ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER. Serpil KARAGÖZ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER

Serpil KARAGÖZ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2007

Her hakkı saklıdır

ÖZET Doktora Tezi

YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER

Serpil KARAGÖZ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı Danışman : Doç. Dr. M.Kemal SAĞEL

Bu tez, beş bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, çalışmanın kapsamı ve amacı belirtilmiştir.İkinci bölümde, çalışma için gerekli olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayına immersed edilmiş 2-boyutlu manifoldun Gauss eğriliği ve ortalama eğriliğine dair eşitsizlikler verilmiştir.Dördüncü bölümde, 6-boyutlu Öklid uzayına immersed edilmiş 4- boyutlu manifoldun Gauss eğriliği ve Betti sayılarına dair eşitsizlikler verilmiştir.Beşinci bölümde, Öklid uzayında elde edilen eşitsizliklerin 4-boyutlu Lorentz uzayındaki karşılıkları verilmiştir.

2007, 51 Sayfa

Anahtar Kelimeler: Gauss eğriliği, ortalama eğrilik, birinci ve ikinci tipten α inci eğrilikler, Betti sayıları, Lorentz uzayı, Öklid uzayı, Lipschitz-Killing eğriliği, total mutlak eğrilik.

ABSTRACT Ph. D.Thesis

SOME DIFFERENTIAL GEOMETRIC INEQUALITIES FOR SURFACES

Serpil KARAGÖZ Ankara University

Graduate School of Naturel and Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof.Dr.M.Kemal.SAĞEL

This thesisis composed of five chapters.In the first chapter, the aim and content of thesis are explained.In the second chapter, basic definitions and theorems are given.In the third chapter, inequalities with related to Gauss curvature and mean curvature of 2-dimensional manifold which is immersed into 4-dimensional Euclidean space are given.In the fourth chapter, inequalities with related to Gauss curvature and Betti numbers of 4- dimensional manifold which is immersed into 6- dimensional Euclidean space are given.In the fifth chapter inequalities in the euclidean space are obtained in the 4-dimensional Lorentz space.

2007, 51 pages

Key Words: Gauss curvature, mean curvature, the αth curvature of first and second kind , Betti numbers, Lorentz space, Öklid space, Lipschitz- Killing curvature, total absolute curvature.

TEŞEKKÜR

Bu çalışmayı hazırlarken değerli vakitlerini esirgemeden bana ayıran, her adımda bilgisine başvurduğum sayın hocam Doç. Dr. M. Kemal SAĞEL’e, Prof. Dr. H.

Hilmi HACISALİHOĞLU ve Prof. Dr Erdoğan ESİN’e en derin saygı ve teşekkürlerimi arz ederim.

Bu çalışmayı hazırlarken benden manevi desteklerini esirgemeyen aileme minnet ve şükranlarımı sunarım.

Serpil KARAGÖZ Ankara, Eylül 2007

İÇİNDEKİLER

ÖZET……….. i

ABSTRACT……… ii

TEŞEKKÜR……… iii

SİMGELER DİZİNİ……….. v

1. GİRİŞ……….. 1

2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1 Lif Demetleri………. 2

2.2 Gauss –Bonnet Formülü……….. 2

2.3 Lipschitz-Killing Eğriliği………. 10

2.4 Bir İmmersiyona Karşılık Gelen Lif Demetleri………. 10

2.5 Total Mutlak Eğrilik ………... 15

2.6 I. ve II. Tipten α inci Eğrilikler………... 18

2.7 Riemann ve Lorentz Geometri……… 21

3. E⁴ UZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER 3.1 E⁴ Uzayının Yapı Denklemleri……… 24

3.2 Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total Mutlak Eğriliğin Hesaplanması……… 24

3.3 E⁴ Uzayında II. Tipten Eğriliklere Dair Eşitsizlikler………. 27

3.4 Ortalama Eğriliğe Dair Eşitsizlikler……… 31

4. E⁶ UZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER 4.1 E⁶ Uzayının Yapı Denklemleri ve Şekil Operatörü……… 34

4.2 Lipschitz-Killing Eğriliğinin Hesaplanması……… 36

4.3 Gauss Eğriliği G Pozitif ise Total Mutlak Eğriliğin Hesaplanması……... 36

4.4 Gauss Eğriliği G Negatif ise Total Mutlak Eğriliğin Hesaplanması……. 38

5. L⁴ UZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER 5.1 L⁴ Uzayının Yapı Denklemleri ve Şekil Operatörü……… 43

5.2 L⁴ Uzayında Lipschitz-Killing Eğriliğinin Hesaplanması……….. 45

5.3 L⁴ Uzayında Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total Mutlak Eğriliğin Hesaplanması………... 46

KAYNAKLAR………... 51

ÖZGEÇMİŞ………... 52

SİMGELER DİZİNİ

χ (M) Euler karakteristiği G Gauss eğriliği H Ortalama eğrilik Eⁿ n boyutlu öklit uzayı K^* Total mutlak eğrilik λα İkinci tipten α inci eğrilik

g Yüzeyin genusu

β(M²) Betti sayıları toplamı K Lipschitz-Killing eğriliği µα Birinci tipten α inci eğrilik II İkinci temel form

Lⁿ n- boyutlu Lorentz uzayı

1.GİRİŞ

Bu çalışmada 2-boyutlu manifoldun 4-boyutlu Öklid uzayına immersiyonu durumunda Gauss eğriliği G ve ortalama eğrilik H olan eşitsizliklerin, 4-boyutlu manifoldun 6-boyutlu Öklid uzayına ve 2-boyutlu manifoldun 4-boyutlu Lorentz uzayına immersiyonu durumundaki karşılıkları ile Lipschitz-Killing eğriliği ve total mutlak eğriliği hesaplanacak ayrıca E⁶ ve L⁴ ‘ün yapı denklemleri elde edilecek ve immersiyonun şekil operatörü hesaplanacaktır.

2.TEMEL KAVRAMLAR

2. 1 Lif Demetleri

Lif demetleri teorisi ve uygulamaları 1940’dan sonra matematiksel gelişmelerde önemli rol almıştır. Bizim konumuzla ilgili bölüm ise diferensiyellenebilir manifoldların tanjant demetleri ve çatı demetleridir. Daha genel olarak denilebilir ki bir diferensiyellenebilir manifold üzerinde (r,s) tipindeki tensörler bir lif demeti oluşturur (Willmore 1982).

Tanım 2. 1. 1: M bir manifold olmak üzere; pЄM noktasında m tane lineer bağımsız tanjant vektör x1, x2 , . . . ,xm olsun. { p, x1, x2 , . . . ,xm}kümesine m-çatı denir. Bütün p noktasındaki çatıların kümesi B ile gösterilirse B ye çatı demeti denir. pЄM deki bütün ortonormal çatıların kümesine ise ortonormal çatı demeti denir

(Willmore 1982).

Tanım 2. 1. 2: £₀ , Eⁿ nin ortonormal çatı demeti, £₀(M), M ⊂ Eⁿ nin bütün noktalarındaki ortonormal çatıların kümesi olsun. £₀(M) ⊂ £₀ olduğundan i: £₀(M) → £₀ inclusion dönüşümünden bahsedebiliriz. {X1, X2 , . . . ,Xn } M nin diferensiyellenebilir n-ortonormal vektör alanlarını gösterirse C : M→ £₀ ∀ mЄM dönüşümüne

C(m) = {m;X1(m), X2(m) , . . . ,Xn(m)}Є£₀ lokal cross section denir (Hacısalihoğlu 1980).

2. 2 Gauss-Bonnet Formülü

Global Riemann geometrisinin en temel sonuçlarından biri de Gauss-Bonnet formü- lüdür. Bu formül manifoldun Riemann yapısının eğriliğini bir integralle ifade eder.

Burada manifoldun Euler karakteristiği χ(M) ile gösterilmektedir. Gauss-Bonnet formülü manifoldun diferensiyel geometrisi ve topolojisi arasında bir bağıntıdır.

Şimdi 2 boyutlu kapalı yüzeyler için Klasik Gauss-Bonnet teoremi verilecektir.

Teorem 2. 2. 1: M, 2 boyutlu kapalı yönlendirilebilen Riemann manifoldu olsun. χ(M) Euler karakteristiğini, G Gauss eğriliğini, dA hacim elementini göstermek üzere;

∫

M

GdA = 2π χ(M) dir. (2.1)

İspat: M, 2 boyutlu yönlendirilebilen C^∞ sınıfından Riemann yüzeyi olsun. M nin her P noktasına e1 , e2 ortogonal birim vektör çifti belirli yönlendirmeyle verilsin. Pe1 e2 şekli 2-çatı diye adlandırılır. M nin P deki her v tanjant vektörü için

v = ∑ ui ei dir. Gösterim kolaylığı açısından

v = ui ei i = 1 , 2 (2.2) olsun. Riemann geometrinin temel eşitlikleri

dP = ωiei

dei = ωijej (2.3) ωij + ωij = 0

olarak yazılabilir. ωi ,(ei )bazının dual bazını veren 1-formlar ve ωij ler konneksiyon formlarıdır.

Yapı denklemleri

dωi = ωj Λ ωji

dωij + ωik Λ ωjk = Ωij (2.4) Ωij + Ωji = 0 dır.

Ωij formları,(2.3) ün dış türevleri alınarak elde edilen denklem sistemini sağlar. Bianchi özdeşlikleri olarak bilinen denklemler

ωj Λ Ωji = 0

dΩij - ωjk Λ Ωik + ωik Λ Ωjk = 0 (2.5) dır.

Pe1 e2 çatısına,

ei*= aijej ei= ajiej* , (2.6) ile verilen ortogonal trasformasyon yapılmış olsun. Burada

( aij ) =

θ θ

θ θ

cos sin

sin cos −

olarak alınmıştır. ( aij ) ortogonal matristir ve θ, P nin koordinatlarının fonksiyonudur.

(2.2) ve (2.4) den

Ωij* = aik ajl Ωkl (2.7)

dir.

Ω aşağıdaki gibi tanımlanırsa

4πΩ= - Є i1i2Ωi1i2 (2.8) eğer (i1 , i2) çift permütasyon ise Є i1i2 = +1 dır

eğer (i1 , i2) tek permütasyon ise Є i1i2 = -1dır.

diğer durumlarda Є i1i2 = 0 dır. (2.7) den

4πΩ= - 2Ω12 = 2R1212 ω1 Λ ω2

G, M nin Gauss eğriliği olmak üzere.

2πΩ= - Gω1 Λ ω2 (2.9) elde edilir

(2.7) ve (2.9) dan açıkca görülür ki

Ω ve hacim elementi dA = ω1 Λ ω2 çatı değişimi altında invaryanttır. Alternatif olarak denilebilir ki Ω ve dA formları çatı demeti üzerinde tanımlı ve her bir lifte sabittir.

Gauss-Bonnet teoremini

∫

M

= χ(M) (2.10)

olarak ifade edebiliriz.

M nin yerel koordinatlarını B ve bileşenleri ui olarak alırsak

ui ui = 1 (2.11) dv = θi ei (2.12) θi = dui +uj ωji (2.13)

(2.11) den ve ωji skew simetrik olduğundan uiθi = 0 dır. (2.13) ün türevi alınırsa

dθi = duj Λ ωji + ujdωji

=θjΛ ωji - ukωkj + uk( Ωki – ωkl Λ ωil )

dθi =θi Λ ωji + uj Ωji dır. (2.14) (2.6) çatısındaki bir değişim ui ,θi bileşenlerinde

ui*= aijuj,θi* = aijθ olmak üzere (2.15) 1. dereceden Ф0 ve 2.dereceden ψ0 formlarının türevlerini hesaplarsak:

Ф0 = Є i1i2 ui1θi2 (2.16) ψ0 = Є i1i2 Ωi2 i2 (2.17)

Birim tanjant demeti B üzerinde tanımlı Ф0 ,ψ0 formları çatı değişimi altında invaryanttırlar .

dФ0 = Є i1i2 dui1 Λ θi2 + Є i1i2 ui1dθi2

= Є i1i2 (θi1 Λ θi2 - ujωji1 Λ θi2 ) + Є i1i2 ui1(θj Λ ωji2 + uj Ωji2 )

Є i1i2θi1 Λ θi2+ Є i1i2 ui1uj Ωji2 = 2θ1 Λ θ2 + u1uj Ωj2 – u2uj Ωj1 olduğundan

dФ0 = 2θ1 Λ θ2 + ( u12 + u22 )Ω12

= 2θ1 Λ θ2 + Ω12 dır. (2.18)

(2.14) den θ 1 ve θ2 lineer bağımlıdır. Christoffel sembollerini sıfırlayacak lokal normal koordinatlar her zaman P noktasının bir komşuluğunda bulunabilir. P noktasında ωji = 0 dır. Böylece aralarındaki ilişki

dФ0 = 1

2 dψ⁰ dır. (2.19)

Artık M üzerinde sürekli birim tanjant vektör alanı tanımlanabilir öyle ki M nin bir tek singülaritesi O dır. O noktasındaki vektör alanının indeksi, Euler karakteristiği, χ(M) dir. Bu vektör alanı B de sınırı χZ olan bir V altmanifoldunu tanımlar. Z , O nok tasından geçen birim tanjant vektörlerin oluşturduğu 1 boyutlu çemberdir. M üzerinde Ω nin integrali, V üzerindeki integraline eşit olur. Stoke’s teoremi kullanılarak

∫

M

=

∫

V

= - 1 4П

∫

V

0 = - 1 2П

∫

V

d 0 = - χ 2П

∫

Z

0 dır. (2.20)

Fakat1 -boyutlu birim kürenin hacim elementi Ф0 = u1θ2 - u2θ1 olduğundan

∫

Z

0 = 2π dir. Buradan

∫

M

= χ(M) olduğundan (2.21)

∫

M

GdA = 2π χ(M) dir. (2.22)

Bu farklı ispatın verilmesinin nedeni, benzer yöntem kullanarak n = 2p için Gauss- Bonnet teoreminin

∫

M

= χ(M) olarak ifade edilebileceğinin gösterilmesidir.

Mⁿ, n = 2p boyutlu yönlendirilebilen Riemann manifoldu ve M nin her bir noktasında yönlendirilmiş tanjant vektörlerin ortonormal çatısı e1, e2 , . . . en olsun.

i, j = 1, 2, . . . n ve Ω= (-1 )^p 1

2^2p π^pp! Є i1 . . . i2p Ωi1i2 Ωi3i4. . . Ωi2p-1i2p (2.23) olması durumunda

∫

M

= χ(M) olduğu aşağıdaki şekilde gösterilebilir..

M üzerindeki birim tanjant uzayı, 2n -1 boyutlu bir manifold oluşturur. (2.11), (2.12), (2.13) ,(2.14), (2.15) genel halde de sağlanır. Diferensiyel formlar

Фk = Є i1 . . . i2p ui1θi2 . . . θi2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p

k = 0, 1, . . . , p-1 (2.24) ve

Ψk = Є i1 . . . i2pΩi1 i2 θi3 . . . θi2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p

k = 0, 1, . . . , p-1 (2.25) dir.

Фk derecesi 2p-1 ,Ψk derecesi 2p olan formlardır. Ayrıca Ψp-1 , Ω nın katıdır. Фk ve Ψk

M Riemann manifoldu üzerinde tanımlıdır.

dФk = Ψk-1 + ^2p-2k-1

1(k+1) Ψk , k = 0, 1, . . . , p-1 , Ψ-1 = 0 dФk = Є (i) dui1θi2 . . . θi2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p

+ (2p – 2k – 1) Є (i)ui1dθi2θi3 . . . θi2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p

- k Є (i)ui1θi2 . . . θi2p-2k dΩi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p

Є (i) , Є i1 . . . i2p nin kısaltılmışı olarak alınırsa ve dui ,dθi ,dΩi değerleri yerine yazılırsa dФk ifadesi ωij içeren ve içermeyen olmak üzere iki tip terimden oluşacaktır. ωij içerme- yen terimlerin toplamı;

Ψk-1 + (2p – 2k – 1) Є (i)ui1 uj Ωjipθi3 . . . θi2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p dır. (2.26)

Bu toplamın dФk ifadesiyle farkı, her teriminde ωij içerir. Bu farkın, normal koordinat bazı seçilerek, herhangi bir P noktasında sıfır olduğu gösterilebilir.

Pk = Є (i) ui12 Ωi1i2 θi3 . . . θi2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p

∑k = Є (i) ui1ui3Ωi3i2θi3 . . . θi2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p

Tk = Є (i) ui32 Ωi1i2 θi3 . . . θi2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p (2.27)

Pk , ∑k ,Tk derecesi 2p olan formlardır.

Pk = Є (i) ( 1- ui22- ui32 - ... - ui2p2 )Ωi1i2 θi3 . . . θi2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p

= Ψk - Pk - 2(p – k – 1) Tk -2kPk

Ψk = 2( k + 1)Pk + 2(p – k – 1) Tk (2.28)

∑k = Є (i) ui1Ωi3i2 (- ui1θi1 - ui2θi2- ui4θi4 - ... - ui2pθi2p)θi4 . . . θi2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p

= Tk - (2 k + 1) ∑k

Tk = 2( k + 1) ∑k (2.29)

dФk = Ψk-1 + (2p – 2k -1 ){ Pk + 2( p - k – 1 ) ∑k} , k = 0, 1, . . . , p-1

Ψk =

∑

= k −

m 0

) 1

( ^p 2^m+1(k+1)k ...(k-m+1)

(2p-2k-1)(2p-2k+1) ... (2p-2k+2m-1) dФk – m (2.30)

Ω = (-1)^p 1

2^2pπ^pp! Ψ^p-1 = dИ (2.31)

И =1 π^p

∑

= 1 −

0

) 1 (

p

m

m+1 1

1.3...(2p-2m-1)m!2 ^p+m Фm dır. (2.32)

2-boyutlu durumda olduğu gibi Mⁿ üzerinde sürekli birim tanjant vektör alanı tanımlanabilir öyle ki Mⁿ nin O noktası tek singülaritesidir. Hopf ’s teoremi kullanılarak O noktasındaki alanını indeksi, Euler Poincare karakteristiği χ(Mⁿ) eşit

olur. Vektör alanı, M^2n-1 de bir Vⁿ alt manifoldu tanımlar. χZ bu alt manifoldun sınırıdır. Z ise n-1 boyutlu, O dan geçen birim tanjant vektörlerin oluşturduğu döngüdür.

Mⁿ üzerinde Ω nin integrali, Vⁿ üzerindeki integraline eşit olur. Stoke’s teoremi kullanılarak

Ф0 = ( 2p-1)!

∑

= n −

i 1

) 1

( ⁱθ1 . . . θi-1 ui1θi+1θ1 . . . θ2p olmak üzere

∫

M

=

∫

V

= χ

∫

z

И = - χ 1

1.3...(2p-1)2^p π^p

∫

z

0 dır. (2.33)

dV, 2p-1 boyutlu birim kürenin hacim elementini göstersin. Bu elementin çeşitli hiper düzlemlere projeksiyonu

uⁱ dV =(-1)ⁱθ1 . . . θi-1θi*θi+1 . . . θ2p (2.34) (θi*elemanı projeksiyon sonucu iptal edildi.)

uⁱ uⁱ =1

dV =

∑

= n −

i 1

) 1

( ⁱθ1 . . . θi-1 uiθi+1θ1 . . . θ2p dır.

Ф0 , 2p-1 boyutlu birim kürenin hacim elementinin (2p-1)! katıdır.

∫

∫

M

= χ(Mⁿ) dir (Willmore 1982).

2. 3 Lipschitz-Killing Eğriliği

Tanım 2. 3. 1: Mⁿ , n boyutlu kompakt, yönlendirilebilir C^∞ manifold ve f: Mⁿ → E^n+N C^∞ dönüşüm olsun. Öyle ki f* birebir ( f dönüşümünün jacobian matrisi lokal koordinatlarla ifade edildiğinde ∀mЄ Mⁿ için rankı n’ ye eşit) f dönüşümüne bir immersiyon denir. Ek olarak

eğer f de birebir ise dönüşüme immedding denir (Hacısalihoğlu( 1980).

Kompakt diferensiyellenebilir manifold Mⁿ için f: Mⁿ → E^n+N birebir dönüşümü her za- man vardır; öyle ki f(Mⁿ) , E^n+N nin bir alt manifoldudur. İmmersiyon yapılmış manifoldun her noktasına ve o noktadaki her doğrultuya bir reel sayı karşılık getirilerek Lipschitz-Killing eğriliği ölçülür.

Birim normal demet üzerinde bu eğrilik modülünün integrali, immersiyonun total mut- lak eğriliğini verir. Böylece total mutlak eğrilik ile manifoldun topolojik yapısı arasında bir bağıntı kurulur (Willmore 1982).

2. 4 Bir İmmersiyona Karşılık Gelen Lif Demetleri

x ЄE^n+N ve e1, e2 , . . . ,en+N yönlendirmesi E^n+N ile uyumlu x deki ortonormal vektörleri göstersin. F(n ,N) , E^n+N nin (xe1, e2 , . . . ,en+N) şeklindeki tüm çatılarının uzayı olsun.

Bunlar 1

2 (n+N)(n+N+1) boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold oluşturur.

1 ≤ i, j, k ≤ n ; n+1 ≤ r, s, t ≤ n+N ; 1 ≤ A, B, C ≤ n+N

E^n+N öklid metriği ile donatıldığından E^n+N üzerinde sıfır torsiyon ve sıfır eğrilikli tek bir Riemann konneksiyonu vardır. Bu konneksiyon lokal olarak (eA) ortonormal bazı ve dual baz (ὡA) ya bağlı 1-formların matrisi olarak ifade edilir. Bu formlar E^n+N de lokal olarak düşünmek yerine F(n ,N) de global olarak ele alınır. Lif demeti terminolojisinde ὡA , ὡAB formları E^n+N de asli demet çatılarının demet uzayı üzerinde tanımlanır. Rotas yon grubu demet uzayına sağ ötelemeyle etki eder. Bu formlar Cartan denklemlerini sağlar.

deA = ὡAB eB ; dὡA = ὡBΛὡBA ὡAB + ὡBA = 0 dp = ὡA eA ; dὡAB = ὡACΛὡCB

Mⁿ n-boyutlu, kopmakt, yönlendirilebilir, C^∞ -manifold ve f: Mⁿ → E^n+N , Mⁿ nin C^∞ dönüşümü olsun.öyle ki; f* birebir örtendir yani f nin Jacobian matrisi, lokal koordinatlar cinsinden ifade edildiğinde her noktası m ЄMⁿ için rankı n dir.

f dönüşümü vektör değerli bir fonksiyon olarak ele alındığında m ЄMⁿ , f(m) , f* da E^n+N deki değerlerle birlikte lineer diferensiyel formdur. İmmersiyon özelliğinden dolayı f nin değerleri t1, t2 , . . . ,tn tane lineer bağımsız vektörün lineer kombinasyonudur. Bu lineer kombinasyona tanjant vektör dik ise normal vektör denir.

Mⁿ nin E^n+N ne immersiyonu aşağıdaki vektör demetlerini verir.

1-) Bτ Birim tanjant demeti, Mⁿ ⅹ E^n+N demet uzayının alt kümesi ve τ birim tanjant vektör olmak üzere Bτ = {(m,τ) ; m ЄMⁿ ve τ Єf(m)}olsun.

2-) Bυ Birim normal demeti, Mⁿ ⅹ E^n+N demet uzayının alt kümesi ve υ birim normal vektör olmak üzere Bυ = {(m, υ) ; m ЄMⁿ ve υ Єf(m)}olsun.

3-) Bdemeti Mⁿ ⅹ F(n,N) nin alt kümesi olduğunda

B = {(m, f(m)e1, e2 , . . . ,en ,en+1, . . . ,en+N); e1, e2 , . . . ,en f(m) de tanjant en+1, . . . ,en+N

normal vektörler olmak üzere

Ψ :B → Mⁿ

(m, f(m)e1, e2 , . . . ,en ,en+1, . . . ,en+N) → m projeksiyonu Ψτ :B → Bτ

Ψτ(m, f(m)e1, e2 , . . . ,en+N) = (m, en) Ψυ:B → Bυ

Ψυ (m, f(m)e1, e2 , . . . ,en+N) = (m, en+N)

i: B → Mⁿⅹ F(n,N) injeksiyon dönüşüm,

λ: Mⁿⅹ F(n,N) → F(n,N) ikinci bileşene projeksiyon B → Mⁿ ⅹ F(n,N) → F(n,N) olmak üzere

ωA=( λi)^*ὡA ωAB = ( λi)^*ὡAB dir.

d ve Λ operatörleri ( λi)^* ile değişmeli olduğundan ωA ve ωAB aşağıdaki bağıntıları verir.

dp = ωAeA

dωA = ωB Λ ωBA

dωAB = ωAC Λ ωCB

ωAB + ωBA = 0

ωr = 0 ; n+1 ≤ r ≤ n+N ; 1 ≤ i,j ≤ n 0=dωr = ωA Λ ωAr = ωi Λ ωir

ωir = Arijωj ⇒ ωi Λ Arijωj = 0 ; Arij = Arji

Özel olarak n = 1 ve N = 2 olması durumunda

boyF(n,N) = 6; boy Bυ = 2 ;boy Bτ =1 ;boy B= 2 dir. i,j = 1; r,s = 2,3 A,B,C = 1,2,3 dp = ω1e1 + ω2e2 + ω3e3 ; ω1= ω2 = 0

dp = ω1e1

dωA = -ωBA Λ ωB

dωA+ ωBA Λ ωB = 0 dω1 = 0

ω12 Λ ω1 = 0 ω13 Λ ω1 = 0

ω1r = Arijωj ; ω12= A211ω1 ve ω13 = A311ω1

dp = ω¹e1 hacim elementi (ω¹ = ds yay uzunluğu)

deA = ωBAeB

de1 = ω12e2 + ω13e3

de2 = ω21e1 + ω23e3

de3 = ω31e1 + ω32e2

de1 = ω13e3 ; ω12 = 0 ω13 = A311ds ; A311 = κ ω23 = A321ω1

ω23 = -τ ds dir. Burada e1 = t, e2 = b, e3 = n seçilirse; Serret-Frenet Formülleri elde edilir.

Genel halde ise B demet uzayı B de diferensiyel formlar oluşturulmak için göz önüne alınırsa ki bu formlar Ψ ve Ψυ dönüşümleri altında, Mⁿ de ve Bυ deki diferensiyel formların ters görüntüleridir.

Mⁿ nin hacim elementi dV = ω1 Λ ω2 . . .Λ ωn ile ve Bυ nin hacim elementi dVΛdσN-1

olduğunda dσN-1 Bυ üzerinde N-1 dereceden formların lif üzerine kısıtlanması m ЄMⁿ noktasındaki birim normal vektörlerin oluşturduğu kürenin hacim elementidir.

den+N = ωn+NAeA normal parçası, ωn+Nrer N-1 dereceden formdur.

dσN-1= ωn+N,n+1 Λ ωn+N,n+2 Λ . . . Λωn+N,n+N-1

den+N = ωn+NeA olduğundan birim hiperkürenin E^n+N deki hacim elementi d∑ = ὡn+N1 Λὡn+N2 Λ . . . Λὡn+N,n+N-1 dir.

Bu formun Bυ ye geri çekimi için ξ küresel dönüşümünün duali kullanılır.

ξ*( d∑ ) = ωn+N1 Λω n+N2 Λ . . . Λω n+N,n+N-1

ξ*( d∑ ) =(-1)ⁿdet(An+Nij)ω1Λ ω2Λ . . . Λ ωn Λ ωn+N,n+1 Λ ωn+N,n+2 Λ . . . Λ ωn+N,n+N-1

ωn+Ni = (-1)An+Nij ω^j

dVΛdσN-1 = ω1 Λω 2 Λ . . . ω nΛω n+N,n+N-1 Λ ωn+N,n+2 Λ . . . Λ ωn+N,n+N-1

G(m,υ) = (-1)ⁿdet(An+Nij) olduğundan

G(m,υ) reel sayısına m noktasında immersiyonun Lipschitz-Killing Eğriliği denir.

G(m, υ), υ ye bağlıdır. m nin U koordinat komşuluğunda ěA: q → ěA:(q) ; qЄU fonksiyonları ile verilen. Mⁿ nin B deki lokal cross sectionı gözönüne alınırsa

eA(q), q üzerindeki lifde bir çatıdır.

eA = CABeB(q) dur. CAB determinantı +1 olan ortogonal bir matris ve ayrıca cir = 0 dır.

∑

j i,

Asij ωiω j =

∑

j i r ,,

Csr Ārij ὡiὡj

Arij nin lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ārij ve υ = en+N ; υ = ∑ υrěr ve m noktasında

G(m,υ) =(-1)ⁿdet(υr Ārij (m)) υ.d²m = υ.d[eAωA]

= υrder + υr ωAω Ar

= υr ὡiὡir

= ∑ υr Ārij ὡiὡj dir.

υ = en+N seçildiğinde

-dυ.dm = υ.d²m =∑ υr Ārij ὡiὡj olur. Böylece

G(m,υ), yüzeyin ikinci temel formunun determinantı olarak elde edilir.

Mⁿ , Eⁿ⁺¹ e immersiyon yapılmış yönlendirilebilir hiperyüzey ise m ЄMⁿ noktasında υ(m) birim normal vektörü, diğer bir birim normal vektör tanımlar.

υ(m) = ∓ υ0(m)

G(m,υ(m)) = G(m,∓ υ0(m)) = (∓1)ⁿ G(m) burada

n çift sayı ise G(m, υ(m)) Eⁿ⁺¹ in hiperyüzeyinin yönlendirmesinden bağımsızdır özel olarak n = 2 için G(m), Gauss eğriliği K ya dönüşür (Willmore 1982).

2. 5 Total Mutlak Eğrilik

Tanım 2. 5. 1: Mⁿ , n boyutlu kompakt, yönlendirilebilir C^∞ manifold ve f: Mⁿ → E^n+N immersiyon olsun. mЄMⁿ , cn+N-1 E^n+N deki hiperkürenin hacmini göstermek üzere; f(m) deki birim normal vektör küresi üzerinde integral alınırsa

K^*(m) = 1

cn+N-1 ⌡⌠ |G(m,υ)|dσN-1

K^*(m), (Mⁿ, f ,E^n+N) immersiyonunun m noktasında total mutlak eğriliği ve

τ (M , f ) = ⌡⌠

Mⁿ

K^*(m)dV

değerine de, (Mⁿ, f, E^n+N) immersiyonunun total mutlak eğriliği denir. 2-boyutlu yönlendirilebilir kapalı E³ e immersiyon yapılmış yüzeylerde Lipschitz-Killing eğriliği, Gauss eğriliği K’ya eşit olduğundan

τ (M², f ) = 1 2π ⌡⌠

S

|K|dS dir.

Ek olarak Mⁿ , Eⁿ⁺¹ e immersiyon yapılmış hiperyüzey ise

τ (Mⁿ, f ) = ⌡⌠

Mⁿ

|K|dV dir. (Willmore 1982)

Teorem 2. 5. 2: M kompakt kapalı C^∞ yüzey ve f, Mden E³ e immersiyon olsun χ(M) yüzeyin Euler karakteristiği, K Gauss Eğriliği, dS hacim elementi olmak üzere

1 2π ⌡⌠

M

|K| dS ≥ 4 - χ(M) dir.

İspat: M kompakt kapalı C^∞ yüzey olsun.

f : M→ E³ immersiyonu verilsin. Gauss-Bonnet Teoreminden

1 2π ⌡⌠

M

KdS = χ(M) dir

χ(M) = 1 2π ⌡⌠

K>0

KdS + 1 2π ⌡⌠

K<0 KdS

τ (M, f ) = ⌡⌠

M

|K|dS dir.

τ (M, f ) = 1 2π ⌡⌠

K>0

|K|dS + 1 2π ⌡⌠

K<0 |K|dS

= 1 2π ⌡⌠

K>0

KdS - 1 2π ⌡⌠

K<0 KdS

= 1 2π ⌡⌠

K>0

KdS - ( 1 2π ⌡⌠

K>0

K dS - 1 2π ⌡⌠

K>0

KdS + 1 2π ⌡⌠

K<0 KdS )

= 1 π ⌡⌠

K>0

KdS - χ(M) Gauss Bonnet Teoreminden 1 π ⌡⌠

K>0

KdS ≥ 4

τ (M , f ) ≥ 4 - χ(M)

⌡⌠ M

|K|dS ≥ 4 - χ(M) (Willmore 1982)

Tanım 2. 5. 3: f : Mⁿ → E^n+N proper immersiyon olsun. ( f(Mⁿ) görüntüsü E^n+N nin bir lineer alt manifoldu içinde değilse immersiyon properdır). Eğer f minimal total mutlak eğriliğe sahip ise tight immersiyon olarak adlandırılır. (Willmore 1982)

τ = 4 - χ ise her yönlendirilebilir yüzey E³ uzayına tight olarak gömülür. M yönlendirilebilir değilse,başka bir M manifoldu seçilirse , M nin total mutlak eğriliği M üzerinde Lipschitz-Killing Eğriliğinin integralinin yarısı olarak tanımlanır.

Örneğin T² torusu anchor halkası olarak E³ uzayına gömüldüğünde, birim küredeki hemen hemen her nokta Gauss dönüşümü ile iki kez örtülür. χ(T²) = 0 olduğundan

τ = ⌡⌠

T²

|KdS|

2π

4 – 0 = ⌡⌠

T²

|KdS|

2π ise 1 2π ⌡⌠

T²

|K|dS = 4 dir.

E³ deki eğriler için ( yani n = 1 N = 2 özel durumu ) c uzay eğrisi için;

τ = 1 π ⌡⌠

c

|κ|ds ≥ 2

olduğu bilinmektedir. E² deki konveks kümenin sınırı için τ = 2 dir.Yani bir tight immersiyon matematik anlamda konveksliğin doğal bir genellemesini verir. c eğrisi tight olarak gömülürse düzlemde konveks bir eğriye dönüşür.

Ayrıca g yüzeyin genusunu yani yüzeydeki delik sayısını gösterirse biliyoruz ki; Euler karakteristiği

χ(M) = 2 (1- g ) dir. Buradan

⌡⌠ M

KdV = 2π χ(M) olduğundan

⌡⌠ K>0

KdV + ⌡⌠

K<0

KdV = 2π 2 (1- g )

4 π + ⌡⌠

K<0

KdV ≤ 2π 2 (1- g )

⌡⌠ K<0

KdV ≤ 4π - 4π g - 4π

⌡⌠ K<0

KdV ≤ - 4π g elde edilir (Willmore 1982).

2. 6 I. ve II. Tipten α inci Eğrilikler

Tanım 2. 6. 1: Mⁿ, n boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold olsun. x:Mⁿ → E^n+N immersiyonu verilsin ve F(Mⁿ), F(E^n+N) sırasıyla Mⁿ ve E^n+N nin yönlendirilmiş ortonormal çatıları olsun. B kümesi b=(p,e1,e2,e3 ,…,en+N) elemanlarından oluşan bir küme öyle ki;

(p, e1, e2, e3 ,…,en) Є F(Mⁿ) ve (x(p), e1, e2, e3 ,…,en+N) Є F(E^n+N) olmak üzere

y: B → F( E^n+N) dönüşümünde

y(b) = ( x(p), e1, e2, e3 ,…,en+N) doğal olarak tanımlıdır.

BV, Mⁿ nin E^n+N deki birim normal vektörleri gösterirse BV → Mⁿ dönüşümü pЄMⁿ deki SpN-1demet küresini tanımlar. Diyelim ki u: BV → S0n+N-1 dönüşümünde E^n+N nin orijininde e ye paralel birim vektör u(p,e) olsun . E^n+N nin yapı denklemleri

dx = ∑ŵAeA

deA= ∑ŵABeB

dŵA=∑ŵB ΛŵBA

dŵAB=∑ŵAC ΛŵCB

ŵAB +ŵBA = 0 dır. Burada

A,B,C = 1,2,…n+N ve ŵA,ŵAB F(E^n+N) çatısında 1-formlar ve wA , wAB ler ŵA , ŵAB lerden B ye y dönüşümü ile indirgenmiş 1-formlar olsun.

r,s,t = n+1,…,n+N i,j,k = 1,2,3,…,n için

wr = 0 ; wri = ∑Arijwj ; Arij =Arji

dwi = ∑wj Λwji

dwAB =∑wAC ΛwCB dir.

Her (p,er) Є BV için birinci temel form I = dx .dx ve ikinci temel form II = der .dx dir.

Birinci temel forma göre ikinci temel formun k1(p,er),… ,kn(p,er) karakteristik değerlerine Mⁿ nin (p,er) ile eşlenen asli eğrilikleri denir. Hn(p,er), (p,er) ile eşlenen h inci ortalama eğrilik aşağıdaki eşitlikle tanımlanır.

det (δij + t Arij )=

∑

= n

h 0 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ h

n Hh(p,er)t^h burada t yerine ki karakteristik değerleri

yazıldığında

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ h

n Hh=∑k1…kh , h = 1,2,3,…,n olduğu görülür. H0=1 dır. Hn(p,er), K(p,er) ile

gösterilir ve (p,er) de Lipschitz-Killing eğriliği diye adlandırılır.

x :M² → E^2+N immersiyonunu, B → F( E^2+N) nin lokal cross sectionı olarak, p noktasında (p, e1,e2,e3 ,…,e2+N) yi ve SpN-1demet küresinin her bir e vektörü için p nin bir U komşuluğunda e = e2+N = ∑ξr er(p) alınırsa ve Arij nin lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ārij ile gösterilse o zaman

A2+Nij = ∑ξr Ārij ve (p,e) de Lipschitz-Killing eğriliği

K(p,e) = det( ∑ξr Ārij )

= ( ∑ξr Ār11 )( ∑ξs Ās22 ) - ( ∑ξt Āt12 )² olur. (2.34)

Bu ise ξ3 ,…,ξ2+N nin quadratik ifadesidir. B → F(E^2+N) nin Frenet cross sectionını alırsak ortonormal bir çatı ile bu quadratik ifade

K(p,e) =

∑

= N

r 2 3

λr-2 ξr ξr λ1 ≥ λ2 ≥… ≥ λN şekline dönüşür.

λα lar ikinci tipten α inci eğrilikler olarak adlandırılır.

Bu çatıya göre H1(p,eα+2) = µα(p) ler de birinci tipten α inci eğrilikler olarak adlandırılır ve

w1rΛw2r= λr-2dV dV = w1Λw2 dir. r = 3,…,2+N

M² nin E^2+N de p noktasındaki Gauss Eğriliği G(p) ile gösterilirse

G(p) =

∑

= N

αr 1

λα(p)dir (Chen1970). (2.35)

2. 7 Riemann ve Lorentz Geometri

Bazı genel çalışmalardan sonra index ile belirlenen iki önemli geometri üzerinde yoğunlaşacağız.

v = 0 olan Rieman geometrisi ve v = 1 olan Lorentz geometrisi g : VxV → R

(X,Y) → g (X,Y) metriği,

i) g (X ,Y) = g (Y, X) simetriktir.

ii) Bilineerdir.

iii) g (X , X) ≥ 0 ise g (X , X) = 0 ancak ve ancak X = 0 ve ya g (X , X) > 0 ancak ve ancak X = 0 Euclideandır.

iii)’ Her v Є V için

g (U , V ) = 0 iken U = 0 olması gerekiyorsa g’ye nondejenere denir.

W С V altuzayı alınırsa

WV = { ξ Є V | g (ξ , V ) = 0 , v Є V } bu alt uzaya V nin radikali ve ya null uzayı denir.

Rad V = Null V = { ξ Є V | g (ξ , V ) = 0 , v Є V } boy ( Rad V ) ifadesine g nin sıfırlık derecesi denir.

g nin derecesidir ancak ve ancak boy ( Rad V ) > 0 g non dejeneredir ancak ve ancak boy ( Rad V ) = 0 g (V , V ) > 0 ise metrik pozitif tanımlı,

g (V , V ) < 0 ise metrik negatif tanımlıdır denir.

g (V , V ) ≥ 0 ise metrik yarı pozitif tanımlıdır ve g (V , V ) ≤ 0 ise metrik yarı negatif tanımlıdır denir.

W en büyük boyutlu alt uzay ise boy W = q ise ve g |W negatif tanımlı ise q, g nin indeksi diye adlandırılır.

indV = q

V = χ(M) alırsak

ind χ(M) = 0 ise M; Riemann manifoldu ind χ(M) ≥ 1 ise M; Semi-Riemann manifoldu ind χ(M) = 1 ise M; Minskowski Uzayı

g ye de Minskowski Metriği denir.

ind χ(M) > 1 ise M Lorentz manifoldu olarak adlandırılır.

g ye de Lorentz Metriği denir.

g degenere ise M ye Light like denir (O’Neill 1983).

Tanım 2.7.1: Rⁿ üzerinde Lorentz metriği < ,> I L olsun. Böylece { Rⁿ , < ,>Ι L} çifti Lⁿ de n- boyutlu Lorentz uzayı olarak adlandırılır (O’Neill 1983).

Tanım 2.7.2: X = (x1 ,x2 ,…, xn ) , Y = (y1 ,y2 ,…, yn ) Є Rⁿ olsun. Lorentz uzayında iç çarpım

< , >I :L Rⁿ x Rⁿ → R

n-1

(X , Y) → < X,Y>IL = ∑xiyi – xnyn i =1

olarak tanımlanır. Bu iç çarpım Rⁿ de simetrik, bilineer, nondejenere metrik tensördür ve Lorentz metriği diye adlandırılır (O’Neill 1983).

n = 4 için de Lorentz iç çarpımı

X = (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ), Y = (y1 ,y2 ,y3 ,y4 ) Є R⁴ olsun. Lorentz iç çarpımı

< , >I :L R⁴ x R⁴ → R

(X , Y) → < X , Y> IL= x1y1 + x2y2 + x3y3 – x4y4 (O’Neill 1983).

Tanım 2.7.3: X = (x1 ,x2 ,…, xn ) Є Lⁿ ise X in normu ׀׀X׀׀ IL = I<X,X>I ,

Eğer < X,X> IL < 0 ise X timelike vektör Eğer < X,X> IL > 0 ise X spacelike vektör

Eğer < X,X> IL = 0 ise null vektördür (O’Neill 1983).

Tanım 2.7.4: X,Y Є L³ olmak üzere Lorentz anlamında vektörel çarpım

*:L³ x L³→ L³

e1 e2 - e3

(X,Y)→X*Y = x1 x2 x3 dir.

y1 y2 y3

(Tagos and Papontaniov 1988)

Tanım 2.7.5: Eⁿ nin bir hiper yüzeyi M ve M nin birim normal vektör alanı N verilsin.

Eⁿ de Riemann konneksiyonu D olmak üzere, her X Є χ(M) için S (X) =DXN şeklinde tanımlı S dönüşümüne M üzerinde şekil operatörü veya M nin Weingarten dönüşümü denir (Hicks 1974).

Tanım 2.7.6: E³ de bir yüzey M olsun. M nin P noktasındaki şekil operatörü S(P) olmak üzere K: M→ R

P → K(P) = det S(P)

biçiminde tanımlanan fonksiyona M nin Gauss eğrilik fonksiyonu ve K(P) değerine de M nin P noktasındaki Gauss eğriliği denir.

H: M→ R P → H(P) = 1

2 İz S(P)

Biçiminde tanımlanan fonksiyona M nin Ortalama eğrilik fonksiyonu ve H(P) değerine de M nin P noktasındaki Ortalama eğriliği denir (Boothy1975).

3. E⁴ UZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER

3.1 E⁴ Uzayının Yapı Denklemleri

M², 2 boyutlu yönlendirilmiş kapalı yüzey, z: M² → E⁴ immersiyon, F(M²), F(E⁴) sırasıyla M² ve E⁴ ün yönlendirilmiş ortonormal çatıları olsun.

B cümlesi b = (p,e1,e2,e3 ,e4) elemanlarından oluşan bir cümle öyle ki;

(p,e1,e2) Є F(M²) ve (z(p),e1,e2,e3 ,e4) Є F(E⁴) çatılarının yönlendirmesi E⁴ ile benzer ayrıca ei ile dz(ei ) belirleniyor.

i = 1,2 ž: B→ F(E⁴)

ž(p) = (z(p),e1,e2,e3 ,e4) doğal olarak tanımlıdır. E⁴ ün yapı denklemleri

dz = ὡAeA dὡA = ὡA Λ ὡBA

deA = ὡABeB dὡAB = ὡAC Λ ὡCB

ὡAB + ὡBA = 0 A, B, C = 1, 2, 3, 4 dir.

ὡA ve ὡAB ler F(E⁴) üzerinde 1-formlardır.

ωA ve ωAB ,B üzerinde ὡA ve ὡAB lerden ž: B → F(E⁴) ile indirgenmiş 1-formları göstersin.

ω3 = ω4 = 0

ωi3 = A3i1ω1 + A3i2ω2

ωj4 = A4j1ω1 + A4j2ω2 i, j = 1,2 dir (Chen and Houh 1971).

3.2 Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total Mutlak Eğriliğin Hesaplanması

Teorem 3.2.1: M², 2-boyutlu yönlendirilmiş kapalı yüzey ve p noktasındaki Gauss eğriliği G(p) < 0, λ1 ikinci tipten 1 inci ve λ2 ikinci tipten 2 inci eğrilik olsun

U = { p Є M²; λ1(p) > 0 } V = { p Є M²; λ1(p) ≤ 0 }olarak tanımlayalım

p noktasında total mutlak eğrilik K^*(p)

V üzerinde; K^*(p) = - π G(p) ve (3.1) U üzerinde ;K^*(p) = (2α – π ) G(p) + 4 -λ1λ2 dir. (3.2)

İspat:(2.35) den G(p) = λ1(p) + λ2(p) dir.

z: M² → E⁴ immersiyon ve (p,e1,e2, ē3 , ē4), B→ F(M²) nin lokal cross sectionı olsun.

İmmersiyonun şekil operatörü Arij nin, lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ārij ile gösterilsin. r = 3, 4 için birim normal vektör

e = e4 = cosθ ē3 +sinθ ē4 ve A4ij = cosθ Ā3ij + sinθ Ā4ij de i, j =1, 2 için A411 = cosθ Ā311 + sinθ Ā411

A412 = cosθ Ā312 + sinθ Ā412

A421 = cosθ Ā321 + sinθ Ā421

A422 = cosθ Ā322 + sinθ Ā422

(p,er) de Lipschitz-Killing eğriliği

cosθ Ā311 + sinθ Ā411 cosθ Ā312 + sinθ Ā412

K(p,e) = det (A4ij) =

cosθ Ā321 + sinθ Ā421 cosθ Ā322 + sinθ Ā422

= (cosθ Ā311 + sinθ Ā411) )(cosθ Ā322 + sinθ Ā422 ) – (cosθ Ā312 + sinθ Ā412 )²

= [Ā311 Ā322 – (Ā312 )² ]cos²θ +[Ā311Ā422 + Ā411 Ā322 - 2Ā312 Ā412 ] cosθ sinθ + [Ā411 Ā422 – (Ā412)²]sin²θ dir.

Ā311Ā422 + Ā411 Ā322 - 2Ā312 Ā412 = 0 olacak şeklinde seçilirse

K(p,e) = λ1(p) cos²θ + λ2(p)sin²θ dir (3.3) λ1 ≥λ2 ve

λ1(p) = det (Ā3ij) λ2(p) = det (Ā4ij) dir.

V üzerinde λ1 ve λ2 negatif olacağından total eğrilik

K^*(p) =²

∫

0

| ) , (

|K p e d

= ²

∫

0

|λ1 cos ²θ + λ2 sin ²θ | dθ

= ²

∫

0

-(λ1 cos ²θ + λ2 sin ²θ ) dθ = - π( λ1 + λ2)

= - π G(p) dir.

U üzerinde λ1 pozitif olduğundan ve G(p) ≤ 0 durumu incelendiğinden λ2 negatifdir. Bu ise |λ2 |≥|λ1 | gerektirir.Total mutlak eğrilik

K^*(p) =²

∫

0

| ) , (

|K p e d

= ²

∫

0

|λ1 cos ²θ + λ2 sin ²θ | dθ

= 1 2 ²

∫

0

|(λ1 + λ2 ) +(λ1 - λ2 ) cos2θ | dθ

= 1

2 (λ¹ - λ2 ) ²

∫

0

| λ1 - λ2

λ 1 + λ 2 + cos2θ | dθ

cosα = - λ1 + λ2

λ 1 - λ 2 ; 0 < α ≤ П

2 olacak şekilde α açısı tanımlansın.

sinα = 2 -λ1 λ2

λ1 - λ1

K^*(p) = 1

2 (λ¹ - λ2 ) ²

∫

0

| cos2θ - cosα | dθ

= (λ1 - λ2 ) ^π

∫

0

| cost - cosα | dt

=(λ1 - λ2 )

∫

0

(cost - cosα ) dt - (λ1 - λ2 ) ^π

∫

α

( cost - cosα ) dt

K^*(p) = (2α – π ) G(p) + 4 -λ1λ2 dir (Chen and Houh 1971).

3. 3 E⁴ Uzayında II. Tipten Eğriliklere Dair Eşitsizlikler

Teorem 3.3.1 M², 2-boyutlu yönlendirilmiş kapalı yüzey ve p noktasındaki Gauss eğriliği G(p) < 0, λ1 ikinci tipten 1 inci ve λ2 ikinci tipten 2 inci eğrilik, dV hacim elementi olmak üzere

∫

U

-λ1λ2 dV ≥ 2π² + 1 2

∫

U

|αG|dV dir.

İspat:

∫

M

K^* dV =

∫

U

K^* dV +

∫

V

K^* dV

=

∫

U

[(2α – π ) G+ 4 -λ1λ2 ] dV +

∫

V

- π G dV

=

∫

U

- πG dV +

∫

V

- π G dV +2

∫

U

αGdV +

∫

U

4 -λ1λ2 ] dV

= - π

∫

M

GdV + 2

∫

U

αGdV +

∫

U

4 -λ1λ2 dV Gauss-Bonnet Formülünden

∫

M

GdV = 2π χ(M²) g yüzeyin genusu ise χ(M²) = 2 (1- g ) olduğunda

= 4π(1- g ) dir.

Chern-Lashof bir sonucu olarak total eğrilik Betti sayılarının toplamı β(M²) den büyüktür.

*

∫

M

K^* dV ≥ cn+N -1β(M²) eşitsizliğinden β(M²) = 2 + 2g ve

ck = 2[Γ(1

2 )]^k+1 Γ(k+1

2 )

bilinen formülüyle hesaplanır (Chern and Lashof 1957).

k=5 alındığında c5 = 2π²

Bu ifadeler * eşitsizliğinde yerine konursa

M

∫

K^* dV ≥2π²(2 + 2g)

∫

M

K^* dV ≥4π²(1 + g) dir.

∫

U

4 -λ1λ2 dV =

∫

M

K^* dV + π

∫

M

GdV + 2

∫

U

|αG|dV eşitliğinde elde edilen eşitsizlikler yerine konursa

U

∫

4 -λ1λ2 dV ≥ 4π²(1 + g)+ π 4π(1- g ) + 2

∫

U

|αG|dV

∫

U

-λ1λ2 dV ≥ 2π² + 1 2

∫

U

|αG|dV (3.4)

eşitsizliği elde edilir.

Eğer eşitlik sağlanıyorsa M² yüzeyine E⁴ de tightdır denir. Ancak eşitlik tight immersiyon olursa sağlanır ve yüzey E⁴ de konveks olur (Chen and Houh 1971).

Teorem 3. 3. 2: M² kapalı yönlendirilebilir yüzey ve z: M² →E⁴ immersiyon olsun.

Gauss eğriliği G ≤ 0 ise M² nin E⁴ deki ortalama eğriliği H için

[ ]

∫

∫

U U

2 2

2dV 4 G dV

H π α λ dir. (3.5)

Buradaki eşitlik M² nin E⁴ de tight olması ve G nin, U üzerinde sıfıra denk olması halinde geçerlidir.

İspat: (p, e1,e2, ē3, ē4) çatı ve ē4 e göre asli doğrultular e1,e2 olsun Ārij matrisinin bileşenleri gösterim kolaylığı için aşağıdaki gibi seçilsin.

Ā311 = a Ā312 = Ā 321 = c Ā 322 = b

Ā411 = d Ā412 = Ā421 = 0 Ā422 = e seçildiğinde

2 1 =ab−c

λ λ₂ =deolmak üzere ortalama eğrilik 4H² = (a+b)² + (d+e)²

4H² = (a+b)² + (d-e)² + 4de ≥4ab+4de +4de ≥8 abed +4de

≥8 −λ₁λ₂ +4λ2 (U üzerinde)

H² ≥ −λ₁λ₂ + λ2 eşitsizliği elde edilir.

∫

U

-λ1λ2 dV ≥ 2π² + 1 2

∫

U

|αG|dV olduğunu bölüm 3.3’den biliyoruz. Öyle ise

[ ]

∫

∫

U U

2 2

2dV 4 G dV

H π α λ dir.

Eğer

_∫

_∫ [

]

U U

2 2

2dV 4 G dV

H π α γ eşitliği olduğunda U üzerinde λ1 = - λ2 yani G ≡ 0 olur (Chen and Houh 1971).

Teorem 3. 3. 3: M² kapalı yönlendirilebilr yüzey z: M² →E⁴ immersiyon olsun.

∫

M

g dV 2 ( 1)

2 π π

λ dir. (3.6)

eşitlik ancak ve ancak M², E⁴ de tight ve flat ise gerçeklenir (Chen and Houh 1971).

Lemma 3. 3. 4: M² yüzeyinin E⁴ de bir immersiyonu z: M² →E⁴ olsun. O zaman M² nin her yerinde λ₁λ₂ ≤0 olur.

İspat : Sp z(p) de bütün birim normal vektörlerin cümlesi olsun. p∈ M² ve é , Sp de sabit nokta,

{ }

S^*_p = _p − olarak alalım. O zaman Sp ve S^*_püzerinde türevlenebilir olarak hareket eder. Asli eğrilikler k1(e) ve k2(e), e1(e) ve e2(e) ye göre S^*_püzerinde süreklidir. Şimdi kabul edelim k1(e)≠0 (bazı e∈S^*_p) olsun.

*

Sp üzerinde k1 sürekli olduğundan ve k1(-e) = - k1(e) olduğundan S^*_pın bazı noktalarında k1 = 0 olduğunu görürüz.

Bu ise Lipschitz – Killing eğriliği K(p,e) = 0 (bazı e∈S^*_piçin).

Buradan ve

K(p,e) = λ1(p) cos ²θ + λ2(p) sin ²θ , λ1(p) ≥ λ2(p) den

görürüz ki p noktasında λ₁λ₂ ≤0. Bu bütün p∈ M² noktaları için doğru olduğundan ispat tamamlanır.

Şimdi Teorem 3.3.2 nin ispatına dönecek olursak G(p) = λ₁(p)+λ₂(p) den elde ederiz ki