2.4.Tam Diferensiyel Denklemler

2.4.Tam Diferensiyel Denklemler

Tan¬m. u = u (x; y) fonksiyonu D R ² bölgesinde sürekli birinci basamak- tan türevlere sahip bir fonksiyon olsun. u = u (x; y) fonksiyonunun tam difer- ensiyeli her (x; y) 2 D için

du = @u

@x dx + @u

@y dy ile tan¬mlan¬r.

Birinci basamaktan

P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0 (1)

diferensiyel denklemini ele alal¬m. P (x; y) dx + Q (x; y) dy ifadesi bir tam difer- ensiyel ise (1) denklemine tam diferensiyel denklem denir. (1) denkleminin tam diferensiyel olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul

@P (x; y)

@y = @Q (x; y)

@x

olmas¬d¬r. Denklem tam diferensiyel ise öyle bir u = u (x; y) fonksiyonu vard¬r ki

@u

@x = P (x; y)

@u

@y = Q (x; y)

e¸ sitlikleri gerçeklenir. Buradan tam diferensiyel denklemin genel çözümü c key…

sabit olmak üzere u (x; y) = c olarak bulunur.

Örnek 1. (e ^x sin y 2y sin x) dx + (e ^x cos y + 2 cos x) dy = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. P (x; y) = e ^x sin y 2y sin x ve Q (x; y) = e ^x cos y + 2 cos x olmak üzere

@P (x; y)

@y = e ^x cos y 2 sin x = @Q (x; y)

@x

oldu¼ gundan denklem tam diferensiyeldir. Öyle bir u = u (x; y) fonksiyonu vard¬r ki

@u

@x = e ^x sin y 2y sin x (2)

@u

@y = e ^x cos y + 2 cos x (3)

e¸ sitlikleri gerçeklenir. (2) den x’e göre integral al¬n¬rsa

u (x; y) = e ^x sin y + 2y cos x + h (y) (4)

1

elde edilir. (4) e¸ sitli¼ ginin y’ye göre türevi al¬n¬p (3)’e e¸ sitlenirse

@u

@y = e ^x cos y + 2 cos x + h ⁰ (y) = e ^x cos y + 2 cos x

den h ⁰ (y) = 0 ! h (y) = c ¹ olarak bulunur. Buradan tam diferensiyel denklemin genel çözümü e ^x sin y + 2y cos x = c olarak elde edilir.

Örnek 2. 2x ye ^x

1 dx + e ^x

dy = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. P (x; y) = 2x ye ^x

1 ve Q (x; y) = e ^x

olmak üzere

@P (x; y)

@y = 2xe ^x

= @Q (x; y)

@x

sa¼ gland¬¼ g¬ndan denklem tam diferensiyeldir. Öyle bir u = u (x; y) fonksiyonu vard¬r ki

@u

@x = 2x ye ^x

1 (5)

@u

@y = e ^x

(6)

e¸ sitlikleri gerçeklenir. (5) dan x’e göre integral al¬n¬rsa u (x; y) = ye ^x

x ² + h (y)

elde edilir. Buradan y’ye göre türev al¬n¬p (6)’ye e¸ sitlenirse h (y) = c ₁ olarak bulunur. u (x; y) = ye ^x

x ² + c ₁ olup tam diferensiyel denklemin genel çözümü c key… sabit olmak üzere

ye ^x

x ² = c formunda elde edilir.

Örnek 3: 1 + x ² dy + (2xy tan x) dx = 0 denkleminin çözümünü bu- lunuz.

P (x; y) = 2xy tan x ve Q (x; y) = 1 + x ² için P y = 2x = Q x oldu¼ gundan denklem tamd¬r. Öyle bir u (x; y) fonksiyonu vard¬r ki

u _x = 2xy tan x u y = 1 + x ² denklemlerini sa¼ glar. Böylece

u (x; y) = y + x ² y + h (x)

) u x = 2xy + h ⁰ (x) = 2xy tan x ) h ⁰ (x) = sin x

cos x ) h (x) = ln (cos x) + c ¹

2

oldu¼ gundan

u (x; y) = sabit

) y + x ² y + ln (cos x) = c bulunur.

3