rastgele gibi görülen bir sürecin henüz belirlenmemiş temel kuralları olabilir.
- Başlangıç koşullarına hassas bağımlılık: Sistemin ilk durumundaki ufak bir değişiklik, son durumunda son derece farklı davranışa neden olabilir. Böylece, deterministik temel kurallara göre yönetilir olmasına rağmen, sistem davranışının uzun vadeli öngörüsü imkânsızdır.
- Periyodik olmama (Aperiodicity): Kaotik yörüngeler aperiyodiktir, ancak tüm aperiyodik yörüngeler kaotik değildir. Neredeyse-periyodik ve yarı- periyodik yörüngeler de aperiyodikdir, ama kaotik değil [1].
Kaos, Lorenz’in 1963’te ilk atraktörü bulmasından sonra çoğu fizikçinin ilgisini çekmiştir. Havanın basitleştirilmiş bir modelini çalışmak üzere basit bir bilgisayar programı yazarken, hava davranışlarını modellemek için 3 adet doğrusal olmayan birinci dereceden adi diferansiyel denklem bulmuştur. Bu denklemler çizdirildiğinde, tahmin edilemeyen fakat rasgele de olmayan ve birbiri etrafında dolanan ama kesişmeyen yörünge salınımları (pendulum) elde edilir. Bu denklemlerin diğer bir özelliği de denklemlerdeki başlangıç şartlarının çok küçük değerlerinde dahi sistemin cevabının oldukça farklı olmasıdır. Lorenz yaptığı ölçümlerde, ihmal edilebileceğini
7
düşündüğü çok küçük başlangıç şartları değişiminde bile sistem cevabının ne kadar farklı şekil aldığını görmüş, başlangıç şartlarına olan bu hassas bağımlılığı “kelebek etkisi” olarak isimlendirmiştir [4] ( Şekil 1.1 ).
Şekil 1.1. E. Lorenz’ in 1963’te bulduğu “ kelebek etkisi ”
Daha sonra 1976 yıllarında Rössler sistemi, en çok bilinen fraktallardan biri olarak Alman Dr. Otto Rössler tarafından bulunmuştur. Doğrusal olmayan sistemleri açıklayan çok parçalı şekillere fraktal (fractal) denir. Bu parçalar birbirinin aynısıdır ve limitsizce küçülerek yeni ama ana şekle benzeyen şekiller oluştururlar. Fraktalar aslında tabiatta her zaman karşılaşılan geometrilerdir. Dağların, bulutların, kıyıların geometrilerini açıklarlar. Fraktalar üzerinde birçok bilim adamı çalışmıştır.
Bunlardan Koch Snowflake ve Benoit Mandelbrot en meşhurlarıdır [4].
Rössler kaosa karmaşık filozofik düşüncelerden girmiştir. Filozofide de garip çekiciler olduğunu fark etmiştir. Onun fraktalı kıvrımlı kurdeleye benzemektedir [4]
(Şekil 1.2 ).
Şekil 1.2. Rössler sisteminin a) x-y, b) x-z, ve c) y-z kaotik çekicileri
1978 yılında Rabinovich sistemi tanımlanmıştır. Chua sistemi, 1983’te Prof. Dr. L.O.
Chua’ nın kendi adıyla anılan ve çok basit yapıda olan kaotik bir osilatör devresi ile tanımlanmıştır. Bu osilatörle beraber elektronik ve kaotik işaretler alanındaki gelişmeler oldukça hızlanmıştır. Bu devrenin en önemli özelliği kaosun deney yoluyla ispatlandığı ilk devre oluşudur. Rikitake sistemi, 1958’de dünyanın manyetik alanının tersini yapmasını açıklayan bir model olmuştur. Bu sistem üzerinde, daha sonraki yıllarda iki çifli dinamo disklerinden geçen akımları açıklayıcı çalışmalar yapılmıştır [5]. 1970 yılında Ueda, Duffing denkleminin karışık değişmeyen manifoldu yapısını göstermek için öncü bir makale yayınladı. 1974 yılında May, popülasyon biyolojide kaotik davranışı tespit etti ve "kaos" terimini, teknik olarak bugünde kullanılan şekli ile ilk kez ortaya attı.
1975 yılında Li ve Yorke, "Üçüncü Dönem Kaosu İma Eder” başlıklı çığır açan bir makale yayınladı ve kaos’un matematiksel tanımını ortaya koydu. 1978 yılında Feigenbaum, kaosun başlangıcı öncesinde, doğrusal olmayan geniş bir sınıf eşlemelerinin (nonlinear mapping) Feigenbaum sabitini açıkladı. 1982 yılında Mandelbrot, "fraktal" (fractal) sözcüğünü icat etti ve kaos üstüne çalışan fraktal geometrinin temellerini attı. 1990 yılında Ott, Grebogi ve Yorke, kaosun kontrolü adlı araştırma temasını açtı . 1997 Chen, kaosun “antikontrolü” (anticontrol) terimi icat etti ve bu yönde araştırmalara başladı. 1999 yılında Wen Yu Lorenz sistemi kontrolörü tasarımı için pasif kontrol tekniğini kullanmıştır. 2004 yılında, Qi bu tekniği Chen sistemine uygulamıştır ve Chen, 2010 yılında pasif kontrol tekniğini birleşik kaotik sistemde uygulamıştır. Kemih, pasif kontrol tekniğiyle Liu sistemini 2006’da ve ayrıca nükleer spin jeneratör sistemini 2009’da kontrol etmek için
9
kontrolör tasarlamıştır.2005’te Tigan ,3 boyutlu kaotik T sistemini raporlamıştır.
Zhou, 2009’da pasif kontrol tekniği ile 4D kaotik sistem kontrolü yapmıştır [1].
Kaos kontrolü, OGY method tasarlandıktan sonra araştırmacılar tarafından çok ilgi gördü. Adaptive control, sliding mode control, linear feedback control ve passive control gibi daha birçok kaotik sistem kontrol metodu tasarlanmıştır.
Bu tezde amaç, kaos bilimini, günümüze gelene kadar yapılan çalışmalarını incelemek, Kaos biliminin hangi alanlarda kullanıldığını araştırmak, kaotik sistemleri tanıtmak, devre modellerini ve Matlab programında simulasyonunu yapıp, sistem davranışlarını incelemek, aktif kontrol yöntemini ve senkronizasyonu incelemek, tanıtmak ve bu doğrultuda iki kaotik sistemin aktif kontrol uygulanarak, senkronizasyonunu sağlamaktır.Bu tez çalışması aşağıdaki plan çerçevesinde düzenlenmiştir.
Tezin giriş bölümü olan 1. bölümünde, Kaos ve kaotik sistemlerin tanımı ve açıklaması, günümüze kadar süre gelen kaos konulu araştırmalar ve araştırmacılar, kaotik sistemlerin özellikleri, kaosun kullanım alanları ve kaotik sistemlerin kullanıldığı bilimsel yöntemlerden bahsedilmiştir.
İkinci bölüm’de, Lorenz sistemi, Duffing sistemi, Rössler sistemi, Chua sistemi, Chen sistemleri, Rikitake sistemi, Burke-Shaw sistemi, Van Der Pol sistemi, Colpitts sistemi, Malasoma 2000 sistemi, Wien-Köprü osilatörü gibi kaotik sistemler incelenmiş ve bunların Matlab-Simulink modellemesi yapılarak, kaotik analizleri yapılmıştır.
Üçüncü bölüm’de, senkronizasyon tanımlanmış, yöntemleri incelenmiş senkronizasyon için, geniş çaplı ve etkili bir teknik olarak kabul görmüş aktif kontrol yöntemi incelenmiştir.
Dördüncü bölüm’de Rucklidge kaotik sistemi incelenmiş, iki kaotik Rucklidge sisteminin aktif kontrol ile senkronizasyonu sağlanmıştır. Bu çalışmaların sonuç gösterimleri, Matlab-simulink modellenmesiyle ve Pspice simülasyonuyla incelenmiş
senkronizasyondan önce ve senkronizasyondan sonra yani sisteme kontolör eklemeden önce ve kontrolör ekledikten sonra olmak üzere grafiksel olarak gösterilmiştir.
BÖLÜM 2. KAOTİK SİSTEMLER
Kaos konusunun bilime getirdiği yeni açılımlar; çeşitli amaçlarda kullanılmak üzere kaotik işaretler oluşturan osilatörler geliştirilmesine ya da var olan osilatör devreleri üzerinde araştırmalar yapılmasına neden olmuştur.
2.1. Lorenz Sistemi
Lorenz osilatörü, kaotik akış sergileyen 3 boyutlu dinamik bir sistemdir. Bu sistem kelebek etkisi şemasında gösterilmektedir. Kelebek kanatlarını andıran bu sihirli şekil kaosun ilk araştırmacıları tarafından bir sembol olarak benimsenmiştir.
1963 yılında E.N Lorenz’in atmosferdeki akışkan ısı yayınımına benzetim yaparken bulduğu denklemler başlangıç şartlarına hassas bağlılık ve kaos göstermekte olan doğrusal olmayan sistemlerin ilkidir. Bu sistem kaos alanındaki teorik ve deneysel çalışmalara öncülük yapmıştır.
Nonlineer ilişkilerde önce on iki, sonra sadece üç değişken kullanan Lorenz, bilgisayarında sürekli olarak değişen ama aynı koşulları tam anlamıyla iki kez asla tekrarlamayan koşullardan oluşan bir sürekli dizi üretmeyi başarmıştı. Nispeten basit matematiksel kuralları kullanarak “kaos” yaratmıştı. Lorenz’in bilgisayarı, onun seçtiği herhangi bir parametreyle başlayarak, aynı hesapları defalarca ama asla aynı sonucu vermeksizin mekanik bir biçimde yineledi. Bu “aperiyodiklik” (yani, düzenli döngülerin olmayışı) bütün kaotik sistemlerin özelliğidir. Aynı zamanda Lorenz, elde ettiği sonuçlar her defasında farklı olmasına rağmen, en azından sık sık ortaya çıkan
“desen” izlerinin varolduğunu fark etti. Bu durum, şüphesiz, bilgisayar simülasyonlu havanın tersine herkesin günlük deneyimlerine denk düşer: “desenler” vardır ama ne
herhangi iki gün ne de herhangi iki hafta birbirinin aynıdır. Diğer bilimciler de, elektronik osilatörün [titreştirici] matematiksel modellenişinden gezegen yörüngelerinin incelenişine kadar pek çok farklı kaotik sistemde benzer “desenler”
buldular. Gleick bu ve diğer durumlarda “gelişigüzel görünen davranışın içinde yapı izlerinin” bulunduğunu kaydeder. Kaotik sistemlerin mutlaka kararsız olması gerekmediği ya da belirsiz bir dönem boyunca sürebileceği düşüncesi giderek daha da belirginleşti. Jüpiter gezegeninin yüzeyinde görünen ünlü “kırmızı nokta” kararlı olan sürekli bir kaotik sistem örneğidir. Dahası bu “kırmızı nokta” bilgisayar çalışmalarında ve laboratuvar modellerinde simüle edilmiştir [7,8].
σ , r ve b sistem parametreleri olmak üzere;
( )
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
bz
xy
xz
y
rx
x
y
z
y
x σ
&
&
&
(2.1)
denklemi ile verilir.
Sistemin karakteristik özelliği, spektrumu geniş bir frekans bölgesine yayılmış periyodik olmayan salınımlar üretmesidir. Bu salınımlar gürültüye benzediği ve tahmini zor bir şekilde başlangıç koşullarına bağlı oldukları için gizli haberleşmede kullanılabileceği fark edilmiş ve Lorenz kaotik osilatörü kullanan kripto sistemleri geliştirilmiştir.
Burada x, y, z durum değişkenleridir.
σ=10 r=28 b=8/3 parametreleri ve x0 =0,y0 =−0.1,z0 =9 başlangıç şartları için kaotik çözümler elde edilmiştir [22].
13
Şekil 2.1. Lorenz sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi
Şekil 2.2 Lorenz Sisteminin x,y,z durum değişkenlerinin zamana göre kaotik değişimi
Şekil 2.2 (Devam)
Şekil 2.3. a.Lorenz sisteminin x-y kaotik çekicileri b.Lorenz sisteminin x-z kaotik çekicileri c.Lorenz sisteminin y-z kaotik çekicileri
15
Şekil 2.3. (Devam)
2.2. Duffing Sistemi
Duffing osilatörü, doğrusal olmayan dinamiklerin prototip sistemlerinden biridir. Bu sistem yay, doğrusal olmayan elektronik devreler, süper iletken Josephson parametrik kuvvetlendirici, plazmalardaki iyonize dalgalar gibi fiziksel sistemler için model olarak kullanılmaktadır. Duffing osilatörü r,w02, β , f, w olmak üzere beş parametreye sahiptir.
) . cos(
. .
. 3
2
0 x x f wt
x r
x&&+ &+ω +β = ya da
x'=y (2.2)
y' = ax - bx3 -cy + Acos(wt)
diferansiyel eşitliği tarafından tanımlanmaktadır.
Sabitler; =1, b=1, r=1.5, ve w=1.
Başlangıç noktası; x(0)=-1.
2
w0
İlk olarak farklı davranışlar sergileyen ilginç bir sistem gibi görünse de, A’nın büyük değerlerinde sistem periyodik cevap verir.
A=0.3, A=1, A=10 , A=100, A=1.e 6
Şekil 2.4. A’nın değerlerine göre x(t) davranışları
Şekil 2.5. Duffing Kaotik Osilatörünün Oluşturduğu Kaotik Yapı
17
2.3. Rössler Sistemi
Rössler sistemi üç lineer olmayan diferansiyel denklemden oluşur. Bu diferansiyel denklemler, çekicisinin fraktal özellikleri ile ilişkilendirilmiş kaotik dinamikleri sergileyen sürekli zaman dinamik sistemleri tanımlar.
Rössler çekicisi, Lorenz çekicisine benzer şekilde davranır, ancak niteliksel olarak analiz etmek daha kolaydır.1976 yılında, Rössler’in önerdiği kaotik denklem sistemi aşağıda verilmiştir.
)
(
.
c
x
z
b
z
y
a
x
y
z
y
x
−
+
=
+
=
−
−
=
&
&
&
(2.3)
a=0.2 b=0.2 ve c=5. parametreleri ve x0 =−9, 0y0 = , z0 =0 başlangıç şartları için kaotik çözümler elde edilmiştir.
Rössler sistemine ait x, y, z durum değişkenlerinin zamana göre kaotik değişimi şekilde verilmiştir.
Şekil 2.6. Rössler sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi
Şekil 2.7. a Rössler sisteminin x durum değişkeninin zamana göre kaotik değişimi b Rössler sisteminin y durum değişkeninin zamana göre kaotik değişimi c Rössler sisteminin z durum değişkeninin zamana göre kaotik değişimi
19
Şekil 2.7 (Devam)
Şekil 2.8 a. Rössler sisteminin x-y kaotik çekicileri
b. Rössler sisteminin x-z kaotik çekicileri c. Rössler sisteminin y-z kaotik çekicileri
Şekil 2.8. (Devam)
Şekil 2.9. Rössler sisteminin üç boyutlu x-y-z kaotik faz portresi
21
2.4. Chua Sistemi
Elektronik devre alanında kaos durumu ilk kez Leon Chua tarafından incelenmiştir.
Chua konuyu en basit şekliyle ele almak amacıyla Chua devresini tasarlamıştır. Chua devresi, kaos ve çatallaşmanın gösterilmesi için. basit ve tipik üçüncü mertebeden otonom bir devredir Son yıllarda, bir çok Chua devresi gerçekleştirilmiştir . Chua devresi ile özellikle senkronizasyonu kullanılarak güvenli haberleşme alanında ve pratik kaotik sistemleri açıklamak gibi çok önemli çalışmalar mevcuttur. Devrenin Matlab-Simulink’te modellenmesi sonucunda farklı giriş değerleri için değişik sonuçlar ortaya çıkmıştır. Bu dinamik denklemlerle elde edilen sonuçlar güvenli ve gizli haberleşme için gerekli olan kaotik taşıyıcı özelliğini sağlar.
2.4.1. Chua devre analizi
Şekil 2.10’da Chua Devresi görülmektedir. Kutu içerisindeki kısım doğrusal olmayan negatif bir dirençtir ve Chua diyodu olarak bilinir. Chua devresinde görülen C1, C2 kapasitörleri ve L indüktörü üç boyutlu bir durum uzay denklemini sağlamaktadır.
Şekil 2.10. Chua Devresi [9]
2.4.2. Chua devresinin durum uzay modeli
Şekil 2.11’de bir direnç (R), iki kapasite (C1), (C2) bir bobin (L) ve Chua diyodundan oluşan üçüncü mertebeden basit otonom bir kaotik devre görülmektedir.
Devre teorisi uygulanarak (2.4) eşitlikleriyle verilen durum denklemleri elde edilir.
Bu denklemde geçen (iNR), Chua diyodundan geçen akımdır.
Şekil 2.11 Chua Devresinin Basit Gösterimi [9]
Şekil ‘te verilen devre için durum denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir,
1 1 1 1 2 1
C İ RC V RC V dt
dVC C C NR
−
−
=
2 2 2 2 1 2
C İ RC V RC
V dt
dVC C C L
+
−
= (2.4)
L V dt
dİL − c2
=
R, doğrusal direnç, vc1 ve vc2 voltajlar, C1 ve C2 karşılıklı kapasitörler, iL, L indüktöründen geçen akım,İNR, Chua diyodundan geçen akımdır [21].
23
Chua devresindeki diyotlar da göz önüne alınarak Şekil 2.12‘de görülen doğrusal olmayan negatif direnç karakteristiği elde edilir [9].
Şekil 2.12. Doğrusal Olmayan Negatif Direnç Karakteristiği [9]
Burada g1 ve g2 sırasıyla dış ve iç bölge eğimlerini, ± BP1 ise kırılma noktalarını gösterir.
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
− +
−
−
− +
−
=
1 1 2 1
1 2 1 2
1 1 1 2
BP g g V g
V g
BP g g V g I
c
C C
NR
1 1 1
1
1 1 1
BP V
BP V
BP
BP V
c c c
−
〉
≤
≤
−
〈−
(2.5)
(2.5) ifadesi, ( 2.4)‘deki yerine yazılır ve durum uzay eşitliği aşağıdaki gibi belirlenir,
INR
[ ] [ ][ ] [ ][ ]
x& = A.x + B.u (2.6)(2.6) eşitliği kullanılarak doğrusal olmayan direnç karakteristiğine göre her bölgedeki durum uzay eşitlikleri aşağıdaki şekilde elde edilir. Elde edilen ifadeler kısmi diferansiyel denklem setidir.
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
L C c
i V V
&
&
&
&
2 1
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
− +
−
1 0 0
2 1 2 1 2
1
1 0 1 1 2 1 1
L C RC RC
RC C g RC
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
L C C
İ V V
2 1
+
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
0 01
1 ) 1 2 (
c BP g g
VC1〈−BP1
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
L C c
i V V
&
&
&
&
2 1
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
− +
−
1 0 0
2 1 2 1 2
1
1 0 1 1 1 1 1
L C RC RC
RC C
g RC
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
L C C
İ V V
2 1
−BP1≤VC1 ≤ BP1 ( 2.7)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
L C c
i V V
&
&
&
&
2 1
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
− +
−
1 0 0
2 1 2 1 2
1
1 0 1 1 2 1 1
L C RC RC
RC C
g RC
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
L C C
İ V V
2 1
+
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
0 01
1 ) 2 1 (
c BP g g
VC1 > BP1
Chua diyodunun, akımı iki kırılma noktasına sahip parça parça doğrusal fonksiyonun analitik ifadesi:
İNR
g(vR )= ( )( )
2 1
0 1
0VR m m vR BP VR BP
m + − + − − (2.8)
Burada devre parametreleri 1/C1=9, 1/C2=1, 1/L=7, 1/R=0.7, m0 =−0.5, m1 =−0.8 x=VC1, y=VC2, z=İL dir.
25
Şekil 2.13. Chua sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi
Şekil 2.14. .R=1667Ω değeri için elde edilen simulasyon sonuçları Vc1veVc2 veIL x-y kaotik çekicisi [11]
Şekil 2.14. (Devam)
2.5 Chen Sistemleri
Chen sistemi, topolojik olarak Lorenz’e eşdeğer olmayan bir mühendislik geri beslemeli kontrol yaklaşımı kullanarak farklı bir kaotik sistem oluşturmuştur. Bu sistem, Lorenz sistemiyle dual ve aynı basit yapıya sahiptir ancak daha gelişmiş dinamik davranışlar sergiler. Dualite, Vanecek ve Celikovsky tarafından formüle edilmiş sınıflandırma durumlarını baz alır. Vanecek ve Celikovsky, genelleştirilmiş Lorenz sistemi ailesini A=[ ] doğrusal parçasında sınıflandırır. Chen sistemi iken, özel bir durum olarak Lorenz sistemini içerir. Bu nedenle Chen sistemi bu genelleştirilmiş Lorenz sistemi ailesine ait değildir. Aslında, Chen sistemi, kaotik sistemlerin başka bir kanonik ailesine aittir. Lü ve Chen ,
koşulunu sağlayan yeni ve kritik bir kaotik sistemi buldu.
aij a12a21 >0
21 0
12a 〈 a
21 0
12a = a
21 0
12a =
a koşulu Lorenz ve Chen atraktörleri arasında geçişi temsil eder.
Aynı yıl Lü, yukarıdaki üç ilgili ancak eşdeğer olmayan kaotik sistemler içeren birleşik bir sistem inşa etti. Lü ve Chen, aynı anda iki kaotik çekicinin görüntülenebildiği, yeni kaotik sistem buldular [7].
Tarihsel olarak, Lorenz sistem denklemleri, doğrusal olmayan dinamik sistemlerin ilkidir ve başlangış koşullarına hassas bağımlılık ve kaos gösterirler.
27
Lorenz sistemi, doğrusal olmayan (2.9) diferansiyel denklemleriyle tanımlanır.
a, b ve c reel sabitler olmak üzere;
x˙ = a ・ (y − x)
y˙ = c ・ x − x ・ z – y (2.9)
z˙ = x ・ y − b ・ z
parametreler a=10, b=8/3 , c=28
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
− +
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
z y x x
z y x a a a
a a z y x
0 1 0
1 0 0
0 0 0 33
0 0
0 22 21
0 12 11
&
&
&
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ z y x
&
&
&
= + +x (2.9)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
b c
a a
0 0
0 1
0
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ z y x
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
− z y x 0 1 0
1 0 0
0 0 0
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ z y x
&
&
&
= +
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
3 / 8 0 0
0 1 28
0 10 10
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ z y x
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
− z y x 0 1 0
1 0 0
0 0 0
Lorenz sistem , a12 .a21 > 0 , (10 ・ 28 > 0) eşitsizliğini sağlar.
Chen sistemi aşağıdaki denklemlerle gösterilir.
x˙ = a ・ (y − x)
y˙ = (c − a) ・ x − x ・ z − c ・ y (2.11) z˙ = x ・ y − b ・ z
Chen sisteminin tipik parametreleri ise; a=35 , b=3 , c=28‘dir. Bu sistem Lorenz sisteminin aynı yapıya sahip dualidir fakat daha gelişmiş dinamik davranışlar içerir.
Duallik,Vanecek ve Celikovsky tarafından formüle edilmiş sınıflandırma durumlarını baz alır[23].
Chen sistemi;
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ z y x
&
&
&
= + x.
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
b c a c
a a
0 0
0 0
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ z y x
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
− z y x 0 1 0
1 0 0
0 0 0
(2.12)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ z y x
&
&
&
= + x.
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
3 0 0
0 28 7
0 35 35
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ z y x
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
− z y x 0 1 0
1 0 0
0 0 0
Chen sistemi ; a12 ・ a21 < 0 , (35 ・ (−7)< 0) eşitsizliğini sağlar.
Başlangıç şartları ;x0 =−10, y0 =0, 37z0 = seçilerek elde edilen x-y, x-z ve y-z tuhaf çekicileri şekil 2.15 ‘de verilmiştir.
Şekil 2.15. Chen sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi
Lü ve Chen , koşulunu sağlayan yeni ve kritik bir kaotik sistemi buldu.
koşulu Lorenz ve Chen atraktörleri arasında geçişi temsil eder.
21 0
12a = a
21 0
12a = a
Bu kaotik sistem 3 boyutlu (2.13) denklemleriyle gösterilir.
29
x˙ = a ・ (y − x)
y˙ = − x ・ z + c ・ y (2.13)
z˙ = x ・ y − b ・ z
Başlangıç koşulları ; x0 =−10, y0 =0, 37z0 =
Sistemin ürettiği çekici, 12.7 c〈 〈17 aralığında Lorenz çekicisine benzer 18〈c 22 aralığında geçiş şekline sahipken 〈
23〈c 28.5 aralığında Chen sistemine benzemektedir [7]. 〈
Şekil 2.16. Chen sisteminin a) x-y, y-z , x-z kaotik çekicileri
Şekil 2.16. (Devam)
2.6. Rikitake Sistemi
Rikitake kaotik dinamik sistemi dünyanın jeomanyetik alanının düzensiz polarite anahtarlamasını açıklamaya çalışan bir modeldir. Sistem Lorenz tipi kaotik davranış gösterir ve iki kararsız sabit etrafındaki yörüngede döner.
y z x x& =−μ. + .
x a z x
y& =−μ. +( − ).
(2.14) y
x z&=1− .
31
Şekil 2.17.Rikitake sisteminin Matlab-Simulink Modellemesi
Yaygın olarak kullanılan parametreler ; μ =2 , a=5 Başlangış şartları ise;x0 =0, y0 =0.1, 0z0 =
Şekil 2.18. Rikitake sisteminin x,y,z durum değişkenlerinin zamana göre kaotik değişimi
Şekil 2.18. (Devam)
2.7. Burke-Shaw Sistemi
Burke-Shaw sistemi, Bill Burke ve Robert Shaw tarafından bulunmuştur.Lorenz denklemlerinden türetilen, Burke-Shaw kaotik sistemi (2.15) denklemleriyle tanımlanmaktadır.
(2.15) V
sxy z
sxz y y
y x s x
+
=
−
−
=
+
−
=
&
&
& ( )
Burada s, V sistem parametreleri ve x, y, z durum değişkenleridir.
Parametreler; s=10 ,V=4.272 olarak verildiğinde;
33
Şekil 2.19. Burke-Shaw çekicisinin Matlab-Simulink modeli
Şekil 2.20. Burke-Shaw çekicisinin x, y, z zaman serileri
Şekil 2.21. Burke-Shaw çekicisinin x-y-z kaotik faz portresi
Şekil 2.22. Burke-Shaw sisteminin a) x-y, b) x-z, ve c) y-z kaotik çekicileri
35
Bu sistem, Lorenz sistemine eş bir sistemdir yani aynı sınıfa dahil bir sistemdir.Burke Shaw ve Lorenz sistemleri, aynı denklem üzerinde değil ama z ekseni üzerinde organize olurlar.
2.8. Van Der Pol Sistemi
Van Der Pol osilatörü, Philips’te çalışan Hollandalı elektrik mühendisi ve fizikçi Balthasar van der Pol tarafından üretildi. Van Der Pol, rahatlama salınımları olarak isimlendirilen sabit salınımları buldu. Bu salınımlara limit döngü adı verilir. Faz portresinde görülen şekil, kaotik bir yapı olan “Limit Döngü” olarak isimlendirilir.
Bu döngüler, limit döngü frekansına yakın bir sinyalle sürüldüğünde, periyodik cevap frekansını değiştirir.
Bu sistem, Balthasar van der Pol tarafından geliştirilen elektronik teknolojisinin ilk zamanlarında, doğrusal olmayan vakum tüpü devrelerinin davranışlarını açıklayan bir modeldir. Van der Pol kurduğu devre üzerindeki kapasite değerini değiştirerek elde ettiği işaretleri telefon ahizesinden dinleyerek ayırt etmeye çalışmıştır.
Kulaklıktan gelen seslere, devre kaotik davranmaya başladığında anlam veremeyen Van der Pol bu işaretleri gürültü olarak değerlendirmiştir .
Van Der Pol sisteminin dinamik denklemleri aşağıdaki gibidir.
X Y
Y Y X X
=
−
−
=
&
& (1 2)
(2.16)
Görüldüğü gibi, bu osilatör; doğrusal bir yay kuvveti ve doğrusal olmayan sönümleme kuvvetinden oluşmuş bir osilatördür.
Bu eşitliklerin çözümü, kapalı bir eğri üzerinde bir noktanın hareketi şeklindedir. Bu hareket sabit genlikli bir osilasyondur. Bu şekilde davranması ile verilen karara göre davranan osilatör örneği teşkil eder.
Matlab-Simulink modellemesi ve kaotik faz portresi, sırasıyla şekil , şekil ’de gösterilmiştir.
Başlangıç şartları; X0=0.01, Y0=0.01 olarak verildiğinde;
X=Y' Y
X' 1
s 1
s XY Graph
X Y 1 - u ^2
(1-x1^2)
Şekil 2.23. Van Der Pol kaotik osilatörünün Matlab-Simulink modellemesi
Şekil 2.24 . Van Der Pol çekicisinin x, y zaman serileri
37
Şekil 2.25. Van Der Pol kaotik osilatörünün; x-y kaotik faz portresi (limit döngü)
2.9. Colpitts Sistemi
Amerikan mühendis Edwin H. Colpitts tarafından 1920’ de bulunmuştur. Colpitts osilatörünün ilk kaotik osilasyonu, Kennedy tarafından raporlanmıştır.İlk olarak alçak frekansta kaos raporlanmıştır.(f=100 kHz). Aynı zamanda yüksek frekansta da kaotik sinyaller gözlenir.
Colpitts osilatör, geri besleme için LC devresiyle bir transistörün kullanıldığı bir osilatördür. Transistör çıkarıldığında, indüktör ve iki kapasitörler LRC örnekte olduğu gibi, bir rezonans devresi oluşturur. Akım, kondansatörlerin şarj ve deşarj olarak indüktörden ileri geri geçer. Transistör, osilasyonu güçlendirir ve sönmesini engeller. C1, 80 mV olmadan transistör iletmez. Transistör off konumundayken, çıkış 4.5 V civarındadır. 1k direnci ve indüktörden gelen akım C2 yi şarj eder.
İndüktörden geçen akım yavaşlar ve geri döner böylece C1 tekrar şarj olur. C1 şarj olunca, transistör, çıkışı düşürerek iletime geçer. Osilasyon devam ederken transistör off konumuna gelir. Akım 1k direncinden geçer ve osilasyonu sürdürür [10].
Colpitts devresinin fark yaratıcı özelliği, geri besleme sinyalinin iki seri kapasitörle oluşturulan gerilim bölücüden alınmasıdır. Bir avantajı da, devrenin basit bir yapıya sahip olmasıdır ki devrede sadece bir indüktör kullanılır.
Colpitts osilatör, genellikle periyodik sinyaller üretmek için kullanılır ancak özel devre parametreleriyle, iki kutuplu birleşik transistörle, gürültülü ve kaotik davranış sergiler.
Devrenin dinamik denklemleri;
dt
C1dVC1=İL −İC
dt
LdIL =VCC −RIL −VC1−VC2 (2.17)
dt
C2 dVC 2 =IL −IC +IE(VC2)−I0
Bu denklemler yapılandığı zaman oluşacak dinamik denklemler;
* 1
V
X =VC *2 V
Z =VC *
V
Z = pIL V* ≅0.7 ve α =1
) (Z F Y
X& = − F(Z)=-a(Z+1) Z<1 0 Z>=-1
(2.18)
Z bY X c
Y& = − − −
= Z& Y- d
Başlangıç şartları; X(0) = 0, Y(0) = 0, Z(0) = 0
Parametreler a = 81.41, b = 0.82 , c = 7.14 , d = 0.73 , e = 1.
