Analitik Geometri
David Pierce
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi
mat.msgsu.edu.tr/~dpierce
polytropy.com
Ocak
Giriş
Analitik Geometri, cebirsel yöntemleri kullanan geometri- dir. Bu yöntemler, bir orantılar kuramına bağlıdır. Bu ku- ramda
) orantılılık bağıntısı, bir denklik bağıntısıdır;
) Thales Teoremi doğrudur.
Bu notlarda
• orantılılık kuramını, Desargues Teoremi ’nden;
• Desargues Teoremi’ni, Pappus Teoremi ’nden;
• Pappus Teoremi’ni, Öklid’in Öğeler ’inin i. kitabından elde edeceğiz.
A B
O C
D
(a)
A B
C
D O
(b)
Şekil : Thales Teoremi
Thales Teoremi
Geometrik tanımlardan birine göre bir elips, iki verilen odak noktasından uzaklıklarının toplamı aynı olan noktaların bir yeridir. Analitik geometride, bir a ve bir b için, elipsi tanımla- yan koşul iki değişkeni olan
x2 a2 + y2
b2 = 1
cebirsel denklemi tarafından ifade edilebilir.
Cebirsel bir denklemde değişkenlerin ve sabitlerin değerleri, gerçel sayıların oluşturduğu R gibi bir cisimden gelir. Bir ci- simde iki elemanın toplamı ve çarpımı vardır.
Öklid’in Öğeler’inin birinci kitabında toplamanın geometrik anlamı vardır, ama çarpma kavramı yoktur [, , ].
yılında yayınlanmış olan La Géometrie adlı kitabında Descartes, gerçel sayıların çarpmasına geometrik bir anlamı verir [, ]. Bunun için Thales Teoremi’ni kullanır []. Bu teoreme göre eğer Şekil ’deki gibi bir OAB üçgeninin OA
kenarında C ve OB kenarında D oturursa, o zaman AB k CD ⇔−→
OA:−→
OC : :−−→
OB:−−→
OD.
Burada
• −→
OA, bir yönlü doğru parçasıdır;
• −→
OA:−→
OC, bir orandır;
• −→
OA:−→
OC : :−−→
OB:−−→
OD, bir orantıdır;
• : : işareti, orantılılık bağıntısını (yani oranlar aynılığını) gösterir.
Thales Teoremi, Öğeler’in altıncı kitabının ikinci önermesi- dir. Önermeyi göstermek için Öklid, beşinci kitapta bulunan orantılar kuramını kullanır. Bu kuram, uzunlukların Arşimet özelliğini varsayır. Bu özelliğe göre iki uzunluğun daha küçü- ğünün bir katı, daha büyüğünden daha büyüktür.
Pozitif gerçel sayıların aynı özelliği vardır. İki pozitif gere¸l sayının bölümü vardır, ve bu bölüm, pozitif gerçel bir sayıdır.
Öklid’de iki uzunluğun oranı vardır, ve bu oran, pozitif gerçel bir sayı olarak anlaşılabilir.
Aslında analitik geometri yapmak için, Arşimet özelliğine ihtiyacımız yoktur. Ayrıca oranlar negatif olabilir. Orantıla- rın tanımı olarak Thales Teoremi’ni varsayabiliriz. Bu du- rumda orantılılığın geçişli olduğunu göstermek zorundayız. Bu- nun için, Hilbert yılında gösterdiği gibi
• . yüzyılında yayınlanmış olan Pappus Teoremi [, ],
• yılında yayınlanmış olan Desargues Teoremi []
A
B
C
E
D
F
(a)
A
B
C
D O E
F
(b)
Şekil : Desargues Teoremi
yeter []. Hessenberg, Desargues Teoremi’ni Pappus Te- oremi’nden yılında elde eder []. Artin, analitik ge- ometri için Pappus ve Desargues Teoremleri’nin yettiğini Hil- bert’inkinden (ve bizimkinden) başka bir şekilde yılında gösterir []. (Hilbert ve Hessenberg’de Pappus Teoremi’ne Pas- cal Teoremi denir.)
Desargues Teoremi: Bildirme
Üçtane AD, BE, ve CF doğrusu Şekil ’deki gibi (a) ya birbirine paralel olsun,
(b) ya da O noktasında kesişsin.
Ayrıca
AB k DE, AC k DF
olsun. Desargues Teoremi’ne göre BC k EF.
A C D
F
E B
Şekil : Pappus Teoremi
Bu teoremin birinci durumunu elde etmek için, Öklid’in Öğe- ler ’inin birinci kitabından Önermeler ve , birinci ortak kavram, ve Önerme yeter.
Pappus Teoremi: Bildirme ve Gösterme
Desargues Teoremi’nin ikinci durumunu göstermek için, Şekil
veya ’teki gibi A noktası EF ’de, D noktası BC’de olsun, ve tekrar
AB k DE, AC k DF
olsun. Pappus Teoremi’ne göre BF k CE.
Bunu kanıtlamak için Şekil ’teki gibi AD, BE, ve CF çizilsin.
C
E
F B D
A
Şekil : Pappus Teoremi’nin düzenlemesi
Öklid’in Önerme ’sine göre AB k DE olduğundan ABD= ABE.
İkinci ortak kavrama göre
F BDA= AF B + ABD = AF B + ABE = F BE.
Benzer şekilde F D k AC olduğundan F DA= F DC,
F BDA = F BD + F DA = F BD + F DC = F BC, dolayısıyla
F BE = F BC.
Önerme ’a göre BF k CE. Pappus’un Teoremi kanıtlanmış- tır.
Pappus’un Teoremi’ne göre iki doğrunun birinden diğerine bir altıgenın her kenarı geçerse, ve iki durumda altıgenin karşıt kenarları birbirine paralel ise, o zaman üçüncü durumda da paralellerdir. Şekiller ve ’te altıgen ABF DEC olur.
Desargues Teoremi: Gösterme
Şimdi Şekil ’teki gibi AD, BE, ve CF ’nin ortak noktası O olsun; ayrıca AB k DE ve AC k DF olsun. İki durum vardır.
(a) Eğer BACO bir paralelkenar değilse, OB ∦ AC varsa- yılabilir. Bu durumda LM k OB ve D ∈ LM olsun.
Pappus Teoremi ile
• ONDLAB altıgeninde ON k AL,
• ONMLCB altıgeninde BC k MN,
• ONMDF E altıgeninde EF k MN.
Paralellik geçişli olduğundan BC k EF .
(b) Eğer BACO bir paralelkenar ise, o zaman ABCO bir pa- ralelkenar değildir. Bu durumda OB’de bir G için F G k CB. İlk durumdan DG k AB, dolayısıyla G ve E noktası aynıdır.
Desargues Teoremi’nin ikinci durumu kanıtlanmıştır.
Vektörler Grubu
Öklid’de doğru parçaların eşitliği bir denklik bağıntısıdır. Özel- likle birinci ortak kavrama göre eşitlik geçişlidir. Eşitliğe göre bir doğru parçasının denklik sınıfı, onun uzunluğu olarak an- laşılabilir.
L
C
O N
A
B
D
E
F M
(a)
C
A B
O D
G
F
(b)
Şekil : Desargues için Hessenberg’in kanıtı
Eğer bir doğru kendisine paralel ise, o zaman Önerme ’a göre paralellik de bir denklik bağıntısıdır.
Desargues Teoremi’nin ilk durumu sayesinde yönlü doğru parçalarının, aşağıdaki koşulları sağlayan eşitliği vardır, ve bu eşitlik, bir denklik bağıntısıdır.
. Herhangi ABDC paralelkenari için o zaman
−→AB =−−→
CD.
. Herhangi −→
AB yönlü doğru parçası ve C noktası için, bir ve tek bir D noktası için,
−→AB =−−→
CD.
Eşitliğe göre yönlü bir doğru parçasının denklik sınıfı, bir vek- tördür.
Bir vektör daha vardır.−→
AA’nın yönlü doğru parçası olmadığı halde her durumda −→
AA=−−→
BB olsun, ve her −→
AA’nın temsil ettiği vektör, 000
olsun. Ayrıca tanıma göre
−→AB+−−→
BC =−→
AC,
−−→
AB =−→
BA
olsun. Bu tanımlar, vektörlere geçer, ve herhangi a, b, ve c vektörü için
(a + b) + c = a + (b + c), b+ a = a + b,
a+ 000 = a, a+ (−a) = 000.
Böylece vektörler V kümesini oluşturduğunda (V, +, −, 000) bir abelyan gruptur.
Oranlar Cismi
Desargues Teoremi’nin ikinci durumu sayesinde, iki paralel yönlü doğru parçasının oranı vardır, ve ayrıca onların tem- sil ettiği vektörlerin aynı oranı vardır. Bir oran, bir denklik sınıfıdır, ve aşağıdaki koşullar sağlanır.
. Thales Teoremi doğrudur.
. Herhangi−→
OA:−−→
OB oranı ve −→
OCyönlü doğru parçası için, bir ve tek bir D noktası için,
−→OA:−−→
OB : :−→
OC:−−→
OD.
Bir oran daha vardır.
−→OO:−→
OA: :−→
OO:−−→
OB
olsun, ve ortak oran 0 olsun. Şimdi tanıma göre a: c + b : c = (a + b) : c,
−a : b = −(a : b), (a : b) · (b : c) = a : c, b 6= 000 ⇒ b : a = (a : b)−1,
a: a = 1 olsun. Pappus Teoremi sayesinde
(a : b) · (c : d) : : (c : d) · (a : b).
Böylece oranlar K kümesini oluşturduğunda
• (K, +, −, 0) bir abelyan gruptur,
• (K r {0}, · ,−1,1) bir abelyan gruptur,
• K’de herhangi a, b, ve c oranı için a· (b + c) = a · b + a · c.
Bundan dolayı (K, · , +, −, 1, 0) bir cisimdir.
Koordinatlar Şimdi tanıma göre
(−→
OA:−−→
OB) ·−−→
OB =−→
OA
olsun. O zaman herhangi a ve b oranı ve herhangi c ve d vek- törü için
a· (c + d) = a · c + a · d, (a + b) · c = a · c + b · c,
a· (b · c) = (a · b) · c, 1 · c = c.
Böylece vektörler grubu, oranlar cismi altında bir vektör uza- yıdır. Ayrıca OAB bir üçgen olduğunda herhangi P noktası için, girdileri K’de olan bir ve tek bir sıralı ikilisi
−→OP = x ·−→
OA+ y ·−−→
OB
denklemini sağlar. O girdiler, P ’nin Descartes koordinatları veya kartezyan koordinatlarıdır.
Doğrular
Her CD doğrusu için, K’nin bir elemanının
−→OP =−→
OC+ t ·−−→
CD
denklemini sağlaması, P noktasının CD’de olmasının gerek ve yeter bir koşuldur. Şimdi
−→OC = c1·−→
OA+ c2·−−→
OB, −−→
OD= d1·−→
OA+ d2·−−→
OB olsun. O zaman
−→OC+ t ·−−→
CD
=−→
OC+ t · (−→
CO+−−→
OD)
= (1 − t) ·−→
OC+ t ·−−→
OD
= (1 − t) · (c1·−→
OA+ c2·−−→
OB) + t · (d1·−→
OA+ d2·−−→
OB)
= (1 − t)c1+ td1 ·−→
OA+ (1 − t)c2+ td2 ·−−→
OB
= c1+ t(d1− c1) ·−→
OA+ c2+ t(d2− c2) ·−−→
OB.
Böylece
−→OC+ t ·−−→
CD = x ·−→
OA+ y ·−−→
OB
⇔ x − c1 = t(d1− c1) ∧ y − c2 = t(d2− c2), dolayısıyla bir P noktasının kartezyan koordinatlarının
(d2− c2)(x − c1) = (d1− c1)(y − c2) (∗) denklemini sağlaması, P ’nin CD’de olmasının gerek ve yeter bir koşuldur. O denklem
(d2− c2)x + (c1− d1)y + c2d1− c1d2 = 0
biçiminde yazılabilir.
Katsayıları K’den gelen, a ve b’nin en az birinin 0’dan farklı olduğu herhangi
ax+ by + c = 0 (†)
denkleminin bir (c1, c2) çözümü vardır. Bu durumda denklem a(x − c1) = −b(y − c2)
biçiminde yazılabilir. O zaman
d1 = −b + c1, d2 = a + c2
olmak üzere (d1, d2) de denklemin bir çözümüdür. Bu durumda denklem, (∗) biçiminde yazılabilir.
Bir K cismi verilirse, a ve b’nin en az birinin 0’dan farklı ol- duğu (†) denklemleri, K2 kartezyan çarpımının doğrularını ta- nımlasın. O zaman Pappus ve Desargues Teoremleri doğrudur, ve yukarıdaki gibi elde edilen oranlar, K cismini oluşturur.
Kaynaklar
[] E. Artin. Geometric Algebra. Interscience, New York, .
[] Girard Desargues. Oeuvres de Desargues réunies et analysées par M. Poudra, volume . Leiber, Paris, . gallica.bnf.
fr/ark:/12148/bpt6k993793, accessed January , .
[] Girard Desargues. Desargues on perspective triangles. In Da- vid Eugene Smith, editor, A Source Book in Mathematics,
vols, pages –. Dover Publications, New York, .
Translated by Lao G. Simons from [], pp. –, –.
[] René Descartes. The Geometry of René Descartes. Dover Publications, New York, . Translated from the French and Latin by David Eugene Smith and Marcia L. Latham, with a facsimile of the first edition of .
[] René Descartes. La Géométrie. Jacques Gabay, Sceaux, France, . Reprint of Hermann edition of .
[] Euclid. The Bones: A handy where-to-find-it pocket reference companion to Euclid’s Elements. Green Lion Press, Santa Fe, NM, . Conceived, designed, and edited by Dana Dens- more.
[] Euclid. Euclid’s Elements. Green Lion Press, Santa Fe, NM,
. All thirteen books complete in one volume. The Thomas L. Heath translation, edited by Dana Densmore.
[] Euclid. Öklid’in Öğeler’inin Kitabından Birinci Kitap.
Mathematics Department, Mimar Sinan Fine Arts University, Istanbul, th edition, September . The first of the bo- oks of Euclid’s Elements. Greek text, with Turkish version by Özer Öztürk & David Pierce, and exercises by Pierce.
[] Gerhard Hessenberg. Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen. Math. Ann., ():–, .
[] David Hilbert. The Foundations of Geometry. Authorized translation by E. J. Townsend. Reprint edition. The Open Co- urt Publishing Co., La Salle, Ill., . Based on lectures –
. Translation copyrighted . Project Gutenberg edition released December , (www.gutenberg.net).
[] Pappus of Alexandria. Pappus Alexandrini Collectionis Quae Supersunt, volume II. Weidmann, Berlin, . E libris manu scriptis edidit, Latina interpretatione et commentariis instru- xit Fridericus Hultsch.
[] Pappus of Alexandria. Book of the Collection. Part . Int- roduction, Text, and Translation. Part . Commentary, Index, and Figures. Springer Science+Business Media, New York,
. Edited With Translation and Commentary by Alexan- der Jones.
[] Pappus of Alexandria. Öklid’in Porizmalar’ı için Derleme’nin yedinci kitabı’nın lemmasından ilk lemması. mat.msgsu.
edu.tr/~dpierce/Dersler/Geometriler/, March . The First of the Lemmas for Euclid’s Porisms in the Seventh Book of the Collection. Turkish translation from [] by David Pierce.
[] Dimitris Patsopoulos and Tasos Patronis. The theorem of Tha- les: A study of the naming of theorems in school geometry text- books. The International Journal for the History of Mathema- tics Education, (), . www.comap.com/historyjournal/
index.html, accessed September .
