Ölçme ve Değerlendirme Notları
Doç.Dr. Alper SİNAN
Merkezi Dağılım Ölçüleri
Merkezi dağılım ölçüleri aynı zamanda merkezden yayılma ölçüleri olarak düşünülebilir. Bu ölçüler veri setindeki değerlerin, veri setinin merkezine göre yayılma durumu, farklılaşması hakkında bilgi veren ölçülerdir. En çok kullanılan merkezi dağılım ölçüleri: Ranj, Varyans, Standart sapma ve Bağıl değişim katsayısıdır.
RANJ (Değişim genişliği)
Bir veri grubunda en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka değişim genişliği denir, R ile gösterilir.
R= En büyük değer – En küçük değer
Olarak hesaplanır. Ranj, değişim aralığını gösteren bir dağılım ölçüsüdür. Değişim genişliğinin hesaplanmasında sadece iki uç değer işleme alındığından, diğer değerlerin hiçbir etkisi yoktur.
Bu nedenle değişim genişliği yaygın olarak kullanılan bir dağılım ölçüsü değildir.
Örnek :
Aşağıdaki veriler için değişim genişliğini hesaplayınız.
30, 12, 15, 22, 40, 55, 20, 58, 25, 60, 23, 72
R= 72 – 12 = 60 olarak bulunur.
Örnek : 2 farklı sınıf notlarına ait ranj değerleri verilmiştir. Ranjları hesaplayıp yorumlayınız.
1.Şube: 65, 95, 45, 40, 40, 80, 55, 70, 35 R: 95-35= 60 2. Şube: 40, 45, 35, 30, 45, 40, 35, 40, 45 R: 45-30= 15 Veya;
1.Şube: 65, 95, 45, 40, 40, 80, 55, 70, 35 R: 95-35= 60 2. Şube: 95, 45, 35, 30, 45, 40, 35, 40, 45 R: 95-30= 65
Uç değerlere göre hesaplamanın meydana getirebileceği problem görülmektedir. 2. Şube daha yakın notlardan oluşmasına karşı uç değerin yüksek olması ranjı yükseltmiştir.
Varyans ve Standart Sapma
Varyans, birim değerlerinin ortalamadan sapmalarının kareler toplamının birim sayısına bölünmesi ile elde edilir. Varyans gözlem sonuçlarının aritmetik ortalamadan ne ölçüde farklı olabileceğini ortaya koyan bir dağılım ölçüsüdür. Yani tek bir cümle ile,
“Ortalamadan sapmaların bir ölçüsüdür”
Kitle varyansı 𝜎2 , örneklem varyansı 𝑆2 ile gösterilir.
Kitle standart sapması 𝜎, örneklem standart sapması s ile gösterilir.
Standart sapma varyansın kareköküdür.
Örnek: Varyansı 64 olan bir veri setinin standart sapması kaçtır.
s = √𝑆2 = √64 = 8 olarak bulunur.
Bir veri setinde varyans veya standart sapma ne kadar büyük ise veriler ortalamadan o kadar uzak yani dağınık, ne kadar küçükse veriler ortalamaya o kadar yakın yani benzerdir.
Sınıflandırılmamış Verilerde Varyans ve Standart Sapma hesabı Varyans,
𝑠2 =∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2 𝑛 − 1
Standart sapma,
𝑠 = √∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2 𝑛 − 1
Formülleri ile hesaplanır.
Bu formüller varyans ve standart sapmanın anlamını kavrayabilmek için verilmiş olup, hesaplama yapılması istenmeyecektir. Formüllerden anlaşılacağı gibi varyans ve standart sapmanın hesaplanmasında her bir veri ortalamadan çıkartılarak faklar bulunur. Bu farkların kareleri alınıp mutlak uzaklık haline dönüştürülerek toplanır ve veri sayısına bölünür. Bu işlemle aslında veri setinde her bir veri için ortalamadan uzaklığı gösterecek ortalama bir birim değer elde edilir.
Tabloda faklı veri setleri için varyans ve ortalama değerleri mevcuttur. İncelendiğinde varyansı büyük olan veri setinin daha basık olduğu, yani ortalamadan uzak değerlerin arttığı, varyansı küçük olanın ise daha sivri olduğu, yani ortalamaya yakın değerlerde toplandığı görülmektedir.
Örnek 1: İki sınıfa ait notların Ortalama ve varyans değerleri aşağıda verilmiştir. Buna göre hangi sınıftaki öğrencilerin birbirine daha benzer notlar aldıklarını yorumlayınız.
A Şubesi : 𝑥̅𝐴 = 60 𝑠𝐴2 = 25 B Şubesi : 𝑥̅𝐵 = 60 𝑠𝐵2 = 15
B şubesinin notlarına ilişkin varyans değeri daha küçük olduğundan, B şubesindeki öğrenciler, A şubesindekilere göre birbirine daha yakın notlar almıştır. Ortalama etrafında daha çok birikmişlerdir.
Örnek 2: İki sınıfa ait notların standart sapmaları aşağıda verilmiştir. Buna göre hangi sınıftaki öğrencilerin birbirine daha benzer notlar aldıklarını yorumlayınız.
A Şubesi 𝑠𝐴 = 15 B Şubesi : 𝑠𝐵 = 10
?
Bağıl Değişim Katsayısı
Sadece, kitle varyansına bakılarak iki kitleden birinin diğerine göre daha homojen birimlerden oluştuğu söylenemez. Bunu söyleyebilmek için iki varyansın da aynı ölçekte olması gerekir.
Örneğin birinci değişken uzunluk birimi, ikinci değişken ağırlık birimi ile ölçülmüş ise karşılaştırma yapılamayacağı açıktır. Veya farklı ortalamalara sahip iki veri setini de doğrudan varyans veya standart sapmalarına bakarak karşılaştırmak yanlış olacaktır. Bu gibi durumlarda değişim katsayısı olarak tanımlanan ve standart sapmanın ortalamaya bölümü olarak hesaplanan değişkenlik ölçüsü kullanılır.
𝐷. 𝐾. = 𝑠 𝑥̅
ile hesaplanır ve birimsizdir.
Değişim katsayısının büyük çıkması, birim değerlerinin ortalama değerinden büyük olduğu, küçük çıkması birim değerlerinin ortalama değere yakın olduğu anlamına gelir. Birim değerleri ortalama değere eşit ise değişim katsayısı sıfır olacaktır.
Örnek: iki sınıfa ait notların ortalama ve standart sapmaları verilmiştir. Hangi sınıftaki öğrencilerin daha benzer notlar aldıklarını bulunuz.
A şubesi : Not ortalaması 80 , standart sapma: 5 B şubesi : Not ortalaması 40 , standart sapma: 3
Her iki şube için ortalamalar farklı olduğundan D.K. hesaplanırsa A için : D.K. = 5/80 = 0,0625
B için : D.K. = 3/40 = 0,075
Bulunur. Sonuç olarak, A şubesine ait değişim katsayısı daha küçük olduğundan A şubesindeki öğrenciler daha benzer notlar almıştır denir.
Standart Hata
Standart sapma ile karıştırılmamalıdır. Aynı popülasyondan seçilecek, aynı büyüklükteki örneklemlerin ortalamalarının yayılmasını gösteren ölçüttür. Yani standart sapma bir veri setindeki herbir değerin o veri seti ortalamasına olan uzaklığın ölçüsü iken, standart hata bir populasyondan çekilen örneklemlerin ortalamalarının merkeze olan uzaklığı olarak ifade edilir.
SHx̅= s
√n
Formülü ile hesaplanır. Standart hata ne kadar küçükse Örneklemden bulunan istatistik, Populasyon parametresine o kadar yakındır denir.
Ölçmede Standart Hata:
Ölçme ve değerlendirmede Standart hata hesabı;
SHx= s𝑥 √1 − 𝐺ü𝑣𝑒𝑛𝑖𝑟𝑙𝑖𝑘 𝑘𝑎𝑡𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 İle bulunur.
Örnek: Standart sapması 10, güvenirlik katsyısı 0,64 olan bir testteki standart hata miktarını bulunuz.
SHx= s𝑥 √1 − 𝐺ü𝑣𝑒𝑛𝑖𝑟𝑙𝑖𝑘 𝑘𝑎𝑡𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 = 10 √1 − 0,64 = 10 √0,36 = 10 𝑥 0,6 = 6
