A¸sa˘gıdaki integralleri hesaplayınız

MAT122 Matematiksel Analiz II Bahar 2020

Alı¸stırma Soruları 1

˙Integral ve Uygulamaları:

˙Integral Alma Teknikleri, Belirli ˙Integral, Alan, Hacim, Yay Uzunlu˘gu, Y¨uzel Alanı, Has Olmayan ˙Integral 1. A¸sa˘gıdaki integralleri hesaplayınız.

(a) R sin (3 ln x)

x dx (b)R e^x√

1 + e^xdx (c)R x³cos x²
dx (d)R1 0

e^{arctan x} 1 + x² dx (e) R sin³x cos⁸xdx (f)R sin⁴x cos³xdx (g)R sin²x cos²xdx (h)R tan³x sec⁷xdx

(i) R x²

√9 − x²dx (j)R 1

(4 + x²)^3/2

dx (k)R

√x²− 1

x dx (l)R

√x − 1 + 1

√3

x − 1 dx (m) Rπ/2

0 e^xsin xdx (n)R x²e^xdx (o)R x²ln xdx (p)R x arctan xdx (q) R x⁴+ 2x²+ x

x³+ 1 dx (r) R 3x − 1

x²− 2x − 3dx (s)R x + 3

x⁴+ 9x²dx (t) R x³ (4x²+ 9)^3/2

dx

(u) R x

√3 − 2x − x²dx (v)R e^xcos xdx (w) R tan²xdx (x)R tan⁵xdx (y) R cot³x csc³xdx (z)R cot⁶x csc⁴xdx

2. Verilen fonksiyonun basit kesirler cinsinden ifadesini yazınız.

(a) 2x + 1

(x + 1)³(x²+ 4)² (b) x⁴

(x³+ x)³(x²− x + 3) 3. A¸sa˘gıdaki belirli integralleri hesaplayınız.

(a) R1

−1|x + 1| dx (b)R1

−1bx + 2c dx (c) f (x) =

 4x³, −1 < x ≤ 0

3x² 0 < x < 2 iseR2

−1f (x) dx 4. A¸sa˘gıdaki integralleri geometrik bir yakla¸sım ile hesaplayınız.

(a) R3 0

√

9 − x²− (3 − x) dx (b)R

√2/2

−√ 2/2

√1 − x²− |x|
dx

5. f fonksiyonu x = 1 noktasında x−eksenine te˘get ve x = 3 noktasındaki te˘getinin e˘gimi 2 ise Z 3

1

f⁰(x) f⁰⁰(x) dx

integralinin de˘geri nedir?

6. F (x) =Rx²+1

x (2t + 3) dt ise F⁰(x) nedir?

7. lim_x→0 Rx

0 cos t²
dt

x ve lim_x→0 Rx²

x

sin t t dt

x limitlerini hesaplayınız.

8. Verilen e˘grilerle sınırlı olan b¨olgenin alanını bulunuz.

(a) y = x + 1, y = 9 − x², x = −1, x = 2 (b) y = x, y = x²

(b) x = 1 − y², x = y²− 1 (d) y = x³ ve bu e˘grinin grafi˘gine x = 1 de te˘get olan do˘gru 9. x = 9 − y² ve x = 5 e˘grilerle sınırlı olan b¨olgenin alanını iki farklı ¸sekilde hesaplayınız:

(a) y−eksenli integral (b) x−eksenli integral

10. Verilen e˘grilerle sınırlı olan b¨olgenin, verilen do˘gru ¸cevresinde d¨ond¨ur¨ulmesiyle olu¸san cismin hacmini bulunuz.

(a) y = 1/x, x = 1, x = 2, y = 0; x ekseni etrafında (b) y = e^x, y = 0, x = 0, x = 1; x ekseni etrafında (c) y = x², x = y²; x ekseni etrafında

(d) y = x, y =√

x; y = 1 do˘grusu etrafında

(e) y = x², 0 ≤ x ≤ 2, y = 4, x = 0; y ekseni etrafında

1

11. y = x ve y = x² e˘grileriyle sınırlanan b¨olgenin (a) x−ekseni, (b) y−ekseni, (c) y = 2 ekseni etrafında d¨ond¨ur¨ulmesiyle elde edilen cisimlerin hacimlerini veren integrali disk ve kabuk y¨ontemleri ile ayrı ayrı ifade ediniz.

12. Verilen aralıkta e˘grilerin uzunlu˘gunu bulunuz.

(a) y = ln (sin x) , ^π₄ ≤ x ≤ ^3π₄ (b) y = ²₃x^3/2, 0 ≤ x ≤ 4 (c) y = ln

e^x+1 e^x−1



, ln 2 ≤ x ≤ ln 3

(d) x =¹₃√

y (y − 3) , 1 ≤ y ≤ 4 (e) y = ln _{cos x}¹
, 0 ≤ x ≤ π/6

13. Aralarındaki uzaklık 200 m olan iki kule arasına bir elektrik kablosu ¸cekilmek isteniyor. Bu kablonun kulenin ayaklarını birle¸stiren hatta en yakın noktası 150 m olarak ¨ol¸c¨ul¨uyor. Bu durumda kablonun te¸skil etti˘gi e˘grinin denklemi

y = 75

e^x/150+ e^−x/150 olarak veriliyor. ˙Iki kule arasındaki kablonun uzunlu˘gunu bulunuz.

14. R, y = x²+ 2 parabol¨u ile y = 1, x = 0 ve x = 1 do˘gruları tarafından sınırlanan b¨olge olsun.

(a) R b¨olgesinin alanının hesaplayınız.

(b) R b¨olgesinin ¸cevresini veren integrali yazınız.

(c) R b¨olgesinin y−ekseni etrafında d¨ond¨ur¨ulmesiyle elde edilen cismin hacmini ifade eden integrali yazınız.

(d) R b¨olgesinin x−ekseni etrafında d¨ond¨ur¨ulmesiyle elde edilen cismin hacmini ifade eden integrali yazınız.

15. Verilen aralık ¨uzerinde her bir grafi˘gin belirtilen eksenler etrafında d¨ond¨ur¨ulmesiyle olu¸san y¨uzey alanını bu- lunuz.

(a) y = 2√

x, [0, 8] ; x−ekseni (b) y = x²+ 1, [0, 3] ; y−ekseni (c) y =√

16 − x², 0,√

7 ; y−ekseni (d) y = 2x + 1, [2, 7] ; x−ekseni

16. [1, 8] aralı˘gında y = x^2/3 ¨un y = 4 do˘grusu etrafında d¨ond¨ur¨ulmesiyle olu¸san y¨uzeyin alanını veren belirli integrali yazınız.

17. A¸sa˘gıdaki integrallerin yakınsaklık ve ıraksaklık durumunu inceleyip yakınsak olanların hangi de˘gere yakınsadı˘gını bulunuz.

(a) R∞ 1

1

x²dx (b)R∞

0 (1 + 2x) e^−xdx (c)R1

−5

1 10 + 2xdx (d) R4

1

1

x²+ x − 6dx (e)R∞ 4

1

x (ln x)³dx (f) R∞ 0

x³ (x²+ 1)²dx (g) R∞

−∞xe^−x2dx 18. R1

−1

1

x³dx 6= 0 dır. Neden?

19. R∞ 0

10

x²− 2xdx integralinin yakınsaklık durumunu belirleyebilmek i¸cin ka¸c tane has olmayan integral incelen- melidir?

2