• Sonuç bulunamadı

TÜREV ALMA. km/s olur. Anlık hız. Anlık hız

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "TÜREV ALMA. km/s olur. Anlık hız. Anlık hız"

Copied!
28
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

TÜREV ALMA A. TÜREV KAVRAMI

1. Türev ile Hız Arasındaki İlişki Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,

t.

2 50 t ) t (

s   fonksiyonu ile verilsin.

Hareketlinin ] t,2

t[1 zaman aralığındaki ortalama hızı,

t1 t2

1) t(

s 2) t(

s Vort

  ile hesaplanır. Örneğin; hareketlinin

] 4 , 2

[ aralığındaki ortalama hızı,

2 56

) 2 . 2 50 2 ( ) 4 . 2 50 4 ( 2 4

) 2 ( s ) 4 ( s

Vort    

 

 

km/s olur.

Hareketlinin [3,4] aralığındaki ortalama hızı,

1 57

) 3 . 2 50 3 ( ) 4 . 2 50 4 ( 3 4

) 3 ( s ) 4 ( s

Vort    

 

 

km/s olur.

Hareketlinin [3.9,4] aralığındaki ortalama hızı,

9 , 3 4

) 9 , 3 ( s ) 4 ( s Vort

 

57,9

1 , 0

) 9 , 3 . 2 50 9 , 3 ( ) 4 . 2 50 4

(    

 km/s olur.

Hareketlinin [4,6] aralığındaki ortalama hızı,

2 60

) 4 . 2 50 4 ( ) 6 . 2 50 6 ( 4 6

) 4 ( s ) 6 ( s

Vort    

 

 

km/s olur.

Hareketlinin [4,5] aralığındaki ortalama hızı,

1 59

) 4 . 2 50 4 ( ) 5 . 2 50 5 ( 4 5

) 4 ( s ) 5 ( s

Vort    

 

 

km/s olur.

Hareketlinin [4,4.1] aralığındaki ortalama hızı,

3 4

) 4 ( s ) 1 , 4 ( s Vort

 

1 , 1 58

, 0

) 4 . 2 50 4 ( ) 1 , 4 . 2 50 1 , 4

(    

km/s olur.

Elde ettiğimiz bu sonuçları bir tablo ile gösterelim.

Hareketli 4 saatte radara girmiş olsun. O andaki hızını yani 4. saatteki hızını (anlık hızını) hR olmak üzere, h0 için [4,4h] veya [4h,4] aralığında ortalama hızdan yola çıkılarak anlık hız bulunur.

Anlık hız

4 ) h 4 (

) 4 ( s ) h 4 ( s 0 h im

 

h

) 4 . 2 50 4 ( ) h 4 .(

2 50 ) h 4 ( 0

h im     

 

58 ) 58 h 0( h im h

h . 2 58 h 0

h im  

 

   olur.

Anlık hız

) h 4 ( 4

) h 4 ( s ) 4 ( s 0 h im

 

h

)]

h 4 .(

2 50 ) h 4 [(

) 4 . 2 50 4 ( 0

h im     

 

58 ) 58 h 0( h im h

h . 2 58 h 0

h im   

 

  

olur.

Ancak hızın genel adı türevdir. Diğer bir ifadeyle, bir fonksiyonun bir noktadaki değişme hızı, fonksiyonun o noktadaki türevidir.

(2)

] h 4 , 4

[  için hesaplanan anlık hız, sağdan türev;

] 4 , h 4

[  için hesaplanan anlık hız, soldan türev olarak adlandırılır.

Uyarı

Anlık hız için, sağdan türevin soldan türeve eşit oluşuna dikkat ediniz.

2. Türev ile Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki

x2 ) x (

f  parabolüne A(2,22) noktasında çizilen teğetin eğimini araştıralım:

Düzlemde )

y1 1, x (

A ve

2) y 2, x (

B noktalarından

geçen doğrunun eğimi:

x1 x2

y1 y2 mAB

  ile

hesaplanır.

Örneğin; yx2 eğrisi üzerinde A noktasına yakın 2)

1 , 1 1(

B noktası için,

2 3 1

22 12 degisim deki x

degisim deki y AB1

m 

 

 bulunur.

x2

y eğrisi üzerinde A noktasına yakın (1.9,1.92) B2

noktası için,

9 , 9 3 , 1 2

92 , 2 1 2 degisim deki x

degisim deki y AB2

m 

 

 bulunur.

x2

y eğrisi üzerinde A noktasına yakın (3,32) C1 noktası için,

2 5 3

22 32 degisim deki x

degisim deki y AC1

m 

 

 bulunur.

x2

y eğrisi üzerinde A noktasına yakın (2.1,2.12) C2

noktası için,

1 , 2 4 1 , 2

22 12 , 2 degisim deki x

degisim deki y AC2

m 

 

 bulunur.

Elde ettiğimiz sonuçları bir tabloyla gösterelim:

x2 ) x (

f  parabolüne A(2,22) noktasında çizilen teğetin eğimini hR olmak üzere, h0 için A ve

2 h,(2 h)2

C   noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım:

h 4 h2 h 4 0 h im 2

) h 2 (

22 )2 h 2 ( 0 h im mAB

0

h im  

 

 

  

Bu değer f(x)x2 fonksiyonunun x2 noktasındaki sağdan türevidir.

2 h,(2 h)2

C   noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.

(3)

h 4 h2 h 4 0 h im 2

) h 2 (

22 )2 h 2 ( 0 h im mAB

0

h im 

 

 

  

Bu değer f(x)x2 fonksiyonunun x2 noktasındaki soldan türevidir.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi fonksiyonun o noktadaki teğetinin eğimidir.

Buna göre f(x)x2 parabolüne A(2,22) noktasında çizilen teğetin eğimi 4 tür.

Uyarı

Teğetin eğimi için, sağdan türevin soldan türeve eşit oluşuna dikkat ediniz.

3. Türevin Tanımı (1) b

,

a birer reel sayı olmak üzere, f :[a,b]R fonksiyonu verilmiş olsun. (a,b)

xo  için,

xo x

o) x ( f ) x ( f

xo x im

 limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun

xo noktasındaki türevi denir ve ) xo '(

f ,

o) x (

Df veya )

xo dx(

df ile gösterilir.

xo x

o) x ( f ) x ( f

xo x im o)

x '(

f 

  dır.

o h x

x  alınırsa xo

x için h0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

h o) x ( f ) o h x ( f 0 h im o)

x '(

f  

  ifadesi alınabilir.

Örnek:

R R :

f  , f(x)x2 fonksiyonunun x2 noktasındaki türevini bulalım.

Çözüm:

2 x

22 x2 2 x 2 im x

) 2 ( f ) x ( f 2 x

im ) 2 '(

f 

 

  

(x 2) 2 2 4

2 x im 2

x ) 2 x ).(

2 x ( 2

x im    

 

  

Örnek:

R R :

f  , f(x)x3 fonksiyonunun x4 noktasındaki türevini bulalım.

Çözüm:

4 x

43 x3 4 x im 4

x ) 4 ( f ) x ( f 4 x im ) 4 '(

f 

 

  

4 x

) 16 x 2 4 x ).(

4 x ( 4 x im

 

(x2 4x 16) 42 4.4 16 48 4

x im      

  olur.

Örnek:

R R :

f  , f(x)x2 fonksiyonunun xt noktasındaki türevini bulalım.

(4)

Çözüm:

h t2 )2 h t(

0 h im h

) t(

f ) h t(

f 0 h im ) ' t(

f  

 

  

(2t h) 2t 0 2t

0 h im h

h2 th 2 0

h im    

 

  

4. Türevin Tanımı (2) R

A ve aA olsun. f :AR fonksiyonu için,

a x

) a ( f ) x ( f a x

im 

 

 limiti varsa bu limite f fonksiyonunun a

x noktasındaki sağdan türevi denir ve

a x

) a ( f ) x ( f a x

im ) a '(

f 

 

 

 biçiminde gösterilir.

Benzer şekilde,

a x

) a ( f ) x ( f a x

im 

 

 limiti varsa bu limite f fonksiyonunun a

x noktasındaki soldan türevi denir ve

a x

) a ( f ) x ( f a x

im ) a '(

f 

 

 

 biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun xa noktasındaki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f fonksiyonunun xa noktasındaki türevi vardır. (Bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir.) Aksi halde türevi yoktur.

Sonuç

1. f'(a)f'(a) ise f fonksiyonunun xa noktasında türevi vardır.

2. f fonksiyonunun xa noktasında türevi varsa f fonksiyonu xa noktasında süreklidir.

3. f fonksiyonu xa sürekli olduğu halde, o noktada türevi olmayabilir.

4. f fonksiyonu xa sürekli değilse türevli de değildir.

Örnek:

R R :

f  ,

 

 

3 x , 2 1 ) 1 x (

5 x , 6

5 x ve 3 x , 8 x ) x ( f

fonksiyonunun x’ in -1 , 1 , 3 , 5 ve 8 değerlerinin kaçında türevli olduğunu bulalım.

Çözüm:

) 1 ( x

) 1 ( f ) x ( f 1 x im ) 1 '(

f  

 

 

1 x

] 2 1 ) 1 ) 1 [((

] 2 1 ) 1 x [(

1 x im

 

1 x

) 1 x ).(

3 x ( 1 x im 1

x 3 x 2 2 x 1 x im

 

  

(x 3) 1 3 4

1

x im    

 

1 x

) 1 ( f ) x ( f 1 x im ) 1 '(

f 

 

1 x

] 2 1 ) 1 1 [(

] 2 1 ) 1 x [(

1 x im

 

0

2 0 1 x

)2 1 x ( 1

x im  

 

(5)

Fonksiyonun belirttiği eğriye x1 noktasında çizilen teğetin eğiminin 0 (sıfır) olduğunu bulduk. (x1

noktasında çizilen teğet Ox eksenine paraleldir; yani eğimi sıfırdır.)

1

x ve x1 noktalarındaki türevleri sağdan türev, soldan türev yaklaşımı ile hesaplasaydık aynı sonuç çıkardı.

Eğrimize x3 noktasında birden fazla teğet çizilebilir. Bu durumda, bu noktadaki türev nasıl hesaplanacaktır?

Verilen grafikte de görülmekte olduğu üzere, f(x) fonksiyonu, x3 noktasının sağında yx8; x3 noktasının solunda y(x1)2 1 fonksiyonuyla tanımlanmıştır. Buna göre,

3 x

) 3 ( f ) x ( f 3 x

im ) 3 '(

f 

 

 

3 x

] 2 1 ) 1 3 [(

] 2 1 ) 1 x [(

3 x

im 

 

 

3 x

) 1 x ).(

3 x ( 3 x 3 im x

3 x 2 2 x 3 x

im 

 

 

 

  

(x 1) 3 1 4

3 x

im    

 

 

3 x

) 3 ( f ) x ( f 3 x

im ) 3 '(

f 

 

 

3 x

) 8 3 ( ) 8 x ( 3 x

im 

 

 

( 1) 1

3 x 3 im x

3 x 3 x

im  

 

 

 

  

) 3 '( f ) 3 '(

f    olduğu için x3 noktasında f(x) fonksiyonunun türevi yoktur.

Fonksiyonun x3 noktasında sürekli olduğu halde türevinin olmadığına dikkat ediniz.

) x (

f fonksiyonu x5 noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi yoktur.

5

x noktasında sağdan türev de soldan türev de -1 dir.

Sağdan türevin soldan türeve eşit olması, bu noktada türevin olması için yeterli değildir.

8 x

) 8 ( f ) x ( f 8 x im ) 8 '(

f 

 

( 1) 1

8 x im 8

x

) 8 8 ( ) 8 x ( 8

x im  

 

  

3

x için f(x)x8 fonksiyonu bir yarı doğru belirtir.

Doğrunun üzerindeki herhangi bir noktadan çizilecek teğet, doğru ile çakışıktır. Bunun için teğetin eğimi doğrunun eğimine eşittir. Nitekim, f(x)x8 doğrusunun eğimi de -1 dir.

Buna göre, verilen noktalardan -1 , 1 ve 8 de fonksiyonun türevi vardır.

Örnek:

) 10 ,

[7 aralığında tanımlı f fonksiyonu, yukarıda verilen grafik ile tanımlanıyor.

Buna göre x in -7 , -4 , -2 , 0, 3 , 5 , 7 , 9 ve 10 değerlerinin kaçında f fonksiyonunun türevi vardır?

Çözüm:

Bir aralıkta tanımlı fonksiyonun uç noktalarda türevi olmaz.

Çünkü bu noktalarda birden fazla teğet söz konusudur.

Buna göre, x7 de ve x10 da türev yoktur.

0

x , x3 , x5 , x7 noktalarında fonksiyon süreksizdir. Süreksizlik noktalarında türev olamayacağı için, bu noktalarda türev yoktur.

4

x , x2 , x9 noktalarında sağdan türev, soldan türevden farklı olacağı için, bu noktalarda da (süreklilik olmasına rağmen) türev yoktur.

Buna göre, verilen noktalardan hiç birinde fonksiyonun türevi yoktur.

(6)

Örnek:

3 x x

2 1 ) x x ( f

  fonksiyonunun türevinin olmadığı noktaları

bulalım.

Çözüm:

Bir fonksiyon paydasını sıfır yapan değerlerde tanımsızdır.

Tanımsız olunan noktalarda süreksiz olup türev olamayacağı için, bu noktalarda türev yoktur. Buna göre,

0 ) 1 x ).(

1 x .(

x 0 3 x

x      

x0 veyax1 veya x1 değerleri için )

x (

f fonksiyonunun türevi yoktur.

Sonuç

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevinin olması için yeterli değildir.

Yorum

Konunun buraya kadar olan kısmında; türev kavramını, türevin tanımını, bir noktada türevin olmasının veya olmamasının hangi koşullara bağlı olduğunu, bir noktada türevin anlamını ortaya koymaya çalıştık.

Bütün bunları gerçekleştirebilmek için, fiziğin ortalama hız ve anlık hız; analitik geometrinin teğet ve eğim kavramlarını kullandık.

Anlık hızın genel adının türev olduğunu, diğer bir ifade ile bir fonksiyonun bir noktadaki değişme hızının fonksiyonun o noktadaki türevi olduğunu gösterdik.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin fonksiyonun o noktadaki teğetinin eğimine eşit olduğunu gösterdik.

Değişimin limitini kullanarak, türevin tanımını aşağıdaki gibi ifade ettik.

b ,

a birer reel sayı olmak üzere, f :[a,b]R fonksiyonu verilmiş olsun. (a,b)

xo  için,

xo x

o) x ( f ) x ( f

xo x

im 

 limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine

f fonksiyonunun

xo noktasındaki türevi denir ve ) xo '(

f ,

o) x (

Df veya )

xo dx(

df ile gösterilir. Buna göre,

xo x

o) x ( f ) x ( f

xo x im o)

x '(

f 

  dır.

o h x

x  alınırsa xo

x için h0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

h o) x ( f ) o h x ( f 0 h im o)

x '(

f  

  ifadesi alınabilir.

Son olarak, bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşulun, o noktada süreklilik olduğu ancak bunun yeter koşul olmadığını gösterdik.

B. TÜREV ALMA KURALLARI

1. xn nin Türevi Kural

R

n olmak üzere, f(x)xn ise f'(x)n.xn1 dir.

Örnek:

x10 ) x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

x9 . 1 10 x10 . ' 10 10) x ( ) x '( 10 f x ) x (

f       olur.

Örnek:

x2 ) x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

x 1 2 x2 . ' 2 2) x ( ) x '( 2 f x ) x (

f       olur.

Örnek:

x ) x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

(7)

0 1 x . 1 1 x1 . ' 1 1) x ( ) x '( f x ) x (

f        olur.

Örnek:

x 2 ) x (

f   fonksiyonunun türevini alalım:

x 3 1 2 x 2 . ' 2 2) x ( ) x '( 2 f x ) x (

f           tür

Örnek:

x ) 1 x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

x2 1 1 x 1 . ' 1 1) x ( ) x '( 1 f x x ) 1 x (

f          

olur.

Örnek:

3 2x ) x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

' 3 2 x ) x '( 3 f 2 3 2x x ) x (

f

  

 

3 x . 3 3 2 1 x 3. 1 2 3 2 x 3.

2  

 olur.

Örnek:

x ) x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

' 2 1 x ) x '( 2 f 1 x x ) x (

f





x . 2 2 1 1 x 2. 1 1 2 1 x 2.

1  

 

 olur.

2. Sabit Sayının Türevi Kural

R

c sabit sayı olmak üzere f(x)c ise f'(x)0 dır.

Yani sabit sayının türevi sıfırdır.

Örnek:

10 ) x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

0 ) x '( ' f ) 10 ( ) x '( f 10 ) x (

f      olur.

Örnek:

102007 ) x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

 

102007 ' f'(x) 0

) x '( 2007 f 10 ) x (

f      olur.

Örnek:

 ) x (

f fonksiyonunun türevini alalım:

R

 bir reel sayı olduğundan sabit sayıdır. Buna göre,

0 ) x '( ' f ) ( ) x '( f )

x (

f      olur.

Örnek:

2008 ) 2007 x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

0 ) x '( f ' 2008 ) 2007 x '( 2008 f ) 2007 x (

f   

 

 

olur.

3. Sabit Sayı ile Fonksiyonun Çarpımının Türevi Kural

R

c sabit sayı olmak üzere, [cf.(x)]' cf.'(x) tir.

(8)

Örnek:

x2 . 10 ) x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

)' x2 .(

10 ) x '( 2 f x . 10 ) x (

f   

f'(x)10.(2.x21)10.(2x)20x olur.

Örnek:

x . 10 ) x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

10 1 . 10 1) x1 . 1 .(

' 10 ) x .(

10 ) x '( f x . 10 ) x (

f        dur.

Örnek:

) x ( g . 10 ) x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

) x '( g . ' 10 )) x ( g . 10 ( ) x '( f ) x ( g . 10 ) x (

f     olur.

Örnek:

10 ) x ( ) g x (

f  fonksiyonunun türevini alalım:

10 ) x (' ) g x '( g 10. ' 1 )) x ( g 10. (1 ) x '( 10 f

) x ( ) g x (

f      olur.

4. İki Fonksiyonun Toplamının Türevi Kural

) x (

f ve g(x) türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,

) x '( g ) x '( ' f )]

x ( g ) x (

f[    tir.

Yani iki fonksiyonun toplamının türevi fonksiyonların türevleri toplamına eşittir.

Örnek:

2 e x ) x (

f   fonksiyonunun türevini alalım:

   

x2 e' x2 '

 

e ' 2x 0 2x

) x '(

f        (eR)

Örnek:

2 x2 5 12 ) x x (

f 

 fonksiyonunun türevini alalım:

2 ' x 2 . ' 12 x5 2. 1 ' 2

x2 5 12 ) x x '(

f

           

 

 

  

21.

       

x5 ' 122 .x2 ' 21.5.x51 122 .2.x21

2 x 4 24 x x 5 2 . 4 24 x 2.

5 

 olur.

5. İki Fonksiyonun Farkının Türevi Kural

) x (

f ve g(x) türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,

) x '( g ) x '( ' f )]

x ( g ) x (

f[    tir.

Yani iki fonksiyonun farkının türevi fonksiyonların türevleri farkına eşittir.

Örnek:

x3 5 4 x ) x (

f   fonksiyonunun türevini alalım:

x5 4x3

    

' x5 ' 4x3 '

) x '(

f    

5.x51' 4.

 

x3 ' 5x4 4.

 

3.x31

5x4 12x2 olur.

Örnek:

4 x 2 4 x ) x (

f    fonksiyonunun türevini alalım:

(9)

x2 4x 4

  

' x2 ' 4.

   

x ' 4 '

) x '(

f      

2x4.102x4

Örnek:

x100 100x 1009

dx

d   işleminin yapalım:

x100 100x 1009

 

x100 100x 1009

'

dx

d     

 

x100 '

 

100x '

 

1009 '

100.x1001100.x110

100x99 100 olur.

6. İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi Kural

) x (

f ve g(x) türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,

) x '( g ).

x ( f ) x ( g ).

x '( ' f )]

x ( g ).

x (

f[   tir.

İki fonksiyonun çarpımının türevi; birinci fonksiyonun türevi ile ikincinin çarpımına, birinci fonksiyon ile ikincinin türevinin çarpımı eklenerek bulunur.

Örnek:

 

x3 1.x2 8x 2

) x (

f     fonksiyonunun türevini alalım:

  

x3 1'.x2 8x 2

  

x3 1.x2 8x 2

'

) x '(

f        

 

3x21.x28x2

  

x31.

2x8

5x4 32x3 6x2 2x8 olur.

Örnek:

  

x2 1.1 x3

) x (

f    olduğuna göre f'() değerini bulalım:

      

x2 1'.1 x3 x2 1.1 x3 '

) x '(

f      

2x.

    

1x3 x21.3x2

1 ( 1)3

 

( 1)2 1

 

. 3( 1)2 4

).

1 .(

2 ) 1 '(

f            tür.

7. İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi Kural

) x (

f ve g(x) türevlenebilen iki fonksiyon ve g(x)0 olmak üzere,

 

g(x)2

) x (' g ).

x ( f ) x ( g ).

x (' ' f ) x ( g

) x (

f 



 

dir.

Örnek:

1 x

2 x ) x x (

f 

  fonksiyonunun türevini alalım:

       

 

x 12

1' x . 2 x x 1 x '. 2 x x 1 x 2 x ) x x '( f

 

 

    

1 x 2 2 x

1 x 2 2 x 1

x 2 2 x

1 . 2 x x 1 x . 1 x 2

 

  olur

Örnek:

 

 

 2 x

2 1 x 2 dx

d ifadesinin eşitini bulalım:

       

 

x 22

2' x . 2 1 x 2 2 x '. 2 1 x 2 2 x

2 1 x 2 dx

d

 

 

 

(10)

   

4 x 2 4 x

1 x 2 8 x 2 4

x 2 4 x

1 . 2 1 x 2 2 x . x 4

 

  olur.

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi Kural

) x ( g ) x (

f  olsun.

xo değeri, g(x)0 denkleminin tek katlı kökü değilse,

 

g(xo)

Sgn o).

x '( g o) x '(

f  dır.

xo değeri, g(x)0 denkleminin tek katlı kökü ise,

o) x '(

f yoktur.

Örnek:

2 x x ) x (

f   fonksiyonunun x in -1 , 0 , 2

1, 1, ve 2

değerlerinin kaçında türevi vardır?

Çözüm:

Bu fonksiyonun türevlerini, öncelikle yukarıdaki kuralı uygulamadan sonuçlandıralım. Mutlak değerli ifade, parçalı fonksiyona dönüştürülüp, sonuçlandırılabilir.

0

x veya x1 ise,

1 x 2 ) x '( f 2 x x 2 x x ) x (

f        dir.

3 1 ) 1 .(

2 ) 1 '(

f      tür.

3 1 2 . 2 ) 2 '(

f    tür.

1 x

0  ise,

1 x 2 ) x '( f 2 x x 2 x

x ) x (

f        dir.

0 2 1 .1 2 2) (1

f'    dır.

0

x ve x1 değerlerinde sağdan türev soldan türevden farklı olduğundan bu noktalarda türev yoktur.

0

x ve x1 değerlerindeki türevleri yukarıdaki kurala göre bulalım:

0

x ve x1 değerleri x2 x0 denkleminin tek katlı kökleridirler. Bunun için bu noktalarda türev yoktur.

Örnek:

1 x 2 2 x ) x (

f    fonksiyonunun x1 noktasındaki türevi kaçtır?

Çözüm:

Mutlak değer fonksiyonu negatif sayıların işaretini değiştirir. Fakat pozitif sayılarda hiçbir değişiklik yapmaz. Buna göre,

1 x 2 2 2 x ) 1 x 2 ( ) 1 x ( 1 x 2 2 x ) x (

f          

dir.

2 x 2 ) x '( f 1 x 2 2 x ) x (

f       dir.

0 2 1 . 2 ) 1 '(

f    olur.

(11)

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur.

Köşe (uç) noktalarda türev yoktur.

1

x değeri x2 x0 denkleminin tek katlı köküdür.

Bunun için f(x) x2x fonksiyonunun x1 noktasında türevi yoktur.

Halbuki çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

1

x değeri x2 2x10 denkleminin çift katlı köküdür. Bunun için

1 x 2 2 x ) x (

f    fonksiyonunun x1 noktasında türevi vardır..

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi Kural

)]

x ( g sgn[

) x (

f  ise



 

 ) 0

xo ( g , Yoktur

0 o) x ( g , 0 o) x '( f

Örnek:

x2 5x 4

sgn ) x (

f    olduğuna göre f'(2) kaçtır?

Çözüm:

1.Yol

2

x deki türevi araştıracağımıza göre fonksiyonun x2 yi kapsayan küçük bir aralıktaki görüntüsü, örneğin

1

x için oluşan görüntüsü türevi belirlemek için yeterli olur.

Grafikten de görüleceği gibi, bir sabit sayının (y = 1) türevi sorulmaktadır.

Bütün sabit sayıların türevi sıfır olacağı için f'(2)0 dır.

2.Yol 2

x deki türevi yukarıdaki kurala göre bulalım:

2

x değeri x2 5x40 denkleminin kökü değildir.

Bunun için fonksiyonun bu noktada türevi vardır; ve sıfırdır.

Örnek:

x2 5x 4

sgn ) x (

f    olduğuna göre '(1) f kaçtır?

Çözüm:

1

x deki türevi araştıracağımıza göre fonksiyonun x1 i kapsayan küçük bir aralıktaki görüntüsü, örneğin x4 için oluşan görüntüsü türevi

belirlemek için yeterli olur.

Grafikten de görüleceği gibi, fonksiyon x1 de sağdan ve soldan limitler farklı olduğundan süreksizdir. Süreksizlik noktasında türev olamayacağından fonksiyonun x1 noktasında türevi yoktur.

2.Yol 1

x deki türevi verilen kurala göre bulalım:

1

x için x2 5x40 denkleminin sağlanmaktadır.

Yani x1 değeri x2 5x40 denkleminin köküdür.

Bunun için fonksiyonun bu noktada türevi yoktur.

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu, işaret fonksiyonu ve tam değer fonksiyonu ile ilgili ifadelerin türevi, kurallar yardımıyla sonuçlandırılabilir. Ancak, bu fonksiyonlar parçalı fonksiyona dönüştürülerek de sonuca gidilebilir.

Örnek:

x2 5x 4

sgn ) x (

f    fonksiyonunu parçalı fonksiyona dönüştürerek türevini araştıralım.

Çözüm:

4 x veya 1 x 0 4 x 2 5

x       tür.

(12)

 

 

4 x 1 , 1

4 x veya 1 x , 0

4 x veya 1 x , 1 ) x (

f

 

 

4 x 1 , 0

4 x veya 1 x , Yoktur

4 x veya 1 x , 0 ) x '( f

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi Kural

) x ( g ) x (

f  ise



 

 ) Z

xo ( g , Yoktur

Z o) x ( g , 0 o) x '( f

Örnek:

R ] 8 , 4 [ :

f   ,

4 ) x x (

f  olduğuna göre f'(2) kaçtır?

Çözüm:

2

x deki türevi araştıracağımıza göre fonksiyonun 2

x yi kapsayan küçük bir aralıktaki görüntüsü, örneğin 0

x için oluşan görüntüsü türevi belirlemek için yeterli olur.

Grafikten de görüleceği gibi, bir sabit sayının (y = -1) türevi sorulmaktadır.

Bütün sabit sayıların türevi sıfır olacağı için f'(2)0 dır.

2.Yol 2

x deki türevi yukarıdaki kurala göre bulalım:

2 x değeri

4

x ifadesinin içini tam sayı yapmaz.

Bunun için fonksiyonun bu noktada türevi vardır; ve sıfırdır.

Örnek:

R ] 8 , 4 [ :

f   ,

4 ) x x (

f  olduğuna göre f'(4) kaçtır?

Çözüm:

Fonksiyonun grafiğini bir önceki örnekte vermiştik.

4

x teki türevi araştıracağımıza göre fonksiyonun x4 yi kapsayan küçük bir aralıktaki görüntüsü, örneğin

8 x

0  için oluşan görüntüsü türevi belirlemek için yeterli olur.

Grafikten de görüleceği gibi fonksiyon bu aralıkta sağdan ve soldan limitler farklı olduğundan süreksizdir.

Süreksizlik noktasında türevi olmayacağı için f'(4) yoktur.

2.Yol 4

x teki türevi yukarıdaki kurala göre bulalım:

4 x değeri

4

x ifadesinin içini tam sayı yapar.

Bunun için fonksiyonun bu noktada türevi yoktur.

Örnek:

R ] 8 , 4 [ :

f   ,

4 ) x x (

f  fonksiyonunu parçalı fonksiyona dönüştürerek türevini araştıralım.

Çözüm:

1 ) x ( f 4 1

0 x 4 1 x 0 x

4        

 dir.

0 ) x ( f 4 0

1 x 4 0 x 4 x

0         dır.

1 ) x ( f 4 1

2 x 4 1 x 8 x

4         dir.

2 ) x ( f 2 2 2

8 4 8 x

x       dir.

(13)

 

 

8 x , 2

8 x 4 , 1

4 x 0 , 0

0 x 4 - , 1

) x (

f

 

 

8 x , 4 x 0, x -4, x , Yoktur

8 x 4 , 0

4 x 0 , 0

0 x 4 - , 0

) x '(

f olur.

Örnek:

7 1 x ) 3 x (

f 

 olduğuna göre '(3) f kaçtır?

Çözüm:

3 x değeri

7 1 x 3 

ifadesinin içini tam sayı yapmaz.

Bunun için fonksiyonun bu noktada türevi vardır; ve sıfırdır.

11. Bileşke Fonksiyonunun Türevi Kural

  

gof(x)

'

gf[(x)]

' g'

 

f(x) f.'(x)

Örnek:

6x2 2x 10

3

) x (

f    olduğuna göre f'(2) kaçtır?

Çözüm:

10 x 2 2 x 6 ) x (

g    olsun.

6x2 2x 10

3 f(x)

 

g(x)3

) x (

f     

gf[(x)]

' g'

 

f(x) f.'(x) olduğuna göre,

 

g(x)3

   

f(x)' 3.g(x)2 f.'(x)

) x (

f   

f'(x)3.(6x2 2x102).(12x2)

f'(2)3.(6.22 2.2102).(12.22)

f'(2)6600 olur.

Sonuç ) 2 '(

f gösterimi

 

f(2)' gösterimi ile karıştırılmamalıdır.

 

f(2) '

) 2 '(

f  dir. Çünkü f'(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f'(x) in x2 için değeridir.

 

f(2)' gösterimi, fonksiyonun x2 için değerinin (yani, bir reel sayının) türevidir.

Örnek:

 

x2 5x2 x2 5x 5

) x (

f      olduğuna göre f'(5)

kaçtır?

Çözüm:

x 2 5 x ) x (

g   olsun. g'(x)2x5 olur.

 

g(x)2 g(x) 5

) x (

f    olur.

   

f(x) '

g(x)2g(x)5

'

   

g(x)2 '

 

g(x)' (5)'

) x '(

f   

  

g(x).g(x)' g'(x) 0

. 2 ) x '(

f   

 

x2 5x.

2x 5

2x 5

. 2 ) x '(

f     

 

52 5.5.

2.5 5

2.5 5 5

. 2 ) 5 '(

f       olur.

(14)

Sonuç

 

u(x) n

) x (

f  ise dxdf n.

 

u(x) n1.u'(x) olur.

Örnek:

 

x2 3x

f ) x (

h   olduğuna göre h'(5) değerini hesaplayalım.

Çözüm:

f x2 3x

' f'

x2 3x

.

 

x2 3x'

) x '(

h    

 

 

f'

x2 3x

.

2x3

 

52 3.5.

2.5 3

7f.'(10)

f' ) 5 '(

h     olur.

Örnek:

2) x ( f

1 ) x x (

g 

 olduğuna göre g'(1) değerini hesaplayalım.

Çözüm:

2) x 2( f

) 1 x ').(

x2 2).(

x (' f 2) x ( ')f.

1 x ) ( x '(

g   

2) x 2( f

) 1 x '.(

x 2 2).

x (' f 2) x ( f.

1  

) 1 ( f

1 ) 1 2( f

) 1 ( f 2)

1 2( f

) 1 1 '1..(

2 2).

1 (' f 2) 1 ( ) f 1 '(

g    

 olur.

12. Köklü Fonksiyonunun Türevi Kural

) x ( f

u olmak üzere, n

m n mu u

y  ise

n un m . n

u' . ' m u . n 1 m u n. m ' n m u n mu ' y'

 

  

 

 

 

dir.

Örnek:

3 (x2 5x)2

y  olduğuna göre, y nin türevini bulalım.

Çözüm:

x 2 5 x

u  olsun. u' 2x5 olur.

3 u3 2 . 3

u' . ' 2 u . 3 1 2 u 3. 2 ' 3 2 3 2u u y'

 

 

  

 

 

 

3 x2 5x .

3

) 5 x 2 .(

' 2 y

  olur.

Sonuç

) x ( f

u olmak üzere, 2

1 u u

y  ise

 

2. u

u' u' . 2 1 1 u 2. 1 ' 2 1 ' u ' u

y  

  

 

olur.

Örnek:

2 x x 4

y  olduğuna göre, y nin türevini bulalım.

Çözüm:

2 x x 4

u  olsun. u' 8x1 olur.

2 x x 4 . 2

1 x 8 u2 . 2

u' y'

 

 olur.

(15)

13. Logaritma Fonksiyonunun Türevi Kural

) x ( f

u olmak üzere, u

loga

y ise e

loga u u'

y'  olur.

Örnek:

 

x2 5x

log3

y  olduğuna göre, y nin türevini bulalım.

Çözüm:

x 2 5 x

u  olsun. ' 2x 5 u   olur.

 

.log3e

x 2 5 x

5 x e 2 log3 u. u' u' log3 y'

 

 olur.

Sonuç ) x ( f

u olmak üzere, ylnu ise

u u' e uln u'

y'   olur.

Örnek:

x2 x 10

ln ) x (

f    olduğuna göre, f'(1) kaçtır?

Çözüm:

 

10 2 x x

1 x 2 10 2 x x

' 10 2 x ' x 10 2 x x ln ) x '( f

 



 

  



 

  

10 1 10 2 1 1

1 1 . ) 2 1 '(

f 

  olur.

14. Üstel Fonksiyonunun Türevi Kural

) x ( f

u olmak üzere, yau ise y' u'.au.lna olur.

Örnek:

x2 3 2 5x

y  olduğuna göre, y nin türevini bulalım.

Çözüm:

x2 3 2 x

u  olsun. u' 3x2 4x olur.

u ln u. 5 '. ' u u y 5

y  

(3x2 4x).5x32x2.ln5

Sonuç ) x ( f

u olmak üzere, yeu ise y' u'.eu olur.

Örnek:

1 x e2

y  olduğuna göre, y nin türevini bulalım.

Çözüm:

1 x 2

u  olsun. u' 2 olur.

1 x e2 . u 2 e '. ' u u y e

y     olur.

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi R

A :

f  fonksiyonu , yf(x) şeklinde belirtileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

) t ( g y

) t ( h x

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen yg(t) ve xh(t) denklemlerinden t yok edilerek )

x ( f

y şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir. Bu durumda,

) t ( g

y ve xh(t) parametrik denklemleri ile verilen )

x ( f

y fonksiyonunun türevi aşağıdaki kural yardımıyla bulunur.

(16)

Kural

) ' t(

x ) ' t(

y

dt dx dt dy dx .dt dt dy dx

dy    olur.

Örnek:

3 t 8

y  ve x2t5 olduğuna göre, dx dy kaçtır?

Çözüm:

2 } 5 t 2 dt{ } d x dt{

d   

8 } 3 t 8 dt{ } d y dt{

d   

4 2 8 ) ' t(

x ) ' t(

y

dt dx dt dy dx

dy     olur.

2.Yol 5 t 2

x  denkleminden t çekilip y8t3 denkleminde yerine yazılırsa, y ’nin x ’e bağlı değerini elde ederiz.

5 t 2 x  ise

2 5

t x

 dir.

17 x 4 2 3

5 .x 8 3 t 8

y       olur.

4x 17

' 4

dx

dy    bulunur.

Örnek:

5 t 3 8 t

y   ve xt28t1 olduğuna göre dx dy

ifadesinin t2 için değerini bulalım.

Çözüm:

Bundan önceki örnekte t ‘yi kolayca yok etmiştik. Oysa,

bu örnekte, bu kolay değildir. Bunun için, doğrudan kuralı uygulayacağız.

8 t 2

2 8 t 3

dt dx dt dy dx dy

 

 dir.

Buna göre dx

dy ifadesinin t2 için değeri,

3 1 8 2 . 2

2 8 2 . 3 2 dxt

dy 

 

tür.

16. Ardışık Türevler )

x ( f

y fonksiyonunun türevi

dx ) dy x '( ' f

y   olmak üzere

) x '(

f in türevi olan

dx2 2y ) d x ''( '' f

y   ifadesine yf(x) fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde,

dxn ny ) d x )( n f( ) n

y(   ifadesine yf(x) fonksiyonunun n. mertebeden türevi denir.

Örnek:

1 2 x 3 x x ) x (

f     olduğuna göre (3)(x)

f ifadesini hesaplayalım.

Çözüm:

1 2 x 3 x x ) x (

f    

1 x 2 2 x 3 ) x '(

f   

2 x 6 ) x ''(

f  

6 ) x )( 3 f( 6 ) x ''(

f'    olur.

Örnek:

x10 ) x (

f  ise f(10)(x) ifadesini hesaplayalım.

(17)

Çözüm:

x8 . 9 . 10 ) x ''( 9 f x . 10 ) x '( 10 f x ) x (

f     

x6 . 7 . 8 . 9 . 10 ) x )( 4 f( x7 . 8 . 9 . 10 ) x )( 3

f(   

x0 . 1 . 2 ...

8 . 9 . 10 ) x )( 10 f( x1 . 2 ...

7 . 8 . 9 . 10 ) x )( 9

f(   

! 10 . 1

!.

10 ) x )( 10

f(   olur.

Örnek:

x.ex x2

dx3 d3

 ifadesini hesaplayalım.

Çözüm:

x.ex x2

ex x.ex 2x

dx

d    

x.ex x2

 

dxd ex x.ex 2x

dx2 d2

ex exx.ex 22.ex x.ex

x.ex x2

 

dxd 2.ex x.ex

2.ex ex x.ex

dx3 d3

x.ex x2

3.ex x.ex ex.(x 3)

dx3 d3

 olur.

17. Kapalı Fonksiyonların Türevi 0

) y , x (

F  şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi

Fx ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi

Fy ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz.

Kural

Fy Fx dx ) dy y , x '(

F   dir.

Örnek:

0 2 1 3 y x 3y x 5 2 2y x 3 ) y , x (

F       olduğuna göre

Fx i ve

Fy yi hesaplayalım.

Çözüm:

F(x,y)

dxd

3x2y5 2x3y x3 y2 1

dx

d     

0 2 0 x . 3 2y x 2 . 5 3 1y x 3 . dx 2

) y , x (

dF     

x2 . 3 2y x 5 6 x y x 6

F    olur.

F(x,y)

dyd

3x2y5 2x3y x3 y2 1

dy

d     

1 0 y 2 0 0 3y x 2 . 4 1 2y x 3 . dy 5

) y , x (

dF     

y 3 2 x 4 2 2y x y 15

F    olur.

Örnek:

0 21 1 5 y 10 x 2y x ) y , x (

F      olduğuna göre

Fx i ve Fy yi hesaplayalım.

Çözüm:

F(x,y)

dxd

x2y10 x5 y21 1

dx

d    

2.x1y10 5x4 0 0 dx

) y , x (

dF 2x y10 5x4

Fx  

olur.

(18)

F(x,y)

dxd

x2y10 x5 y21 1

dy

d    

20 0 y . 21 9 0

2y x . dy 10

) y , x (

dF    

y20 9 21 2y x y 10

F   olur.

Örnek:

0 2 1 2 y x ) y , x (

F     olduğuna göre F'(x,y) yi hesaplayalım.

Çözüm:

0 2 1 2 y

x    denkleminin her iki tarafının x e göre türevini alarak sonuca gidelim.

0 ) y , x (

F  denkleminde x e göre türev alınırken, x in bağımsız değişken, y nin ise x e bağımlı değişken (yani fonksiyon) anlamı taşıyacağına dikkat edilmelidir.

x2 y2 1

dxd

 

0

dx

d   

   

x2 dxd y2 dxd



1 0

dx

d   

 

y 0 0 2y.dxdy 2x

dx . d y 2 x

2     

y ) x y , x '( y F x y 2

x 2 dx

dy   

 

 olur.

2.Yol

Şimdi kural yardımıyla istenen türevi hesaplayalım:

x 2 0 0 x x 2

F     olur.

y 2 0 y 2 y 0

F     olur.

y x y 2 x 2 Fy Fx ) y , x '(

F 



 bulunur.

Örnek:

0 3 3 x y 2 2y x 3 ) y , x (

F     olduğuna göre '(x,y)

F yi

hesaplayalım.

Çözüm:

0 3 3 x y 2 2y x

3    denkleminin her iki tarafının x e göre türevini alarak sonuca gidelim.

3x2y 2x y3 3

dxd

 

0

dx

d   

   

3x2y dxd 2x y3 dxd

 

3 0

dx

d   

y' dx

dy  olmak üzere,

6x yy.'3x2

 

2y36x y2.y'

00

3x2 6x y2

6x y 2y3

'.

y   

x y2 2 6 x 3

y3 2 x y ) 6 y , x '( 2 F x y 2 6 x 3

y3 2 x y ' 6 y

 

 olur.

2.Yol

Şimdi kural yardımıyla istenen türevi hesaplayalım:

y3 2 x y x 6

F   olur.

x y2 2 6 x y 3

F   olur.

x y2 2 6 x 3

y3 2 x y ) 6 y , x '( F

 

 bulunur.

Örnek:

0 3 5 5 y 4 x 2y x 3y x ) y , x (

F       olduğuna göre

) y , x '(

F yi hesaplayalım.

(19)

Çözüm:

x4 4 5 x y 2 2y x x 3

F    olur.

y2 3 3 2y x 3 4 y x

F    olur.

y2 3 3 2y x 3 4 x

x4 4 5 x y 2 2y x ) 3 y , x '( F

 

 bulunur.

18. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Kural

) x ( f

u olmak üzere

 

' u'.cosu u

sin  dur.

Örnek:

) 60 x 2 sin(

y  olduğuna göre, y nin türevini bulalım.

Çözüm:

u 60 x

2   olsun. {60} 2

dx } d x 2 dx{ ' d

u    olur.

) 60 x 2 cos(

. 2 u cos '. ' u y u sin

y     olur.

Örnek:

] x x sin . x dx[

d  ifadesinin sonucunu bulalım.

Çözüm:

) x dx( ) d x sin . x dx( ] d x x sin . x dx[

d   

1.sinxx.1.cosx1 x.cosxsinx1 olur.

Kural ) x ( f

u olmak üzere

 

' u'.sinu u

cos  dur.

Örnek:

6) x 4 cos(

y 

 olduğuna göre, y nin türevini bulalım.

Çözüm:

6 u x

4 

 olsun. } 4

{6 dx } d x 4 dx{ ' d

u  

 olur.

6) x 4 sin(

. 4 u sin '. ' u y u cos

y 

 olur.

Örnek:

 

f(x) tan

y olduğuna göre, y nin türevini bulalım.

Çözüm:

) x ( f

u olmak üzere, ytanu ise,

2u cos

2u sin .' u 2u cos .' ' u u cos

u ' sin ) u tan ' (

y 

 

 

u'.

1 tan2u

2u cos

u' 2u

cos 2u cos 2u sin .'

u    

 dur.

Sonuç ) x ( f

u olmak üzere,

1 tan2u

'. u 2u cos

u' )' u tan

(    olur.

19. Ters Fonksiyonların Türevi B

A :

f  , birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan 1(x)

f fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

xo o) y 1( o f y o) x (

f     olmak üzere,

   

o) x (' f

1 yo 1 '

f  olur.

(20)

Örnek:

1 x 4 ) x (

f   olduğuna göre

 

f1 '

 

5 i bulalım.

Çözüm:

Fonksiyonun tersini bulup türevini alalım:

4 1 ) x x 1( f 1 x 4 ) x (

f 

 

 tür.

Buna göre,

 

f1 ' (x) 41

 

f1 ' (5) 41 olur.

2.Yol

Tersini kolayca bulamayacağımız fonksiyonlarla karşılaşabiliriz. Bunu için, şimdi de verilen kuralı uygulayalım:

o 5

y  teki türevi hesaplayacağımıza göre, 5 yo  koşulunu sağlayan

xo değerini bulmalıyız.

o 1 x . 4 5 o 1 x . o 4 y o) x ( o f

y       

2 3 xo 

 dir.

   

 

 

2 'f 3 5 1 1 '

f olacağından,

2 4 ' 3 f 4 ) x '( f 1 x 4 ) x (

f     

     

 tür. O halde,

   

41

2 'f 3 5 1 1 '

f  

 

 

bulunur.

Örnek:

2

x olmak üzere f(x)(x2)2 1 olduğuna göre

 

f1 '

 

5 i bulalım.

Çözüm:

Fonksiyonun tersini bulup türevini alalım:

2

x ve f(x)(x2)2 1f1(x) x12 dir.

Buradan,

 

2. x 1 ) 1

x ' ( f 1

 

 olup,

 

41

1 5 . 2 ) 1 5 ' (

f 1 

 

 bulunur.

2.Yol o 5

y  teki türevi hesaplayacağımıza göre, 5 yo  koşulunu sağlayan

xo değerini bulmalıyız.

 

xo 2 2 1 5

 

xo 2 2 1

yo o) x ( o f

y         

2 2

xo 2 4

o 2

x     

 

 

 

x2

xo 22xo 4

     

'f 4 5 1 1 '

f  olacağından,

 

4 4

f' ) 2 x .(

2 ) x '( f 2 1 ) 2 x ( ) x (

f         tür.

   

41

2 'f 3 5 1 1 '

f  

 

 

bulunur.

Uyarı

Verilen iki örnekte, fonksiyonların tersleri kolayca bulunabiliyordu. Şimdi de tersi kolayca bulunamayan iki örneği ele alacağız.

(21)

Örnek:

R R :

f  , f(x)x3 x olduğuna göre

 

f1 '

 

6

bulalım.

Çözüm:

o 6

y  daki türevi hesaplayacağımıza göre, 6 yo  koşulunu sağlayan

xo değerini bulmalıyız.

x0 3 xo o 6

3 x xo yo o) x ( o f

y       

xo 2 dir.

     

'f 2 6 1 1 '

f  olacağından,

 

2 11

f' 2 1 x 3 ) x '( f 3 x x ) x (

f        dir.

     

111

'f 2 6 1 1 '

f   bulunur.

Örnek:

 

 

 0,2

x olmak üzere, f(x)tanx olduğuna göre

 

f1 '

 

1 i bulalım.

Çözüm:

o 1

y  deki türevi hesaplayacağımıza göre, 1 yo  koşulunu sağlayan

xo değerini bulmalıyız.

o) x tan(

1 o) x o tan(

y o) x ( o f

y     

o 4

x 

 tür.

   

 

 

 

'f 4 1 1 1 '

f olacağından,

4 2 f' 2x tan 1 ) x '( f x tan ) x (

f  

 

dir.

   

21

'f 4 1 1 1 '

f 

 

 

 

bulunur.

Sonuç

Trigonometri konusunda f(x)tanx fonksiyonunun tersinin x

arctan ) x 1(

f  olduğunu vermiştik.

Bu durumda, yukarıdaki örnekte yarctanx fonksiyonunun 1

x deki türevinin 2

1 olduğunu vermiş olduk.

Ters trigonometrik fonksiyonların türevlerinin bulunmasında şu formüller de kullanılabilir.

1. yarcsinu ise

u2 1

u' y'

 dir.

2. yarccosu ise

u2 1

u' y'

 dir.

3. yarctanu ise

u2 1

u' y'

 dir.

4. yarccotu ise

u2 1

u' y'

 dir.

Örnek:

 

3 x

arcsin

y ise

 

2. x 9x2

3 x 2

3 1

x 2 . 1 ' 3 y

 dir.

Örnek:

arcsin(cosx)

dx

d ifadesinin sonucunu bulalım.

Referanslar

Benzer Belgeler

Kayıt yaptıranların sayısının 80’den fazla olması halinde, 80’in üzerindeki her bir kişi için tüm katılımcılara 50 kuruş geri ödeme

Önce verilen fonksiyonunun tersini bulup sonra türevini alalým.. Türev

[r]

Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi

* Mutlak değerin içini sıfırlayan değerde (kritik noktada) türev : Sağ ve Sol türevlerine bak.. Yol : Fonksiyonunun tersini

Çarpımın ve bölümün türevini bilmiyorsak ifade eğer dağıtılması kolaysa ifadeyi hızlıca dağıtıp fonksiyonu toplam veya fark şeklinde düzenlemektir.. Çarpımın

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x 0 daki türevi denir2. Bu durumda,

At nominal speed the governor must block itself, brake off the safety circuit and activate the safety gears .After the elevator car stopped , first get the elevator car 20 mm up