Bu bölümde

(1)

Elemanter fonksiyonlarla yakla¸s¬m ve hata

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü

Kas¬m, 2018

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü)Bölüm 5 Kas¬m, 2018 1 / 48

(2)

Elemanter fonksiyonlarla yakla¸s¬m ve hata

Bu bölümde

Bu bölümde öncelikle verilen bir ayr¬k veri kümesi için

standart ve

a¼ g¬rl¬kl¬en küçük kareler yöntemi ile en uygun yakla¸s¬m polinomunun nas¬l belirlenece¼ gini inceliyoruz. Ayr¬ca

standart en küçük kareler yöntemi ile bir aral¬k üzerinde verilen herhangi bir sürekli fonksiyona daha basit fonksiyonlarla uygun yakla¸s¬mlar¬n nas¬l gerçekle¸stirilebilece¼ gini inceliyoruz .

(3)

Elemanter fonksiyonlarla yakla¸s¬m ve hata

Bu bölümde

Bu bölümde öncelikle verilen bir ayr¬k veri kümesi için standart ve

a¼ g¬rl¬kl¬en küçük kareler yöntemi ile en uygun yakla¸s¬m polinomunun nas¬l belirlenece¼ gini inceliyoruz. Ayr¬ca

standart en küçük kareler yöntemi ile bir aral¬k üzerinde verilen herhangi bir sürekli fonksiyona daha basit fonksiyonlarla uygun yakla¸s¬mlar¬n nas¬l gerçekle¸stirilebilece¼ gini inceliyoruz .

(4)

Elemanter fonksiyonlarla yakla¸s¬m ve hata

Bu bölümde

Bu bölümde öncelikle verilen bir ayr¬k veri kümesi için standart ve

a¼ g¬rl¬kl¬en küçük kareler yöntemi ile en uygun yakla¸s¬m polinomunun nas¬l belirlenece¼ gini inceliyoruz. Ayr¬ca

standart en küçük kareler yöntemi ile bir aral¬k üzerinde verilen herhangi bir sürekli fonksiyona daha basit fonksiyonlarla uygun yakla¸s¬mlar¬n nas¬l gerçekle¸stirilebilece¼ gini inceliyoruz .

(5)

Elemanter fonksiyonlarla yakla¸s¬m ve hata

Bu bölümde

Bu bölümde öncelikle verilen bir ayr¬k veri kümesi için standart ve

a¼ g¬rl¬kl¬en küçük kareler yöntemi ile en uygun yakla¸s¬m polinomunun nas¬l belirlenece¼ gini inceliyoruz. Ayr¬ca

standart en küçük kareler yöntemi ile bir aral¬k üzerinde verilen herhangi bir sürekli fonksiyona daha basit fonksiyonlarla uygun yakla¸s¬mlar¬n nas¬l gerçekle¸stirilebilece¼ gini inceliyoruz .

(6)

Ayr¬k veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yakla¸s¬m

Hata içeren noktalardan geçen yüksek dereceli interpolasyon polinomunu bulmak yerine,

hatal¬veri kümesine yeterince yak¬n noktalardan geçen daha dü¸sük dereceli polinomu belirleyerek,

interpolasyon i¸slemini elde edilen dü¸sük dereceli polinomla gerçekle¸stirmek daha ak¬lc¬bir yöntemdir.

(7)

Ayr¬k veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yakla¸s¬m

Hata içeren noktalardan geçen yüksek dereceli interpolasyon polinomunu bulmak yerine,

hatal¬veri kümesine yeterince yak¬n noktalardan geçen daha dü¸sük dereceli polinomu belirleyerek,

interpolasyon i¸slemini elde edilen dü¸sük dereceli polinomla gerçekle¸stirmek daha ak¬lc¬bir yöntemdir.

(8)

Ayr¬k veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yakla¸s¬m

Hata içeren noktalardan geçen yüksek dereceli interpolasyon polinomunu bulmak yerine,

hatal¬veri kümesine yeterince yak¬n noktalardan geçen daha dü¸sük dereceli polinomu belirleyerek,

interpolasyon i¸slemini elde edilen dü¸sük dereceli polinomla gerçekle¸stirmek daha ak¬lc¬bir yöntemdir.

(9)

Standart En Küçük Kareler yöntemi(EKKY) ile yakla¸s¬m

Veri kümemizin

( x

1

, y

1

) , ( x

2

, y

2

) , . . . , ( x

m

, y

m

)

nokta çiftlerinden olu¸stu¼ gunu ve bu nokta çiftlerine en yak¬n P

₁

( x ) = a + bx

polinomunu belirlemek istedi¼ gimizi kabul edelim .

Bu durumda en uygun ölçü iki normu yard¬m¬yla E ( a, b ) =

∑

m i=1

( P

1

( x

i

) y

i

)

²

=

∑

m i=1

( a + bx

i

y

i

)

²

(1) ile tan¬mlanmaktad¬r.

(10)

Standart En Küçük Kareler yöntemi(EKKY) ile yakla¸s¬m

Veri kümemizin

( x

1

, y

1

) , ( x

2

, y

2

) , . . . , ( x

m

, y

m

)

nokta çiftlerinden olu¸stu¼ gunu ve bu nokta çiftlerine en yak¬n P

₁

( x ) = a + bx

polinomunu belirlemek istedi¼ gimizi kabul edelim . Bu durumda en uygun ölçü iki normu yard¬m¬yla

E ( a, b ) =

∑

m i=1

( P

1

( x

i

) y

i

)

²

=

∑

m i=1

( a + bx

i

y

i

)

²

(1) ile tan¬mlanmaktad¬r.

(11)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Amac¬m¬z E ( a, b ) yi minimum yapan a ve b de¼ gerlerini belirlemektir.

Sözkonusu minimum nokta için gerek ¸sart (yeter ¸sart de¼ gil!)

∂E

∂a = 0, ∂E

∂b = 0

∂E

∂a = 2

∑

m i=1

( a + bx

_i

y

_i

) = 0 ) ^ma +

∑

m i=1

x

_i

! b =

∑

m i=1

y

_i

(2)

∂E

∂b = 2

∑

m i=1

( a + bx

_i

y

_i

) x

_i

= 0 )

∑

m i=1

x

_i

! a +

∑

m i=1

x

_i²

! b =

∑

m i=1

x

_i

y

_i

(3) elde ederiz.

(12)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Amac¬m¬z E ( a, b ) yi minimum yapan a ve b de¼ gerlerini belirlemektir.

Sözkonusu minimum nokta için gerek ¸sart (yeter ¸sart de¼ gil!)

∂E

∂a = 0, ∂E

∂b = 0

∂E

∂a = 2

∑

m i=1

( a + bx

_i

y

_i

) = 0 ) ^ma +

∑

m i=1

x

_i

! b =

∑

m i=1

y

_i

(2)

∂E

∂b = 2

∑

m i=1

( a + bx

_i

y

_i

) x

_i

= 0 )

∑

m i=1

x

_i

! a +

∑

m i=1

x

_i²

! b =

∑

m i=1

x

_i

y

_i

(3) elde ederiz.

(13)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Amac¬m¬z E ( a, b ) yi minimum yapan a ve b de¼ gerlerini belirlemektir.

Sözkonusu minimum nokta için gerek ¸sart (yeter ¸sart de¼ gil!)

∂E

∂a = 0, ∂E

∂b = 0

∂E

∂a = 2

∑

m i=1

( a + bx

_i

y

_i

) = 0 ) ^ma +

∑

m i=1

x

_i

! b =

∑

m i=1

y

_i

(2)

∂E

∂b = 2

∑

m i=1

( a + bx

_i

y

_i

) x

_i

= 0 )

∑

m i=1

x

_i

! a +

∑

m i=1

x

_i²

! b =

∑

m i=1

x

_i

y

_i

(3) elde ederiz.

(14)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Amac¬m¬z E ( a, b ) yi minimum yapan a ve b de¼ gerlerini belirlemektir.

Sözkonusu minimum nokta için gerek ¸sart (yeter ¸sart de¼ gil!)

∂E

∂a = 0, ∂E

∂b = 0

∂E

∂a = 2

∑

m i=1

( a + bx

_i

y

_i

) = 0 ) ^ma +

∑

m i=1

x

_i

! b =

∑

m i=1

y

_i

(2)

∂E

∂b = 2

∑

m i=1

( a + bx

_i

y

_i

) x

_i

= 0 )

∑

m i=1

x

_i

! a +

∑

m i=1

x

_i²

! b =

∑

m i=1

x

_i

y

_i

(3) elde ederiz.

(15)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

(2) ve (3) sistemi çözülerek a ve b de¼ gerleri ve dolay¬s¬yla da istenilen P

₁

( x ) polinomu elde edilmi¸s olunur.(1) daki karelerin toplam¬n¬

minimize etmek(en küçük yapmak) için kullan¬lan bu yönteme, En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) ad¬verilir.

Öte yandan (2) ve (3) sistemi matris-vektör notasyonu yard¬m¬yla da ifade edilebilir:

1 = [ 1, 1, , 1 ]

^T

, ( m elemanl¬ ) x = [ x

1

, x

2

, , x

m

]

^T

,

y = [ y

₁

, y

₂

, , y

_m

]

^T

, u = [ a, b ]

^T

vektörleri ile

(16)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

(2) ve (3) sistemi çözülerek a ve b de¼ gerleri ve dolay¬s¬yla da istenilen P

₁

( x ) polinomu elde edilmi¸s olunur.(1) daki karelerin toplam¬n¬

minimize etmek(en küçük yapmak) için kullan¬lan bu yönteme, En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) ad¬verilir.

Öte yandan (2) ve (3) sistemi matris-vektör notasyonu yard¬m¬yla da ifade edilebilir:

1 = [ 1, 1, , 1 ]

^T

, ( m elemanl¬ ) x = [ x

1

, x

2

, , x

m

]

^T

,

y = [ y

₁

, y

₂

, , y

_m

]

^T

, u = [ a, b ]

^T

vektörleri ile

(17)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

(2) ve (3) sistemi çözülerek a ve b de¼ gerleri ve dolay¬s¬yla da istenilen P

₁

( x ) polinomu elde edilmi¸s olunur.(1) daki karelerin toplam¬n¬

minimize etmek(en küçük yapmak) için kullan¬lan bu yönteme, En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) ad¬verilir.

Öte yandan (2) ve (3) sistemi matris-vektör notasyonu yard¬m¬yla da ifade edilebilir:

1 = [ 1, 1, , 1 ]

^T

, ( m elemanl¬ ) x = [ x

1

, x

2

, , x

m

]

^T

,

y = [ y

₁

, y

₂

, , y

_m

]

^T

, u = [ a, b ]

^T

vektörleri ile

(18)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

u = [ a, b ]

^T

bilinmeyen vektörü

A = [ 1 x ] matrisi ile

A

^T

Au = A

^T

y (4)

sisteminin çözümü olarak elde edilir.

(19)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

u = [ a, b ]

^T

bilinmeyen vektörü

A = [ 1 x ] matrisi ile

A

^T

Au = A

^T

y (4)

sisteminin çözümü olarak elde edilir.

(20)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Örnek

( 0, 0 ) , ( 1, 3/2 ) , ( 2, 1/2 ) , ( 3, 4 ) , ( 4, 3 ) noktalar¬için P

₁

( x ) = a + bx

biçimindeki birinci dereceden en iyi yakla¸ s¬m polinomunu En Küçük Kareler Yöntemini kullanarak belirleyiniz.

(21)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Örne¼ gimiz için

A = 2 6 6 6 6 4

1 0 1 1 1 2 1 3 1 4

3 7 7 7 7 5 , y =

2 6 6 6 6 4

0 3/2 1/2 4 3

3 7 7 7 7 5

ile

A

^T

A = ⁵ ¹⁰

10 30 , A

^T

y = ¹⁰ 53/2 olup, bilinmeyen vektörü u = [ a b ]

^T

olmak üzere, (4) den

5a + 10b = 10 10a + 30b = 53/2 denklem sistemini elde ederiz.

(22)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Örne¼ gimiz için

A = 2 6 6 6 6 4

1 0 1 1 1 2 1 3 1 4

3 7 7 7 7 5 , y =

2 6 6 6 6 4

0 3/2 1/2 4 3

3 7 7 7 7 5

ile

A

^T

A = ⁵ ¹⁰

10 30 , A

^T

y = ¹⁰ 53/2 olup, bilinmeyen vektörü u = [ a b ]

^T

olmak üzere, (4) den

5a + 10b = 10 10a + 30b = 53/2 denklem sistemini elde ederiz.

(23)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Bu sistemi çözerek,

a = 1/10; b = 17/20 elde ederiz. Elde edilen

P

₁

( x ) = 1/10 + 17/20x

do¼ grusunun ( ) ile belirtilen verilere uygun mesafelerden geçerek (1) ile verilen E ( a, b ) hatas¬n¬minimize etmeye çal¬¸st¬¼ g¬görülmektedir.

(24)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Figure: P

₁

( x ) polinomu, nokta çiftleri( )

(25)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Örnek

Verilen ( x

i

, y

i

) , i = 1, 2, , m noktalar¬na uygun P

1

( x ) = a + bx polinomunu belirleyerek, 1 ile verilen hatay¬belirledikten sonra

t 2 ( ^min

1 i m

( x

i

) , max

1 i m

( x

i

)) için t noktas¬ndaki de¼geri P

1

( x ) yard¬m¬yla tahmin

[ toplam_hata, tahmin ] = ekky 1 ( x, y , t )

komutu ile çal¬¸ san bir En Küçük Kareler Yöntemi uygulamas¬geli¸ stiriniz.

Burada x ve y s¬ras¬yla nokta çiftlerinin apsis ve ordinatlar¬n¬içeren vekörlerdir.

(26)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m algoritmas¬

Algoritma

1

Girdi(x, y )

2

m : = x in eleman say¬s¬

3

x : = x

^T

, y : = y

^T

sütun vektörini tan¬mlayal¬m.

4

birler isimli m bile¸ senli 1 rakamlar¬ndan olu¸ san sütun vektörünü tan¬mlayal¬m.

5

A : = [ birler x ] matrisini olu¸ stur.

6

B : = A

^T

A matrisi ve c : = A

^T

y vektörünü olu¸ stur

7

Bu = c sistemini çözerek u : = [ a b ]

^T

bilinmeyenlerini belirle

8

( x, y ) ikililerinin eksende yerlerini i¸ saretle

9

p ( x ) = a + bx polinomunun gra…¼gini ayn¬eksende çizdir.

10

a ve b de¼gerlerini geri gönder

(27)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m algoritmas¬

Algoritma

1

Girdi(x, y )

2

m : = x in eleman say¬s¬

3

x : = x

^T

, y : = y

^T

sütun vektörini tan¬mlayal¬m.

4

birler isimli m bile¸ senli 1 rakamlar¬ndan olu¸ san sütun vektörünü tan¬mlayal¬m.

5

A : = [ birler x ] matrisini olu¸ stur.

6

B : = A

^T

A matrisi ve c : = A

^T

y vektörünü olu¸ stur

7

Bu = c sistemini çözerek u : = [ a b ]

^T

bilinmeyenlerini belirle

8

( x, y ) ikililerinin eksende yerlerini i¸ saretle

9

p ( x ) = a + bx polinomunun gra…¼gini ayn¬eksende çizdir.

10

a ve b de¼gerlerini geri gönder

(28)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m algoritmas¬

Algoritma

1

Girdi(x, y )

2

m : = x in eleman say¬s¬

3

x : = x

^T

, y : = y

^T

sütun vektörini tan¬mlayal¬m.

4

birler isimli m bile¸ senli 1 rakamlar¬ndan olu¸ san sütun vektörünü tan¬mlayal¬m.

5

A : = [ birler x ] matrisini olu¸ stur.

6

B : = A

^T

A matrisi ve c : = A

^T

y vektörünü olu¸ stur

7

Bu = c sistemini çözerek u : = [ a b ]

^T

bilinmeyenlerini belirle

8

( x, y ) ikililerinin eksende yerlerini i¸ saretle

9

p ( x ) = a + bx polinomunun gra…¼gini ayn¬eksende çizdir.

10

a ve b de¼gerlerini geri gönder

(29)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m algoritmas¬

Algoritma

1

Girdi(x, y )

2

m : = x in eleman say¬s¬

3

x : = x

^T

, y : = y

^T

sütun vektörini tan¬mlayal¬m.

4

birler isimli m bile¸ senli 1 rakamlar¬ndan olu¸ san sütun vektörünü tan¬mlayal¬m.

5

A : = [ birler x ] matrisini olu¸ stur.

6

B : = A

^T

A matrisi ve c : = A

^T

y vektörünü olu¸ stur

7

Bu = c sistemini çözerek u : = [ a b ]

^T

bilinmeyenlerini belirle

8

( x, y ) ikililerinin eksende yerlerini i¸ saretle

9

p ( x ) = a + bx polinomunun gra…¼gini ayn¬eksende çizdir.

10

a ve b de¼gerlerini geri gönder

(30)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m algoritmas¬

Algoritma

1

Girdi(x, y )

2

m : = x in eleman say¬s¬

3

x : = x

^T

, y : = y

^T

sütun vektörini tan¬mlayal¬m.

4

birler isimli m bile¸ senli 1 rakamlar¬ndan olu¸ san sütun vektörünü tan¬mlayal¬m.

5

A : = [ birler x ] matrisini olu¸ stur.

6

B : = A

^T

A matrisi ve c : = A

^T

y vektörünü olu¸ stur

7

Bu = c sistemini çözerek u : = [ a b ]

^T

bilinmeyenlerini belirle

8

( x, y ) ikililerinin eksende yerlerini i¸ saretle

9

p ( x ) = a + bx polinomunun gra…¼gini ayn¬eksende çizdir.

10

a ve b de¼gerlerini geri gönder

(31)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m algoritmas¬

Algoritma

1

Girdi(x, y )

2

m : = x in eleman say¬s¬

3

x : = x

^T

, y : = y

^T

sütun vektörini tan¬mlayal¬m.

4

birler isimli m bile¸ senli 1 rakamlar¬ndan olu¸ san sütun vektörünü tan¬mlayal¬m.

5

A : = [ birler x ] matrisini olu¸ stur.

6

B : = A

^T

A matrisi ve c : = A

^T

y vektörünü olu¸ stur

7

Bu = c sistemini çözerek u : = [ a b ]

^T

bilinmeyenlerini belirle

8

( x, y ) ikililerinin eksende yerlerini i¸ saretle

9

p ( x ) = a + bx polinomunun gra…¼gini ayn¬eksende çizdir.

10

a ve b de¼gerlerini geri gönder

(32)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m algoritmas¬

Algoritma

1

Girdi(x, y )

2

m : = x in eleman say¬s¬

3

x : = x

^T

, y : = y

^T

sütun vektörini tan¬mlayal¬m.

4

birler isimli m bile¸ senli 1 rakamlar¬ndan olu¸ san sütun vektörünü tan¬mlayal¬m.

5

A : = [ birler x ] matrisini olu¸ stur.

6

B : = A

^T

A matrisi ve c : = A

^T

y vektörünü olu¸ stur

7

Bu = c sistemini çözerek u : = [ a b ]

^T

bilinmeyenlerini belirle

8

( x, y ) ikililerinin eksende yerlerini i¸ saretle

9

p ( x ) = a + bx polinomunun gra…¼gini ayn¬eksende çizdir.

10

a ve b de¼gerlerini geri gönder

(33)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m algoritmas¬

Algoritma

1

Girdi(x, y )

2

m : = x in eleman say¬s¬

3

x : = x

^T

, y : = y

^T

sütun vektörini tan¬mlayal¬m.

4

birler isimli m bile¸ senli 1 rakamlar¬ndan olu¸ san sütun vektörünü tan¬mlayal¬m.

5

A : = [ birler x ] matrisini olu¸ stur.

6

B : = A

^T

A matrisi ve c : = A

^T

y vektörünü olu¸ stur

7

Bu = c sistemini çözerek u : = [ a b ]

^T

bilinmeyenlerini belirle

8

( x, y ) ikililerinin eksende yerlerini i¸ saretle

9

p ( x ) = a + bx polinomunun gra…¼gini ayn¬eksende çizdir.

10

a ve b de¼gerlerini geri gönder

(34)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m algoritmas¬

Algoritma

1

Girdi(x, y )

2

m : = x in eleman say¬s¬

3

x : = x

^T

, y : = y

^T

sütun vektörini tan¬mlayal¬m.

4

birler isimli m bile¸ senli 1 rakamlar¬ndan olu¸ san sütun vektörünü tan¬mlayal¬m.

5

A : = [ birler x ] matrisini olu¸ stur.

6

B : = A

^T

A matrisi ve c : = A

^T

y vektörünü olu¸ stur

7

Bu = c sistemini çözerek u : = [ a b ]

^T

bilinmeyenlerini belirle

8

( x, y ) ikililerinin eksende yerlerini i¸ saretle

9

p ( x ) = a + bx polinomunun gra…¼gini ayn¬eksende çizdir.

10

a ve b de¼gerlerini geri gönder

(35)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m algoritmas¬

Algoritma

1

Girdi(x, y )

2

m : = x in eleman say¬s¬

3

x : = x

^T

, y : = y

^T

sütun vektörini tan¬mlayal¬m.

4

birler isimli m bile¸ senli 1 rakamlar¬ndan olu¸ san sütun vektörünü tan¬mlayal¬m.

5

A : = [ birler x ] matrisini olu¸ stur.

6

B : = A

^T

A matrisi ve c : = A

^T

y vektörünü olu¸ stur

7

Bu = c sistemini çözerek u : = [ a b ]

^T

bilinmeyenlerini belirle

8

( x, y ) ikililerinin eksende yerlerini i¸ saretle

9

p ( x ) = a + bx polinomunun gra…¼gini ayn¬eksende çizdir.

10

a ve b de¼gerlerini geri gönder

(36)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A’A; c=A’y; u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy);

a=u(1);b=u(2);

(37)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1);

A=[birler x]; B=A’A; c=A’y; u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy);

a=u(1);b=u(2);

(38)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1);

A=[birler x];

B=A’A; c=A’y; u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy);

a=u(1);b=u(2);

(39)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1);

A=[birler x];

B=A’*A;

c=A’*y; u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy);

a=u(1);b=u(2);

(40)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1);

A=[birler x];

B=A’*A;

c=A’*y;

u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy);

a=u(1);b=u(2);

(41)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1);

A=[birler x];

B=A’*A;

c=A’*y;

u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy);

a=u(1);b=u(2);

(42)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1);

A=[birler x];

B=A’*A;

c=A’*y;

u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx;

xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy);

a=u(1);b=u(2);

(43)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1);

A=[birler x];

B=A’*A;

c=A’*y;

u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx;

xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy);

a=u(1);b=u(2);

(44)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1);

A=[birler x];

B=A’*A;

c=A’*y;

u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx;

xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on;

yy=p(xx); plot(xx,yy); a=u(1);b=u(2);

(45)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1);

A=[birler x];

B=A’*A;

c=A’*y;

u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx;

xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on;

yy=p(xx); plot(xx,yy);

a=u(1);b=u(2);

(46)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

function [a,b]=ekky1(x,y) x=x’;y=y’;m=length(x);

birler=ones(m,1);

A=[birler x];

B=A’*A;

c=A’*y;

u=B n ^c;

p=@(xx) u(1)+u(2)*xx;

xx=x(1):0.1:x(end);

plot(x,y,’*’,’markersize’,10); hold on;

yy=p(xx); plot(xx,yy);

a=u(1);b=u(2);

(47)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Test

>> x=[0 1 2 3 4];

>> y=[0 3/2 1/2 4 3];

>> [a,b]=ekky1(x,y) a = 1/10

b = 17/20

(48)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

E¼ ger

P

₂

( x ) = a + bx + cx

²

biçiminde olup, veri kümesine en iyi yakla¸san ikinci dereceden

polinomu belirlemek istersek yine ayn¬i¸slemleri takip ederiz, ancak bu defa çözülmesi gereken lineer sistem 3 3 lük bir sistem olur.

Veri kümesi üstel veya logaritmik bir da¼ g¬l¬ma sahip olmas¬ durumunda en iyi yakla¸s¬m polinomu da veri kümesi için iyi bir yakla¸s¬m olmaz. Bir deney sonucunda de¼ gerleri zamanla üstel olarak artan veya azalan pozitif ordinatl¬bir veri kümesi için en iyi yakla¸s¬m

y = ae

^bx

, a > 0 biçiminde olmal¬d¬r.

(49)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

E¼ ger

P

₂

( x ) = a + bx + cx

²

biçiminde olup, veri kümesine en iyi yakla¸san ikinci dereceden

polinomu belirlemek istersek yine ayn¬i¸slemleri takip ederiz, ancak bu defa çözülmesi gereken lineer sistem 3 3 lük bir sistem olur.

Veri kümesi üstel veya logaritmik bir da¼ g¬l¬ma sahip olmas¬

durumunda en iyi yakla¸s¬m polinomu da veri kümesi için iyi bir yakla¸s¬m olmaz. Bir deney sonucunda de¼ gerleri zamanla üstel olarak artan veya azalan pozitif ordinatl¬bir veri kümesi için en iyi yakla¸s¬m

y = ae

^bx

, a > 0 biçiminde olmal¬d¬r.

(50)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Bu durumda

E ( a, b ) =

∑

m i=1

( ae

^bxⁱ

y

_i

)

²

(5) ifadesini minimize eden a ve b de¼ gerlerinin belirlenmesi gerekir.

Ancak bu durumda

∂E

∂a = 2

∑

m i=1

( ae

^bxⁱ

y

i

) e

^bxⁱ

= 0,

∂E

∂b = 2

∑

m i=1

( ae

^bxⁱ

y

_i

) ax

_i

e

^bxⁱ

= 0

biçimde yaz¬labilen a ve b bilinmeyenleri için nonlineer bir sistem elde ederiz ki bu sistemin çözümü de Newton yöntemi gibi say¬sal bir yöntem gerektirir.

(51)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Bu durumda

E ( a, b ) =

∑

m i=1

( ae

^bxⁱ

y

_i

)

²

(5) ifadesini minimize eden a ve b de¼ gerlerinin belirlenmesi gerekir.

Ancak bu durumda

∂E

∂a = 2

∑

m i=1

( ae

^bxⁱ

y

i

) e

^bxⁱ

= 0,

∂E

∂b = 2

∑

m i=1

( ae

^bxⁱ

y

_i

) ax

_i

e

^bxⁱ

= 0

biçimde yaz¬labilen a ve b bilinmeyenleri için nonlineer bir sistem elde ederiz ki bu sistemin çözümü de Newton yöntemi gibi say¬sal bir yöntem gerektirir.

(52)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Alternatif bir yöntem takip edebiliriz:

y ( x

i

) = ae

^bxⁱ

( a > 0 )

de¼ gerlerini verilen y

_i

> 0 de¼ gerlerine yakla¸st¬rmaya çal¬¸smak ln ( y ( x

_i

)) de¼ gerlerini ln ( y

i

) de¼ gerlerine yakla¸st¬rmaya denktir: Gerçekten de

y ( x

_i

) ! ^y

ⁱ

ise, logaritma fonksiyonunun süreklili¼ gi gere¼ gi

ln ( y ( x

_i

)) ! ^ln ( y

_i

) dir.

(53)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Tersine

ln ( y ( x

i

)) ! ^ln ( y

i

) ise

ln ( y ( x

_i

)) ln ( y

_i

) ! ⁰ veya

ln ( ^y ( x

i

)

y

_i

) ! ⁰ ) ^y ( x

i

) y

_i

! ^1, yani y ( x

_i

) ! ^y

ⁱ

^dir.

(54)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

O halde (5) ile verilen fonksiyonu minimize etme problemi E ˆ ( a, b ) =

∑

m i=1

( ln ( ae

^bxⁱ

) ln ( y

_i

))

²

=

∑

m i=1

( ln ( a ) + bx

_i

ln ( y

_i

))

²

(6) fonksiyonunu minimize etme problemine denktir.

(55)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

ˆa = ln ( a ) ve

ˆy

i

= ln ( y

_i

) , i = 1, 2, ..., m olarak tan¬mlarsak, problem (1) a benzer olarak

E ˆ ( ˆa, b ) =

∑

m i=1

( ˆa + bx

_i

ˆy

i

)

²

(7) ifadesini minimize eden ˆa ve b de¼ gerlerini belirleme problemine, di¼ ger bir de¼ gimle

Y = ˆa + bx lineer ifadesini elde etme problemine dönü¸sür.

Yukar¬da gerçekle¸stirilen i¸sleme EKKY için lineerle¸ stirme i¸ slemi ad¬ verilmektedir.

(56)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

ˆa = ln ( a ) ve

ˆy

i

= ln ( y

_i

) , i = 1, 2, ..., m olarak tan¬mlarsak, problem (1) a benzer olarak

E ˆ ( ˆa, b ) =

∑

m i=1

( ˆa + bx

_i

ˆy

i

)

²

(7) ifadesini minimize eden ˆa ve b de¼ gerlerini belirleme problemine, di¼ ger bir de¼ gimle

Y = ˆa + bx lineer ifadesini elde etme problemine dönü¸sür.

Yukar¬da gerçekle¸stirilen i¸sleme EKKY için lineerle¸ stirme i¸ slemi ad¬

verilmektedir.

(57)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Örnek

( 0, 1/2 ) , ( 1, 2 ) , ( 2, 5 ) , ( 3, 8 ) noktalar¬için y = ae

^bx

biçimindeki en iyi yakla¸ s¬m¬EKKY ile belirleyiniz.

(58)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

(2) ve (3) sisteminin katsay¬lar¬n¬elde etmek için a¸sa¼ g¬daki tabloyu olu¸stural¬m:

y

_i

ˆy

i

= ln ( y

_i

) 1/2 ln ( 1/2 ) = ln 2 2 ln ( 2 )

5 ln ( 5 )

8 ln ( 8 ) = 3 ln ( 2 )

(59)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Buna göre

A = 2 6 6 4

1 0 1 1 1 2 1 3

3 7 7 5 , ˆy =

2 6 6 4

ln ( 2 ) ln ( 2 ) ln ( 5 ) 3 ln ( 2 )

3 7 7 5

için

A

^T

A = ⁴ ⁶

6 14 , A

^T

ˆy = ^{3 ln} ( 2 ) + ln ( 5 ) 10 ln ( 2 ) + 2 ln ( 5 )

4ˆa + 6b = 3 ln ( 2 ) + ln ( 5 ) = 3. 688 9 6ˆa + 14b = 10 ln ( 2 ) + 2 ln ( 5 ) = 10.15 olarak elde ederiz.

(60)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Buna göre

A = 2 6 6 4

1 0 1 1 1 2 1 3

3 7 7 5 , ˆy =

2 6 6 4

ln ( 2 ) ln ( 2 ) ln ( 5 ) 3 ln ( 2 )

3 7 7 5

için

A

^T

A = ⁴ ⁶

6 14 , A

^T

ˆy = ^{3 ln} ( 2 ) + ln ( 5 ) 10 ln ( 2 ) + 2 ln ( 5 )

4ˆa + 6b = 3 ln ( 2 ) + ln ( 5 ) = 3. 688 9 6ˆa + 14b = 10 ln ( 2 ) + 2 ln ( 5 ) = 10.15 olarak elde ederiz.

(61)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Buna göre

A = 2 6 6 4

1 0 1 1 1 2 1 3

3 7 7 5 , ˆy =

2 6 6 4

ln ( 2 ) ln ( 2 ) ln ( 5 ) 3 ln ( 2 )

3 7 7 5

için

A

^T

A = ⁴ ⁶

6 14 , A

^T

ˆy = ^{3 ln} ( 2 ) + ln ( 5 ) 10 ln ( 2 ) + 2 ln ( 5 )

4ˆa + 6b = 3 ln ( 2 ) + ln ( 5 ) = 3. 688 9 6ˆa + 14b = 10 ln ( 2 ) + 2 ln ( 5 ) = 10.15 olarak elde ederiz.

(62)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Bu sistemi çözerek ˆa .

= 0.4628, b .

= 0.9233 elde ederiz.

a = e

^ˆa

= 0.6295

ve y = ae

^bx

= 0.6295e

^0.9233x

elde ederiz.

Verilen nokta çiftleri ve elde edilen e¼ grinin gra…¼ gi ¸ Sekil (2) te verilmektedir.

(63)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Bu sistemi çözerek ˆa .

= 0.4628, b .

= 0.9233 elde ederiz.

a = e

^ˆa

= 0.6295

ve y = ae

^bx

= 0.6295e

^0.9233x

elde ederiz.

Verilen nokta çiftleri ve elde edilen e¼ grinin gra…¼ gi ¸ Sekil (2) te verilmektedir.

(64)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 2 4 6 8 10 12

Figure: Elde edilen üstel fonksiyon ve verilen nokta çiftleri ( )

(65)

EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Benzer biçimde ( x

_i

, y

_i

) nokta çiftleri için

y =

_a₊¹_bx

biçiminde e¼ gri aran¬yorsa ˆy =

¹_y

y =

p ¹

a+bx

" ˆy =

_y¹2

biçiminde dönü¸sümlerle EKKY problemi lineer probleme dönü¸stürülür.

(66)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

A¼ g¬rl¬kl¬En Küçük Kareler yöntemi ile verilen veri kümesi için uygun yakla¸s¬m belirlenirken, verilerin güvenilirli¼ gi bilgisi de dikkate al¬n¬r.

Bu amaçla

w = ( w

₁

, w

₂

, , w

_m

) , w

_i

0,

∑

m i=1

w

_i

= 1 özelli¼ gini sa¼ glayan w

_i

çarpanlar¬( veya a¼ g¬rl¬klar¬) için

E ( a, b; w ) =

∑

m i=1

w

i

( ax

i

+ b y

i

)

²

(8) ile tan¬mlanan normu minimize eden a ve b sabitleri belirlenir.

(67)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

A¼ g¬rl¬kl¬En Küçük Kareler yöntemi ile verilen veri kümesi için uygun yakla¸s¬m belirlenirken, verilerin güvenilirli¼ gi bilgisi de dikkate al¬n¬r.

Bu amaçla

w = ( w

₁

, w

₂

, , w

_m

) , w

_i

0,

∑

m i=1

w

_i

= 1 özelli¼ gini sa¼ glayan w

_i

çarpanlar¬( veya a¼ g¬rl¬klar¬) için

E ( a, b; w ) =

∑

m i=1

w

i

( ax

i

+ b y

i

)

²

(8) ile tan¬mlanan normu minimize eden a ve b sabitleri belirlenir.

(68)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Sözkonusu minimum nokta için gerek ¸sart (yeter ¸sart de¼ gil!)

∂E ( a, b; w )

∂a = 0, ∂E ( a, b; w )

∂b = 0 sa¼ glanmas¬d¬r. Fakat

∂E

∂a = 2

∑

m i=1

w

_i

( a + bx

_i

y

_i

) = 0

)

∑

m i=1

w

i

! a +

∑

m i=1

x

i

w

i

! b =

∑

m i=1

y

i

w

i

(9)

∂E

∂b = 2

∑

m i=1

w

i

( a + bx

i

y

i

) x

i

= 0

)

∑

m i=1

x

_i

w

_i

! a +

∑

m i=1

x

_i²

w

_i

! b =

∑

m i=1

x

_i

y

_i

w

_i

(10) elde ederiz.

(69)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

Sözkonusu minimum nokta için gerek ¸sart (yeter ¸sart de¼ gil!)

∂E ( a, b; w )

∂a = 0, ∂E ( a, b; w )

∂b = 0 sa¼ glanmas¬d¬r. Fakat

∂E

∂a = 2

∑

m i=1

w

_i

( a + bx

_i

y

_i

) = 0

)

∑

m i=1

w

i

! a +

∑

m i=1

x

i

w

i

! b =

∑

m i=1

y

i

w

i

(9)

∂E

∂b = 2

∑

m i=1

w

i

( a + bx

i

y

i

) x

i

= 0

)

∑

m i=1

x

_i

w

_i

! a +

∑

m i=1

x

_i²

w

_i

! b =

∑

m i=1

x

_i

y

_i

w

_i

(10) elde ederiz.

(70)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

(9) ve (10) sistemi çözülerek a ve b de¼ gerleri ve dolay¬s¬yla da istenilen P

₁

( x ) polinomu elde edilmi¸s olunur.

(8) daki karelerin toplam¬n¬minimize etmek(en küçük yapmak) için kullan¬lan bu yönteme, A¼ g¬rl¬kl¬En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) ad¬verilir.

Öte yandan (9) ve (10 sistemi matris-vektör notasyonu yard¬m¬yla da ifade edilebilir: Öncelikle

1 = [ 1, 1, , 1 ]

^T

, x = [ x

1

, x

2

, , x

m

]

^T

, y = [ y

₁

, y

₂

, , y

_m

]

^T

, u = [ a, b ]

^T

vektörlerini ve

(71)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

(9) ve (10) sistemi çözülerek a ve b de¼ gerleri ve dolay¬s¬yla da istenilen P

₁

( x ) polinomu elde edilmi¸s olunur.

(8) daki karelerin toplam¬n¬minimize etmek(en küçük yapmak) için kullan¬lan bu yönteme, A¼ g¬rl¬kl¬En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) ad¬verilir.

Öte yandan (9) ve (10 sistemi matris-vektör notasyonu yard¬m¬yla da ifade edilebilir: Öncelikle

1 = [ 1, 1, , 1 ]

^T

, x = [ x

1

, x

2

, , x

m

]

^T

, y = [ y

₁

, y

₂

, , y

_m

]

^T

, u = [ a, b ]

^T

vektörlerini ve

(72)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

(9) ve (10) sistemi çözülerek a ve b de¼ gerleri ve dolay¬s¬yla da istenilen P

₁

( x ) polinomu elde edilmi¸s olunur.

(8) daki karelerin toplam¬n¬minimize etmek(en küçük yapmak) için kullan¬lan bu yönteme, A¼ g¬rl¬kl¬En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) ad¬verilir.

Öte yandan (9) ve (10 sistemi matris-vektör notasyonu yard¬m¬yla da ifade edilebilir: Öncelikle

1 = [ 1, 1, , 1 ]

^T

, x = [ x

1

, x

2

, , x

m

]

^T

, y = [ y

₁

, y

₂

, , y

_m

]

^T

, u = [ a, b ]

^T

vektörlerini ve

(73)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

A = [ 1 x ]

m 2

W =

2 6 6 6 6 4

w

₁

0 0

0 w

2

. .. .. . .. . . .. ... 0

0 0 w

m

3 7 7 7 7 5

matrisini tan¬mlayal¬m.

Bu durumda A

^T

WA = ^∑

m

i=1

w

i

∑

^mi=1

x

i

w

i

∑

^mi=1

x

_i

w

_i

∑

^mi=1

x

_i²

w

_i

, A

^T

W y = ^∑

m i=1

y

i

w

i

∑

^mi=1

x

_i

y

_i

w

_i

olarak elde ederiz.

· Istenilen u = [ a, b ]

^T

vektörü ise

A

^T

WAu = A

^T

W y sisteminin çözümü olarak elde edilir.

(74)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

A = [ 1 x ]

m 2

W =

2 6 6 6 6 4

w

₁

0 0

0 w

2

. .. .. . .. . . .. ... 0

0 0 w

m

3 7 7 7 7 5

matrisini tan¬mlayal¬m.

Bu durumda A

^T

WA = ^∑

m

i=1

w

_i

∑

^mi=1

x

_i

w

_i

∑

^mi=1

x

_i

w

_i

∑

^mi=1

x

_i²

w

_i

, A

^T

W y = ^∑

m i=1

y

_i

w

_i

∑

^mi=1

x

_i

y

_i

w

_i

olarak elde ederiz.

· Istenilen u = [ a, b ]

^T

vektörü ise

A

^T

WAu = A

^T

W y sisteminin çözümü olarak elde edilir.

(75)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m

A = [ 1 x ]

m 2

W =

2 6 6 6 6 4

w

₁

0 0

0 w

2

. .. .. . .. . . .. ... 0

0 0 w

m

3 7 7 7 7 5

matrisini tan¬mlayal¬m.

Bu durumda A

^T

WA = ^∑

m

i=1

w

_i

∑

^mi=1

x

_i

w

_i

∑

^mi=1

x

_i

w

_i

∑

^mi=1

x

_i²

w

_i

, A

^T

W y = ^∑

m i=1

y

_i

w

_i

∑

^mi=1

x

_i

y

_i

w

_i

olarak elde ederiz.

· Istenilen u = [ a, b ]

^T

vektörü ise

A

^T

WAu = A

^T

W y sisteminin çözümü olarak elde edilir.

(76)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m örne¼ gi

Örnek

S¬ras¬yla w

₁

= 1/8, w

2

= 1/8 ve w

3

= 3/4 a¼g¬rl¬klara

sahip f( ^{0, 0} ) , ( 1, 1/2 ) , ( 2, 4 )g veri kümesini göz önüne alal¬m. Bu veri kümesi için en uygun P

₁

( x ) = a + bx polinomunu

Standart EKKY ve

A¼g¬rl¬kl¬EKKY ile belirleyiniz

(77)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m örne¼ gi

Örnek

S¬ras¬yla w

₁

= 1/8, w

2

= 1/8 ve w

3

= 3/4 a¼g¬rl¬klara

sahip f( ^{0, 0} ) , ( 1, 1/2 ) , ( 2, 4 )g veri kümesini göz önüne alal¬m. Bu veri kümesi için en uygun P

₁

( x ) = a + bx polinomunu

Standart EKKY ve

A¼g¬rl¬kl¬EKKY ile belirleyiniz

(78)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m örne¼ gi

A = 2 4

1 0 1 1 1 2

3 5 , W =

2 4 1/8 0 0

0 1/8 0

0 0 3/4

3 5 , y =

2 4

0 1/2

4 3 5

Standart EKKY ile, A

^T

A = ^{3 3}

3 5 , A

^T

y = ^9/2

17/2 , A

^T

Au = A

^T

y veya 3a + 3b = 9/2

3a + 5b = 17/2 sistemini çözerek a = 1/2, b = 2 elde ederiz.

(79)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m örne¼ gi

A = 2 4

1 0 1 1 1 2

3 5 , W =

2 4 1/8 0 0

0 1/8 0

0 0 3/4

3 5 , y =

2 4

0 1/2

4 3 5

Standart EKKY ile,

A

^T

A = ^{3 3}

3 5 , A

^T

y = ^9/2

17/2 , A

^T

Au = A

^T

y veya 3a + 3b = 9/2

3a + 5b = 17/2 sistemini çözerek a = 1/2, b = 2 elde ederiz.

(80)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m örne¼ gi

A = 2 4

1 0 1 1 1 2

3 5 , W =

2 4 1/8 0 0

0 1/8 0

0 0 3/4

3 5 , y =

2 4

0 1/2

4 3 5

Standart EKKY ile, A

^T

A = ^{3 3}

3 5 , A

^T

y = ^9/2

17/2 , A

^T

Au = A

^T

y veya 3a + 3b = 9/2

3a + 5b = 17/2

sistemini çözerek a = 1/2, b = 2 elde ederiz.

(81)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m örne¼ gi

A = 2 4

1 0 1 1 1 2

3 5 , W =

2 4 1/8 0 0

0 1/8 0

0 0 3/4

3 5 , y =

2 4

0 1/2

4 3 5

Standart EKKY ile, A

^T

A = ^{3 3}

3 5 , A

^T

y = ^9/2

17/2 , A

^T

Au = A

^T

y veya 3a + 3b = 9/2

3a + 5b = 17/2 sistemini çözerek a = 1/2, b = 2 elde ederiz.

(82)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m örne¼ gi

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY ile

A = 2 4

1 0 1 1 1 2

3 5 , W =

2 4 1/8 0 0

0 1/8 0

0 0 3/4

3 5 , y =

2 4

0 1/2

4 3 5

ile

A

^T

WA = ¹ ^13/8

13/8 25/8 , A

^T

Wy = ^49/16 97/16 , A

^T

WAu = A

^T

W y

sistemini çözerek, a = 18/31, b = 139/62 elde ederiz.

(83)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m örne¼ gi

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY ile

A = 2 4

1 0 1 1 1 2

3 5 , W =

2 4 1/8 0 0

0 1/8 0

0 0 3/4

3 5 , y =

2 4

0 1/2

4 3 5

ile

A

^T

WA = ¹ ^13/8

13/8 25/8 , A

^T

Wy = ^49/16 97/16 , A

^T

WAu = A

^T

W y

sistemini çözerek, a = 18/31, b = 139/62 elde ederiz.

(84)

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY yöntemi ile yakla¸s¬m örne¼ gi

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

s tandart agirlik li

Figure: ( x

_i

, y

_i

) noktalar¬(*) ile Standart ve A¼ g¬rl¬kl¬EKKY polinom gra…kleri

A¼ g¬rl¬kl¬EKKY ile w

₃