Green Fonksiyonu Bu bölümde
p 0 (x) y 00 + p 1 (x) y 0 + p 2 (x) y = f (x) (1)
` 1 [y] = a 0 y (a) + a 1 y 0 (a) + 0 y (b) + 1 y 0 (b) = A (2)
` 2 [y] = 0 y (a) + 1 y 0 (a) + b 0 y (b) + b 1 y 0 (b) = B homogen olmayan BVP ve homogen
p 0 (x) y 00 + p 1 (x) y 0 + p 2 (x) y = 0 (3)
` 1 [y] = 0; ` 2 [y] = 0 (4)
BVP yi ele alal¬m. ¸ Simdi homogen (3) (4) BVP için Green fonksiyonu olarak adland¬r¬lan bir G (x; t) fonksiyonu bulaca¼ g¬z ve homogen olmayan (1) ; (4) BVP nin çözümünün G (x; t) cinsinden aç¬k olarak ifade edilebildi¼ gini gösterece¼ giz.
Daha sonra (1) (2) BVP nin çözümü de Green fonksiyonu cinsinden hesaplan- abilecektir. Bundan böyle homogen (3) (4) probleminin sadece a¸ sikar çözüme sahip oldu¼ gu kabul edilecektir.
Tan¬m. [a; b] [a; b] karesel bölgesinde tan¬ml¬ ve a¸ sa¼ g¬daki özelliklere sahip olan bir G (x; t) fonksiyonuna (3) (4) homogen BVP için Green fonksiyonu denir:
(i) G (x; t), [a; b] [a; b] içinde süreklidir;
(ii) @G (x; t)
@x ; a x t ve t x b üçgensel bölgelerinde sürekli olup
@G (t + ; t)
@x
@G (t ; t)
@x = 1
p 0 (t) dir; burada
@G (t + ; t)
@x = lim
x !t x>t
@G (x; t)
@x ; @G (t ; t)
@x = lim
x !t x<t
@G (x; t)
@x ;
(iii) Her t 2 [a; b] için z (x) = G (x; t) fonksiyonu a x < t ve t < x b aral¬klar¬n¬n her birinde (3) homogen denklemini sa¼ glar;
(iv) Her t 2 [a; b] için z (x) = G (x; t) fonksiyonu (4) homogen s¬n¬r ko¸sullar¬n¬
sa¼ glar.
Green fonksiyonu a¸ sa¼ g¬daki gibi bulunur:
(3) ün lineer ba¼ g¬ms¬z iki çözümü y 1 (x) ve y 2 (x) olsun. Bu durumda G (x; t) Green fonksiyonu
G (x; t) = y 1 (x) 1 (t) + y 2 (x) 2 (t) ; a x t;
y 1 (x) 1 (t) + y 2 (x) 2 (t) + y 1 (x) 1 (t) + y 2 (x) 2 (t) ; t x b;
¸ seklinde tan¬mlan¬r. Burada 1 (t) ve 2 (t)
y 1 (t) 1 (t) + y 2 (t) 2 (t) = 0 y 1 0 (t) 1 (t) + y 0 2 (t) 2 (t) = p 1
0
