ĐST 349 Doğrusal Programlama Quiz # 3
Adı Soyadı: ÇÖZÜM
X1, X2, X3, X4 dört farklı üründen üretilecek miktarları temsil etmek üzere aşağıdaki DP modeli oluşturulmuştur.
Max. Z= 4X1+ 6X2+3 X3+ X4
s.t. 1.5X1 + 2X2 + 4 X3 + 3X4 ≤550 A makinesinin kapasitesi 4X1 + X2 + 2 X3 + X4 ≤700 B makinesinin kapasitesi
2X1 + 3X2 + X3 + 2X4 ≤200 C makinesinin kapasitesi X1, X2 , X3, X4 ≥ 0
a) Bu problemin Simpleks algoritması ile çözümünde aşağıdaki simpleks tablosu elde
edilmiştir. Bu tabloyu ve gerekirse bir altta yer alan boş tabloyu kullanarak optimum çözümü veriniz. Makinelerin slack(surplus) değerlerini belirtip ne anlama geldiklerini yazınız.
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
Basis Cj 4 6 3 1 0 0 0 RHS Ratio
S1 0 1/6 0 10/3 5/3 1 0 -2/3 1250/3 125
S2 0 10/3 0 5/3 1/3 0 1 -1/3 1900/3 380
X2 6 2/3 1 1/3 2/3 0 0 1/3 200/3 200
Zj 4 6 2 4 0 0 2 400
Cj -Zj 0 0 1 -3 0 0 -2
Yukarıdaki tablonun verdiği çözüm:
X1=0 X2=200/3 X3=0 X4=0 S1= 1250/3 S2= 1900/3 S3= 0 Z=400
Olup optimum değildir. Çünkü X3 için hesaplanan Cj- Zj= 1>0 dır. Bu durumda X3 Basis ‘e girer ve S1 çıkar.
(3/10) R1--- R1; -(5/3)R1 + R2---R2 ; -(1/3)R1+R3---R3 işlemleri yapılırsa aşağıdaki tabloya ulaşılır.
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
Basis Cj 4 6 3 1 0 0 0 RHS Ratio
X3 3 1/20 0 1 1/2 3/10 0 -1/5 125
S2 0 13/4 0 0 -1/2 -1/2 1 0 425
X2 6 13/20 1 0 1/2 -1/10 0 2/5 25
Zj 81/20 6 3 9/2 3/10 0 9/5 525
Cj -Zj -1/20 0 0 -7/2 -3/10 0 -9/5 Bu tablo ile optimum çözüme ulaşılmıştır.
Optimum çözüm:
X1=0 X2=25 X3=125 X4=0 S1= 0 S2= 425 S3= 0 Z=525
Birinci ve üçüncü kaynaklar tamamen kullanılmış fakat ikinci kaynakta eldeki mevcut miktarın 425 birimlik kısmı kullanılamamıştır. Bu problemde
S1= 0 S2= 425 S3= 0
Slack değişken değerleridir.
b) Makine kapasiteleri ile ilgili marjinal değerleri hesaplayıp(veya son simpleks tablosundan okuyup) ne anlama geldiklerini belirtiniz.
Marjinal değerler: Son simpleks tablosundan slack değişkenlerin ui=|Cj-Zj| değerleri olarak okunur.
Anlamı: Birinci kaynakta yapılacak 1 birimlik artış objektif fonksiyon değerinde 3/10 birimlik bir artış; ikinci kaynakta yapılacak 1 birimlik artış objektif fonksiyon değerinde 0 (sıfır) birimlik bir artış; üçüncü kaynakta yapılacak 1 birimlik artış ise objektif fonksiyon değerinde 9/5 birimlik bir artış sağlardı
c) X3 değişkeninin objektif fonksiyondaki katsayısı hangi aralıkta kalırsa eldeki optimum değerler aynı kalır? X3 ün objektif fonksiyondaki katsayısı 3 değil de 10 olsa optimum çözüm ne olur ve objektif fonksiyonun yeni değeri kaç olur?
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
Cj 4 6 3+d 1 0 0 0 RHS Ratio
Yeni Zj
81/20+d/20 6 3+d 9/2+d/2 3/10+3d/10 0 9/5-d/5 525+125d Yeni
Cj -Zj
-1/20-d/20 0 0 -7/2-d/2 -3/10-3d/10 0 9/5+d/5
Yeni Cj-Zj leri ≤ yapacak d değerlerini belirlemek için aşağıdaki eşitsizlikler ortak çözülür. 0 -1/20-d/20≤ ; 0 -7/2-d/2≤ ; 0 -3/10-3d/10≤ ; 0 9/5+d/5≤ 0
Bu eşitsizlikler d için çözülürse sırasıyla:
d≥−1; d≥−7; d≥−1; ve d ≤ 9 sonuçlarına ulaşılır. Bunların hepsini ortak sağlayan d değerleri de:
9 1≤ ≤
− d olur ve bunun sonucu olarak da : −1+3≤c3 ≤3+9 yani 2≤ c3 ≤12 elde edilir.
C3 = 3 değil de 10 olsa idi, yeni değer yukarıda belirlenen değişim aralığının dışına düşmediği için mevcut çözüm optimum olarak kalır ancak Z nin değeri : d=10-3=7 olacağı için
Znew= Zold+ 125d= 525+ 125(7)= 1400 olur.
u1= 3/10 u2= 0 u3= 9/5
d) C makinesinin kapasitesinin değişim aralığı ne olmalıdır ki optimum çözümde yer alan temel değişkenler temel değişkenler olarak kalsın?
≥
+
−
=
+
−
−
−
=
0 0 0 5 / 2 25 425
5 / 125 200
700 550 5 / 2 0
10 / 1
0 1
2 / 1
5 / 1 0
10 / 3
2 2
3
d d X d
S X
mew new
new
eşitsizlikleri d için ortak çözülürse:
125-d/5≥ ; 25+2d/5 00 ≥ eşitsizliklerinden: −62.5≤d ≤625 bulunur ve bunun sonucu olarak da: 200−62.5≤b3 ≤200+625=137.5≤b3 ≤825 elde edilir.
e) C makinesini kapasitesi 200 den 250 ye yükseltilmesi halinde yeni optimum çözümü ve bu çözüme karşılık gelen objektif fonksiyon değerini hesaplayınız.
b3 (yani C makinesini kapasitesi) 200 den 250 ye çıkarsa d=50 olur ki bu da kabul edilebilir değişim aralığı içindedir. Bu durumda temel değişkenlerin yeni değerleri
=
+
−
=
=
45 425 115 5
/ ) 50 ( 2 25 425
5 / 50 125
2 2
3
mew new
new
X S X
olur ve Znew= 3(115)+6(45)+3(0)+0=615 olur.
