TEZ ONAYI. Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı nda YÜKSEK Lİ- SANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

ANKARA ÜN·IVERS·ITES·I FEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ

YÜKSEK L·ISANS TEZ·I

GÖZ HAREKETLER·IN·IN GEOMETR·IS·I

Alper ÇAY

MATEMAT·IK ANAB·IL·IM DALI

ANKARA 2016

Her hakk¬ sakl¬d¬r

TEZ ONAYI

Alper ÇAY taraf¬ndan haz¬rlanan " Göz Hareketlerinin Geometrisi " adl¬tez çal¬¸smas¬ 21/06/2016 tarihinde a¸sa¼g¬daki jüri taraf¬ndan oy birli¼gi ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬’nda YÜKSEK L·I- SANS TEZ·Iolarak kabul edilmi¸stir.

Dan¬¸sman: Prof.Dr.Yusuf YAYLI

Jüri Üyeleri:

Ba¸skan: Prof. Dr. F. Nejat EKMEKC·I

Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dal¬

Üye : Prof. Dr. Yusuf YAYLI

Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dal¬

Üye : Doç. Dr. Evren ZIPLAR

Çank¬r¬Karatekin Üniversitesi, Matematik Anabilim Dal¬

Yukar¬daki sonucu onaylar¬m

Prof. Dr. ·Ibrahim DEM·IR Enstitü Müdürü

i ETİK

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez içindeki bütün bilgilerin doğru ve tam olduğunu, bilgilerin üretilmesi aşamasında bilimsel etiğe uygun davrandığımı, yararlandığım bütün kaynakları atıf yaparak belirttiğimi beyan ederim.

21/06/2016

Alper ÇAY

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

GÖZ HAREKETLER·IN·IN GEOMETR·IS·I

Alper ÇAY

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸sman: Prof.Dr.Yusuf YAYLI Bu tez be¸s bölümden olu¸smaktad¬r.

Birinci bölüm giri¸s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸s ve tez konusu hakk¬nda genel bilgiler verilmi¸stir.

·Ikinci bölümde, tezin di¼ger bölümlerinde kullan¬lacak olan ön bilgiler ve baz¬ kavramlar verilmi¸stir.

Üçüncü bölümde göz hareketlerinin pozisyonlar¬n¬ belirlemede kullan¬lan temel tan¬mlar verilmi¸s ve bu hareketleri temsil etmek için ba¸svurulan dönme matrisleri, kuaterniyonlar ve dönme vektörleri gibi matematiksel araçlar tan¬t¬lm¬¸st¬r.

Dördüncü bölümde göz hareketlerinin geometrisi üç boyutlu dönme uzay¬nda ve onun bir alt manifoldu olan Listing manifoldu üzerinde incelenmi¸s, üç boyutlu dönme uzay¬n¬n ü- zerindeki Riemann metrik elde edilerek bu metrikten de List üzerindeki Riemann metrik elde edilmi¸stir. Göz hareketlerini yöneten iki önemli kanun olan Listing ve Donder ka- nunlar¬ifade edilmi¸s ve göz hareketlerinin Lie cebrindeki kar¸s¬l¬klar¬verilmi¸stir. Yine bu bölümde Mori ve Maeda’n¬n "üç boyutlu ortogonal eksenlerin bak¬¸s aç¬lar¬ve görselle¸sti- rilmesi" adl¬ makalesinden al¬nt¬ yap¬larak bak¬¸s aç¬s¬na örnek verilmi¸s, bu örnek küre metri¼gi kullan¬larak da çözülmü¸s ve bak¬¸s aç¬s¬hareket cinsinden yorumlanm¬¸st¬r.

Be¸sinci bölümde bu çal¬¸sman¬n sonuçlar¬ve önemli kullan¬m alanlar¬üzerinde durulmu¸stur.

Haziran 2016 , 39 sayfa

Anahtar Kelimeler: Sakkadik göz hareketleri, Dönmeler, Listing kanunu, Listing düzlemi,Kuaterniyonlar.

ABSTRACT

Master Thesis

GEOMETRY OF EYE MOVEMENTS

Alper ÇAY

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof.Dr.Yusuf YAYLI This thesis consists of …ve chapters.

The …rst chapter is devoted to the introduction and general information about the subject of the thesis.

In the second chapter, preliminaries and some de…nitions that will be needed for other section of the thesis are given.

In the third chapter, the basic de…nitions that are used in determination of the position of the eye movements are given, and some mathematical instruments are introduced such as rotation matrices, quaternions and rotation vectors that are taken as references to represent those movements.

In the fourth chapter, the geometry of the eye movements are examined on the three dimensional rotation space and on Listing manifold which is its submanifold, Riemannian metric that is on three dimensional space is derived and from this metric, Riemannian metric that is on the List is derived. Being the two important laws that govern the eye movements, Listing and Donder laws are expressed and the equivalents of the eye movements in Lie algebra are given. Again in this chapter by citing the article of Mori and Maeda called "Three visual angles of three dimensional orthogonal axes and their visualization" the visual angle is exempli…ed, this example is analyzed by also using sphere metric and the visual angle is interpreted in terms of movement.

In the …fth chapter, the result of this study and some important usage areas are delibe- rated.

June 2016 , 39 pages

Key Words: Saccadic eye movements, Rotations, Listing’s law, Listing’s plane, Quaternions.

TE¸SEKKÜR

Bu tez çal¬¸smas¬nda beni yönlendiren, ara¸st¬rmalar¬m¬n her a¸samas¬nda bilgi, öneri ve yard¬mlar¬n¬esirgemeyerek çal¬¸sman¬n ilerlemesine katk¬da bulunan dan¬¸sman ho- cam Say¬n Prof.Dr.Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’ya, destekleriyle hep yan¬mda olan hocalar¬m Say¬n Doç.Dr.·Ismail GÖK (Ankara Üniver- sitesi Matematik Anabilim Dal¬)’e ve Say¬n Prof.Dr.Nejat EKMEKC·I (Ankara Üniver- sitesi Matematik Anabilim Dal¬)’ye te¸sekkürlerimi sunar¬m. Tezin yaz¬lmas¬sürecinde yard¬mlar¬na ba¸svurdu¼gum Beyhan YILMAZ, Derya KAHVEC·I, Ça¼gla RAM·IS, Os- man ATE¸S ve Erdem KOCAKUCAKLI’ya emeklerinden dolay¬te¸sekkürü bir borç bilirim. Derslere gidi¸s geli¸slerimde gösterdikleri kolayl¬ktan dolay¬Daire Ba¸skan¬m Say¬n Veli ALTUNDA ¼G’a, koordinatörüm Say¬n Hasan YILMAZ’a ve mesai arkada¸s- lar¬ma çok te¸sekkür ederim. Bu yola ç¬kmama vesile olan Say¬n Prof.Dr.Fahrettin ASLAN’a da ayr¬ca te¸sekkür ederim. Binbir fedakarl¬kla bizi topluma kazand¬ran, haklar¬ ödenmez olan sevgili anne babama da ne kadar te¸sekkür etsem azd¬r. K¬z karde¸slerime de destek ve ilgilerinden ötürü te¸sekkür ederim. Son olarak yine bu yola ç¬kmama vesile olan ve bu uzun süreçte gösterdi¼gi her türlü fedakarl¬k ve sab¬rdan dolay¬ sevgili hayat arkada¸s¬m F.Rah¸san OSKAYÇAY’a da en derin minnettarl¬k- lar¬m¬sunar¬m.

Alper ÇAY

Ankara, Haziran 2016

v

İÇİNDEKİLER

TEZ ONAY SAYFASI

ETİK ……….i

ÖZET ………...ii

ABSTRACT………... iii

TEŞEKKÜR………iv

SİMGELER DİZİNİ ……….vi

ŞEKİLLER DİZİNİ………..vii

1. GİRİŞ ………...………1

2. TEMEL KAVRAMLAR ………3

3. GÖZ HAREKETLERİNİN KİNEMATİK PRENSİPLERİ………...5

3.1 Dönmeler ve Temsilleri ………5

3.1.1 Dönme matrisleri………6

3.1.2 Kuaterniyonlar ………..………...10

3.1.3 Dönme vektörleri (Rotasyonal vektörler) ………..12

4. GÖZ HAREKETLERİNİN GEOMETRİSİ…….………..14

4.1 Notasyon ve Terminoloji………...………..15

4.2 List Üzerindeki Riemann Metrik ………..23

4.3 Bakıs Açısının Küre Metriği Ve Hareket Cinsinden Yorumu………28

4.3.1 Üç boyutlu ortogonal eksenlerin bakış açıları………...28

4.3.2 Üç boyutlu ortogonal eksenlerin bakış açıları yasası………...29

4.3.3 Bakış açısının hareket cinsinden yorumlanması………34

5. TARTIŞMA VE SONUÇ ……….37

KAYNAKLAR………...38

ÖZGEÇMİŞ………...39

vi

SİMGELER DİZİNİ

g Bilineer form

R Dönme matrisi

r Dönme vektörü Q Kuaterniyonlar uzayı Sⁿ n-boyutlu hiper küre

< oAPB O bakış noktasından <APB açısının görüs açısı ℝℙⁿ Projektif uzay

R_x Sağ öteleme Lx Sol öteleme

vii

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 3.1 Baş ve göz sabit sağ el koordinat sistemleri (Polpitiya ve Ghosh

tarihsiz) ... 6

Şekil 3.2 Gözün referans pozisyonu a dan b ye açılık dönmesi (Haslwanter 1995) ... 7

Şekil 3.3 Üç boyutlu göz pozisyonunun bir vektör ile tasviri (Haslwanter 1995)... 10

Şekil 4.1 Göz primer bakış yönünde baş sabitken Listing düzlemi(Ghosh vd. 2014).. 15

Şekil 4.2 Gövde sabit, baş primer pozisyonda iken Donder yüzeyi (Ghosh vd. 2014). 23 Şekil 4.3 Bakış açısının tanımı (Mori ve Maeda 2005) ... 28

Şekil 4.4 <AOB açısının bakış açısı <V’ küresel açısıdır ( Mori ve Maeda 2005)... 29

Şekil 4.5 Birim küre üzerindeki a,b,c bakış açıları (Mori ve Maeda 2005)... 30

Şekil 4.6 Bakılan açı ve bakış açısı... 34

1.

Gözleri hareket ettiren sistemin (okulomotor sistem) modellenmesi ve kontrolü19.yy dan beri bilim insanlar¬n¬n dikkatini çekmektedir. Konu üzerine yap¬lan ilk çal¬¸s- malardan baz¬lar¬Listing, Helmholtz ve Donder gibi seçkin bilim insanlar¬taraf¬ndan yürütülmü¸stür. Bu bilim insanlar¬ ba¸s¬n sabit oldu¼gu durumlarda okulomotor sis- temin üç serbestlik derecesinin tamam¬n¬seçmedi¼gini, buna kar¸s¬l¬k k¬s¬tlanm¬¸s bir dönme uzay¬nda hareket etti¼gini gözlemlemi¸slerdir. Bununla birlikte gözler belli …z- yolojik s¬n¬rlar içerisinde üç serbestlik derecesi ile dönebilir fakat ba¸s sabitken böyle yapmazlar. Bu olgu göz için "Listing kanunu" olarak adland¬r¬l¬r. Listing kanunu gözün dönme eksenlerinin primer bak¬¸s yönünden uzakta "Listing düzlemi" olarak adland¬r¬lan sabit bir düzlemde yatt¬¼g¬n¬ifade eder. Listing kanunu ayn¬zamanda bak¬¸s yönünün tamam¬yla göz oryantasyonunu belirledi¼gini vurgular. Bu k¬s¬tlanm¬¸s dönme uzay¬n¬"List" olarak isimlendirece¼giz ki bu uzay gözlerin do¼gal kon…gürasyon uzay¬olan SO(3) ün bir alt manifoldudur.

Insan ba¸· s ve gözünün dönme hareketi d¬¸s torklar taraf¬ndan faaliyete geçirilen mükem- mel bir küre olarak modellenir. Özellikle gözler alt¬ extraoküler kas taraf¬ndan hareket ettirilir. Gözlerin dönme hareketlerinin yan¬s¬ra az da olsa bir öteleme hareketi de mevcuttur fakat dikkate al¬nmaz. Dönme merkezi sabit kabül edildi¼gin- den gözler alt¬de¼gil üç serbestlik derecesine sahiptir. Bu tezde göz hareketleri ba¸s¬n sabit ve hareketsiz oldu¼gu durumlarda sunulmu¸stur. Ba¸s hareketleri için, dönme eksenleri 19.yy da Donder taraf¬ndan bulunan ve "Donder kanunu" olarak isim- lendirilen bir kanunla "Donder yüzeyi" denilen eyer ¸sekilli bir kümeye k¬s¬tlan¬r.

Donder yüzeyi , Listing düzleminin torsiyonal yön boyunca ha…çe bozulmas¬yla elde edilir. Sakkadik ya da h¬zl¬göz hareketleri olarak tan¬mlanabilecek ve bak¬lan nesnelerin görüntüsünün gözün görme merkezi olan "fovea" ya dü¸smesini sa¼glayan hareketler için Donder kanunu Listing kanununa indirgenir. Bir ba¸ska deyi¸sle Don- der kanunu Listing kanunun genelle¸stirilmi¸si olarak görülebilir.

Bu tez be¸s bölümden olu¸smaktad¬r. ·Ikinci bölümde tezin sonraki bölümlerinde kul- lan¬lacak olan ön bilgiler ve baz¬temel kavramlara yer verilmi¸stir. Üçüncü bölümde göz hareketlerinin incelenmesi ve ara¸st¬r¬lmas¬nda kullan¬lan matematiksel araçlar- dan olan dönme matrisleri, kuaterniyonlar ve dönme vektörleri verilmi¸stir.

Dördüncü bölümde göz hareketlerinin geometrisi SO(3) üzerinde ve bunun alt ma- nifoldu olan Listing manifoldu üzerinde incelenmi¸s ve SO(3) üzerindeki Riemann metrik elde edilerek bu metrikten List üzerindeki metrik elde olunmu¸stur. Göz hareketlerini yöneten iki önemli kanun olan Listing ve Donder kanunlar¬ifade edilmi¸s ve göz hareketlerinin Lie cebrindeki kar¸s¬l¬klar¬verilmi¸stir. Bu bölümde ayr¬ca Mori ve Maeda’n¬n "Ortogonal eksenlerin bak¬¸s aç¬lar¬ve bunlar¬n görselle¸stirilmesi" isimli makalesinde tan¬mlanan bak¬¸s aç¬s¬na bir örnek verilmi¸s ve bak¬¸s aç¬s¬makalede ve- rilen bak¬¸s aç¬s¬formülünün yan¬s¬ra küre metri¼gi kullanmak gibi farkl¬yöntemlerle hesaplanm¬¸st¬r. Son olarak bak¬¸s aç¬s¬n¬n hareket cinsinden bir yorumuna yer ve- rilmi¸stir.

Be¸sinci bölümde bu çal¬¸sman¬n sonuçlar¬ ve önemli kullan¬m alanlar¬ verilmi¸stir.

Insan gözünün kinemati¼· gi 20.yy’¬n ikinci yar¬s¬na do¼gru yeniden ilgi bulmu¸s ve …zik ve t¬pta yo¼gun bir ¸sekilde ara¸st¬r¬lmaya ba¸slanm¬¸st¬r. Göz hareketlerinin do¼gas¬n¬

veya daha genel manada ba¸s ve göz koordinasyonunu anlamak insan benzeri robotik ba¸s/göz in¸saa etmekte ve göz hastal¬klar¬n¬n tedavisinde yard¬mc¬olacakt¬r.

2.

Tan¬m 2.1 (Sakkadik Göz Hareketleri veya Sakkade): ·Ilgilenilen nesneleri görme alan¬n¬n merkezine getiren k¬sa ve h¬zl¬ göz hareketlerine "Sakkade" veya

"Sakkadik Göz Hareketleri" denir (Handzel ve Flash 1996). Normal bir görü¸ste her seviye birkaç sakkade gerçekle¸sir ve sakkadeler s¬ras¬nda görsel bilgi al¬nmaz (https://en.wikipedia.org, 2016).

Tan¬m 2.2 (Sabitlemeler): Gözün sakkadeler aras¬ndaki duraklama noktalar¬na

"Sabitlemeler (Fiksasyonlar)" denir. Görme sakkadeler aras¬ndaki sabitlemelerde al¬nan bilgiye ba¼gl¬d¬r (Findlay ve Walker 2016).

Tan¬m 2.3 (Okulomotor Sistem): Göz yuvarlar¬n¬n hareketlerini kontrol eden sisteme "Okulomotor Sistem" denir. Okulomotor sistemin ana görevi görüntüleri görme alan¬n¬n merkezine dü¸sürmektir (www.sharp-sided.org. 2016).

Tan¬m 2.4 (Kon…gürasyon Uzay¬ Ve Serbestlik Derecesi): Mümkün olan bütün kon…gürasyonlara "Kon…gürasyon Uzay¬" denir. Verilen bir nesnenin kon-

…gürasyonu n parametre ile belirleniyorsa nesne "n serbestlik derecesine sahiptir"

denir. K¬sacas¬serbestlik derecesi kon…gürasyon uzay¬n¬n boyutu olarak tan¬mlan¬r.

3 boyutlu bir uzayda kat¬bir nesne 6 serbestlik derecesine sahiptir. Bunlardan üçü konumu, üçü de yönü belirler (¸Sahin 2012).

Tan¬m 2.5 (Genel Lineer Grup): Bir F cismi üzerinde determinant¬ s¬f¬rdan farkl¬ olan nxn matrislerin cümlesinin matris çarpma i¸slemine göre olu¸sturdu¼gu gruba "Genel Lineer Grup" denir ve GL(n; F ) ile gösterilir (Hac¬saliho¼glu 1996).

Tan¬m 2.6 (Ortogonal Grup): O(3) = A2 GL(3) : A^T:A = A:A^T = I cüm- lesi standart matris çarp¬m¬ ile bir gruptur. Bu gruba "Ortogonal Grup" denir (Do¼gan 2009).

Tan¬m 2.7 (Özel Ortogonal Grup): O(3)ortogonal grubunun bir alt grubu ola- rak tan¬mlananan SO(3) = R 2 GL(3) : R^TR = RR^T = I; det(R) = 1 grubuna O(3) ortogonal grubu içinde "Özel Ortogonal Grup" denir (Do¼gan 2009).

3.

Nörobilim aksiyomatik olarak organize edilseydi Öklid geometrisi veya Newton …z- i¼gine benzer ¸sekilde Okulodinami¼gin ilk kanunu gözün kat¬bir cisim olarak 3 serbest- lik derecesi ile döndü¼gü olurdu (Fetter vd. 1997).

3.1 Dönmeler ve Temsilleri

Göz pozisyonlar¬n¬tasvir edebilmek için ilk önce gözün baz¬pozisyonlar¬n¬tan¬mla- mak gerekir

Tan¬m 3.1 (Referans Göz Pozisyonu): Ba¸s dik ve sabit ve bak¬lan nesne tam kar¸s¬da iken gözlerin pozisyonuna "Referans Göz Pozisyonu" denir. (Polpitiya ve Ghosh tarihsiz). Referans göz pozisyonu "Primer Pozisyon" olarak da isimlendirilir.

Tan¬m 3.2 (Anl¬k Göz Pozisyonu): Gözün referans pozisyonundan 3 - boyutlu bir dönme sonras¬ald¬¼g¬pozisyona "Anl¬k Göz Pozisyonu" denir (Polpitiya ve Ghosh tarihsiz).

Tan¬m 3.3 (Sekonder Pozisyon):Gözün primer pozisyondan ba¸s - sabit yatay veya dü¸sey eksen etraf¬nda döndü¼günde ula¸st¬¼g¬ pozisyona " Sekonder Pozisyon"

denir (Quaia ve Optican 2001).

Tan¬m 3.4 ( Üçüncül Pozisyon): Gözün yatay veya dü¸sey meridyenden uzak- taki dönü¸sü " Üçüncül ( tertiary) Pozisyon" olarak adland¬r¬l¬r (Quaia ve Optican 2001).

Teorem 3.1 Her göz pozisyonuna referans pozisyonundan sabit bir eksen etraf¬n- daki tek bir dönme ile ula¸s¬labilir (Euler 1775).

3.1.1 Dönme matrisleri

3 boyutta hareketi tan¬mlamak için ilk önce ba¸s - sabit fh¹; h₂; h₃g ve göz - sabit fe¹; e₂; e₃g sa¼g el koordinat sistemini kurmak gerekir (¸Sekil 3.1).

¸

Sekil 3.1. Ba¸s ve göz sabit sa¼g el koordinat sistemleri (Polpitiya ve Ghosh tarihsiz)

Göz referans pozisyonunda iken h1bak¬¸s do¼grusu ile h2interaural eksen (kulaklardan geçen eksen) ve h3 dü¸sey eksen ile çak¬¸s¬r.Göz referans pozisyonunda iken göz - sabit koordinat sistemi ile ba¸s - sabit koordinat sistemi çak¬¸s¬k haldedir.(Polpitiya ve Ghosh, tarihsiz, ¸sekil 3.2 a) R 2 SO(3) ve 1 i 3 olmak üzere referans pozisyonundan herhangi yeni bir pozisyona göz - sabit koordinat sisteminin yatay dönmesi ¸sekil 3.2 b de gösterildi¼gi gibi

ei = R:hi

e¸sitli¼gi ile verilir.

e_i vektörlerinin bile¸senleri ba¸s - sabit koordinat sistemi fh¹; h₂; h₃g ile ba¼glant¬l¬ola- rak ifade edilir ve R dönme matrisi gözün yöneliminden ba¼g¬ms¬z olarak uzayda sabit bir eksen etraf¬ndaki bir dönmeyi tasvir eder ve anl¬k göz pozisyonunu tamamiyle belirler (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.5 (Pür Yatay Göz Hareketi): h₃ ekseni etraf¬ndaki aç¬l¬k dönmeye

"Pür Yatay Göz Hareketi" denir ve bu dönmeye kar¸s¬l¬k gelen matris

R₃( ) = 2 66 64

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

3 77 75

ile verilir (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.6 (Pür Dü¸sey Göz Hareketi):h₂ ekseni etraf¬ndaki aç¬l¬k dönmeye

"Pür Dü¸sey Göz Hareketi" denir ve bu dönmeye kar¸s¬l¬k gelen matris

R₂( ) = 2 66 64

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos 3 77 75

ile verilir (Haslwanter 1995).

¸

Sekil 3.2. Gözün referans pozisyonu a dan b ye aç¬l¬k dönmesi(Haslwanter 1995)

Bir boyutlu hareketler için göz - sabit veya ba¸s - sabit eksenler etraf¬nda yap¬lan dönmeler aras¬nda ayr¬m yoktur. Çünkü göz - sabit ve ba¸s - sabit koordinat sistem- leri göz referans pozisyonunda iken çak¬¸s¬kt¬r ve gözün etraf¬nda döndü¼gü eksen göz - sabit ve ba¸s - sabit sistemde ayn¬d¬r (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.7 ( Pür Torsiyonal Göz Hareketi): h₁ ekseni etraf¬ndaki aç¬l¬k dönmeye "Pür Torsiyonal Göz Hareketi" denir ve bu dönmeye kar¸s¬l¬k gelen matris

R₁( ) = 2 66 64

1 0 0

0 cos sin 0 sin cos

3 77 75

ile verilir (Haslwanter 1995).

Bu tan¬mlarla birlikte pozitif ; ve de¼gerleri sol yönlü, a¸sa¼g¬yönlü ve saat ibresi yönündeki göz hareketlerine kar¸s¬l¬k gelir (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.8 (Aktif Dönmeler): 3 boyutta ba¸s - sabit eksenler etraf¬ndaki dön- meler genellikle " Aktif Dönmeler" veya "Nesnenin Dönmesi" olarak isimlendirilir- ler. Ard¬¸s¬k dönmelerin ard¬¸s¬k eksenleri nesnenin önceki dönmelerinden etkilenmez- ler (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.9 ( Pasif Dönmeler): 3 boyutta göz - sabit eksenler etraf¬ndaki dön- meler genellikle " Pasif Dönmeler" veya "Koordinat Sisteminin Dönmesi" olarak isimlendirilirler. Her bir dönme sonraki dönmelerin etraf¬nda gerçekle¸sece¼gi koordi- nat eksenlerini de¼gi¸stirir (Haslwanter 1995).

Gözün iyi tan¬mlanm¬¸s bir s¬rada yatay ve dü¸sey hareketlerinin bile¸simi bak¬¸s do¼grul- tusunu tek bir biçimde karakterize etmekle birlikte gözün üç boyuttaki pozisyonunu tamamen belirlemek için bak¬¸s do¼grultusu etraf¬ndaki torsiyon hareketinin de belir- tilmesi gerekir (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.10 (Gimbal Sistemler): Göz pozisyonunu tan¬mlamak için üç göz dön- mesinin bile¸simini kullanan sistemler genellikle pasif dönmeleri kullan¬rlar. Koordi- nat sistemlerinin bu türden dönmeleri "Gimbal Sistemler" denilen ve pasif dönmeler hiyerar¸sisinin otomatik olarak uyguland¬¼g¬düzenekler kullan¬larak kolay bir ¸sekilde tan¬t¬labilir (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.11 (Fick Dizileri ve Fick Aç¬lar¬): S¬ras¬yla yatay, dü¸sey ve son olarakta torsiyonal dönmelerin gerçekle¸stirildi¼gi dönme serilerine dönmelerin "Fick Dizileri" denir ve ilk olarak Fick taraf¬ndan kullan¬lm¬¸st¬r. Belirtilen s¬rayla bu dönmelere kar¸s¬l¬k gelen ; ve aç¬lar¬na "Fick Aç¬lar¬" denir (Haslwanter 1995).

Bir Fick dönme dizisine kar¸s¬l¬k gelen dönme matrisi

R_{F ick} = R₃( _F):R₂( _F):R₁( _F)

¸seklindedir.

Fick gimbali dü¸sey eksen içine yuvalanm¬¸s yatay bir eksene sahiptir. Buradaki dön- melerin s¬ras¬ key…dir ve farkl¬ bir dönme serisi ile de¼gi¸stirilebilir. Von Helmholtz (1866) dönmenin yatay eksen etraf¬ndaki dönmeyle ba¸slamas¬n¬n daha iyi olabile- ce¼gini dü¸sünmü¸stür. Ba¸s¬n yalpalama hareketindeki de¼gi¸simler gözün yatay hareke- tinin tan¬m¬n¬güçle¸stirirken gözün dü¸sey hareketi, interaural eksen etraf¬ndaki göz hareketi olarak kolay bir ¸sekilde tan¬mlanabilir (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.12 (Helmholtz Dizileri): S¬ras¬yla dü¸sey, yatay ve son olarakta torsi- yonal dönmelerin gerçekle¸stirildi¼gi dönme serilerine dönmelerin "Helmholtz Dizileri"

denir (Haslwanter 1995).

Bir Helmholtz dönme dizisine kar¸s¬l¬k gelen dönme matrisi

R_Helmholtz = R₂( _H):R₃( _H):R₁( _H)

¸seklindedir.

Helmholtz gimbali yatay eksen içinde yuvalanm¬¸s dü¸sey eksene sahiptir. Göz pozisy- onunun R dönme matrisi taraf¬ndan karakterize edildi¼gi ve RF ick ve RHelmholtz mat- rislerinin ayn¬dönme matrisinin farkl¬parametizasyonlar¬n¬verdi¼gine dikkat edilme- lidir (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.13 (Retinal Horizon): Gözün dönme merkezinden geçen yatay düzleme

"Retinal Horizon" denir. Bu düzlem fe¹; e2; e3ggöz -sabit sisteminde e¹e2 düzlemidir ve bu düzlem göz ile hareket eder (Zatsiorsky 1998).

Tan¬m 3.14 ( False Torsiyon): Retinal horizon ile d¬¸s uzay¬n gerçek horizon düzlemi aras¬nda kalan aç¬ya "False Torsiyon" denir (Zatsiorsky 1998).

Gözün sekonder pozisyonlar¬nda false torsiyon s¬f¬rd¬r. Fakat gözün üçüncül pozis- yonlar¬nda (tertiary pozisyon) false torsiyon s¬f¬rdan farkl¬d¬r. Fick gimballerinde hem torsiyon (aktüel torsiyon) hem de false torsiyon s¬f¬ra e¸sittir. Helmholtz gim- ballerinde ise bir false torsiyon olu¸sur (Zatsiorsky 1998).

3.1.2 Kuaterniyonlar

Bir göz dönmesini karakterize etmenin daha etkin bir yolu yönü dönme ekseni taraf¬ndan verilen ve uzunlu¼gu dönmenin aç¬sal ölçümü ile orant¬l¬olan bir vektör kullanmakt¬r ¸Sekil 3.3.a’da üstte göz referans pozisyonunda ve bu pozisyon alttaki s¬f¬r vektörüne kar¸s¬l¬k gelmektedir. ¸Sekil 3.3.b’de göz h3 ekseni etraf¬nda yatay olarak dönerek anl¬k bir pozisyona ula¸s¬yor. Bu pozisyon h3ekseni boyunca uzunlu¼gu dönme aç¬s¬ile orant¬l¬bir vektör ile altta temsil edilmektedir. Göz pozisyonu tüm vektörle de¼gil de sadece vektörün bitim noktas¬ile tasvir edilmektedir.

¸

Sekil 3.3. Üç boyutlu göz pozisyonunun bir vektör ile tasviri (Haslwanter 1995)

Böyle bir vektör sadece 3 parametrelidir ve dönmelerin ard¬¸s¬k çarp¬mlar¬n¬içermez.

Vektörün yönlendirilmesi sa¼g el kural¬ile verilir yani sola, a¸sa¼g¬veya saat yönündeki bir göz hareketi s¬ras¬yla yukar¬y¬, solu veya ileri gösteren bir vektörle tasvir edilir.

Bu tan¬mlamada torsiyon bak¬¸s do¼grultusu etraf¬ndaki bir dönme olarak tan¬mlan- maz fakat total göz pozisyonunu karakterize eden vektörün h1 bile¸seni olarak tan¬m- lan¬r. Dönmelerin bu tarz iki tür tari… okulamotor litaratürde kuaterniyonlar ve dönme vektörleri olarak sunulur (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.15 (Kuaterniyonlar): Bir n ekseni etraf¬nda derecelik bir dönmeyi tek bir ¸sekilde karakterize eden q kuaterniyonu

I = 0 BB B@

i j k

1 CC CA

olmak üzere

q = q₀+ q₁:!i + q₂!j + q₃!

k = q₀+ qI

¸seklinde verilir ve q kuaterniyonun skaler ve vektörel k¬s¬mlar¬s¬ras¬yla sq = scal(q) =

q₀ , vq = vec(q) = q₁:!i + q₂!j + q₃!

k olmak üzere q = sq+ v_q ¸seklinde ifade edilir.

Burada i; j; k birimleri

i² = j² = k² = 1; i:j = k; j:i = k; j:k = i; k:j = i; k:i = j; i:k = j e¸sitliklerini sa¼glar.

s_q ve vq a¸sa¼g¬daki özellikleri sa¼glar;

i) sq= cos( =2) ii)kv^qk =p

q₁²+ q₂²+ q₃² = sin( =2) iii)vq, n dönme eksenine paraleldir.

v_q, ¸sekil 3.3 b’de gösterilen göz pozisyonunu tarif eder (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.16 (Birim Kuaterniyon): Tan¬m 3.1.15’teki özellikleri sa¼glayan q ku- aterniyonu için kqk =p

q₀²+ q²₁+ q²₂ + q₃² = 1dir ve q , "Birim Kuaterniyon" olarak isimlendirilir. Bir kuaterniyon birim kuaterniyon de¼gilse bile¸simli bir dönmeyi temsil eder (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.17 (Birim Kuaterniyonun Tersi): Bir q birim kuaterniyonun tersi q ¹ = s_q v_q ile verilir (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.18 Bir q kuaterniyonu ve bir R dönme matrisinin her ikisi de bir x vek- törünün bir n ekseni etraf¬nda aç¬l¬k dönmesini tasvir ederler ve aralar¬ndaki ili¸ski

q (x:I) q ¹ = (R:x):I

ile verilir. E¸sitli¼gin sol taraf¬tamamen kuaterniyonlardan olu¸smas¬na ra¼gmen skaler k¬s¬m 0 olarak de¼gerlendirilir (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.19 p ve q kuaterniyonlar¬n¬n çarp¬m¬

pxq = s_p:s_q h!v_p; !v_qi + s^p:!v_q + s_q:!v_p + !v_p ^ !v_q

¸seklinde tan¬mlan¬r ve p q 6= q p dir. Bu yüzden p q ve q p kuaterniyonlar¬

gözün farkl¬yönelimlerine kar¸s¬l¬k gelir (Haslwanter 1995).

3.1.3 Dönme vektörleri (Rotasyonal vektörler)

Bir birim kuaterniyonun skaler k¬sm¬dönme vektörleri kullanarak yok edilebilir.

Tan¬m 3.20 (Dönme Vektörü): Bir n ekseni etraf¬nda aç¬l¬k bir dönmeyi tasvir eden bir q kuaterniyonuna kar¸s¬l¬k gelen r dönme vektörü

r = v_q

s_q = tan( =2): v_q

kv^qk = tan( =2):n e¸sitli¼gi ile verilir (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.21 Bir r dönme vektörü ile bir R dönme matrisi aras¬nda

r = 1

1 + (R₁₁+ R₂₂+ R₃₃): 0 BB B@

R₃₂ R₂₃ R₁₃ R₃₁ R₂₁ R₁₂

1 CC CA

e¸sitli¼gi vard¬r (Haslwanter 1995).

Tan¬m 3.22 :r_q ve rp dönme vektörlerinin çarp¬m¬

r_q r_p = r_q+ r_p+ r_q^ r^p 1 rq:rp

ile verilir (Haslwanter 1995).

4.

Bu bölümde göz hareketlerinin k¬s¬tland¬¼g¬kon…gürasyon uzay¬olan Listing Uzay¬n¬n geometrisi analiz edilecektir. Gözün dönme hareketini sa¼glayan alt¬ kas¬n tam bir koordinasyon içinde çal¬¸sabilmesi çe¸sitli göz hastal¬klar¬n¬n tedavisinde önemli bir konudur. Di¼ger kompleks insan hareket sistemleri ile kar¸s¬la¸st¬r¬ld¬¼g¬nda gözlerin 3 - serbestlik derecesi ile dönmesi gözlerin bu sistemlere nazaran daha basit bir sistem olarak ele al¬nmas¬n¬kolayla¸st¬rm¬¸st¬r (Polpitiya vd. 2004). Örne¼gin 2-boyutlu insan yürüyü¸sünü inceleyebilmek için 24 kas ve tendonu gözönüne almak gerekir (Nielsen 2003). Burada yap¬lan analizde gözlerin sadece dönme hareketleri ele al¬nacakt¬r.

Bu hareketlerin yan¬s¬ra gözlerin dü¸sük düzeyde de olsa ba¸sa göre öteleme hareketi de mevcuttur (Bolina ve Monteiro 1998).

Gözleri mükemmel küreler olarak kabul edersek 3 3 lük dönme matrislerinin uzay¬ olan SO(3) gözlerin do¼gal kon…gürasyon uzay¬d¬r. Fakat …zyolojik aç¬dan bak¬ld¬¼g¬nda gözün sadece bak¬¸s do¼grultu vektörü birinci derecede önemlidir. Gözün herbir bak¬¸s yönüne kon…gürasyon uzay¬nda dönme matrisleri kar¸s¬l¬k gelir. Fakat burada belirli bir bak¬¸s yönü için hangi dönme matrisinin kullan¬laca¼g¬konusunda bir belirsizlik vard¬r. Bu belirsizli¼ge Listing Kanunu kesin bir cevap verir (Polpitiya vd. 2004).

Tan¬m 4.1 (Listing Kanunu): Tüm dönme matrislerinin dönme eksenleri stan- dart (ya da frontal) bak¬¸s do¼grultusuna diktir (Polipitiya 2004).

Listing, göz dönmelerinin 2 serbestlik derecesine k¬s¬tland¬¼g¬n¬ve gözlerin oryantas- yonunun gözlerin bak¬¸s yönü taraf¬ndan belirlendi¼gini gözlemlemi¸stir (Ghosh vd.

2014).

Tan¬m 4.2 (Listing Düzlemi): Primer pozisyondan uzakta, gözün tüm mümkün oryantasyonlar¬gözün bir dönme ekseni etraf¬nda döndürülmesi ile elde edilir ve bu eksenler" Listing Düzlemi" ad¬verilen sabit bir düzleme k¬s¬tlanm¬¸st¬r (Ghosh vd.

2014). Bu düzlem ¸sekil4.1’de gösterilmektedir.

¸

Sekil 4.1. Göz primer bak¬¸s yönünde ba¸s sabitken Listing düzlemi (Ghosh vd. 2014)

Böylece gözlerin hareketleri gözlerin do¼gal kon…gürasyon uzay¬olan SO(3) nün k¬s¬t- lanm¬¸s 2 - boyutlu alt manifoldu olan Listing uzay¬nda ele al¬nabilir. Listing uzay¬

incelenirken ¸su varsay¬mlarda bulunulacakt¬r:

- Göz mükemmel bir küredir.

- Bütün göz hareketleri Listing kanununa uyar.

Ikinci varsay¬m¬m¬z¬n hareketin sadece ba¸· slang¬ç ve biti¸s noktalar¬nda de¼gil tüm göz hareketi boyunca geçerli oldu¼guna dikkat edilmelidir (Polpitiya vd. 2004).

4.1 Notasyon ve Terminoloji

Kuaterniyonlar uzay¬ Q ile gösterilir ve her a 2 Q kuaterniyonu

a = a₀!1 + a₁!i + a₂!j + a₃!k

¸seklinde yaz¬labilir ve

Scal(a) = a₀; V ec(a) = a₁!i + a₂!j + a₃! k

ile ifade edilir. Vektörel k¬s¬m (a1; a₂; a₃)2 R³ ile özde¸sle¸stirilebilir. O zaman

V ec : Q ! R³ ve Scal : Q ! R

a ! (a¹; a₂; a₃) a ! a⁰ olarak yaz¬labilir (Polpitiya vd. 2004).

Tan¬m 4.3 (S³ Birim Küresi):

S³ = (a0; a1; a2; a3)2 R⁴ j a²0+ a²₁+ a²₂+ a²₃ = 1

¸seklinde tan¬ml¬ küreye R⁴ uzay¬n¬n S³ birim küresi denir. Birim kuaterniyonlar uzay¬S³ birim küresi ile özde¸sle¸stirilir. O zaman S³ birim küresi

S³ =n

q = a₀+ a₁!i + a₂!j + a₃!k j q q = 1o

¸seklinde yaz¬labilir (Polpitiya vd. 2004).

Tan¬m 4.4 (Kuaterniyonun Ekseni): 2 [0; ] ve !n = (n_1;n_2;n₃) R³ te bir birim vektör olmak üzere her q 2 S³ birim kuaterniyonu

q = cos

2 :!1 + !n : sin 2

¸seklinde yaz¬labilir. Burada !n birim vektörüne "Kuaterniyonun Ekseni" ya da

"Dönme Ekseni" denir (Polpitiya vd. 2004).

Tan¬m 4.5 S³birim kuaterniyonlar cümlesi ile SO(3) aras¬ndaki standart dönü¸süm rot : S³ ! SO(3) ile gösterilir ve bu dönü¸süm q birim kuaterniyonunu !n ekseni etraf¬nda saatin tersi yönünde aç¬l¬k bir dönmeye dönü¸stürür. Bu dönü¸süm

rot(q)(v₁; v₂; v₃) = vec(q:(v₁!i + v₂!j + v₃! k ):q ¹)

¸seklinde veya

Q = rot(q) = 2 66 64

q₀²+ q²₁ q₂² q₃² 2(q₁:q₂ q₀:q₃) 2(q₁:q₃+ q₀:q₂) 2(q₁:q₂+ q₀:q₃) q₀²+ q₂² q₁² q₃² 2(q₂:q₃ q₀:q₁) 2(q₁:q₃ q₀:q₂) 2(q₂:q₃+ q₀:q₁) q₀²+ q²₃ q₁² q₂²

3 77 75

ile verilir (Polpitiya vd. 2004).

Buradaki Q matrisi kat¬cismin anl¬k oryantasyonunu temsil eder. Q nun kolonlar¬

ortonormaldir ve bunlar dönen cisme ili¸stirilmi¸s koordinatlar olarak yorumlanabilir ve üçüncü kolonun dönen cisim göz iken bak¬¸s yönü oldu¼gu kabul edilir. Yukar¬da verilen rot dönü¸sümü örtendir fakat 1 - 1 de¼gildir. Çünkü q ve q nun görüntüleri ayn¬d¬r (Ghosh vd. 2014).

Teorem 4.1 Listing manifoldu RP² projektif uzay¬na difeomor…ktir (Polpitiya vd.

2004).

Her bir oryantasyon SO(3) üzerindeki bir nokta olarak görülebilece¼ginden göz hareket- leri SO(3) dönme uzay¬ndaki yörüngeler olarak tasvir edilebilir. SO(3)deki nokta- lar¬n parametizasyonu rot dönü¸sümü vas¬tas¬yla R⁴ teki birim küre S³ ün parameti- zasyonundan yukar¬da oldu¼gu gibi kolayca elde edilebilmektedir (Ghosh vd. 2014).

Tan¬m 4.6 (Riemann Metri¼gi ve Riemann Manifoldu): M bir diferensiyel- lenebilir manifold ve manifold üzerindeki diferensiyellenebilir vektör alanlar¬n¬n küme- si (M ) olsun. Bu durumda

g : (M ) (M ) ! C¹(M )

ile tan¬ml¬g bilineer formu simetrik ve pozitif tan¬ml¬ise , yani 8X; Y 2 (M) için (a) g(X; Y ) = g(Y; X)

(b) g(X; X)> 0 ve 8X için g(X; X) = 0 () X = 0

¸sartlar¬sa¼glan¬yorsa g formuna "Riemann Metri¼gi" veya " Metrik Tensör" ad¬ver- ilir. Bu durumda (M; g) ikilisine "Riemann Manifoldu" denir (¸Sahin 2012). M bir Riemann manifoldu ise her TpM için p 2 M üzerinde bir h; i ^p iç çarp¬m¬vard¬r.

Tan¬m 4.7 (Lie Grup): G bir grup ve x; y 2 G olmak üzere f : G G ! G ye (x; y) ! x:y ¹ ile verilen dönü¸süm diferensiyellenebilir olacak biçimde, bir diferensiyellenebilir yap¬yla birlikte verilen G grubuna "Lie Grubu" denir (Do Carmo 1992). Burada G diferensiyellenebilir bir manifolddur. Örne¼gin; GL(n; R) = fA 2 R^{n n} : det(A)6= 0g standart matris çarp¬m¬yla bir Lie grubudur.

Tan¬m 4.8 (Sol ve Sa¼g Öteleme): Gbir Lie grubu ve x 2 G olsun.8x 2 G için L_x : G ! G

y ! L^x(y) = x:y

dönü¸sümüne G üzerinde "Sol Öteleme", R_x : G ! G

y ! R^x(y) = y:x

dönü¸sümüne de G üzerinde "Sa¼g Öteleme" denir (Do Carmo 1992). Bunlar Lie gruplar¬ndaki difeomor…zmlerdir.

Tan¬m 4.9 (Sol ve Sa¼g ·Invaryant Metrik): Güzerindeki bir Riemann metri¼gi için x; y 2 G, u; v 2 T^yG olmak üzere

hu; viy =hd(L^x)_y:u; d(L_x)_y:viLx(y)

¸seklinde tan¬ml¬metri¼ge "Sol ·Invaryant Metrik",

hu; viy =hd(R^x)_yu; d(R_x)_y:viRx(y)

¸seklinde tan¬ml¬metri¼ge de "Sa¼g ·Invaryant Metrik" denir (Do Carmo 1992). Burada L_x ve Rx birer izometridir.

Tan¬m 4.10 (Bi - ·Invaryant Metrik): G grubu üzerindeki Riemann metrik hem sa¼g hem de sol invaryant metrik ise metri¼ge "Bi - ·Invaryant Metrik" denir.

Örne¼gin; SO(3) dönme gruplar¬cümlesi bi - invaryant metri¼ge sahiptir. Daha genel olarak kompakt irtibatl¬ bir G Lie grubu bir bi - invaryant metri¼ge sahiptir (Do Carmo 1992). SO(3) topolojik olarak kompaktt¬r. Bir Lie grup üzerinde bir bi-

invaryant metrik olmas¬ güçlü bir özelliktir. Bu durumda Lie çarp¬m¬ çok basite indirgenebilmektedir.

Tan¬m 4.11 (Lie Parantez Operatörü ve Lie Cebri): gl = fV; ; R; +; ; g bir reel vektör uzay¬olsun.

[; ] : gl gl ! gl parantez operatörü için ( ; ) ! [ ; ]

(i) [; ]anti simetrik (ii) [; ] iki lineer

(iii) [x; [y; z]] + [y; [z; x]] + [z; [x; y]] = 0 (Jakobi Özde¸sli¼gi)

özelliklerini sa¼gl¬yorsa [; ] operatörüne "Lie Parantez Operatörü (Lie Çarp¬m Ope- ratörü)" , (gl; [; ]) ikilisine de bir "Lie Cebri" denir (Hac¬saliho¼glu 1980).

Tan¬m 4.12 (Sol ve Sa¼g ·Invaryant Vektör Alanlar¬): Bir G Lie grubu üze- rinde diferensiyellenebilir bir vektör alan¬X olsun. E¼ger her x 2 G için dL^xX = X oluyorsa X vektör alan¬na "Sol ·Invaryant Vektör Alan¬" denir. Burada dLx = (L_x) türev dönü¸sümüdür. Benzer ¸sekilde sa¼g invaryant vektör alan¬da tan¬mlana- bilir (Do Carmo 1992).

Teorem 4.2 G bir Lie grubu ve e 2 G birim eleman olsun L(G), G üzerindeki bütün sol invaryant vektör alanlar¬n¬n uzay¬olmak üzere

: _L(G) ! T^e(G)

dönü¸sümü bir lineer izomor…zmdir (Hac¬saliho¼glu 1980).

[; ] : _L(G) _L(G) ! L(G)

(X; Y ) ! [X; Y ]g(f ) = X_g(Y (f )) Y_g(X(f ));

8g 2 G, 8f 2 C¹(G) parantez operatörüyle birlikte _L(G) bir Lie cebirdir. :

L(G) ! T^e(G) bir lineer izomor…zm oldu¼gundan Te(G) de bir Lie cebri olur.

Yani bir G Lie grubunun e birim noktas¬ndaki tanjant uzay¬Te(G), G Lie grubunun Lie cebri olur (Do¼gan 2009).

Örnek 4.1 G = S¹ bir Lie grubudur. S¹in birim noktadaki te¼get uzay¬ TeG bu grubun Lie cebridir.

Örnek 4.2 G = S³ =n

q = a₀+ a₁:!i + a₂!j + a₃!k j N^q = q q = 1o

kuaterniyon çarp¬m¬na göre bir Lie gruptur. S³ ün Lie cebri bir pür kuaterniyon- dur.Yani

T_eS³ =n!V j!V = a₁:!i + a₂!j + a₃!ko d¬r.

SO(3) topolojik yap¬s¬yla 3 - boyutlu bir topolojik manifolddur. Bu yüzden bir matris Lie grubudur. Bir Lie grubuna kar¸s¬l¬k gelen Lie cebri grubun birim nok- tas¬ndaki tanjant uzay¬oldu¼gundan TI(SO(3)), SO(3) Lie grubunun Lie cebri olur.

Bu Lie cebrine so(3)diyelim (Do¼gan 2009).

Tan¬m 4.13

so(3) = 8>

>>

<

>>

>:

2 R³3 : = 2 66 64

0 w3 w2

w₃ 0 w₁

w2 w1 0 3 77

75; ^T = 9>

>>

=

>>

>; SO(3) Lie grubunun Lie cebri olarak tan¬mlan¬r (Do¼gan 2009).

Tan¬m 4.14 (Tanjant Operatör): SO(3) Lie grubunun tanjant operatörü = A:A_ ^T = _A:A ¹ antisimetrik operatörüdür (Do¼gan 2009).

Tan¬m 4.15 (Aç¬sal H¬z Matrisi): A2 SO(3) için

A : J R ! SO(3) t ! A(t)

e¼grisini alal¬m. matrisine A(t) dönmesinin "Aç¬sal H¬z Matrisi" denir (Do¼gan 2009).

¸Simdi so(3) Lie cebrinin standart baz¬n¬elde edelim. S 2 so(3) olsun. Bu durumda

S = 2 66 64

0 w₃ w₂

w3 0 w1

w₂ w₁ 0 3 77 75= w1

2 66 64

0 0 0

0 0 1

0 1 0 3 77 75+w2

2 66 64

0 0 1 0 0 0 1 0 0

3 77 75+w3

2 66 64

0 1 0

1 0 0

0 0 0

3 77 75

S = w₁:L₁+ w₂:L₂+ w₃:L₃ =) so(3) = S^pfL¹; L₂; L₃g olur.

Burada L1; L₂; L₃matrisleri s¬ras¬yla x; y; z eksenleri etraf¬ndaki ani dönmeleri temsil eder (Do¼gan 2009).

Tan¬m 4.16 f ^l;mg kronoker delta fonksiyonunu göstermek üzere

(lk) = 2 66 64

0 _{3;k 2;k}

3;k 0 1;k

2;k 1;k 0

3 77 75

olarak tan¬mlayal¬m. Bu durumda, örne¼gin x- ekseni etraf¬ndaki dönmeyi, yani y z düzlemindeki dönmeyi,

(e₁) = L^t₁ = L_x ile ifade ederiz.

Teorem 4.3 Bir dönme 3 - boyutta bir eksen ve bu eksen etraf¬ndaki bir dönme aç¬s¬ ile parametize edilebilir. Bu eksen ve dönme aç¬s¬na kar¸s¬l¬k gelen matris, I birim matrisi olmak üzere Taylor seri aç¬l¬m¬ile

e ^:Lx = e ^{: (e1)} = I + :L_x+ 1

2!:( :L_x)²+ ::: + 1

n!( :L_x)ⁿ = 0 BB B@

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

1 CC CA

¸seklinde verilir (Handzel ve Flash 1996).

Böylece her dönme matrisi üstel dönü¸süm vas¬tas¬yla

R( ) = exp( x:Lx+ y:Ly + z:Lz)

¸seklinde elde edilebilir. Bu e¸sitlikte x = 0 alarak

R = 0 BB B@

cos sin : sin sin : cos

sin : sin cos + (1 cos ): cos² cos : sin :(1 cos ) sin : cos cos : sin :(1 cos ) cos + (1 cos ): sin²

1 CC CA

torsiyonsuz dönme matrisi elde ederiz. Burada = q 2

y+ ²_z total dönme aç¬s¬

( ; )Listing düzlemindeki kutupsal koordinatlard¬r. R matrisinin soldan ilk sütunu birim kürenin parametizasyonundan olu¸smaktad¬r (Handzel ve Flash 1996).

Burada span fL^y; Lzg = l Listing düzlemini olu¸stururken span fL^xg = h gözün torsiyon eksenini olu¸sturur ve g = so(3) = h l ¸seklinde yaz¬labilir. Bu e¸sitlik Lie cebri diliyle gözün genel pozisyonunu ifade eder. e 2 G = SO(3) dönme grubunda gözün primer pozisyonuna kar¸s¬l¬k gelirken H = SO(2) göz torsiyonuna kar¸s¬l¬k gelir (Handzel ve Flash 1996).

Göz orbit içindeki hareket aral¬¼g¬nda herhangi bir aç¬sal pozisyonuna serbestçe ula¸sa- bilir. Göz kaslar¬ gözü herhangi bir eksen etraf¬nda döndürebilir. Bununla bir- likte normal görü¸s ¸sartlar¬alt¬nda göz yapabildi¼gi bütün hareketleri gerçekle¸stirmez.

Gözün hareketlerini yöneten kanunlardan biri de Donder Kanunu’dur (Zatsiorsky 1998).

Tan¬m 4.17 (Donder Kanunu): Gözün oryantasyonu, bak¬¸s yönü taraf¬ndan tek ba¸s¬na belirlenir. Bir ba¸ska ifadeyle torsiyon aç¬s¬bak¬¸s yönünü belirleyen aç¬lar¬n bir fonksiyonudur. Torsiyon aç¬s¬gözün mevcut pozisyonuna ula¸s¬rken ald¬¼g¬önceki pozisyonlara ba¼gl¬ de¼gildir. Buna göre göz 3 - boyutlu hareket etmek yerine 2 - boyutlu hareket eder yani gözün serbestlik derecesi 2’ye dü¸ser. Donder Kanunu ba¸s sabit ve dik ve gözler sonsuzdaki bir hedefe bakarken sa¼glan¬r (Halswanter 1995).

Göz hareket problemini bütünleyici olarak Donder anl¬k ba¸s hareketleri alt¬nda insan ba¸s¬n¬n eri¸sebilece¼gi mümkün oryantasyonlar üzerine çal¬¸st¬ ve primer ba¸s

pozisyonundan uzakta ba¸s dönmelerinin eksenlerinin "Donder Yüzeyi" ad¬ verilen sabit bir yüzeye s¬n¬rland¬r¬ld¬¼g¬n¬ortaya koydu (¸Sekil 4.2). Esas olarak Donder’in ba¸s hareketleri yasas¬, Listing’in göz hareketleri yasas¬n¬ geneller. Listing düzlemi sabitlenmi¸stir ve genellikle sabite sahipken (ba¸s¬n oryantasyonundaki de¼gi¸siklik ile Listing düzlemi ha…fçe e¼gilir fakat burada bunu ihmal edece¼giz.) Donder yüzeyi de sabitlenmi¸s kabul edilir ama bir denekten ba¸ska bir dene¼ge de¼gi¸sir (Ghosh vd. 2014).

¸

Sekil 4.2. Gövde sabit, ba¸s primer pozisyonda iken Donder yüzeyi (Ghosh vd. 2014)

4.2 List Üzerindeki Riemann Metrik

Literatürde göz hareketlerini tasvir etmek için eksen - aç¬ (axis - angel) parame- tizasyonu kullan¬lm¬¸st¬r. Bu yüzden hesaplar gerçekle¸stirilirken eksen - aç¬ lokal koordinat sistemi kullan¬lacakt¬r. ( ; ; ) lokal koordinatlar¬ndan listing düzle- mindeki dönme ekseninin kutupsal koordinat aç¬s¬n¬ gösterirken, eksen etraf¬n- daki dönme aç¬s¬n¬, ise eksenin Listing düzleminden sapma aç¬s¬n¬ göstermekte- dir. = 0 iken dönme ekseni Listing düzlemine k¬s¬tlanm¬¸st¬r. Burada ( ; ; ) 2 [0; 2 ] ₂ ; ₂ [0; 2 ] alaca¼g¬z. = 0veya = 2 oldu¼gu durumlarda dönme aç¬s¬ndan ba¼g¬ms¬z olarak özde¸sli¼ge kar¸s¬l¬k gelmektedir (Polpitiya vd. 2004).

Tan¬m 4.18 (Submersiyon): M ve N s¬ras¬yla m ve n boyutlu (n > m) man- ifoldlar ve F : M ! N dönü¸sümü örten olsun. E¼ger p 2 M noktas¬nda,F ^p : T_pM ! T^{F (p)}N dönü¸sümünün rank¬ n ise F dönü¸sümüne "Submersiyon" veya

"S¬¼gd¬rma" denir (¸Sahin 2012).

List üzerine SO(3) ten indirilen Riemann metri¼gi hesaplamak için Polpitiya vd.

2004 ve Ghosh vd. 2014 makalelerindeki bu konu ile igili hesaplamalar¬ takip edilecektir. Göz dönmeleri ba¸s sabit iken SO(3) ün List alt manifolduna k¬s¬tlan¬r.

Hareket denklemlerini yazabilmek için hareketteki gözün kinetik ve potansiyel e- nerjisi bilinmelidir. Kinetik enerji SO(3) üzerindeki Riemann metrikten indirilen List üzerindeki indirilmi¸s Riemann metrik taraf¬ndan verilir. Riemann metrik göz küresinin eylemsizlik momentinden türetilir. Burada göz mükemmel bir küre olarak varsay¬lacak ve eylemsizlik tensörü I3 3 birim matrisinin ¹₄ kat¬olarak seçilecektir.

Bu

(e_k) = 2 66 64

0 _{3;k 2;k}

3;k 0 _1;k

2;k 1;k 0

3 77 75

ve f ^l;mgkroneker delta fonksiyonu olmak üzere h (eⁱ); (e_j)iI = _i;j ile verilen SO(3) üzerindeki sol invaryant metrik ile ilintilidir. SO(3) üzerindeki sol invaryant metrik S³ ve SO(3) aras¬nda verilen izometrik submersiyon rot ile hesaplanabilir.

i; j; k T!1S³ün bir ortonormal baz¬d¬r ve

rot 0 BB BB BB

@ 2 66 66 66 4

cos(₂^t) sin(₂^t)

0 0

3 77 77 77 5

1 CC CC CC A

= e^{t: (e1)}

rot 0 BB BB BB

@ 2 66 66 66 4

cos(₂^t) 0 sin(₂^t)

0 3 77 77 77 5

1 CC CC CC A

= e^{t: (e2)}

rot 0 BB BB BB

@ 2 66 66 66 4

cos(₂^t) 0 0 sin(₂^t)

3 77 77 77 5

1 CC CC CC A

= e^{t: (e3)}

e¸sitlikleri yaz¬labilir. Bunu

rot !1 : T!1S³ ! T^ISO(3) birim noktadaki tanjant dönü¸süm olmak üzere

rot !1

!i = 2: (e₁); rot !1

!j = 2 (e₂)

ve

rot !1

!k = 2: (e₃)

olmas¬ izler. Böylece n rot !1

!i =2; rot!1

!j =2; rot !1

!k =2o

kümesi TI(SO(3))ün bir ortonormal çat¬s¬olur.

Rot dönü¸sümü sol ötemeler alt¬nda e¸s de¼gi¸skenli ve SO(3) üzerindeki Riemann metri¼ginin yan¬s¬ra S³üzerindeki Riemann metrik sol invaryant oldu¼gundan rot q

q noktas¬ndaki tanjant dönü¸süm olmak üzere n

rot !q!i =2; rot !q!j =2; rot !q! k =2o kümesi her q 2 S³ için Trot(q)SO(3) ün bir ortonormal baz¬d¬r.

S³ rot

! SO(3)

# #

T_qS³ rot

! T_rot(q)SO(3)

¸

Simdi List üzerine SO(3) ten indirilen Riemann metri¼gi hesaplamak için TqS³ ün n

q:!i =2; q:!j =2; q:! k =2o

ortonormal çat¬s¬n¬kullanal¬m.

g₁₁ = @

@ ; @

@

g₁₂= @

@ ; @

@

g₂₂= @

@ ; @

@

olarak tan¬mlayal¬m. S³ üzerindeki koordinat dönü¸sümünü

( ; ; ) = 0 BB BB BB

@

cos(₂) sin(₂) cos cos sin(₂) sin cos

sin(₂) sin

1 CC CC CC A

olmak üzere

: [0; 2 ] h 2;

2 i

[0; 2 ] ! S³

¸seklinde tan¬mlayal¬m. rot ( ; ; )bile¸ske dönü¸sümü 0

BB B@

cos cos sin cos

sin

1 CC CA

ekseni etraf¬nda bir dönme verir. Burada = 0 al¬rsak ve dönü¸sümleri

List ! S³

# #

T_{( ; )}List

! T _{( ; )}S³

¸seklinde gösterilebilir.

SO(3)üzerindeki Riemann metri¼gi hesaplayabilmek için (_@^@), (_@^@ ), (_@^@ )de¼ger- lerini bulal¬m.

( @

@ ) = 0 BB BB BB

@

0

sin( =2) sin cos sin( =2) cos cos

0

1 CC CC CC A

( @

@ ) = 0 BB BB BB

@

0

sin( =2) cos sin sin( =2) sin sin

sin( =2) cos

1 CC CC CC A

( @

@ ) = 0 BB BB BB

@

1

2sin( =2)

1

2cos( =2) cos cos

1

2cos( =2) sin cos

1

2cos( =2) sin

1 CC CC CC A

Buradan

g11= @

@ ; @

@ = sin²( =2) cos²

g₂₂= @

@ ; @

@ = sin²( =2)

g₃₃= @

@ ; @

@ = 1

4 elde olunur.(i; j = 1; 2; 3 ve i 6= j için g^ij = 0)

Böylece SO(3) üzerindeki Riemann metrik

g = sin²( =2): cos²( ):d ²+ sin²( =2)d ²+1 4:d ² olarak bulunur. = 0 al¬rsak List üzerindeki Riemann metrik

g = sin²( =2)d ²+1 4:d ² olarak bulunur.

4.3 Bak¬¸s Aç¬s¬n¬n Küre Metri¼gi Ve Hareket Cinsinden Yorumu

Bu bölümde Mori ve Maeda 2005 makalesindeki bak¬¸s aç¬s¬ tan¬m¬ , ortogonal ek- senlerin bak¬¸s aç¬lar¬ yasas¬ ve bunun bir uygulamas¬ olarak bir örnek verilecektir.

Verilen örnek farkl¬bir yoldan ve kürenin kendi metri¼gi kullan¬larak da çözülecek, sonras¬nda bak¬¸s aç¬s¬n¬n hareket ile bir yorumu sunulacakt¬r.

4.3.1 Üç boyutlu ortogonal eksenlerin bak¬¸s aç¬lar¬

Tan¬m 4.19 (Bak¬¸s Aç¬s¬) Üç boyutlu Öklid uzay¬nda bir aç¬ < AOB olsun.

AOB aç¬s¬na bir V 2 R³ noktas¬ndan bakal¬m. Bu durumda < AOB aç¬s¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬, V AOB dörtyüzlüsünün AOV ve BOV yüzleri ile belli iki düzlemli aç¬olarak tan¬mlan¬r. ¸Sekil 4.3 de bak¬¸s aç¬s¬ gösterilmektedir . AOB aç¬s¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬n¬

görü¸s noktas¬n¬da belirtmek için < vAOB ¸seklinde gösterebiliriz.

¸

Sekil 4.3. Bak¬¸s aç¬s¬n¬n tan¬m¬(Mori ve Maeda 2005)

Bir aç¬dan bir çok bilgi elde ederiz. Örne¼gin gözlemci her hareket etti¼ginde < AOB bak¬¸s aç¬s¬ de¼gi¸sir. (0 bak¬¸s aç¬s¬ radyan) Genel olarak bak¬¸s aç¬s¬ görüntü ekran¬ denilen bir yüzey yard¬m¬yla anla¸s¬l¬r. Görüntü ekran¬ Öklid uzay¬nda bir küredir ve bak¬¸s aç¬s¬bu küre üzerinde ölçülür.

Teorem 4.4 Üç boyutlu Öklid uzay¬nda key… V; A veB noktalar¬n¬n O merkezli birim küre üzerindeki merkezi iz dü¸süm noktalar¬ V 0; A0; B0 olsun. Bu taktirde

< AOB aç¬s¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬ V 0A0B0 küresel üçgeninin < V 0 aç¬s¬na e¸sittir (¸Sekil 4.4).

¸

Sekil 4.4. <AOB aç¬s¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬<V’küresel aç¬s¬d¬r ( Mori ve Maeda 2005)

Ispat: !· a vektörü V 0A0 yay¬na V 0 de te¼get olsun.(!

b vektörü de V 0B0 yay¬na V 0de te¼get olsun.) Küresel üçgenin tan¬m¬ndan !a ve !b vektörleri aras¬ndaki aç¬ < V 0 küresel aç¬s¬na e¸sittir. AOV ve BOV düzlemlerinin kesi¸sti¼gi yerde !a ve!

b vektörleri OV do¼grusuna diktir. Bu ise bak¬¸s aç¬s¬n¬n tan¬m¬demektir. Böylece V 0A0B0 küresel üçgeninin < V 0 aç¬s¬< AOB aç¬s¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬d¬r.

4.3.2 Üç boyutlu ortogonal eksenlerin bak¬¸s aç¬lar¬yasas¬

Bak¬¸s aç¬lar¬n¬ yönlü olarak ele alal¬m. < BAC aç¬s¬, S² birim küresi üzerinde, küre d¬¸s¬ndan bak¬ld¬¼g¬nda AB den AC ye saat yönünün tersinde ölçülen yön- lendirilmi¸s bir aç¬olsun. Bak¬¸s aç¬s¬aral¬¼g¬[0; 2 ) dir. Bu noktadan sonra, V (x; y; z) görü¸s noktas¬n¬n küre üzerinde oldu¼gunu farzedelim. Bu V görü¸s noktas¬ndan O = (0; 0; 0); X = (1; 0; 0); Y = (0; 1; 0) ve Z = (0; 0; 1) olmak üzere O XY Z ortogonal eksenlerinin < Y OZ; < ZOX ve < XOY aç¬lar¬na bakal¬m. a; b; c aç¬lar¬

s¬ras¬ile < Y OZ; < ZOX ve < XOY aç¬lar¬n¬n bak¬¸s aç¬lar¬olsun. O zaman birim küre üzerinde a =< Y V Z; b =< ZV X ve c =< XV Y olur (¸Sekil 4.5).

Teorem 4.5 V görü¸s noktas¬eksenler (x; y; z 6= 1) üzerinde de¼gilse o zaman üç boyutlu ortogonal eksenlerin bak¬¸s aç¬lar¬a¸sa¼g¬daki denklemi sa¼glar:

¸

Sekil 4.5. Birim küre üzerindeki a,b,c bak¬¸s aç¬lar¬(Mori ve Maeda 2005)

tan a = x

yz ; tan b = y

zx; tan c = z xy

Ispat : ·· Ilk olarak x: sin a 0 oldu¼gunu kontrol etmek kolayd¬r. Küresel bir üç- gende kenarlar için kosinüs teoremini hat¬rlayal¬m: ABC üçgeni S² küresi üzerinde AB; BC ve AC kenar uzunluklar¬s¬ras¬yla c; a; b ve A; B; C aç¬lar¬s¬ras¬yla ; ; olan bir üçgen olsun. O zaman

cos c = cos a: cos b + sin a: sin b: cos

e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. ¸Simdi V Y Z küresel üçgenine kenarlar için kosinüs teoremini uygu- larsak

cos Y Z = cos V Y: cos V Z + sin V Y: sin V Z: cos a

cos2 = y:z + sin(arccos y): sin(arccos z) cos a

cos a = yz

p1 y²:p

1 z²; sin a = x p1 y²:p

1 z²

elde edilir. Burada sin a ile x in ayn¬ i¸saretli olmas¬ olgusunu kulland¬k. Bunun sonucu olarak

tan a = x yz

olur. di¼ger e¸sitlikler de benzer ¸sekilde gösterilebilir. ¸Simdi bak¬¸s aç¬s¬na bir örnek verelim.

Örnek 4.1: O = (0; 0; 0); A = (1; 0; 0); B = (0; 1; 0) olmak üzere birim küre ü- zerindeki P = (^p1₃;p¹

3;p¹

3)noktas¬ndaki göz ile AOB dik aç¬s¬na bak¬ld¬¼g¬nda bak¬¸s aç¬s¬n¬n kaç derece olaca¼g¬n¬bulal¬m.

1.Yol. Teorem 5.2 yi kullanal¬m. x = y = z = ^p1₃ verildi¼ginden a bak¬¸s aç¬m¬z tan c = _xy^z =

p1 3 p1

3:p¹ 3

= p

3 olup a = 120 olur.

2.Yol. P ve A noktalar¬ndan geçen büyük çember yay¬n¬ bulal¬m. P; A; O nok- talar¬ndan geçen düzlem ile x² + y² + z² = 1 birim küresini kesi¸stirirsek y = z oldu¼gundan x² + 2z² = 1 çemberini buluruz. Bu çemberi bir t parametresine göre parametrik olarak (t) = (cos t;^{sin t}p

2;^{sin t}p

2)¸seklinde ifade edelim.

(t ) = (p¹ 3;p¹

3;p¹

3) ise cos t = ^p1₃ ve sin t = ^pp2₃ olur.

0(t) = ( sin t;^{cos t}p 2 ;^{cos t}p

2 ) oldu¼gundan P (^p1₃;p¹ 3;p¹

3) noktas¬ndaki te¼get vektör

0(t ) = ( ^pp² 3;p¹

6;p¹

6) olur.

¸

Simdi de P ve B noktalar¬ndan geçen büyük çember yay¬n¬ bulal¬m. P; O ve B noktalar¬ndan geçen düzlem ile x²+ y²+ z² = 1 birim küresini kesi¸stirirsek x = z oldu¼gundan 2x²+ y² = 1 çemberini buluruz. Bu çemberi bir t parametresine göre parametrik olarak (t) = (^{sin t}p

2; cot t; ^{sin t}p

2)¸seklinde ifade edelim.

0(t) = (^{cos t}p

2 ; sin t;^{cos t}p

2) oldu¼gundan P (^p1₃;p¹ 3;p¹

3)noktas¬ndaki te¼get vektör

0(t ) = (p¹ 6; ^pp²

3;p¹

6) olur. ⁰(t ) ve ⁰(t ) vektörleri aras¬ndaki aç¬ bak¬¸s aç¬s¬

olaca¼g¬ndan

cos a = ^{< 0(t ); 0(t )>}

jj ⁰(t )jj:jj ⁰(t )jj = ₂¹ ise a = 120 bulunur.

Örnek 4.2: Önceki örnekteki bak¬¸s aç¬s¬n¬kürenin kendi metri¼gini kullanarak bu- lal¬m. Küre metri¼gi

ds² = d ²+ sin² d e¸sitli¼gi ile verilir.

Burada

g₁₁= 1 =< @

@ ; @

@ >; g₁₂= 0; g₂₂ = sin² =< @

@ ; @

@ >

dir. Kürenin ve ye göre bir parametizasyonu

( ; ) = (sin : cos ; sin : sin ; cos ) olmak üzere ( ; ) = (^p1₃;p¹

3;p¹

3) olsun. Buradan cos = 1

p3; sin = p2

p3; cos = sin = 1 p2 ve

g₂₂= sin² =< @

@ ; @

@ >= 2 3 olur.

( @

@ ) = (cos : cos ; cos : sin ; sin ) = ( 1 p6; 1

p6; p2 p3) = @

@

jj ( @

@ )jj = 1

( @

@ ) = ( sin : sin ; sin : cos ; 0) = ( 1 p3; 1

p3; 0) = @

@

jj ( @

@ )jj = 2

3 ve < @

@ ; @

@ >= 0 olur.

¸

Simdi !u ve !v vektörleri kürenin herhangi bir te¼get düzleminde iki vektör olsun.

Bu vektörleri @ ve @ bazlar¬cinsinden ifade edelim. Yani

!u = ₁: @

@ + ₂: @

@ ve !v = c₁: @

@ + c₂: @

@ e¸sitliklerini sa¼glayan 1; 2; c₁; c₂ reel say¬lar¬n¬bulal¬m.

Örnek 5.1 den !u = ⁰(t ) ve !v = ⁰(t ) alal¬m.

( p2 p3; 1

p6; 1

p6) = ₁:( 1 p3; 1

p3; 0) + ₂:( 1 p6; 1

p6; p2 p3 ) e¸sitli¼ginden 1 = ₂p³

2 ve 2 = ₂¹ bulunur. Benzer ¸sekilde

( 1 p6;

p2 p3; 1

p6) = c₁:( 1 p3; 1

p3; 0) + c₂:( 1 p6; 1

p6; p2 p3) e¸sitli¼ginden c1 = ³

2p

2 ve c2 = ₂¹ bulunur. Bu durumda

!u = 3 2p

2: @

@ 1 2: @

@

!v = 3 2p

2: @

@ 1 2: @

@ bulunur.

< !u ; !v >=< 3 2p

2: @

@ 1 2: @

@ ; 3

2p 2: @

@ 1 2: @

@ >

ve gerekli i¸slemler yap¬l¬rsa < !u ; !v > = ₂¹ bulunur.

jj!ujj =p

< !u ; !u = 1 ve jj!v jj = 1

olur. !u ve !v vektörleri aras¬ndaki a aç¬s¬bak¬¸s aç¬s¬olmak üzere

cos a = < !u ; !v >

jj!ujj:jj!v jj = 1 2

olup a = 120 bulunur.

Bu örnekte kullan¬lan küre metri¼gi yerine

g = sin²(

2)d + 1 4d ²

List metri¼gi kullan¬larak da bak¬¸s aç¬s¬a = 120 olarak bulunabilir.

4.3.3 Bak¬¸s aç¬s¬n¬n hareket cinsinden yorumlanmas¬

Verdi¼gimiz örneklerde ve Mori ve Maeda 2005 makalesinde küre üzerindeki nokta- lardan dik aç¬lar¬n bak¬¸s aç¬lar¬bulunabilmektedir. Bak¬¸s aç¬lar¬n¬n hareket ile yo- rumlanmas¬90 den farkl¬aç¬lar¬n da bak¬¸s aç¬lar¬n¬n hesaplanmas¬n¬olanakl¬k¬lar.

¸

Sekil 4.6 da P noktas¬birim küre üzerinde bir nokta, OP bak¬¸s do¼grultusu (gaze),

!X birim vektör ve A dönme matrisi olsun. !X vektörünü bak¬¸s do¼grultusu etraf¬nda aç¬s¬kadar döndürelim. Bu durumda!X ve A!X vektörleri aras¬nda olu¸san aç¬s¬

bakt¬¼g¬m¬z aç¬iken aç¬s¬bu aç¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬olur.

¸

Sekil 4.6. Bak¬lan aç¬ve bak¬¸s aç¬s¬

¸

Simdi bakt¬¼g¬m¬z aç¬ile bak¬¸s aç¬s¬aras¬ndaki ba¼g¬nt¬y¬bulal¬m.

Teorem 4.6 Dönme ekseninin (bak¬¸s do¼grultusu) kar¸s¬l¬k geldi¼gi anti simetrik ma- tris S; dönme aç¬s¬ ise A dönme matrisi

A = I₃+ sin :S + (1 cos ):S² ile verilir (McCarthy 1990).

S matrisine kar¸s¬l¬k gelen birim eksen !b olmak üzere yukardaki e¸sitli¼gin her iki taraf¬n¬!

X vektörü ile çarpal¬m.

A!X = (I₃+ sin :S + (1 cos ):S²):!X

=!X + sin (!b ^!X ) + (1 cos )!b ^ (!b ^!X ) Son e¸sitli¼gi !X ile iç çarpal¬m:

< A! X ;!

X >= 1 + sin <! b ^!

X ;!

X > +(1 cos ) <! b ^ (!

b ^! X );!

X >

< A!X ;!X >= 1 + (1 cos ) <! b ^ (!

b ^!X );!X >

cos = 1 + (1 cos )(<<!b ;!X >!b !X <!b ;!b >;!X >)

cos = 1 + (1 cos )(<<! b ;!

X >!

b !

X ;! X >)

cos = 1 + (1 cos )(<!b ;!X >² 1)

cos = (1 cos ) <!b ;!X >² + cos olur.

!b ve!X vektörleri aras¬ndaki aç¬ olmak üzere