BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI

(1)

~ Türevin Tanýmý

~ Saðdan ve Soldan Türev

~ Türevin Süreklilikle Ýliþkisi

~ Türev Alma Kurallarý

~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi

~ Alýþtýrmalar 1

~ Test 1

~ Türevde Zincir Kuralý

~ Bileþke ve Ters Fonksiyonun Türevi

~ Trigonometrik Fonksiyonun Türevi

~ Ters Trigonometrik Fonksiyonun Türevi

~ Alýþtýrmalar 2

~ Test 2

~ Kapalý Fonksiyonun Türevi

~ Parametrik Fonksiyon Türevi

~ Logaritmik Fonksiyon Türevi

~ Üstel Fonksiyon Türevi

~ Yüksek Mertebeden Türev

~ Diferansiyel Kavramý

~ Alýþtýrmalar 3

~ Test 3

~ Karma Test 1 - 2 - 3

~ ÖSYM Sorularý

TÜREV ALMA KURALLARI

BÖLÜM 5

(2)

Ýsterdim ki...

Kavgayý bir aðacýn yapraðýna yazmak isterdim, Sonbahar gelince yapraklar kurusun diye...

Öfkeyi bir bulutun üstüne yazmak isterdim;

Yaðmur yaðsýn bulut yok olsun diye...

Nefreti karlarýn üstüne yazmak isterdim;

Güneþ açsýn, karlar erisin diye...

Dostluðu ve sevgiyi yeni doðan bebeklerin yüreðine yazmak isterdim;

Onlar büyüsün, dünyayý sarsýn diye...

Türev

Günün birinde birkaç fonksiyon bir kafede oturmuþ, sýfýra ne kadar hýzla yakýnsadýklarý gibi konular üzerinde tartýþýyorlarmýþ. Derken içlerinden biri kapýya bakarak aniden, baðýrmýþ, “Dikkat türev geliyor!” Hepsi apar topar sandalyelerinin altýna saklanmýþlar, ancak e

^x

hiç istifini bozmamýþ. Türev aðýr adýmlarla içeri girmiþ ve tek baþýna oturan fonksiyonu görüp “sen benden korkmuyor musun?” demiþ.

Hayýr, ben e

^x

’im diye yanýtlamýþ kendine güvenen bir tavýrla. “Yaa” demiþ türev. “Peki

benim x’e göre türev alacaðýmý kim söyledi?”

(3)

1. TÜREVÝN TANIMI

f : A → R, y = f(x) fonksiyonu a ∈ A’da sürekli olmak üzere,

limiti bir reel sayýya eþitse; bu deðere f(x) fonksiyonunun x = a noktasýndaki türevi denir. y = f(x) fonksiyonunun x = a nokta- sýndaki türevi

f^ý(a) veya , sembollerinden biri ile gösterilir.

Burada ’e türev alma oparatörü denir.

Türev alma iþlemi deðiþik biçimde þöyle ifade edilebilir.

h > 0 olmak üzere;

x = a + h ⇔ x − a = h olur.

x → a ⇔ (x − a) → 0 olur.

⇔ h → 0 olur.

Burada f(x) fonksiyonunun x = a noktasýn- daki türevi,

Eðer yukarýdaki limit bir reel sayý deðerine eþit deðilse fonksiyonun x = a noktasýnda türevi yoktur denir.

Buna göre, f(x) fonksiyonunun herhangi bir x deðeri için türevi,

þeklinde gösterilmektedir.

Örnek 1

f : R → R ve f(x) = 2x² − 3 fonksiyonunun x == 2 noktasýndaki türevini bulunuz.

Çözüm

f(x) = 2x²− 3 f(2) = 2⋅(2)² − 3 = 5

O halde f^ý(2) = 8 bulunur.

Örnek 2

f : R → R ve f(x) = 3x² + 1 fonksiyonunun herhangi bir x deðeri için türevini taným- dan yararlanarak bulunuz.

Çözüm

O halde f^ý(x) = 6x bulunur.

Örnek 3

f : R⁺ → R ve f(x) = ñx fonksiyonunun her- hangi bir x deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz.

Çözüm

h 0

f(x h) f(x) f (x) lim

h

x h x

lim h

→

= + −

ý

h 0

2 2

h 0

2 2 2

h 0

2 h 0

h 0

f(x h) f(x) f (x) lim

h

3(x h) 1 (3x 1)

lim h

3x 6xh 3h 1 3x 1

lim h

6xh 3h

lim h

→

= + −

+ + − +

=

+ + + − −

=

= +

=

ý

(6x 3h) h

+

h 0lim (6x 3h) 6x 3 0 6x

= → + = + ⋅ =

x 2 2 x 2

2 x 2

x 2

f(x) f(2) f (2) lim

x 2 2x 3 5 lim x 2

2(x 4) lim x 2

2(x 2) lim

→

= −

−

= − −

−

= −

−

= −

ý

(x 2) (x 2)

+

−

x 2lim 2(x 2) 2(2 2) 8

= → + = + =

ý

h 0

f(x h) f(x) f (x) lim

→ h

→

++ −−

==

ý

x a h 0

f(x) f(a) f(a h) f(a)

f (a) lim lim

x a h

→

→ →→

−− ++ −−

== ==

−−

d dx

x a dy dx ₌ df(a)

dx

→ x a

f(x) f(a) lim x a

−−

Türev Alma Kurallarý

(4)

dir.

Örnek 4

f : R⁺ → R ve f(x) = sinx fonksiyonunun herhangi bir x deðeri için türevini taným- dan yararlanarak bulunuz.

Çözüm

O halde, f(x) = sinx ise f^ý(x) = cosx dir.

2. SAÐDAN VE SOLDAN TÜREV

A ⊂ R, a ∈ A, f : A → R ye tanýmlý f(x) fonksiyonu verilsin.

i)

limitinin bir reel sayý deðeri varsa buna f(x) in x = a noktasýndaki saðdan türevi denir ve f^ý(a⁺) þeklinde gösterilir.

ii)

limitinin bir reel sayý deðeri varsa bu deðere f(x) in x = a noktasýndaki soldan türevi denir ve f^ý(a⁻) þeklinde gösterilir.

x = a noktasýnda f(x) in saðdan ve soldan türevleri birbirine eþit ise fonksiyonun bu noktada türevi vardýr denir.

f^ýý(a⁺⁺) == f^ýý(a⁻⁻) == f^ýý(a) dýr.

Limitte olduðu gibi saðdan ve soldan türevler özel tanýmlý fonksiyonlarda uygu- lanýr.

Örnek 5

fonksiyonunun x == 1 noktasýndaki türevi nedir?

Çözüm

f^ý(1⁺) ≠ f^ý(1⁻) olduðundan f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasýnda türevi yoktur.

x 1 x 1

f(x) f(1) x 1 0

f (1 ) lim lim 1

x 1 x 1

− −

−

→ →

− − −

= = =

− −

ý

2

x 1 x 1

f(x) f(1) x 1 0

f (1 ) lim lim

x 1 x 1

(x 1)(x 1)

lim lim (x 1) 2

(x 1)

+ +

+

→ →

− − −

= =

− −

− +

= = + =

−

ý 2

x 1 , x 1

f(x)

, x 1

x 1

⎧ − <

= ⎨⎪⎪⎩ − ≥

→ −−

→

−−

x a −−

f(x) f(a) lim x a x a

f(x) f(a) lim_→_→ ⁺⁺ x a

−−

h 0

h 0 h 0

h 0 f(x h) f(x) f (x) lim

h

sin(x h) sin x

lim h

sin x cosh sinh cos x sin x

lim h

sin x(cosh 1) sinh.cos x

lim h h

cosh 1 sinh

sin x lim cos x lim

h h

(cosh 1).(cosh 1)

sin x lim cos x

h(cosh 1)

sin x l

→

→ →

→

= + −

⋅ + ⋅ −

=

⎛ − ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

= ⋅ − + ⋅

− +

= ⋅ +

+

= ⋅

ý

2 h 0

h 0 sin h

im cos x

h(1 cosh)

sinh sinh

sin x lim cos x

h 1 cosh

sin x (1 0) cos x cos x bulunur.

→

− +

+

⎛ ⎞

= − ⋅ ⎜⎝ ⋅ + ⎟⎠+

= − ⋅ ⋅ + =

f (x) 1

=2 x

ý

h 0

( x h x) ( x h x)

lim h ( x h x)

x h x lim h ( x h x)

lim 1

x h x

1 1

x 0 x) 2 x

→

+ − ⋅ + +

= ⋅ + +

= + −

⋅ + +

= + +

= =

+ +

(5)

Türev Alma Kurallarý Örnek 6

f : R → R ye tanýmlý,

fonksiyonunun x_o == 0 noktasýnda türevi nedir?

Çözüm

x = 0 noktasýnda saðdan ve soldan türev- leri farklý olduðundan f(x) in bu noktada türevi yoktur, fakat fonksiyon x = 0 nokta- sýnda süreklidir.

Örnek 7

f : R → R ye tanýmlý,

fonksiyonunun x_o == 1 noktasýnda türevi nedir?

Çözüm

olduðundan f(x) fonksiyonu x = 1 noktasýn- da türevi vardýr ve f^ý(1) = 1 dir.

olduðundan f(x) fonksiyonu x_o = 1 nok- tasýnda süreklidir.

Örnek 8

fonksiyonunun x == 2 noktasýnda türevi var mýdýr?

Çözüm f(2) = 6

f^ý(2⁺) ≠ f^ý(2⁻) olduðundan f(x) in x = 2 nok- tasýnda türevi yoktur.

Burada, f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasýn- da sürekli olduðuna dikkat ediniz.

Sürekli olan her fonksiyon ayný noktada türevlenemeyebilir.

3. TÜREVÝN SÜREKLÝLÝK ÝLE ÝLÝÞKÝSÝ

Teorem:

f : [a, b] → R ve c ∈ [a, b] olsun. Eðer f(x) fonksiyonu x = c noktasýnda türevi varsa bu noktada süreklidir.

Ýspat :

f(x) in x = c noktasýnda türevi olduðundan, alýnýrsa,

dir. Buradan,

f(x) − f(c) = (x − c) ⋅ h(x) f(x) = f(c) + (x − c) ⋅ h(x) her iki tarafýn limitini alalým.

bulunur.

→ =

x clim f(x) f(c)

x c x c

x c

x c x c

lim f(c) lim f(x c) h(x) lim f(x)

f(c) lim f(x c) lim h(x) f(c) 0 h(c)

f(c)

→ →

→

→ →

= + − ⋅

= + ⋅

= xlim h(x) f (c)c

→ = ^ý

= − ≠

− f(x) f(c)

h(x) (x c) x c

x 2 2 x 2

x 2

f(x) f(2) f (2 ) lim

x 2 2x 2 6 lim

x 2 2(x 2) lim

−

→

= −

−

= − −

−

= −

ý

(x 2) (x 2)

+

− =8 bulunur.

x 2 2 x 2

x 2

f(x) f(2) f (2 ) lim

x 2

x x 6

lim

x 2 (x 3)(x 2) lim

+

→ +

= −

−

= + −

−

+ −

=

ý

(x 2)− =5 bulunur.

2

x x , x 2

f(x) 6 , x 2

, x 2 2x 2

⎧ + ≥

=⎪⎪⎨ =

⎪ − <

⎪⎩

x 1lim f(x) x 1lim f(x) x 1lim (x 1) 2 f(1)

+ − →

→ = → = + = =

x 1

x 1 x 1

f(x) f(1) f (1 ) f (1 ) lim

x 1

x 1 2 x 1

lim lim 1

x 1 x 1

+ −

→

→ →

= = −

−

+ − −

= = =

− −

ý ý

x 1 , x 1 için

f(x)

2 , x 1 için

+ ≠

= ⎨⎧⎩ =

x 0 x 0

2

x 0 x 0

x 0

f(x) f(0) 2x 0

f (0 ) lim lim 2 dir.

x 0 x

f(x) f(0) x 0

f (0 ) lim lim

x 0 x

lim x 0 bulunur.

+ +

− −

− +

→ →

−

→ →

→

− −

= = =

−

− −

= =

−

= =

ý

2 , x 0 f(x) x

, x 0 2x

⎧ ≤

= ⎨⎪⎪⎩ >

(6)

Bu da f(x) fonksiyonunun x = c noktasýnda sürekli olduðunu gösterir.

Bu teoremden þu sonuçlar çýkartýlabilir.

Sonuç 1 :

f(x) fonksiyonu herhangi bir x_o noktasýnda sürekli deðilse o noktada türevlenemez.

Gerçekten yukarýda verilen noktalarda teðetlerin çizilemediðini veya teðet çizil- diðinde bu teðetlerin farklý olduðu görülür.

Sonuç 2 :

f(x) fonksiyonu x_o noktasýnda sürekli olsa bile bu noktada türevi olmayabilir.

x = 4 noktasýnýn solunda artan saðýnda azalan veya saðdan teðet d₁ soldan teðet d₂olup d₁≠ d₂olduðundan fonksiyon x = 4 noktasýndaki saðdan ve soldan türevleri farklýdýr, dolayýsýyla o noktada fonksiyonun türevi yoktur.

Yukarýdaki örneði inceleyiniz.

Uyarý:

Bir fonksiyon sürekli olup, türevi olmadýðý noktalara kýrýlma noktasý denir.

Örnek 9

fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarý bulunuz.

Çözüm

f(x) fonksiyonu süreksiz olduðu noktalarda türevi yoktur. Bundan dolayý fonksiyonun tanýmsýz olduðu noktalarý bulalým.

x²− x −12 = 0 (x − 4)(x + 3) = 0

x − 4 = 0 x + 3 = 0 x = 4 x = −3 bulunur.

O halde f(x) fonksiyonu x = 4 ve x = −3 apsisli noktalarda süreksiz, dolayýsýyla bu noktalarda türevi yoktur.

Örnek 10

fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn apsisleri toplamý ise a nýn deðeri kaç- týr?

Çözüm

f(x) in süreksiz olduðu noktalarda türevinin olmadýðýný biliyoruz.

Buna göre;

türevsiz olduðu noktalarýn toplamý;

olur.

Buradan,

bulunur.

5 5 a 2

2a=4 ⇒ =

1 2 3 1 6 1 5

x x

a 2a 2a 2a

+ = − = − =

1 2

ax 3 0 2ax 1 0

3 1

x x

a 2a

− = + =

= = −

5 4

= +

− +

2 1

f(x) ax 3 2ax 1

= +

− − 2 2

x 3

f(x) x x 12

y

f(x)

d₁ d₂

4 x y

x = 1 de f(x) süreksiz x = 1 de türevi yok

x = 2 de f(x) süreksiz x = 2 de türevi yok f(x)

1 x

y

f(x)

2 x 3

(7)

4. TÜREV ALMA KURALLARI

Türevin tanýmýný kullanarak bir fonksiyonun türevini almak uzun iþlemler gerektirebilir.

Bundan dolayý bir fonksiyonun türevini kýsa yoldan bulmamýzý saðlayacak kurallarý göreceðiz.

1) Sabit fonksiyonun türevi :

f : R → R, f(x) = c, c ∈ R olmak üzere, dýr.

Sabitin türevi sýfýrdýr.

Ýspat :

Örnek 1

~ f(x) = 3

~ f(x) = t²+ 3

~ f(t) = x²+ k

2) Bir polinomum türevi :

n ∈ R − {0}, f : R → R, f(x) = xⁿ

dir.

Ýspat :

Örnek 2

~ f(x) = x³ ⇒ f^ý(x) = 3x²

~ f(x) = 5x⁴ ⇒ f^ý(x) = 5⋅4⋅x³= 20x³

~

~ y = a²x⁵

~ y = t²⋅x³

~ y = x³⋅t²

~ y = a.x

~ y = t.x

3) Fonksiyonlarýn toplamýnýn veya farkýnýn türevi :

f ve g türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,

F(x) f(x) g(x)= ∓ ⇒ F (x) f (x) g (x)^ý = ^ý ∓ ^ý

⇒dy=x dt

⇒dy= dx a

⇒dy=0 dc

⇒dy= ⋅ ³ dt 2t x dy 5 da 2a x

⇒ = ⋅

2 4 dy a 5x

⇒dx = ⋅

3 3 1 1

2 3 2 3 2

y x y x x

2 2

= ⇒ ^ý = ⋅ − = ⋅

2 2 1

2 3

1 2

y x y 2 x

x x

− − −

= = ⇒ ^ý = − ⋅ = −

n n 1 n n

h 0

n 1 n

h 0

x n.x h h x

lim

h

n.x h h

lim

h lim h

−

→

−

→

+ ⋅ + ... + −

=

⋅ + ... +

=

= [ n.x^{n 1} h^{n 1}] h

− + ... + −

n 1

n 1 n.x 0 ... 0 n.x

f (x) n . x bulunur.

−

= + + +

=

ý =

n n

h 0 h 0

n n n n 1 n n n

0 1 n

h 0

f(x h) f(x) (x h) x

f (x) lim lim

h h

( )x ( )x h ( )h x lim

h

→ →

−

→

+ − + −

= =

+ ⋅ + ... + −

=

ý

f(x) == xⁿise f^ýý(x) == n ⋅⋅ xⁿ⁻⁻¹ f (t) dy 0

⇒ ^ý = dt = f (x) dy 0

⇒ ^ý =dx = f (x) 0

⇒ ^ý =

h 0 h 0

f(x) f(c) c c

f (x) lim lim

h h

lim 0 lim 0 0 dýr.

h

→ →

− −

= =

= = =

ý

f(x) == c ise f^ýý(x) == 0

(8)

Türev Alma Kurallarý Ýspat :

Örnek 3

~ f(x) = x³− 2x²+ 4x − 1 ⇒ f^ý(x) = 3x²− 4x + 4 − 0

~ f(x) = cx³− kx + t ⇒ f^ý(x) = 3cx²− k + 0

~ f(x) = x^a− x^b ⇒ f^ý(x) = ax^a−1− bx^b−1

~ y = kx^t+ x ⇒

~ y = ax^b+ t³⇒

Örnek 4

f(x) = − x²+ 2x ise f^ýý(1) in eþiti nedir?

Çözüm

Örnek 5

f(x) = ax²− 2x − 3 ve f^ý(1) = 6 ise a nýn eþiti kaçtýr?

Çözüm

Örnek 6

f(x) = x³− 2x ve g(x) = x²+ x olduðuna göre, (f ++ g)^ýý(2) nin eþiti nedir?

Çözüm

4) Ýki fonksiyonun çarpýmýnýn türevi :

f ve g fonksiyonlarý (a, b) aralýðýnda türev- lenebilen iki fonksiyon ise f⋅g fonksiyonu da ayný aralýkta türevlenebilir.

F(x) = f(x).g(x)

Ýspat:

Uyarý :

~ f(x) = c⋅g(x) ⇒ f^ý(x) = c⋅g^ý(x)

~ f(x) = [g(x)]² ⇒ f^ý(x) = 2⋅g(x)⋅g^ý(x)

~ f(x) = [g(x)]³ ⇒ f^ý(x) = 3⋅[g(x)]²⋅g′′(x)

~ f(x) = [g(x)]ⁿ ⇒ f^ý(x) = n⋅[g(x)]ⁿ⁻¹⋅g^ý(x) h 0

f(x h) g(x h) f(x) g(x h) f(x) g(x h) f(x) g(x)

lim h

h 0

[f(x h) f(x)] g(x h) g(x h) g(x)] f(x)

lim h

h 0

[f(x h) f(x)] g(x h) g(x)

lim g(x h) lim f(x)

h h

h 0 h 0

(f g)(x h) (f g)(x) (f g) (x) lim

h

f (x) g(x

→

+ ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − ⋅

= →

+ − ⋅ + + [ + − ⋅

= →

+ − + −

= ⋅ + + ⋅

→ →

⋅ + − ⋅

⋅ =

= ⋅

ý

ý ) g (x) f(x) bulunur.+ ^ý ⋅

F (x) f (x) g(x) f(x) g (x)^ý = ^ý ⋅ + ⋅ ^ý

2 2

f (x) 3x 2 f (2) 3 2 2 10 g (x) 2x 1 g (2) 2 2 1 5

(f g) (2) f (2) g (2)

10 5 15 bulunur.

= − ⇒ = ⋅ − =

= + ⇒ = ⋅ + =

+ = +

= + =

ý ý

ý ý ý

f (x) 2ax 2 f (1) 2a 1 2 6 2a 8

a 4 bulunur.

= − ⇒ = ⋅ − =

⇒ =

ý ý

3 1 2

1 2

f (x) 3 x 2x 2 2

3 3

f (1) (1) 2 1 2 bulunur.

2 2

= ⋅ − − +

= ⋅ − ⋅ + =

ý

ý 3

x2

dy b 1

ab x 0 dx= ⁻ + dy k t xt 1 1 dx = ⁻ +

[ ] [ ]

h 0

h 0 h 0

f(x h) g(x h) f(x) g(x) F (x) lim

h

f(x h) f(x) g(x h) g(x)

lim h

lim lim

h h

f (x) g (x) bulunur.

→

→ →

+ + −

=

+ − + −

=

+ − + −

=

∓ ∓

∓

ý

ý ý

(9)

Türev Alma Kurallarý Örnek 7

~ y = 3(x − 2)²⇒ y^ý= 3⋅2(x − 2)

~ y = x(x²+ 3) ⇒ y^ý= 1⋅(x² + 3) + 2x⋅x

= 3x² + 3

~ y = (x³ − 1)⋅(2x²− 3x) ise y^ýýeþiti nedir?

y^ý= 3x²⋅(2x²− 3x) + (4x − 3)⋅(x³− 1)

Örnek 8

h(x) = (x³ − x)(3 − x²) ise h^ýý(2) nin eþiti nedir?

Çözüm

h^ý(x) = (3x²− 1)(3 − x²) + (−2x)⋅(x³− x) h^ý(2) = (3⋅2²− 1)(3 − 2²) + (−2)⋅2⋅(2³− 2) h^ý(2) = 11⋅(−1) + (− 4)⋅6

h^ý(2) = −11 − 24 = −35 dir.

5) Ýki fonksiyonun bölümününün türevi : f ve g, (a, b) aralýðýnda türevlenebilen iki fonksiyon ve g(x) ≠ 0 ise fonksiyonu da ayný aralýkta türevlenebilir.

Ýspat :

Bu ifadenin pay kýsmýna f(x)⋅g(x) ifadesini bir çýkartýp bir de eklediðimizde,

Örnek 9

~

~ ise f^ýý(x) in eþiti nedir?

Uyarý:

~

2

2 2

2

2 2

a b a c b c

x 2 x

m n m t n t

y (mx nx t)

(an bm)x 2(at cm)x (bt cn)

y (mx nx t)

+ +

⇒ =

+ +

− + − + −

⇒ =

+ +

ý

+ +

= + +

2 2 ax bx c y mx nx t

2

ax b ad bc

y y

cx d (cx d)

+ −

= ⇒ =

+ +

ý 2

2 2 3 (x 1) 2x (3x 1)

f (x) 6x

(x 1)

⋅ + − ⋅ −

= +

+

ý

= − +

+ 2 2 f(x) 3x 1 3x

x 1

4 3

4 2 5

0 x 4x 3 12

f (x) dir.

(x ) x

⋅ − ⋅

⇒ ^ý = = −

= 3₄ f(x) x

2 2

0 x 1 1 1 f (x)

x x

⋅ − ⋅

⇒ ^ý = = −

=1 f(x) x

2 2 2x (x 3) 1 (x 1) f (x)

(x 3)

⋅ + − ⋅ +

⇒ =

+ + ý

= + x2 1 f(x) x 3

[ ]

h 0 2 h 0

h 0

h 0 2

2

1 f(x h) f(x)

lim lim g(x)

g(x) h

g(x h) g(x) f(x) lim

h

lim 1 f (x) g(x) g (x) f(x) g(x)

f (x) g(x) g (x) f(x) dir.

g(x)

→ →

→

= ⋅ + − ⋅

− ⋅ + −

⎡ ⎤

= ⎣ ⋅ − ⋅ ⎦

⋅ − ⋅

=

ý ý

1 f(x h) f(x)

lim g(x)

g(x h) g(x) h h 0

g(x h) g(x) h f(x)

⎡⎛ + − ⎞

= → + ⋅ ⋅ ⎜⎢⎣⎝ ⎟⎠

⎤

⎛ + − ⎞

−⎜⎝ ⎟⎠ ⎥⎦

[

f(x h) f(x) g(x) f(x) g(x h) g(x)

] [ ]

lim g(x h) g(x) h

h 0

+ − ⋅ − + −

= → + ⋅ ⋅

h 0

f (x h) f (x)

g g

F (x) lim

h

lim h

f(x h) g(x) g(x h) f(x) lim g(x h) g(x) h

→

⎛ ⎞ + −⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

+ −

= +

+ ⋅ − + ⋅

= + ⋅ ⋅

ý

[ ]

²

f(x) f (x) g(x) g (x) f(x)

F(x) F (x)

g(x) g(x)

⋅ − ⋅

= ⇒ ^ý = ^ý ^ý

f g

(10)

Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi Örnek 10

ise f^ý(1) in deðeri kaçtýr?

Çözüm

5. ÖZEL TANIMLI FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ

Özel tanýmlý fonksiyonlar her yerde sürekli deðildir. Dolayýsýyla süreksiz olduðu yerde türevlenemezler.

Fonksiyonun verilen bir noktada türevinin olabilmesi için,

i) fonksiyon verilen noktada sürekli olmalý ii) fonksiyon verilen noktada saðdan ve soldan türevleri birbirine eþit olmalýdýr.

A) PARÇALI FONKSÝYONUN TÜREVÝ

Örnek 1

f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasýnda türevi varsa bulunuz.

Çözüm

f(x) fonksiyonu x = 1 noktasýnda sürekli olduðundan türevlenebilir. O halde,

Örnek 2

f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasýndaki türevi varsa bulunuz.

Çözüm

f(x) fonksiyonu x = 2 noktasýnda sürekli olduðundan türevine bakýlabilir.

O halde f^ý(2⁺) ≠ f^ý(2^_) olduðundan f(x) in x = 2 noktasýnda türevi yoktur.

_

x 2+

2

+ x 2+

x 2

x 2+

x 2_

3 3 3

_ _

x 2 x 2

2 _

x 2

x

f(x) f(2)

f (2 ) lim ve f(2) 6 olduðundan, x 2

2x x 6 (2x 3)(x 2)

lim lim

x 2 (x 2)

lim (2x 3) 2.2 3 7 f(x) f(2)

f (2 ) lim

x 2

x 2 6 x 2

lim lim

x 2 x 2

(x 2)(x 2x 4)

lim (x 2)

lim

+

→

→ →

→

→ →

→

= − =

−

− − + −

= =

− −

= + = + =

= −

−

− − −

= =

− −

− + +

= −

=

ý

2 2

2_

(x 2x 4) 2 2.2 4 12

→

+ + = + + =

2

3

2x x , x 2

f(x) 6 , x 2

x 2 , x 2

⎧ − >

⎪⎪

=⎨ =

⎪⎪ − <

⎩

_

2

x 1 x 1

x 1

x 1_

3 2

_ _

x 1 x 1

2 2

x 1_

_

x x 2 (x 2)(x 1)

lim lim

x 1 (x 1)

lim (x 2) 1 2 3

f(x) f(1)

f (1 ) lim , f(1) 2 x 1

x 1 2 (x 1)(x x 1)

lim lim

x 1 (x 1)

lim (x x 1) 1 1 1 3

f (1 ) f (1 ) 3 olduðundan f (1) 3 bulunur

+ +

→ →

→+

→

→ →

→ +

+ − + −

= =

− −

= + = + =

= − =

−

+ − − + +

= =

− −

= + + = + + =

⇒ = =

=

ý

ý ý

ý .

+

x 1

f(x) f(1)

f (1 ) lim ve f(1) 2 olduðundan, x 1

→+

= − =

−

ý 2 3

x x , x 1 f(x) x 1 , x 1

⎧ + ≥

= ⎨⎪

+ <

⎪⎩

2

2 2

2

2 2

2 2 2

4 6 4 2 6 2

x 2 x

6 9 6 5 9 5

f (x)

(6x 9x 5)

( 36 36)x 2(20 12)x ( 30 18) f (x)

(6x 9x 5)

16x 12 f ( x )

(6x 9x 5)

16 1 12 4

f (1) 1 bulunur.

(6 1 9 1 5) 2

− −

+ +

− −

= + +

− + + − + − +

= − +

= −

− +

= ⋅ − = =

⋅ − ⋅ +

ý

ý 2 2 4x 6x 2 f(x) 6x 9x 5

− +

= − +

(11)

Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi B) MUTLAKDEÐER FONKSÝYONUN TÜREVÝ

g : A → R, f(x) = |g(x)|

a ∈ A, g(a) ≠ 0 olmak üzere;

~ g(a) = 0 için f(x) in x = a noktasýnda- ki saðdan ve soldan türevleri eþit ise fonksiyonun x = a noktasýnda türevi vardýr, aksi takdirde türevi yoktur.

~ mutlak deðer fonksiyonun içi tamkare ise mutlak deðerin içini sýfýr yapan noktada saðdan ve soldan türevleri genelde eþit çýkacaktýr.

Örnek 3

f(x) = |x ^_ 3|

fonksiyonunun türevinin kuralýný bulunuz.

Çözüm

f(x) in x ^_ 3 = 0 ise x = 3 noktasýndaki türevine bakalým.

x > 3 ise f^ý(x) = 1 ve f^ý(3⁺) = 1 x < 3 ise f^ý(x) = ^_1 ve f^ý(3^_) = ^_1

f^ý(3⁺) ≠ f^ý(3^_) olduðundan x = 3 de türevi yoktur.

Uyarý :

Mutlak deðer fonksiyonu türevi alýnacak noktada önce tanýmlanýr, sonra türevi alýnýr.

Daha sonra verilen nokta türevde yerine yazýlýr.

Örnek 4

f(x) = |3x ^_ x³| fonksiyonunun x =1 ve x = 3 noktalarýndaki türevini bulunuz.

Çözüm

x = 1 için 3x ^_x³> 0 olduðundan f(x) = 3x ^_x³ f^ý(x) = 3 ^_3x²

f^ý(1) = 3 ^_3 . 1²= 0 x = 3 için 3x ^_x³< 0 olduðundan f(x) = ^_3x + x³ f^ý(x) = ^_3 + 3x²

f^ý(3) = ^_3 + 3 . 3²= 24 Örnek 5

f(x) = |x^{3 _} 4x²+ 4x|

fonksiyonunun x = 2 noktasýndaki türevi- ni bulunuz.

Çözüm

x = 2 için f(2) = |2^{3 _}4.2²+ 4.2|

= |0| = 0

olduðundan x = 2 nin saðýnda ve solunda fonksiyon ayný deðeri alacaðýndan x = 2 için saðdan ve soldan türevler daima birbirine eþittir.

Örnek 6

f : R → [^_1, 1] ve f(x) = |cosx|

fonksiyonunun noktalarýn- daki türevlerini bulunuz.

Çözüm

~ için cosx > 0 olduðundan f(x) = cosx f^ý(x) = ^_sinx

x 3

=π

x ve x

3

=π = π

3 2

f(x) | x= −4x 4x| | x|.|(x 2) |+ = −

x 2

3 2

x 2

2 x 2

x 2

f(x) f(2) f (2) lim

x 2

|x 4x 4x | 0

lim x 2

|x |.|(x 2) |

lim x 2

lim |x |.(x 2) 0 bulunur.

→

= −

−

− + −

= −

−

= − =

ý

1 , x 3 ise f (x) yoktur , x 3 ise 1 , x 3 ise

⎧ >

=⎪⎪⎨ =

⎪ − <

⎪⎩

ý

x 3 , x 3 f(x) x 3 , x 3

− >

= ⎨⎧⎪

− + <

⎪⎩

g (x) , g(a) 0 ise y f (x)

g (x) , g(a) 0 ise

⎧− <

= = ⎨⎪

⎪ >

⎩

ý

ý ý

ý

(12)

Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi

~ x = π için cosx < 0 olduðundan f(x) = ^_cosx f^ý(x) = sinx ise f^ý(π) = sinπ = 0

Örnek 7

f : IR → IR , f(x) = |x^{3 _} 9|+ x²

fonksiyonu verildiðine göre f^ýýýý(2) kaçtýr?

Çözüm

x = 2 için mutlakdeðerin içi negatif f(x) = ^_x³+ 9 + x² f^ý(x) = ^_3x²+ 2x f^ýý(x) = ^_6x + 2 f^ýý(2) = ^_6.2 + 2 = ^_10

Örnek 8

f(x) = |x^{2 _}4|

fonksiyonunun x = 2 noktasýnda türevini bulunuz.

Çözüm

x = 2 noktasý mutlakdeðerin içini sýfýr yapan bir deðer olduðundan kritik noktadýr.

x = 2 için saðdan ve soldan türevler farklý olacaðýndan f^ý(2⁺) ≠ f^ý(2^_) dýr. Dolayýsýyla bu noktada f(x) in türevi yoktur.

x = 2 noktasýnýn dýþýndaki noktalarda türevleri vardýr.

C) ÝÞARET FONKSÝYONUNUN TÜREVÝ

g : A → R, a ∈ A, f(x) = Sgn(g(x))

fonksiyonu verilsin. Eðer f(x) = Sgn(g(x)) fonksiyonu,

~ x = a noktasýnda sürekli ise bu nokta da türevi vardýr ve bu türev sýfýrdýr.

(sabitin türevi sýfýr olduðundan)

~ x = a noktasýnda f(x) sürekli deðilse bu noktada türevi yoktur.

f(x) = Sgn(g(x)) ise,

Ýþaret fonksiyonu iþaret deðiþtirdiði noktada sýçrama yaptýðýndan süreksizdir dolayý- sýyla türevlenemez.

Örnek 9

f(x) = Sgn(x^{2 _} x ^_ 6)

fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarý bulunuz.

Çözüm

x^{2 _} x ^_ 6 = 0 (x^_ 2)(x + 3) = 0 x = 2 ve x = ^_3

f(x) fonksiyonu x = 2 ve x = ^_3 de iþaret deðiþtiriyor. Grafikte görüldüðü gibi fonksiyon bu noktalarda sýçrama yapmýþtýr.

Dolayýsýyla süreksizdir. O halde türevi yoktur.

Örnek 10

f(x) = x³+ Sgn(x^{2 _} 2x)

fonksiyonunun x = 1 ve x = 3 nokta- larýndaki türevlerini bulunuz.

Çözüm

x = 1 ve x = 3 için x^{2 _} x ≠ 0 dýr.

O halde bu noktalar f(x) in kritik noktasý (iþaret deðiþtirdiði) noktalar deðildir.

x = 1 için f(x) = x^{3 _}1

f^ý(x) = 3x² f^ý(1) = 3.1²= 3

x = 3 için f(x) = x³+ 1

f^ý(x) = 3x² f^ý(3) = 3.3²= 27 bulunur.

_3 2 y

x

_3 2 + _ +

0, g(a) 0 ise f (a)

yoktur, g(a) 0 ise

⎧⎪ ≠

= ⎨⎪⎩ =

ý

f sin 3

3 3 2

π π

⎛ ⎞ = − = −

⎜ ⎟⎝ ⎠

ý

(13)

Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi Örnek 11

f(x) = (x ^_ 2). Sgn(x ^_ 2)

fonksiyonunun x = 2 noktasýnda türevi var mýdýr?

Çözüm

i) x = 2 de f(x) sürekli midir?

x = 2 için f(2) = 0 olduðundan bu noktada f(x) süreklidir.

ii) O halde f(x) in x = 2 noktasýnda saðdan ve soldan türevlerine bakalým.

f^ý(2⁺) ≠ f^ý(2^_) olduðundan f(x) in x = 2 nok- tasýnda türevi yoktur.

Uyarý :

Yukarýdaki örnekte de görüldüðü gibi fonksiyon iþaret deðiþtirdiði (kritik) noktada sürekli ise bu noktada türevinin olup olmadýðýný anlamak için saðdan ve soldan türevine bakýlýr.

O halde fonksiyonun sürekli olduðu kritik noktada türevi olmayabilir.

Fonksiyonlar sürekli olduðu bütün noktalarda türevlenemiyebilir.

D) TAMDEÐER FONKSÝYONUNUN TÜREVÝ

g : A → R, a ∈ A, f(x) = fonksiyonu veriliyor.

~ Eðer g(a) ∉ Z ise f(x) in x = a noktasýn- da türevi vardýr ve bu türev sýfýrdýr.

(sabit sayýnýn türevi sýfýr olduðundan)

~ Eðer g(a) ∈ Z ise f(x) in x = a nokta- sýnda sürekli olup olmadýðýna bakýlýr.

Eðer fonksiyon sürekli ise ayný noktada saðdan ve soldan türevine bakýlýr.

Fonksiyon sürekli deðilse türevi yoktur.

Örnek 12

f(x) = fonksiyonunun nok-

tasýndaki türevini bulunuz.

Çözüm

olduðundan f(x) in

noktasýnda türevi vardýr ve bu türev

sýfýrdýr.

Örnek 13

f(x) =

fonksiyonunun x = 3 noktasýnda varsa türevini bulunuz.

Çözüm

x = 3 için 3 + 2 = 5 ∈ Z ise f(x) in x = 3 noktasýnda sürekli olup olmadýðýna baka- lým.

O halde f(x) fonksiyonu x = 3 noktasýnda sürekli olmadýðýndan dolayý türevi yoktur.

Örnek 14 f(x) =

fonksiyonunun x = 2 noktasýnda varsa türevini bulunuz.

Çözüm

x = 2 için 2^{2 _} 4.2 + 4 = 0 ∈ Z olduðun- dan f(x) x = 2 noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakalým.

x2−4x 4+

x 3 x 3

lim f(x) lim x 2 3,1 2 5

lim f(x) lim x 2 2,9 2 4

+ +

→ →

− −

→ →

= + = + =

x 2+ f 1 0 dýr.

⎛ ⎞ =2

⎜ ⎟⎝ ⎠

ý

x 1

=2

1 1 5

x için 3. 1 Z

2 2 2

= + = ∉

x 1

=2 3x 1+

g(x)

x 2 x 2

f(x) f(2) (x 2).1 0

f (2 ) lim lim 1

x 2 x 2

f(x) f(2) (x 2).( 1) 0

f (2 ) lim lim 1

x 2 x 2

+ → + → +

−

− −

→ →

− − −

= = =

− −

− − − −

= = = −

− −

ý

[ ]

x 2 x 2

lim f(x) lim (x 2)Sgn(x 2) (2 2).1 0

lim f(x) lim (x 2)Sgn(x 2) (2 2).( 1) 0

+ +

→ →

− −

→ →

= − − = − =

= − − = − − =

(14)

Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi

olduðundan f(x) x = 2 noktasýnda sürek- lidir. O halde fonksiyonun bu noktada sað- dan ve soldan türevlerine bakalým.

f^ý(2⁺) = f^ý(2^_) f^ý(2) = 0 dýr.

Örnek 15

f : [^_3, 5] → R, f(x) =

fonksiyonunun türevsiz olduðu nokta- larýn kümesini bulunuz.

Çözüm

[^_3, 5] aralýðýnda ifadesini tamsayý

yapan x noktalarýnýn kümesini bulmalýyýz.

Bunun için x’e verilecek sayýlarýn 2 ile bölünmesi gerekiyor.

Bu sayýlar {^_2, 0, 2, 4} dür.

Örnek 16

f : R → R, f(x) = 2x + |x| + sgnx

fonksiyonu verildiðine göre kaçtýr?

Çözüm

de özel tanýmlý fonksiyonlarý taným- lýyalým, sonra türevlerini alalým.

de fonksiyon süreklidir.

için f(x) = 2x ^_x + (^_1) = x ^_1

f(x) = x ^_1 ise,

Örnek 17

f : R → R, f(x) = x . |x| + . sgn(x)

fonksiyonu verildiðine göre, ’nin deðeri kaçtýr?

Çözüm

Örnek 18

f(x) = x²+ 3x +

fonksiyonunun x = 3 noktasýndaki türe- vi kaçtýr?

Çözüm

x = 3 için = 0 ∈ Z

olup tamdeðerin içi kare olduðundan fonksiyon bu noktada süreklidir, dolayýsýy- la türevlenebilir.

x = 3 için f(x) = x² + 3x + 0

f^ý(x) = 2x + 3 f^ý(3) = 2.3 + 3 = 9 bulunur.

Uyarý :

f(x) = fonksiyonu

Bazý istisnalar hariç bu formül kullanýlabilir.

0 , g(a) Z f (a)

yoktur , g(a) Z

⎧ ∉

= ⎨⎩ ∈

ý

g(x)

(x 3)− 2

x2−6x 9+

2

x 3 de f(x) x.x 1.1 2

f(x) x 1 dir.

3 3

f (x) 2x f 2. 3 bulunur.

2 2

= = +

= +

= ⇒ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

ý ý

f 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠

ý

x f (x) 1 f 1 1 bulunur.

2

⎛ ⎞

= ⇒ ⎜⎝− ⎟⎠=

ý ý

x 1 2

=−

x 1 2

= − x 1

2

= −

f 1 2

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

ý

3x 3 2 +

2

x 2 x 2

2

x 2 x 2

(x 2) 0 f(x) f(2)

f (2 ) lim lim

x 2 x 2

lim 0 lim 0 0 x 2

(x 2) 0 f(x) f(2)

f (2 ) lim lim

x 2 x 2

lim 0 lim 0 0 x 2

+ → + → +

+ +

→ →

− → − → −

− −

→ →

− −

= − =

− −

= = =

−

− −

= − =

− −

= = =

−

ý

2

x 2 x 2 x 2

2

_ _ _

x 2 x 2 x 2

lim f(x) lim (x 2) lim 0 0

+ + +

→ → →

= − = =

(15)

ALIÞTIRMALAR 1

Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi

1.

^{f(x) = x}^{2 _}x olduðuna göre,

ifadesinin sonucu nedir?

Cevap : 2x ^_1

2.

^{f(x) = x}²^{+ ax ve}

olduðuna göre,

a nýn deðeri kaçtýr?

Cevap : 14

3.

^{f(x) = x}^{3 _}2x olduðuna göre,

ifadesinin sonucu kaçtýr?

Cevap : 10

4.

fonksiyonu tanýmlandýðýna göre, f^ýý(3⁺) ++ f^ýý(3^_) nin eþiti kaçtýr?

Cevap : 8

5.

fonksiyonunun x = 2 noktasýndaki türevini bulunuz.

Cevap : yoktur.

6.

^{f(x) = |x}^{2 _}^{9|+ sgn(x}^{3 _}^x)

fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn apsislerini bulunuz.

Cevap : {−3, 3, 0, 1, −1}

7.

^{f(x) = x}³^{+ ax}^{2 _}3x + 2 fonksiyonu için f(1) = f^ý(2) olduðuna göre, a’nýn deðeri kaçtýr?

Cevap : ^_3

8.

^{f(x) = a}²+ 3k olduðuna göre, kaçtýr?

Cevap : 0

9.

^{f(a) = a}²k + 3x olduðuna göre, kaçtýr?

Cevap : 2ak

10.

^{f(x) = x}³^{+ 5x}^{2 _}4x + 3 olduðuna göre, kaçtýr?

Cevap : 3x²+ 10x ^_4 f^ý

dy= (x) dx

dy da dy dx

x2 1, x 2 ise f(x) 2x 1, x 2 ise

⎧ − ≥

= ⎨⎪⎪⎩ − <

2

2x 1, x 3 ise f(x) x 4, x 3 ise

− >

= ⎨⎧⎪

− ≤

⎪⎩

x 2

f(x) f(2) lim→ x 2

−

x 3

f(x) f(3)

lim 20

→ x 3

− =

−

h 0

f(x h) f(x) lim→ h

+ −

(16)

ALIÞTIRMALAR 1 Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi

11.

^{f(m) = m}^{3 _}2m + 5 olduðuna göre,

Cevap : 3m^{2 _}2

12.

^{f(x) = (x}^{2 _}^3x)⁵ olduðuna göre, f^ýý(x) i bulunuz.

Cevap : 5(x^{2 _}3x)⁴. (2x^_3)

13.

^{f(x) = 2x}^{3 _}x + 1 olduðuna göre,

ifadesinin deðeri kaçtýr?

Cevap : 53

14.

^{f(x) = (2}^_^{x) . (x}²+ 2) olduðuna göre, f^ýýýý(3) ün deðeri kaçtýr?

Cevap : ^_14

15.

^{f(x) = (x}^{2 _}x) , g(x) = 2x ^_1 olduðuna göre, kaçtýr?

Cevap :

16.

f(x) = + 5x + 3 olduðuna göre, in deðeri kaçtýr?

Cevap : 5

17.

f(x) = |3x ^_x²| + x³ olduðuna göre, f^ýý(2) + f^ýý(^_1) kaçtýr?

Cevap : 9

18.

f(x) = x². sgn(x ^_2) + olduðuna göre, f^ýý(5) in deðeri kaçtýr?

Cevap : 10

19.

olduðuna göre,

f^ýý(3) ün deðeri kaçtýr?

Cevap : 6

20.

f(x) = Sgn(2x ^_3) , g(x) = (2x ^_3)⁵ olduðuna göre, (f.g)^ýý(2) nin deðeri kaçtýr?

Cevap : 10 x2 1

f(x) Sgn(x 2)

= +

−

x 1 3

− f 6

5

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠

ý

x 3+

5 9 d f

dx g (2)

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎣ ⎦

→

−

h 0

f(3+h) f(3)

lim h

d f(m) = f (m) = ? dm

ý

(17)

TEST 1

Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi

1.

^{f(x) = 3x}^{2 _}2 fonksiyonu verildiðine göre;

A) 6x2 B) 6 C) 6c D) 3xc E) 0

2.

f(x) = 3x².t^_x.t² fonksiyonu verildiðine göre;

nin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir?

A) 6x.t^_t2 B) 3x^{2 _}t² C) 6x ^_2t D) 6x ^_2x.t E) 3x^{2 _}2t.x

3.

f(x) = x^{3 _}2x + 3 fonksiyonu verildiðine göre;

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

4.

f : R → R, f(x) = x^{2 _}ax + 2 fonksiyonu için f^ý(3) = 2 olduðuna göre, a’nýn deðeri kaçtýr?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5.

fonksiyonu x = 1 noktasýnda türevi olduðuna göre, c’nin deðeri kaçtýr?

A) 2 B) 1 C) 0 D) ^_1 E) ^_2

6.

Aþaðýdaki grafiklerden hangisinin x = x_onok- tasýnda türevi vardýr?

7.

ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir?

A) 1 B) a C) ax D) 2ax E) 2a²x²

8.

fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýnýn ap- sisler toplamý ise, a’nýn deðeri kaçtýr?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

9.

fonksiyonu verildiðine göre, f^ýý(2⁺) + f^ýý(2^_) eþiti kaçtýr?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

10.

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre f^ýý(1) in deðeri kaçtýr?

A) Yoktur. B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 x3 , x 1

f(x) 3x , x 1

⎧⎪ ≤

= ⎨⎪⎩ >

⎧ − + >

= ⎨⎪

+ ≤

⎪⎩

2 2

x 2x 6, x 2

f(x) x x, x 2

−1 5

= + −

− +

x x2 1

f(x) ax 1 2ax 4

2 2

h 0

(ax h) (ax)

lim→ h

+ −

A) B) C)^y

D) E)

x_o x

y

x_o x y

x_o x

y

x_o x

y

x_o x

x2 3 , x 1 f(x) 2x c , x 1

⎧ + >

= ⎨⎪

+ ≤

⎪⎩

h 0

f(1 h) f(1) lim→ h

+ − dy

dt

x c

f(x) f(c) lim→ x c

−

(18)

TEST 1 Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi

Cevaplar: 1-C 2-E 3-B 4-D 5-A 6-D 7-D 8-A 9-E 10-A 11-B 12-C 13-C 14-E 15-A 16-E 17-E 18-C 19-E 20-A

11.

^{f(x) = x}³^.(3^_^x²) fonksiyonu verildiðine göre, f^ýý(x) in deðerini bulunuz.

A) 9x ^_x3 B) 9x^{2 _}5x4 C) 9x^{2 _}3x⁴ D) 3x^{2 _}4x4 E) 3x^{2 _}x⁴

12.

f : R ^_{2} → R,

fonksiyonunun x = 1 noktasýndaki türevi ^_12 ise, n nin deðeri kaçtýr?

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

13.

fonksiyonu verildiðine göre, f^ýý(8) in deðeri kaçtýr?

14.

f(x) = x^{2 _}x + 2 fonksiyonu için,

f(1) + f^ýý(2) = f^ýý(x) denkleminin kökü kaçtýr?

A) ^_1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

15.

f(x) = x^{2 _}x fonksiyonu veriliyor.

Buna göre

A) 4x^{3 _}6x²+ 2x B) 2x^{3 _}3x²+ x C) x^{3 _}x²+ x D) 4x^{3 _}3x²+ 2

E) 4x^{3 _}6x²+ 2

16.

f(x) = |x^{2 _}4| + Sgn(x^_2) +

fonksiyonu verildiðine göre, f^ýý(2⁺) nin deðeri kaçtýr?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

17.

f(x) = |x²+ 3x ^_4| + x^_3

fonksiyonu verildiðine göre, f^ýý(2) nin deðeri kaçtýr?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

18.

f(x) = |x^{3 _}3| ^_x²+ 3x

fonksiyonunun x = ^_1 noktasýndaki türevi kaçtýr?

A) 8 B) 3 C) 2 D) 0 E) Yoktur.

19.

^{f(x) = |3}^_^x²| + x.Sgn(x^_2) +

fonksiyonu verildiðine göre, f^ýý(3) ün deðeri kaç- týr?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

20.

f(x) = + x^{2 _}4x + 1 fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f^ýý(0) ýn deðeri kaçtýr?

A) ^_4 B) ^_2 C) ^_1 D) 2 E) Yoktur.

x2

x 2 2 + x

⎡ ⎤

⎣ ² ⎦

d f (x) eºiti kaçtýr?

dx

3 1 1 1 5

A) B) C) D) E)

24 16 12 6 12

= +

1

f(x) x3 3

= − 2xn

f(x) x 2

(19)

6. TÜREVDE ZÝNCÝR KURALI

þeklinde türev alýnýr.

Genelde iç içe fonksiyonlarýn türevlerinin daha kolay bir þekilde alýnmasýnda kul- lanýlýr.

Örnek 1

Bu tür fonksiyonlar,

f(x) = (x³+ x^{2 _}2)⁷ þeklinde karþýmýza çýkabilir. Bu durumda üste göre türev son- rada içinin türevi çarpý olarak yazýlýr.

f^ý(x) = 7.(x³+ x^{2 _}2)⁶.(3x² + 2x) dir.

Örnek 2

Çözüm

þeklinde yazýlýr ve türev alýnýrsa,

Örnek 3

fonksiyonunun türevini bulunuz.

çözüm

Uyarý :

Köklü ifadelerin türevi alýnýrken iç içe fonksiyonlar gibi düþünebiliriz, yani kökün derecesi üstel biçimde yazýlarak türevde zincir kuralý uygulanýr.

Örnek 4

Çözüm

Bu örneklerden sonra aþaðýdaki sonuçlarý verebiliriz:

u, x’e baðlý bir fonksiyon olmak üzere,

Örnek 5

3

3 2

2 2

3

y x y 1

3. x y x x y 2x 1

3. (x x)

= ⇒ =

= − ⇒ = −

−

∗

ý

ý 2

2

y x y 1

2 x y x x y 2x 1

2 x x

= ⇒ =

= + ⇒ = +

+

∗

ý

ý 3

3 2

p q

p p q

f(x) u ise, f (x) u 2 u f(x) u ise, f (x) u

3. u f(x) u ise, f (x) q.u

p. u ⁻

= =

ý ý

( )

1

2 2 3

1 1

2 3

2

2 3

2 2

3

f(x) x x 3x 5

f (x) 2x 1. x 3x 5 .(2x 3) 3

2x 1. x 3x 5 .(2x 3) 3

2x 2x 3

3. (x 3x 5)

−

= + + −

= + + − +

= + +

+ −

ý

2 3 2

f(x) x= + x +3x 5 ise,− dy

in eºiti kaçtýr?

dx

( )

1 1

3 2 2

2 2

1 3

3 2

f (x) 1. x 2x .(3x 2) 2

3x 2 3x 2

2 x 2x 2. x 2x

= − − −

− −

= =

− −

ý

( )

= − = −

1

3 3 2

f(x) x 2x x 2x olur.

= ³− f(x) x 2x

2 8 1

2 9

f (x) 5. 8(x 2x) .(2x 2) 40.(2x 2) bulunur.

(x 2x)

= − − − − −

− −

= −

ý

= = − −

−

2 8

f(x) 5 5(x 2x)

(x 2x)

2 8

f(x) 5 ise,

(x 2x)

= −

dy in eºiti kaçtýr?

dx

6 2

3 2 6 2

dy dy du dx du dx.

7.u .(3x 2x)

7.(x x 2) (3x 2x)

=

= +

= + − +

7

3 2

y u ise,

u x x 2

= ⎫⎪

⎬⎪

= + − ⎭

dy in eºiti kaçtýr?

dx y f(u)

dy dy du dx

u g(x) ise, . .

dt du dx dt x h(t)

= ⎫

= ⎪⎬ =

= ⎪⎭