ANKARA ÜN·IVERS·ITES·I FEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ
YÜKSEK L·ISANS TEZ·I
3-BOYUTLU ÖKL·ID UZAYINDA KÜRESEL E ¼GR·ILER·IN GEOMETR·IS·I
Hazal CEYHAN
MATEMAT·IK ANAB·IL·IM DALI
ANKARA 2016
Her hakk¬ sakl¬d¬r
TEZ ONAYI
Hazal CEYHAN taraf¬ndan haz¬rlanan " 3-Boyutlu Öklid Uzay¬nda Küresel E¼grilerin Geometrisi " adl¬ tez çal¬¸smas¬ 21/06/20l6 tarihinde a¸sa¼g¬daki jüri taraf¬ndan oy birli¼gi ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬’nda YÜKSEK L·ISANS TEZ·Iolarak kabul edilmi¸stir.
Dan¬¸sman: Prof. Dr. F. Nejat EKMEKC·I
Jüri Üyeleri:
Ba¸skan: Ünvan¬Ad¬SOYADI
Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dal¬ (Ba¸staki ye¸sil çizgiyi silmeyiniz)
Üye : Ünvan¬Ad¬SOYADI
... Üniversitesi, ... Anabilim Dal¬
Üye : Ünvan¬Ad¬SOYADI
... Üniversitesi, ... Anabilim Dal¬
Yukar¬daki sonucu onaylar¬m
Prof. Dr. Ad¬SOYADI Enstitü Müdürü
ET·IK
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yaz¬m kurallar¬na uygun olarak haz¬rlad¬¼g¬m bu tez içindeki bütün bilgilerin do¼gru ve tam oldu¼gunu, bilgilerin üretilmesi a¸samas¬nda bilimsel eti¼ge uygun davrand¬¼g¬m¬, yararland¬¼g¬m bütün kay- naklar¬at¬f yaparak belirtti¼gimi beyan ederim.
21/06/20l6
Hazal CEYHAN
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
3-BOYUTLU ÖKL·ID UZAYINDA KÜRESEL E ¼GR·ILER·IN GEOMETR·IS·I
Hazal CEYHAN
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬¸sman: Prof. Dr. F. Nejat EKMEKC·I
Bu tez be¸s bölümden olu¸smaktad¬r.
Ilk bölüm giri¸· s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r.
Ikinci bölümde tezin di¼· ger bölümlerinde kullan¬lacak temel kavramlar ve teoremlere yer verilmi¸stir.
Üçüncü bölümde Öklidyen düzlemde ve Öklidyen kürede front e¼griler tan¬t¬lm¬¸s ve bu e¼grilerin evolütlerinin özellikleri verilmi¸stir.
Dördüncü bölümde , küresel e¼grilere göre front e¼gri tan¬mlanm¬¸s ve küresel e¼grilere ait front e¼grinin e¼grilikleri gösterilmi¸stir.
Be¸sinci bölümde ise küresel e¼grilere ait front e¼griler ara¸st¬r¬lm¬¸s ve bunlarla ilgili sonuçlar elde edilmi¸stir.
Haziran 2016 , 63 sayfa
Anahtar Kelimeler: Front e¼gri, frontal, Legendre immersiyon, framed e¼gri, te¼getler göstergesi, normaller göstergesi, binormaller göstergesi
ABSTRACT
Master Thesis
THE GEOMETRY OF SPHERICAL CURVES IN EUCL·IDEAN 3-SPACE
Hazal CEYHAN
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. F. Nejat EKMEKC·I
This thesis consists of …ve chapters.
The …rst chapter is introduction of thesis.
In the second chapter, some basic fundamental de…nition and theorem has been presented.
The third chapter has been devoted to presentation of front curves in the Euclidean plane and on the Euclidean 2- sphere, properties of evolutes of front curves . In the fourth chapter, according to spherical indicatrixs front curves and the curva- tures belong to front curves of spherical indicatrixs have been presented.
In the …fth chapter, front curves of spherical curvves have been explored and the results have been obtained about them.
June 2016 , 63 pages
Key Words: Front curve, frontal, Legendre immersion, framed curve, tangent indicatrix, normal indicatrix, binormal indicatrix
TE¸SEKKÜR
Yüksek lisans tez çal¬¸smalar¬m s¬ras¬nda bilgi ve tecrübesini her daim payla¸san dan¬¸s- man hocam Prof. Dr. F. Nejat EKMEKC·I ( Ankara Üniversitesi Matematik Ana- bilim Dal¬)’ye, her sorumu cevaplayan, yard¬m¬n¬hiçbir zaman esirgemeyen de¼gerli hocam Doç. Dr. ·Ismail GÖK ( Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’e, sorular¬yla beni daima ileriye yönlendiren say¬n hocam Prof. Dr. Yusuf YAYLI ( Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’ya te¸sekkürlerimi bir borç bilirim.
Tez yaz¬m a¸samas¬nda beni yaln¬z b¬rakmayan sevgili arkada¸slar¬m Bü¸sra ÜNAL, Ece CO¸SKUN, Sibel ÖZDO ¼GAN, ablam Deniz GÜÇLER’ e ve hocam Beyhan UZUNO ¼GLU’na te¸sekkürlerimi sunar¬m.
Ayr¬ca benim en k¬ymetlilerim biricik annem Ay¸se CEYHAN, dayana¼g¬m abim Onurcan CEYHAN ve hayat¬m¬n¬n ilk ve en de¼gerli Matematikçisi olan babam Memet Ali CEYHAN ’a tüm kalbimle ¸sükranlar¬m¬sunar¬m.
Hazal CEYHAN Ankara, Haziran 2016
IÇ·· INDEK·ILER
TEZ ONAY SAYFASI
ET·IK . . . i
ÖZET . . . ii
ABSTRACT. . . iii
TE¸SEKKÜR. . . iv
S·IMGELER D·IZ·IN·I . . . vi
¸ SEK·ILLER D·IZ·IN·I . . . vii
1. G·IR·I¸S . . . 1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . 2
2.1 Temel Kavramlar . . . 2
2.2 E¼griler Teorisi . . . 3
3. FRONT E ¼GR·IS·IN·IN EVOLÜTLER·I . . . 7
3.1 Öklidyen Düzlemde Front E¼grisinin Evolütü. . . 7
3.2 Öklidyen Kürede Front E¼grisinin Evolütü . . . 19
4. KÜRESEL E ¼GR·ILER·IN FRONT E ¼GR·ILER·I VE KÜRESEL E ¼GR·ILER·IN FRONT E ¼GR·ILER·IN·IN EVOLÜTLER·I . . . 30
4.1 Te¼getler Göstergesinin Front E¼grisi . . . 30
4.2 Normaller Göstergesinin Front E¼grisi . . . 41
4.3 Binormaller Göstergesinin Front E¼grisi . . . 51
5. TARTI¸SMA VE SONUÇ . . . 61
KAYNAKLAR. . . 62
ÖZGEÇM·I¸S . . . 63
S·IMGELER D·IZ·IN·I
E Evolüt
h; i Iç çarp¬m·
k; k Norm
R Reel uzay
X Toplam Sembolü
^ Vektörel çarp¬m
¸
SEK·ILLER D·IZ·IN·I
¸
Sekil 3.1 Framed e¼gri . . . 22
¸
Sekil 4.1 Tegetler gostergesinin front egrileri . . . 30
¸
Sekil 4.2 Normaller göstergesine göre front . . . 40
¸
Sekil 4.3 Binormaller göstergesine göre front . . . 50
1.
G·IR·I¸SDiferensiyel geometride önemli çal¬¸sma alanlar¬ndan biri e¼griler teorisidir. Öklidyen düzlemde ve birim kürede e¼grilerin geometrik özelliklerini incelemek için Frenet- Ser- ret formülleri ve geodezik e¼grilik çok büyük önem ta¸s¬r. Regüler e¼grilerin Frenet- Serret formüllerini rahatl¬kla tan¬mlarken,singüler noktaya sahip bir e¼gri için singüler noktada Frenet- Serret formülleri henüz tan¬mlanmam¬¸st¬r. Bu yüzden, singüler nok- taya sahip olan e¼grilere ait özellikleri incelemekte zorluk çekilmektedir. Bu tür e¼griler için, Legendre immersiyon tan¬mlanarak e¼grilerin singüler noktalar¬nda izometrik immersiyon sayesinde hareketli bir çat¬elde edilmi¸stir. Regüler e¼grilerin evolütü bi- linen bir ¸seydir. ·Izometrik immersiyon yard¬m¬yla tan¬mlanan bu çat¬, evolütün singülerli¼gi gibi, regüler e¼grilerin kö¸se noktalar¬n¬ tan¬mlamak için de kullan¬l¬r.
Evolüte ait özellikler klasik diferensiyel geometri kullan¬larak ara¸st¬r¬lm¬¸st¬r. Dahas¬
regüler e¼grilere ait paralel e¼grilerinin regüler oldu¼gu ve bu iki e¼grinin evolütlerinin benzer özelliklere sahip oldu¼gu gösterilmi¸stir. Bu özellik kullan¬larak fornt e¼gri- lerinin evolütü tan¬mlanm¬¸st¬r.Front e¼grinin evolütünün özelliklerini incelemek için de elde edilen hareketli çat¬y¬ kullan¬p, evolütün di¼ger gösterimini küresel e¼griden yararlanarak elde etmi¸slerdir ( Pei vd 2015 ) . Bu gösterim evolütün genelle¸stirilmi¸s hali olarak kar¸s¬m¬za ç¬kar.
Biz bu tezde bir e¼grinin küresel göstergeleri olan te¼getler, normaller ve binormaller göstergelerini kullanarak baz¬sonuçlar elde ettik.
2.
TEMEL KAVRAMLAR2.1 Temel Kavramlar
Tan¬m 2.1 ( Do¼gal ·Iç Çarp¬m): Rn vektör uzay¬nda •Oklid ic carp{m{;
x = (x1; x2; :::; xn); y = (y1; y2; :::; yn)2 Rn
hx; yi = x1y1+ x2y2+ ::: + xnyn e¸sitli¼giyle tan¬mlan¬r (Kühnel 1999) .
Tan¬m 2.2 (Norm): p2 Rn olmak üzere k p k=p
hp; pi k ; k: Rn ! R;
p ! k p k Rn uzay¬nda bir normdur (Sabuncuo¼glu 2010) .
Tan¬m 2.3 (Öklid Uzay¬) Bir reel a…n uzay A ve A ile birle¸sen vektör uzay¬da V olsun. V de bir iç çarp¬m i¸slemi olarak
h; i : V V ! R (x; y) ! hx; yi =
Xn i=1
xiyi , x = (x1; x2; :::; xn) y = (y1; y2; :::; yn)
standart Öklid iç çarp¬m¬tan¬mlan¬rsa bu i¸slem yard¬m¬ile A da uzakl¬k ve aç¬gibi metrik kavramlar tan¬mlanabilir. Böylece A a…n uzay¬da yeni bir ad alarak Öklid Uzay¬ad¬n¬al¬r. A=Rn de standart Öklid uzay¬d¬r ( Hac¬saliho¼glu 1998 ) .
Uyar¬2.1 Bundan sonra aksi belirtilmedikçe V=Rnstandart vektör uzay¬al¬nacak- t¬r.
Tan¬m 2.4 (Karma çarp¬m): p; q 2 R3 olsun.
8r 2 R3 için hp ^ q; ri = det(p; q; r)
ile verilen e¸sitli¼ge karma çarp¬m denir. p ve q vektörlerinin (verilen s¬rada) vekt•orel çarp{m{;özelli¼gini sa¼glayan tek p ^ q 2 R3 vektörüdür (Carmo 2012) .
2.2 E¼griler Teorisi
Tan¬m 2.5 (E¼gri): I, R3 ün bir aç¬k aral¬¼g¬ olmak üzere : I ! R3 biçiminde diferensiyellenebilir dönü¸sümüne, R3 de bir egri denir (O’Neill 2006) .
Tan¬m 2.6 (Bir E¼grinin H¬z Vektörü): : I ! R3 e¼grisi = ( 1; 2; 3) ile verilsin. 8t 2 I için h{z vekt•or•u
0(t) = (d 1
dt (t);d 2
dt (t);d 3
dt (t)) (t) ile gösterilir (O’Neill 2006) .
Tan¬m 2.7 (Regüler E¼gri): 8t 2 I için 0(t)6= 0 ko¸sulunu sa¼glayan, türevlenebilir, parametrik bir : I ! R3 e¼grisi reg •ulerdir (d•uzg •und•ur) denir (Carmo 2012) .
Tan¬m 2.8 (Yay Uzunlu¼gu): Bir e¼grisinin (t0) noktas¬ndan ba¸slayan yay uzunlugu
s(t) = Zt
t0
k 0(u)k du
iler verilen s(t) fonksiyonudur.
Böylece, s(t0) = 0 olur ve s(t) nin pozitif veya negatif olu¸su, t nin t0 dan büyük ya da küçük olu¸suna ba¼gl¬d¬r (Kaya vd. 2015) .
Tan¬m 2.9 (Birim Te¼get Vektör): R3 uzay¬nda birim h¬zl¬ : I ! R3 e¼grisi için
T (s) = 0(s)
e¸sitli¼gi ile belirli T (s) vektörüne, e¼grisinin (s)noktas¬ndaki birim teget vekt•or•u denir (Sabuncuo¼glu 2010) .
Tan¬m 2.10 (E¼grilik Fonksiyonu): : I ! R3 e¼grisi, s 2 I yay uzunlu¼guna göre parametrelenmi¸s bir e¼gri olsun
k : I ! R; k (s) = k 00(s)k
say¬s¬na, e¼grisinin s noktas{ndaki egriligi denir (Carmo 2012 ) .
Tan¬m 2.11 (Asli Normal Vektörü): R3 uzay¬nda birim h¬zl¬ : I ! R3 e¼grisi için
N (s) = 1
k (s) T0(s)
(s) 6= 0 , e¸sitli¼gi ile belirli N (s) vektörüne e¼grisinin (s) noktas¬ndaki asli normalidenir (Sabuncuo¼glu 2010) .
Tan¬m 2.12 (Binormal Vektör): R3 uzay¬nda birim h¬zl¬ : I ! R3 e¼grisi içi
B (s) = T (s) N (s)
e¸sitli¼giyle tan¬ml¬ B(s) vektörüne, e¼grisinin (s) noktas¬ndaki binormali denir (Sabuncuo¼glu 2010) .
Tan¬m 2.13 (Frenet Çat¬s¬): T (s) ; N (s) ; B (s)vektörlerine : I ! R3e¼grisinin (s) noktas¬ndaki F renet vekt•orleri denir. {T (s) ; N (s) ; B (s)} kümesine, e¼grisinin (s) noktas¬ndaki F renet cat{s{ denir (Sabuncuo¼glu 2010) .
Tan¬m 2.14 (Burulma): Birim h¬zl¬ : I ! R3 e¼grisinin Frenet vektör alanlar¬
T, N, B olmak üzere
: I ! R; (s) = hB0(s) ; N (s)i
fonksiyonuna, e¼grisinin burulma f onksiyonu denir (Sabuncuo¼glu 2010) .
Tan¬m 2.15 (Frenet Formülleri): : I ! R3 e¼grisi s yay uzunlu¼guna göre para- metrelendirilmi¸s yani k 0(s)k= 1 olsun Burada 0(s) = d
ds dir. e¼grisinin (s) noktas¬ndaki Frenet vektörleri T (s) ; N (s) ; B (s) olmak üzere F renet f orm•ulleri a¸sa¼g¬daki gibidir (Izumiya ve Takeuchi 2004) .
T0(s) = k (s) N (s)
N0(s) = k (s) T (s) + (s) B (s) B0(s) = (s) N (s)
Tan¬m 2.16 (Frenet Düzlemleri): : I ! R3birim h¬zl¬bir e¼gri ve T, N, B vek- tör alanlar¬olsun.. e¼grisinin (s)noktas¬ndaki fT; Ng, fT; Bg, fN; Bg kümelerinin gerdi¼gi düzlemler s¬ras¬yla osk •ulat•or d•uzlem, rektif iyan d•uzlemve normal d•uzlem olarak adland¬r¬l¬r (·Ilarslan vd. 2014) .
Tan¬m 2.17 ( Te¼getler Göstergesi ) : 3-boyutlu Öklid uzay¬, R3 de bir e¼grisi s 2 I yay parametresi ile verilsin. e¼grisinin birim te¼get vektörü T olmak üzere, P Q = T! al¬nd¬¼g¬nda, P noktas¬ e¼grisini çizerken, Q noktas¬n¬n birim küre yüzeyi üzerinde çizdi¼gi e¼griye e¼grisinin tegetler g•ostergesiveya birinci k •uresel g•ostergesi denir (Hac¬saliho¼glu 1998) .
Tan¬m 2.18 (Normaller Göstergesi ):3-boyutlu Öklid uzay¬, R3 de bir e¼grisi s2 I yay parametresi ile verilsin e¼grisinin normal vektörü N olmak üzere, e¼grisi çizilirken N vektörünün uç noktalar¬cümlesinin birim küre yüzeyi üzerinde meydana getirdi¼gi e¼griye e¼grisinin normaller g•ostergesi denir (Hac¬saliho¼glu 1998) .
Tan¬m 2.19 (Binormaller Göstergesi):3-boyutlu Öklid uzay¬, R3de bir e¼grisi s 2 I yay parametresi ile verilsin. e¼grisinin bir P noktas¬ndaki binormal vektörü B =P R! ve kom¸su iki binormal vektörü aras¬ndaki aç¬ olmak üzere P noktas¬
e¼grisini çizerken R noktas¬n¬n birim küre yüzeyi üzerinde çizdi¼gi e¼griye e¼grisinin binormaller g•ostergesi denir (Hac¬saliho¼glu 1998)
3.
FRONT E ¼GR·IS·IN·IN EVOLÜTLER·IBu bölümde Öklidyen düzlemde ve Öklidyen birim küredeki frontlar¬n evolütleri, evolütlerinin özellikleri verilmi¸stir.
3.1 Öklidyen Düzlemde Front E¼grisinin Evolütü
Tan¬m 3.1 I R ve : I ! R2 regüler düzlemsel bir e¼gri, ( regüler olma ¸sart¬
0(t)6= 0 , herhangi bir t 2 I için ) olsun. E¼ger s, n¬n yay parametresi ise, tanjant birim vektör t(s) = 0(s) = d =ds(s)ve normal birim vektör n(s) ; J saat yönünün tersi yönünde =2 derecelik dönme yapt¬ran dönü¸süm olmak üzere, n(s) = J (t(s))
¸seklinde tan¬mlan¬r. Bu tan¬mlamalar alt¬nda Frenet formülleri;
t0(s) = (s):n(s) n0(s) = (s):t(s)
¸seklini al¬r.
Burada (s) = t0(s); n(s) olarak tan¬mlanan e¼grisinin e¼grili¼gini göstermektedir (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Tan¬m 3.2 I R ve : I ! R2 regüler düzlemsel bir e¼gri, ( regüler olma ¸sart¬ 0(t) 6= 0 , her t 2 I için ) olsun. E¼ger t; n¬n yay parametresi de¼gilse; tanjant birim vektör t(s) = 0(t)= k 0(t) k ve normal birim vektör ; J saat yönünün tersi yönünde =2 derecelik dönme yapt¬ran dönü¸süm olmak üzere, n(t) = J (t(t)) ¸seklinde tan¬mlan¬r.
Bu tan¬mlamalar alt¬nda Frenet formülleri;
t0(t) = k 0(t)k (t):n(t) n0(t) = k 0(t)k (t):t(t)
¸seklini al¬r .
Burada (t) = det( 0(t); 00(t) ) = k 0(t) k3olarak tan¬mlanan e¼grisinin e¼grili¼gini göstermektedir. Ayr¬ca 0(t) = d =dt(t) ve k 0(t) k= p
h 0(t); 0(t)i d¬r. (t) parametre seçiminden ba¼g¬ms¬zd¬r (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Tan¬m 3.3 : I ! R2 regüler düzlemsel bir e¼gri olmak üzere; e¼grisinin evolütü ; Ev( )(t) = (t) + 1(t):n(t)
olarak tan¬mlan¬r (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Tan¬m 3.4 I R ve : I ! S1 düzgün bir dönü¸süm olmak üzere;
( ; ) : I ! R2 S1 ikilisi bir Legendre immersiyon ; yani 0(t); 0(t)6= (0; 0) ve , T1R2 = R2 S1üzerinde kanonik kontakt yap¬olmak üzere
( (t); (t)) = 0
( herhangi bir t 2 I için ) ise : I ! R2 e¼grisine f ront egri denir. ·Ikinci ko¸sulun e¸s de¼geri
D 0
(t); (t)E
= 0 olmas¬durumudur.
Bundan sonraki teoremlerde ( ; ) ikilisini yönlendirilemez, y¬sonlu singüler nok- taya sahip ve bükülme noktas¬olmayan bir e¼gri ( 00 6= 0 ) olarak kabul edece¼giz (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Örnek 3.1 : I ! R2 regüler düzlemsel bir e¼gri olsun. : I ! S1 olmak üzere ; (t) = n(t) olarak al¬rsak ( ; ) ikilisi bir Legendre immersiyon olur.
n(t) = J (t) , J saat yönünün tersi yönünde =2 derecelik dönme yapt¬ran dönü¸süm ve
0(t) = t(t) k t(t) k oldu¼gundan 0(t) ve n(t) birbirlerine dik olur.
D 0
(t); (t)E
= 0
e¸sitli¼gi sa¼glan¬r. O halde e¼grisi bir f ront egridir (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Örnek 3.2 : R ! R2 , (t) = (t2; t3) e¼grisi verilsin. 3/2 cuspa sahip olsun. Bu durumda e¼ger : I ! S1e¼grisini (t) = (1=p
9t2+ 4)( 3t; 2)olarak al¬rsak;
(t) = (t2; t3) x = t2 y = x3=2
0(t) = (2t; 3t2) D 0
(t); (t)E
= (2t; 3t2); ( 3t
p9t2+ 4; 2 p9t2+ 4)
= 6t2
p9t2+ 4 + 6t2 p9t2+ 4
= 0
0(t) = ( 3(9t2 + 4)1=2+ 27t2(9t2+ 4) 1=2
9t2+ 4 ; 18t(9t2+ 4) 1=2 9t2+ 4 )
0(0) = (0; 0); 0(0)6= (0; 0); t = 0 için
( ; ) ikilisi bir Legendre immersiyon, e¼grisi de front e¼gri olur (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Örnek 3.3 : R ! R2 , (t) = (t3; t4) e¼grisi verilsin. 4/3 cuspa sahip olsun. Bu durumda , e¼ger : I ! S1 e¼grisini (t) = (1=p
16t2+ 9)( 4t; 3) olarak al¬rsak ;
0(t) = (3t2; 4t3) D 0
(t); (t)E
= (3t2; 4t3); ( 4t
p16t2+ 9; 3 p16t2+ 9)
= 12t3
p16t2+ 9 + 12t3 p16t2+ 9
= 0
0(t) = ( 4(16t2+ 9)1=2+ 64t2(16t2+ 9) 1=2
16t2+ 9 ; 48t(16t2+ 9) 1=2 16t2 + 9 )
0(0) = (0; 0); 0(0) 6= (0; 0); t = 0 için
( ; ) ikilisi bir Legendre immersiyon, e¼grisi de front e¼gri olur (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Örnek 3.4 : R ! R2 , (t) = (t2; t5) e¼grisi verilsin. 5/2 cuspa sahip olsun. Bu durumda , e¼ger : I ! S1e¼grisini (t) = (1=p
25t6+ 4)( 5t3; 2) olarak al¬rsak ;
0(t) = (2t; 5t4) D 0
(t); (t)E
= (2t; 5t4); ( 5t3
p25t6+ 4; 2 p25t6+ 4)
= 10t4
p25t6+ 4 + 10t4 p25t6+ 4
= 0
0(t) = ( 15t2(25t6+ 4)1=2+ 375t3(25t6+ 4) 1=2
25t6+ 4 ;150t5(25t6+ 4) 1=2 25t6+ 4 )
0(0) = (0; 0); 0(0) = (0; 0); t = 0için
son e¸sitli¼gi sa¼glamad¬¼g¬için( (t); (t)) ikilisi Legendre immersiyon de¼gil, bu yüzden e¼grisi de front e¼gri de¼gildir(Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Teorem 3.1 ( ; ) ikilisi bir Legendre immersiyon ise, ( ; ) ikilise de Legendre immersiyondur (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Ispat.· ( ; ) ikilisi Legendre immersyion ve 0 = ( 01; 02) ve = ( 1; 2) olsun.
Legendre immersiyon tan¬m¬ndan 0; v = 0 d¬r.
0
1 1+ 02 2 = 0
0
1 1 = 02 2
0 = ( 01; 02) ve = ( 1; 2) olmak üzere;
0; v = 0 oldu¼gunu göstermeliyiz.
0
1 1
0
2 2 = 0
0
1 1 = 02 2
bir önceki e¸sitlik gere¼gi denklem sa¼glan¬r. O halde ( ; ) ikilisi bir Legendre immer- siyon ise, ( ; )ikilisi de Legendre immersiyondur. ·Ispat tamamlan¬r.
Tan¬m 3.5 ( ; ) : I ! R2 S1 ikilisi bir Legendre immersiyon olsun. e¼grisinin paralel egrisi
(t) : I ! R2 (t) = (t) + (t) olarak tan¬mlan¬r (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Sonuç 3.1 ( ; ) : I ! R2 S1 ikilisi bir Legendre immersiyon olmak üzere;
herhangi bir 2 I için (t) : I ! R2 e¼grisi de bir front e¼gridir (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Ispat.· : I ! S1; (t) = (t) olarak alal¬m.
(t) = (t) + (t)
0(t) = 0(t) + 0(t)
E¼ger t0 2 I için 0(t0) = 0 ise
0(t) + 0(t) = 0
olur.
E¼ger 0(t0) = 0(t0) = 0 ise 0(t0) = 0 olur. O zaman ( ; ) ikilisi immersiyon olu¸sturmaz.
( ; )ikilisi de immersiyon olu¸sturmaz.
h (t); (t)i = 1
oldu¼gunu biliyoruz. Bu e¸sitli¼gin her iki taraf¬n¬n türevi al¬n¬rsa
D 0
(t); (t)E +D
(t); 0(t)E
= 0 D
(t); 0(t)E
= 0 bulunur.
D 0
(t); (t)E
= 0(t): (t) + 0(t): (t)
= 0
( (t); (t))ikilisi Legendre immersiyon ve böylece (t) e¼grisi bir front e¼gridir.
Önerme 3.1 ( ; )ikilisi bir Legendre immersiyon olsun. E¼ger regüler bir e¼gri ve 6= 1= (t) ise e¼grisi de regülerdir ve Ev( )(t) ile Ev( )(t)tutarl¬d¬r (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Ispat.·
(t) = (t) + n(t)
0(t) = 0(t) + n0(t)
oldu¼gunu biliyoruz.
t (t) =
0 (t)
k 0 (t)k e¸sitli¼ginde
k 0(t)k= (t)
0(t) = 0(t) + n0(t) t (t) (t) = 0(t) + n0(t)
Frenet formüllerinden
n0(t) = k 0(t)k (t)t(t) e¸sitli¼gini ve
0(t) = t (t)k 0(t)k denklemde yerine yaz¬l¬rsa
t (t) (t) = t(t) k 0(t)k k 0(t)k (t)t(t) elde edilir. Gerekli i¸slemler yap¬larak
(t) = k 0(t)k (1 (t))
2 = k 0(t)k2 (1 (t))2 (t) = k 0(t)k (1 (t)) t (t) = t(t)
bulunur.
(t) (t) (t) = (t) (t)k 0(t)k (t) = (t) (t) k 0(t)k
(t) (t)
= 1 (t)
k 1 (t)kn(t) olarak bulunur.
Evolüt tan¬m¬nda bilinenler yerine yaz¬l¬rsa Ev( )(t) = (t) + 1
(t) (t)
= (t) + (t) +j 1 (t)j (t)
1 (t)
j 1 (t)jn(t)
= (t) + 1 (t) (t)
= Ev( )(t)
Tan¬m 3.6 ( ; ) : I ! R2 S1 ikilisi bir Legendre immersiyon olsun. front e¼grisinin evolütü; t regüler noktaysa;
Ev( )(t) = (t) + 1 (t) (t) t2 (t0 ; t0+ ); t0 singüler noktaysa;
Ev( )(t) = (t) + 1
(t) (t) 0 ve 6= 1= (t) 2 R dir (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Tan¬m 3.7 Önerme 3.1.3. ile ve e¼grilerinin evolütleri regüler k¬s¬mlarda çak¬¸st¬r¬labilir. Bu halde front e¼grilerin evolütü iyi tan¬mlanm¬¸s olmaktad¬r. Fakat front e¼grilerin evolütlerini incelemek için hareketli bir çat¬ya ihtiyaç vard¬r.
( ; ) : I ! R2 S1 ikilisi bir Legendre immersiyon olsun. E¼ger egrisi t0 nok- tas¬çevresinde regüler ise, Frenet formülleri elde edilir. Fakat t0 noktas¬ e¼grisinin singüler noktas¬dahi olsa her zaman bulunabilir. Bu yüzden kullanarak front- lar¬n Frenet formülleri elde edilir.
(t) = J ( (t)) olarak alal¬m. ( J saat yönünün tersine do¼gru =2 aç¬yla dönme yapt¬ran dönü¸süm ). f (t); (t)g ikilisine front e¼grilerinin hareketli çat¬s¬denir.
Böylelikle Frenet formülü;
0(t) = l(t) (t)
0(t) = l(t) (t)
olarak bulunur. Burada l(t) = 0(t) (t)dir. Dahas¬, e¼ger
0(t) = (t) (t) + (t) (t)
( (t); (t) düzgün fonksiyonlar ) al¬rsak; 0(t); (t) = 0 ko¸suluyla; denklemi her iki taraftan (t) ile iç çarp¬m yaparsak
D 0
(t); (t)E
= (t)h (t); (t)i + (t) h (t); (t)i h (t); (t)i = 0 ve h (t); (t)i = 1
oldu¼gundan
(t) = 0 ve
0(t) = (t) (t)
olarak bulunur (Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Tan¬m 3.8 ( ; ) Legendre immersiyon olsun. 8t 2 I için ( l(t); (t) 6= 0 ) ve (l(t); (t)) ikilisine Legendre e¼grilerinin e¼grilikleri denir
(Fukunaga ve Takahashi 2012) .
Teorem 3.2
i) e¼grisi regüler bir e¼gri ise l(t) =k (t) k (t) dir.
ii) e¼grisi regüler bir e¼gri ise l(t) =k (t)+ l(t) k (t) dir ( Fukunaga ve Takahashi 2012 ) .
Ispat. i)·
0(t) = (t) (t) türev al¬n¬rsa
00(t) = 0(t) (t) + (t) 0(t) elde edilir.
0(t) = l(t) (t)
00(t) = 0(t) (t) (t)l(t) (t) bulunur.
(t) = det( 0(t); 00(t)) k 0(t)k3
denkleminde
(t) = det( (t) (t); 0(t) (t) (t)l(t) (t)) k (t) (t) k3
= (t)2l(t) k (t) k3
= l(t) k (t) k
ii) i) de yapt¬¼g¬m¬z i¸slemlerin ayn¬s¬n¬ (t) için uygularsak
(t) = det( 0 (t); 00(t)) j 0(t)j3 (t) = (t) + (t) türev al¬n¬rsa
0(t) = 0(t) + 0(t)
0(t) = (t) (t) + l(t) (t)
= (t) ( (t) + l(t))
olarak bulunur. Bir kez daha türev al¬rsak
00(t) = 0(t)( (t) + l(t)) + ( (t) + l(t))0 (t)
elde edilir. Buradan
(t) = det( 0 (t); 00(t)) k 0(t)k3
= det( (t) ( (t) + l(t)) ; 0(t)( (t) + l(t)) + ( (t) + l(t))0 (t)) k (t) ( (t) + l(t)) k3
= k (t) + l(t) k2 l(t) k (t) + l(t) k3
= l(t)
k (t) + l(t) k bulunur. ·Ispat böylece tamamlan¬r.
Teorem 3.1.5. Front e¼grisinin evolütü
"v( )(t) = (t) (t) l(t) (t)
dir ve "v( )(t) de bir front e¼grisidir (Fukunaga ve Takahashi 2012) . Ispat.· Kabul edelimki bir regüler e¼gri olsun.
0(t) = (t) (t) k (t) k6= 0
oldu¼gunu biliyoruz.
t(t) =
0(t) k 0(t)k
= (t) (t) k (t) (t) k
= (t)
k (t) k (t) elde edilir.. Ayr¬ca
(t) = (t) k (t) k (t) Teorem 3.1.4 ün i) den l(t) =k (t) k (t) , l(t) 6= 0.
Evolüt tan¬m¬nda yerine yazarsak;
"v( )(t) = (t) + 1 (t)n(t)
= (t) +k (t) k l(t)
(t)
k (t) k (t)
= (t) (t)
l(t) (t) olarak elde edilir.
Kabul edelimki regüler bir e¼gri ise, 6= 1= (t) ;
0(t) = ( (t) + l(t)) (t) t (t) = (t) + l(t)
k (t) + l(t) k (t) n (t) = (t) + l(t)
k (t) + l(t) k (t)
Teorem 3.1.4. ii) den
l(t) =k (t) + l(t) k (t) , l(t) 6= 0
"v( )(t) = (t) + 1
(t)n (t)
= (t) + (t) + k (t) + l(t) k l(t)
(t) + l(t)
k (t) + l(t) k (t)
= (t) (t)
l(t) (t) olarak elde edilir..
E¼ger = J ( (t) = (t) olarak al¬n¬rsa , ("v( )(t); ) ikilisi Legendre immersiyon olur ve böylece "v( )(t) e¼grisi bir front e¼gridir.
( )0 = l(t) (t) 6= 0
"v0( )(t) =
0(t)l(t) + (t)l0(t) l(t)2 v(t)
* 0
(t)l(t) + (t)l0(t)
l(t)2 v(t); (t) +
= 0 Böylelikle "v( )(t) e¼grisi de bir front e¼gridir.
3.2 Öklidyen Kürede Front E¼grisinin Evolütü
Tan¬m 3.9 I R ve R3 3-boyutlu vektör uzay¬olmak üzere herhangi bir x = (x1; x2; x3); y = (y1; y2; y3)2 R3 için iç çarp¬m
hx; yi = x1y1+ x2y2+ x3y3
olarak tan¬mlan¬r. •Oklidyen 2 k •ure S2 =fx 2 R3 j hx; xi = 1g olarak tan¬mlan¬r.
: I ! S2 regüler bir e¼gri, ( regüler olma ¸sart¬ 0(t) 6= 0 , herhangi bir t 2 I için ) olsun. E¼ger s, n¬n yay parametresi ise, tanjant birim vektör;
t(s) = 0(s) = d =ds(s), k t(s) k= 1 ve e(s) = (s) ^ t(s) olarak tan¬mlan¬r ve Frenet formülleri;
0(s) = t(s)
t0(s) = (s) + g(s)e(s) e0(s) = g(s)t(s)
dir.
Burada g(s) = det( (s); t(s); t0(s))olarak tan¬mlanan e¼grisinin geodezik e¼grili¼gini göstermektedir (Pei vd 2015) .
Tan¬m 3.10 I R ve : I ! S2 regüler bir e¼gri, ( regüler olma ¸sart¬ 0(t) 6= 0 , herhangi bir t 2 I için ) olsun. E¼ger t; n¬n yay parametresi de¼gilse; tanjant birim vektör t(s) = 0(t)= k 0(t) k ve birim normal vektör e(t) = (t) ^ t(t) ¸seklinde tan¬mlan¬r. Bu tan¬mlamalar alt¬nda Frenet formülleri;
0(t) =k 0(t)k t(t)
t0(s) =k 0(t)k ( (t) + g(t)e(t)) e0(s) = k 0(t)k g(t)t(t)
¸seklini al¬r. Burada g(t) = det( (t); t(t); t0(t) ) = k 0(t) k3olarak tan¬mlanan e¼grisinin geodezik e¼grili¼gini göstermektedir. Ayr¬ca 0(t) = d =dt(t) ve k 0(t) k=p
h 0(t); 0(t)i d¬r. g(t) parametre seçiminden ba¼g¬ms¬zd¬r (Pei vd 2015) .
Tan¬m 3.11 I R ve : I ! S2 düzgün bir dönü¸süm olmak üzere; e¼ger ( ; ) : I ! S2 S2 ikilisi
h (t); (t)i = 0 ve h (t); (t)i = 0
ko¸sullar¬n¬ sa¼gl¬yorsa ( ; ) ikilisine f ramed egri denir.( ; ) framed e¼gri ise : I ! S2 e¼grisine f rontal egri denir. Ayr¬ca ( ; ) ikilisi bir immersiyon ise; yani
0(t); 0(t)6= (0; 0) ise framed immersiyon denir. ( ; ) ikilisi framed immersiyon ise : I ! S2 e¼grisine f ront egri veya da lg a f ront egri denir (Pei vd 2015) .
Tan¬m 3.12 ( ; ) : I ! S2 S2ikilisi framed immersiyon olsun. (t) = (t)^ (t) olsun. f (t); (t); (t)g çat¬s¬na front e¼grinin hareketli çat¬s¬denir. Bu çat¬ya göre Frenet formülleri ;
0(t) = (t) (t)
0(t) = (t) (t) l(t) (t)
0(t) = l(t) (t)
¸seklini al¬r. Burada l(t) = 0(t); (t) olarak tan¬mlan¬r. ( ; ) framed immer- siyon ise (l(t); (t) 6= (0; 0)) 8t 2 I d¬r. Ayr¬ca (l(t); (t)) ikilisine framed e¼grilerin geodezik egriligidenir (Pei vd 2015) .
Örnek 3.5 : I ! S2 regüler e¼grisi
(t) = (cos(t2) cos(t3); sin(t2) cos(t3); sin(t3)) : I ! S2 e¼grisini
= ( 1; 2; 3)
1(t) = P (2t sin(t3) cos(t2) cos(t3) 3t2sin(t2))
2(t) = P (3t2cos(t2) + 2t sin(t2) sin(t3) cos(t3))
3(t) = P ( 2 cos2(t3)t)
P = 1=p
( 1=P )2+ ( 2=P )2+ ( 3=P )2
Bu de¼gerlerle ( ; ) ikilisi framed immersion ve e¼grisi de bir fronttur.
0(t) = ( 2 sin(t2) cos(t3)t 3 cos(t2) sin(t3)t2;
2 cos(t2) cos(t3)t 3 sin(t2) sin(t3)t2; 3 cos(t3)t2)
t = 0noktas¬ e¼grisinin singüler noktas¬d¬r. Framed e¼gri ve immersiyon olmas¬için gerekli ¸sartlar¬sa¼glay¬p sa¼glamad¬klar¬na bakal¬m;
h (t); (t)i = 0 , D 0
(t); (t)E
= 0 , 0(t); 0(t) 6= (0; 0) h (t); (t)i = 0
h (t); (t)i = 2t cos2(t2) cos2(t3) sin(t3) 3t2sin(t2) cos(t2) cos(t3) +3t2cos(t2) sin(t2) cos(t3)
+2t sin2(t2) cos2(t3) sin(t3) 2t cos2(t3) sin(t3)
= 2t(cos2(t3) sin(t3))(cos2(t2) + sin2(t2)) 2t(cos2(t3) sin(t3))
= 0
0(t); (t) = 0
h (t); (t)i = 0
A¸sa¼g¬da ¸Sekil 3.1 de framed e¼grisi verilmi¸stir (Pei vd 2015) .
¸
Sekil 3.1 Framed egrisi
Tan¬m 3.13 : I ! S2 bir e¼gri olsun. e¼grisinin evolütü E (t) : I ! S2 ;
E (t) = 1
q
1 + 2g(t)
( g(t) (t) + e(t))
ile tan¬mlan¬r (Pei vd 2015) .
Tan¬m 3.14 ( ; ) : I ! S2 S2 framed immersiyon olsun. e¼grisinin paralel e¼grisi (t) : I ! S2
(t) = (t) + (t) p1 + 2 8t 2 I ile tan¬mlan¬r (Pei vd 2015) .
Önerme 3.2 ( ; ) : I ! S2 S2 ikilisi framed immersiyonu olsun. 8 2 R için (t) : I ! S2 e¼grisi de front e¼gridir
(Pei vd 2015) .
Ispat.· : I ! S2 e¼grisini
(t) = (t) + (t) p1 + 2 olsun.
(t) = (t) + (t) p1 + 2 türev al¬n¬rsa
0 (t) =
0(t) + 0(t) p1 + 2 elde edilir..
Kabul edelimki t0 2 I noktas¬nda 0(t0) = 0 ise
0(t0) + 0(t0) = 0
olmal¬. E¼ger 0(t0) = 0ise 0(t0) = 0d¬r ve ( ; ) ikilisi framed immersiyon oldu¼gun- dan ( (t); (t))ikilisi de framed immersiyon olur.
Ayr¬ca
k (t) k= 1 h (t); (t)i = 1 türev al¬n¬rsa
D 0
(t); (t)E +D
(t); 0(t)E
= 0 D
(t); 0(t)E
= 0 elde dilir.
D 0
(t); (t) E
= 1
p1 + 2 D 0
(t) + 0(t); (t) + (t) E
= 0
( (t); (t))ikilisi framed immersiyon olur.
Önerme 3.3 ( ; ) ikilisi framed immersiyon olsun. E¼ger regüler bir e¼gri ve 6= 1= g(t) ise, (t) e¼grisi regülerdir ve Ev( )(t) ile Ev( )(t) tutarl¬d¬r (Pei vd 2015) .
Ispat.·
(t) = (t) + e(t) p1 + 2
0(t) =
0(t) + e0(t) p1 + 2 Regüler e¼grilerilerin Frenet formülleri tan¬m¬nda
0(t) =k 0(t)k t(t)
e0(s) = k 0(t)k g(t)t(t) bildi¼gimiz e¸sitlikleri denklemde yerine yazarsak
0(t) = k 0(t)k t(t) k 0(t)k g(t)t(t) p1 + 2
= k 0(t)k t(t)(1 g(t)) p1 + 2
olarak bulunur. Burada 6= 1= g(t)ko¸sulunda regülerdir.
g (t) = + g(t) k 1 g(t)k e (t) = g(t)
k 1 g(t)k
e(t) (t) p1 + 2 elde edilir.
E (t) = 1
q
1 + 2g (t)
( g (t) (t) + e (t))
tan¬m¬nda bilinenler yerine yaz¬l¬rsa
E (t) = 1
p1 + g (t)2( g (t) (t) + e (t))
= 1
q
1 + (j1+ g(t)
g(t)j)2
( + g(t) k 1 g(t)k
(t) + e(t) p1 + 2
+ g(t)
k 1 g(t)k
e(t) (t) p1 + 2
)
= 1
q
(1 + g(t)2)(1 + 2)
( 1 + 2 p1 + 2 g
(t) (t) + 1 + 2 p1 + 2
e(t))
= 1
p1 + g(t)2( g(t) (t) + e(t))
= E (t) elde edilir.
Tan¬m 3.15 ( ; ) framed immersion olsun. front e¼grisinin evolütünü
"v( )(t) : I ! S2;t regüler bir noktaysa;
" (t) = g (t) + e(t) q
1 + 2g(t)
olarak tan¬mlar¬z. E¼ger t 2 (t0 ; t0+ ) , t0 e¼grisinin singüler noktas¬ysa ;
" (t) = g (t) + e (t) q
1 + 2g (t)
tan¬mlan¬r ve 6= 1= g(t) ve yeterli derecede küçük reel say¬d¬r (Pei vd 2015) .
Teorem 3.3
i) regüler bir e¼gri olsun. O halde l(t) =k (t) k g(t) dir.
ii) regüler bir e¼gri olsun. O halde (t) l(t) =k (t) + l(t) k g (t)dir (Pei vd 2015) .
Ispat. i)·
0(t) = (t) (t) türev al¬n¬rsa
00(t) = 0(t) (t) + (t) 0(t) elde edilir..
0(t) = (t) (t) l(t) (t) bilinenini yerine yaz¬l¬rsa
00(t) = 0(t) (t) 2(t) (t) (t)l(t) (t)
bulunur.
g(t) = det( (t); 0(t); 00(t)) k 0(t)k3
g(t) = det( (t); (t) (t); 0(t) (t) 2(t) (t) (t)l(t) (t)) k (t) (t) k3
= (t)2l(t) k (t) k3
= l(t) k (t) k elde edilir.
ii)
g (t) = det( (t); 0(t); 00(t)) k 0(t)k3 (t) = (t) + e(t)
p1 + 2
0(t) =
0(t) + v0(t) p1 + 2
= (t) (t) + l(t) (t) p1 + 2
= ( (t) + l(t)) p1 + 2
(t)
00(t) = ( (t) + l(t))0 (t) + ( (t) + l(t)) 0(t) p1 + 2
= ( (t) + l(t))0 (t) + ( (t) + l(t)) (t) (t) l(t) (t) p1 + 2
g (t) = det( (t); 0(t); 00(t)) k 0(t)k3
g (t) = (t) l(t) k (t) + l(t) k elde edilir.
Sonuç 3.2 Front e¼grinin evolütü
" (t) = 1
pl(t)2+ (t)2( l(t) (t) + (t) (t)) ile gösterilir ve " (t) e¼grisi de bir front e¼gridir (Pei vd 2015) .
Ispat.· Kabul edelimki regüler e¼gridir
0(t) = (t) (t) (t)6= 0 oldu¼gunu biliyoruz.
t(t) =
0(t) k 0(t)k
= (t) (t) k (t) (t) k
t(t) = (t) k (t) k (t)
e(t) = (t) k (t) kv(t) olarak tan¬mlar¬z.
l(t) =k (t) k g(t) e¸sitli¼gi evolüt tan¬m¬nda yerine yaz¬l¬rsa
" (t) = g(t) (t) + e(t) q
1 + 2g(t)
=
l(t)
k (t)k (t) (t)
k (t)kv(t) q
l2(t) + 2(t)
= 1
q
l2(t) + 2(t)
( l(t) (t) + (t)v(t)
olarak elde edilir.
Kabul edelimki t0 e¼grisinin singüler noktas¬ve paralel e¼grisi 6= 1= (t) ko¸su- lunda regüler e¼gri olsun.
0(t) = ( (t) + l(t)) (t)=p 1 + 2 k (t) + l(t) k6= 0
oldu¼gunu biliyoruz.
t =
0(t)
k 0(t)k
= ( (t) + l(t)) (t)=p 1 + 2 k ( (t) + l(t)) (t)=p
1 + 2 k t = (t) + l(t)
k (t) + l(t) k (t) e (t) = (t)^ t (t)
= (t) + l(t) k (t) + l(t) k
v(t) (t) p1 + 2
(t) l(t) =k (t) + l(t) k g (t) e¸sitli¼gi kullan¬larak
" (t) = g (t) (t) + e (t) q1 + 2g (t)
= p k (t) + l(t) k
( l(t)2 + (t))2+ ( (t) + l(t))2 ( (t) l(t)
k (t) + l(t) k
(t) + v(t) p1 + 2
+ (t) + l(t)
k (t) + l(t) k
v(t) (t) p1 + 2
)
= 1
q
(1 + 2)(l2(t) + 2(t)) p 1
1 + 2 ( l(t)(1 + 2) (t) + (t)(1 + 2)v(t))
= l(t) (t) + (t)v(t) q
l2(t) + 2(t)
= " (t)
olarak elde edilir. E¼ger (t) = (t) olarak al¬n¬rsa (" (t); (t)) framed immersion olur.
"0 (t) =
0(t)l(t) (t)l0(t) l2(t) + 2(t) 3=2
(l(t)v(t) (t) (t)) D
"0 (t); (t)E
=
* 0
(t)l(t) (t)l0(t) l2(t) + 2(t) 3=2
(l(t)v(t) (t) (t)); (t) +
= 0
" (t)fronttur.
4.
KÜRESEL E ¼GR·ILER·IN FRONT E ¼GR·ILER·I VE KÜRESEL E ¼GR·I- LER·IN FRONT E ¼GR·ILER·IN·IN EVOLÜTLER·I4.1 Te¼getler Göstergesinin Front E¼grisi
Tan¬m 4.1 : I ! R3 bir uzay e¼grisi olsun. O halde bu e¼grinin Frenet formülleri
t0(s) = (s) n (s) n0(s) = (s) t (s) + (s) b (s) b0(s) = (s) n (s) olarak tan¬mlan¬r.
Tan¬m 4.2 e¼grisinin te¼getini t , ( t = t) olarak gösterelim. t : I ! S2 , : I ! S2 olmak üzere ( t; ) ikilisi framed e¼gri olsun. E¼ger ( t; ) ikilisi framed immersiyon olacak ¸sekilde bir e¼grisi bulunabiliyorsa t ye f ront egrisi denir.
¸
Sekil 4.1 Tegetler gostergesinin front egrisi
Tan¬m 4.3 ( t; ) ikilisi framed immersiyon olsun. t e¼grisi front oldu¼gundan,
h t; i = 0 D
t
0; E
= 0 bulunur.
t = al¬n¬rsa f t(t); (t); (t)g bir çat¬olu¸sturur. Bu çat¬ya göre Frenet for- müllerini yazmaya çal¬¸sal¬m.
0
t= a t+ b + c Olarak yazabiliriz.
D 0
t; tE
= a h t; ti = 1 türev al¬n¬rsa
D 0
t; tE +D
t; 0tE
= 0 D 0
t; tE
= 0 a = 0
olarak elde edilir. Ayn¬i¸slem b ve c sabit say¬lar¬n¬bulmak için de yap¬l¬rsa;
D 0
t; E
= b h t; i = 0 . Türev al¬n¬rsa
D 0
t; E +D
t; 0E
= 0 D 0
t; E
= D
t; 0E
D 0
t; E
= b1 yazal¬m.
D 0
t; E
= c = 0 O halde;
0
t = b1 olarak elde edilir.
0 = a t+ b + c
D 0
; tE
= a D 0
t; E
= D
t; 0E e¸sitli¼ginden
D 0
; tE
= a = b1 olarak elde edilir.
D 0
; E
= b h ; i = 1 oldu¼gunu biliyoruz. Türev al¬n¬rsa;
D 0
; E +D
; 0E
= 0 D 0
; E
= 0 b = 0
bulunur.
D 0
; E
= c h ; i = 0 Türev al¬n¬rsa;
D 0
; E +D
; v0E
= 0 D 0
; E
= D
; v0E ellde edilir.
D 0
; E
= c1 diyelim. O halde
0 = b1 t+ c1
olarak bulunur.
Ayn¬¸sekilde
0 = a t+ b + c yazabiliriz.
D 0
; tE
= a framed immersiyon tan¬m¬ndan
D 0
; t
E
= a = 0 olur.
D 0
; E
= b h ; i = 0
oldu¼gunu birbirlerine dik olduklar¬için yazabiliriz. Türev al¬n¬rsa ;
D 0
; E +D
; 0E
= 0 D 0
; E
= D
; 0E
c1 tan¬m¬ndan
D 0
; E
= c1 olarak elde edilir. O halde
0 = c1
olarak bulunur. Yani ;
0
t = b1
0 = b1 t+ c1
0 = c1
dir.
¸
Simdi b1 ve c1 sabitlerini hesaplayal¬m.
b1 =D
t; 0E oldu¼gunu biliyoruz.
= t0 = :n
0 =
0
n + n0
=
0
n + ( t + b)
= 2
Buradan
0
t = 2
b1 = 2 olarak bulunur.
0 = b1 t+ c1
c1 sabitini bulal¬m.
c1 = D 0
; E
= 2ht; i +
0
hn; i + hb; i hn; i = L , hb; i = M diyelim.
c1 =
0
L + M
0 = 2 t+n 0
L + Mo olarak elde edilir.
0 = c1
= n 0
L + Mo bulunur. Böylece Frenet formülleri
0t(s) = 2
0(s) = 2 t+n 0
L + Mo
0(s) = n 0
L + Mo Burada n 0
L M; 2o
ikilisine te¼getler göstergesinin geodezik e¼grili¼gi diye- ce¼giz.
Tan¬m 4.4 ( t; ) : I ! S2 S2 framed immersiyon olsun. t e¼grisinin paralel e¼grisi t (t) : I ! S2
t (t) = t(t) + (t) p1 + 2 8t 2 I ile tan¬mlan¬r .
Tan¬m 4.5 t: I ! S2 bir e¼gri olsun. t e¼grisinin evolütü E t(t) : I ! S2 ;
E t(t) = 1 q
1 + 2g(t)
( g(t) t(t) + e(t))
ile tan¬mlan¬r .
Teorem 4.1
i) t regüler bir e¼gri olsun. O halde -
0
L M = k - 2 k g(t):dir.
ii) t regüler bir e¼gri olsun. O halde ( 2) +
0
L + M =k 2+ (-
0
L M )k g (t) dir.
Ispat. i)·
g(t) = det( t; 0t; 00t) k 0t k3
0t = 2
00
t = 2
0 2 0
00
t = 2
0 4
t+n 2 0
L 3 Mo
g(t) = det( t; 0t; 00t) k 0tk3
=
0
L M
k 2 k
ii)
g (t) = det( t (t); 0t (t); 00t (t)) k 0t (t)k3
t (t) = t(t) + e(t) p1 + 2
0
t (t) =
0
t(t) + v0(t) p1 + 2
=
2 n 0
L + Mo p1 + 2
= ( 2 0L M )
p1 + 2
(t)
00
t (t) = ( 2
0
L M )0 (t) + ( 2
0
L M ) 0(t) p1 + 2
= ( 2 0L M )0 (t)
p1 + 2
+ ( 2
0
L M )( 2 t+n 0
L + Mo ) p1 + 2
g (t) = det( t (t); 0t (t); 00t (t)) k 0t (t)k3
g (t) = ( 2) +
0
L + M
k 2+ ( 0L M )k olarak elde edilir.
Sonuç 4.1 Teorem 4.1.1 e göre Teorem 3.1.4. sonuçlar¬benzerlik göstermi¸stir. Sadece i¸saret fark¬vard¬r. Her iki teoremde de geodezik e¼grilik e¼griliklerin oran¬cinsinden verilmi¸stir.
Sonuç 4.2
t front e¼grisinin evolütü
" t(t) = 1 q
( 0L M )2+ ( 2)2 ((
0
L + M ) t(t) + ( 2) (t))
ile gösterilir ve " t(t) e¼grisi de bir front e¼gridir .
Ispat.· Kabul edelim ki t regüler e¼gridir
0t= 2
t(t) =
0t(t) k 0t(t)k
=
2
k 2 k
t(t) =
2
k 2 k (t)
e(t) =
2
k 2 k v(t) olarak tan¬mlar¬z.
0
L M =k 2 k g(t):
e¸sitli¼gi evolüt tan¬m¬nda yerine yaz¬l¬rsa
" t(t) = g(t) t(t) + e(t) q
1 + 2g(t)
=
0
L M
k 2k t(t)
0
L M
k 2k v(t) q
( 0L M )2+ ( 2)2
= 1
q
( 0L M )2+ ( 2)2 ((
0
L + M ) t(t) + ( 2) (t))
olarak elde edilir.
Kabul edelimki t0 t e¼grisinin singüler noktas¬ ve t paralel e¼grisi 6= 1= (t) ko¸sulunda regüler e¼gri olsun.
0
t =
2 n 0
L + Mo p1 + 2
oldu¼gunu biliyoruz.
t =
0
t
k 0t k
=
2 n 0
L + Mo
=p 1 + 2
k 2 n 0
L + Mo
=p
1 + 2 k
t =
2 n 0
L + Mo
k 2 n 0
L + Mo k
(t)
e (t) = t (t)^ t (t)
=
2 n 0
L + Mo
k 2 n 0
L + Mo k
v(t) t(t) p1 + 2
( 2) + 0L + M =k 2+ ( 0L M )k g (t) e¸sitli¼gi kullan¬larak
" t (t) = g (t) t (t) + e (t) q1 + 2g (t)
= k 2+ ( 0L M )k
q
( 2) + ( 0L + M ))2+ ( 2+ ( 0L M ))2 ( ( 2) +
0
L + M
k 2+ ( 0L M )k
t(t) + v(t) p1 + 2
+
2+ (
0
L M )
k 2+ ( 0L M )k
v(t) t(t) p1 + 2
)
= 1
q
(1 + 2)(( 2)2+ ( 0L M )2) p 1
1 + 2 ((1 + 2) t(t) + (t)(1 + 2)v(t))
= (
0
L + M ) t(t) + ( 2)v(t) q
( 0L M )2+ ( 2)2
= " t(t)
olarak elde edilir. E¼ger (t) = (t)olarak al¬n¬rsa (" t (t); (t))framed immersion olur.
D
"0 (t); (t) E
= 0
" t (t) fronttur.
4.2 Normaller Göstergesinin Front E¼grisi
Tan¬m 4.6 : I ! R3 bir uzay e¼grisi olsun. O halde bu e¼grinin Frenet formülleri
t0(s) = (s) n (s)
n0(s) = (s) t (s) + (s) b (s) b0(s) = (s) n (s) olarak tan¬mlan¬r.
Tan¬m 4.7 e¼grisinin te¼getini n , ( n = n) olarak gösterelim. n : I ! S2 , : I ! S2 olmak üzere ( n; ) ikilisi framed e¼gri olsun. E¼ger ( n; ) ikilisi framed immersiyon olacak ¸sekilde bir e¼grisi bulunabiliyorsa n ye f ront egrisi denir.
¸
Sekil 4.2 Normaller gostergesinin front egrisi
Tan¬m 4.8 ( n; )ikilisi framed immersiyon olsun. ne¼grisi front e¼gri oldu¼gundan,
h n; i = 0 D 0
n; E
= 0 olur.
n = al¬n¬rsa f n(t); (t); (t)g bir çat¬olu¸sturur. Bu çat¬ya göre Frenet for- müllerini yazmaya çal¬¸sal¬m.
0
n = a n+ b + c Olarak yazabiliriz.
D 0
n; nE
= a h n; ni = 1 türev al¬n¬rsa
D 0
n; nE +D
n; 0nE
= 0 D 0
n; nE
= 0 a = 0
elde edilir. Ayn¬i¸slem b ve c sabit say¬lar¬n¬bulmak için de yap¬l¬rsa ;
D 0
n; E
= b h n; i = 0 oldu¼gunu biliyoruz. Türev al¬n¬rsa
D 0
n; E +D
n; 0E
= 0 D 0
n; E
= D
n; 0E
elde edilir.
D 0
n; E
= b1 yazal¬m.
D 0
n; E
= c = 0 O halde;
0
n= b1 olarak bulunur. Ayn¬i¸slemleri ;
0 = a n+ b + c için yapal¬m.
D 0
; nE
= a D 0
n; E
= D
n; 0E e¸sitli¼ginden
D 0
; nE
= a = b1 olarak elde edilir.
D 0
; E
= b h ; i = 1 oldu¼gunu biliyoruz. Türev al¬n¬rsa;
D 0
; E +D
; 0E
= 0 D 0
; E
= 0 b = 0
bulunur.
D 0
; E
= c h ; i = 0
Türev al¬n¬rsa;
D 0
; E +D
; v0E
= 0 D 0
; E
= D
; v0E
elde edilir.
D 0
; E
= c1 diyelim. O halde
0 = b1 n+ c1
olarak yaz¬l¬r.
Ayn¬¸sekilde
0 = a n+ b + c
yazabiliriz.
D 0
; n
E
= a framed immersiyon tan¬m¬ndan
D 0
; nE
= a = 0 olur.
