TÜREV ALMA A. TÜREV KAVRAMI
1. Türev ile Hız Arasındaki İlişki Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,
t.
2 50 t ) t (
s fonksiyonu ile verilsin.
Hareketlinin ] t,2
t[1 zaman aralığındaki ortalama hızı,
t1 t2
1) t(
s 2) t(
s Vort
ile hesaplanır. Örneğin; hareketlinin
] 4 , 2
[ aralığındaki ortalama hızı,
2 56
) 2 . 2 50 2 ( ) 4 . 2 50 4 ( 2 4
) 2 ( s ) 4 ( s
Vort
km/s olur.
Hareketlinin [3,4] aralığındaki ortalama hızı,
1 57
) 3 . 2 50 3 ( ) 4 . 2 50 4 ( 3 4
) 3 ( s ) 4 ( s
Vort
km/s olur.
Hareketlinin [3.9,4] aralığındaki ortalama hızı,
9 , 3 4
) 9 , 3 ( s ) 4 ( s Vort
57,9
1 , 0
) 9 , 3 . 2 50 9 , 3 ( ) 4 . 2 50 4
(
km/s olur.
Hareketlinin [4,6] aralığındaki ortalama hızı,
2 60
) 4 . 2 50 4 ( ) 6 . 2 50 6 ( 4 6
) 4 ( s ) 6 ( s
Vort
km/s olur.
Hareketlinin [4,5] aralığındaki ortalama hızı,
1 59
) 4 . 2 50 4 ( ) 5 . 2 50 5 ( 4 5
) 4 ( s ) 5 ( s
Vort
km/s olur.
Hareketlinin [4,4.1] aralığındaki ortalama hızı,
3 4
) 4 ( s ) 1 , 4 ( s Vort
1 , 1 58
, 0
) 4 . 2 50 4 ( ) 1 , 4 . 2 50 1 , 4
(
km/s olur.
Elde ettiğimiz bu sonuçları bir tablo ile gösterelim.
Hareketli 4 saatte radara girmiş olsun. O andaki hızını yani 4. saatteki hızını (anlık hızını) hR olmak üzere, h0 için [4,4h] veya [4h,4] aralığında ortalama hızdan yola çıkılarak anlık hız bulunur.
Anlık hız
4 ) h 4 (
) 4 ( s ) h 4 ( s 0 h im
h
) 4 . 2 50 4 ( ) h 4 .(
2 50 ) h 4 ( 0
h im
58 ) 58 h 0( h im h
h . 2 58 h 0
h im
olur.
Anlık hız
) h 4 ( 4
) h 4 ( s ) 4 ( s 0 h im
h
)]
h 4 .(
2 50 ) h 4 [(
) 4 . 2 50 4 ( 0
h im
58 ) 58 h 0( h im h
h . 2 58 h 0
h im
olur.
Ancak hızın genel adı türevdir. Diğer bir ifadeyle, bir fonksiyonun bir noktadaki değişme hızı, fonksiyonun o noktadaki türevidir.
] h 4 , 4
[ için hesaplanan anlık hız, sağdan türev;
] 4 , h 4
[ için hesaplanan anlık hız, soldan türev olarak adlandırılır.
Uyarı
Anlık hız için, sağdan türevin soldan türeve eşit oluşuna dikkat ediniz.
2. Türev ile Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki
x2 ) x (
f parabolüne A(2,22) noktasında çizilen teğetin eğimini araştıralım:
Düzlemde )
y1 1, x (
A ve
2) y 2, x (
B noktalarından
geçen doğrunun eğimi:
x1 x2
y1 y2 mAB
ile
hesaplanır.
Örneğin; yx2 eğrisi üzerinde A noktasına yakın 2)
1 , 1 1(
B noktası için,
2 3 1
22 12 degisim deki x
degisim deki y AB1
m
bulunur.
x2
y eğrisi üzerinde A noktasına yakın (1.9,1.92) B2
noktası için,
9 , 9 3 , 1 2
92 , 2 1 2 degisim deki x
degisim deki y AB2
m
bulunur.
x2
y eğrisi üzerinde A noktasına yakın (3,32) C1 noktası için,
2 5 3
22 32 degisim deki x
degisim deki y AC1
m
bulunur.
x2
y eğrisi üzerinde A noktasına yakın (2.1,2.12) C2
noktası için,
1 , 2 4 1 , 2
22 12 , 2 degisim deki x
degisim deki y AC2
m
bulunur.
Elde ettiğimiz sonuçları bir tabloyla gösterelim:
x2 ) x (
f parabolüne A(2,22) noktasında çizilen teğetin eğimini hR olmak üzere, h0 için A ve
2 h,(2 h)2
C noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım:
h 4 h2 h 4 0 h im 2
) h 2 (
22 )2 h 2 ( 0 h im mAB
0
h im
Bu değer f(x)x2 fonksiyonunun x2 noktasındaki sağdan türevidir.
2 h,(2 h)2
C noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.
h 4 h2 h 4 0 h im 2
) h 2 (
22 )2 h 2 ( 0 h im mAB
0
h im
Bu değer f(x)x2 fonksiyonunun x2 noktasındaki soldan türevidir.
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi fonksiyonun o noktadaki teğetinin eğimidir.
Buna göre f(x)x2 parabolüne A(2,22) noktasında çizilen teğetin eğimi 4 tür.
Uyarı
Teğetin eğimi için, sağdan türevin soldan türeve eşit oluşuna dikkat ediniz.
3. Türevin Tanımı (1) b
,
a birer reel sayı olmak üzere, f :[a,b]R fonksiyonu verilmiş olsun. (a,b)
xo için,
xo x
o) x ( f ) x ( f
xo x im
limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun
xo noktasındaki türevi denir ve ) xo '(
f ,
o) x (
Df veya )
xo dx(
df ile gösterilir.
xo x
o) x ( f ) x ( f
xo x im o)
x '(
f
dır.
o h x
x alınırsa xo
x için h0 olur. Bu durumda, tanım olarak,
h o) x ( f ) o h x ( f 0 h im o)
x '(
f
ifadesi alınabilir.
Örnek:
R R :
f , f(x)x2 fonksiyonunun x2 noktasındaki türevini bulalım.
Çözüm:
2 x
22 x2 2 x 2 im x
) 2 ( f ) x ( f 2 x
im ) 2 '(
f
(x 2) 2 2 4
2 x im 2
x ) 2 x ).(
2 x ( 2
x im
Örnek:
R R :
f , f(x)x3 fonksiyonunun x4 noktasındaki türevini bulalım.
Çözüm:
4 x
43 x3 4 x im 4
x ) 4 ( f ) x ( f 4 x im ) 4 '(
f
4 x
) 16 x 2 4 x ).(
4 x ( 4 x im
(x2 4x 16) 42 4.4 16 48 4
x im
olur.
Örnek:
R R :
f , f(x)x2 fonksiyonunun xt noktasındaki türevini bulalım.
Çözüm:
h t2 )2 h t(
0 h im h
) t(
f ) h t(
f 0 h im ) ' t(
f
(2t h) 2t 0 2t
0 h im h
h2 th 2 0
h im
4. Türevin Tanımı (2) R
A ve aA olsun. f :AR fonksiyonu için,
a x
) a ( f ) x ( f a x
im
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun a
x noktasındaki sağdan türevi denir ve
a x
) a ( f ) x ( f a x
im ) a '(
f
biçiminde gösterilir.
Benzer şekilde,
a x
) a ( f ) x ( f a x
im
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun a
x noktasındaki soldan türevi denir ve
a x
) a ( f ) x ( f a x
im ) a '(
f
biçiminde gösterilir.
f fonksiyonunun xa noktasındaki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f fonksiyonunun xa noktasındaki türevi vardır. (Bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir.) Aksi halde türevi yoktur.
Sonuç
1. f'(a)f'(a) ise f fonksiyonunun xa noktasında türevi vardır.
2. f fonksiyonunun xa noktasında türevi varsa f fonksiyonu xa noktasında süreklidir.
3. f fonksiyonu xa sürekli olduğu halde, o noktada türevi olmayabilir.
4. f fonksiyonu xa sürekli değilse türevli de değildir.
Örnek:
R R :
f ,
3 x , 2 1 ) 1 x (
5 x , 6
5 x ve 3 x , 8 x ) x ( f
fonksiyonunun x’ in -1 , 1 , 3 , 5 ve 8 değerlerinin kaçında türevli olduğunu bulalım.
Çözüm:
) 1 ( x
) 1 ( f ) x ( f 1 x im ) 1 '(
f
1 x
] 2 1 ) 1 ) 1 [((
] 2 1 ) 1 x [(
1 x im
1 x
) 1 x ).(
3 x ( 1 x im 1
x 3 x 2 2 x 1 x im
(x 3) 1 3 4
1
x im
1 x
) 1 ( f ) x ( f 1 x im ) 1 '(
f
1 x
] 2 1 ) 1 1 [(
] 2 1 ) 1 x [(
1 x im
0
2 0 1 x
)2 1 x ( 1
x im
Fonksiyonun belirttiği eğriye x1 noktasında çizilen teğetin eğiminin 0 (sıfır) olduğunu bulduk. (x1
noktasında çizilen teğet Ox eksenine paraleldir; yani eğimi sıfırdır.)
1
x ve x1 noktalarındaki türevleri sağdan türev, soldan türev yaklaşımı ile hesaplasaydık aynı sonuç çıkardı.
Eğrimize x3 noktasında birden fazla teğet çizilebilir. Bu durumda, bu noktadaki türev nasıl hesaplanacaktır?
Verilen grafikte de görülmekte olduğu üzere, f(x) fonksiyonu, x3 noktasının sağında yx8; x3 noktasının solunda y(x1)2 1 fonksiyonuyla tanımlanmıştır. Buna göre,
3 x
) 3 ( f ) x ( f 3 x
im ) 3 '(
f
3 x
] 2 1 ) 1 3 [(
] 2 1 ) 1 x [(
3 x
im
3 x
) 1 x ).(
3 x ( 3 x 3 im x
3 x 2 2 x 3 x
im
(x 1) 3 1 4
3 x
im
3 x
) 3 ( f ) x ( f 3 x
im ) 3 '(
f
3 x
) 8 3 ( ) 8 x ( 3 x
im
( 1) 1
3 x 3 im x
3 x 3 x
im
) 3 '( f ) 3 '(
f olduğu için x3 noktasında f(x) fonksiyonunun türevi yoktur.
Fonksiyonun x3 noktasında sürekli olduğu halde türevinin olmadığına dikkat ediniz.
) x (
f fonksiyonu x5 noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi yoktur.
5
x noktasında sağdan türev de soldan türev de -1 dir.
Sağdan türevin soldan türeve eşit olması, bu noktada türevin olması için yeterli değildir.
8 x
) 8 ( f ) x ( f 8 x im ) 8 '(
f
( 1) 1
8 x im 8
x
) 8 8 ( ) 8 x ( 8
x im
3
x için f(x)x8 fonksiyonu bir yarı doğru belirtir.
Doğrunun üzerindeki herhangi bir noktadan çizilecek teğet, doğru ile çakışıktır. Bunun için teğetin eğimi doğrunun eğimine eşittir. Nitekim, f(x)x8 doğrusunun eğimi de -1 dir.
Buna göre, verilen noktalardan -1 , 1 ve 8 de fonksiyonun türevi vardır.
Örnek:
) 10 ,
[7 aralığında tanımlı f fonksiyonu, yukarıda verilen grafik ile tanımlanıyor.
Buna göre x in -7 , -4 , -2 , 0, 3 , 5 , 7 , 9 ve 10 değerlerinin kaçında f fonksiyonunun türevi vardır?
Çözüm:
Bir aralıkta tanımlı fonksiyonun uç noktalarda türevi olmaz.
Çünkü bu noktalarda birden fazla teğet söz konusudur.
Buna göre, x7 de ve x10 da türev yoktur.
0
x , x3 , x5 , x7 noktalarında fonksiyon süreksizdir. Süreksizlik noktalarında türev olamayacağı için, bu noktalarda türev yoktur.
4
x , x2 , x9 noktalarında sağdan türev, soldan türevden farklı olacağı için, bu noktalarda da (süreklilik olmasına rağmen) türev yoktur.
Buna göre, verilen noktalardan hiç birinde fonksiyonun türevi yoktur.
Örnek:
3 x x
2 1 ) x x ( f
fonksiyonunun türevinin olmadığı noktaları
bulalım.
Çözüm:
Bir fonksiyon paydasını sıfır yapan değerlerde tanımsızdır.
Tanımsız olunan noktalarda süreksiz olup türev olamayacağı için, bu noktalarda türev yoktur. Buna göre,
0 ) 1 x ).(
1 x .(
x 0 3 x
x
x0 veyax1 veya x1 değerleri için )
x (
f fonksiyonunun türevi yoktur.
Sonuç
Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevinin olması için yeterli değildir.
Yorum
Konunun buraya kadar olan kısmında; türev kavramını, türevin tanımını, bir noktada türevin olmasının veya olmamasının hangi koşullara bağlı olduğunu, bir noktada türevin anlamını ortaya koymaya çalıştık.
Bütün bunları gerçekleştirebilmek için, fiziğin ortalama hız ve anlık hız; analitik geometrinin teğet ve eğim kavramlarını kullandık.
Anlık hızın genel adının türev olduğunu, diğer bir ifade ile bir fonksiyonun bir noktadaki değişme hızının fonksiyonun o noktadaki türevi olduğunu gösterdik.
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin fonksiyonun o noktadaki teğetinin eğimine eşit olduğunu gösterdik.
Değişimin limitini kullanarak, türevin tanımını aşağıdaki gibi ifade ettik.
b ,
a birer reel sayı olmak üzere, f :[a,b]R fonksiyonu verilmiş olsun. (a,b)
xo için,
xo x
o) x ( f ) x ( f
xo x
im
limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine
f fonksiyonunun
xo noktasındaki türevi denir ve ) xo '(
f ,
o) x (
Df veya )
xo dx(
df ile gösterilir. Buna göre,
xo x
o) x ( f ) x ( f
xo x im o)
x '(
f
dır.
o h x
x alınırsa xo
x için h0 olur. Bu durumda, tanım olarak,
h o) x ( f ) o h x ( f 0 h im o)
x '(
f
ifadesi alınabilir.
Son olarak, bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşulun, o noktada süreklilik olduğu ancak bunun yeter koşul olmadığını gösterdik.
B. TÜREV ALMA KURALLARI
1. xn nin Türevi Kural
R
n olmak üzere, f(x)xn ise f'(x)n.xn1 dir.
Örnek:
x10 ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
x9 . 1 10 x10 . ' 10 10) x ( ) x '( 10 f x ) x (
f olur.
Örnek:
x2 ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
x 1 2 x2 . ' 2 2) x ( ) x '( 2 f x ) x (
f olur.
Örnek:
x ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
0 1 x . 1 1 x1 . ' 1 1) x ( ) x '( f x ) x (
f olur.
Örnek:
x 2 ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
x 3 1 2 x 2 . ' 2 2) x ( ) x '( 2 f x ) x (
f tür
Örnek:
x ) 1 x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
x2 1 1 x 1 . ' 1 1) x ( ) x '( 1 f x x ) 1 x (
f
olur.
Örnek:
3 2x ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
' 3 2 x ) x '( 3 f 2 3 2x x ) x (
f
3 x . 3 3 2 1 x 3. 1 2 3 2 x 3.
2
olur.
Örnek:
x ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
' 2 1 x ) x '( 2 f 1 x x ) x (
f
x . 2 2 1 1 x 2. 1 1 2 1 x 2.
1
olur.
2. Sabit Sayının Türevi Kural
R
c sabit sayı olmak üzere f(x)c ise f'(x)0 dır.
Yani sabit sayının türevi sıfırdır.
Örnek:
10 ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
0 ) x '( ' f ) 10 ( ) x '( f 10 ) x (
f olur.
Örnek:
102007 ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
102007 ' f'(x) 0) x '( 2007 f 10 ) x (
f olur.
Örnek:
) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
R
bir reel sayı olduğundan sabit sayıdır. Buna göre,
0 ) x '( ' f ) ( ) x '( f )
x (
f olur.
Örnek:
2008 ) 2007 x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
0 ) x '( f ' 2008 ) 2007 x '( 2008 f ) 2007 x (
f
olur.3. Sabit Sayı ile Fonksiyonun Çarpımının Türevi Kural
R
c sabit sayı olmak üzere, [cf.(x)]' cf.'(x) tir.
Örnek:
x2 . 10 ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
)' x2 .(
10 ) x '( 2 f x . 10 ) x (
f
f'(x)10.(2.x21)10.(2x)20x olur.
Örnek:
x . 10 ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
10 1 . 10 1) x1 . 1 .(
' 10 ) x .(
10 ) x '( f x . 10 ) x (
f dur.
Örnek:
) x ( g . 10 ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
) x '( g . ' 10 )) x ( g . 10 ( ) x '( f ) x ( g . 10 ) x (
f olur.
Örnek:
10 ) x ( ) g x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
10 ) x (' ) g x '( g 10. ' 1 )) x ( g 10. (1 ) x '( 10 f
) x ( ) g x (
f olur.
4. İki Fonksiyonun Toplamının Türevi Kural
) x (
f ve g(x) türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,
) x '( g ) x '( ' f )]
x ( g ) x (
f[ tir.
Yani iki fonksiyonun toplamının türevi fonksiyonların türevleri toplamına eşittir.
Örnek:
2 e x ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
x2 e' x2 '
e ' 2x 0 2x) x '(
f (eR)
Örnek:
2 x2 5 12 ) x x (
f
fonksiyonunun türevini alalım:
2 ' x 2 . ' 12 x5 2. 1 ' 2
x2 5 12 ) x x '(
f
21.
x5 ' 122 .x2 ' 21.5.x51 122 .2.x21
2 x 4 24 x x 5 2 . 4 24 x 2.
5
olur.
5. İki Fonksiyonun Farkının Türevi Kural
) x (
f ve g(x) türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,
) x '( g ) x '( ' f )]
x ( g ) x (
f[ tir.
Yani iki fonksiyonun farkının türevi fonksiyonların türevleri farkına eşittir.
Örnek:
x3 5 4 x ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
x5 4x3
' x5 ' 4x3 ') x '(
f
5.x51' 4.
x3 ' 5x4 4.
3.x315x4 12x2 olur.
Örnek:
4 x 2 4 x ) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
x2 4x 4
' x2 ' 4.
x ' 4 ') x '(
f
2x4.102x4
Örnek:
x100 100x 1009
dx
d işleminin yapalım:
x100 100x 1009
x100 100x 1009
'dx
d
x100 '
100x '
1009 '100.x1001100.x110
100x99 100 olur.
6. İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi Kural
) x (
f ve g(x) türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,
) x '( g ).
x ( f ) x ( g ).
x '( ' f )]
x ( g ).
x (
f[ tir.
İki fonksiyonun çarpımının türevi; birinci fonksiyonun türevi ile ikincinin çarpımına, birinci fonksiyon ile ikincinin türevinin çarpımı eklenerek bulunur.
Örnek:
x3 1.x2 8x 2
) x (
f fonksiyonunun türevini alalım:
x3 1'.x2 8x 2
x3 1.x2 8x 2
') x '(
f
3x21.x28x2
x31.
2x8
5x4 32x3 6x2 2x8 olur.
Örnek:
x2 1.1 x3) x (
f olduğuna göre f'() değerini bulalım:
x2 1'.1 x3 x2 1.1 x3 ') x '(
f
2x.
1x3 x21.3x2
1 ( 1)3
( 1)2 1
. 3( 1)2 4).
1 .(
2 ) 1 '(
f tür.
7. İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi Kural
) x (
f ve g(x) türevlenebilen iki fonksiyon ve g(x)0 olmak üzere,
g(x)2) x (' g ).
x ( f ) x ( g ).
x (' ' f ) x ( g
) x (
f
dir.Örnek:
1 x
2 x ) x x (
f
fonksiyonunun türevini alalım:
x 121' x . 2 x x 1 x '. 2 x x 1 x 2 x ) x x '( f
1 x 2 2 x
1 x 2 2 x 1
x 2 2 x
1 . 2 x x 1 x . 1 x 2
olur
Örnek:
2 x
2 1 x 2 dx
d ifadesinin eşitini bulalım:
x 222' x . 2 1 x 2 2 x '. 2 1 x 2 2 x
2 1 x 2 dx
d
4 x 2 4 x
1 x 2 8 x 2 4
x 2 4 x
1 . 2 1 x 2 2 x . x 4
olur.
8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi Kural
) x ( g ) x (
f olsun.
xo değeri, g(x)0 denkleminin tek katlı kökü değilse,
g(xo)Sgn o).
x '( g o) x '(
f dır.
xo değeri, g(x)0 denkleminin tek katlı kökü ise,
o) x '(
f yoktur.
Örnek:
2 x x ) x (
f fonksiyonunun x in -1 , 0 , 2
1, 1, ve 2
değerlerinin kaçında türevi vardır?
Çözüm:
Bu fonksiyonun türevlerini, öncelikle yukarıdaki kuralı uygulamadan sonuçlandıralım. Mutlak değerli ifade, parçalı fonksiyona dönüştürülüp, sonuçlandırılabilir.
0
x veya x1 ise,
1 x 2 ) x '( f 2 x x 2 x x ) x (
f dir.
3 1 ) 1 .(
2 ) 1 '(
f tür.
3 1 2 . 2 ) 2 '(
f tür.
1 x
0 ise,
1 x 2 ) x '( f 2 x x 2 x
x ) x (
f dir.
0 2 1 .1 2 2) (1
f' dır.
0
x ve x1 değerlerinde sağdan türev soldan türevden farklı olduğundan bu noktalarda türev yoktur.
0
x ve x1 değerlerindeki türevleri yukarıdaki kurala göre bulalım:
0
x ve x1 değerleri x2 x0 denkleminin tek katlı kökleridirler. Bunun için bu noktalarda türev yoktur.
Örnek:
1 x 2 2 x ) x (
f fonksiyonunun x1 noktasındaki türevi kaçtır?
Çözüm:
Mutlak değer fonksiyonu negatif sayıların işaretini değiştirir. Fakat pozitif sayılarda hiçbir değişiklik yapmaz. Buna göre,
1 x 2 2 2 x ) 1 x 2 ( ) 1 x ( 1 x 2 2 x ) x (
f
dir.
2 x 2 ) x '( f 1 x 2 2 x ) x (
f dir.
0 2 1 . 2 ) 1 '(
f olur.
Sonuç
Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur.
Köşe (uç) noktalarda türev yoktur.
1
x değeri x2 x0 denkleminin tek katlı köküdür.
Bunun için f(x) x2x fonksiyonunun x1 noktasında türevi yoktur.
Halbuki çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.
1
x değeri x2 2x10 denkleminin çift katlı köküdür. Bunun için
1 x 2 2 x ) x (
f fonksiyonunun x1 noktasında türevi vardır..
9. İşaret Fonksiyonunun Türevi Kural
)]
x ( g sgn[
) x (
f ise
) 0
xo ( g , Yoktur
0 o) x ( g , 0 o) x '( f
Örnek:
x2 5x 4
sgn ) x (
f olduğuna göre f'(2) kaçtır?
Çözüm:
1.Yol
2
x deki türevi araştıracağımıza göre fonksiyonun x2 yi kapsayan küçük bir aralıktaki görüntüsü, örneğin
1
x için oluşan görüntüsü türevi belirlemek için yeterli olur.
Grafikten de görüleceği gibi, bir sabit sayının (y = 1) türevi sorulmaktadır.
Bütün sabit sayıların türevi sıfır olacağı için f'(2)0 dır.
2.Yol 2
x deki türevi yukarıdaki kurala göre bulalım:
2
x değeri x2 5x40 denkleminin kökü değildir.
Bunun için fonksiyonun bu noktada türevi vardır; ve sıfırdır.
Örnek:
x2 5x 4
sgn ) x (
f olduğuna göre '(1) f kaçtır?
Çözüm:
1
x deki türevi araştıracağımıza göre fonksiyonun x1 i kapsayan küçük bir aralıktaki görüntüsü, örneğin x4 için oluşan görüntüsü türevi
belirlemek için yeterli olur.
Grafikten de görüleceği gibi, fonksiyon x1 de sağdan ve soldan limitler farklı olduğundan süreksizdir. Süreksizlik noktasında türev olamayacağından fonksiyonun x1 noktasında türevi yoktur.
2.Yol 1
x deki türevi verilen kurala göre bulalım:
1
x için x2 5x40 denkleminin sağlanmaktadır.
Yani x1 değeri x2 5x40 denkleminin köküdür.
Bunun için fonksiyonun bu noktada türevi yoktur.
Sonuç
Mutlak değer fonksiyonu, işaret fonksiyonu ve tam değer fonksiyonu ile ilgili ifadelerin türevi, kurallar yardımıyla sonuçlandırılabilir. Ancak, bu fonksiyonlar parçalı fonksiyona dönüştürülerek de sonuca gidilebilir.
Örnek:
x2 5x 4
sgn ) x (
f fonksiyonunu parçalı fonksiyona dönüştürerek türevini araştıralım.
Çözüm:
4 x veya 1 x 0 4 x 2 5
x tür.
4 x 1 , 1
4 x veya 1 x , 0
4 x veya 1 x , 1 ) x (
f
4 x 1 , 0
4 x veya 1 x , Yoktur
4 x veya 1 x , 0 ) x '( f
10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi Kural
) x ( g ) x (
f ise
) Z
xo ( g , Yoktur
Z o) x ( g , 0 o) x '( f
Örnek:
R ] 8 , 4 [ :
f ,
4 ) x x (
f olduğuna göre f'(2) kaçtır?
Çözüm:
2
x deki türevi araştıracağımıza göre fonksiyonun 2
x yi kapsayan küçük bir aralıktaki görüntüsü, örneğin 0
x için oluşan görüntüsü türevi belirlemek için yeterli olur.
Grafikten de görüleceği gibi, bir sabit sayının (y = -1) türevi sorulmaktadır.
Bütün sabit sayıların türevi sıfır olacağı için f'(2)0 dır.
2.Yol 2
x deki türevi yukarıdaki kurala göre bulalım:
2 x değeri
4
x ifadesinin içini tam sayı yapmaz.
Bunun için fonksiyonun bu noktada türevi vardır; ve sıfırdır.
Örnek:
R ] 8 , 4 [ :
f ,
4 ) x x (
f olduğuna göre f'(4) kaçtır?
Çözüm:
Fonksiyonun grafiğini bir önceki örnekte vermiştik.
4
x teki türevi araştıracağımıza göre fonksiyonun x4 yi kapsayan küçük bir aralıktaki görüntüsü, örneğin
8 x
0 için oluşan görüntüsü türevi belirlemek için yeterli olur.
Grafikten de görüleceği gibi fonksiyon bu aralıkta sağdan ve soldan limitler farklı olduğundan süreksizdir.
Süreksizlik noktasında türevi olmayacağı için f'(4) yoktur.
2.Yol 4
x teki türevi yukarıdaki kurala göre bulalım:
4 x değeri
4
x ifadesinin içini tam sayı yapar.
Bunun için fonksiyonun bu noktada türevi yoktur.
Örnek:
R ] 8 , 4 [ :
f ,
4 ) x x (
f fonksiyonunu parçalı fonksiyona dönüştürerek türevini araştıralım.
Çözüm:
1 ) x ( f 4 1
0 x 4 1 x 0 x
4
dir.
0 ) x ( f 4 0
1 x 4 0 x 4 x
0 dır.
1 ) x ( f 4 1
2 x 4 1 x 8 x
4 dir.
2 ) x ( f 2 2 2
8 4 8 x
x dir.
8 x , 2
8 x 4 , 1
4 x 0 , 0
0 x 4 - , 1
) x (
f
8 x , 4 x 0, x -4, x , Yoktur
8 x 4 , 0
4 x 0 , 0
0 x 4 - , 0
) x '(
f olur.
Örnek:
7 1 x ) 3 x (
f
olduğuna göre '(3) f kaçtır?
Çözüm:
3 x değeri
7 1 x 3
ifadesinin içini tam sayı yapmaz.
Bunun için fonksiyonun bu noktada türevi vardır; ve sıfırdır.
11. Bileşke Fonksiyonunun Türevi Kural
gof(x)
'
gf[(x)]
' g'
f(x) f.'(x)Örnek:
6x2 2x 10
3) x (
f olduğuna göre f'(2) kaçtır?
Çözüm:
10 x 2 2 x 6 ) x (
g olsun.
6x2 2x 10
3 f(x)
g(x)3) x (
f
gf[(x)]
' g'
f(x) f.'(x) olduğuna göre,
g(x)3
f(x)' 3.g(x)2 f.'(x)) x (
f
f'(x)3.(6x2 2x102).(12x2)
f'(2)3.(6.22 2.2102).(12.22)
f'(2)6600 olur.
Sonuç ) 2 '(
f gösterimi
f(2)' gösterimi ile karıştırılmamalıdır.
f(2) ') 2 '(
f dir. Çünkü f'(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f'(x) in x2 için değeridir.
f(2)' gösterimi, fonksiyonun x2 için değerinin (yani, bir reel sayının) türevidir.Örnek:
x2 5x2 x2 5x 5) x (
f olduğuna göre f'(5)
kaçtır?
Çözüm:
x 2 5 x ) x (
g olsun. g'(x)2x5 olur.
g(x)2 g(x) 5) x (
f olur.
f(x) '
g(x)2g(x)5
' g(x)2 '
g(x)' (5)'
) x '(
f
g(x).g(x)' g'(x) 0. 2 ) x '(
f
x2 5x.
2x 5
2x 5. 2 ) x '(
f
52 5.5.
2.5 5
2.5 5 5. 2 ) 5 '(
f olur.
Sonuç
u(x) n) x (
f ise dxdf n.
u(x) n1.u'(x) olur.Örnek:
x2 3xf ) x (
h olduğuna göre h'(5) değerini hesaplayalım.
Çözüm:
f x2 3x
' f'
x2 3x
.
x2 3x') x '(
h
f'
x2 3x
.
2x3
52 3.5.
2.5 3
7f.'(10)f' ) 5 '(
h olur.
Örnek:
2) x ( f
1 ) x x (
g
olduğuna göre g'(1) değerini hesaplayalım.
Çözüm:
2) x 2( f
) 1 x ').(
x2 2).(
x (' f 2) x ( ')f.
1 x ) ( x '(
g
2) x 2( f
) 1 x '.(
x 2 2).
x (' f 2) x ( f.
1
) 1 ( f
1 ) 1 2( f
) 1 ( f 2)
1 2( f
) 1 1 '1..(
2 2).
1 (' f 2) 1 ( ) f 1 '(
g
olur.
12. Köklü Fonksiyonunun Türevi Kural
) x ( f
u olmak üzere, n
m n mu u
y ise
n un m . n
u' . ' m u . n 1 m u n. m ' n m u n mu ' y'
dir.Örnek:
3 (x2 5x)2
y olduğuna göre, y nin türevini bulalım.
Çözüm:
x 2 5 x
u olsun. u' 2x5 olur.
3 u3 2 . 3
u' . ' 2 u . 3 1 2 u 3. 2 ' 3 2 3 2u u y'
3 x2 5x .
3
) 5 x 2 .(
' 2 y
olur.
Sonuç
) x ( f
u olmak üzere, 2
1 u u
y ise
2. uu' u' . 2 1 1 u 2. 1 ' 2 1 ' u ' u
y
olur.
Örnek:
2 x x 4
y olduğuna göre, y nin türevini bulalım.
Çözüm:
2 x x 4
u olsun. u' 8x1 olur.
2 x x 4 . 2
1 x 8 u2 . 2
u' y'
olur.
13. Logaritma Fonksiyonunun Türevi Kural
) x ( f
u olmak üzere, u
loga
y ise e
loga u u'
y' olur.
Örnek:
x2 5xlog3
y olduğuna göre, y nin türevini bulalım.
Çözüm:
x 2 5 x
u olsun. ' 2x 5 u olur.
.log3ex 2 5 x
5 x e 2 log3 u. u' u' log3 y'
olur.
Sonuç ) x ( f
u olmak üzere, ylnu ise
u u' e uln u'
y' olur.
Örnek:
x2 x 10
ln ) x (
f olduğuna göre, f'(1) kaçtır?
Çözüm:
10 2 x x
1 x 2 10 2 x x
' 10 2 x ' x 10 2 x x ln ) x '( f
10 1 10 2 1 1
1 1 . ) 2 1 '(
f
olur.
14. Üstel Fonksiyonunun Türevi Kural
) x ( f
u olmak üzere, yau ise y' u'.au.lna olur.
Örnek:
x2 3 2 5x
y olduğuna göre, y nin türevini bulalım.
Çözüm:
x2 3 2 x
u olsun. u' 3x2 4x olur.
u ln u. 5 '. ' u u y 5
y
(3x2 4x).5x32x2.ln5
Sonuç ) x ( f
u olmak üzere, yeu ise y' u'.eu olur.
Örnek:
1 x e2
y olduğuna göre, y nin türevini bulalım.
Çözüm:
1 x 2
u olsun. u' 2 olur.
1 x e2 . u 2 e '. ' u u y e
y olur.
15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi R
A :
f fonksiyonu , yf(x) şeklinde belirtileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere
) t ( g y
) t ( h x
denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.
Bazen yg(t) ve xh(t) denklemlerinden t yok edilerek )
x ( f
y şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir. Bu durumda,
) t ( g
y ve xh(t) parametrik denklemleri ile verilen )
x ( f
y fonksiyonunun türevi aşağıdaki kural yardımıyla bulunur.
Kural
) ' t(
x ) ' t(
y
dt dx dt dy dx .dt dt dy dx
dy olur.
Örnek:
3 t 8
y ve x2t5 olduğuna göre, dx dy kaçtır?
Çözüm:
2 } 5 t 2 dt{ } d x dt{
d
8 } 3 t 8 dt{ } d y dt{
d
4 2 8 ) ' t(
x ) ' t(
y
dt dx dt dy dx
dy olur.
2.Yol 5 t 2
x denkleminden t çekilip y8t3 denkleminde yerine yazılırsa, y ’nin x ’e bağlı değerini elde ederiz.
5 t 2 x ise
2 5
t x
dir.
17 x 4 2 3
5 .x 8 3 t 8
y olur.
4x 17
' 4dx
dy bulunur.
Örnek:
5 t 3 8 t
y ve xt28t1 olduğuna göre dx dy
ifadesinin t2 için değerini bulalım.
Çözüm:
Bundan önceki örnekte t ‘yi kolayca yok etmiştik. Oysa,
bu örnekte, bu kolay değildir. Bunun için, doğrudan kuralı uygulayacağız.
8 t 2
2 8 t 3
dt dx dt dy dx dy
dir.
Buna göre dx
dy ifadesinin t2 için değeri,
3 1 8 2 . 2
2 8 2 . 3 2 dxt
dy
tür.
16. Ardışık Türevler )
x ( f
y fonksiyonunun türevi
dx ) dy x '( ' f
y olmak üzere
) x '(
f in türevi olan
dx2 2y ) d x ''( '' f
y ifadesine yf(x) fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi denir.
Benzer şekilde,
dxn ny ) d x )( n f( ) n
y( ifadesine yf(x) fonksiyonunun n. mertebeden türevi denir.
Örnek:
1 2 x 3 x x ) x (
f olduğuna göre (3)(x)
f ifadesini hesaplayalım.
Çözüm:
1 2 x 3 x x ) x (
f
1 x 2 2 x 3 ) x '(
f
2 x 6 ) x ''(
f
6 ) x )( 3 f( 6 ) x ''(
f' olur.
Örnek:
x10 ) x (
f ise f(10)(x) ifadesini hesaplayalım.
Çözüm:
x8 . 9 . 10 ) x ''( 9 f x . 10 ) x '( 10 f x ) x (
f
x6 . 7 . 8 . 9 . 10 ) x )( 4 f( x7 . 8 . 9 . 10 ) x )( 3
f(
…
x0 . 1 . 2 ...
8 . 9 . 10 ) x )( 10 f( x1 . 2 ...
7 . 8 . 9 . 10 ) x )( 9
f(
! 10 . 1
!.
10 ) x )( 10
f( olur.
Örnek:
x.ex x2
dx3 d3
ifadesini hesaplayalım.
Çözüm:
x.ex x2
ex x.ex 2xdx
d
x.ex x2
dxd ex x.ex 2x
dx2 d2
ex exx.ex 22.ex x.ex
x.ex x2
dxd 2.ex x.ex
2.ex ex x.exdx3 d3
x.ex x2
3.ex x.ex ex.(x 3)dx3 d3
olur.
17. Kapalı Fonksiyonların Türevi 0
) y , x (
F şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.
x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi
Fx ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi
Fy ile gösterelim.
Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz.
Kural
Fy Fx dx ) dy y , x '(
F dir.
Örnek:
0 2 1 3 y x 3y x 5 2 2y x 3 ) y , x (
F olduğuna göre
Fx i ve
Fy yi hesaplayalım.
Çözüm:
F(x,y)
dxd
3x2y5 2x3y x3 y2 1
dx
d
0 2 0 x . 3 2y x 2 . 5 3 1y x 3 . dx 2
) y , x (
dF
x2 . 3 2y x 5 6 x y x 6
F olur.
F(x,y)
dyd
3x2y5 2x3y x3 y2 1
dy
d
1 0 y 2 0 0 3y x 2 . 4 1 2y x 3 . dy 5
) y , x (
dF
y 3 2 x 4 2 2y x y 15
F olur.
Örnek:
0 21 1 5 y 10 x 2y x ) y , x (
F olduğuna göre
Fx i ve Fy yi hesaplayalım.
Çözüm:
F(x,y)
dxd
x2y10 x5 y21 1
dx
d
2.x1y10 5x4 0 0 dx
) y , x (
dF 2x y10 5x4
Fx
olur.
F(x,y)
dxd
x2y10 x5 y21 1
dy
d
20 0 y . 21 9 0
2y x . dy 10
) y , x (
dF
y20 9 21 2y x y 10
F olur.
Örnek:
0 2 1 2 y x ) y , x (
F olduğuna göre F'(x,y) yi hesaplayalım.
Çözüm:
0 2 1 2 y
x denkleminin her iki tarafının x e göre türevini alarak sonuca gidelim.
0 ) y , x (
F denkleminde x e göre türev alınırken, x in bağımsız değişken, y nin ise x e bağımlı değişken (yani fonksiyon) anlamı taşıyacağına dikkat edilmelidir.
x2 y2 1
dxd
0dx
d
x2 dxd y2 dxd
1 0dx
d
y 0 0 2y.dxdy 2xdx . d y 2 x
2
y ) x y , x '( y F x y 2
x 2 dx
dy
olur.
2.Yol
Şimdi kural yardımıyla istenen türevi hesaplayalım:
x 2 0 0 x x 2
F olur.
y 2 0 y 2 y 0
F olur.
y x y 2 x 2 Fy Fx ) y , x '(
F
bulunur.
Örnek:
0 3 3 x y 2 2y x 3 ) y , x (
F olduğuna göre '(x,y)
F yi
hesaplayalım.
Çözüm:
0 3 3 x y 2 2y x
3 denkleminin her iki tarafının x e göre türevini alarak sonuca gidelim.
3x2y 2x y3 3
dxd
0dx
d
3x2y dxd 2x y3 dxd
3 0dx
d
y' dx
dy olmak üzere,
6x yy.'3x2
2y36x y2.y'
00
3x2 6x y2
6x y 2y3'.
y
x y2 2 6 x 3
y3 2 x y ) 6 y , x '( 2 F x y 2 6 x 3
y3 2 x y ' 6 y
olur.
2.Yol
Şimdi kural yardımıyla istenen türevi hesaplayalım:
y3 2 x y x 6
F olur.
x y2 2 6 x y 3
F olur.
x y2 2 6 x 3
y3 2 x y ) 6 y , x '( F
bulunur.
Örnek:
0 3 5 5 y 4 x 2y x 3y x ) y , x (
F olduğuna göre
) y , x '(
F yi hesaplayalım.
Çözüm:
x4 4 5 x y 2 2y x x 3
F olur.
y2 3 3 2y x 3 4 y x
F olur.
y2 3 3 2y x 3 4 x
x4 4 5 x y 2 2y x ) 3 y , x '( F
bulunur.
18. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Kural
) x ( f
u olmak üzere
' u'.cosu usin dur.
Örnek:
) 60 x 2 sin(
y olduğuna göre, y nin türevini bulalım.
Çözüm:
u 60 x
2 olsun. {60} 2
dx } d x 2 dx{ ' d
u olur.
) 60 x 2 cos(
. 2 u cos '. ' u y u sin
y olur.
Örnek:
] x x sin . x dx[
d ifadesinin sonucunu bulalım.
Çözüm:
) x dx( ) d x sin . x dx( ] d x x sin . x dx[
d
1.sinxx.1.cosx1 x.cosxsinx1 olur.
Kural ) x ( f
u olmak üzere
' u'.sinu ucos dur.
Örnek:
6) x 4 cos(
y
olduğuna göre, y nin türevini bulalım.
Çözüm:
6 u x
4
olsun. } 4
{6 dx } d x 4 dx{ ' d
u
olur.
6) x 4 sin(
. 4 u sin '. ' u y u cos
y
olur.
Örnek:
f(x) tany olduğuna göre, y nin türevini bulalım.
Çözüm:
) x ( f
u olmak üzere, ytanu ise,
2u cos
2u sin .' u 2u cos .' ' u u cos
u ' sin ) u tan ' (
y
u'.
1 tan2u
2u cos
u' 2u
cos 2u cos 2u sin .'
u
dur.
Sonuç ) x ( f
u olmak üzere,
1 tan2u
'. u 2u cos
u' )' u tan
( olur.
19. Ters Fonksiyonların Türevi B
A :
f , birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan 1(x)
f fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.
xo o) y 1( o f y o) x (
f olmak üzere,
o) x (' f
1 yo 1 '
f olur.
Örnek:
1 x 4 ) x (
f olduğuna göre
f1 '
5 i bulalım.Çözüm:
Fonksiyonun tersini bulup türevini alalım:
4 1 ) x x 1( f 1 x 4 ) x (
f
tür.
Buna göre,
f1 ' (x) 41
f1 ' (5) 41 olur.2.Yol
Tersini kolayca bulamayacağımız fonksiyonlarla karşılaşabiliriz. Bunu için, şimdi de verilen kuralı uygulayalım:
o 5
y teki türevi hesaplayacağımıza göre, 5 yo koşulunu sağlayan
xo değerini bulmalıyız.
o 1 x . 4 5 o 1 x . o 4 y o) x ( o f
y
2 3 xo
dir.
2 'f 3 5 1 1 '
f olacağından,
2 4 ' 3 f 4 ) x '( f 1 x 4 ) x (
f
tür. O halde,
412 'f 3 5 1 1 '
f
bulunur.Örnek:
2
x olmak üzere f(x)(x2)2 1 olduğuna göre
f1 '
5 i bulalım.Çözüm:
Fonksiyonun tersini bulup türevini alalım:
2
x ve f(x)(x2)2 1f1(x) x12 dir.
Buradan,
2. x 1 ) 1x ' ( f 1
olup,
411 5 . 2 ) 1 5 ' (
f 1
bulunur.
2.Yol o 5
y teki türevi hesaplayacağımıza göre, 5 yo koşulunu sağlayan
xo değerini bulmalıyız.
xo 2 2 1 5
xo 2 2 1yo o) x ( o f
y
2 2
xo 2 4
o 2
x
x2xo 22xo 4
'f 4 5 1 1 '
f olacağından,
4 4f' ) 2 x .(
2 ) x '( f 2 1 ) 2 x ( ) x (
f tür.
412 'f 3 5 1 1 '
f
bulunur.Uyarı
Verilen iki örnekte, fonksiyonların tersleri kolayca bulunabiliyordu. Şimdi de tersi kolayca bulunamayan iki örneği ele alacağız.
Örnek:
R R :
f , f(x)x3 x olduğuna göre
f1 '
6 yıbulalım.
Çözüm:
o 6
y daki türevi hesaplayacağımıza göre, 6 yo koşulunu sağlayan
xo değerini bulmalıyız.
x0 3 xo o 6
3 x xo yo o) x ( o f
y
xo 2 dir.
'f 2 6 1 1 '
f olacağından,
2 11f' 2 1 x 3 ) x '( f 3 x x ) x (
f dir.
111'f 2 6 1 1 '
f bulunur.
Örnek:
0,2
x olmak üzere, f(x)tanx olduğuna göre
f1 '
1 i bulalım.Çözüm:
o 1
y deki türevi hesaplayacağımıza göre, 1 yo koşulunu sağlayan
xo değerini bulmalıyız.
o) x tan(
1 o) x o tan(
y o) x ( o f
y
o 4
x
tür.
'f 4 1 1 1 '
f olacağından,
4 2 f' 2x tan 1 ) x '( f x tan ) x (
f
dir.
21'f 4 1 1 1 '
f
bulunur.Sonuç
Trigonometri konusunda f(x)tanx fonksiyonunun tersinin x
arctan ) x 1(
f olduğunu vermiştik.
Bu durumda, yukarıdaki örnekte yarctanx fonksiyonunun 1
x deki türevinin 2
1 olduğunu vermiş olduk.
Ters trigonometrik fonksiyonların türevlerinin bulunmasında şu formüller de kullanılabilir.
1. yarcsinu ise
u2 1
u' y'
dir.
2. yarccosu ise
u2 1
u' y'
dir.
3. yarctanu ise
u2 1
u' y'
dir.
4. yarccotu ise
u2 1
u' y'
dir.
Örnek:
3 xarcsin
y ise
2. x 9x23 x 2
3 1
x 2 . 1 ' 3 y
dir.
Örnek:
arcsin(cosx)
dx
d ifadesinin sonucunu bulalım.