Yüksek Boyutlu Silindirik Simetrik Uzay Zamanda F(_, R)-Maxwell Çözümleri

Yüksek Boyutlu Silindirik Simetrik Uzay zamanda f(Φ, R)-Maxwell Çözümleri

Dilek KAZICI

18 Temmuz 2017

˙Içindekiler

1 Giri¸s 5

1.1 Aksiyon Denklemi ve Alan Denklemleri . . . 6 1.2 Metrik Fonksiyonu . . . 7

2 Çözümler 8

2.1 Basit Çözüm . . . 8 2.2 Alan Denklemlerine farklı bakı¸s . . . 8 2.3 c=0 çözümleri . . . 9

3 Sonuç 12

Önsöz

N boyutlu, silindirik simetrik uzay zamanda, açısal yönde magnetik alan olan sistemler için alan denklemleri anla¸sılır ¸sekilde yazılmı¸s temel bir çözüm gösterilmi¸stir. Kaynak çalı¸sma olması açısından verimli bir proje olmu¸stur.

Bu çalı¸sma, Namık Kemal Üniversitesi, Bilimsel Ara¸stırma Projesi (BAP) tarafından destek- lenmi¸stir. Proje numarası: NKUBAP.00.10.AR.15.11

ÖZET

Teorik fizikte kütleçekimi, kozmolojik sabit, karanlık enerji ve karanlık madde tam olarak anla-

¸sılamamı¸s ve matematiksel olarak tutarlı teori olu¸sturulamamı¸s konuların ba¸sında gelir. Einstein Genel Görelilik teorisi kütleçekim teorilerinde ve kozmolojik çalı¸smalarda sıkca kullanılmakta- dır. Ancak gözlemsel tutarsızlıkların olması bu teorinin geli¸stirilmesi gerekti˘gi sonucunu olu¸s- turmu¸stur. Skaler alan teorisi ve f(R) teorisi, geli¸stirilmi¸s Einstein Teorileri arasında en önemlile- ridir. Bu anlamda bu projede biz bu iki teoriyi birle¸stirerek yeni çözümler elde etmeyi amaçladık.

Böylece bir Φ skaler alanının, R Ricci e˘grilik skaleri ile birle¸sti˘gi aksiyon denklemi önerilerek, N boyutlu silindirik simetrik ve Einstein Rosen tipi metrik için çözümler elde edilmi¸stir. Silindi- rik simetrik sistemin simetri ekseni do˘grultusunda akım ta¸sıdı˘gı dü¸sünülmü¸stür. Bu durum açısal yönde bir magnetik alan olu¸stu˘gu durumu ifade etmektedir. Görelilik teorilerinde Φ skaler alanı birçok büyüklü˘ge kar¸sılık gelebilmektedir. Bu projede skaler alanın de˘gi¸sken bir kütle çekim sabiti gibi davrandı˘gı dü¸sünülmü¸stür. Silindirik simetrik sistemlerin çalı¸sılması önemlidir çünkü bu simetri, kütleçekim dalgalarında, kozmolojik modellerde, kozmik sicimlerde ve küresel ol- mayan cisimlerin kütleçekimsel çökü¸sleri ile ilgili çalı¸smalarda sıkca kullanılmaktadır.

Abstract

In theoretical physics, the subjects on gravitation, cosmological constant, dark energy and dark matter are not exactly understood and there are no mathematically consistent theory yet. The theory of Einstein’s General Relativity provide the mathematical tools in gravitational theories and cosmological studies. On the other hand, since there are some inconsistencies between the mathematical results and observations, we need to modify the Einstein gravitational perspective.

Recently, the scalar field theories and f (R) theories are the most important modification theories.

In this work, to find the new solutions, we try to merge these two theories. Thus we propose a new action in which the scalar field Φ is coubled with the Ricci curvature scalar. We find a solution for the N dimensional cylindirically symetric Einstein Rosen type space time in which the current is along the symmetry axis. Therefore, the magnetic field exists in the angular coordinates. In general relativity, the scalar field describes various physical quantities and in our work, the scalar field plays the role of variable gravitational constant.To work with the cylindrically symmetric space time is very important because this symmetry is vital in the study of gravitational waves, cosmological models, cosmic strins and gravitational collapses in non spherical objects.

Bölüm 1 Giri¸s

Günümüz fizi˘ginin en önemli problemleriden birisi kozmolojik sabit ve karanlık enerji proble- midir. Gözlemlenen kozmolojik sabit de˘geri ρ_Λgz = 10⁻⁸erg/cm³ olmasına kar¸sın teorik de˘ger 10¹²⁰ kat daha büyük elde edilmektedir. Standard model fizi˘ginden ba¸ska teoriler ile bu proble- min çözümü aranmaktadır. Geometri ve kütleçekimini ili¸skilendiren Einstein alan denklemleri Einstein-Hilbert aksiyonundan elde edilmektedir. Kozmolojik sabit içeren Einstein-Hilbert aksi- yonu

S = Z

d⁴x√

−g

 c⁴

16πG_N (R − 2Λ) + L_M



(1.1)

¸seklinde ifade edilir. Henüz tam kütleçekim teorisi elde edilememi¸s olmasından dolayı bu teoriyi geli¸stiren daha genel teoriler veya alternatif kütleçekim teorileri de mevcuttur. Bu kapsamda Brans-Dicke skaler alan teorisi ve f (R) teorisi dikkat çeken teorilerdir. Brans-Dicke teorisinde, kütleçekimi bir skaler alan ile ili¸skilendirilir ve bu skaler alan Ricci skaleri ile birle¸smi¸s de˘gi¸sken Newton kütleçekim alanına kar¸sılık gelir [Brans, Dicke, 1961; Dicke, 1962]

S = Z

dⁿx√

−g

ΦR − ω

Φ∂_µΦ∂^µΦ − F_µνF^µν

(1.2) Bu aksiyon denklemi aynı zamanda elektromagnetik etkile¸simleri de içermektedir.

Kozmik sicimler silindirik simetrik objelerdir ve akım ta¸sıdıkları dü¸sünülmektedir. Teoride kozmik sicimler erken evren döneminde faz geçi¸sleri esnasında olu¸stu˘gu dü¸sünülmektedir. [Vi- lenkin, Shellard, 1994; Moss, Poletti, 1987; Peter, Puy, 1993]. Ayrıca magnetik alan içindeki ka- radelik çözümlerinin elde edildi˘gi Bonnor-Melvin magnetik evren çözümleride eksenel simetrik sistemler için önemlidir [Bonnor, 1954; Melvin, 1965; Throne, 1965]. R Ricci e˘grilik skalerinin bir fonksiyonu olan f (R) ifadesi ile aksiyon denklemine e˘grilik skalerinin yüksek dereceli de-

˘gerleri de dahil olmaktadır, böylece daha genel çözümler elde edilebilmektedir [Buchdahl, 1970;

Sotiriou, 2006; Sotiriou, Faraoni, 2010].

S = Z

dⁿx√

−gf (R). (1.3)

Aynı zamanda bu teori belli Brans Dicke parametre de˘gerleri için potansiyel içeren Brans Dicke teorisi ile e¸sde˘ger olmaktadır. f (R) kütleçekim teorisi, kozmolojik sabit olmadan karanlık madde

ve karanlık enerjiyi uzay zamanın geometrisi ile ili¸skilendirerek açıklıyor olması bakımından son yıllarda oldukça fazla ilgi çeken teoridir. Silindirik simetrik uzay zaman için Weyl koordinatla- rında, dört boyutlu f (R) teorisi [Azadi, Momeni, Nouri-Zonoz, 2008] ve [Momeni, Gholizade, 2009] çalı¸smalarında incelenmi¸stir, e˘grili˘gin sabit veya sıfır oldu˘gu durumlar için çözümler elde edilmi¸stir.

1.1 Aksiyon Denklemi ve Alan Denklemleri

Biz bu projede daha genel ve basit çözümler elde etmek amacı ile aksiyon denklemini kısmen de˘gi¸stirerek, kütleçekiminin Ricci e˘grilik skaleri ile birle¸serek f (R, Φ) fonksiyonu ile tanımla- nan eylem denklemi olu¸sturduk. Ayrıca simetri ekseni do˘grultusunda bir akım yo˘gunlu˘gu olan silindirik sistemler için tam çözümler bulmayı amaçladık. Bu sebeple Brans Dicke ve f (R) te- orisinin daha genel ifadesi olmasını bekledi˘gimiz daha önce Rador tarafından yapılmı¸s [Rador, 2007] çalı¸smasına benzer aksiyon önerisi yaparak sonuçlar elde etmeye çalı¸stık. Aksiyon denk- lemi;

S = Z

dⁿx√

−g [f (R, Φ) − ∂_µΦ∂^µΦ − 2h (Φ) F_µνF^µν] (1.4) Burada Φ, Brans Dicke skaler alanına benzer bir alandır. h(Φ) elektromagnetik kısım ile birle¸s- mi¸s bir fonksiyondur. Metrik tensöre göre varyasyonu aldı˘gımızda;

f_RR_µν− 1

2f g_µν+ g_µν∂_λ∂^λ − ∂_µ∂_ν
f_R− 4h (Φ)



F_µλF_ν^λ− 1

4g_µνF_λσF^λσ



= 0, (1.5) alan denklemlerini elde ederiz. Skaler alana göre varyasyonunu alırsak,

∂f

∂Φ− 2∂h

∂ΦFλσF^λσ= 0, (1.6)

sonucu elde edilir. Ayrıca electromagnetik tensor iki formun kovaryant türevinin sıfır olması ¸sartı yazılırsa

∂_µ[h (Φ) F^νµ] = 0, (1.7)

ifadesi elde edilir. Çalı¸smanın bu kısmında, metrik simetrisine uygunluk açısından, akım yo-

˘gunlu˘gunu simetri ekseni yönünde seçtik ve elektromagnetik potansiyel bir formu z koordinat ekseni yönünde,

J (r) = A (r) dz (1.8)

¸seklinde tanımladık. Böylece magnetik alan açısal eksen θ do˘grultusunda olmaktadır, F = A⁰dr ∧ dz.

Burada f_R= _∂R^∂f, Ricci skalerine göre türevi; f_Φ = _∂Φ^∂f, skaler alana göre türevi R, n boyutlu Ricci skalerini ve apostrof _dr^d türevini ifade etmektedir.

1.2 Metrik Fonksiyonu

Magnetik alan içeren sistemler için uygun çizgi elemanı Einstein Rosen tipi metriktir [Einstein, Rosen, 1937]. N boyutlu silindirik simetrik çizgi elemanı ,

ds² = −e2[K(r)−U (r)] −dt² + dr²
+ e^{2U (r)}dz²+ W (r)²e^{−2U (r)}dθ² +

N −1

X

i=4

X_i(r)²dx²_i (1.9)

¸seklinde tanımlanmı¸stır. Burada koordinatlar sayacı sıfırdan ba¸sladı˘gı için N − 1 de˘gerine kadar ilerlemektedir.

Bölüm 2 Çözümler

2.1 Basit Çözüm

Alan denklemleri çözüldü˘günde metrik fonksiyonları, A(r) = −e^−k0r

2k₀ , (2.1)

f (R, Φ) = g(R) + h(Φ), (2.2)

= 2R

k²₀ + e^2Φ, (2.3)

= −2e^2k0r+2u0, (2.4)

U (r) = u0, (2.5)

K(r) = −k₀r, (2.6)

W (r) = e^−k0r, (2.7)

h(Φ) = 2e^2Φ, (2.8)

Φ(r) = k₀r + u₀, (2.9)

R = R(r) = −2k²₀e^2k0r+2u0, (2.10) elde edilir. Bu sonuç basit bir çözümdür. Projenin sonraki altı aylık döneminde i¸slemler yüksek boyutlu uzay zaman için genelle¸stirilerek, elde edilen sonuçların fiziksel anlamı irdelenecektir.

2.2 Alan Denklemlerine farklı bakı¸s

Denlem (1.5)’ den elde edilen bile¸senler bir miktar düzenlenerek a¸sa˘gıdaki gibi yazılabilir. tt bile¸seni için;

e^2K−2Uf _{−2U 02} [−fRΩ(K − U )⁰+ f_R⁰ Ω]⁰ Φ⁰²

rr bile¸seni için;

−e^2K−2Uf

2 − 2e^−2Uh A⁰²+ [f_RΩ(K − U )⁰+ f_RΩ⁰]⁰

Ω − Φ⁰²

2 + f_RR e^2K−2U = 0, (2.12) zz bile¸seni için

−e^2K−2Uf

2 − 2e^−2Uh A⁰²− [−f_RΩ(K − U )⁰+ f_R⁰ Ω]⁰

Ω +Φ⁰²

2 = 0, (2.13)

φφ bile¸seni için:

−e^2K−2Uf

2 − 2e^−2Uh A⁰²−[f_RΩ U⁰+ f_R⁰ Ω − f_RΩ ^W_W⁰]⁰

Ω +Φ⁰²

2 = 0. (2.14) x_ix_ibile¸seni için:

−e^2K−2Uf

2 + 2e^−2Uh A⁰²+[f_R⁰Ω − f_RΩ ^X_Xⁱ⁰

i]⁰

Ω + Φ⁰²

2 = 0. (2.15)

Burada X =QN −1

i=4 X_ive Ω = W X olarak kısaltılmı¸stır.

Denklem (2.11) ve (2.14) ifadelerinden

(−f_RΩ K⁰+ f_RΩ W⁰

W )⁰ = 0 (2.16)

−f_RΩ K⁰ + f_RΩ W⁰ W = c

gibi basit bir denklem elde edilir. Bu ifade c = 0 ve c 6= 0 ¸seklinde iki farklı çözüm içerir. Bu çalı¸smada sadece integral sabitinin sıfır oldu˘gu durumları inceleyece˘giz. Burada vurgulamak ge- rekirse, alan denklemlerinin bu ¸sekilde yazılması ile dört boyutlu uzay zaman için alan denklem- leri kolayca elde edilebilir. Ω yerine W alınması ve X(r) faktörleri sabit seçilmesi durumunda dört boyutlu metrik ve alan denklemleri bulunabilmektedir.

2.3 c=0 çözümleri

Bu çalı¸smada integral sabitinin sıfır oldu˘gu durumları inceleyece˘giz. ˙Integral sabitinin sıfır se- çilmesi durumunda (2.16) denkleminden, W (r) = W₀e^K(r) ifadesi elde edilir. Bu ifade alan denklemlerin bilindik çözüm limitleri için uygundur. Sıfırdan farklı c de˘gerleri için daha genel veya karma¸sık ifadeler elde edilebilir. Alan denklemleri (2.11-2.15) kullanılarak,

−e^2K−2Uf fR

+ [−f_RΩ^W_W⁰ + 2f_R⁰ Ω]⁰

fRΩ +Φ⁰²

fR

= 0, (2.17)

−e^2K−2Uf

f_R + [f_RΩ]⁰⁰

f_RΩ + e^2K−2UR = 0, (2.18)

yazılabilir. Bu iki denklem birçok farklı çözüm elde edebilmemizi sa˘glar. Biraz daha farklı ¸se- kilde yazarsak,

f + R f_R= [3f_R⁰ Ω − f_RΩ⁰− 2f_RΩ^W_W⁰]⁰

Ω + 2Φ⁰²



e^−2K+2U (2.19)

f − R f_R= [fRΩ]⁰⁰

Ω e^−2K+2U, (2.20)

elde edilir. Bu ifadeleri yeni iki fonksiyon kullanarak çok daha basit hale getirebiliriz. ξ(r) = f + R f_Rve η(r) = f − R f_Rolsun. Bu iki denklemden,

f = ξ + η

2 ve f_R = ξ − η

2R (2.21)

yazılabilir. Di˘ger taraftan ilk denklemin R Ricci sakalerine göre türevini aldı˘gımızda ikinci denk- leme e¸sit olaca˘gından,

dξ dR − ξ

R = −dη dR − η

R, (2.22)

sonucu kolayca görülür. Bu kısımda birçok e¸sitlik önerisi mevcut olabilir. Bunlardan en basiti (2.22) ifadesinin sıfıra e¸sit olma durumudur. Böylece ξ = 2ξ0(r)R ve η = ^2η0_R^(r) elde edilir ve

f (R) = η₀(r)

R + ξ₀(r)R ve f_R(R) = df (R)

dR = −η₀(r)

R² + ξ₀(r) (2.23) oldu˘gu kolayca yazılır. Burada ξ₀(r) ve η₍r) ifadeleri Ricci skalerine göre integral sabitleridir.

Böylece (2.19 ve 2.20) denklemlerini yeniden düzenlersek [3f_R⁰ Ω − f_RΩ⁰ − 2f_RΩ^W_W⁰]⁰

Ω + 2Φ⁰²= 2ξ0(r)Re^2K−2U (2.24)

[f_RΩ]⁰⁰

Ω = 2η₀(r)

R e^2K−2U, (2.25)

elde ederiz. Denklemlerin basit ve literatür ile tutarlı olması açısından η(r) = 0 seçilmesi uy- gundur. Böylece,

f (R) = ξ₀(r)R (2.26)

f_R(R) = ξ₀(r), (2.27)

yazılır. Denklem (2.25)’den kolayca görülece˘gi gibi f_R= ^w0+rw_Ω ¹ elde edilir.

Aynı ¸sekilde (2.11,2.14) denklemler için elektromagnetik alan denklemi,

(A⁰hΩe^−2U)⁰ = 0, (2.28)

elde edilir. Böylece

yazılabilir. Di˘ger taraftan A akım yo˘gunlu˘gunu elde etmek için (2.11) denkleminden (2.13) ifa- desini çıkardı˘gımızda ve diferansiyel denklemi çözdü˘gümüzde,

A = (w₀+ rw₁)(K⁰− 2U⁰), (2.30)

sonucu elde edilir. Di˘ger taraftan genel halde yazılmı¸s (2.15) denkleminden farklı ekstra boyut- lara ait denklemlerin birbirinden çıkarılması ile

X_i = e^K−U(w₀+ rw₁)^xi0w1 (2.31) sonucu elde edilir. Burada x_i0integral sabitidir. Alan denklemlerini sa˘glayan skaler alan ifadesini elde etmek karma¸sıktır, ancak skaler alanın türevi,

Φ⁰² = 1 Ω



(w₀+ rw₁)



Re^2K−2U + 3K⁰⁰− 2

N

X

i=4

X_i⁰² X_i² + 2

N

X

i=4

X_i⁰⁰ X_i



(2.32)

+w₁ 3K⁰+ 2

N

X

i=4

X_i⁰ X_i



= e(n−4)(−K+U )

W (w₀+ rw₁)

−l w1



(w₀+ rw₁)Re^−2K+2U +(w₀+ rw₁)(3K⁰ +2(n − 4)(K⁰− U⁰)0

bulunur. Burada l =PN −1

n=4 x_i0olarak tanımlanmı¸stır. Bu denklemlerden de görülece˘gi gibi, yük- sek boyutlu uzay zaman denklemlerinden dört boyutlu uzay zaman limitini elde etmek oldukca kolaydır. Di˘ger taraftan eylem denkleminin (1.2), skaler alan Φ’ye göre varyasyonu bulundu-

˘gunda,

fΦ+ 22Φ − 2hΦFµνF^µν = 0, (2.33)

denklemi yazılır. Burada f_Φve h_Φifadeleri skaler alana göre türevlerdir. Denklem (2.33) göste- rimini farklı ¸sekilde yapacak olursak,

f⁰

Φ⁰ + 22Φ − 2h⁰

Φ⁰F_µνF^µν = 0, (2.34)

elde edilir. Burada 2Φ = ^(ΩΦ_Ω⁰⁾⁰e^−2K+2U’dır. Denklem (2.34) ifadesinden elde edilen en basit çözüm;

K = n − 3

n − 2U (2.35)

U = (n − 2)Log(r − u₀)

(2.36)

¸seklindedir. Burada w₁ = ^l

2−P

i6=j xi0xj0

2

l olmalıdır.

Bölüm 3 Sonuç

N boyutlu silindirik simetrik uzay zaman için tanımlanan en genel aksiyon denkleminden elde edilen alan denklemlerinin temel bir çözümü elde edilmeye çalı¸sılmı¸s ve bu alan denklemlerini sa˘glayan metrik fonksiyonları elde edilmi¸stir. Daha özel bir durum olan Brans-Dicke-Maxwell çözümleri (Çiftci, Delice, 2015) tarafından yapılmı¸stır. Lineer olmayan denklemlerin çözüm zor- lu˘gu sebebiyle skalar alanın türevi elde edilebilmi¸stir. Mevcut metrik fonksiyonları e˘grilik ska- lerinin sabit oldu˘gu duruma kar¸sılık gelmektedir. Bu çalı¸sma sonucunda, alan denklemleri en genel ve en anla¸sılır ¸sekilde ifade edilmi¸s olup sonraki çalı¸smalarda yapılacak kar¸sıla¸stırma- lar için kolaylık sa˘glayacaktır. Ayrıca farklı integral sabitleri ile daha farklı çözümlerin de elde edilmesi mümkündür.

Kaynakça

Azadi A, Momeni D, Nouri-Zonoz M. Physics Letters B, 670, 3-210 (2008).

Bonnor, W. B. Proc. Phys. Soc. London A 67, 225 (1954).

Brans C, Dicke R. H, Phys. Rev. 124, 925-935, (1961).

Buchdahl H.A, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 150, 1 (1970).

Çiftci K.D, Delice Ö, Journal of Mathematical Physics, 56, 7, 072502 (2015).

Dicke R. H, Phys. Rev. 125, 2163-2167, (1962).

Einstein, A., Rosen, N. J. Franklin J. Inst. 223, 43 (1937).

Melvin, M. A. Phys. Rev. 139, B225 (1965).

Momeni D and Gholizade H, Int. J. Mod. Phys. D 18, 1719 (2009).

Moss, I., Poletti, S. J.: Phys. Lett. B 199, 34 (1987).

Peter, P., Puy, D. Phys. Rev. D 48, 5546 (1993).

Rador T, Phys. Lett. B 652, 228-232 (2007).

Sotiriou T.P, Class. Quant. Grav., 23. 5117-5128 (2006).

Sotiriou T. P and Faraoni F, Rev. Mod. Phys. 82, 451-497 (2010).

Thorne, K. S. Phys. Rev. 139, B244 (1965).

Vilenkin A., Shellard, E. P. S. Cosmic Strings and other Topological Defects. Cambridge University Press, Cambridge (1994).

Witten, E.: Nucl. Phys. B 249, 557 (1985).