Ölçme ve Değerlendirme Notları Doç.Dr. Alper SİNAN
Normal Dağılım ve Standart Puanlar
Standart puan dönüşümleri, ölçme ve değerlendirmede farklı sınavlardan alınan puanların karşılaştırılması için sıklıkla kullanılan bir yöntemdir. Standart puanların anlaşılabilmesi için öncelikle Normal Dağılım, standart normal dağılım ve normal dağılım eğrisi kavramlarının açıklanması gerekmektedir.
Normal Dağılım
Değişkenler hakkında bazı çıkarımlar yapabilmek için, değişkenlerin sahip olduğu ortak özelliklere göre bazı sınıflamalar yapılabilir. Bu sınıflamalara göre değişkenlerin özelliklerine göre bazı dağılımlara sahip oldukları görülür. Bu dağılımların genel matematiksel formları, grafikleri elde edilebilir. Evrende gözlenen değişkenlerin büyük çoğunluğunun çan eğrisine benzer bir dağılım gösterdikleri kabul edilmektedir.
Değişkenlere ilişkin verilerin oluşturduğu çan eğrisine benzer bu eğriye normal dağılım eğrisi, bu eğrinin yatay eksene göre gösterdiği dağılıma da normal dağılım (Gauss dağılımı) denir.
Normal Dağılım Eğrisi Altında Kalan Alanlar
Standart Normal Dağılım
Hesaplamada kolaylık sağlaması ve farklı değişkenlerin karşılaştırılması amacı ile normal dağılıma sahip bir değişkende yapılan bir dönüşümle elde edilen dağılıma da standart normal dağılım adı verilir. Bu dönüşüm her bir veriden ortalamayı çıkartıp standart sapmasına bölerek yapılır.
𝑍 = 𝑋 − 𝜇 𝜎
X değişkeni Normal dağılıma sahipse yukarıdaki formül ile elde edilen Z değişkeni standart normal dağılıma sahiptir.
Standart Normal Dağılımın Özellikleri:
•
• Standart normal dağılımın ortalaması sıfır, standart sapması 1’dir.
• Tepe değer, ortalama ve ortanca birbirine eşittir.
• Eğri dikey eksene göre simetriktir.
• Normal dağılım eğrisinin sağı ve solu sonsuza kadar uzanır, eğri tabanı kesmez.
Standart Puanlar
Standart puanların daha iyi anlaşılması için bir soru ile başlayalım.
Soru: Senceralp 4 dersten sınava girmiş ve aşağıdaki notları almıştır.
Ders Not
Matematik 60
Fen 80
Türkçe 70 Sosyal 90
Senceralp’in en başarılı olduğu ders hangisidir?
Puan Dönüşümleri ve Standartlaştırma
Standartlaştırma = Birimsizleştirme
• Eskiden aklımızda kalan bir problem: Elma ile armut toplanır mı ?
Ölçmede, kişinin puanlarını karşılaştırabilmek için standart puanlara dönüştürmeye ihtiyaç vardır. Ham puanların özellikleri bilinen standart puanlara dönüştürülme işlemine standartlaştırma denir.
Sık kullanılan standart puanlar z ve t puanlarıdır.
Standart z Puanı
Standart z puanları bir testten elde edilen ham puanları ortalaması sıfır, standart sapması bir olan ve standart normal dağılım gösteren standart bir puana dönüştürür.
𝑧 = 𝑋𝑖 − 𝑋̅
𝑠 𝑋𝑖 : Bireyin puanı
𝑋̅: Test puanlarının ortalaması 𝑠 : Test puanlarının standart sapması
Formülü yardımıyla standart z puanları hesaplanır.
Örnek: Senceralp 4 dersten sınava girmiş ve aşağıdaki notları almıştır. Sınavlara ait Ortalama ve standart sapma bilgileri verilmiştir.
Ders Not
Sınıf Ortalaması
Sınıf
Std.sapması
Matematik 60 50 5
Fen 80 70 10
Türkçe 70 80 20
Sosyal 90 90 10
Senceralp’in en başarılı olduğu ders hangisidir?
Herbir ders için standart z puanlarını hesaplayacak olursak Matematik; 𝑍 = 60−50
5 = 2 Fen; 𝑍 = 80−70
10 = 1 Türkçe; 𝑍 = 70−80
20 = -0.5 Sosyal; 𝑍 = 90−90
10 = 0
Senceralp’in en başarılı olduğu ders Matematiktir.
Standart t Puanı:
Negatif ve kesirli z puanlarından kurtulmak için bu puanlar t puanına dönüştürülebilir. Bu şekilde daha uygun yorumlama şansı bulunur.
t puanı, ortalaması 50, standart sapması 10 olan ve normal dağılım gösteren bir puandır.
𝑡 = 50 + [𝑋𝑖 − 𝑋̅
𝑠 ] ∗ 10
Eşitliği ile hesaplanır. Görüldüğü gibi t = 10 z + 50 dir.
z puan hesapladığımız soru için t puanlarını hesaplayacak olursak
Ders Not Ortalama Std.sapma z puanı
Matematik 60 50 5 2
Fen 80 70 10 1
Türkçe 70 80 20 -0,5
Sosyal 90 90 10 0
Matematik; t = 10*2+50 =70 Fen t = 10*1+50 =60 Türkçe; t = 10*(-0.5)+50 =45 Sosyal; t = 10*0+50 =50
Olarak bulunur. Yorumlaması z puanı ile aynıdır.
Standart puanların aynı grafik üzerinde gösterimi şekildeki gibidir.
