2. A¸sa˘gıdaki ¸sekilde sadece dikey ve yatay olarak birer basamak hareket edebilen birinin matematik kelimesini ka¸c t¨ url¨ u okuyabilece˘gini bulunuz.

IV. Cahit Arf Matematik G¨ unleri 2005 Birinci G¨ un

˙Istanbul Bilgi ¨ Universitesi Matematik B¨ ol¨ um¨ u 12 Mart 2005

1. Rastgele karı¸stırılmı¸s bir deste iskambil kˆa˘gıdında en ¨ ust ve en alttaki kˆa˘gıtların as olma olasılı˘gını hesaplayınız.

2. A¸sa˘gıdaki ¸sekilde sadece dikey ve yatay olarak birer basamak hareket edebilen birinin matematik kelimesini ka¸c t¨ url¨ u okuyabilece˘gini bulunuz.

3. Dikd¨ortgen ¸seklindeki bir bilardo masasının ¨ uzerinde iki nokta belirleniyor ve bu nokta- lara iki bilardo topu yerle¸stiriliyor. Bu toplardan birini tam ¨ u¸c de˘gi¸sik kenara ¸carptıktan sonra ikinciye ¸carpacak ¸sekilde bir vuru¸s yapmak her zaman m¨ umk¨ und¨ ur. Bu nasıl yapılır?

4. D¨ort ¸cember yardımıyla a¸sa˘gıdaki ¸sekilde g¨or¨ uld¨ u˘g¨ u gibi on sınırlı b¨olge olu¸sturulmu¸stur.

Bu b¨olgelere 1 den 10’a kadar olan sayıların herbiri ¨oyle yerle¸stirilmi¸stir ki her ¸cember i¸cinde kalan sayıların toplamı aynıdır. B¨ ut¨ un ¸cemberlerin i¸cinde kalan ortadaki b¨olgeye kar¸sılık gelen sayıyı bulunuz.

1

5. y = x

¸seklindeki bir parabol¨ un i¸cine sı˘gacak ve parabol¨ un tepe noktasına de˘gecek en b¨ uy¨ uk ¸cemberin yarı¸capını bulunuz.

&%

'$

6. Bir kenarı a olan bir kareyi kaplamak i¸cin gene bir kenarı a olan e¸skenar ¨ u¸cgenlerden en az d¨ort taneye ihtiya¸c oldu˘gunu kanıtlayınız.

7. R[X] polinomlar halkası ¨ uzerinde tanımlanmı¸s bir δ : R[X] −→ R[X] fonksiyonu her a ∈ R ve her f, g i¸cin δ(af ) = aδ(f ), δ(f + g) = δ(f ) + δ(g) ve δ(f g) = f δ(g) + gδ (f ) ko¸sullarını sa˘glıyorsa bu δ fonksiyonuna R[X] halkasının bir t¨ urevi denir. R[X]

halkasının b¨ ut¨ un t¨ urevlerini bulunuz.

8. f (x) = ax

+ bx + c (a, b, c ∈ R, a 6= 0) ¸seklindeki fonksiyonlar k¨umesinde ¸s¨oyle bir

¸carpma i¸slemi tanımlanıyor: Her f, g fonksiyonları ve her x ∈ R i¸cin (f ◦ g)(x) = f (g(x)).

f ◦ g = g ◦ f ko¸sulunu sa˘glayan yukarıdaki gibi b¨ ut¨ un f ve g fonksiyonlarını bulunuz.

2