1 milyon elemanlı sentetik seriler ile farklı olasılıklı değişken değerlerinin tahmininde bazı dağılımların karşılaştırılması

T.C.

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

1 MİLYON ELEMANLI SENTETİK SERİLER İLE FARKLI OLASILIKLI DEĞİŞKEN DEĞERLERİNİN

TAHMİNİNDE BAZI DAĞILIMLARIN KARŞILAŞTIRILMASI

Hazırlayan

Ömer ÇANAKÇIOĞLU

Danışman

Doç. Dr. Murat ÇOBANER

Yüksek Lisans Tezi

Ağustos 2012 KAYSERİ

T.C.

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

1 MİLYON ELEMANLI SENTETİK SERİLER İLE FARKLI OLASILIKLI DEĞİŞKEN DEĞERLERİNİN

TAHMİNİNDE BAZI DAĞILIMLARIN KARŞILAŞTIRILMASI

(

Hazırlayan

Ömer ÇANAKÇIOĞLU

Danışman

Doç. Dr. Murat ÇOBANER

Ağustos 2012 KAYSERİ

BİLİMSEL ETİĞE UYGUNLUK

Bu çalışmadaki tüm bilgilerin, akademik ve etik kurallara uygun bir şekilde elde edildiğini beyan ederim. Aynı zamanda bu kural ve davranışların gerektirdiği gibi, bu çalışmanın özünde olmayan tüm materyal ve sonuçları tam olarak aktardığımı ve referans gösterdiğimi belirtirim.

Adı-Soyadı : Ömer ÇANAKÇIOĞLU  İmza :

“1 Milyon Elemanlı Sentetik Seriler İle Farklı Olasılıklı Değişken Değerlerinin Tahmininde Bazı Dağılımların Karşılaştırılması” adlı Yüksek Lisans tezi, Erciyes Üniversitesi Lisansüstü Tez Önerisi ve Tez Yazma Yönergesi’ne uygun olarak hazırlanmıştır.

Tezi Hazırlayan Danışman

Ömer ÇANAKÇIOĞLU Doç. Dr. Murat ÇOBANER

İnşaat Mühendisliği ABD Başkanı Prof. Dr. Mehmet ARDIÇLIOĞLU  

TEŞEKKÜR

İnşaat Mühendisliği Bölümü’nden mezun olup geldiğim İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı’nda “1 Milyon Elemanlı Sentetik Seriler İle Farklı Olasılıklı Değişken Değerlerinin Tahmininde Bazı Dağılımların Karşılaştırılması” konulu tez çalışmasının seçiminde, yürütülmesinde ve sonuçlandırılmasında maddi-manevi destek ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocalarım Sayın Prof. Dr. Tefaruk HAKTANIR’ a ve Doç. Dr. Murat ÇOBANER’e teşekkürlerimi içtenlikle sunmayı bir borç bilirim.

Ayrıca tez çalışması boyunca bana verdiği manevi destek, göstermiş olduğu sabır ve anlayıştan dolayı değerli aileme minnettar olduğumu belirtmek isterim.

Ömer ÇANAKÇIOĞLU Kayseri, Ağustos 2012  

1 MİLYON ELEMANLI SENTETİK SERİLER İLE FARKLI OLASILIKLI DEĞİŞKEN DEĞERLERİNİN TAHMİNİNDE BAZI DAĞILIMLARIN

KARŞILAŞTIRILMASI Ömer ÇANAKÇIOĞLU

Erciyes Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü Yüksek Lisans Tezi, Ağustos 2012 Tez Danışmanı: Doç. Dr. Murat ÇOBANER

ÖZET

Öncelikle bu çalışmada ele alınan olasılık dağılımı parametre tahmin yöntemleri hakkında özet bilgiler sunulmuştur. Gumbel, LN3, GED, P3 ve LP3 dağılımları için parametre tahmin yöntemleri olarak verilen Momentler (MOM) yöntemi, Maksimum- olabilirlik (MO) yöntemi, Olasılık-ağırlıklı-momentler (OAM) yöntemi, kendini- belirleyen olasılık-ağırlıklı-momentler (KBOAM) yöntemi ve LN3 için LN3-CK0 ayrıntılı bir şekilde verildikten sonra rastgele sayı türeticisi programlardan RAN1 adlı programla 1Milyon elemanlı uzun bir sentetik seri üretilmiştir. Çalışmanın son aşamasında, toplam 21 farklı dağılım modelinin, ortalama peryodu: T = 2, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2Bin, 5Bin, ve 10Bin yıl olan değerleri tahmin etmesindeki bağıl hataların uzun sentetik done üzerinde hesaplanıp karşılaştırılması analizi gerçekleştirilmiştir. 21 farklı dağılım modelinin objektif olarak karşılaştırılabilmesi amacıyla, sentetik seri türetilmesinde kullanılacak olasılık dağılımı için tek bir dağılım yerine, ayrı ayrı LN3, GED, ve P3 dağılımlarının denenmesi yoluna gidilmiştir. Relatif hata (RH) histogramlarının ayrıntılı bir biçimde ikişerli, üçerli gruplar halinde incelenmesiyle çalışma tamamlanmış ve elde edilen bulgular sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler: Gumbel, LN3, GED, P3, LP3, MOM, MO, OAM, KBOAM, LN3- CK0.

1 MILLION SERIES WITH SYNTHETIC ELEMENT WITH SOME OF ESTIMATING THE DISTRIBUTION OF VALUES OF VARIABLE

COMPARISON OF DIFFERENT PROBABILIS Ömer ÇANAKÇIOĞLU

Erciyes University, Graduate School of Natural and Applied Sciences

M. Sc. Thesis, August 2012

Thesis Supervisor: Assoc. Dr. Murat ÇOBANER ABSTRACT

Firstly, it is given some summary informations about the probability distributions of parameter forecast methods is used in this study. After MOM, MO, OAM, KBOAM and LN3-CK0 are given as parameter forecast methods for Gumbel, LN3, GED, P3 and LP3; a long synthetic series with 1 million members is produced by RAN1 which is one of the random number producers.At the end of the study, relative errors to forecast of total 21 distributions of which average period is T=2, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000 and 10000 years, are calculated and compared on the long synthetic data. To compare 21 different distribution models objectively, instead of only one distribution, three distributions which are LN3, GED and P3 are tested separately. The study is finished by investigating the relative error (RH) historams with in twos and in threes groups separately, and the findings are given finally.

Keywords: Gumbel, LN3, GED, P3, LP3, MOM, MO, OAM, KBOAM, LN3-CK0

İÇİNDEKİLER

1 MİLYON ELEMANLI SENTETİK SERİLER İLE FARKLI OLASILIKLI DEĞİŞKEN DEĞERLERİNİN TAHMİNİNDE BAZI DAĞILIMLARIN

KARŞILAŞTIRILMASI  

BİLİMSEL ETİĞE UYGUNLUK ...ii

YÖNERGEYE UYGUNLUK SAYFASI ...iii

KABUL VE ONAY SAYFASI ...iv

TEŞEKKÜR... v

ÖZET ...vi

ABSTRACT...vii

İÇİNDEKİLER ...viii

TABLOLAR LİSTESİ ...xii

ŞEKİLLER LİSTESİ ... xv

GİRİŞ ... 1

1. BÖLÜM GENEL BİGİLER 1.1 BU ÇALIŞMADA ELE ALINAN OLASILIK DAĞILIMI PARAMETRE TAHMİN YÖNTEMLERİ HAKKINDA ÖZET BİLGİLER...2

1.2. BU ÇALIŞMADA ELE ALINAN OLASILIK DAĞILIMLARI HAKKINDA ÖZET BİLGİLER ...4

1.2.1. GUMBEL DAĞILIMI HAKKINDA ÖZET BİLGİLER ...4

1.2.1.1. Giriş ...4

1.2.1.2. Gumbel Dağılımı Parametrelerinin Momentler Yöntemiyle Hesabı...5

1.2.1.3. Gumbel Dağılımı Parametrelerinin Maksimum-Olabilirlik Yöntemiyle Hesabı ...6

1.2.1.4. Gumbel Dağılımı Parametrelerinin Olasılık-Ağırlıklı-Momentler Yöntemiyle Hesabı ...6

1.2.1.5. Gumbel Dağılımı Parametrelerinin Kendini-Belirleyen-Olasılık-Ağırlıklı- Momentler Yöntemiyle Hesabı...7 1.2.1.6. Gumbel Dağılımında (Değişken Değeri) ↔ (Küçük-Kalma Olasılığı) İlişkisinin Hesabı ...7 1.2.2. 3-PARAMETRELİ LOG-NORMAL (LN3) DAĞILIM HAKKINDA ÖZET BİLGİLER...7

1.2.2.1. Giriş ...7 1.2.2.2. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Momentler Yöntemiyle Hesabı ...9 1.2.2.3. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Maksimum-Olabilirlik Yöntemiyle Hesabı ...11 1.2.2.4. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Olasılık-Ağırlıklı-Momentler Yöntemiyle Hesabı ...12 1.2.2.5. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Kendini-Belirleyen-Olasılık-Ağırlıklı- Momentler Yöntemiyle Hesabı...14 1.2.2.6. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Dönüştürülmüş-Değişkenin-Örnek-Seri- Çarpıklık-Katsayısını-Sıfır-Yapan (ÇK0) Yöntemiyle Hesabı...15 1.2.2.7. LN3 Dağılımında (Değişken Değeri) ↔ (Küçük-Kalma Olasılığı) İlişkisinin Hesabı ...17 1.2.3. GENEL EKSTREM DEĞERLER (GED) DAĞILIMI HAKKINDA ÖZET BİLGİLER...18

1.2.3.1. Giriş ...18 1.2.3.2. GED Dağılımı Parametrelerinin Momentler Yöntemiyle Hesabı...23 1.2.3.3. GED Dağılımı Parametrelerinin Maksimum-Olabilirlik Yöntemiyle Hesabı ...24 1.2.3.4. GED Dağılımı Parametrelerinin Olasılık-Ağırlıklı-Momentler Yöntemiyle Hesabı ...26 1.2.3.5. GED Dağılımı Parametrelerinin Kendini-Belirleyen-Olasılık-Ağırlıklı- Momentler Yöntemiyle Hesabı...27 1.2.3.6. GED Dağılımında (Değişken Değeri) ↔ (Küçük-Kalma Olasılığı) İlişkisinin Hesabı ...27

1.2.4. 3-PARAMETRELİ GAMA (PEARSON-3) DAĞILIMI HAKKINDA ÖZET

BİLGİLER...28

1.2.4.1. Giriş ...28

1.2.4.2. P3 Dağılımı Parametrelerinin Momentler Yöntemiyle Hesabı...29

a = 4 / ÇKx2 , b = SSx / √a , c = AOx – a·b (1.81), (1.82), (1.83)...30

1.2.4.3. P3 Dağılımı Parametrelerinin Maksimum-Olabilirlik Yöntemiyle Hesabı 30 1.2.4.4. P3 Dağılımı Parametrelerinin Olasılık-Ağırlıklı-Momentler Yöntemiyle Hesabı ...31

1.2.4.5. P3 Dağılımı Parametrelerinin Kendini-Belirleyen-Olasılık-Ağırlıklı- Momentler Yöntemiyle Hesabı...31

1.2.4.6. P3 Dağılımında (Değişken Değeri) ↔ (Küçük-Kalma Olasılığı) İlişkisinin Hesabı ...32

1.2.5. 3-PARAMETRELİ LOG-GAMA (LOG-PEARSON-3) DAĞILIMI HAKKINDA ÖZET BİLGİLER ...34

1.2.5.1. Giriş ...34

1.2.5.2 LP3 Dağılımı Parametrelerinin Tahmini ...35

1.2.5.3. LP3 Dağılımında (Değişken Değeri) ↔ (Küçük-Kalma Olasılığı) İlişkisinin Hesabı ...35

1.2.6. LN3, GED-2, VE P3 DAĞILIMLARI OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONLARININ BAZI NİCEL KARŞILATIRILMASI...36

2. BÖLÜM 1 MİLYON ELEMANLI SERİ ÜRETİMİ VE HESAPLAMALAR 2.1. ÇALIŞMADA KULLANILAN OLASILIK DAĞILIMLARININ, 2 YILDAN 10BİN YILA KADAR TEKERRÜRLÜ PİK DEĞERLERİN TAHMİNİNDEKİ UYGUNLUĞUNU UZUN SENTETİK DONE İLE DEĞERLENDİRME ÇALIŞMALARI ...39

2.1.1. 1 Milyon Elemanlı Sentetik Seri Üretimi...39

2.1.2. LN3 Ana Dağılımı ile 1Milyon Elemanlı Sentetik Seri Üretimi...45

2.1.3. GED Ana Dağılımı ile 1Milyon Elemanlı Sentetik Seri Üretimi...46 2.1.4. 3-Parametreli Gama Ana Dağılımı ile 1Milyon Elemanlı Sentetik Seri Üretimi...47 2.1.5. 1Milyon Elemanlı Sentetik Seriden Elde Edilen, 100Bin Adet n=10 Elemanlı, 50Bin Adet n=20 Elemanlı, 33333 Adet n=30 elemanlı, 20Bin Adet n=50 elemanlı, 14285 Adet n=70 Elemanlı, ve 10Bin Adet n=100 Elemanlı Kısa Seriler Üzerinde Değişik Tekerrürlü Değişken Değerlerinin ve Bunların Kitle Değişken Değerlerinden Olan Relatif Hatalarının Hesapları ...48 2.1.6. 1Milyon/n Adet n-elemanlı Sentetik Serilerden Elde Edilen 1Milyon/n Adet Relatif Hataların (RHların) Ortalama Değerleri, Standart Sapmaları, ve Dağılımlarının Hesaplanması ...49

2.1.6.1. 1Milyon/n Adet RHların Ortalama Değerleri ve Standart Sapmalarının Hesaplanması...49 2.1.6.2. 1Milyon/n Adet RHların Dağılımlarının Hesaplanması...58

3. BÖLÜM BULGULAR

3.1. Ortalama Relatif Hata (ORH) ve Relatif Hataların Standart Sapması (SSRH) Tablolarının İncelenmesinden Çıkarılan Bulgular...61 3.2. T = 10, 100, 1000, 10000 yıl Tekerrür Peryotlarında, 1Milyon/n Adet Relatif Hataların Dağılımlarının İncelenmesinden Çıkarılan Bulgular ...78

4. BÖLÜM

TARTIŞMA-SONUÇ VE ÖNERİLER

4.1 RH HİSTOGRAMLARININ İNCELENMESİ ...80 KAYNAKLAR ...84 ÖZ GEÇMİŞ...90

TABLOLAR LİSTESİ

Tablo 2.1 GED ana dağılımı ile, =1, VK=0.5 ve ÇK=2 değerleriyle türetilmiş 1Milyon elemanlı sentetik seriden, n=30 elemanlı 33333 kısa seriler ile elde edilen çıktı dosyasının Ortalama Relatif Hataları, bunların sıralanmasını, Relatif Hataların Standart Sapmalarını ve bunların sıralanmasını veren kısmı ... 52 Tablo 2.2 33333 Adet 30 Elemanlı Serilerden Elde Edilen Relatif Hataların Özet

Bilgileri: ... 53 Tablo 2.3 Ortalama Değerlere Göre Dağılımların Sıra Noları:... 54 Tablo 2.4 Ortalama Değerlere Göre Dağılımların Sıralaması: ... 54 Tablo 2.5 33333 Adet 30 Elemanlı Serilerden Elde Edilen Relatif Hataların Medyan

Değerleri:... 55 Tablo 2.6 Medyan Değerlerine Göre Dağılımların Sıra Noları: ... 55 Tablo 2.7 Medyan Değerlerine Göre Dağılımların Sıralaması: ... 56 Tablo 2.8 33333 Adet 30 Elemanlı Serilerden Elde Edilen Relatif Hataların Standart

Sapmaları: ... 56 Tablo 2.9 Standart Sapma Değerlerine Göre Dağılımların Sıra Noları: ... 57 Tablo 2.10 Standart Sapma Değerlerine Göre Dağılımların Sıralaması:... 57 Tablo 3.1. Ana Dağılım: LN3 ve Çarpıklık Katsayısı = 0.5 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 63 Tablo 3.2. Ana Dağılım: LN3 ve Çarpıklık Katsayısı = 1 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 64

Tablo 3.3. Ana Dağılım: LN3 ve Çarpıklık Katsayısı = 2 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 65 Tablo 3.4. Ana Dağılım: LN3 ve Çarpıklık Katsayısı = 3 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 66 Tablo 3.5. Ana Dağılım: LN3 ve Çarpıklık Katsayısı = 5 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 67 Tablo 3.6. Ana Dağılım: GED ve Çarpıklık Katsayısı = 0.5 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 68 Tablo 3.7. Ana Dağılım: GED ve Çarpıklık Katsayısı = 1 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 69

Tablo 3.8. Ana Dağılım: GED ve Çarpıklık Katsayısı = 2 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 70 Tablo 3.9. Ana Dağılım: GED ve Çarpıklık Katsayısı = 3 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 71 Tablo 3.10. Ana Dağılım: GED ve Çarpıklık Katsayısı = 5 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 72 Tablo 3.11. Ana Dağılım: P3 ve Çarpıklık Katsayısı = 0.5 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 73 Tablo 3.12. Ana Dağılım: P3 ve Çarpıklık Katsayısı = 1 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 74

Tablo 3.13. Ana Dağılım: P3 ve Çarpıklık Katsayısı = 2 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 75 Tablo 3.14. Ana Dağılım: P3 ve Çarpıklık Katsayısı = 3 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 76 Tablo 3.15. Ana Dağılım: P3 ve Çarpıklık Katsayısı = 5 iken, T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000 yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlarında, n = 10, 20, 30, 50, 70, 100 elemanlı 10⁶/n adet kısa serilerden hesaplanan

‘en küçük Ortalama Relatif Hata (ORH)’ ve ‘en küçük Relatif Hatalar Standart Sapması (SSRH)’ sıralamalarının toplamlarının 21 dağılımda sıraya konmasıyla elde edilen en iyi ilk beş dağılım ... 77  

ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil 1.1 Ortalama değerleri : 10, standart sapmaları: 5 ve çarpıklık katsayıları: 0, 1, 2, 3, 5, 10 olan LN3 dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları... 18 Şekil 1.2. Ortalama değerleri : 10, standart sapmaları: 5 ve çarpıklık katsayıları: -3, -2, -

1, 0, 1, 2, 3 olan GED dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları... 21 Şekil 1.3. Ortalama değerleri : 10, standart sapmaları: 5 ve çarpıklık katsayıları: -1, -1.5, -1.8, -2.0, -2.2 olan GED-3 dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları... 22 Şekil 1.4. Ortalama değerleri : 10, standart sapmaları: 5 ve çarpıklık katsayıları: 0, 1.14, 2, 3, 5, 10 olan GED dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları... 22 Şekil 1.5. Ortalama değerleri : 10, standart sapmaları: 5 ve çarpıklık katsayıları: 0, 1, 2, 3, 5, 10 olan P3 dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları... 33 Şekil 1.6. Ortalama değerleri : 10, standart sapmaları: 5 ve çarpıklık katsayıları: 1 olan GED-3, LN3 ve P3 dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları ... 37 Şekil 1.7. Ortalama değerleri: 10, standart sapmaları: 5 ve çarpıklık katsayıları: 2 olan GED-2, LN3 ve P3 dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları ... 37 Şekil 1.8. Ortalama değerleri : 10, standart sapmaları: 5 ve çarpıklık katsayıları: 5 olan GED-2, LN3 ve P3 dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları ... 38 Şekil 4.1. ÇK=2 olan GED dağılımı ile türetilen 1Milyon elemanlı sentetik seriden

çıkan 33333 adet n=30 elemanlı seriler ile yapılan T=10 ve T=100 yıllık değişkenlerin tahmininde farklı dağılımların 33333 adet RH dağılımları .. 81 Şekil 4.2. ÇK=2 olan GED dağılımı ile türetilen 1Milyon elemanlı sentetik seriden çıkan 33333 adet n=30 elemanlı seriler ile yapılan T=1000 ve T=10000 yıllık değişkenlerin tahmininde farklı dağılımların 33333 adet RH dağılımları ... 82

GİRİŞ

Öncelikle bu çalışmada ele alınan olasılık dağılımı parametre tahmin yöntemleri hakkında özet bilgiler sunulmuştur. Gumbel, LN3, GED, P3 ve LP3 dağılımları için parametre tahmin yöntemleri olarak verilen Momentler (MOM) yöntemi, Maksimum- olabilirlik (MO) yöntemi, Olasılık-ağırlıklı-momentler (OAM) yöntemi, kendini- belirleyen olasılık-ağırlıklı-momentler (KBOAM) yöntemi ve LN3 için LN3-CK0 ayrıntılı bir şekilde verildikten sonra rastgele sayı türeticisi programlardan RAN1 adlı programla 1Milyon elemanlı uzun bir sentetik seri üretilmiştir.

Çalışmanın son aşamasında, toplam 21 farklı dağılım modelinin, ortalama peryodu: T = 2, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2Bin, 5Bin, ve 10Bin yıl olan değerleri tahmin etmesindeki bağıl hataların uzun sentetik done üzerinde hesaplanıp karşılaştırılması analizi gerçekleştirilmiştir.

21 farklı dağılım modelinin objektif olarak karşılaştırılabilmesi amacıyla, sentetik seri türetilmesinde kullanılacak olasılık dağılımı için tek bir dağılım yerine, ayrı ayrı LN3, GED, ve P3 dağılımlarının denenmesi yoluna gidilmiştir. Relatif hata (RH) histogramlarının ayrıntılı bir biçimde ikişerli, üçerli gruplar halinde incelenmesiyle çalışma tamamlanmış ve elde edilen bulgular sunulmuştur.

1. BÖLÜM GENEL BİGİLER

1.1 BU ÇALIŞMADA ELE ALINAN OLASILIK DAĞILIMI PARAMETRE TAHMİN YÖNTEMLERİ HAKKINDA ÖZET BİLGİLER

Örnek seri, 20, veya 30, veya şanslı isek daha fazla elemanlı, pozitif reel sayılardan oluşan bir sayı grubudur. 100 yıl, 1000 yıl gibi tekerrürlü nadir oluşan ekstrem değerlerin ekstrapolasyonu için kullanılan olasılık dağılımı ise sonsuz elemanlı kitle serisinin temsilcisidir. Örnek seri, kitlenin küçük bir kısmı olduğundan, örnek seriden kitleye geçiş aşamasında bir belirsizlik, ve, her iki yönde değerlendirilen (küçük kalma olasılığı) ↔ (rastgele değişken değeri) (F ↔ X) ilişkisinde bir yanılgı payı ortaya çıkmaktadır.

Momentler (MOM) yöntemi, kitlenin istatistikleri için, örnek seriden ‘yansız’ tahminler yaptığından dolayı, rasyonel ve halen kullanılan bir konvansiyonel yöntemdir. Rastgele değişkenin fonksiyonu olan bir büyüklüğün yansız tahmininin beklenen değeri, diğer bir deyişle yansız tahminin genel ortalaması, kitlenin yani dağılımın bilinemeyen gerçek değerine eşittir. Dolayısıyla, teorik yaklaşımı sağlıklı ve hesapları nispeten kolay olduğundan dolayı, MOM yöntemi halen yaygınlıkla kullanılan bir klasik yöntemdir.

Maksimum-olabilirlik (MO) yöntemi, gözlenmiş örnek serinin olasılığını maksimize etme prensibine dayandığından, analitik yaklaşımı MOM yönteminden farklı olsa da, literatürde çok müspet olarak değerlendirilen, yine konvansiyonel bir yöntemdir. MO yönteminde logaritması alınmış olabilirlik fonksiyonunun analitik olarak maksimize edilmesi gerektiğinden, bu yöntemin hesabı güçtür, ve hatta bazı örnek seriler için sonuç alınamamaktadır (Örneğin: Cunnane, 1989; Haktanır, 1992, 2007; Hosking &

Wallis, 1985; Rao & Hamed, 2000).Bu hesap güçlüğü MO yönteminin tercih edilmemesine sebep olabilmektedir.

1979 yılında ortaya çıkan olasılık-ağırlıklı-momentler (OAM) yöntemi, momentleri hesaplarken, örnek seri elemanlarını olasılıkları ile çarpıp ağırlıklandırarak örnek seri momentleri hesaplamakta, bu olasılık-ağırlıklı momentler ile dağılım parametreleri arasındaki analitik ilişkilerden yararlanarak parametre değerlerini hesaplamaktadır (Greenwood ve ark., 1979). Son 25 yılda sunulan çalışmalarda OAM yönteminin MOM yönteminden daha iyi olduğu, ve en az MO yöntemi kadar iyi olduğu yönünde sonuçlar ileri sürülmektedir (Örneğin: Cunnane, 1989; Daud ve ark., 2002; Haktanır, 1992;

Hosking & Wallis, 1997; Rao & Hamed, 2000). Son 17 yıldır lanse edilen Lineer- Momentler (LM) yöntemi, OAM yöntemine ilaveten, LM değişkenlik katsayısı, LM çarpıklık katsayısı, LM kurtosis katsayısı da tanımlamakta, fakat dağılımın parametreleri için OAM yöntemiyle eşit, aynı nümerik değerleri vermektedir.

1997 yılında sunulan kendini-belirleyen olasılık-ağırlıklı-momentler (KBOAM) yöntemi (Haktanır, 1997, 2003a), OAM yönteminin bir ileri adımı gibi düşünüldüğünden ve bazı literatürde (Örneğin: Whalen ve ark., 2002, 2004) ilgi görmeye başladığından dolayı bu çalışma kapsamına alınmıştır. KBOAM yönteminin OAM yönteminden farkı, örnek seri olasılık-ağırlıklı momentlerinin, bir noktalama pozisyonu formülü yerine, dağılımın kendisinin kümülatif dağılım fonksiyonu ile hesaplanmasındadır. Teorik olarak daha gerçekçi görünmesine rağmen, KBOAM yaklaşımı, MO yönteminde olduğu gibi iteratif bir nümerik yöntem gerektirmekte ve bazı seriler için çözümsüz olabilmektedir.

Bu dört parametre tahmini yönteminin yanısıra, 3-parametreli log-normal (LN3) dağılımı için, pozitif çarpıklıklı halde y = ln(x–c) veya negatif çarpıklıklı halde y = ln(c–

x) ile tanımlanan indirgenmiş değişkenin örnek seri yansız çarpıklık katsayısını tam sıfır yapacak biçimde c parametresini hesaplayan bir yöntem de ele alınmaktadır. LN3-CK0 sembolü ile gösterilen LN3 dağılımının bu versiyonu 1992’de sunulmuş ve karşılaştırma çalışmalarında başarılı dağılımlardan biri olarak bulunmuştur (Örneğin:

Haktanır, 1992, 2003a). Dolayısıyla, Gumbel, LN3, GED, P3, LP3 dağılımlarının her birinin parametreleri, MOM, MO, OAM, KBOAM yöntemleriyle ve LN3 dağılımı parametreleri ayrıca CKy = 0 yöntemiyle de hesaplandığından, toplam: 44 + 15 = 21 farklı dağılım modeli ortaya çıkmıştır. Herhangi bir model, örneğin: LN3-MOM, GED- ML, LP3-OAM gibi, önce dağılım adı ve takiben parametre tahmin yöntemi kısaltmaları ile sembolize edilmektedir.

1.2. BU ÇALIŞMADA ELE ALINAN OLASILIK DAĞILIMLARI HAKKINDA ÖZET BİLGİLER

1.2.1. GUMBEL DAĞILIMI HAKKINDA ÖZET BİLGİLER 1.2.1.1. Giriş

Parametre tahmin yöntemi ne olursa olsun, Gumbel dağılımı, çarpıklık katsayısı: G = +1.1396  +1.14 olan pozitif-çarpıklıklı bir dağılımdır ve olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verildiği gibidir (Benjamin & Cornell, 1970; Gumbel, 1958; Lettenmaier &

Burges, 1982; Rao & Hamed, 2000, Bölüm 7.2):

f(x) = ·exp[–·(x–)]·exp{–exp[–·(x–)]} (1.1)

Gumbel dağılımında kümülatif dağılım fonksiyonu ve onun inversi olan değişken fonksiyonunun analitik ifadeleri açık olarak elde edilebilmektedir, ve bunlar aşağıda verildiği gibidir.

F(x) = exp{–exp[–·(x–)]} (1.2)

x =  + {–ln[–ln(F(x))]/ (1.3)

Bu eşitliklerde, : ölçek ve : konum parametreleridir. Gumbel dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonunun kartezyen koordinatlar sistemindeki konumu ve varyansı değişken iken, hafif sola çarpık uni-modal şekli sabittir ve dolayısıyla bir şekil parametresi yoktur. Gumbel dağılımı, ileride özetlenen genel ekstrem değerler (GED) dağılımının özel bir biçimidir, ve GED dağılımında a şekil parametresi 0 değerini alırken, (1.58) ifadesiyle tanımlanan olasılık yoğunluk fonksiyonu (1.1) ifadesindeki analitik ifadeye limitte eşit olup, Gumbel’ın  parametresi GED’nin b parametresinin inversine ( = 1/b), Gumbel’ın  parametresi de GED’nin c parametresine ( = c) eşit olur. Ekstrem değerler tip I dağılımı olarak ta tanınan Gumbel dağılımı, hidrolojide yıllık taşkın pikleri, yıllık yağmur pikleri gibi pozitif reel değerler alan rastgele değişkenlere uygulanmasına rağmen, Gumbel dağılımlı x rastgele değişkeninin tanım aralığı: –∞ < x < +∞ dur. Parametrelerinin nümerik değerlerinden dolayı Gumbel dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonunun büyük bir kısmı absis ekseninin pozitif dalında bulunur ve sol kuyruğunun sıfıra çok yaklaşmış uzak kısmı –∞’da absis

eksenine asimptot olur. Bu özelliğinden dolayı, T = 1.001 yıl gibi çok küçük ortalama tekerrür peryotlu taşkın piklerinin negatif değerler alması bazı serilerde karşılaşılan çelişkili bir durumdur.

1.2.1.2. Gumbel Dağılımı Parametrelerinin Momentler Yöntemiyle Hesabı

Ölçülmüş kaydedilmiş örnek serinin aritmetik ortalaması, AOx, ve standart sapması, SSx, klasik yansız tahmin formüllerinden hesaplandıktan sonra, dağılımın ortalama değeri ve standart sapması için: μx  AOx ve σx  SSx atamaları yapılır.

Gumbel dağılımında momentler ile parametreler arasında aşağıdaki analitik ilişkiler mevcuttur (Gumbel, 1958; Lettenmaier & Burges, 1982).

 = Sn / σx ,  = μx – (Yn/Sn)·σx (1.4), (1.5) Burada, Yn ve Sn, örnek serideki eleman adedine (n’ye) bağlı ara parametrelerdir ve aşağıdaki gibi tanımlanan n adet indirgenmiş değişkenin ortalama değeri ve standart sapmasına eşittir (Gumbel, 1958, sayfa: 34-36).

ui = –ln{–ln[(n+1–i)/(n+1)]} (1.6) Burada, ui : büyükten-küçüğe doğru dizilmiş örnek seride i’ninci sıradaki elemanın indirgenmiş değişkenidir.

 ve  için (1.4) ve (1.5) nolu eşitliklerin sağ tarafındaki ifadeler (1.3) eşitliğinde  ve  yerlerine konursa, değişken fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir.

x = μx + {[–Yn–ln(–ln(F(x)))]/Sn}·σx (1.7)

Momentler yöntemi ile, küçük-kalma olasılığı verilmişken buna karşılık gelen Gumbel dağılımlı rastgele değişkenin boyutunu hesaplamak amacıyla (1.3) nolu eşitlik veya (1.7) nolu eşitlik kullanılabilir. (1.7) eşitliğinde süslü parantez içindeki terim bir

‘frekans faktörü’ olarak değerlendirilirse, bu haliyle değişken fonksiyonu normal dağılımınkine benzerdir.

1.2.1.3. Gumbel Dağılımı Parametrelerinin Maksimum-Olabilirlik Yöntemiyle Hesabı

Gumbel dağılımı için olabilirlik fonksiyonunun logaritması alınmış biçimi (log- olabilirlik fonksiyonu, LOF) aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

n

LOF =  ln[f(xi, , )] (1.8) i=1

Gumbel dağılımı için log-olabilirlik fonksiyonu (LOF) (1.1) ifadesindeki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile teşkil edilir. LOF’unu maksimum yapacak  ve  parametrelerinin değerlerini bulmak amacıyla, LOF’unun  ve  parametrelerine göre kısmi türevleri alınır ve bunların sıfıra eşitlenmesiyle iki bilinmeyenli iki adet non- lineer denklem oluşturulur (∂LOF/∂=0 ve ∂LOF/∂=0) (örneğin: Haktanır, 1992; Rao

& Hamed, 2000, Bölüm 7.2). Bu denklem takımında başlangıç tahminleri olarak momentler yönteminin değerleri alınırsa, klasik Newton-Raphson yöntemi daima yakınsak bir algoritmayla  ve  parametrelerinin maksimum-olabilirlik değerlerini vermektedir.

1.2.1.4. Gumbel Dağılımı Parametrelerinin Olasılık-Ağırlıklı-Momentler Yöntemiyle Hesabı

Gumbel dağılımının parametrelerinin olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemiyle hesabı Greenwood ve arkadaşları tarafından formülüze edilmiş olup aşağıda özetlenmektedir (Greenwood ve ark., 1979).

 = ln(2) / (μx – OAM1) (1.9)

 = μx – (0.5772157) /  (1.10)

Burada, μx ve OAM1, Gumbel dağılımının ortalama değeri ve 1.nci olasılık-ağırlıklı momenti olup, (1.9) ve (1.10) nolu ifadelerde bunların örnek seriden hesaplanan tahminleri konur.

1.2.1.5. Gumbel Dağılımı Parametrelerinin Kendini-Belirleyen-Olasılık-Ağırlıklı- Momentler Yöntemiyle Hesabı

Gumbel dağılımının parametrelerinin kendini-belirleyen-olasılık-ağırlıklı-momentler (KBOAM) yöntemiyle hesabı 1997 yılında sunulmuş olup burada tekrar edilmeyecektir (Haktanır, 1997). KBOAM yöntemi herA<dağılıma maksimum-olabilirlik yönteminki gibi iteratif bir nümerik yöntem gerektirmektedir. Gumbel dağılımına uygulamasında OAM yöntemi değerleri başlangıç tahminleri olarak verilerek çoğu kez yakınsak bir algoritma sonucunda KBOAM değerleri hesaplanmaktadır.

1.2.1.6. Gumbel Dağılımında (Değişken Değeri) ↔ (Küçük-Kalma Olasılığı) İlişkisinin Hesabı

Parametreleri herhangi bir yöntemle hesaplandıktan sonra, Gumbel dağılımında (değişken değeri) ↔ (küçük-kalma olasılığı) ilişkisinin her iki yönde hesabı (1.2) ve (1.3) nolu eşitlikler kullanılarak kolaylıkla yapılabilmektedir. Parametrelerinin hesabındaki kolaylık, bu ilişkinin hesabındaki kolaylık, ve teorik geçerliliğinden dolayı Gumbel dağılımı halen dünyada yıllık taşkın pikleri ve yıllık yağmur pikleri frekans analizinde yaygınlıkla kullanılan dağılımlardandır.

1.2.2. 3-PARAMETRELİ LOG-NORMAL (LN3) DAĞILIM HAKKINDA ÖZET BİLGİLER

1.2.2.1. Giriş

Parametre tahmin yöntemi ne olursa olsun, LN3 dağılımı aslında daima pozitif- çarpıklıklı bir dağılımdır ve olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verildiği gibidir (Burges ve ark., 1975; Cohen & Whitten, 1980; Rao & Hamed, 2000, Bölüm 5.3):

f(x) = {1/[(x–c)·a·√2π]}·exp{–[ln((x–c)/b) / a]² / 2} (1.11) veya:

f(x) = {1/[(x–c)·a·√2π]}·exp{–[(ln(x–c) – ln(b)) / a]² / 2} (1.11a) Burada, x: LN3 dağılımlı rastgele değişken iken, a, b, ve c: LN3 dağılımının parametreleri olup, bunlar: – < c < SD, 0 < b < +, 0 < a < + aralığında, ve rastgele

değişken: c  x < + aralığında değerler alırlar. İlk aralıktaki SD: pozitif veya negatif olabilen bir sonlu değerdir. LN3 dağılımı, olasılık yoğunluk fonksiyonu unimodal biçimli, değişken çarpıklıklı fakat daima pozitif çarpıklıklı olan bir dağılımdır. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun sol kolu x = c’de absis eksenine değer (f(x=c) = 0’dır), sağ kolu da x = +’da absis eksenine asimptottur.

y = ln(x–c) (1.12)

ifadesiyle tanımlanan y ara değişkeninin ortalama değeri ve standart sapması ile a ve b parametreleri arasında aşağıdaki ilişkiler vardır:

μy = ln(b) ve b = exp(μy) (1.13a), (1.13b)

σy = a (1.14)

w = exp(σy2) = exp(a²) (1.15)

ifadesiyle bir w büyüklüğü tanımlandığında, dağılımın ortalama değeri, standart sapması, ve çarpıklık katsayısı ile parametreleri arasında aşağıda verilen analitik ilişkiler mevcuttur (örneğin: Cohen & Whitten, 1980):

μx = c – exp(μy)·w (1.16)

σx = exp(μy)·[w·(w–1)]^1/2 (1.17)

Gx = +(w+2)·(w–1)^1/2 (1.18)

Bu eşitliklerde, μx, σx, Gx: x değişkeninin ortalama değeri, standart sapması, ve çarpıklık katsayısı, ve μy ve σy: y değişkeninin ortalama değeri ve standart sapmasıdır. (1.13b), (1.15), (1.16), ve (1.17) nolu ifadelerden yararlanan cebrik işlemler yapıldığında (1.18) nolu eşitlik aşağıdaki gibi yazılabilir:

Gx = [(μx – c)² / b² + 2]·σx / {b·[exp(a²)]^1/2 } (1.19) (1.19) ifadesinden görülebileceği gibi, LN3 dağılımının çarpıklık katsayısı, üç parametrenin tamamına analitik olarak bağımlıdır. Pearson-3 olarak ta bilinen 3- parametreli gama dağılımında ve genel ekstrem değerler dağılımında, dağılımın çarpıklık katsayısı sadece şekil parametresinin bir fonksiyonu iken, 3-parametreli log-

normal dağılımında ise, (1.19) nolu ifadede görüldüğü gibi, çarpıklık katsayısı her üç parametreye bağlı bir fonksiyondur.

Burges ve arkadaşları (1975) μx, σx, Gx ve c parametresi arasında aşağıdaki analitik ifadeyi vermiştir:

(Gx/μx3)·c³ + [3·(σx/μx – Gx)/μx2]·c² + [3·(–2·σx/μx + Gx)/μx]·c + (σx/μx)³ + 3·(σx/μx) –

Gx = 0 (1.20)

(1.20) nolu ifade, hem pozitif-çarpıklıklı LN3, hem de bunun transpozu olan negatif- çarpıklıklı LN3 için geçerlidir, ve μx, σx, Gx değerleri bilindiği durumda c parametresinin bilinmeyen olduğu üçüncü dereceden bir polinomdan oluşan bir denklem arz eder. Bu denklemin bir kökü reel iken diğer iki kök birbirinin eşleniği olarak komplekstir (Burges ve ark., 1975).

1.2.2.2. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Momentler Yöntemiyle Hesabı

Ölçülmüş kaydedilmiş örnek serinin aritmetik ortalaması, AOx, standart sapması, SSx, ve çarpıklık katsayısı, ÇKx, klasik yansız tahmin formüllerinden hesaplandıktan sonra, dağılımın ortalama değeri, standart sapması, ve çarpıklık katsayısı için: μx  AOx, σx  SSx, ve Gx  ÇKx atamaları yapılır.

i) Öncelikle, (1.18) ifadesinin diğer bir biçimi olan,

w³ + 3·w² – (ÇKx2 + 4) = 0 (1.21)

denkleminin kökü olarak, 1’den büyük olması gereken w büyüklüğü hesaplanır.

ii) (1.16) ifadesinin diğer bir biçimi olan,

c = AOx – SSx / (w–1)^1/2 (1.22)

eşitliğinden c parametresi hesaplanır.

Cohen ve Whitten (1980) tarafından verilen bu yola bir alternatif olarak, μx  AOx, σx  SSx, ve Gx  ÇKx atamaları yapıldıktan sonra Burges ve arkadaşları (1975) tarafından verilmiş olan (1.20) denkleminin reel kökü c için hesaplanabilir. Her iki yöntem de c için aynı nümerik değeri vermektedir.

iii) (1.17) ifadesinin diğer bir biçimi olan,

b = SSx / [w·(w–1)]^1/2 (1.23)

eşitliğinden b parametresi hesaplanır.

iv) (1.15) ifadesinin diğer bir biçimi olan,

a = [ln(w)]^1/2 (1.24)

eşitliğinden a parametresi hesaplanır.

(1.23) ve (1.24) eşitliklerinin kullanımı yerine, bir alternatif olarak b ve a parametrelerinin hesabı için aşağıdaki yol da takip edilebilir:

iii-a) c parametresi (1.22) eşitliğinden hesaplandıktan sonra, örnek serideki bütün elemanlar için (1.12) eşitliğinden, yi = ln(xi – c) ifadesiyle n adet yi değişkenleri hesaplandıktan sonra, yi serisinin aritmetik ortalaması, AOy, ve standart sapması, SSy, hesaplanır.

iii-b) (1.13b) ifadesinden yararlanarak,

b = exp(AOy) (1.25)

ifadesiyle b parametresi hesaplanır.

iii-c) (1.14) ifadesinden yararlanarak,

a = SSy (1.26)

ifadesiyle a parametresi hesaplanır. SSy’nin hesabında paydada (n–1) yerine n alınırsa, (1.24) ve (1.26) eşitlikleriyle a parametresi için hesaplanan değerler eşit çıkar. SSy’nin hesabında yansız tahmin olmasından dolayı paydada (n–1) alınırsa, bu iki a değeri arasında,

a(2.26) = a(2.24)·[(n–1)/n]^1/2 (1.27)

eşitliğinin belirlediği kadar bir fark olur. Bilindiği gibi, [(n–1)/n]^1/2 terimi büyük n’ler için 1’e çok yakındır. Momentler yönteminin temel yaklaşımı: örnek seriden dağılım

momentlerinin yansız tahminlerinin hesaplanması olduğuna göre, paydasında (n–1) bulunan SSy’nin hesabından sonra a parametresinin hesabı ya (1.26) eşitliğinden, ya da, (1.27) eşitliği ile düzeltilmiş (1.24) eşitliğinden yapılmalıdır. Bu düzeltme yapılmadığında dahi, (1.24) ve (1.27) eşitlikleri arasındaki nümerik fark göz ardı edilebilecek boyutlarda küçüktür. Örneğin: [(n–1)/n]^1/2 değeri, n = 20 için 0.975, ve n = 30 için 0.983’tür.

1.2.2.3. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Maksimum-Olabilirlik Yöntemiyle Hesabı Bilindiği gibi, üç parametreli bir dağılım için olabilirlik fonksiyonunun logaritması alınmış biçimi (log-olabilirlik fonksiyonu, LOF) aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

 



 ⁿ

i

i a b c

x f LOF

1

) , , , (

ln (1.28)

LN3 dağılımı için log-olabilirlik fonksiyonu (LOF) (1.11a) ifadesindeki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile teşkil edilir. LOF’unu maksimum yapacak a, b, ve c parametrelerinin değerlerini bulmak amacıyla, LOF’unun a, b, ve c parametrelerine göre kısmi türevleri alınır, bunların sıfıra eşitlenmesiyle üç bilinmeyenli üç adet non- lineer denklem oluşturulur (∂LOF/∂a=0 ve ∂LOF/∂b=0 ve ∂LOF/∂c=0) ve gerekli bütün cebrik düzenlemeler yapılırsa, üç denklemden oluşan takım, bilinmeyeni c parametresi olan aşağıdaki denkleme dönüştürülebilir (örneğin: Haktanır, 1992):

 1  ln  ln  ln   ln    0

1 1

2 2

1 1

1



















   



 



 









 







   



c x c x n c x n

c x c

c x

x ⁱ

n i

i n

i i n

i i n

i i n

i i

(1.29)

Burada, xi: toplam n adet elemandan oluşan eldeki mevcut ölçülmüş kaydedilmiş örnek serinin i’ninci elemanının nümerik değeri, c: c parametresinin LN3 dağılımının LOF’unu maksimum yapan değeridir.

3-parametreli gama dağılımı olan Pearson-3 ve 3-parametreli log-gama dağılımı olan log-Pearson-3 dağılımlarında da LN3 dağılımına benzer olarak LOF’unu maksimum yapan parametreleri içeren denklemler takımı, cebrik manipülasyonlar sonucu, c parametresi cinsinden tek parametreli bir denkleme dönüştürülebilmektedir. Bu çalışmada ele alınan dağılımlardan olan genel ekstrem değerler dağılımında ise, anılan

denklemler takımı üç bilinmeyenli üç adet non-lineer denklemden oluşan bir denklem takımı olarak kalmaktadır.

LN3 dağılımında xmin: eldeki mevcut örnek serideki en küçük boyutlu elemanın değeri iken, c parametresinin – < c < xmin aralığında kalması zorunluluğu olduğundan, öncelikle, –10⁺⁸’den xmin’e kadar bütün ( –10^+j , –10^+(j–1) ) aralıkları denenerek (1.29) eşitliğinin sol tarafındaki ifadenin işaret değiştirdiği aralık bulunur. Takiben, beş adım İkiye-Bölme yöntemiyle işaret değiştirilen aralık daraltıldıktan sonra Kiriş yöntemiyle (1.29) denkleminin kökü olan c parametresinin değeri hesaplanır. Haktanır (1992) tarafından geliştirilmiş olan bu algoritma, bu Tübitak projesi çalışmasında tekrardan gözden geçirilmiş ve daima yakınsak sonuç veren bir alt-program olarak kodlanmıştır.

(1.29) denkleminden c parametresi hesaplandıktan sonra, (1.25) ve (1.26) ifadelerinden b ve a parametreleri de hesaplanır.

1.2.2.4. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Olasılık-Ağırlıklı-Momentler Yöntemiyle Hesabı

Olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemi ilk olarak Greenwood ve arkadaşlarının 1979’da yayınlanan bir makalesi ile sunulmuştur (Greenwood ve ark., 1979). Herhangi bir olasılık dağılımının j’ninci olasılık-ağırlıklı-momenti, küçük-kalma veya aşılma olasılığının j’ninci kuvveti ile çarpılmış x’in beklenen değeri olarak tanımlanmıştır ve aşağıda verildiği gibi ifade edilmektedir.

OAMj = E[x·(Pnex)^j] veya OAMj = E[x·(1 – Pnex)^j] (1.30a, 1.30b) Bu eşitliklerde, x: rastgele değişken ve Pnex: x’in küçük-kalma olasılığıdır. Pnex, kümülatif dağılım fonksiyonu ile ifade edildiğinde ve ‘Beklenen Değer’ olasılık yoğunluk fonksiyonuna bağlı olarak analitik biçimiyle tanımlandığında, olasılık- ağırlıklı momentler aşağıdaki gibi ifade edilir.

ü.s. ü.s.

OAMj =  x·[F(x)]^j·f(x)·dx veya OAMj =  x·[1 – F(x)]^j·f(x)·dx (1.31a, 1.31b) a.s. a.s.

Burada, a.s. ve ü.s., söz konusu dağılımın rastgele değişkeni x’in alt ve üst sınırlarıdır, ve f(x) ve F(x), dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonudur. Bu eşitliklerde, j, 0’dan başlar ve 1’er 1’er artar. 0’ıncı olasılık-ağırlıklı- moment, OAM0, 1’inci klasik momente, yani dağılımın ortalama değerine eşittir (OAM0

= μx). 3-parametreli bir dağılımın parametrelerinin olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemiyle hesabı için 0’ıncı, 1’inci, ve 2’nci olasılık-ağırlıklı-momentler gerekmektedir. Olasılık-ağırlıklı-momentleri, bu yöntemin sunucusu Greenwood ve arkadaşları (1.31b) nolu ifade ile (Greenwood ve ark., 1979), Jing ve arkadaşları (Jing ve ark., 1989a,b) ve Hosking ve arkadaşları (Hosking ve ark., 1985) gibi bazı araştırmacılar ise (1.31a) nolu ifade ile tanımlanmıştır. Her halikarda, klasik momentler yöntemininkine benzer bir prensip ile, olasılık-ağırlıklı-momentler yönteminde, dağılımın OAMj’leri ile dağılımın parametreleri arasındaki analitik ilişkiler belirlendikten sonra, eldeki mevcut örnek seriden OAMj’lerin tahminleri yapılır, ve bu analitik ilişkilerden dağılım parametreleri hesaplanır. (1.31a) eşitliği ile tanımlanan OAMj’nin örnek seriden yapılan tahmini aşağıdaki ifade ile hesaplanmaktadır.

n

OAMj  oamj =  xi · (Pnexi)^j / n (1.32) i=1

Burada, oamj, dağılımın OAMj’sinin örnek seriden hesaplanan tahmini olup, Pnexi de, örnek serideki i’ninci elemanın uygun bir noktalama-pozisyonu formülü ile tahmin edilen küçük-kalma olasılığıdır. Birçok araştırmacı Pnexi’nin hesabı için Landwehr noktalama-pozisyonu formülünü önermiştir (örneğin: Greenwood ve ark., 1979;

Haktanır & Bozduman, 1985; Hosking ve ark., 1985). Landwehr noktalama-pozisyonu formülü aşağıdaki gibidir.

Pnexi = (i – 0.35) / n (1.33)

Burada, i: küçükten-büyüğe doğru dizilmiş olan örnek seride baştan sıra numarasıdır, ve (1.33) eşitliği ile hesaplanan Pnexi: küçükten-büyüğe doğru dizilmiş olan örnek seride baştan i’ninci sıradaki elemanın tahmini küçük-kalma olasılığıdır. Bu çalışmada dahil edilen beş farklı dağılımın olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemiyle parametre hesaplarında (1.33) nolu ifade kullanılmaktadır.

LN3 dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonunun analitik ifadesi mevcut olmamasına rağmen, Jing ve arkadaşları LN3 dağılımı parametrelerinin olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemiyle hesabı için özel bir tablo gerektiren bir nümerik yöntem geliştirmiştir (Jing ve ark., 1989b; Song & Hou, 1988). Bu tabloyu temin ederek, Haktanır, Jing ve arkadaşlarının geliştirdiği bu yöntem için doğruluğu kanıtlanmış bir alt-program kodlamıştır (Haktanır, 1992; Haktanır & Bozduman, 1995; Haktanır, 1997). Sonradan, Hosking, Lineer-Momentler veya kısaca L-Momentler olarak adlandırdığı bir yöntem sunmuştur (Hosking, 1990; Hosking & Wallis, 1997). L-Momentler yönteminde, olasılık-ağırlıklı-momentlerin lineer kombinezonları olarak L-Varyasyon Katsayısı, L- Çarpıklık Katsayısı, ve L-Kurtosis Katsayısı tanımlanmakta, fakat, parametre değerleri için, L-Momentler yönteminin analitik algoritmaları, olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemi ile tamamen aynı sonuçlar vermektedir. Dolayısıyla, olasılık-ağırlıklı- momentler yöntemi yerine L-Momentler yöntemi tabiri kullanılabilir.

LN3 dağılımı için olasılık-ağırlıklı-momentler yönteminin adımları ‘Kaynaklar’

kısmında listelenen yayınlardan ilgili olanlarda mevcuttur (Jing ve ark., 1989b; Song &

Hou, 1988; Haktanır, 1992, 2003a). Daha önceden bir alt-program olarak kodlanmış olan bu yöntem (Haktanır, 1997) bu Tübitak projesi çalışmasında tekrardan gözden geçirilmiş ve daima yakınsak sonuç veren bir alt-program olarak ana programca çağrılmaktadır.

1.2.2.5. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Kendini-Belirleyen-Olasılık-Ağırlıklı- Momentler Yöntemiyle Hesabı

1997 yılında sunulmuş olan Kendini-Belirleyen-Olasılık-Ağırlıklı-Momentler (KBOAM) yöntemi bugüne kadar birkaç bilim adamının da dikkatini çekmiştir (Haktanır, 1997; Savage ve ark., 2002; Whalen ve ark., 2002, 2004). KBOAM yönteminde, örnek serideki elemanların olasılık-ağırlıklı-momentlerinin hesabında, Landwehr gibi herhangi bir noktalama-pozisyonu formülü yerine dağılımın kendisi kullanılmaktadır. Dağılımın parametreleri henüz bilinmediğinden ve parametreler hesaplanmaya çalışıldığından, prensibi bir cümle ile özetlenebilen KBOAM yönteminin uygulaması maksimum-olabilirlik yönteminkine benzer, kapsamlı nümerik iteratif algoritmalar gerektirmektedir. Bu projede geliştirilen bilgisayar programının sonuçlarına göre ve bu proje yöneticisinin yayınlanmış ve yayınlanmamış bazı

çalışmalarında KBOAM yöntemi, klasik uygunluk testleri ve Monte-Carlo çalışmalarına göre genelde oldukça başarılı sonuçlar vermiştir (örneğin: Haktanır, 1997, 2003a).

On yıl kadar önce geliştirilmiş olan LN3 dağılımına KBOAM yönteminin uygulama algoritması (Haktanır, 1997, 2003b), bu Tübitak destekli proje kapsamında tekrardan dikkatlice gözden geçirilmiş ve bir alt-program olarak nihayi haline getirilmiştir. Bu alt- program, DMİ Genel Müdürlüğünden temin edilen n ≥ 11 elemanlı 253 adet rasat istasyonunda kaydedilmiş olan 14253 = 3542 adet örnek serinin %99.5’unda başarılı sonuçlar vermektedir. Çok nadiren, KBOAM yönteminin çözümünün başarılı olamayacağı anlaşıldığında, o serinin KBOAM parametreleri olarak, olasılık-ağırlıklı- momentleri Landwehr noktalama-pozisyonu formülü ile tahmin edilmiş klasik olasılık- ağırlıklı-momentler yönteminin verdiği değerler alınmaktadır.

1.2.2.6. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Dönüştürülmüş-Değişkenin-Örnek-Seri- Çarpıklık-Katsayısını-Sıfır-Yapan (ÇK0) Yöntemiyle Hesabı

LN3-dağılımlı bir rastgele değişken x’in herhangi bir X değerinin küçük-kalma olasılığı aşağıdaki gibi tanımlıdır:

X

P(c < x  X)  Pnex =  1/[(x–c)·a·√2π]·exp{–[(ln(x–c) – ln(b)) / a]² / 2}·dx (1.34) C

Bu ifadedeki integrali analitik olarak alabilme ümidiyle olasılık yoğunluk fonksiyonunda y = ln(x–c) değişken dönüştürümü yapıldığında bu ifade aşağıdaki gibi yazılabilir:

Y

P(c < x  X)  Pnex =  [1/(a·√2π)]·exp{–[(y – ln(b)) / a]² / 2}·dy (1.35) –

Görüldüğü gibi, (1.35) nolu eşitlikte integral işareti ile dy arasında kalan ifade, rastgele değişkeni y olan 2-parametreli normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonudur, ve y

= ln(x–c) değişken dönüştürümü ile 3-parametreli log-normal dağılım 2-parametreli normal dağılıma dönüşmüş olmaktadır. Analitik olarak, y’nin beklenen değeri ve (y–

E(y))²’nin beklenen değeri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır (örneğin: Benjamin &

Cornell, 1970; Ross, 1977):

+

E(y)  μy =  y·[1/(a·√2π)]·exp{–[(y – ln(b)) / a]² / 2}·dy (1.36) –

+

E[(y–E(y))²]  σy2 =  (y – μy)²·[1/(a·√2π)]·exp{–[(y – ln(b)) / a]² / 2}·dy (1.37) –

Bu ifadelerle tanımlanan y’nin beklenen değeri ve (y–E(y))²’nin beklenen değeri analitik olarak alınır, gerekli cebrik düzenlemeler yapılırsa, en nihayet:

μy = ln(b) ve σy2 = a² (1.13a), (1.38) eşitlikleri elde edilir.

Dönüştürülmüş-değişkenin-örnek-seri-çarpıklık-katsayısını-sıfır-yapan (ÇK0) paramet- re tahmin yönteminin yaklaşımı aşağıda özetlenmektedir.

y değişkeni, (1.12) eşitliğiyle dönüştürülmüş bir değişken değil de, genelde bir rastgele değişken olsaydı, (1.36) nolu eşitlikte integral işareti ile dy arasında kalan ifadeye göre 2-parametreli genel bir normal dağılımlı rastgele değişken olacaktı. Normal dağılım ise, çarpıklık katsayısı sıfır olan simetrik bir dağılım olduğuna göre, y = ln(x–c) ifadesiyle dönüştürülen y’lerin çarpıklık katsayısının da sıfır olması gerekir (ÇKy = 0). O halde, y

= ln(x–c) ifadesindeki c parametresi öyle bir nümerik değer almalıdır ki, aşağıda verildiği gibi, örnek seriden hesaplanan ÇKy değeri sıfır olmalıdır.

n

ÇKy = n/[(n–1)(n–2)]·[ ∑ (yi – AOy)³] / SSy3 = 0 (1.39) i=1

Burada, n adet yi, yi = ln(xi–c) eşitliği ile hesaplandıktan sonra, AOy ve SSy , yi’lerin aritmetik ortalaması ve yansız standart sapmasıdır. AOy ve SSy’nin bilinen ifadeleri (1.39) nolu eşitliğe taşınırsa, (1.39) nolu eşitlik, bilinmeyeninin c olduğu, analitik ifadesi uzunca bir denklem halini alır. Bu denklemin kökü de ÇK0 yönteminin c parametresidir. Bu denklemin çözümü için Haktanır tarafından daima yakınsak, Kiriş yöntemini kullanan bir algoritma geliştirilmiştir (Haktanır, 1992). Bu Tübitak projesi kapsamında bu algoritma tekrar gözden geçirilmiş ve daima yakınsak bir alt-program olarak kodlanmıştır. (1.39) denkleminin kökü olarak c parametresi çözüldükten sonra, (1.25) ve (1.26) eşitlikleriyle b ve a parametreleri hesaplanır.

1.2.2.7. LN3 Dağılımında (Değişken Değeri) ↔ (Küçük-Kalma Olasılığı) İlişkisinin Hesabı

(1.35) nolu eşitlikte, integral içindeki ifadede z = (y – ln(b)) / a biçiminde tanımlanan ikinci bir değişken dönüştürümü yapıldığında, bu eşitlik aşağıdaki kompakt hale gelir:

Z

P(c < x  X)  Pnex =  (1/√2π)·exp(–z² / 2}·dz (1.40) –

Bilindiği gibi, (1.40) eşitliğinde integral içindeki ifade standart normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Basit bir görüntüsü olmasına rağmen, bu integral analitik olarak alınamamakta, belirli integralin nümerik değeri, seri açındırımı, yüksek dereceden polinomlar gibi yaklaşık algoritmalarla hesaplanmaktadır.

a) Dağılımın parametreleri herhangi bir yöntemle belirlendikten sonra, küçük-kalma olasılığı değeri Pnex olarak verilen LN3-dağılımlı rastgele değişkenin boyutu aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:

i) Z = ^–1(Pnex) (1.41)

ii) X = c + exp(ln(b) + Z·a) (1.42)

b) Dağılımın parametreleri herhangi bir yöntemle belirlendikten sonra, boyutu X olarak verilen LN3-dağılımlı rastgele değişkenin küçük-kalma olasılığının değeri, Pnex, aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:

Z = [ln(X–c) – ln(b)] / a (1.43)

Pnex = (Z) (1.44)

Bu eşitliklerde, (z): standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu, ^–

1(Pnex): standart normal dağılımın invers kümülatif dağılım fonksiyonu veya kısaca değişken fonksiyonu, Z: LN3-dağılımlı X değişkeninden dönüştürülmüş standart normal değişkenin değeridir. Bu çalışmada, (z) için Abramowitz ve Stegun’un klasik kitabında verilen, en az 7 anlamlı hane doğruluğundaki beşinci dereceden polinom (Abramowitz & Stegun, 1970, s: 932), ve ^–1(Pnex) için de Odeh ve Evans tarafından

verilen, en az 7 anlamlı hane doğruluğundaki yaklaşık algoritma (Odeh & Evans, 1974) kullanılmaktadır.

Şekil 1.1. Ortalama değerleri : 10, standart sapmaları: 5 ve çarpıklık katsayıları: 0, 1, 2, 3, 5, 10 olan LN3 dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları.

1.2.3. GENEL EKSTREM DEĞERLER (GED) DAĞILIMI HAKKINDA ÖZET BİLGİLER

1.2.3.1. Giriş

GED dağılımının, ekstrem değerler tip I (Gumbel), ekstrem değerler tip II (GED-2), ve ekstrem değerler tip III (GED-3) olarak tanımlanan üç farklı türü bulunmaktadır.

Çarpıklık katsayısı: Gx = +1.1396 ≈ +1.14 olan sabit pozitif-çarpıklıklı iki parametreli bir dağılım olan Gumbel dağılımı, GED dağılımının, şekil parametresinin sıfır değeri alarak olasılık yoğunluk fonksiyonundan düştüğü özel bir halidir. Bu çalışmada,

Gumbel dağılımı, 3-parametreli dağılımların yanısıra ayrı bir dağılım olarak değerlendirilmektedir. Gumbel dağılımı, 2 parametreli, sabit çarpıklıklı bir dağılım olmasına rağmen, ekstrem yağmur pikleri ve taşkın pikleri frekans analizi için dünyada halen yaygınlıkla kullanılan dağılımlardan biridir. Parametre tahmin yöntemi ne olursa olsun, Gumbel dağılımı parametrelerinin hesabı kolay ve Gumbel dağılımı ile (değişken değeri) ↔ T ilişkisinin hesabı da kolaydır. Türkiye’de DMİ’nin işlettiği yağmur rasat istasyonlarındaki 14 ardışık süreli yıllık yağmur pikleri serilerinin frekans analizinde uygunluk testlerine göre Gumbel dağılımı 3-parametreli diğer dağılımların arasında oldukça başarılı bir performans sergilemiştir.

GED-2 dağılımı, çarpıklık katsayısı: +1.14 < Gx < +∞ aralığında değişen, pozitif- çarpıklıklı bir dağılımdır. GED-3 dağılımının çarpıklık katsayısı ise –∞ < Gx < +1.14 aralığında değişmektedir. Dolayısıyla, GED-3 dağılımı, çarpıklık katsayısı: 0 < Gx <

+1.14 aralığında iken pozitif-çarpıklıklı, –∞ < Gx < 0 aralığında ise negatif- çarpıklıklıdır. GED-2 ve GED-3 dağılımlarının olasılık yoğunluk fonksiyonları için, parametre değerleri farklı aralıklarda bulunan, aynı analitik ifade geçerlidir. GED-2 ve GED-3 dağılımlarının kümülatif dağılım fonksiyonu ve bunun inversi olan değişken fonksiyonu analitik olarak mevcuttur. Dolayısıyla, parametreleri herhangi bir yöntemle hesaplandıktan sonra, GED-2 veya GED-3 dağılımı ile (değişken değeri) ↔ T ilişkisinin her iki yönde hesabı kolaydır.

GED-2 ve GED-3 dağılımlarının olasılık yoğunluk fonksiyonu, kümülatif dağılım fonksiyonu, ve değişken fonksiyonu aşağıdaki gibidir (NERC, 1975; Rao & Hamed, 2000, Bölüm 7.1):

f(x) = (1/b)·[1 – a(x–c)/b]^(1/a–1)·exp{–[1 – a(x–c)/b ]^(1/a)} (1.58)

F(x) = exp{–[1 – a(x–c)/b ]^(1/a)} (1.59)

x = c + b{1 – [–ln(F(x))]^a}/a (1.60)

Bu ifadelerdeki a, b, c : GED dağılımının şekil, ölçek, ve konum parametreleridir. b parametresi daima pozitif işaretlidir ve aşağıda sıralanan analitik özellikler geçerlidir:

a < 0 ise dağılım GED-2 dağılımıdır ve x, c+b/a  x < + aralığında değişmektedir.

a > 0 ise dağılım GED-3 dağılımıdır ve x, – < x  c+b/a aralığında değişmektedir.