Analitik Geometri
David Pierce
Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi
Matematik Bölümü
mat.msgsu.edu.tr/~dpierce
polytropy.com
Şubat taslağı
İçindekiler
Giriş
Orantılar
. Thales Teoremi . . .
. Analik geometride bazı tarihler . . .
. Desargues Teoremi: Bildirme . . .
. Pappus Teoremi: Bildirme ve Gösterme . . .
. Desargues Teoremi: Gösterme . . .
Vektörler ve oranları
. Vektörler Grubu . . .
. Oranlar Cismi . . .
. Menelaus ve Ceva . . .
Koordinatlar
. Noktalar . . .
. Doğrular . . .
. Kareli denklemler . . .
Uzunluklar
Giriş
Analitik Geometri, cebirsel yöntemleri kullanan geometri- dir. Bu yöntemler, bir orantılar kuramına bağlıdır. Bu ku- ramda
) orantılılık bağıntısı, bir denklik bağıntısıdır;
) Thales Teoremi doğrudur.
Bu notlarda
• orantılılık kuramını, Desargues Teoremi ’nden;
• Desargues Teoremi’ni, Pappus Teoremi ’nden;
• Pappus Teoremi’ni, Öklid’in Öğeler ’inin i. kitabından elde edeceğiz.
Geometrik tanımlarından birine göre bir elips, iki verilen odak noktasından uzaklıklarının toplamı aynı olan noktala- rın bir yeridir. Analitik geometride, bir a ve bir b için, elipsi tanımlayan koşul iki değişkeni olan
x2 a2 +y2
b2 = 1
cebirsel denklemi tarafından ifade edilebilir.
Cebirsel bir denklemde değişkenlerin ve sabitlerin değerleri, gerçel sayıların oluşturduğu R gibi bir cisimden gelir. Bir ci- simde iki elemanın toplamı ve çarpımı vardır. Toplama ve çarpma işlemine geometrik bir tanımı vereceğiz.
Orantılar
. Thales Teoremi
Öklid’in Öğeler’inin birinci kitabında toplamanın geometrik anlamı vardır, ama çarpma kavramı yoktur [, , ].
La Géometrie adlı kitabında Descartes, gerçel sayıların çarp- masına geometrik bir anlamı verir [, ]. Bunun için Thales Teoremi’ni kullanır []. Bu teoreme göre eğer Şekil ’deki gibi bir OAB üçgeninin OA kenarında C ve OB kenarında D oturursa, o zaman
AB k CD ⇔−→
OA:−→
OC : :−−→
OB:−−→
OD.
Burada
• −→
OA, −→
OC, −−→
OB, ve −−→
OD, yönlü doğru parçasıdır;
• −→
OA:−→
OCve−−→
OB:−−→
OD, sayfa ’te tanımlayacağımız şekilde orandır;
• −→
OA:−→
OC: :−−→
OB:−−→
OD, orantıdır.
İki farklı yönlü doğru parçası çizilebilir ve birbirine eşit olabi- lir. İki yönlü doğru parçasının oranı olabilir, ama soyut bir şey olduğundan bir oranın kendisi çizilemez. Bundan dolayı bir orantıya gore iki oran birbirine eşit değil, birbiriyle aynıdır.
Bununla birlikte bir orantıda : : işaretinde = işareti kullanıla- bilir.
A B
O C
D
(a)
A B
C
D O
(b)
Şekil : Thales Teoremi
Thales Teoremi, Öğeler’in altıncı kitabının ikinci önermesi- dir. Önermeyi göstermek için Öklid, beşinci kitapta bulunan orantılar kuramını kullanır. Bu kuram, uzunlukların Arşimet özelliğini varsayır. Bu özelliğe göre iki uzunluğun daha küçü- ğünün bir katı, daha büyüğünden daha büyüktür.
Pozitif gerçel sayıların da Arşimet özelliği vardır. Ayrıca iki pozitif gerçel sayının bölümü vardır, ve bu bölüm, pozitif gerçel bir sayıdır. Öklid’de iki uzunluğun oranı vardır, ve bu oran, pozitif gerçel bir sayı olarak anlaşılabilir.
Aslında analitik geometri yapmak için, Arşimet özelliğine ihtiyacımız yoktur. Ayrıca oranlar negatif olabilir. Orantıların tanımı olarak Thales Teoremi’ni varsayabiliriz. Bu durumda orantılılık bağıntısının geçişli olduğunu göstermek zorundayız.
Bunun için, Pappus Teoremi’ni ve Desargues Teoremi’ni kul- lanacağız.
. Analik geometride bazı tarihler
M.Ö. ’te Thales’in önceden söylediği güneş tutulması [, i.], [].
M.S. . yüzyılında Pappus Teoremi yayınlanır [, ].
’de Descartes’ın La Géometrie’si yayınlanır.
’ta Pascal, Pappus Teoremi’nin bir genelleştirmesini ve- rir [, ].
’de Desargues Teoremi yayınlanır [].
’da Hilbert, Pappus ve Desargues Teoremi’nin analitik geometri yapmak için yettiğini gösterir [].
’te Hessenberg, Pappus Teoremi’nden Desargues Teore- mi’ni kanıtlar []. Şimdi Hilbert, Hessenberg’in kanı- tını kullanabilir []. İkisi, Pappus Teoremi’ne Pascal Te- oremi’ni der.
’de Artin, Pappus ve Desargues Teoremi’nin analitik ge- ometri için yettiğini Hilbert’inkinden (ve bizimkinden) başka bir şekilde gösterir [].
. Desargues Teoremi: Bildirme
Üç tane AD, BE, ve CF doğrusu Şekil ’deki gibi (a) ya birbirine paralel olsun,
(b) ya da O noktasında kesişsin.
Ayrıca
AB k DE, AC k DF ()
A
B
C
E
D
F
(a)
A
B
C
D O E
F
(b)
Şekil : Desargues Teoremi
olsun. Desargues Teoremi’ne göre BC k EF.
Bu teoremin birinci, “parallel” durumunu elde etmek için, Ök- lid’in Öğeler’inin birinci kitabından Önermeler ve , bi- rinci ortak kavram, ve Önerme yeter.
. Pappus Teoremi: Bildirme ve Gösterme
Desargues Teoremi’nin ikinci durumunu göstermek için, Şekil
veya ’teki gibi A noktası EF ’de, D noktası BC’de olsun, ve tekrar ()’deki gibi AB k DE ve AC k DF olsun. Pappus Teoremi’ne göre
BF k CE. ()
Bunu kanıtlamak için Şekil ’teki gibi AD, BE, ve CF çizilsin.
Öklid’in Önerme ’sine göre AB k DE olduğundan ABD = ABE.
A C D
F
E B
Şekil : Pappus Teoremi
C
E F
B D
A
Şekil : Pappus Teoremi’nin düzenlemesi
İkinci ortak kavrama göre
F BDA = AF B + ABD = AF B + ABE = F BE. () Benzer şekilde F D k AC olduğundan
F DA= F DC,
F BDA= F BD + F DA = F BD + F DC = F BC. () Şimdi () ve ()’ten
F BE = F BC.
Önerme ’a göre ()’deki gibi BF k CE.
Pappus’un Teoremi’nde iki doğru ve bir altıgen vardır, ve
• altıgenın kenarlarından her biri doğruların birinden di- ğerine geçer,
• iki durumda altıgenin karşıt kenarları birbirine paralel- dir.
Sonuç olarak üçüncü durumda da karşıt kenerlar paralellerdir.
Şekiller ve ’te altıgen ABF DEC olur.
. Desargues Teoremi: Gösterme
Şimdi AD, BE, ve CF ’nin ortak noktası O olsun; ayrıca AB k DE ve AC k DF olsun. İki durum vardır.
(a) Eğer Şekil ’teki gibi BACO bir paralelkenar değilse, o zaman OB ∦ AC varsayılabilir. Bu durumda LM k OB ve D ∈ LM olsun. Pappus Teoremi ile
• ONDLAB altıgeninde ON k AL,
• ONMLCB altıgeninde BC k MN,
L
C O
N
A
B
D
E
F M
Şekil : Desargues için Hessenberg’in kanıtı
• ONMDF E altıgeninde EF k MN.
Paralellik geçişli olduğundan BC k EF .
(b) Eğer Şekil ’da gibi BACO bir paralelkenar ise, o zaman ABCObir paralelkenar değildir. Bu durumda OB’de bir G için F G k CB. İlk durumdan DG k AB, dolayısıyla Gve E noktası aynıdır.
Desargues Teoremi’nin ikinci durumu kanıtlanmıştır.
C
A B
O D
G
F
Şekil : Hessenberg’in kanıtının . durumu
Vektörler ve oranları
. Vektörler Grubu
Öklid’de doğru parçaların eşitliği bir denklik bağıntısıdır. Özel- likle birinci ortak kavrama göre eşitlik geçişlidir. Eşitliğe göre bir doğru parçasının denklik sınıfı, onun uzunluğu olarak an- laşılabilir.
Eğer her doğru kendisine paralel ise, o zaman Önerme ’a göre paralellik de bir denklik bağıntısıdır.
Desargues Teoremi’nin ilk durumu sayesinde yönlü doğru parçalarının, aşağıdaki koşulları sağlayan eşitlik bağıntısı var- dır, ve bu bağıntı bir denklik bağıntısıdır.
. Herhangi ABDC paralelkenari için
−→AB =−−→
CD.
. Herhangi −→
AB yönlü doğru parçası ve C noktası için, bir ve tek bir D noktası için,
−→AB =−−→
CD.
Eşitliğe göre yönlü bir doğru parçasının denklik sınıfı, bir vek- tördür.
Bir vektör daha vardır.−→
AA’nın yönlü doğru parçası olmadığı halde her durumda
−→AA=−−→
BB
olsun, ve her −→
AA’nın temsil ettiği vektör, 0
olsun. Ayrıca tanıma göre
−→AB+−−→
BC =−→
AC,
−−→
AB =−→
BA
olsun. Bu tanımlar, vektörlere geçer, ve herhangi a, b, ve c vektörü için
(a + b) + c = a + (b + c), b+ a = a + b,
a+ 0 = a, a+ (−a) = 0.
Böylece vektörler V kümesini oluşturduğunda (V, +, −, 0) bir abelyan gruptur.
−−→CD =−→
AB olduğunda
A+−−→
CD = B olsun. −→
AB bir a vektörünü temsil ettiğinde A+ a = B
olsun. O zaman her durumda
A+ (b + c) = (A + b) + c.
Bu şekilde vektörler grubu, düzlemi etki eder. Kısaca
• iki vektörün toplamı vardır;
• bir nokta ve bir vektörün toplamı vardır;
• iki noktanın toplamı yoktur.
. Oranlar Cismi
İki paralel yönlü doğru parçasının oranı vardır, ve ayrıca on- ların temsil ettiği vektörlerin aynı oranı vardır. Desargues Te- oremi’nin ikinci durumu sayesinde bir oran, aşağıdaki koşullar sağlayan bir denklik sınıfı olarak tanımlanabilir.
. Thales Teoremi doğrudur.
. Herhangi−→
OA:−−→
OB oranı ve−→
OCyönlü doğru parçası için, bir ve tek bir D noktası için,
−→OA:−−→
OB : :−→
OC:−−→
OD.
Burada eğer−→
OAbir a vektörünü ve−−→
OB bir b vektörünü temsil ederse, o zaman −→
OA:−−→
OB oranı a: b
olarak yazılabilir. Ayrıca 0 : a oranı vardır. Her durumda bu oran aynıdır ve
0 olarak yazılabilir. Şimdi tanıma göre
a: c + b : c = (a + b) : c,
−a : b = −(a : b), (a : b) · (b : c) = a : c, b 6= 0 ⇒ b : a = (a : b)−1,
a: a = 1 olsun. Pappus Teoremi sayesinde
(a : b) · (c : d) : : (c : d) · (a : b),
O
E F
B A
C D
Şekil : Oranlar çarpmasının değişmeliliği
çünkü Şekil ’de eğer
AD k BF, BC k ED
ise, o zaman Thales Teoremi’nden
−→OA:−−→
OB : :−−→
OD:−→
OF , −−→
OB :−−→
OE : :−→
OC:−−→
OD, ve ayrıca Pappus Teoremi’nden
AC k EF, dolayısıyla
−→OA:−−→
OE : :−→
OC:−→
OF , ve sonuç olarak
(−→
OA:−−→
OB) · (−→
OC:−−→
OD) : : (−→
OA:−−→
OB) · (−−→
OB:−−→ OE) : :−→
OA:−−→
OE : :−→
OC:−→
OF : : (−→
OC:−−→
OD) · (−−→
OD:−→
OF) : : (−→
OC:−−→
OD) · (−→
OA:−−→
OB).
Böylece oranlar K kümesini oluşturduğunda
• (K, +, −, 0) bir abelyan gruptur,
• (K r {0}, · ,−1,1) bir abelyan gruptur,
• K’de herhangi a, b, ve c oranı için a· (b + c) = a · b + a · c.
Bundan dolayı (K, · , +, −, 1, 0) bir cisimdir.
Örneğin
• kesirli sayır Q,
• gerçel sayılar R,
cismini oluşturur. Tamsayılar bir cismi oluşturmaz, ama her p asal sayısı için, p modülüne göre tamsayılar Fp cismi oluştur.
Bu cisimde
1 + · · · + 1
| {z }
p
= 0, ()
kısaca p = 0, olur. Bununla birlikte Q ve R’de her p için () yanlıştır. Şekillerimizde oranlar cismi R’dir. Kullanacağımız her oranlar cisminde 2 6= 0 olur. (Diğer durumda hiç doğru parçasının orta noktası yoktur; sayfa ’deki Önerme ’e ba- kın.)
. Menelaus ve Ceva
Önerme (Menelaus Teoremi [, H–]). Şekil ’de (−→
AF :−−→
F B) · (−−→
BD:−−→
DC) · (−−→
CE:−→
EA) = −1.
Kanıt. Thales’ten
−→AF :−−→
F B : :−→
AE:−−→
GB : : (−→
AE:−−→
EC) · (−−→ EC:−−→
GB) : : (−→
AE:−−→
EC) · (−−→
DC:−−→
DB).
D C A
B
E F
G
Şekil : Menelaus Teoremi
Önerme (Ceva Teoremi). Şekil ’da (−→
AF :−−→
F B) · (−−→
BD:−−→
DC) · (−−→ CE:−→
EA) = 1.
Kanıt. Menelaus Teoremi’nden
−(−→
AF :−−→
F B) : : (−→
AC:−−→
CE) · (−−→
EG:−−→
GB)
−(−−→
BD:−−→
DC) : : (−−→
BG:−−→
GE) · (−→
EA:−→
AC).
B C A
D
E G
F
Şekil : Ceva Teoremi
Koordinatlar
. Noktalar
Eğer A noktası OB doğrusunda ise, (−→
OA:−−→
OB) ·−−→
OB =−→
OA
olsun. O zaman herhangi a ve b oranı ve herhangi c ve d vek- törü için
a· (c + d) = a · c + a · d, (a + b) · c = a · c + b · c,
a· (b · c) = (a · b) · c, 1 · c = c.
Böylece vektörler grubu, oranlar cismi altında bir vektör uza- yıdır. Ayrıca OAB bir üçgen olduğunda herhangi P noktası için, girdileri K’de olan bir ve tek bir (a, b) sıralı ikilisi
−→OP = x ·−→
OA+ y ·−−→
OB
denklemini sağlar. Aslında eğer Şekil ’daki gibi P ne OA’da ne OB’de ise, o zaman OA’da olan bir C için ve OB’de olan bir D için OCP D bir paralelkenardır, ve bu durumda
−→OP =−→
OC+−−→
OD, dolayısıyla
a =−→
OC:−→
OA, b=−−→
OD:−−→
OB.
O A B
P D
C Şekil : Kartezyan koordinatlar
Yukarıda (O, A, B) sıralı üçlüsü, bir kartezyan koordinat- lar sistemini kurur. Eğer
A = O + −→a, B = O + b ise, o zaman aynı sistem
(O,−→
OA,−−→
OB) veya (O, a, b)
olarak yazılabilir. Bu sistemde (a, b)’nin girdileri, P ’nin kar- tezyan koordinatlarıdır, ve
P = (a, b) eşitliği yazılabilir.
Önerme . Bir kartezyan sisteme göre
A= (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2), D= (d1, d2) olsun. O zaman
−→AB =−−→
CD ⇔ (b1− a1, b2− a2) = (d1− c1, d2− c2).
Önerme . Bir kartezyan sisteme göre
A= (a1, a2), B = (b1, b2)
olsun. Eğer oranlar cisminde 2 6= 0 ise, O zaman AB doğru parçasının orta noktası vardır, ve bu noktanın koordinatları,
a1 + b1
2 ,a2+ b2 2
.
. Doğrular
Bir P noktasının bir CD doğrusunda olması için, bir oranın
−→OP =−→
OC+ t ·−−→
CD
denklemini sağlaması, gerek ve yeter bir koşuldur. (O, A, B) sistemine göre
C = (c1, c2), D= (d1, d2) olsun, yani
−→OC = c1·−→
OA+ c2·−−→
OB, −−→
OD= d1·−→
OA+ d2·−−→
OB olsun. O zaman
−→OC+ t ·−−→
CD
=−→
OC+ t · (−→
CO+−−→
OD)
= (1 − t) ·−→
OC+ t ·−−→
OD
= (1 − t) · (c1·−→
OA+ c2·−−→
OB) + t · (d1·−→
OA+ d2·−−→
OB)
= (1 − t)c1+ td1
·−→
OA+ (1 − t)c2+ td2
·−−→
OB
= c1+ t(d1 − c1)
·−→
OA+ c2+ t(d2− c2)
·−−→
OB.
Böylece
−→OC+ t ·−−→
CD = x ·−→
OA+ y ·−−→
OB
⇔ x = c1+ t(d1− c1) ∧ y = c2+ t(d2− c2)
⇔ x − c1 = t(d1− c1) ∧ y − c2 = t(d2− c2)
⇔
((d2− c2)(x − c1) = t(d1− c1)(d2− c2) ∧ (d1− c1)(y − c2) = t(d1− c1)(d2− c2).
Sonuç olarak bir noktanın CD’de olması için noktanın kartez- yan koordinatlarının
(d2− c2)(x − c1) = (d1− c1)(y − c2) () denklemini sağlaması, gerek ve yeter bir koşuldur. Aynı denk- lem
(d2− c2)x + (c1− d1)y + c2d1− c1d2 = 0 biçiminde yazılabilir.
Tam tersine a ve b’den en az birinin 0’dan farklı olduğu herhangi
ax+ by + c = 0 ()
denkleminin bir (c1, c2) çözümü vardır. Bu durumda denklem a(x − c1) = −b(y − c2)
biçiminde yazılabilir, dolayısıyla herhangi t için (−bt + c1, at+ c2)
noktası ()’nin bir çözümüdür. Eğer (d1, d2), (c1, c2)’den farklı bir çözüm ise, o zaman (), () olarak yazılabilir.
Önerme . () ve dx + ey + f = 0 tarafından tanımlanmış doğruların paralel olması için
ae = bd, gerek ve yeter bir koşuldur.
Eğer bir K cismi verilirse, o zaman K2kartezyan çarpımının doğruları, a ve b’den en az birinin 0’dan farklı olmak üzere () gibi bir denklem tarafından tanımlasın. O zaman Pappus ve Desargues Teoremleri doğrudur, ve sayfa ’teki gibi elde edilen oranlar, K cismini oluşturur.
. Kareli denklemler
Bir kartezyan sistemde, koordinatları x2+ y2 = 1
denklemini sağlayan noktalar standart elipsi, x2− y2 = 1
denklemini sağlayan noktalar standart hiperbolü,
x= y2 ()
denklemini sağlayan noktalar standart parabolü oluşturur.
Verilen eğrilerin her biri, bir koniktir. Elips ve hiperbolden her biri, merkezlidir, ve denklemi
x2± y2 = 1
biçiminde yazılabilir; aslında eğrinin merkezi O’dur.
Koniklerin adları daha sonra açıklanacaktir.
Pergeli Apollonius’un tanımına göre, eğer bir (O, A, B) sis- teminde bir eğrinin içerdiği her
O+ x ·−→
OA+ y ·−−→
OB noktası için eğri O + x ·−→
OA− y ·−−→
OB noktasını da içerirse, o zaman OA eğrinin bir diametresidir. Örneğin OA, standart parabolün bir diametresidir, Aynı şekilde hem OA hem de OB, standart merkezli koniklerin diametresidir.
Önerme (Apollonius [, i.]). Herhangi (O, A, B) siste- minde standart merkezli bir coniğin merkezinden geçen her doğru bir diametredir. Aslında eğer konik, koordinatları (a, b) olan bir C noktasını içerirse, o zaman D’nin koordinatları- nın (b, ∓a) olduğu (O, C, D) sisteminin standart merkezli bir coniği aynıdır.
Kanıt. Şekil ’e bakın. Varsayıma göre a2± b2 = 1 ve
−→OC = a ·−→
OA+ b ·−−→
OB,
−−→OD= b ·−→
OA∓ a ·−−→
OB.
Şimdi
−→OP = s ·−→
OC+ t ·−−→
OD olsun. O zaman
−→OP = s · (a ·−→
OA+ b ·−−→
OB) + t · (b ·−→
OA∓ a ·−−→
OB)
= (sa + tb) ·−→
OA+ (sb ∓ ta) ·−−→
OB.
Ayrıca
(sa + tb)2± (sb ∓ ta)2
= s2· (a2± b2) + t2(b2± a2)
= s2± t2.
O
A
B C
D
(a) Elips
O
A C B
D
(b) Hiperbol
Şekil : Merkezli konikler
O A B
C
D
Şekil : Parabol
Önerme (Apollonius [, i.]). Bir (O, a, b) sisteminde
) standart parabol, 0 olmayan her t oranı için (O, t2· a, t · b)
sisteminin standart parabolü ile aynıdır;
) standart parabol,
(O + a + b, a, −2a − b) sisteminin standart parabolü ile aynıdır;
) standart parabolün diametrisine paralel olan her doğru bir diametredir.
Kanıt. . Şekil ’ye bakın . . .
O A B
U
C
D
Şekil : Parabol
. Şekil ’e bakın. Orada
O+ a = A, O+ b = B,
ve ayrıca
O+ a + b = U, U + a = C, U − 2a − b = D.
Eğer −→
U P = s ·−→
U C + t ·−−→
U D ise, o zaman
−→U P = s ·−→
OA− t · (2 ·−→
OA+−−→
OB)
= (s − 2t) ·−→
OA− t ·−−→
OB,
dolayısıyla
−→OP =−→
U P +−→
OU
= (s − 2t) ·−→
OA− t ·−−→
OB+−→
OA+−−→
OB
= (s − 2t + 1) ·−→
OA− (t − 1)−−→
OB.
Ayrıca
s− 2t + 1 − (t − 1)2
= s − 2t + 1 − t2 + 2t − 1
= 2 − t2.
. . . .
Eğer a, b, ve c oranından en az biri 0 değilse, ax2+ bxy + cy2+ dx + ey + f = 0 denkleminin bir koniği tanımladığını göstereceğiz.
Önerme . Katsayıları oran olan herhangi f(x, y) polinomu için bir (O, a, b) sisteminde
f(x, y) = 0 tarafından tanımlanmış eğri,
) (O − c · a, a, b) sisteminde f(x + c, y) = 0,
) (O − c · b, a, b) sisteminde f(x, y + c) = 0,
) (O, c−1· a, b) sisteminde f (cx, y) = 0,
) (O, a, c−1· b) sisteminde f (x, cy) = 0
tarafından tanımlanmış eğri ile aynıdır.
Kanıt.
O+ x · a + y · b = (O − c · a) + (x + c) · a + y · b
= (O − c · b) + x · a + (y + c) · b
= O + cx · (c−1· a) + y · b
= O + x · a + cy · (c−1· b).
Önermenin her parçasının başka bir biçimi vardır. Örneğin
• (O, a, b) ve (O + c · a, a, b) sisteminde sırasıyla f(x + c, y) = 0, f(x, y) = 0 tarafından tanımlanmış eğriler birbiriyle aynıdır;
• (O, a, b) ve (O, +c · a, b) sisteminde sırasıyla f(cx, y) = 0, f(x, y) = 0 tarafından tanımlanmış eğriler birbiriyle aynıdır.
Uzunluklar
Kaynakça
[] Apollonius of Perga. Conics. Books I–III. Green Lion Press, Santa Fe, NM, revised edition, . Translated and with a note and an appendix by R. Catesby Taliaferro, with a preface by Dana Densmore and William H. Donahue, an introduction by Harvey Flaumenhaft, and diagrams by Donahue, edited by Densmore.
[] E. Artin. Geometric Algebra. Interscience, New York, .
[] Frances Marguerite Clarke and David Eugene Smith. “Essay pour les Coniques” of Blaise Pascal. Isis, ():–, March
. Translation by Clarke, Introductory Note by Smith.
www.jstor.org/stable/224736.
[] Girard Desargues. Oeuvres de Desargues réunies et analysées par M. Poudra, volume . Leiber, Paris, . gallica.bnf.
fr/ark:/12148/bpt6k993793, accessed January , .
[] Girard Desargues. Desargues on perspective triangles. In Da- vid Eugene Smith, editor, A Source Book in Mathematics,
vols, pages –. Dover Publications, New York, .
Translated by Lao G. Simons from [], pp. –, –.
[] René Descartes. The Geometry of René Descartes. Dover Publications, New York, . Translated from the French and Latin by David Eugene Smith and Marcia L. Latham, with a facsimile of the first edition of .
[] René Descartes. La Géométrie. Jacques Gabay, Sceaux, France, . Reprint of Hermann edition of .
[] Euclid. The Bones: A handy where-to-find-it pocket reference companion to Euclid’s Elements. Green Lion Press, Santa Fe, NM, . Conceived, designed, and edited by Dana Dens- more.
[] Euclid. Euclid’s Elements. Green Lion Press, Santa Fe, NM,
. All thirteen books complete in one volume. The Thomas L. Heath translation, edited by Dana Densmore.
[] Euclid. Öklid’in Öğeler’inin Kitabından Birinci Kitap.
Mathematics Department, Mimar Sinan Fine Arts University, Istanbul, th edition, September . The first of the bo- oks of Euclid’s Elements. Greek text, with Turkish version by Özer Öztürk & David Pierce, and exercises by Pierce.
[] Thomas Heath. Aristarchus of Samos: The Ancient Coper- nicus. Clarendon Press, Oxford, . A history of Greek astronomy to Aristarchus together with Aristarchus’s treatise on the sizes and distances of the sun and moon: a new Greek text with translation and commentary.
[] Herodotus. The Persian Wars, Books I–II, volume of the Loeb Classical Library. Harvard University Press, Cambridge MA and London, . Translation by A. D. Godley; first published ; revised, .
[] Gerhard Hessenberg. Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen. Math. Ann., ():–, .
[] David Hilbert. The Foundations of Geometry. Authorized translation by E. J. Townsend. Reprint edition. The Open Co- urt Publishing Co., La Salle, Ill., . Based on lectures –
. Translation copyrighted . Project Gutenberg edition released December , (www.gutenberg.net).
[] David Hilbert. Foundations of Geometry. Open Court, La Salle, Illinois, . Second English edition, translated by Leo
Unger from the Tenth German edition, revised and enlarged by Paul Bernays.
[] Pappus of Alexandria. Pappus Alexandrini Collectionis Quae Supersunt, volume II. Weidmann, Berlin, . E libris manu scriptis edidit, Latina interpretatione et commentariis instru- xit Fridericus Hultsch.
[] Pappus of Alexandria. Book of the Collection. Part . Int- roduction, Text, and Translation. Part . Commentary, Index, and Figures. Springer Science+Business Media, New York,
. Edited With Translation and Commentary by Alexan- der Jones.
[] Pappus of Alexandria. Öklid’in Porizmalar’ı için Derleme’nin yedinci kitabı’nın lemmasından ilk lemması. mat.msgsu.
edu.tr/~dpierce/Dersler/Geometriler/, March . The First of the Lemmas for Euclid’s Porisms in the Seventh Book of the Collection. Turkish translation from [] by David Pierce.
[] Dimitris Patsopoulos and Tasos Patronis. The theorem of Tha- les: A study of the naming of theorems in school geometry text- books. The International Journal for the History of Mathema- tics Education, (), . www.comap.com/historyjournal/
index.html, accessed September .
[] Ptolemy. Ptolemy’s Almagest. Princeton University Press,
. Translated and annotated by G. J. Toomer. With a foreward by Owen Gingerich. Originally published by Gerald Duckworth, London, .
[] Rene Taton. L’ « Essay pour les Coniques » de Pascal.
Revue d’histoire de science et de leurs applications, ():–
, . www.persee.fr/web/revues/home/prescript/
article/rhs_0048-7996_1955_num_8_1_3488.
