M AT E M AT İ K

I

P AL­ME Y A­YIN­CI­LIK An­ka­ra,­2013

M AT E M AT İ K

9. Sınıf

Mehmet ŞAHİN

M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı’nın 01.02.2013 tarih ve 9 sayılı kararı ve 2013-2014 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre hazırlanmıştır.

SORU KİTABI

REDAKSİYON

Alper YILDIZ İpek ETÇİOĞLU

Nurdan YALÇINKAYA Emre ORHAN

Alican GÜLLÜ Eyüp AKOVA

Nazim TOPAL Tuba SARAR

Yayın Editörü : Cemil AYAN

Yayına Hazırlama : PALME Dizgi–Grafik Tasarım Birimi Yayıncı Sertifika No : 14142

Palme Yayıncılık © 2013

ISBN : 978–605–355–188–1

Baskı : Tuna Matbaacılık San. ve Tic. A. Ş.

Basımevi Sertifika No : 16102

Bu kitap 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanılamaz, teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, PALME YAYINCILIK’a aittir.

G

ENEL

II

D

AĞITIM

YAZIT Yayın-Dağıtım

Sağlık Sokak 17/30 Sıhhiye-ANKARA

Tel 0312-433 63 85-433 56 65 Faks 0312-433 73 17 www.palmeyayinevi.com e-mail: bilgi@palmeyayinevi.com

“Benim Manevi Mirasım BİLİM ve AKILDIR”

M. Kemal ATATÜRK

III

IV IV

Editör'den,

Son yıllarda ilk ve ortaöğretimde uygulanmaya başlanan öğretim programlarının ana felsefesi, yaşam temelli yaklaşımı esas almasıdır. Bu yaklaşımla, soyut gibi algıla- nan birçok fen kavramı gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş, somut hale getirilmiştir. Bu yak- laşım okullarımızdaki öğretim sürecine tam olarak yerleştirildiği ve uygulandığı zaman öğrencilerimizin derslere olan ilgi ve motivasyonları ciddi bir biçimde artacaktır. Tüm bu gelişmelerin sonucu olarak bilişim toplumunun gerektirdiği becerilere sahip, objektif ve analitik düşünebilen, yaratıcı bir kafa gücüne sahip kuşaklar yetişecektir. Böyle yetişen genç insanlar, ezberden uzak kalacak, sağlıklı iletişim kurabilme yetileri gelişecek; ken- dini iyi tanıyan, çevresiyle barışık bireyler olacaktır.

Palme yayıncılığın hazırladığı bu kitap serisinin içeriği yukarıda belirtilen bakış açısı çerçevesinde oluşturulmuştur. Ayrıca bu kitaplar değişen yeni sınav sistemine (YGS–LYS) uygun bir niteliğe sahiptir. Üniversite sınavlarında sorulacak soruların kap- samı ve ağırlık düzeyine uygun bir konu akışı sağlanmıştır.

Bu kitapların hazırlanmasında büyük bir özveriyle bana destek veren Palme Ya- yıncılık'ın genel müdürü sayın İlhan Budak'a teşekkür ederim.

Palme Yayıncılık'tan çıkan bu kitap serisinin tüm öğrencilere yararlı olması ve on- ların gelişimine bir katkı sağlaması dileğiyle...

Cemil AYAN

Ağustos 2013 Ankara

V Sevgili Öğrenciler, Değerli Öğretmenler,

2010 yılında ilk kez uygulanan yeni sınav sistemine göre YGS de Matematik soru- larının tümü 9. Sınıf Matematik dersi konularından sorulmaktadır. Üniversiteye girişte YGS’nin önemi düşünüldüğünde, Orta öğretimde 9. Sınıf Matematik dersinin ne denli önemli olduğu açıktır.

Bu kitap

. Orta Öğretim başarınızı yükseltmek,

. Üniversiteye giriş sınavında yüksek başarı elde etmenizi sağlamak amacıyla 4 yıl- lık lise müfredatına uygun olarak hazırlanmıştır.

. Kitapta her ünite; konu özeti, konu testleri, yazılıya hazırlık soruları, ve üniversite- ye giriş sınavında çıkmış sorulardan oluşmaktadır.

Her ünite içerisinde konu testlerinin bulunduğu sayfalarda bulunan Bilgi sütununda o sayfada bulunan soruların çözümüne yardımcı olabilecek bilgiler bulunmaktadır. Bu bölümde bulunan bilgiler o sayfadaki soruların çözümü için yeterli olacak şekilde hazır- lanmıştır.

Sağlık ve başarı dileklerimle…

Mehmet ŞAHİN 0 532 423 41 32

sahinm68@hotmail.com

Ağustos 2013 Ankara

ÖNSÖZ

VIVI

SAYILAR VE CEBİR

ÜNİTE – 1 ... 9 – 30

KüMElER ... 9 – 30

ÜNİTE – 2 ... 33 – 176

DENKlEM vE EŞİTSİZlİKlER... 33 – 176

ÜNİTE – 3 ... 179 – 198

FONKSİYONlAR ... 172 – 191

VII VII

GEOMETRİ

ÜNİTE – 4 ... 201 – 310

üÇGENlER... 201 – 310

ÜNİTE – 5 ... 313 – 340

vEKTÖRlER... 313 – 340

VERİ, SAYMA VE OLASILIK

ÜNİTE – 6 ... 343 – 361

vERİ ... 343 – 361

ÜNİTE – 7 ... 363 – 372

OlASIlIK ... 363 – 372

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ A ^ı = E A ∩ A ^ı = Ø

A B

0 –4

3

–3 2

M M′

12 X

2x 6

K E

1

KÜMELER . . . .9 - 30

Kümeler Konu Özeti . . . . 9

Konu Testleri (1 – 6) . . . 13

Kartezyen Çarpım Konu Özeti . . . . 25

Konu Testleri (1 – 6) . . . 26

Yazılıya Hazırlık Soruları . . . 30 Sayfa No

KÜMELER

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

Matematikte küme denilince herhangi cins ve çeşitten nesnelerin oluşturduğu topluluk anlaşılır. Kü me kav ra mı nın ta nı mı yok tur. An cak kü me de ni lin ce, iyi ta nım lan mış, bir bi rin den fark lı nes ne ler top lu luğu düşünülmelidir. Yani bir nesne verildiğinde bu nesnenin bir kümenin elemanı olup olmadığı sorusuna kesin olarak evet veya hayır denilebilmelidir.

Kü me yi oluş tu ran nes ne le re o kü me nin ele ma nı de nir. Kü me de, bir ele man bir kez ya zı lır. Kü me nin ele man la rı nın kü me içe ri sin de yer de ğiş tirme si kü me yi değiştirmez.

‚ Boş Kü me:Hiç bir ele ma nı ol ma yan kü me ye boş kü me de nir ve { } ve ya Ø şek lin de gös te ri lir. {Ø} gösterimi boş küme değildir.

‚ Kü me le rin Gös te ri li şi

l. Or tak özel lik yön te mi ll. Lis te yön te mi lll. Venn şe ma sı yön te mi

‚ Alt Kü me:A ve B gi bi iki kü me den, A kü me si nin her ele ma nı B kü me si nin de ele ma nı ise, A kü me si B kü me si nin alt kü me si dir de nir ve A ⊂ B şek lin de gös te ri lir.

Bir kü me nin ken di sin den fark lı olan her alt kü me si ne o kümenin bir özalt kü me si de nir.

Bir kü me nin alt kü me le ri nin tümünden oluşan kü me ye o kümenin kuv vet kü me si de nir. A kümesinin kuvvet kümesi P(A) ile göster- ilir.

s(A) = n ise s(P(A)) = 2ⁿ dir.

n ele man lı bir kü me nin;

 Alt kü me sa yı sı: 2ⁿ

 Özalt kü me sa yı sı: 2ⁿ– 1

 r ele man lı alt kü me le ri nin sa yı sı = n , (r ≤ n) d nr

KÜMELER

KONU ÖZETI

9

n! = 1.2.3 ... n

0! = 1 ve

1! = 1 ola rak ka bul edi lir.

2! = 1.2 = 2 3! = 1.2.3 = 6 ...

n! = (n – 1)!.n n ≥ 1

n! = (n – 2)!.(n – 1).n n ≥ 2 dir.

‚ n ele man lı bir kü me nin r ele man lı (r ≤ n) alt kü me le ri nin sa yı sı dir.

Kümelerde İşlemler

‚ Ev ren sel Kü me:Üze rin de iş lem ya pı lan tüm kü me le ri kap sa yan kü me ye ev ren sel kü mede nir ve ge nel lik le E ile gös te ri lir. Ancak tüm kümeleri kapsayan mutlak bir evrensel küme yoktur.

‚ İki Kü menin Bir le şi mi

A ∪ B = { x : x ∈ A ve ya x ∈ B }

– , ( – )

.

...

n n

n n

n n n n n

n r

n

p r p veya r p n dir

n n n n

n

0 1

1 1 2 2

1

0 1 2 2ⁿ

+

= =

= = =

= = + =

+ + + + =

n

f f

f f f

f f

f f f f

p p

p p p

p p

p p p p

E

A B

( – )!. !! n

r = n r rn f p

10

K Ü M E L E R – 1

‚ İki Kü menin Ke si şi mi

A ∩ B = { x : x ∈ A ve x ∈ B }

‚ İki Kü menin Far kı

A – B = { x : x ∈ A ve x ∉ B }

‚ Bir Kü me nin Tüm le ye ni

A^ı= { x : x ∈ E ve x ∉ A }

‚ De Mor gan Ku ral la rı (A ∪ B)^ı= A^ı∩ B^ı (A ∩ B)^ı= A^ı∪ B^ı

‚ Özel lik ler

A ∪ A = A A ∩ A = A (Tek kuvvet özelliği)

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A (Değişme özelliği)

A ∪ Ø = A A ∩ Ø = Ø

A ∪ E = E A ∩ E = A

A ∪ A^ı= E A ∩ A^ı= Ø

E^ı= Ø Ø^ı= E

(A^ı)^ı= A A^ı= E – A

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

İki Kümenin Simetrik Farkı

A ve B kümelerinin simetrik farkı,

A \ B ve B \ A kümelerinin birleşimidir ve ∆ ile gösterilir.

A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

E

A B

E

A

A^› E

A B

E

A B

11

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)

s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)

A ⊂ B ⇒ B^ı⊂ A^ı A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B A – B = A ∩ B^ı A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A

Küme Problemlerinin Çözümünde İzlenecek Şema Yöntemi

Sınıf : S

Fut bol oy na yan la rın kü me si : F

Bas ket bol oy na yan la rın kü me si: B

x, y, z, t için de bu lun duk la rı kü me le rin ele man sa yı la rı nı gös ter sin.

Fut bol oy na yan la rın sa yı sı = x + y

Bas ket bol oy na yan la rın sa yı sı = y + z

Sa de ce fut bol oy na yan la rın sa yı sı = x

Sa de ce bas ket bol oy na yan la rın sa yı sı = z

Fut bol ve bas ket bol oy na yan la rın sa yı sı = y

Fut bol ve ya bas ket bol oy na yan la rın sa yı sı = x + y + z

Hiç bir oyun oy na ma yan la rın sa yı sı = t

En az bir oyun oy na yan la rın sa yı sı = x + y + z

En çok bir oyun oy na yan la rın sa yı sı = x + z + t

n elemanlı bir A kümesinin tüm alt kümelerindeki elemanların toplamı 2^n–1.(A kümesinin elemanları toplamı) dır.

S

F B

x y z

t

12

K Ü M E L E R – 1

13

Kavram ve Örnekler Konu

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

Kümeler Kavram ve Örnekler

1. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4}

kü me le ri ve ri li yor.

Aşa ğı da ki ler den han gi si yan lış tır?

A) A ∩ B = B B) B – A = Ø

C) A ∪ B = A D) A – B = {1, 5}

E) B – A = {2, 3, 4}

2. X ⊂ E ve Y ⊂ E ol mak üze re,

(X – Y) ∪ Y ifa de si aşa ğı da ki ler den han gi- si ne eşit tir?

A) X – Y B) X ∪ Y C) X

D) Y E) X ∩ Y

3. A = {x ∈ Z | |x – 1| < 4}

B = {x ∈ N | (x – 1)(x + 2)(x – 3) = 0}

A ∪ B kü me si nin ele man sa yı sı kaç tır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4. Alt kü me sa yı sı 32 olan bir kü me nin en çok 2 ele man lı alt kü me sa yı sı kaç tır?

A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 36

5. X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kü me si nin 3 ele man lı alt kü me sa yı sı kaç tır?

A) 8 B) 16 C) 24 D) 35 E) 40

6. A = {x, y, z, t, 1, 2, 3} kü me si nin alt kü me le - ri nin kaç ta ne sin de t ele man ola rak bu lun- maz?

A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128

7. B = {1, 2, 3, 4, 5} kü me si nin alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de 1 bu lu nur, 4 bu lun maz?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

8. X ⊂ E ve Y ⊂ E ol mak üze re,

(X ∩ Y) – X aşa ğı da ki ler den han gi si dir?

A) Ø B) X C) Y

D) X – Y E) X ∩ Y T A – B = A ∩ B′

T A ∩ A′ = Ø

T n elemanlı bir kümenin – alt küme sayısı 2ⁿ

– r elemanlı alt kümelerin sayısı

T

T A ⊂ B ⇒ A \ B = Ø

T A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur, 3 bulun- maz?

A kümesinden 3 ü atalım.

A nın 2 bulunup 3 bulunmayan alt küme sayısı

2⁴= 16 dır.

B = {1, 2, 4, 5, 6}

{2, . . . .} 4 eleman ...

n n n n

n 0 + 1 + 2 + + =2n f p f p f p f p

( – )!. ! n !

r n r r

= n f p

TEST 1

1) E 2) B 3) D 4) C 5) D 6) D 7) C 8) A

14

K Ü M E L E R – 1 Kavram ve Örnekler

_9. C = {a, b, c, d, e} kü me si nin alt kü me le ri - nin kaç ta ne sin de c veya e bu lun maz?

A) 4 B) 8 C) 16 D) 24 E) 32

10. X = {a | –3 ≤ a < 4, a ∈ N} kü me si nin 3 ele- man lı alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de 2 ve 3 ele man ola rak bu lu nur?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 16

11. 3 ele man lı alt kü me sa yı sı ile 6 ele man lı alt kü me sa yı sı bir bi ri ne eşit olan bir kü- me nin 4 ele man lı alt kü me sa yı sı kaç tır?

A) 13 B) 32 C) 64 D) 68 E) 126

12. {a, b, c} ⊂ M ⊂ {a, b, c, d, e, f, g} ko şu lu nu sağ la yan kaç farklı M kü me si var dır?

A) 3 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

13. 4 ele man lı bir kü me ile 7 ele man lı bir kü- me nin bir le şi mi en çok kaç ele man lı olur?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 11

14. A ⊄ B ve B ⊄ A

s(A) = 6, s(B) = 10 ol du ğu na gö re, iki kü me nin ke si şi mi en faz la kaç ele man- lı dır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

15. Özalt kü me sa yı la rı top la mı 158 olan iki kü me nin ele man sa yı la rı top la mı kaç tır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

16. Aşa ğı da ki ler den han gi si dai ma doğ ru - dur?

A) X ∩ Ø = X B) Y – X = X – Y

C) X ∩ X′ = Ø D) Ø – E = E

E) X ∪ E = X T n elemanlı bir kümenin

– r elemanlı alt küme sayısı dir.

– Öz alt küme sayısı : 2ⁿ– 1

T ⇒ r = m V n = m+r

T Özalt kümelerinin sayılarının toplamı 286 olan iki kümenin eleman sayılarının toplamını bulalım.

s(A) = m, s(B) = n olsun.

(2^m– 1) + (2ⁿ– 1) = 286 ise 2^m+ 2ⁿ= 288 256 = 2⁸ olduğundan 288 – 256 = 32 ve 32 = 2⁵olup

s(A) = 8 ise s(B) = 5 tir.

m + n = 8 + 5 = 13 bulunur.

T {1, 2, 3} ⊂ K ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}

olacak şekilde kaç K kümesi vardır?

Farklı elemanların kümesi {4, 5} ve s({4, 5}) = 2 olup K kümelerinin sayısı 2²= 4 tür.

( – )!. !! n

r = n r rn f p

n r

n

= m f p f p

9) B 10) B 11) E 12) D 13) E 14) D 15) D 16) C

15

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

1. Alt kü me sa yı sı ile özalt kü me sa yı sı çar pı - mı 992 olan bir kü me nin 3 ele man lı alt kü - me le ri nin sa yı sı kaç tır?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

2. A = {1, 2, 3, 4, 5} kü me si nin alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de en az bir çift sa yı bu lu nur?

A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36

3. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kü me si nin kaç alt kü - me sin de 3 ve ya 6 dan en az bi ri bu lu nur?

A) 12 B) 24 C) 30 D) 36 E) 48

4. A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

ise A ⊂ M ⊂ B ola cak şe kil de A ve B kü me - le rin den fark lı kaç M kü me si yazılabilir?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

5. s(A) = 4 tür. B kü me si nin 5 ele man lı 8 alt kü me si A kü me si ni kap sa dı ğı na gö re B kü - me si kaç ele man lı dır?

A) 12 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

6. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kü me si nin 3 ele man lı kaç alt kü me sin de 4 ve 5 bu lu nur, 7 bu lun- maz?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kü me si nin 3 ele man lı alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de 6 bu lu nur, 3 bu lun maz?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

8. s(A \ B) = 4s(B \ A), s(A ∪ B) = 22 ve s(A ∩ B) ≠ Ø ise

A ∩ B en az kaç ele man lı dır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

TEST 2

Kavram ve Örnekler

T n elemanlı bir kümenin – 2ⁿtane alt kümesi, – 2ⁿ– 1 tane öz alt kümesi

bulunur.

– r elemanlı alt küme sayısı dir.

T

T A = {a, b, c, d, e, f, k, i}

kümesinin kaç alt kümesinde en az bir sesli harf bulunur?

A kümesindeki sessiz harflerin kümesi

{b, c, d, f, k} olup 5 elemanlı- dır.

s(A) = 8 olup 2⁸– 2⁵= 256 – 32

= 224 tane

alt kümede en az bir sesli harf bulunur.

T Alt küme sayısı ile özalt küme sayısı çarpımı 240 olan küme kaç elemanlıdır?

s(A) = m ise 2^m(2^m– 11) = 240 tır.

240 = 16.15 olduğundan 2^m= 16 = 2⁴ise m = 4 bulu- nur.

A B

A–B A∩B B–A ( – )!. !! n

r = n r rn f p

Konu Kümeler

1) A 2) C 3) E 4) E 5) A 6) D 7) B 8) B

16

K Ü M E L E R – 1 Kavram ve Örnekler

_9. A = {x : x < 400, x ∈ N} kü me si nin kaç ele - ma nı 5 ve ya 6 ile bö lü ne bi lir?

A) 75 B) 80 C) 85 D) 132 E) 133

10. A ve B kü me le ri nin alt kü me sa yı la rı nın çar pı mı 512, A ∩ B′ nin özalt kü me sa yı sı 3, B \ A nın en çok iki ele man lı alt kü me sa - yı sı 7 ise A ∩ B kaç ele man lı dır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. A kü me si nin ele man sa yı sı 2 art tı rıl dı ğın da alt kü me sa yı sı 96 ar tı yor.

A kü me si nin alt kü me sa yı sı kaç tır?

A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64

12. 6 ele man lı bir kü me nin 4 ten az ele man lı alt kü me le ri nin sa yı sı aşa ğı da ki ler den han gi si dir?

A) 7 B) 14 C) 21 D) 42 E) 45

13. A \ B = {a, b, c}, A ∩ B = {e, f} ve B \ A = {d} ise

A ∪ B nin 3 ele man lı alt kü me le ri nin sa yı - sı kaç tır?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

14. A = {a, b, c, d, e, f} kü me si nin 3 ele man lı alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de a ol du ğu hal de f yok tur?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

15. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kü me si nin 3 ele man - lı alt kü me le ri nin kaç ta ne sin de 3, 4, 5 bu- lun maz?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

16. 7 ele man lı bir kü me nin n – 3 ele man lı alt kü me le ri nin sa yı sı 21 ise n ele man lı alt kü me sa yı sı han gi si ola bi lir?

A) 1 B) 7 C) 14 D) 21 E) 35

T n elemanlı bir kümenin r ele- manlı alt küme sayısı

dir.

T n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿdir.

T

T A = {x : x ≤ 500, x ∈ N⁺} kümesinin 3 veya 4 ile bölüne- bilen kaç elemanı vardır?

OKEK (3, 4) = 12

s(3 ∪ 4) = s(3) + s(4) – s(3 ∩ 4)

= 166 + 125 – 41

= 250 dir.

T 5 elemanlı bir kümenin 3 ten çok elemanlı alt küme sayısı

dır.

500 12 41 500 3 166

500 4 125

5 4

5

5 5 1 6

+ = + =

f p f p ( – )!. ! n !

r n r r

= n f p

A B

A–B A∩B B–A

9) E 10) B 11) D 12) D 13) D 14) C 15) D 16) D

17

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

1. s(A ∪ B) = 20, s(A \ B) = s(B \ A) + 3, s(A ∩ B) = 6s(B \ A) + 1 ise

s(A) kaç tır?

A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30

2. X ve Y, E ev ren sel kü me si nin iki alt kü me si ve s(X) + s(Y) = 24, X ≠ Ø olmak üzere, s(Y \ X) en çok kaç ola bi lir?

A) 24 B) 23 C) 22 D) 12 E) 11

3. s(A ∩ B) = 5, s(B) = 9 ol du ğu na gö re, A ∪ B kü me si nin ele man sa yı sı en az kaç - tır?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

4. s(A ∩ B) = 5, s(A) = s(B) ve s(A ∪ B) = 21 ise s(A) + s(B) toplamı kaçtır?

A) 26 B) 24 C) 22 D) 20 E) 18

5. A ≠ Ø dir. Özalt kü me sa yı sı n olan bir A kü - me si nin ele man sa yı sı 3 ka tı na çı ka rı lır sa özalt kü me le ri nin sa yı sı kaç ka tı na çı kar?

A) 2n B) n²+ 2n C) (n + 1)² D) n²+ n E) n²+ 3n + 3

6.

Ta ra lı böl ge aşa ğı da ki ler den han gi si ile ifa - de edi le bi lir?

A) (A ∩ B) \ C B) (B′ ∩ A) \ C C) (A ∪ B) ∩ C D) (A \ B) ∩ C

E) (C ∩ B) ∪ A

7. “kü me ler” ke li me si nin harf le ri kul la nı la rak oluş tu ru lan bir kü me nin 2 ele man lı alt kü - me le ri nin kaç ta ne sin de m bu lu nur, e bu- lun maz?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. A ile B kü me le ri için A ∪ B kü me si nin özalt kü - me sa yı sı 127, A ∩ B kü me si nin özalt kü me sa yı sı 7 dir.

B kü me si nin 64 alt kü me si ol du ğu na gö re, A \ B kaç ele man lı dır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

E A B

C

TEST 3

Kavram ve Örnekler

T n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2ⁿ– 1 dir.

T n elemanlı bir kümenin r ele- manlı alt kümelerinin sayısı

dir.

T

T s(A \ B) = 3 s(B \ A) = 5

A ∩ B ≠ Ø olduğuna göre, A ∪ B kümesinin alt küme sa- yısı en az kaçtır?

A ∩ B ≠ Ø ise

A ∪ B nin alt küme sayısının en az olması için

s(A ∩ B) = 1 alınır.

s(A ∪ B) = 9 alt küme sayısı 2⁹= 512 dir.

A B

3 1 5

( – )!. ! n !

r n r r

= n f p

A B

A–B A∩B B–A

Konu Kümeler

1) C 2) B 3) A 4) A 5) E 6) A 7) D 8) A

18

K Ü M E L E R – 1 Kavram ve Örnekler

_9. n ele man lı bir kü me nin 3 ele man lı alt kü - me le rin den olu şan kü me nin 2 ele man lı alt kü me le ri sa yı sı 190 ise n ne dir?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

10. Bir kü me nin 4 ele man lı alt kü me le ri sa yı sı, 2 ele man lı alt kü me le ri sa yı sı na eşit tir.

Bu kü me nin en az 4 ele man lı kaç alt kü - me si var dır?

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

11. Bir kü me nin 3 ele man lı alt kü me le ri sa yı sı, 5 ele man lı alt kü me le ri sa yı sı na eşit tir.

Bu kü me nin en çok 3 ele man lı alt kü me sa yı sı ne dir?

A) 90 B) 91 C) 92 D) 93 E) 94

12. A = {x : 100 < x < 300, x = 10n, n ∈ Z}

B = {x : 200 < x < 400, x = 25m, m ∈ Z}

ise s(A ∩ B) kaç tır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13. s(A \ B) = 6 – 3x, s(B \ A) = 4x + 4 s(A \ B′) = 8 – x ise

s(A ∪ B) ne dir?

A) 6 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21

14. s(A \ B) = 4 ve s(A ∪ B) = 12 dir.

s(A) < s(B) ol du ğu na gö re, s(A ∩ B) en çok kaç tır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

15. A ve B kü me le ri için s(A) = 6 ve s(B) = 10 ise A ∩ B kü me si nin ele man sa yı sı en çok x, en az y ise x + y toplamı kaç tır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

16. A = {x ∈ Z : |3x – 1| > 8} ve A′ A kü me si nin tüm le ye ni olmak üzere,

A′ kü me si nin ele man sa yı sı kaç tır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

T n elemanlı bir kümenin r ele- manlı alt küme sayısı,

dir.

T A ∪ B nin eleman sayısı yorumlanırken

– s(A ∪ B) nin maksimum ol- ması

için,

s(A ∪ B) = s(A)+s(B)–s(A ∩ B)

↓ minimum alınır.

– s(A ∪ B) nin minimum olması için,

s(A ∪ B) = s(A)+s(B)–s(A ∩ B)

↓ maksimum alınır.

T

a, b, c bulundukları bölgenin eleman sayısı olmak üzere, s(A) = a + b

s(B) = b + c s(A – B) = a s(B – A) = c s(A ∩ B) = b

s(A ∪ B) = a + b + c dir.

T A = {x: |5x – 1| > 14, x ∈ Z}

olup A nın tümleyeninin ele- man sayısı kaçtır?

A′ = {x: |5x – 1| ≤ 14, x ∈ Z}

|5x – 1| ≤ 14 ⇒ –14 ≤ 5x – 1 ≤ 14 –13 ≤ 5x ≤ 15

≤ x ≤ 3 x∈Z ⇒ x∈{–2, –1, 0, 1, 2, 3}

olup s(A′) = 6 dır.

513 – ( – )!. ! n !

r n r r

= n f p

A B

a b c

9) B 10) E 11) D 12) A 13) D 14) B 15) A 16) A

19

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

1. 60 ki şi lik bir kız öğ ren ci gru bun da ba zı la rı es - mer, ba zı la rı sa rı şın, ba zı la rı ye şil göz lü, ba - zı la rı ma vi göz lü dür.

12 öğ ren ci ma vi göz lü sa rı şın, 44 öğ ren ci es mer ve 40 öğ ren ci ye şil göz lü ol du ğu na gö re ma vi göz lü es mer kaç kız öğ ren ci var dır?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

2. Bir sı nıf ta ki 30 öğ ren ci den 12 ta ne si hent bol, 9 ta ne si bas ket bol oy na ma yı bi li yor.

Sı nıf ta hem hent bol hem de bas ket bol oy- na ma yı bil me yen 10 ki şi ol du ğu na gö re, her iki oyu nu da oy na ma yı bi len kaç öğ - ren ci var dır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

3. 30 ki şi lik bir sı nıf ta 12 ki şi bas ket bol, 8 ki şi fut- bol, 4 ki şi de hem bas ket bol hem de fut bol oy - nu yor.

Her iki si ni de oy na mayan kaç ki şi var dır?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

4. Her ke sin en az bir dil bil di ği bir sı nıf ta İn gi liz - ce bi len le rin sa yı sı, Al man ca bi len le rin sa yı - sı nın 3 ka tı dır. Her iki di li bi len 12 ki şi var dır.

Bu sı nıf ta 48 öğ ren ci ol du ğu na gö re, sa de - ce İn gi liz ce bi len kaç ki şi var dır?

A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35

5. Bir sı nıf ta ki öğ ren ci le rin % 50 si Türk çe den,

% 60 ı kim ya dan ba şa rı lı dır.

Her iki ders ten de ba şa rı lı olan 10 öğ ren ci ol du ğu na gö re bu sı nı fın mev cu du kaç tır?

A) 25 B) 50 C) 60 D) 75 E) 100

6. Bir sı nıf ta bi yo lo ji den ka lan lar 10, ma te ma tik- ten ka lan lar 20 ki şi dir.

En çok bir ders ten ge çen le rin sa yı sı 26 ise iki ders ten de ka lan la rın sa yı sı kaç tır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

7. 45 ki şi lik bir sı nıf ta sat ranç bi len ve bil me yen kız la rın sa yı sı eşit tir. Sat ranç bi len kız la rın sa - yı sı, sat ranç bil me yen er kek le rin sa yı sı nın 4 ka tı dır.

Er kek le rin sa yı sı kız la rın sa yı sın dan 19 ek - sik ol du ğu na gö re, bu sı nıf ta sat ranç bi len er kek öğ ren ci sa yı sı kaç tır?

A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 16

8. İn gi liz ce ve kim ya ders le ri nin en az bi rin den ba şa rı lı olan öğ ren ci le rin bu lun du ğu bir sı nıf - ta öğ ren ci le rin % 30 u in gi liz ce, % 90 ı da kim - ya ders le rin den ba şa rı lı ol muş tur.

5 öğ ren ci yal nız İn gi liz ce der sin den ba şa - rı lı ise, sı nıf ta ki öğ ren ci sa yı sı kaç tır?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 40 E) 50

TEST 4

Kavram ve Örnekler

T

A ve B aktivitesini yapanların ve yapamayanların sayıları a, b, c, d dir.

– A yı yapan a + b – B yi yapan b + c – Sadece A yı yapan a – Sadece B yi yapan c – A ve B yi yapan b – A ve B yi yapmayan d – A veya B yi yapan a + b + c – En az birini yapan a + b + c – En çok birini yapan a + c + d – Yalnız birini yapan a + c

T 40 kişilik bir sınıfta 16 kişi ma- tematik dersinden 18 kişi fizik dersinden başarılıdır. 6 kişi de her iki dersten başarılıdır. Her iki dersten başarısız olan kaç kişi vardır?

Yukarıdaki kümeyi inceleyiniz.

Her iki dersten başarısız olan 12 öğrenci vardır.

M F

10 6 12

12

A B

a b c

E d

Konu Kümeler

1) A 2) E 3) E 4) C 5) E 6) B 7) A 8) E

20

K Ü M E L E R – 1 Kavram ve Örnekler

_9. Bir sı nıf ta fi zik ten ge çen le rin sa yı sı 24, Türk - çe den ge çen le rin sa yı sı 18, hem fi zik hem Türk çe den ge çen le rin sa yı sı 6 ol du ğu na gö - re, bu sı nıf ta Türk çe ve ya fi zik ten kaç öğ - ren ci geç miş tir?

A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 E) 40

10. Al man ca ve Fran sız ca dil le rin den en az bi ri - nin zo run lu okun du ğu bir sı nıf ta 36 öğ ren ci var dır. Al man ca oku yan lar Fran sız ca oku - yan la rın 2 ka tı dır.

Her iki di li de oku yan lar 6 ki şi ise yal nız Fran sız ca oku yan kaç ki şi var dır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

11. Bas ket bol ve ya vo ley bol oy na yan lar dan olu - şan bir grup ta, bas ket bol oy na yan la rın sa yı - sı, vo ley bol oy na yan la rın sa yı sı nın 2 ka tı dır.

Yal nız bas ket bol ile yal nız vo ley bol oy na yan- la rın sa yı la rı nın top la mı, her iki si ni de oy na - yan la rın sa yı sı nın 4 ka tı dır.

Bu grup ta en az kaç ki şi var dır?

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

12. Bir sı nı fın % 60 ı X der sin den, % 70 i Y der- sin den bü tün le me ye kal mış tır. X ve Y der sin- den bü tün le me ye ka lan 10 ki şi var dır.

X ve Y den ge çen ol ma dı ğı na gö re, yal nız X ten bü tün le me ye ka lan kaç ki şi var dır?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 20

13. 36 kiş lik bir sı nıf ta ma te ma tik der sin den kız öğ ren ci le rin 12’si ba şa rı lı, er kek öğ ren ci le rin 6 sı ba şa rı sız ol muş tur. Ba şa rı lı er kek öğ ren- ci le rin sa yı sı, ba şa rı sız kız öğ ren ci le rin sa yı - sı nın 2 ka tı dır.

Bu sı nıf ta ki er kek öğ ren ci sa yı sı kaç tır?

A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

14. İtal yan ca ve in gi liz ce dil le rin den en az bi ri ni bi len le rin oluş tur du ğu 30 ki şi lik bir sı nıf ta, İtal yan ca bi len le rin sa yı sı, yal nız ca İn gi liz ce bi len le rin sa yı sı nın 3 ka tın dan 2 faz la dır.

Bu sı nıf ta yal nız İn gi liz ce bi len kaç ki şi var dır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

15. Bir sı nıf ta fi zik ve ya kim ya der sin den bü tün- le me ye ka lan lar 21, fi zik ten ka lan lar kim ya - dan ka lan la rın üç ka tı ve her iki sin den ka lan lar 3 ki şi ol du ğu na gö re, yal nız kim ya - dan ka lan kaç ki şi dir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

16. 6 ki şi nin ya ban cı dil bil me di ği bir sı nıf ta di - ğer öğ ren ci ler İn gi liz ce, İtal yan ca dil le rin den en az bi ri ni bil mek te dir.

İn gi liz ce bil me yen le rin sa yı sı ile İtal yan - ca bil me yen le rin sa yı sı nın top la mı 18 ise bu sı nıf ta yal nız bir dil ko nu şa bi len le rin sa yı sı ne dir?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

T 13. soruya yol gösterme Kız : K , Erkek : E Matematikten başarılı : M Matematikten başarısız : M′

olmak üzere aşağıdaki tablo kolaylık sağlar.

T Eğer bir grupta iki şeyi yapan- ların % oranları veriliyorsa, örneğin 12. soru için Venn şe- masına şöyle bir yerleştirme yapılır.

%60 ve %70 ten

60 + 70 = 130 toplamından 100 çıkarılarak bulunur.

T İngilizce ve Almanca dillerin- den en çok birini bilen 20 kişi- lik bir sınıfta, İngilizce bilme- yen 12, Almanca bilmeyen 10, yalnız bir dil bilenler 8 kişi ise her iki dili de bilen kaç kişi var- dır?

z + t = 12 x + t = 10 x + z = 8 +–––––––––––

2(x + z + t) = 30

x + z + t = 15, x + y + z + t = 20 ise y = 5 bulunur.

‹ A

x y z

t 30x 30x 40x

X Y

M M′

12 X

2x 6

K E

9) D 10) B 11) C 12) A 13) B 14) A 15) B 16) C

21

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

1. Bir sı nıf ta ki öğ ren ci ler en az bir di li bil mek te- dir. Bu sı nıf ta ki öğ ren ci le rin ’ü Fran sız ca,

si in gi liz ce bil mek te dir.

Her iki di li de bi len 6 öğ ren ci ol du ğu na gö - re, sı nıf mev cu du kaç ki şi dir?

A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36

2. 30 ki şi lik bir sı nıf ital yan ca ve is pan yol ca dil- le rin den en az bi ri ni ko nu şan öğ ren ci ler den olu şu yor.

Yal nız bir dil ko nu şan la rın sa yı sı, iki dil ko - nu şan la rın sa yı sı na eşit se her iki di li de ko nu şan kaç öğ ren ci var dır?

A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24

3. Bir grup ta Fran sız ca bi len ler gru bun % 60 ı, Al man ca bi len ler gru bun % 80 i ve yal nız Al- man ca bi len 40 ki şi var dır.

Bu grup ta yal nız Fran sız ca ko nu şan kaç ki şi var dır?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

4. 26 ki şi lik bir top lu luk ta ma te ma tik bi len ler M, in gi liz ce bi len ler İ kü me si dir.

s(M ∩ İ) = 4 ise s((M ∩ İ)′) kaç tır?

A) 8 B) 12 C) 21 D) 22 E) 23

5. 84 ki şi lik bir grup ta er kek sa yı sı, ka dın sa yı - sın dan 12 faz la dır.

Grup ta 6 göz lük süz er kek ol du ğu na gö re, kaç göz lük lü er kek var dır?

A) 12 B) 15 C) 21 D) 36 E) 42

6. En az bir ya ban cı dil bi len le rin bu lun du ğu bir grup ta Fran sız ca bi len le rin hep si İtal yan ca, İtal yan ca bi len le rin hep si İn gi liz ce bil mek te dir.

Fran sız ca bil me yen ler, İtal yan ca bil me yen- le rin 4 ka tı ise sa de ce iki ya ban cı dil bi len- ler sa de ce bir ya ban cı dil bi len le rin kaç ka tı dır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

7. Bir grup ta İn gi liz ce ve Al man ca bi len ler le hiç - bi ri ni bil me yen ler bu lun mak ta dır. En çok bir dil bi len ler, en az bir dil bi len le rin üç ka tı, hiç dil bil me yen ler, her iki di li bi len le rin 4 ka tı ve bir dil bi len ler 6 ki şi ise bu grup kaç ki şi dir?

A) 33 B) 44 C) 50 D) 60 E) 66

8. Bir spor cu gru bun da hent bol ve vo ley bol oy- na yan lar ve oy na ma yan lar var dır. Hent bol oy- na yan la rın hep si vo ley bol oy na ya bil mek te dir.

Hent bol oy na yan la rın sa yı sı vo ley bol oy na - yan la rın sa yı sı nın si dir.

s(H ∪ V′) = 30 ve s(V′) = 2s(H) ise grup ta kaç ki şi var dır?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40

21

21 32

TEST 5

Kavram ve Örnekler

T

A ve B aktivitesini yapanların ve yapamayanların sayıları a, b, c, d dir.

– A yı yapan a + b – B yi yapan b + c – Sadece A yı yapan a – Sadece B yi yapan c – A ve B yi yapan b – A ve B yi yapmayan d – A veya B yi yapan a + b + c – En az birini yapan a + b + c – En çok birini yapan a + c + d – Yalnız birini yapan a + c

T Bir topluluktaki kişiler Fran- sızca, İngilizce, Almanca dille- rinden en az birini bilmekte ve İngilizce bilenler Almanca bil- memektedir. Bu toplulukta Fransızca bilmeyen 20, İngi- lizce bilmeyen 22, Almanca bil- meyen 18, yalnız iki dil bilen 16 kişi olduğuna göre bu top- lulukta sadece bir dil bilen kaç kişi vardır?

x + z = 20 ⇒ a+b = 16 y + b + z = 22

x + a + y = 18 +––––––––––––––

2(x + y + z) + a + b = 60 x + y + z = 22 bulunur.

‹ A

x a y b z

F

A B

a b c

E d

Konu Kümeler

1) E 2) B 3) C 4) D 5) E 6) A 7) E 8) E

22

K Ü M E L E R – 1 Kavram ve Örnekler

_9. 36 ki şi lik bir sı nıf ta 15 ki şi İn gi liz ce, 20 ki şi Fran sız ca, 6 ki şi de her iki di li bil mek te dir.

Bu sı nıf ta bu dil le rin hiç bi ri ni bil me yen kaç ki şi var dır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

10. 50 ki şi lik bir sı nıf ta in gi liz ce bi len le rin sa yı sı Al man ca bi len le rin sa yı sı nın 2 ka tı dır. Bu sı - nıf ta 15 ki şi bu dil le rin iki si ni de bil memek te- dir.

İki dil bi len 10 ki şi ol du ğu na gö re, yal nız - ca İn gi liz ce bi len kaç ki şi var dır?

A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

11. Bir sı nıf ta fut bol ve ya te nis oyun la rın dan en az bi ri ni oy na yan 24, yal nız bi ri ni oy na yan 18, en çok bi ri ni oy na yan 20 öğ ren ci var dır.

Bu na gö re bu sı nıf ta kaç ki şi var dır?

A) 16 B) 20 C) 26 D) 32 E) 38

12. Bir sı nıf ta ki 40 kız öğ ren ci den 36 sı ba şa rı lı - dır. Er kek le rin % 40 ı ve sı nı fın % 80 i ba şa - rı lı ise bu sı nıf ta kaç er kek öğ ren ci var dır?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

13. 40 ki şi lik bir grup ta Al man ca bi len le rin sa yı - sı 20, İn gi liz ce bil me yen le rin sa yı sı 12, en çok bir dil bi len le rin sa yı sı 24 ol du ğu na gö re, her iki di li de bil me yen le rin sa yı sı ne dir?

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

14. Bir spor cu gru bun da bas ket bol oy na ma yan- lar 10, hent bol oy na ma yan lar 12 ki şi dir. Bu spor lar dan hiç bi ri ni yap ma yan lar 6, her iki spo ru da ya pan lar 8 ki şi ol du ğu na gö re, bu grup ta hent bol ve ya bas ket bol oy na yan kaç ki şi var dır?

A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 E) 26

15. Bir sı nıf ta ki öğ ren ci le rin % 75’i ma te ma tik- ten, % 50 si fi zik ten ba şa rı sız olup her iki ders ten ba şa rı lı öğ ren ci yok tur.

Bu sı nıf ta 12 öğ ren ci her iki ders ten de ba şa rı sız ise sı nıf mev cu du kaç ki şi dir?

A) 24 B) 30 C) 36 D) 42 E) 48

16. İn gi liz ce ve Al man ca dil le ri nin ko nu şul du ğu bir sı nıf ta 12 kız ve 15 er kek var dır. Sı nıf ta 10 kız ve 8 er kek İn gi liz ce, 6 kız ve 8 er kek Al man ca ko nuş mak ta dır.

Bu sı nıf ta kaç öğ ren ci sa de ce Al man ca ko nuş mak ta dır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

T Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı Matematik, % 70 i Fizik, % 40 ı her iki dersten başarılıdır.

Bu sınıftaki öğrencilerin 10 ta- nesi her iki dersten de başarı- sız olduğuna göre, sınıfta kaç öğrenci vardır?

Sınıf : 100x olsun.

s(M ∩ F) = 40x s(M) = 60x s(F) = 70x

olup her iki dersten başarısız 10x kişi

10x = 10 ⇒ x = 1 ve sınıf = 100.1

= 100 kişi vardır.

T İngilizce, Fransızca ve Al- manca dillerinden en az birinin konuşulduğu 24 kişilik bir top- lulukta her üç dili konuşan 3, yalnız iki dil konuşan 10 kişi ol- duğuna göre, yalnız bir dili ko- nuşan kaç kişi vardır?

a + b + c + + 3 = 24

a + b + c = 11 dir.

‹ F

A a 3 y

c b

x z

x y z

\10

F

20x 40x 30x

10x M

100x

9) C 10) B 11) C 12) A 13) C 14) B 15) E 16) E

23

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

1. Bir sı nıf ta ede bi yat ve ta rih ders le rin den yal- nız bi rin den ge çen ler 15, en az bi rin den ge - çen ler 20, en çok bi rin den ge çen ler 25 ki şi ol du ğu na gö re, sı nıf mev cu du kaç ki şi dir?

A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45

2. 24 ki şi lik bir top lu luk İtal yan ca ve ya İn gi liz ce dil le rin den en az bi ri ni bi len ler den oluş mak ta - dır. Bu top lu luk ta İtal yan ca bi len ler, İn gi liz ce bi len le rin 3 ka tı ol du ğu na gö re, sa de ce İn gi - liz ce bi len kaç ki şi var dır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. P ve T ga ze te le rin den en az bi ri ni ta kip eden- ler den olu şan bir sı nı fın % 40’ı P ga ze te si ni,

% 80’i T ga ze te si ni alı yor. İki ga ze te yi de ta kip eden 10 ki şi ol du ğu na gö re, sı nı fın mev cu - du kaç ki şi dir?

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

4. X ve Y ro man la rın dan en az bi ri ni oku yan ki - şi ler den % 50 si X ro ma nı nı, % 60 ı Y ro ma - nı nı oku muş tur.

İki ro ma nı da oku yan la rın sa yı sı 5 ol du ğu - na gö re, sı nıf mev cu du kaç ki şi dir?

A) 25 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

5. 35 ki şi lik bir sı nıf ta yal nız Fran sız ca ve yal nız İtal yan ca ko nu şan la rın top la mı her iki di li de ko nu şan la rın 4 ka tı dır.

5 ki şi her iki di li de ko nu şa ma dı ğı na gö re yal nız bir di li ko nu şan kaç ki şi dir?

A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) 28

6. 60 ki şi lik bir sı nıf ta sa de ce kim ya dan ka lan la - rın sa yı sı, sa de ce bi yo lo ji den ka lan la rın sa yı - sı ve bu iki ders ten de ge çen le rin sa yı sı eşit tir.

Bu sı nıf ta hem kim ya dan hem de bi yo lo ji- den ka lan la rın sa yı sı aşa ğı da ki ler den han - gi si ol amaz?

A) 9 B) 12 C) 18 D) 20 E) 24

7. Bir sı nıf ta hem fut bol hem vo ley bol oy na yan- la rın sa yı sı 5, fut bol ve ya vo ley bol dan en az bi ri ni oy na yan la rın sa yı sı 15 tir. Fut bol oy na - yan la rın sa yı sı, vo ley bol oy na yan lar dan 4 faz - la ol du ğu na gö re, bu sı nıf ta fut bol oy na yan kaç ki şi var dır?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

8. 5 ki şi nin ya ban cı dil bil me di ği bir sı nıf ta di ğer öğ ren ci ler, Al man ca, İn gi liz ce dil le rin den en az bi ri ni bil mek te dir. Al man ca bil me yen le rin sa yı sı ile İn gi liz ce bil me yen le rin sa yı sı nın top - la mı 20 dir.

Bu sı nıf ta tek bir dil ko nu şa bi len le rin sa yı - sı ne dir?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

TEST 6

Kavram ve Örnekler

T

A ve B aktivitesini yapanların ve yapamayanların sayıları a, b, c, d dir.

– A yı yapan a + b – B yi yapan b + c – Sadece A yı yapan a – Sadece B yi yapan c – A ve B yi yapan b – A ve B yi yapmayan d – A veya B yi yapan a + b + c – En az birini yapan a + b + c – En çok birini yapan a + c + d – Yalnız birini yapan a + c

T Matematik, Fizik ve Kimya derslerinden bütünlemeye ka- lanlarla doğrudan geçenlerin oluşturduğu bir öğrenci gru- bunda en az iki dersten bütün- lemeye kalan 19, en çok bir dersten bütünlemeye kalan 30 kişi, en çok iki dersten bütünle- meye kalan 45 kişi vardır. Buna göre, üç dersten de bütünle- meye kalan kaç öğrenci vardır?

x + y + z + d = 19 a + b + c + t = 30 +–––––––––––––––––

s(E) = 49

x + y + z + a + b + c + t = 45 d = s(E) – 45

d = 49 – 45 = 4 tür.

M F

K c d y

a b

x z

E t

A B

a b c

E d

Konu Kümeler

1) B 2) C 3) B 4) E 5) D 6) D 7) C 8) B

24

K Ü M E L E R – 1 Kavram ve Örnekler

_9. Bir sı nıf ta ki öğ ren ci ler en az bir di li bil mek te- dir. Bu sı nıf ta ki öğ ren ci le rin ü İn gi liz ce, i Fran sız ca bil mek te dir.

Her iki di li de bi len 8 öğ ren ci ol du ğu na gö re, sı nıf mev cu du kaç ki şi dir?

A) 120 B) 105 C) 90 D) 80 E) 75

10. 48 ki şi lik bir sı nıf Fran sız ca ve İtal yan ca dil- le rin den en az bi ri ni ko nu şan öğ ren ci ler den olu şu yor. Yal nız bir dil ko nu şan la rın sa yı sı, iki dil ko nu şan la rın sa yı sı nın üç ka tı dır.

Her iki di li de ko nu şan kaç öğ ren ci var - dır?

A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36

11. Bir grup ta Al man ca bi len ler gru bun % 60 ı, Fran sız ca bi len ler gru bun % 70 i ve yal nız Fran sız ca bi len 60 ki şi var dır.

Bu grup ta yal nız Al man ca bi len kaç ki şi var dır?

A) 45 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80

12. 75 ki şi lik bir grup ta sa rı şın ka dın la rın sa yı sı, es mer ka dın la rın sa yı sı nın üdür. Grup ta - ki er kek sa yı sı, ka dın sa yı sın dan 15 faz la dır.

Grup ta 5 sa rı şın er kek ol du ğu na gö re kaç es mer er kek var dır?

A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 40

13. En az bir ya ban cı dil bi len le rin bu lun du ğu bir grup ta İn gi liz ce bi len le rin hep si Fran sız ca, Fran sız ca bi len le rin hep si Al man ca bil mek- te dir.

İn gi liz ce bil me yen ler, Fran sız ca bil me - yen le rin 6 ka tı ise sa de ce iki ya ban cı dil bi len ler sa de ce bir ya ban cı dil bi len le rin kaç ka tıdır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

14. Bir spor cu gru bun da vo ley bol ve hent bol oy- na yan lar ve oy namayan lar var dır. Vo ley bol oy na yan la rın hep si hent bol oy na ya bil mek te - dir. Vo ley bol oy na yan la rın sa yı sı hent bol oy- na yan la rın sa yı sı nın si dir.

s(V ∪ H′) = 32 ve s(H′) = 3s(V) ise grup ta kaç ki şi var dır?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

15. Bir grup ta Al man ca ve Fran sız ca bi len ler le hiç bi ri ni bil me yen ler bu lun mak ta dır. En çok bir dil bi len ler, en az bir dil bi len le rin üç ka tı, hiç dil bil me yen ler her iki di li de bi len le rin dört ka tı ve bir dil bi len ler 8 ki şi ise bu grup kaç ki şi dir?

A) 75 B) 80 C) 83 D) 88 E) 90

16. 45 ki şi lik bir sı nıf ta 10 ki şi Fran sız ca, 15 ki şi İn gi liz ce, 6 ki şi de her iki di li bil mek te dir.

Bu sı nıf ta bu dil le rin hiç bi ri ni bil me yen kaç ki şi var dır?

A) 10 B) 14 C) 20 D) 22 E) 26

21

41

52 32

T 69 kişilik bir sınıfta 27 kişi ma- tematikten, 22 kişi fizikten, 20 kişi de kimyadan geçmiştir.

Bunlardan 6 sı yalnız matema- tikten, 5 i yalnız fizikten, 8 i yal- nız kimyadan ve 4 kişi de her üç dersten de geçmiştir. Yalnız matematik ve fizikten geçen kaç kişi vardır?

10 + x + y = 27 9 + y + z = 22 12 + z + x = 20 +–––––––––––––––––

31 + 2(x + y + z) = 69 x + y + z = 19 x + z = 20 – 12 = 8 olduğundan y = 19 – 8 = 11 bulunur.

T 30 kişilik bir grubunda herkes futbol, voleybol ve su topu sporlarından en az birini yap- maktadır. Yalnız birini yapan sporcu sayısı 16 ve yalnız iki- sini yapan sporcu sayısı 8 ol- duğuna göre, her üç sporu yapan kişi sayısı kaçtır?

a + b + c = 16 x + y + z = 8 ve tüm sporcuların sayısı

16 + 8 + d = 30 ise d = 6 dır.

a b c x y z d 30+ + + + + + =

16 8

\ \

F V

S c d y

a b

x z

M F

K 8 4 y

6 5

x z

9) A 10) A 11) A 12) E 13) E 14) E 15) D 16) E

25

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

Sıralı İkili – Sıralı n-li

T Matematikte bazı durumlarda yazılış sırası önemlidir. Herhangi iki a, b elemanının yazılış sırası önemli olmak üzere, a ve b ele- man la rı nın (a, b) bi çi min de ya zıl masıy la el de edi len ele ma na sı ra lı iki li ve ya kı sa ca iki li de nir.

(a, b) sı ra lı iki li sin de a ya bi rin ci bi le şen, b ye ikin ci bi le şen de nir. (a, b) ≠ (b, a) dır.

(a, b) sı ra lı iki li (a, b, c) sı ra lı üç lü ...

...

(a₁, a₂, ..., a_n) sı ra lı n – li dir.

T (a, b) = (c, d) + a = c ve b = d (a, b, c) = (x, y, z) + a = x, b = y, c = z

Kartezyen Çarpım

T A ve B boş ol ma yan her han gi iki kü me ol mak üze re, A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B}

kü me si ne A ile B nin kar tez yen çar pımı de nir.

T A x A = A² , A x A x A = A³, ...

T A x B ≠ B x A

T (A x B) x C = A x (B x C) T A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)

A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

T s(A x B) = s(A).s(B)

s(A x B x C) = s(A).s(B).s(C) ...

KONU ÖZETI

KARTEZYEN ÇARPIM

26

K Ü M E L E R – 1 Kavram ve Örnekler

T (x, y, z) = (a, b, c) ise x = a, y = b, z = c dir.

T A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B}

T (2^x+1, 3^1–y, 5^z) = (8, 9, 125) eşitliğinde x, y, z sayılarını bulalım.

Sıralı üçlülerin eşitliğinden 2^x+1= 8 = 2³

x + 1 = 3 ⇒ x = 2

3^1–y= 9 = 3² 1 – y = 2 ⇒ y = –1

5^z= 125 = 5³ z = 3 bulunur.

T (A x B) ∩(A x C)

= A x (B ∩C)

T s(A x B) = s(B x A)

= s(A) . s(B)

T A = {x : x ≤ 5, x ∈N} ise A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Konu Kartezyen Çarpım

1. (x, 8^x+1) = (y, 512)

olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2.

olduğuna göre, a kaçtır?

A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

3. A x B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}

olduğuna göre, A ∩ B kümesi aşağıdakiler- den hangisidir?

A) {1, 2} B) {2} C) {3, 1}

D) {3, 2} E) {1}

4. Yandaki grafikte

A x B kümesi ve- rilmiştir.

Buna göre A ∩ B kümesi nedir?

A) (–3, 2] B) (–3, 1] C) (–3, 2) D) (–2, 1] E) (–2, 2)

5. Yandaki grafikte

X x Y kümesi ve- rilmiştir.

Buna göre X ∩ Y kümesi nedir?

A) (–1, 2) B) [–1, 2] C) [–1, 2) D) (–3, 1) E) (–3, 2)

6. A = {1, 2}, B = {x, y} ve C = {y, z} ise (A x B) ∩ (A x C) aşa ğı da ki ler den han gi si - dir?

A) {(1, y)} B) ({1, y}, {2, y}) C) ({2, y}, {y, 1}) D) ({2, y})

E) ({y, 2}, {y, 1})

7. A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {1, 2} B) {a, 2} C) {a, 1}

D) {1, 2, a} E) {2, a, b}

8. A = {x | x ≤ 4, x ∈ N}

B = {–3, –2, –1}

olduğuna göre, B x A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

, , a ( , ,y x y) 81 2_x = 64 +

c m

A B

0 –4

3

–3 2

X Y

–3 2

–1 2 0

1) D 2) B 3) A 4) A 5) A 6) B 7) A 8) C

27

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

TEST

Kavram ve Örnekler

_9. A = {0, 1, 2}, B = {1, 2} olduğuna göre, A x B nin gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si - dir?

10. A = [0, 1) ve B = {0, 1, 2} kümeleri veriliyor.

A x B nin gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si - dir?

11. A = [4, 8] ve B = [1, 6] kümeleri veriliyor.

A x B nin gra fi ği çi zil di ğin de olu şan böl- ge nin alanı kaç birimkaredir?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

12. A = [2, 4] ve B = [1, 3] kümeleri veriliyor.

A x B nin gra fi ği çi zil di ğin de olu şan böl- ge nin alanı kaç birimkaredir?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

13. A = {1,2},

A x B = {1, a), (1, b), (2, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

olduğuna göre, B kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

14. s(A x B) = 15

olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 15

15. A = {–2, –1, 0}

olduğuna göre, A x A kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

A) 9 B) 36 C) 81 D) 90 E) 126

A B

0 1

1 2 2

A B

0 1

1 2 2

A B

0 1

1 2 2

A B

0 1

1 2 2

A B

0 1

2 2

A) B)

C) D)

E)

A B

0 2 1

A B

0 1

A B

0 2 1

A B

0 2 1

A B

0 1

1 1 2

1 1

1 2

A) B)

C) D)

E) T A = [–1, 3]

B = [4, 9]

olsun. A x B nin grafiği çizildi- ğinde oluşan kapalı bölgenin alanını bulalım.

A = [–1, 3] kapalı aralık, A nın uzunluğu 3 – (–1) = 4 birim, B kapalı aralık, B nin uzunluğu 9 – 4 = 5 birim olup oluşan ka- palı bölgenin alanı,

4.5 = 20 birimkaredir.

T s(A) = n ise s(A x A) = s(A) . s(A)

= n.n

= n²

T s(A) ve s(B) birer doğal sayıdır.

T s(A) = n ise A nın m elemanlı alt kümelerinin sayısı

olur.

– !. ! n !

m n m m

= n f ^p ^ h

9) A 10) A 11) D 12) B 13) C 14) C 15) E

1

28

K Ü M E L E R – 1

1. (a + 6, b – 3) = (2, 4) ise a + b toplamı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. = (3, 2, b + 2c)

ise a.b.c çarpımı kaçtır?

A) –8 B) –16 C) –32 D) 16 E) 8

3. = (2, –3) ise x.y çarpımı kaçtır?

A) –4 B) –12 C) –24 D) 12 E) 24

4. s(A) = 5, s(B) = 6, s(C) = 8 olduğuna göre, (A x B) ∪ (A x C) kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir?

A) 7 B) 35 C) 42 D) 70 E) 84

5. A, B, C kümeleri için A ∩ B = {b, 2}

B ∩ C = {1, 2, 3, 4} olduğuna göre

A x (B ∩ C) kü me si nin ele man sa yı sı en az kaç tır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

6. A = {2, 3}, B = [3, 4] iken A x B nin gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si dir?

7. s(A) = 3, s(B) = 5, s(C) = 6 olduğuna göre, (A x B) ∩ (A x C) kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

, , a+1 b c+3

^ h

x, y 8 2

b l

A B

0 3

A B

0 3

A B

0 4 3

A B

0 3 2

2 3

A B

0 2 1

2 3

3 4

2 3

3 4

4

A) B)

C) D)

E)

Kavram ve Örnekler

T (x, y, z) = (a, b, c) ise x = a, y = b, z = c

T s(A x B) = s(A).s(B)

T A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

T s(A) = n, s(B) = m s(C) = P vedildiğinde

(A x B) ∩ (A x C) kümesinin eleman sayısının en az olması için

A x (B ∩C) ifadesinde s(B ∩C) = 0 alınır.

Yani B ∩C = Ø olmalıdır.

Konu Kartezyen Çarpım

1) B 2) C 3) C 4) D 5) E 6) B 7) A

29

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

Kavram ve Örnekler

_8. A = [–2, 0] ve B = (–3, –1) ise

A x B nin gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gi si - dir?

9. X = {a, b, c, d}, Y = {2, 3, 4}, Z = {5, d} ise Y x (X ∩ Z) nin eşi ti aşa ğı da ki ler den han - gi sidir?

A) {(2, d), (d, 3)}

B) {(2, d), (3, d), (4, d)}

C) {(3, d), (4, d), (5, d)}

D) {(3, d), (d, 5)}

E) {(d, 4), (d, 2)}

10. A, B, C kümeleri için A ∩ B = {a, 1}

B ∩ C = {a, b, c} ve A ⊂ B

olduğuna göre, A x (B ∩ C) kümesinin ele- man sayısı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

11. A = {x : |x – 2| ≤ 1, x ∈ R}

B = {x : x²< 4, X∈ R}

kümeleri veriliyor.

B x A kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

12. A x B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 8)} ise s(B ∩ C) kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13. s(A ∩ B) = 4

s[(A – B) x A] = s[B x (B – A)]

olduğuna göre, s(A ∪ B) aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14

A B

0

–1 A

B

0 –2

A B

0

A B

0 3 1

2 3

A B

0 2

1 2

–3

–2

–1 –3

–1 –3 –2

A) B)

C) D)

E)

A)

2 1

3 y

y

B) ^y

–2 y

1 3

C)

–1 2

y

y

D) ^y

y –2 2

–2 2 1 3

E) ^y

2 y –2

1 3

TEST

T A = {x : x²< 9, x ∈R}

olsun.

–3 < x < 3 A = (–3, 3) olur.

T s[A x (B ∩ C)] = s(A) . s(B ∩C) dir.

T A = [–1, 2] ise x A –1 ≤ x ≤ 2

T A = [2, ∞) B = [1, ∞) ise A x B nin grafiği

1

2 A

B

x²<9& x²< 9

8) C 9) B 10) E 11) E 12) A 13) B

2

30

Soru

K Ü M E L E R – 1

^1. A \ C = {a, b, c, d} ve B \ C = {a, b, 1} olduğuna göre, (A ∩ B) \ C kümesini bulunuz.

{a.b}

2. s(A ∪ B) = 24 , s(A \ B) = s(B \ A) + 4 s(A ∩ B) = 3.s(B \ A) ise s(A) kaçtır?

( 20 )

3. s(A – B) = 3.s(B – A) , s(A ∪ B) = 48 ve s(A ∩ B) ≠ Ø ise A ∩ B kümesi en az kaç elemanlıdır?

( 4 )

4. A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ise

A ⊂ P ⊂ B olacak şekilde A ve B kümelerinden farklı kaç P kümesi yazılabilir?

( 14 )

5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin 4 elemanlı kaç alt kümesinde 2 ve 3 bulunur, 7 bulunmaz?

( 6 )

6. A \ B = {a, b, c, d}

A ∩ B = {e, f}

B \ A = {g, h} ise

A ∪ B nin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı nedir?

( 56 )

7. A ve B, E evrensel kümesinin birer alt kümesidir.

B ⊄ A, s(A) = 15, s(B′) = 20, s(A′) = 10 ise A ∪ B nin eleman sayısı en az kaç olabilir?

( 16 )

8. s(A \ B) = 6 ve s(A ∪ B) = 16 dır.

s(A) < s(B) olduğuna göre, s(A ∩ B) en çok kaç olur?

( 3 )

9. A = {x : 100 < x < 300, x = 3n, n ∈ Z}

B = {x : 200 < x < 400, x = 2m, m ∈ Z}

ise s(A ∩ B) kaçtır?

( 16 )

10. Bir sınıfta futbol veya voleybol oyunlarından en az birini oy- nayan 20, yalnız birini oynayan 16, en çok birini oynayan 18 kişi vardır.

Buna göre, sınıf mevcudu kaçtır?

( 22 )

31

Soru

K Ü M E L E R Ü N İT E – 1

DERS NOTLARI