5. bölümde rijit cisimlerin düzlemsel kinemati ğinin ilişkilerini (denklemlerini) gördük. Bu bölümde bu ili şkileri kullanarak rijit cisimlerin iki boyutlu hareketinde kuvvetlerin etkisini inceleyece ğiz.

6 Rijit cisimlerin düzlemsel kineti ği

6.1 Giri ş

5. bölümde rijit cisimlerin düzlemsel kinemati ğinin ilişkilerini (denklemlerini) gördük. Bu bölümde bu ili şkileri kullanarak rijit cisimlerin iki boyutlu hareketinde kuvvetlerin etkisini inceleyece ğiz.

6. Bölüm 3. Bölüm gibi 3 kısımda (A, B, ve C) incelenecek. A kısmında kuvvetlerin

ve momentlerin lineer ivmesi ile açısal ivmesi arasındaki ba ğıntılar, B kısmında iş-

enerji ve C kısmında impuls-momentum ba ğıntılarını göreceğiz.

Kısım A : Kuvvet kütle ve ivme

6.2 Hareketin genel denklemleri

4. bölümde hareketin kuvvet ve moment vektörel e şitliklerini genel kütle sistemi için

bulduk Bunu şimdi 3 boyutlu rijit cisme uygulayalım.

Kuvvet e şitliği : ΣF=ma

Moment e şitliği : ΣM = Hɺ idi. G G

Düzlemsel hareketin denklemleri :

Daha evvel yazdı ğımız eşitlikleri düzlemsel harekete uygulayalım. Şekilde x-y

düzleminde hareket eden rijit bir cisim görüyoruz.

Cismin açısal hızı ve ivmesi pozitif z yönünde olsun, ω= ωk ve α = αk. Genel sistemin kütle merkezine göre (4. Bölümde) açısal momentumu H _G = Σ × ρ i m _i ρɺ formülü ile i

verilmi ştir.( ρ i , m i noktasal cismin kütle merkezine göre konum vektörü). Rijit cisim için kütle merkezi G'ye göre bir noktanın ba ğıl hızı ρ ω ρ ɺ _i = × _i dir. Bundan dolayı H G

açısal momentum vektörünün büyüklü ğü :

i

i

0 2

i i

, m ( )

m ( . ) ( .ω)

m

m i

= × = Σ × ×

= Σ − Σ

= Σ

i i g i i

G i i i i

G

ρ ω ρ H ρ ω ρ

H ρ ρ ω ρ ρ

H ρ ω

ɺ

Yukarıdaki e şitlikteki toplam terimi Σρ ^{2 i} m ⁱ , ∫ ( ) ^{ρ 2 dm} integrali ile ifade edilir. Bu ifade ( ∫ ^{ρ 2 dm} ) rijit cismin kütle merkezinden geçen z eksenine göre atalet momenti I _G olarakta tanımlanır. Bundan dolayı H G = I G ω yazılır. Böylece moment denklemi ;

G G G G

M H I ω=I α

Σ = ɺ = ɺ şeklini alır. Sonuç olarak rijit cisim için düzlemsel hareketin

denklemlerini, Σ = F m a ve _G Σ M _G = I _G α (B ĐRĐNCĐSĐ DÜZLEMDE ÖTELEME

ĐKĐNCĐSĐ DÜZLEMDE DÖNME) olarak elde etmiş olduk.

=ma _G

G

t t i

2

n n

G G

E ğrisel Koordinatlar:

F ma

F m a m ω=m F ma m ω M I

i i

ρ ρ α

ρ α Σ =

Σ = = Σ = = Σ =

ɺ

Serbest Cisim Diyagramı Kinetik Diyagramı

KARTEZYEN KOOR:

m

m m 4

m ( .)

x Gx

y Gy

z Gz

G G G

F a

F a Hareket Denklemi F a Kartezyen Koor

I M I α

Σ = 

Σ = ⇒ Σ =   Σ =   Σ = ⇒ Σ =  

G

G

F a

M α

Alternatif moment e şitliği (Denklemi)

4. Bölümde bir noktasal cisim sistemi için herhangi bir P noktasına göre moment denklemleri;

Σ M _p = H ɺ _G + ρ _G × m a _G şeklinde çıkartmıştık ( ρ _G = = ρ PG idi).

= ρ _G sin θ

m ,

= + × =

p G G G G

ΣM H ɺ ρ a ρ PG

Bu e şitliği 2 boyutlu rijit cisim için ΣM ^p = I G α+m a ^G d şeklinde yazabiliriz.

E ğer rijit cisim sabit bir O noktası etrafında dönüyorsa bu denklem ΣM ^o = I o α şeklini

alır.

m , I G | | I _G α

= + × = = ⇒ = =

p G G G G G G G

ΣM H ɺ ρ a ΣM H ɺ α H ɺ H ɺ

( ) G

m m sin π θ ρ _G a msinθ _G m a d

× = − = =

G G G G

ρ a ρ a

Hareket Düzlemi; ( m ) Har.Düzlemi

⊥ × ⊥

p G G

ΣM ρ a

O halde ΣM _p = I _G α + ma d _G “Düzlemsel Harekette”

p ba ğ

NOT: M Σ = ( H ɺ _p ) + ρ _G × m a _p idi. (4. Bölümde)

G

p bağ

P noktasını katı cismin sabit noktası alırsak M

dan H olur.

G G

p p

I H

I I m

α α

 Σ = = 

 

= Σ M _p = α ρ + _G × a _p

ɺ ɺ

p

p G

I : P den geçen eksene göre atalet momenti (Kütle) a ; P nin ivmesi ; ρ _G = PG dir. E ğer P PG=0 ise =

olur. P noktası G kütle merkezi rolünü oynar.

(skaler) Σ =

Σ =

p

p p

M I

M I

α

α

6.3 Ba ğımsız veya Bağımlı Katı Cisim Hareketi:

Şekildeki düşey düzlemde hareket eden roket bağımsız hareketli bir katı cisimdir.

Fiziksel olarak hareketini sınırlayan bir engel yoktur.

G

m

M I α

Σ = 

Σ =  

F a

denklemlerini uygulayarak

α açısal ivmesi ve a _x , a _y kütle merkezi ivmeleri hesaplanabilir.

AB çubu ğunun hareketi sınırlıdır. Bağımlı (Bağlı) hareket edebilir. Kütle merkezinin ivme bile şenleri ile çubuğun açısal ivmesi arasındaki bağıntı 5. bölümdeki kinematik bilgilerinden elde edilir sonra Σ = F m a ve Σ = M I α denklemleri uygulanır. Bu nedenle 5. Bölüm çok önemlidir.

6.4 Birbirine ba ğlı katı cisim sistemleri

Serbest Cisim Diyagramı

Kinetik Diagram

Cisimleri tekbir katı cisim sistemi saymak uygundur. A ba ğ noktasındaki kuvvet iç kuvvet olur. Dikkate alınmaz. Σ = F m a ve ΣM= Iα denklemlerini;

1 2

m m m

Σ = Σ F a = a 1 + a 2

Ve keyfi bir P noktasına göre tüm dı ş kuvvetlerin momentleri toplamı

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

I α ⁺ I α ⁺ m a d ⁺ m a d ^bile şkelerinin momentine eşit olur. Yani;

M p Iα m ad B

Σ = Σ + Σ şeklini alır.

A ve B denklemleri uygulanarak sistemin bilinmeyenleri çözülür. Denklem sayısı yetmez ise, sistem parçalara ayrılır her parça için Σ = F m a ve M Σ = I α

uygulanır. Veya V ĐRTÜEL iş ya da LAGRANGE denklemleri kullanılır.

6.5 Alan Atalet Momenti

Eksene Göre:

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

,

, Polar atalet momenti

( )

x

y

z

z x y

I y dA

I x dA r x y

I r dA

I x y dA x dA y dA I I

=

= = +

=

= + = + = +

∫

∫

∫

∫ ∫ ∫

Alan atalet momenti göz önüne alınan eksene göre

A alanının da ğılımının ölçümü olup, alanın sabit bir özelliğidir.

Boyutu: (uzaklı ğın) ⁴ = 4 ⇒ m dir. ⁴ (SI)

Gerçek cisimler için atalet momenti KÜTLE atalet momenti olarak hesaplanır.

Kütlenin sözkonusu eksene göre da ğılımının ölçümüdür. EKSENE GÖRE KÜTLE ATALET MOMENT Đ:

t

ω=r F

t

t

a r r

m ma

α θ

= =

Σ = F a ⇒ = ɺ ɺɺ

F =rαdm bulunur. Bunun OO′’ ne göre t

momenti r r ( α dm ) = r ² α dm dir.

Bu tür kuvvetlerin toplam momenti katı Cismin tüm noktaları için

r 2 α dm

∫ integrali ile hesaplanır.

NOT: F _n = mr ω nin OO ne göre momenti SIFIRDIR. ² ′

. ^dm,dV

ρ

r m α

O'

O

.

a _t norm a

al,n

F = Σ ΣΣ Σ F F _n

F _t

te ğet, t

a _n

2 2

, : tek M OO _′ = ∫ r α dm = α ∫ r dm α

r dm 2 = I

∫ ile gösterilir. Ve OO’ eksenine göre m kütlesinin KÜTLE ATALET MOMENT Đ adını alır.

I = ∫ r dm 2 , cismin α açısal ivmesine kar şı direncini temsil eder.

2 2

dm

r dm r ( ρdV), :

:

yo ğunluk

I V Hacim

= ∫ = ∫ ρ

2 sabit ise..Aksi halde integral içerisinde kalır.

I = ρ ∫ r dV ρ =

6.6 Atalet Yarıçapı (Radius Of Gyration)

O A

y

x G (x,y)

x

. y

000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000

A

k _x y

O x

A alanının x ekseninden uzaklı ğı k x

olan ince bir şeride sıkıştıralım.

2

x x

I = k A yazılır. k x ’e A alanının x eksenine göre atalet yarıçapı denir.

x x

k I

= A

2

y y

I = k A

A

k _y y

O x

00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000

y

O x

0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000

k _z .

A

NOT: A alanının göz önüne alınan eksene göre da ğılımının ölçümünü ATALET YARIÇAPI olarak tanımlarız.

Đndisi atarsak; m kütlesinin bir eksene göre atalet yarıçapı

y y

k I

= A

2 z

z z z

I k A k I

= ⇒ = A

veya I k 2 dir.

k I m

= m =

NOT: A alanının G kütle merkezinin x , y veya x , _G y koordinatları ile atalet yarıçapı _G karı ştırılmamalıdır.

2 , A alanının elemanlarının x eksenine olan uzaklıklarının ortalmasının karesidir.

y

2

k ise elemanların x eksenine olan uzaklıklarının karelerinin ortalamasıdır x

Yani I _x ≠ Ay ² (Ortalamanın karesi, karelerin ortalamasından daha küçük)

6.7 Alan Atalet Momentinin Nakli (Transfer Of Axes)

Kütle merkezinden geçen bir eksene göre bir cismin atalet momenti biliniyorsa,

paralel bir eksene göre atalet momentinin bulunması. Şekildeki iki paralele ekseni

alalım.

2 2 0

2

2

2

0 (Kütle merkezinin u koordinatı sıfırdır) I r dm d m d mdm

I I md I I md

= + +

= + +

= +

∫ ∫

2 2 2

; ve z yazılır.

x x x y y y z z

I = + I md I = + I md I = + I md

Düzlemsel harekette dönme, düzleme dik bir eksen etrafında olur. Bu nedenle kütle atalet momentini I = ∫ r dm ² şeklinde bir tek sembol ile gösteririz. Ve eğer levha x,y

2

2 2 2

2 2

2 2

,

2 cos

( 2 cos )

2 cos

o o

o o

o o

I r dm

r r d r d

I r d r d dm

I r dm d dm d r dm

θ θ

θ

=

= + +

= + +

= + +

∫

∫

∫ ∫ ∫

düzleminde hareket ediyorsa, O dan geçen z eksenine göre atalet momenti I 0 ile temsil edilir.

Üç boyutlu harekette ω = ω _x i + ω _y j + ω _z k olabilir. Bu durumda x,y,z eksenlerine göre

atalet momentlerini; I ;I ;I ile temsil ederiz. _{xx yy zz}

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( )

( )

( )

xx x

yy y

zz z

I r dm y z dm

I r dm x z dm

I r dm x y dm

= = +

= = +

= = +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Kütle atalet momenti ile Alan atalet momenti arasındaki benzerlik:

2 2

2

z

( dA) I

z

zz z z

zz z

I

I r dm r t

I t r dA t ρ

ρ ρ

= =

= =

∫ ∫

∫

Kütle atalet momenti birim alanın kütlesi ile I polar atalet momentinin çarpımına _z

e şittir. Benzer olarak

^x

xx I

Birim alanın kütlesi

I = ρ t ve

yy
y

Birim Alanın Kütlesi

I = ρ t I elde edilir.

Çift indis plakanın kütle atalet momentini ve tek indis plakanın ALAN atalet momentini temsil ediyor.

NOT: Alan Atalet momentinde I _z = + I _x I _y idi.

Kütle atalet momenti için

( )

xx yy x y x y z zz

I + I = ρ tI + ρ tI = ρ t I + I = ρ tI = I

NOT: Bu ba ğıntı t kalınlığının veya z koordinatlarının x ve y nin yanında küçük olması halinde geçerlidir.

zz xx yy

I = I + I

Bu ba ğıntı dz kalınlığındaki levha için diferansiyel kütle elemanı ile ilgilenildiği zaman yararlıdır.

Şeklinde uygulanır.

zz xx yy

dI = dI + dI

6.8 Parçalı Cisimler

I = ∫ r dm 2 ifadesi daima pozitiftir. Parçalı bir cismin bir eksene göre atalet momenti cismin her parçasının aynı eksene göre atalet momentlerinin toplamına e şittir. Pozitif ve negatif hacimler tanımlanabilir. Kesilip çıkartılan alan ve hacimler negatif ala ve hacim olarak alınır.

6.9 Atalet Çarpanları

Atalet çarpanları olarak tanımlanırlar

xy yx

xz zx

zy yz

I I xydm

I I xzdm

I I zydm

= = 

= =  

= =  

∫

∫

∫

Hesaplarda, alanlardaki gibi davranılır. Eksenlerin kaydırılması geçerlidir:

0 0

0 0 0 0

( )( )

xy

xy x y x y

I xydm x dx y dy dm

I x y dm d d dm d y dm d x dm

= = + +

= + + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

0 0 0 0

xy x y

I = I + mdxdy + +

I xz ve I yz için de benzer i şlem yapılır ve sıfır indisler atılırsa

xy xy

xz xz

yz yz

I I mdxdy I I mdxdz I I mdydz

= +

= +

= +

yazılır.

0 0

(x ,y )

6.10 Koordinat Merkezinden Geçen Herhangi Bir M Do ğrusuna Göre Atalet Momenti

1,

l,m,n do ğrultman kosinüsleri

= = + +

λ λ l i m j n k

[ ]

( ) ( ) ( )

2 M

M

2 2 2 2 2 2 2 2 2

M

I ( ) ( )

I ( ) ( )

[( ) ( )]

I 2 2 2 dm

h dm r r dm

x y z l m n

x y z l m n dm

y z l x z m x y n xyml xzln yzmn

λ λ

= = × ⋅ ×

= + + × + + ⋅

+ + × + +

 

=  + + + + + − − − 

∫ ∫

∫

∫

i j k i j k

i j k i j k

2 2 2

2 2 2 elde edilir.

M xx yy zz xy xz yz

I = I l + I m + I n − I lm − I ln − I mn

r × λ = | r || | sin λ θ = | r | sin θ = h h 2 = × λ ⋅ × λ (r ) (r )

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

I I I

I I I

 − 

 

− −

 

 − − 

 

Öyle x,y,z eksenleri bulabiliriz ki bu eksenlere göre yazılan I =I ; _{xy yx} I =I ; _{xz zx} I =I _{yz zy} Atalet çarpanları sıfır olur. Yani

0 0

0 0

0 0

xx

yy

zz

I

I

I

 

 

 

 

 

yazılır. Böyle eksenlere ASAL ATALET EKSENLER Đ denir. I ^xx ,

I yy , I zz lere de ASAL ATALET MOMENTLER Đ DENĐR.

NOT: Đki koordinat eksenini taşıyan birbirine dik iki düzlem verilen cismin SĐMETRĐ DÜZLEM Đ ise tüm ATALET ÇARPANLARI sıfırdır.

Đfadesine ATALET MATRĐSĐ veya ATALET

TENSÖRÜ denir. Verilen bir noktadan geçen

eksenlere göre atalet çarpanlarını ve atalet

momentlerini alıyoruz demektir.

Problem 6.1: Şekildeki alanın x ¹ x 1 ve y 1 y 1 eksenlerine göre atalet momentlerini bulunuz.

Çözüm:

G kütle merkezinden geçen x,y’ye göre:

x’e göre kesit alınır. I _x = ∫ dI _x

/ 2

2 2

x

/ 2

3 b/2 3

b/2

a/2 3 a/2 3

2 a/2 a/2

I y dA y a dy

a | ab

3 12

x |

3 12

b

b

x

y y

I y

x ba

I dI bdx b

−

−

− −

= =

= =

= = = =

∫ ∫

∫ ∫

Aynı i şlemler I x ₁ ve

y 1

I için farklı sınırlarla kullanılır.

00000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

x y ₁ y

x ₁ dx

dy

dA=ady

dA=b dx

b G

a

1

1

b 3

2 2

1

0

a 3

2 2

1

0

dA y ady ab

3 dA x bdx ba

3

x x

y y

I dI y

I dI x

= = = =

= = = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

NOT: aynı sonuçları iki katlı integral ile de elde ederiz.

2 2 2

1

0 0

3 b 3 a 3

3 1

0 0

0 0

3 a 3 b 3

2

1 0 0

0 0 0

( )

| 1 |

3 3 3 3

| dy= a |

3 3 3

a b x

a a

x

b a b

y

I y dA y dxdy y dy dx

y b ab

I dx dx b x

x y ab

I x dxdy

= = =

= = = =

= = =

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫ ∫

∫∫ ∫

Problem 6.2: Şekildeki yarım dairenin;

1-) I x , I y atalet momentlerini,

2-) Dairenin kalınlı ğı h m, maddenin yoğunluğu ρ gr/cm ³ ise I kütle atalet momentini ^' _x hesaplayınız. NOT: I ^' _x kütle atalet momentinin z koordinatına ba ğlı olmadığına dikkat ediniz.

Çözüm:

2

2 3 2

0 0

4 R 4

2 2

0 0 0

( )

( sin θ) sin θ

| sin θ sin θ

4 4

x

R x

x

dA rd dr rd dr

I y dA

I r rd dr r drd

r R

I d d

π

π π

θ θ

θ θ

θ θ

= =

=

= =

= =

∫∫

∫∫ ∫∫

∫ ∫

dr

rd θ (r+dr)d θ

R d θ

.

θ r y

x

4 4

0 0

4 4

1 cos 2θ 1

sin 2θ

4 2 4 2 4

4 2 8

x

x

R R

I d

R R

I

π θ θ π

π π

−

   

=     =   −  

=     =

 

∫

2 2 3 2

0 0 0 0

( cosθ) cos θdrd

R R

I y x dA R rdrd r

π π

θ θ

= ∫∫ = ∫∫ = ∫∫

4 R 4

2

0 0 0

1 cos 2θ

| cos θd

4 4 2

y

r R

I d

π π

θ ^{ + } θ

= =  

 

∫ ∫

4 4 4

0

sin 2θ

4 2 4 | 4 2 8

y

R R R

I

θ π π π

   

=  +  =   =

   

2-) Kütle Atalet Momenti: I _x ^' = ∫ ρ ² dm = ∫ y dm ²

' 2 2

x x

4 4

'

I ( ) I

8 8

dm

x

y hdA h y dA h

R R h

I h

ρ ρ ρ

π ρ π

ρ

= = =

 

=   =

 

∫ ∫

Problem 6.3: Şekildeki kanal kesitinin x ve y eksenlerine göre atalet momentini elde ediniz.

Çözüm: A alanı için

x A

I kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momentidir. Buna kısaca O merkezi atalet momenti de denir.

B alanları I = + I _G Ad ² geçerlidir.

2 xB x'B

'

I I ( )( )

A 2

dAy

ad b d

= + +

000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000

y

O

d B c

d x''

x'

0

A

d b

b

c dA' _y

dB' _y a

y' ₁ y' ₂

a

x

e

Bütün kanalın x eksenine göre atalet momenti

x xA xB

I = I + 2I yazılır.

Aynı I x momentini kanal kesitinin alanı

(2 2 )

Ç = a d + b dikdörtgeninden alanı D = c b (2 ) olan dikdörtgenin kesilip çıkarılması ile de elde ederiz. x ekseni bu iki dikdörtgen için de merkezi eksen oldu ğundan paralel eksen teoremine göre I x = I -I xC x _D yazılır. Bu yol daha kolaydır.

[ ( ) ²

2 ab b d

  +  

   

 

 

  hesabına gerek kalmaz]

I y nin hesabında her parça için paralel eksen teoremini kullanmak gereklidir. Bu nedenle parça sayısını minimumda tutmak yararlıdır. Alanı Ç = a b (2 + 2 ) d , D = a b (2 ) olan parçalarda hesap yapılırsa

2

2

(2 2 ) yD (2 )( )

2 2

y y G

a a

I I a b d  e  I c b e d

= + +   +   + + + +

elde edilir.

Problem 6.4: ab dikdörtgeninin x 1 , y 1 ve x 2 , y 2 eksenlerine göre atalet momentlerini bulunuz.

Çözüm:

2 1

2 3

1 1.

3 3

1

3 1

1 ( )

12

1 1

12 4

1 3

= +

= +      

= +

=

 

x x

x

Örnek

x

x

I I Ad

I ab ab a

b

I ab ab

I ab

O b

a

x ₁

y ₁ y ₂

x ₂ y

x a/2

b/2

2

2 3

1

1.

3 3 3

1

2 3

x2

3 3

3 3

2

2

2 3

2

3 2

1 ( )

12 2

1 1 1

bulunur.

12 4 3

I 1 ( )

12 2

1 4 1

12 4 12 3

1 ( )

12 2

1 3

y y

Örnek

y

x

x

y y

y

I I Ad ba ab a

I a b a b ba

I Ad ab ab b

b ab

I ab a ab

I I Ad ba ab a

I ba

= + = +      

= + =

= + = +      

= + = =

= + = +    

 

=

 

NOT: Kütle merkezinden e şit uzaklıkta olan paralel doğrulara göre atalet momentleri

e şittir. Çünkü hesaplarda uzaklığın karesi yer alır.

Problem 6.5: Örnek problem 3 deki kanal kesitinin x, x’ ve y eksenlerine göre atalet momentlerini a=10 cm b=9 cm, d=2 cm, e=4 cm için hesaplayınız. Ayrıca J 0 polar atalet momentini bulunuz.

Çözüm: A ve B parçalarının merkezlerinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini I A ve I _B ile gösterelim.

2 2

3

2 3

3 3 2

2( )

1 (2 ) (2 )(0) 12

2 1 ( )

12 2

1 1 2

(2 8) (2) 0 2 (2) (10) (10)(2)(8 )

12 12 2

x Ax A Ay Bx B By

x

x

I I A dA I A d

I b d bd

d a ad b d

I

= + + +

= + +

   

+ +

     

 

 

 

= × + +   + +  

000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000

y

O

d B c

d x''

x'

0

A

d b

b

c dA' _y

dB' _y a

y' ₁ y' ₂

a

x

e

4 4 4

2 2

2

3 3 2

3 2 3 2

683 2(6.7 1620) 3936

2( )

1 1

(2 ) (2 ) 2 ( )

12 2 12 2

1 1

(16)(2) 2(8 2)(4 1) 2 (2)(10) (10)(2)(4 5)

12 12

x

y Ay A Ax By B Bx

y

y

I cm cm cm

I I A dA I A d

d a

I h d bd e da ad e

I

= + + =

= + + +

 

 

= +   +   +   + +  

 

= + × + +   + +  

4 y

2 2

x1 ' '' ' '

3 2 3

x'

2 3

4 x'

4 0

I 4384 I

1 1

I (16) (2) (16)(2)(8 1) (10)(2)

12 12

(10)(2)(16 2) 1 (10)(2) 12

I 9768

3936 4384 8320

Ax A Ay Bx B By Bx

x y

cm

I A d I A d I

cm

J I I cm

=

= + + + +

= + + + +

+ +

=

= + = + =

Problem 5’e NOT: I x’ > I x dir. Bu normal, çünkü kanal kesitini x’ etrafında döndürmek x ekseni etrafında döndürmeye göre çok daha kolaydır. Ayrıca atalet momenti r ² ba ğlı oldu ğu için de normaldir.

Problem 6.6: Şekildeki üçgen alanı için I ^xy atalet çarpanını hesaplayınız.

Çözüm:

5 10 5 2 5

0 0 0 0

5 2 5

0 0

1 2

(dikdörtgenin yarısını A alarak)

1 1

2 2 2

1 100

25 |

2 2 2

25 (25) 312.5 2

xy

xy

xy

xy

I xydA

I xdx ydy x ydy

I ydy y

I

=

   

=   =  

 

 

= =

= =

∫

∫ ∫ ∫

∫

00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000

A

A dx

dy

O 10

5

y

x

Bu sonucu, sadece verilen A alanı için iki katlı integralle veya x ve y do ğrultusunda dx ve dy kesimleri alınarak A için tek katlı

integral ile de elde edebiliriz.

Problem 7: Şekildeki cismin asal atalet momentlerini hesaplayınız. Asal atalet eksenlerini belirleyiniz.

Çözüm:

x ve y eksenlerine göre I _x ve I _y yi hesaplayalım.

1 2

3 2 2

3 2 2

4

1 (10 )(1 ) (10 )(0,5 ) 12

1 (1 )(11 ) (11 )(6,5 ) 12

579

x x x

x

x

I I I

I cm cm cm cm

cm cm cm cm

I cm

= +

= +

+ +

=

Her alanın merkezsel ekseni simetri ekseni Oldu ğundan, her alanın merkezi eksenlere göre atalet çarpanı sıfırdır.

A ₁ A ₂

O

1 cm 1 cm

12 cm

y

x

1 2

3

2 2

4

1 (10 ) (1 ) 12

(10 )(0,5 ) 337

y y y

y

y

I I I

I cm cm

cm cm

I cm

= +

= +

=

2

1 2

2

4

2

2 mak,min

2

2 mak,min

4

mak min

0 (10 ) (5 )(0,5 ) 0 (11 )(0,5 )(6,5 )

60,75 Bu de ğerleri

I 2 2

formülünde yazarsak

579 337 579 337

I (60,75)

2 2

I 593, 4 ve I 332,

xy xy xy

xy

x y x y

xy

I I I cm cm cm

cm cm cm

I cm

I I I I

I

cm

= + = +

+ +

=

+  + 

= ±   +

 

+  − 

= ±     +

= = 6 ⁴

2 2160,75

tan 2 0,502

579 337

xy p

x y

cm I

I I

θ = = =

− −

2 θ _p = arctan(0,502) ⇒ θ _p = 13,3 veya 2
θ _p = − 153,3 ve
θ _p = − 76,7 bulunur.

θ saat yönünde ölçülür (I x eksenine göre).

X ekseninin 13,3 ^o dönmesi maksimum asal atalet eksenini ve aynı derece kadar y nin dönmesi de minimum atalet momentini verir.

Problem 6.8: Şekildeki vagon yoğunluğu ρ olan homojen bir dikdörtgen prizmadır.

Vagonun kütle atalet momentini x, AB ve OF’e göre hesaplayınız. Bilinen sonuçları kullanınız.

Çözüm:

2

x x1 1

1

I I md

d : x ile x' arasındaki uzaklık

= +

2 2

' ( )

x 12

I = m b + c

c F

G

B

D

E O

C

a

b y'

y

x' A C

z'

z

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

AB ' 2

2 2

2 2

'

2 2

( )

12 2 2

( ) ( ) ( )

12 4 3

Benzer şekilde AB için;

I

( )

12 2 2

( )

3

ve OF do ğrusu (Köşegeni için)

x

x

y

y

AB

m b c

I b c m

m m m

I b c b c b c

I md

m a c

I a c m

I m a c

     

= + +    +   

   

 

 

= + + + = +

= +

     

= + +    +   

   

 

 

= +

2 2 2

2 2 2

d x x y y z z xy x y yz y z xz x z

I = I n + I n + I n − I A A − I A A − I A A

2 2

2 2

2 2 2

' 3

2 2

belli; ( )

3

( )

12 2 2

( )

3

x y AB

z z

z

I I I m a c

m a b

I I md a b m

I m a b

= = +

     

= + = + +        +       

= +

' '

yz ' '

xz ' '

' ' ' ' ' '

0 2 2 4

burada dx; x' den x e dik uzaklık

I 0

2 2 4

I 0

2 2 4

0 çünkü cisim x', y', ' eksenlerine

xy x y

y z

x z

x y y z x z

a b mab

I I mdxdy m

b c mbc

I mdydz m

a c mac

I mdxdz m

I I I z

  

= + = +  −  −  =

  

  

= + = +  −  −  =

  

  

= + = +  −  −  =

  

= = = göre simetriktir.

OF do ğrusunun birim vektörü

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

c ,

| | a

bulunur. Böylece

( ) ( )(0)

3 3

( ) 2 (0) 2 (0) 2

3 4 4 4

3

x y

OF d

OF

a a c

n n

c a c a c

m c m

I I b c a c

a c

m c mab mbc mac ac

a b

a c a c

m a b b c

I a c

= = + ⇒ = =

+ + +

 

= = +   +   + +

        

+ +   +   −     −     −     +  

 + 

=   +  

OF i k

n OF

2 2

2 2

2 2 2

2 2

6 2

OF d

m a c b a c

m a c

I I b

a c

 

+   +  

 

= =   + +  

Problem 9: m kütleli, r yarıçaplı dik silindirin O-O eksenine göre atalet momentini ve atalet yarıçapını bulunuz.

Çözüm:

Kütle elemanı

0 0

2

O-O 0

2 2

2 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0

4 r 4

2 2

0 2

yo ğunluk I

( )

2 1 ( )

4 2 2

1 2

r r

dV t r dr d

I r dm

I r tr dr d t r dr d

r t r

I t r r

I mr cevap

π π

ρ ρ θ

ρ

ρ θ ρ θ

ρ π ρ π ρπ

=

=

= =

= =

 

=   = =

 

=

∫

∫ ∫ ∫ ∫

O

dr ₀

r ₀ t d θ

. .

O

Atalet yarıçapı

1 2

2

2

I mr r

k k cevap

m m

= = =

Problem 10 : r yarıçaplı dolu bir kürenin (homojen) bir çapına göre atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.

Çözüm :

Yarıçapı y ve kalınlı ğı dx olan küre kesitini alalım. 9. problemden bu elemansel (silindirin) atalet momenti

2 2 2

2 2

1 1

( ) ( )

2 2

( ) , .

2

xx

xx

dI dm y y dx y

dI r x dx sbt

πρ

ρπ ρ

= =

= − =

x

y

x r

r

y

x

dx

2 2

5 3 2

2

2

Toplam moment

( )

2

8 2 4

15 5 3

2 5

2

I 5 2

Atalet yarıçapı k= k

m 5

r

xx xx

r

xx

xx

I dI r x dx

I r r r

I mr Cevap

mr

r cevap m

πρ

πρ π ρ

+

−

= = −

 

= =  

 

=

= =

∫ ∫

Problem 6.11: m kütleli dikdörtgen prizmanın merkezi x 0 ve z eksenlerine göre ve prizmanın bir ucundaki x eksenine göre atalet momentini bulunuz.

Çözüm: