Bu bölümde göz hareketlerinin k¬s¬tland¬¼g¬kon…gürasyon uzay¬olan Listing Uzay¬n¬n geometrisi analiz edilecektir. Gözün dönme hareketini sa¼glayan alt¬ kas¬n tam bir koordinasyon içinde çal¬¸sabilmesi çe¸sitli göz hastal¬klar¬n¬n tedavisinde önemli bir konudur. Di¼ger kompleks insan hareket sistemleri ile kar¸s¬la¸st¬r¬ld¬¼g¬nda gözlerin 3 -serbestlik derecesi ile dönmesi gözlerin bu sistemlere nazaran daha basit bir sistem olarak ele al¬nmas¬n¬kolayla¸st¬rm¬¸st¬r (Polpitiya vd. 2004). Örne¼gin 2-boyutlu insan yürüyü¸sünü inceleyebilmek için 24 kas ve tendonu gözönüne almak gerekir (Nielsen 2003). Burada yap¬lan analizde gözlerin sadece dönme hareketleri ele al¬nacakt¬r.
Bu hareketlerin yan¬s¬ra gözlerin dü¸sük düzeyde de olsa ba¸sa göre öteleme hareketi de mevcuttur (Bolina ve Monteiro 1998).
Gözleri mükemmel küreler olarak kabul edersek 3 3 lük dönme matrislerinin uzay¬ olan SO(3) gözlerin do¼gal kon…gürasyon uzay¬d¬r. Fakat …zyolojik aç¬dan bak¬ld¬¼g¬nda gözün sadece bak¬¸s do¼grultu vektörü birinci derecede önemlidir. Gözün herbir bak¬¸s yönüne kon…gürasyon uzay¬nda dönme matrisleri kar¸s¬l¬k gelir. Fakat burada belirli bir bak¬¸s yönü için hangi dönme matrisinin kullan¬laca¼g¬konusunda bir belirsizlik vard¬r. Bu belirsizli¼ge Listing Kanunu kesin bir cevap verir (Polpitiya vd. 2004).
Tan¬m 4.1 (Listing Kanunu): Tüm dönme matrislerinin dönme eksenleri stan-dart (ya da frontal) bak¬¸s do¼grultusuna diktir (Polipitiya 2004).
Listing, göz dönmelerinin 2 serbestlik derecesine k¬s¬tland¬¼g¬n¬ve gözlerin oryantas-yonunun gözlerin bak¬¸s yönü taraf¬ndan belirlendi¼gini gözlemlemi¸stir (Ghosh vd.
2014).
Tan¬m 4.2 (Listing Düzlemi): Primer pozisyondan uzakta, gözün tüm mümkün oryantasyonlar¬gözün bir dönme ekseni etraf¬nda döndürülmesi ile elde edilir ve bu eksenler" Listing Düzlemi" ad¬verilen sabit bir düzleme k¬s¬tlanm¬¸st¬r (Ghosh vd.
2014). Bu düzlem ¸sekil4.1’de gösterilmektedir.
¸
Sekil 4.1. Göz primer bak¬¸s yönünde ba¸s sabitken Listing düzlemi (Ghosh vd. 2014)
Böylece gözlerin hareketleri gözlerin do¼gal kon…gürasyon uzay¬olan SO(3) nün k¬s¬t-lanm¬¸s 2 - boyutlu alt manifoldu olan Listing uzay¬nda ele al¬nabilir. Listing uzay¬
incelenirken ¸su varsay¬mlarda bulunulacakt¬r:
- Göz mükemmel bir küredir.
- Bütün göz hareketleri Listing kanununa uyar.
Ikinci varsay¬m¬m¬z¬n hareketin sadece ba¸· slang¬ç ve biti¸s noktalar¬nda de¼gil tüm göz hareketi boyunca geçerli oldu¼guna dikkat edilmelidir (Polpitiya vd. 2004).
4.1 Notasyon ve Terminoloji
Kuaterniyonlar uzay¬ Q ile gösterilir ve her a 2 Q kuaterniyonu
a = a0!1 + a1!i + a2!j + a3!k
¸seklinde yaz¬labilir ve
Scal(a) = a0; V ec(a) = a1!i + a2!j + a3! k
ile ifade edilir. Vektörel k¬s¬m (a1; a2; a3)2 R3 ile özde¸sle¸stirilebilir. O zaman
V ec : Q ! R3 ve Scal : Q ! R
a ! (a1; a2; a3) a ! a0 olarak yaz¬labilir (Polpitiya vd. 2004).
Tan¬m 4.3 (S3 Birim Küresi):
S3 = (a0; a1; a2; a3)2 R4 j a20+ a21+ a22+ a23 = 1
¸seklinde tan¬ml¬ küreye R4 uzay¬n¬n S3 birim küresi denir. Birim kuaterniyonlar uzay¬S3 birim küresi ile özde¸sle¸stirilir. O zaman S3 birim küresi
S3 =n
q = a0+ a1!i + a2!j + a3!k j q q = 1o
¸seklinde yaz¬labilir (Polpitiya vd. 2004).
Tan¬m 4.4 (Kuaterniyonun Ekseni): 2 [0; ] ve !n = (n1;n2;n3) R3 te bir birim vektör olmak üzere her q 2 S3 birim kuaterniyonu
q = cos
2 :!1 + !n : sin 2
¸seklinde yaz¬labilir. Burada !n birim vektörüne "Kuaterniyonun Ekseni" ya da
"Dönme Ekseni" denir (Polpitiya vd. 2004).
Tan¬m 4.5 S3birim kuaterniyonlar cümlesi ile SO(3) aras¬ndaki standart dönü¸süm rot : S3 ! SO(3) ile gösterilir ve bu dönü¸süm q birim kuaterniyonunu !n ekseni etraf¬nda saatin tersi yönünde aç¬l¬k bir dönmeye dönü¸stürür. Bu dönü¸süm
rot(q)(v1; v2; v3) = vec(q:(v1!i + v2!j + v3! k ):q 1)
¸seklinde veya
Q = rot(q) = 2 66 64
q02+ q21 q22 q32 2(q1:q2 q0:q3) 2(q1:q3+ q0:q2) 2(q1:q2+ q0:q3) q02+ q22 q12 q32 2(q2:q3 q0:q1) 2(q1:q3 q0:q2) 2(q2:q3+ q0:q1) q02+ q23 q12 q22
3 77 75
ile verilir (Polpitiya vd. 2004).
Buradaki Q matrisi kat¬cismin anl¬k oryantasyonunu temsil eder. Q nun kolonlar¬
ortonormaldir ve bunlar dönen cisme ili¸stirilmi¸s koordinatlar olarak yorumlanabilir ve üçüncü kolonun dönen cisim göz iken bak¬¸s yönü oldu¼gu kabul edilir. Yukar¬da verilen rot dönü¸sümü örtendir fakat 1 - 1 de¼gildir. Çünkü q ve q nun görüntüleri ayn¬d¬r (Ghosh vd. 2014).
Teorem 4.1 Listing manifoldu RP2 projektif uzay¬na difeomor…ktir (Polpitiya vd.
2004).
Her bir oryantasyon SO(3) üzerindeki bir nokta olarak görülebilece¼ginden göz hareket-leri SO(3) dönme uzay¬ndaki yörüngeler olarak tasvir edilebilir. SO(3)deki nokta-lar¬n parametizasyonu rot dönü¸sümü vas¬tas¬yla R4 teki birim küre S3 ün parameti-zasyonundan yukar¬da oldu¼gu gibi kolayca elde edilebilmektedir (Ghosh vd. 2014).
Tan¬m 4.6 (Riemann Metri¼gi ve Riemann Manifoldu): M bir diferensiyel-lenebilir manifold ve manifold üzerindeki diferensiyeldiferensiyel-lenebilir vektör alanlar¬n¬n küme-si (M ) olsun. Bu durumda
g : (M ) (M ) ! C1(M )
ile tan¬ml¬g bilineer formu simetrik ve pozitif tan¬ml¬ise , yani 8X; Y 2 (M) için (a) g(X; Y ) = g(Y; X)
(b) g(X; X)> 0 ve 8X için g(X; X) = 0 () X = 0
¸sartlar¬sa¼glan¬yorsa g formuna "Riemann Metri¼gi" veya " Metrik Tensör" ad¬ver-ilir. Bu durumda (M; g) ikilisine "Riemann Manifoldu" denir (¸Sahin 2012). M bir Riemann manifoldu ise her TpM için p 2 M üzerinde bir h; i p iç çarp¬m¬vard¬r.
Tan¬m 4.7 (Lie Grup): G bir grup ve x; y 2 G olmak üzere f : G G ! G ye (x; y) ! x:y 1 ile verilen dönü¸süm diferensiyellenebilir olacak biçimde, bir diferensiyellenebilir yap¬yla birlikte verilen G grubuna "Lie Grubu" denir (Do Carmo 1992). Burada G diferensiyellenebilir bir manifolddur. Örne¼gin; GL(n; R) = fA 2 Rn n : det(A)6= 0g standart matris çarp¬m¬yla bir Lie grubudur.
Tan¬m 4.8 (Sol ve Sa¼g Öteleme): Gbir Lie grubu ve x 2 G olsun.8x 2 G için Lx : G ! G
y ! Lx(y) = x:y
dönü¸sümüne G üzerinde "Sol Öteleme", Rx : G ! G
y ! Rx(y) = y:x
dönü¸sümüne de G üzerinde "Sa¼g Öteleme" denir (Do Carmo 1992). Bunlar Lie gruplar¬ndaki difeomor…zmlerdir.
Tan¬m 4.9 (Sol ve Sa¼g ·Invaryant Metrik): Güzerindeki bir Riemann metri¼gi için x; y 2 G, u; v 2 TyG olmak üzere
hu; viy =hd(Lx)y:u; d(Lx)y:viLx(y)
¸seklinde tan¬ml¬metri¼ge "Sol ·Invaryant Metrik",
hu; viy =hd(Rx)yu; d(Rx)y:viRx(y)
¸seklinde tan¬ml¬metri¼ge de "Sa¼g ·Invaryant Metrik" denir (Do Carmo 1992). Burada Lx ve Rx birer izometridir.
Tan¬m 4.10 (Bi - ·Invaryant Metrik): G grubu üzerindeki Riemann metrik hem sa¼g hem de sol invaryant metrik ise metri¼ge "Bi - ·Invaryant Metrik" denir.
Örne¼gin; SO(3) dönme gruplar¬cümlesi bi - invaryant metri¼ge sahiptir. Daha genel olarak kompakt irtibatl¬ bir G Lie grubu bir bi - invaryant metri¼ge sahiptir (Do Carmo 1992). SO(3) topolojik olarak kompaktt¬r. Bir Lie grup üzerinde bir
bi-invaryant metrik olmas¬ güçlü bir özelliktir. Bu durumda Lie çarp¬m¬ çok basite indirgenebilmektedir.
Tan¬m 4.11 (Lie Parantez Operatörü ve Lie Cebri): gl = fV; ; R; +; ; g bir reel vektör uzay¬olsun.
[; ] : gl gl ! gl parantez operatörü için ( ; ) ! [ ; ]
(i) [; ]anti simetrik (ii) [; ] iki lineer
(iii) [x; [y; z]] + [y; [z; x]] + [z; [x; y]] = 0 (Jakobi Özde¸sli¼gi)
özelliklerini sa¼gl¬yorsa [; ] operatörüne "Lie Parantez Operatörü (Lie Çarp¬m Ope-ratörü)" , (gl; [; ]) ikilisine de bir "Lie Cebri" denir (Hac¬saliho¼glu 1980).
Tan¬m 4.12 (Sol ve Sa¼g ·Invaryant Vektör Alanlar¬): Bir G Lie grubu üze-rinde diferensiyellenebilir bir vektör alan¬X olsun. E¼ger her x 2 G için dLxX = X oluyorsa X vektör alan¬na "Sol ·Invaryant Vektör Alan¬" denir. Burada dLx = (Lx) türev dönü¸sümüdür. Benzer ¸sekilde sa¼g invaryant vektör alan¬da tan¬mlana-bilir (Do Carmo 1992).
Teorem 4.2 G bir Lie grubu ve e 2 G birim eleman olsun L(G), G üzerindeki bütün sol invaryant vektör alanlar¬n¬n uzay¬olmak üzere
: L(G) ! Te(G)
dönü¸sümü bir lineer izomor…zmdir (Hac¬saliho¼glu 1980).
[; ] : L(G) L(G) ! L(G)
(X; Y ) ! [X; Y ]g(f ) = Xg(Y (f )) Yg(X(f ));
8g 2 G, 8f 2 C1(G) parantez operatörüyle birlikte L(G) bir Lie cebirdir. :
L(G) ! Te(G) bir lineer izomor…zm oldu¼gundan Te(G) de bir Lie cebri olur.
Yani bir G Lie grubunun e birim noktas¬ndaki tanjant uzay¬Te(G), G Lie grubunun Lie cebri olur (Do¼gan 2009).
Örnek 4.1 G = S1 bir Lie grubudur. S1in birim noktadaki te¼get uzay¬ TeG bu grubun Lie cebridir.
Örnek 4.2 G = S3 =n
q = a0+ a1:!i + a2!j + a3!k j Nq = q q = 1o
kuaterniyon çarp¬m¬na göre bir Lie gruptur. S3 ün Lie cebri bir pür kuaterniyon-dur.Yani
TeS3 =n!V j!V = a1:!i + a2!j + a3!ko d¬r.
SO(3) topolojik yap¬s¬yla 3 - boyutlu bir topolojik manifolddur. Bu yüzden bir matris Lie grubudur. Bir Lie grubuna kar¸s¬l¬k gelen Lie cebri grubun birim nok-tas¬ndaki tanjant uzay¬oldu¼gundan TI(SO(3)), SO(3) Lie grubunun Lie cebri olur.
Bu Lie cebrine so(3)diyelim (Do¼gan 2009).
Tan¬m 4.13 SO(3) Lie grubunun Lie cebri olarak tan¬mlan¬r (Do¼gan 2009).
Tan¬m 4.14 (Tanjant Operatör): SO(3) Lie grubunun tanjant operatörü = A:A_ T = _A:A 1 antisimetrik operatörüdür (Do¼gan 2009).
Tan¬m 4.15 (Aç¬sal H¬z Matrisi): A2 SO(3) için
A : J R ! SO(3) t ! A(t)
e¼grisini alal¬m. matrisine A(t) dönmesinin "Aç¬sal H¬z Matrisi" denir (Do¼gan 2009).
¸Simdi so(3) Lie cebrinin standart baz¬n¬elde edelim. S 2 so(3) olsun. Bu durumda
Burada L1; L2; L3matrisleri s¬ras¬yla x; y; z eksenleri etraf¬ndaki ani dönmeleri temsil eder (Do¼gan 2009).
Tan¬m 4.16 f l;mg kronoker delta fonksiyonunu göstermek üzere
(lk) =
olarak tan¬mlayal¬m. Bu durumda, örne¼gin x- ekseni etraf¬ndaki dönmeyi, yani y z düzlemindeki dönmeyi,
(e1) = Lt1 = Lx ile ifade ederiz.
Teorem 4.3 Bir dönme 3 - boyutta bir eksen ve bu eksen etraf¬ndaki bir dönme aç¬s¬ ile parametize edilebilir. Bu eksen ve dönme aç¬s¬na kar¸s¬l¬k gelen matris, I birim matrisi olmak üzere Taylor seri aç¬l¬m¬ile
e :Lx = e : (e1) = I + :Lx+ 1
¸seklinde verilir (Handzel ve Flash 1996).
Böylece her dönme matrisi üstel dönü¸süm vas¬tas¬yla
R( ) = exp( x:Lx+ y:Ly + z:Lz)
¸seklinde elde edilebilir. Bu e¸sitlikte x = 0 alarak
R =
torsiyonsuz dönme matrisi elde ederiz. Burada = q 2
y+ 2z total dönme aç¬s¬
( ; )Listing düzlemindeki kutupsal koordinatlard¬r. R matrisinin soldan ilk sütunu birim kürenin parametizasyonundan olu¸smaktad¬r (Handzel ve Flash 1996).
Burada span fLy; Lzg = l Listing düzlemini olu¸stururken span fLxg = h gözün torsiyon eksenini olu¸sturur ve g = so(3) = h l ¸seklinde yaz¬labilir. Bu e¸sitlik Lie cebri diliyle gözün genel pozisyonunu ifade eder. e 2 G = SO(3) dönme grubunda gözün primer pozisyonuna kar¸s¬l¬k gelirken H = SO(2) göz torsiyonuna kar¸s¬l¬k gelir (Handzel ve Flash 1996).
Göz orbit içindeki hareket aral¬¼g¬nda herhangi bir aç¬sal pozisyonuna serbestçe ula¸ sa-bilir. Göz kaslar¬ gözü herhangi bir eksen etraf¬nda döndüresa-bilir. Bununla bir-likte normal görü¸s ¸sartlar¬alt¬nda göz yapabildi¼gi bütün hareketleri gerçekle¸stirmez.
Gözün hareketlerini yöneten kanunlardan biri de Donder Kanunu’dur (Zatsiorsky 1998).
Tan¬m 4.17 (Donder Kanunu): Gözün oryantasyonu, bak¬¸s yönü taraf¬ndan tek ba¸s¬na belirlenir. Bir ba¸ska ifadeyle torsiyon aç¬s¬bak¬¸s yönünü belirleyen aç¬lar¬n bir fonksiyonudur. Torsiyon aç¬s¬gözün mevcut pozisyonuna ula¸s¬rken ald¬¼g¬önceki pozisyonlara ba¼gl¬ de¼gildir. Buna göre göz 3 boyutlu hareket etmek yerine 2 -boyutlu hareket eder yani gözün serbestlik derecesi 2’ye dü¸ser. Donder Kanunu ba¸s sabit ve dik ve gözler sonsuzdaki bir hedefe bakarken sa¼glan¬r (Halswanter 1995).
Göz hareket problemini bütünleyici olarak Donder anl¬k ba¸s hareketleri alt¬nda insan ba¸s¬n¬n eri¸sebilece¼gi mümkün oryantasyonlar üzerine çal¬¸st¬ ve primer ba¸s
pozisyonundan uzakta ba¸s dönmelerinin eksenlerinin "Donder Yüzeyi" ad¬ verilen sabit bir yüzeye s¬n¬rland¬r¬ld¬¼g¬n¬ortaya koydu (¸Sekil 4.2). Esas olarak Donder’in ba¸s hareketleri yasas¬, Listing’in göz hareketleri yasas¬n¬ geneller. Listing düzlemi sabitlenmi¸stir ve genellikle sabite sahipken (ba¸s¬n oryantasyonundaki de¼gi¸siklik ile Listing düzlemi ha…fçe e¼gilir fakat burada bunu ihmal edece¼giz.) Donder yüzeyi de sabitlenmi¸s kabul edilir ama bir denekten ba¸ska bir dene¼ge de¼gi¸sir (Ghosh vd. 2014).
¸
Sekil 4.2. Gövde sabit, ba¸s primer pozisyonda iken Donder yüzeyi (Ghosh vd. 2014)
4.2 List Üzerindeki Riemann Metrik
Literatürde göz hareketlerini tasvir etmek için eksen - aç¬ (axis - angel) parame-tizasyonu kullan¬lm¬¸st¬r. Bu yüzden hesaplar gerçekle¸stirilirken eksen - aç¬ lokal koordinat sistemi kullan¬lacakt¬r. ( ; ; ) lokal koordinatlar¬ndan listing düzle-mindeki dönme ekseninin kutupsal koordinat aç¬s¬n¬ gösterirken, eksen etraf¬n-daki dönme aç¬s¬n¬, ise eksenin Listing düzleminden sapma aç¬s¬n¬ göstermekte-dir. = 0 iken dönme ekseni Listing düzlemine k¬s¬tlanm¬¸st¬r. Burada ( ; ; ) 2 [0; 2 ] 2 ; 2 [0; 2 ] alaca¼g¬z. = 0veya = 2 oldu¼gu durumlarda dönme aç¬s¬ndan ba¼g¬ms¬z olarak özde¸sli¼ge kar¸s¬l¬k gelmektedir (Polpitiya vd. 2004).
Tan¬m 4.18 (Submersiyon): M ve N s¬ras¬yla m ve n boyutlu (n > m) man-ifoldlar ve F : M ! N dönü¸sümü örten olsun. E¼ger p 2 M noktas¬nda,F p : TpM ! TF (p)N dönü¸sümünün rank¬ n ise F dönü¸sümüne "Submersiyon" veya
"S¬¼gd¬rma" denir (¸Sahin 2012).
List üzerine SO(3) ten indirilen Riemann metri¼gi hesaplamak için Polpitiya vd.
2004 ve Ghosh vd. 2014 makalelerindeki bu konu ile igili hesaplamalar¬ takip edilecektir. Göz dönmeleri ba¸s sabit iken SO(3) ün List alt manifolduna k¬s¬tlan¬r.
Hareket denklemlerini yazabilmek için hareketteki gözün kinetik ve potansiyel e-nerjisi bilinmelidir. Kinetik enerji SO(3) üzerindeki Riemann metrikten indirilen List üzerindeki indirilmi¸s Riemann metrik taraf¬ndan verilir. Riemann metrik göz küresinin eylemsizlik momentinden türetilir. Burada göz mükemmel bir küre olarak varsay¬lacak ve eylemsizlik tensörü I3 3 birim matrisinin 14 kat¬olarak seçilecektir.
Bu SO(3) üzerindeki sol invaryant metrik ile ilintilidir. SO(3) üzerindeki sol invaryant metrik S3 ve SO(3) aras¬nda verilen izometrik submersiyon rot ile hesaplanabilir.
i; j; k T!1S3ün bir ortonormal baz¬d¬r ve
e¸sitlikleri yaz¬labilir. Bunu
rot !1 : T!1S3 ! TISO(3) birim noktadaki tanjant dönü¸süm olmak üzere
rot !1
olmas¬ izler. Böylece n rot !1
Rot dönü¸sümü sol ötemeler alt¬nda e¸s de¼gi¸skenli ve SO(3) üzerindeki Riemann metri¼ginin yan¬s¬ra S3üzerindeki Riemann metrik sol invaryant oldu¼gundan rot q
q noktas¬ndaki tanjant dönü¸süm olmak üzere n
rot !q!i =2; rot !q!j =2; rot !q! k =2o kümesi her q 2 S3 için Trot(q)SO(3) ün bir ortonormal baz¬d¬r.
S3 rot
Simdi List üzerine SO(3) ten indirilen Riemann metri¼gi hesaplamak için TqS3 ün n
olarak tan¬mlayal¬m. S3 üzerindeki koordinat dönü¸sümünü
( ; ; ) =
ekseni etraf¬nda bir dönme verir. Burada = 0 al¬rsak ve dönü¸sümleri
List ! S3
( @
Böylece SO(3) üzerindeki Riemann metrik
g = sin2( =2): cos2( ):d 2+ sin2( =2)d 2+1 4:d 2 olarak bulunur. = 0 al¬rsak List üzerindeki Riemann metrik
g = sin2( =2)d 2+1 4:d 2 olarak bulunur.
4.3 Bak¬¸s Aç¬s¬n¬n Küre Metri¼gi Ve Hareket Cinsinden Yorumu
Bu bölümde Mori ve Maeda 2005 makalesindeki bak¬¸s aç¬s¬ tan¬m¬ , ortogonal ek-senlerin bak¬¸s aç¬lar¬ yasas¬ ve bunun bir uygulamas¬ olarak bir örnek verilecektir.
Verilen örnek farkl¬bir yoldan ve kürenin kendi metri¼gi kullan¬larak da çözülecek, sonras¬nda bak¬¸s aç¬s¬n¬n hareket ile bir yorumu sunulacakt¬r.
4.3.1 Üç boyutlu ortogonal eksenlerin bak¬¸s aç¬lar¬
Tan¬m 4.19 (Bak¬¸s Aç¬s¬) Üç boyutlu Öklid uzay¬nda bir aç¬ < AOB olsun.
AOB aç¬s¬na bir V 2 R3 noktas¬ndan bakal¬m. Bu durumda < AOB aç¬s¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬, V AOB dörtyüzlüsünün AOV ve BOV yüzleri ile belli iki düzlemli aç¬olarak tan¬mlan¬r. ¸Sekil 4.3 de bak¬¸s aç¬s¬ gösterilmektedir . AOB aç¬s¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬n¬
görü¸s noktas¬n¬da belirtmek için < vAOB ¸seklinde gösterebiliriz.
¸
Sekil 4.3. Bak¬¸s aç¬s¬n¬n tan¬m¬(Mori ve Maeda 2005)
Bir aç¬dan bir çok bilgi elde ederiz. Örne¼gin gözlemci her hareket etti¼ginde < AOB bak¬¸s aç¬s¬ de¼gi¸sir. (0 bak¬¸s aç¬s¬ radyan) Genel olarak bak¬¸s aç¬s¬ görüntü ekran¬ denilen bir yüzey yard¬m¬yla anla¸s¬l¬r. Görüntü ekran¬ Öklid uzay¬nda bir küredir ve bak¬¸s aç¬s¬bu küre üzerinde ölçülür.
Teorem 4.4 Üç boyutlu Öklid uzay¬nda key… V; A veB noktalar¬n¬n O merkezli birim küre üzerindeki merkezi iz dü¸süm noktalar¬ V 0; A0; B0 olsun. Bu taktirde
< AOB aç¬s¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬ V 0A0B0 küresel üçgeninin < V 0 aç¬s¬na e¸sittir (¸Sekil 4.4).
¸
Sekil 4.4. <AOB aç¬s¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬<V’küresel aç¬s¬d¬r ( Mori ve Maeda 2005)
Ispat: !· a vektörü V 0A0 yay¬na V 0 de te¼get olsun.(!
b vektörü de V 0B0 yay¬na V 0de te¼get olsun.) Küresel üçgenin tan¬m¬ndan !a ve !b vektörleri aras¬ndaki aç¬ < V 0 küresel aç¬s¬na e¸sittir. AOV ve BOV düzlemlerinin kesi¸sti¼gi yerde !a ve!
b vektörleri OV do¼grusuna diktir. Bu ise bak¬¸s aç¬s¬n¬n tan¬m¬demektir. Böylece V 0A0B0 küresel üçgeninin < V 0 aç¬s¬< AOB aç¬s¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬d¬r.
4.3.2 Üç boyutlu ortogonal eksenlerin bak¬¸s aç¬lar¬yasas¬
Bak¬¸s aç¬lar¬n¬ yönlü olarak ele alal¬m. < BAC aç¬s¬, S2 birim küresi üzerinde, küre d¬¸s¬ndan bak¬ld¬¼g¬nda AB den AC ye saat yönünün tersinde ölçülen yön-lendirilmi¸s bir aç¬olsun. Bak¬¸s aç¬s¬aral¬¼g¬[0; 2 ) dir. Bu noktadan sonra, V (x; y; z) görü¸s noktas¬n¬n küre üzerinde oldu¼gunu farzedelim. Bu V görü¸s noktas¬ndan O = (0; 0; 0); X = (1; 0; 0); Y = (0; 1; 0) ve Z = (0; 0; 1) olmak üzere O XY Z ortogonal eksenlerinin < Y OZ; < ZOX ve < XOY aç¬lar¬na bakal¬m. a; b; c aç¬lar¬
s¬ras¬ile < Y OZ; < ZOX ve < XOY aç¬lar¬n¬n bak¬¸s aç¬lar¬olsun. O zaman birim küre üzerinde a =< Y V Z; b =< ZV X ve c =< XV Y olur (¸Sekil 4.5).
Teorem 4.5 V görü¸s noktas¬eksenler (x; y; z 6= 1) üzerinde de¼gilse o zaman üç boyutlu ortogonal eksenlerin bak¬¸s aç¬lar¬a¸sa¼g¬daki denklemi sa¼glar:
¸
Sekil 4.5. Birim küre üzerindeki a,b,c bak¬¸s aç¬lar¬(Mori ve Maeda 2005)
tan a = x
yz ; tan b = y
zx; tan c = z xy
Ispat : ·· Ilk olarak x: sin a 0 oldu¼gunu kontrol etmek kolayd¬r. Küresel bir üç-gende kenarlar için kosinüs teoremini hat¬rlayal¬m: ABC üçgeni S2 küresi üzerinde AB; BC ve AC kenar uzunluklar¬s¬ras¬yla c; a; b ve A; B; C aç¬lar¬s¬ras¬yla ; ; olan bir üçgen olsun. O zaman
cos c = cos a: cos b + sin a: sin b: cos
e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. ¸Simdi V Y Z küresel üçgenine kenarlar için kosinüs teoremini uygu-larsak
cos Y Z = cos V Y: cos V Z + sin V Y: sin V Z: cos a
cos2 = y:z + sin(arccos y): sin(arccos z) cos a
cos a = yz
p1 y2:p
1 z2; sin a = x p1 y2:p
1 z2
elde edilir. Burada sin a ile x in ayn¬ i¸saretli olmas¬ olgusunu kulland¬k. Bunun sonucu olarak
tan a = x yz
olur. di¼ger e¸sitlikler de benzer ¸sekilde gösterilebilir. ¸Simdi bak¬¸s aç¬s¬na bir örnek verelim.
Örnek 4.1: O = (0; 0; 0); A = (1; 0; 0); B = (0; 1; 0) olmak üzere birim küre ü-zerindeki P = (p13;p1
3;p1
3)noktas¬ndaki göz ile AOB dik aç¬s¬na bak¬ld¬¼g¬nda bak¬¸s aç¬s¬n¬n kaç derece olaca¼g¬n¬bulal¬m.
1.Yol. Teorem 5.2 yi kullanal¬m. x = y = z = p13 verildi¼ginden a bak¬¸s aç¬m¬z
2.Yol. P ve A noktalar¬ndan geçen büyük çember yay¬n¬ bulal¬m. P; A; O nok-talar¬ndan geçen düzlem ile x2 + y2 + z2 = 1 birim küresini kesi¸stirirsek y = z oldu¼gundan x2 + 2z2 = 1 çemberini buluruz. Bu çemberi bir t parametresine göre parametrik olarak (t) = (cos t;sin tp
2;sin tp
2)¸seklinde ifade edelim.
(t ) = (p1
3) noktas¬ndaki te¼get vektör
0(t ) = ( pp2 3;p1
6;p1
6) olur.
¸
Simdi de P ve B noktalar¬ndan geçen büyük çember yay¬n¬ bulal¬m. P; O ve B noktalar¬ndan geçen düzlem ile x2+ y2+ z2 = 1 birim küresini kesi¸stirirsek x = z oldu¼gundan 2x2+ y2 = 1 çemberini buluruz. Bu çemberi bir t parametresine göre parametrik olarak (t) = (sin tp
2; cot t; sin tp
2)¸seklinde ifade edelim.
0(t) = (cos tp
2 ; sin t;cos tp
2) oldu¼gundan P (p13;p1 3;p1
3)noktas¬ndaki te¼get vektör
0(t ) = (p1
Örnek 4.2: Önceki örnekteki bak¬¸s aç¬s¬n¬kürenin kendi metri¼gini kullanarak bu-lal¬m. Küre metri¼gi
ds2 = d 2+ sin2 d e¸sitli¼gi ile verilir.
Burada
dir. Kürenin ve ye göre bir parametizasyonu
( ; ) = (sin : cos ; sin : sin ; cos ) olmak üzere ( ; ) = (p13;p1
3;p1
3) olsun. Buradan cos = 1
jj ( @
Simdi !u ve !v vektörleri kürenin herhangi bir te¼get düzleminde iki vektör olsun.
Bu vektörleri @ ve @ bazlar¬cinsinden ifade edelim. Yani
!u = 1: @
@ + 2: @
@ ve !v = c1: @
@ + c2: @
@ e¸sitliklerini sa¼glayan 1; 2; c1; c2 reel say¬lar¬n¬bulal¬m.
Örnek 5.1 den !u = 0(t ) ve !v = 0(t ) alal¬m.
olur. !u ve !v vektörleri aras¬ndaki a aç¬s¬bak¬¸s aç¬s¬olmak üzere
cos a = < !u ; !v >
jj!ujj:jj!v jj = 1 2
olup a = 120 bulunur.
Bu örnekte kullan¬lan küre metri¼gi yerine
g = sin2(
2)d + 1 4d 2
List metri¼gi kullan¬larak da bak¬¸s aç¬s¬a = 120 olarak bulunabilir.
4.3.3 Bak¬¸s aç¬s¬n¬n hareket cinsinden yorumlanmas¬
Verdi¼gimiz örneklerde ve Mori ve Maeda 2005 makalesinde küre üzerindeki nokta-lardan dik aç¬lar¬n bak¬¸s aç¬lar¬bulunabilmektedir. Bak¬¸s aç¬lar¬n¬n hareket ile yo-rumlanmas¬90 den farkl¬aç¬lar¬n da bak¬¸s aç¬lar¬n¬n hesaplanmas¬n¬olanakl¬k¬lar.
¸
Sekil 4.6 da P noktas¬birim küre üzerinde bir nokta, OP bak¬¸s do¼grultusu (gaze),
!X birim vektör ve A dönme matrisi olsun. !X vektörünü bak¬¸s do¼grultusu etraf¬nda aç¬s¬kadar döndürelim. Bu durumda!X ve A!X vektörleri aras¬nda olu¸san aç¬s¬
bakt¬¼g¬m¬z aç¬iken aç¬s¬bu aç¬n¬n bak¬¸s aç¬s¬olur.
¸
Sekil 4.6. Bak¬lan aç¬ve bak¬¸s aç¬s¬
¸
Simdi bakt¬¼g¬m¬z aç¬ile bak¬¸s aç¬s¬aras¬ndaki ba¼g¬nt¬y¬bulal¬m.
Teorem 4.6 Dönme ekseninin (bak¬¸s do¼grultusu) kar¸s¬l¬k geldi¼gi anti simetrik ma-tris S; dönme aç¬s¬ ise A dönme mama-trisi
A = I3+ sin :S + (1 cos ):S2 ile verilir (McCarthy 1990).
S matrisine kar¸s¬l¬k gelen birim eksen !b olmak üzere yukardaki e¸sitli¼gin her iki taraf¬n¬!
X vektörü ile çarpal¬m.
A!X = (I3+ sin :S + (1 cos ):S2):!X
=!X + sin (!b ^!X ) + (1 cos )!b ^ (!b ^!X ) Son e¸sitli¼gi !X ile iç çarpal¬m:
< A! X ;!
X >= 1 + sin <! b ^!
X ;!
X > +(1 cos ) <! b ^ (!
b ^! X );!
X >
< A!X ;!X >= 1 + (1 cos ) <! b ^ (!
b ^!X );!X >
cos = 1 + (1 cos )(<<!b ;!X >!b !X <!b ;!b >;!X >)
cos = 1 + (1 cos )(<<! b ;!
X >!
b !
X ;! X >)
cos = 1 + (1 cos )(<!b ;!X >2 1)
cos = (1 cos ) <!b ;!X >2 + cos olur.
!b ve!X vektörleri aras¬ndaki aç¬ olmak üzere
cos = (1 cos ): cos2 + cos ve sonuç olarak
cos = cos2 + cos : sin2 e¸sitli¼gi elde edilir.
Bu e¸sitli¼gi kullanarak Örnek 5.1 i tekrar çözelim.
Örnek 4.3: Küre üzerindeki P (p13;p1 3;p1
3)noktas¬ndan AOB dik aç¬s¬na bak¬ld¬¼g¬nda olu¸san bak¬¸s aç¬s¬n¬bulal¬m.
Burada < AOB = = 90 ve dönme eksenimiz !b = (p1 3;p1
3;p1
3) olmak üzere
!X = (1; 0; 0) vektörünü !
b etraf¬nda bak¬¸s aç¬s¬kadar döndürelim.
<! b ;!
X >= cos = 1
p3 ve sin = p2 p3 olur.
cos = cos2 + cos : sin2
cos 90 = 1
3 + cos :2 3 = 0 ise
cos = 1
2 ve = 120 bulunur.