SAYMA ve OLASILIK
. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
Sıralama ve Seçme
1. Kazanım : Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar.
2. Kazanım : Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini (permütasyonlarını) örneklerle açıklar.
3. Kazanım : n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilip sıralanabileceğini hesaplar.
4. Kazanım : n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplar.
5. Kazanım : Pascal özdeşliğini gösterir ve Pascal üçgenini oluşturur.
6. Kazanım : Binom teoremini açıklar ve açılımdaki katsayıları Pascal üçgeni ile ilişkilendirir.
Koşullu Olasılık
1. Kazanım : Koşullu olasılığı örneklerle açıklar.
2. Kazanım : Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle açıklar; gerçekleşme olasılıklarını hesaplar.
3. Kazanım : Bileşik olayların olasılıklarını hesaplar.
ÖRNEK 1
4 erkek ve 2 kadın arasından 1 erkek ve 1 kadın kaç değişik şekilde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 2
3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atı- labilir?
Çözüm Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma
Bir kümenin eleman sayısını, sayma sayıları kümesinin yani N+ = {1, 2, 3, ...} kümesinin elemanları ile bire bir eşleyerek bulmaya bire bir eşleme yoluyla sayma denir.
Örneğin; bir sınıftaki öğrenci sayısını veya bir kitaptaki yaprakların sayısını bu yolla bulabiliriz.
Toplama Yoluyla Sayma
A ve B ayrık ve sonlu iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu, s(A ∪ B) = s(A) + s(B) , ( A ∩ B = ∅ ) şeklinde toplama yaparak buluruz.
Örneğin; bir sınıfta 12 kız, 15 erkek öğrenci varsa, toplam kaç öğrenci olduğunu bulmak için öğrencilerin hepsini saymaya gerek yoktur. Kısaca, sınıfta 12 +15 = 27 öğrenci vardır diyebiliriz. Bu yolla yapılan sayma işlemine toplama yoluyla sayma denir.
Çarpma Yoluyla Sayma
İkişer ikişer ayrık ve her biri a elemanlı b tane kümenin birleşiminin eleman sayısı a.b dir. Birleşim kümesinin eleman sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir.
Örneğin; bir okulda 10 sınıf ve her sınıfta 30 öğrenci varsa, bu okulda 10.30 = 300 öğrenci vardır.
Saymanın Temel İlkesi
Bir olaylar dizisinde birinci olay n1 değişik biçimde, bunu izleyen ikinci olay n2 değişik biçimde ve bu şekilde işleme devam edildiğinde r. olay nr farklı biçimde oluşuyorsa, olayın tamamı n1.n2. ... nr çarpımı kadar değişik biçimde oluşur.
Örneğin, 3 farklı gömleği, 2 farklı kravatı olan bir kişi, bir gömlek ve bir kravatı 3.2 = 6 farklı biçimde giyebilir.
g1
k1 k2 g2
k1 k2 g3
k1 k2
Bu durumu ağaç diyagramı adı verilen yandaki yöntemle de bulabilirdik.
Gömlekler: g1, g2, g3 , Kravatlar: k1, k2, k3 olmak üzere biçiminde 6 farklı durum vardır.
Burada, G = {g1, g2, g3}, K = {k1, k2} olmak üzere, 1 gömlek ve 1 kravattan oluşan gömlek - kravat ikilisinin seçileceği kartezyen çarpım kümesi ise GxK={(g1,k1),(g1,k2),(g2,k1),(g2,k2),(g3,k1),(g3,k2)} dir.
G x K kümesi 3.2 = 6 tane ikiliden oluşmaktadır. Yani, 3 gömlek ve 2 kravatı olan bir kişinin, bir gömlek ve bir kravatı 6 farklı biçimde giyebileceğini bu yolla da bulabiliriz.
SAYMA KURALLARI
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 3
Bir kutuya en çok bir mektup atmak koşulu ile 3 mek- tup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 4
Birbirinden farklı 3 matematik, 4 fizik ve 2 kimya kitabı arasından 1 matematik, 1 fizik ve 1 kimya kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 5
5 kişilik bir komisyondan bir başkan, 1 başkan yar- dımcısı ve bir sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 6
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak;
a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
d. Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç tek sayı yazılabilir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 7
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak;
a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
d. Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
e. 5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 8
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 4000 den büyük, rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 9
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 300 den büyük 500 den küçük, rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 10
İ, S, T, A, N, B, U, L
harflerini bir kez kullanmak şartıyla 4 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır.
Bu kelimelerin kaç tanesinde A harfi vardır?
Çözüm
ÖRNEK 11
5 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı biçimde oluşabilir?
Çözüm
ÖRNEK 12
3 farklı oyuncak 6 çocuğa kaç değişik biçimde dağı- tılabilir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 13
3 farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla oyuncak vermemek koşulu ile kaç değişik biçimde dağıtılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 14
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile en az iki ra- kamı birbirinin aynı olan, üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 15
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm beş ba- samaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Buna göre, 50. sırada hangi sayı vardır?
Çözüm
ÖRNEK 16
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm dört basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Buna göre, 3214 sayısı kaçıncı sırada yer alır?
Çözüm
Sayma ve Olasılık ÖRNEK 17
A B C
Şekildeki çizgiler A, B ve C kentleri arasındaki yolları göstermektedir. Buna göre, A kentinden hareket edip C kentine gidecek olan bir kimse kaç değişik yol iz- leyebilir?
Çözüm
ÖRNEK 18
Bir toplantıda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Toplam 45 tokalaşma olduğuna göre, toplantıda kaç kişi vardır?
Çözüm
ÖRNEK 19
Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
a. !
! 8
10 b.
!
! ! 10
8 +9 c.
( )!
( )!
n n
1 1 –
+ d.
! !
! ! 5 4 5 6 – +
Çözüm
ÖRNEK 20
0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ………+19!
sayısının birler basamağındaki rakamı kaçtır?
Çözüm FAKTÖRİYEL (ÇARPANSAL)
n ∈ N+ olmak üzere, 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir. Buna göre, n! = 1.2.3. ... (n – 1).n olur.
1! = 1 , 2! = 1.2 = 2 , 3! = 1.2.3 = 6 , 4! = 1.2.3.4 = 24 , 5! = 1.2.3.4.5 = 120 , ... , n! = 1.2.3...n
® n! = (n – 1)!.n ® n! = (n – 2)!.(n – 1).n ® 0! = 1
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 21
20! sayısı 19! sayısından kaç fazladır?
Çözüm
ÖRNEK 22
85! sayısının sondan kaç basamağı 0 (sıfır) dır?
Çözüm
ÖRNEK 23
23! + 24! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözüm
ÖRNEK 24
78! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
Çözüm
ÖRNEK 25
A ve n doğal sayılar olmak üzere, 26! = 6n.A eşitli- ğini sağlayan n değeri en çok kaç olabilir?
Çözüm
ÖRNEK 26
x ve y birer doğal sayıdır.
x! = 6. y! ise y kaç farklı değer alabilir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
1. 2 mektup 4 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?
2. Bir kutuya en çok 1 mektup atmak koşuluyla 2 mektup 4 posta kutusuna kaç değişik biçimde atılabilir?
3. 20 kişilik bir sınıftan bir başkan, bir başkan yar- dımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
4. 10 kişilik bir arkadaş grubunda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Kaç tokalaşma olmuştur?
5. Beş soruluk bir test sınavında her soru için 5 seçenek vardır. Bu sınav için kaç farklı cevap anahtarı hesaplanabilir?
6. 2 kişi 6 farklı şehire kaç farklı şekilde gidebilir?
7. Herkesin birbirine bir fotoğraf verdiği bir topluluk- ta dağıtılan fotoğraf sayısı 56 olduğuna göre bu toplulukta kaç kişi vardır?
8. A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden C kentine 4 farklı yol vardır. B ye uğramak koşuluy- la A dan C ye
a. Kaç türlü gidilebilir?
b. Kaç türlü gidilip gelinebilir?
c. Giderken kullanılan yolu dönerken kullanma- mak koşuluyla kaç türlü gidilip gelinebilir?
9. Birbirinden farklı 4 Geometri, 5 Matematik ve x Türkçe kitabı arasından, 1 Geometri, 1 Matematik ve 1 Türkçe kitabı 60 farklı şekilde seçilebildiğine göre x kaçtır?
ALIŞTIRMALAR - 1
ESEN YAYINLARI
10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere A kümesinin elemanlarını kullanmak koşuluyla aşağıdakiler- den doğru olanlar için boş kutulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
Üç basamaklı 216 sayı yazılabilir.
Rakamları farklı üç basamaklı 120 sayı yazılabilir.
Rakamları farklı, üç basamaklı 60 çift sayı yazılabilir.
Rakamları farklı ve 400 den büyük 60 sayı yazılabilir.
En az iki rakamı aynı olan 96 sayı yazıla- bilir.
Üç rakamı aynı olan 6 sayı yazılabilir.
11. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını kullanarak
a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazı- labilir?
c. Rakamları farklı 5 ile bölünebilen üç basa- maklı kaç sayı yazılabilir?
d. Rakamları farklı üç basamaklı 300 den büyük kaç sayı yazılabilir?
e. Rakamları farklı 500 den küçük 200 den büyük kaç sayı yazılabilir?
12. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara
“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
G, İ, Z, E, M harflerini bir kez kullanarak 4 harfli, 120 tane sözcük yazılabilir?
A, Y, B, E, N, İ, Z harflerini bir kez kulla- narak 5 harfli 840 tane sözcük yazılabilir?
Ü, Ç, G, E, N harflerini bir kez kullanarak yazılabilecek 4 harfli sözcüklerin 98 tane- sinde E harfi vardır?
13. Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
a. !! 10
12 b.
!
! ! 8 6 +7
14. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara
“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
0! = 0 dır.
1! = 1 dir.
10! sayısı 8! sayısının 90 katıdır.
(n + 2)! = (n – 2)!.(n – 1)n(n + 1) dir.
6!.7! = 10! dir.
! ( )!
n n
2 =2 dir.
15. 10! sayısı 8! sayısından kaç fazladır?
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
PERMÜTASYON (SIRALAMA)
A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tanımlanan bire bir ve örten her fonksiyona, A nın bir permütas- yon fonksiyonu ya da kısaca permütasyonu denir.
A = { 1, 2, 3 } olsun.
1 2 3
1 2 3
A f A
Yukarıdaki şema ile tanımlanan bire bir ve örten f fonksiyonu bir permütasyon fonksiyonudur.
f fonksiyonunu,
f = { (1, 2) , (2, 1) , (3, 3) } veya f 1 2
2 1
3
= c 3m biçiminde gösterebiliriz.
ÖRNEK 27
A = { 1, 2, 3 } kümesinde tanımlanan tüm permütas- yon fonksiyonlarını gösteriniz.
Çözüm
Permütasyonların Sayısı
n, r ∈ N+ ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir küme- nin birbirinden farklı r tane elemanından oluşmuş sı- ralı r lilerin her birine n nin r li permütasyonu denir.
n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı, ( , )
( )!
P n r !
n r n
= – olur.
r = n ise n elemanlı bir kümenin permütasyonlarının sayısı, P(n, n) = n! olacaktır.
ÖRNEK 28
A = { a, b, c } kümesinin ikili permütasyonlarının sa- yısını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 29
Bir A kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısı 60 ise s(A) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 30
P(n, 1) = P(8, 2) ise n kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 31
A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonları- nın kaç tanesinde a bulunur?
Çözüm
ÖRNEK 32
5 kişi, 3 kişilik bir banka kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm
ÖRNEK 33
5 kişi, 5 kişilik banka kaç değişik şekilde oturabilir?
Çözüm
ÖRNEK 34
Birbirinden farklı 3 matematik, 2 fizik ve 1 kimya kitabı bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm
ÖRNEK 35
Birbirinden farklı 3 matematik ve 4 tarih kitabı bir rafa, matematikler bir arada olmak koşulu ile kaç türlü sıralanabilir?
Çözüm
ÖRNEK 36
5 farklı matematik, 4 farklı fizik ve 3 farklı kimya kitabı bir rafa aynı tür kitaplar bir arada bulunmak koşuluyla kaç değişik biçimde sıralanabilir?
Çözüm
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 37
Ayşe ve Fatma’nın da aralarında bulunduğu 6 kişi, Ayşe ile Fatma art arda gelmemek şartıyla bir kuy- rukta kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Çözüm
ÖRNEK 38
6 kız ve 3 erkek öğrenci, erkeklerden herhangi ikisi yan yana gelmemek şartı ile bir sırada kaç farklı şekilde dizilerek fotoğraf çektirebilirler?
Çözüm
ÖRNEK 39
4 erkek ve 3 bayan, bir erkek – bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
Çözüm
ÖRNEK 40
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde rakamlar küçükten büyüğe doğru sıralanır?
Çözüm
ÖRNEK 41
“DÜNYA” kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılabilecek 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kelime- lerin kaç tanesinde “Ü” harfi “A” harfinin sağındadır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
1. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin üçlü permütasyonları- nın herbirini yazınız.
2. A = {a, b, c, d, e} kümesinin dörtlü permütasyon- larının kaç tanesinde a bulunur?
3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku- tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
Üçlü permütasyonlarının sayısı 24 olan küme 4 elemanlıdır.
İkili permütasyonlarının sayısı 20 olan küme 5 elemanlıdır.
P(n, 0) = 120 ise n = 4 tür.
P(4, 2) + P(3, 2) = 18 dir.
4. Aşağıda sol sütunda verilen ifadelerin eşitini sağ sütundan bulup eşleştiriniz.
P(n, 0) P(n, 1) P(n, 2) P(n, n)
n2 – n n n!
1
5. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz.
a. ( , ) ( , ) P n P n
6 5
3
=2
b. P(n + 1, 2) = 2.P(n, 2)
c. P(n, 5) = 5.P(n – 1, 3)
d. P(n, 0) + P(n, 1) + P(n, 2) = 10
6. 4 kişilik bir banka 120 farklı şekilde oturabilen bir grupta kaç kişi vardır?
7. 5 erkek ve 5 bayan, bir erkek - bir bayan düzenin- de yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
ALIŞTIRMALAR - 2
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARIESEN YAYINLARI
8. Birbirinden farklı 4 Matematik, 3 Fizik ve 2 Türkçe kitabı bir kütüphanenin rafına,
a. Kaç farklı şekilde sıralanabilir?
b. Matematikler bir arada olmak üzere kaç türlü sıralanabilir?
c. Türkçelerin biri başta, diğeri sonda olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?
d. Belli iki Matematik kitabı bir arada olmak üzere kaç türlü sıralanabilir?
9. 5 erkek ve 4 bayan, bir erkek - bir bayan düzenin- de yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
10. Bir grup arkadaş, yan yana bulunan iki koltuğa 30 farklı şekilde oturabiliyorsa, yan yana bulunan 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler?
11. Aybars ile Ecem’in de aralarında bulunduğu 7 kişi, Aybars ile Ecem yan yana gelmemek koşu- luyla bir sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabi- lirler?
12. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin üçlü permütas- yonlarının kaç tanesinde en az bir tek rakam bulunur?
13. A = {a, b, c, ç, d, e} kümesinin dörtlü permü- tasyonlarının kaç tanesinde alfabetik sıralama vardır?
14. Üçü aynı boyda olan 5 kişi yan yana ve boy sırasına göre (kısadan uzuna doğru) kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
15. A = {2, 3, 5, 7, 11} kümesinin dörtlü permütas- yonlarının kaç tanesinde sayılar küçükten büyü- ğe doğru sıralanır?
ÖRNEK 42
A = {a, b, c} kümesinin 2 elemanlı kombinasyonları ile 2 elemanlı permütasyonlarını karşılaştırınız.
Çözüm
ÖRNEK 43
n . n
n 1 2
2 – =
c m c m olduğuna göre, n kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 44
n n
5 = 7
c m c m ise n kaçtır?
Çözüm:
ESEN YAYINLARI
r, n ∈ N ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir ve n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı
( , )
( )!. ! C n r n !
r n r r n
=c m= – biçiminde ifade edilir.
® n r
n n r–
c m=c m ® n n
n 0 1
= =
c m c m ® n n
n n
1 1
– = =
c m c m ® n
r
n r
n r 1
1
– + = +
c m c m d n
® P(n, r) = C(n, r).r! ® n n n n n 0 + 1 + 2 +…+ =2n
c m c m c m c m ® n x
n
= y
c m d n ⇒ x = y veya x + y = n dir.
® Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. n elemanın r li seçimleri söz konusudur.
Permütasyonda ise sıralı diziliş vardır.
KOMBİNASYON (SEÇME)
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 45
n 6 2
6
= 1
d n d + n ise n nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 46
6 2
6 3
7 4
8 5
9 + + + + 6
d n d n d n d n d n toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 47
n n n
r
5 6
1 7 + + + 19
c m c m d n=d n ise n + r kaç olabilir?
Çözüm
ÖRNEK 48
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
Çözüm
ÖRNEK 49
9 elemanlı bir kümenin en çok 7 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 50
7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 51
8 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı, kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözüm
ÖRNEK 52
7 soruluk bir sınavda öğrencilerden 5 soruyu cevap- lamaları istenmiştir.
Bu sınava giren bir öğrenci bu seçimi kaç farklı şekil- de yapabilir?
Çözüm
ÖRNEK 53
Bir öğrencinin seçmesi gereken 7 seçmeli dersin 3 ü aynı gün ve aynı saatte okutulmaktadır. 4 ders seçmek isteyen bu öğrencinin kaç değişik seçeneği vardır?
Çözüm
ÖRNEK 54
Bir öğrenciden 8 soruluk bir sınavda 5 soruyu cevap- laması isteniyor. İlk 3 sorudan en az ikisinin cevap- lanması zorunluluğu olduğuna göre, bu öğrenci bu soruları kaç farklı biçimde cevaplayabilir?
Çözüm
ÖRNEK 55
A = {3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor.
Bu kümelerden seçilen 2 tek ve 3 çift rakam ile 5 ba- samaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 56
5 erkek, 4 kız arasından 3 kişilik bir grup oluşturula- caktır. Grupta en az 2 erkek olması koşulu varsa, bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözüm
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 57
15 kişilik bir sporcu grubundan takıma girecek 3 kişi bellidir. Buna göre, bu gruptan 11 kişilik futbol takımı kaç değişik biçimde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 58
6 sı doktor, 6 sı hemşire olan bir gruptan 4 kişilik bir sağlık ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir doktor bulunması istenirse, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 59
Bir otelde 3 yataklı bir oda ve 2 yataklı üç oda boştur.
9 kişi bu odalara kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 60
4 ü subay, 6 sı er olan bir gruptan 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Ekipte en çok 2 er bulunması istenir- se, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 61
10 kız öğrenci ve 8 erkek öğrenci arasından 2 kız öğ- renci ve 2 erkek öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 62
10 kişiden 6 sı Urfa’ya ve 4 kişi Çorum’a gidecektir.
Bu iki grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir?
Çözüm
ÖRNEK 63
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 64
a, b, c, d birer rakam olmak üzere, a < b < c < d koşulunu sağlayan kaç farklı abcd dört basamaklı sayısı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 65
Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir ailenin elinde 3 kişilik bir davetiye vardır. Anne veya babadan en az birisinin davete katılması gerektiğine göre, bu davete 3 kişi kaç farklı şekilde katılabilirler?
Çözüm
ÖRNEK 66
5 farklı oyuncağın 3 ü Özge’ye, 2 si Özlem’e kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 67
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın ikisinden geçen en fazla kaç doğru çizilebilir?
Çözüm
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 68
Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 farklı noktadan, köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 69
Aynı düzlemde bulunan 10 farklı doğru en fazla kaç noktada kesişebilir?
Çözüm
ÖRNEK 70
A, B, C, D, E, F, G, H noktaları aynı düzlemde olup herhangi üçü doğrusal değildir.
Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A noktasıdır?
Çözüm
ÖRNEK 71
d1
d2
D E F G
A B C
Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olmak üzere, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 72
d1
d2 D
B C
A E
G F
Yukarıdaki şekilde A noktasında kesişen iki doğru üzerindeki bazı noktalar verilmiştir. Köşeleri bu 7 nok- tadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir?
ESEN YAYINLARI Çözüm
ÖRNEK 73
Düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi doğrusaldır.
Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 74
Birbirine paralel olan 4 doğru ile birbirine paralel olan 5 doğru kesiştirilirse oluşan şekilde kaç tane paralel- kenar vardır?
Çözüm
ÖRNEK 75
6 farklı çemberin kesişmesi ile en çok kaç tane kesi- şim noktası oluşur?
Çözüm
ÖRNEK 76
A B d
C D
E F G
Yukarıdaki şekilde verilen A, B, C, D, E, F, G nok- talarının herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir?
Çözüm
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 77
Bir çember üzerindeki 8 noktayı birleştirerek köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 78
B C
A
D G
E
F H
Köşeleri şekildeki noktalar olan kaç farklı üçgen çi- zilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 79
B C
A
G H
E F
D
Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
Çözüm
ÖRNEK 80
5 farklı dikdörtgenin herhangi iki kenarının veya ke- narlarının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur?
ESEN YAYINLARI Çözüm
ÖRNEK 81
4 farklı üçgenin herhangi iki kenarının veya kenarla- rının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur?
Çözüm
ÖRNEK 82
B E K C
A L
N F M
D
Şekilde kaç tane dörtgen vardır?
Çözüm
ÖRNEK 83
C
Yandaki şekilde, bir hareketli
A noktasından sağ veya B
yukarı yönde ilerleyerek B noktasından geçmemek koşulu ile çizgiler üzerinden A C noktasına kaç farklı şekilde gider?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku- tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
C(n, 0) = 1
C(n, n) = n
C(n, 1) = n
C(n, n–1) = 1
C(n, r) + C(n, r+1) = C(n+1, r+1)
P(n, r) = r!.C(n, r)
2. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz.
a. C(2n, 1) = 2.C(n, 2)
b. P(n, 2) = 2.C(n, 3)
c. P(n, 2) + C(n, 2) = 30
3. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz.
a. n n
2 = 5 c m c m
b. n n
n 2 1
1
2 1 4 –
+ = +
d n d n
4. Aşağıdaki ifadelerin her birinin eşitini bulunuz.
a. 8 2
8 3
8 4
8 5
8 6
8
+ + + + + 7
d n d n d n d n d n d n
b. 9 1
9 2
9
…… 9
+ + +
d n d n d n
c. 4 1
4 2
5 3
6 4
7 + + + + 5 d n d n d n d n d n
5. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin
a. 3 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
b. En az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
c. En çok 3 elemanlı kaç tane alt kümesi var- dır?
6. Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın;
a. İkisinden geçen kaç tane doğru çizilebilir?
b. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?
c. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane çokgen çizilebilir?
ESEN YAYINLARI
ALIŞTIRMALAR - 3
ESEN YAYINLARIESEN YAYINLARI
7. 10 kişilik bir sporcu grubundan 5 kişilik bir basket- bol takımı oluşturulacaktır. Takıma girecek olan 2 kişi biliniyorsa kaç farklı takım oluşturulabilir?
8. 6 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan a. 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
b. 3 kız, 1 erkekten oluşan 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
c. En az 3 ü kız olan 4 kişilik kaç ekip oluşturu- labilir?
d. En çok 3 ü erkek olan 4 kişilik kaç ekip oluş- turulabilir?
9. A B
C
D E
K
F
Bir çember üzerindeki 7 farklı noktadan çizilebile- cek üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A dır?
10. Bir sınavda sorulan 10 sorunun ilk dördünden en az üçünü cevaplandırmak koşuluyla 7 soru kaç değişik biçimde seçilebilir?
11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde,
a. 3 bulunur?
b. 2 bulunmaz?
c. 2 ve 3 bulunur?
d. 2 veya 3 bulunmaz?
12. 5 elemanlı alt kümeleri sayısı 4 elemanlı alt kü- melerinin sayısına eşit olan kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
13. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile, a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basa- maklı sayısı yazılabilir?
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARIESEN YAYINLARI
14. Aynı düzlemde bulunan 8 doğru en fazla kaç noktada kesişebilirler?
15. A
B C D E
K
L
M F
Şekildeki 5 nokta doğrusal, diğer 4 nokta bir çem- ber üzerindedir. Köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç üçgen çizilebilir?
16.
A
B C E D
L M K
Yukarıdaki şekilde B noktasında kesişen iki doğru üzerinde 8 nokta verilmiştir.
Bu noktaların,
a. En az ikisinden geçen kaç doğru çizilebilir?
b. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç üçgen çizilebilir?
c. Bir köşesi C olan ve diğer köşeleri öteki nok- talardan seçilen kaç üçgen çizilebilir?
17. 4 farklı çemberin kesişmesiyle en çok kaç tane kesim noktası oluşur?
18.
B C
A
K
D E F
Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
19. 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Yukarıda bir kenar uzunluğu 4 br olan kare çizil- miştir.
a. Şekilde kaç tane dikdörtgen vardır?
b. Kaç tane kare vardır?
c. Karelerden kaç tanesinin kenar uzunluğu 1 den büyüktür?
ÖRNEK 84
Aşağıdaki açılımları inceleyiniz.
1. (x + y)1 = 1 x y x y 0
1
1+ 1 1= +
d n d n
2. (x + y)2 = 2 x xy y 0
2 1
2
2+ + 2 2
d n d n d n = x2 + 2xy + y2
3. (x + y)3 = 3 x x y xy y
0 3 1
3 2
3
3+ 2 + 2+ 3 3
d n d n d n d n = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
4 4 x4 4 x y3 4 x y2 2 4 xy3 4 y4
+ + + +
d n d n d n d n d n 4 3 2 2 3 4
n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y)n ifadesinin açılımına binom açılımı denir.
(x + y)n = n
x n
x y n
x y n
n y 0 n+ 1 n–1 + 2 n–2 2+…+ n
c m c m c m c m açılımı;
® x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır.
® y nin yerine –y yazılırsa (x – y)n ifadesinin açılımı elde edilir.
® Her terimdeki dereceler toplamı n dir.
® n + 1 tane terim vardır.
® Kat sayılar toplamı x = y = 1 alınarak bulunur.
® Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir.
® (x + y)2n açılımında, ortadaki terim n . n x y 2 n n d n dir.
® n .
r xn r– yr
c m terimine genel terim denir. Genel terim; baştan (r +1). terim, sondan (n – r + 1). terimdir.
Pascal Üçgeni
10 5
1 10 5 1
6 4
1 4 1
3
1 3 1
1 2 1
1 1
1 (x + y)0 →
(x + y)1 → (x + y)2 → (x + y)3 → (x + y)4 → (x + y)5 →
(x + y)0 ⎯→ 0
d n0
(x + y)1 ⎯→ 1
0 1 d n d1n (x + y)2 ⎯→ 2
0 2 1
2
d n d n d2n
(x + y)3 ⎯→ 3 0
3 1
3 2
3
d n d n d n d3n (x + y)4 ⎯→ 4
0 4 1
4 2
4 3
4
d n d n d n d n d4n
... ...
... ...
® Kombinasyon konusu işlenirken verilen, n r
n r
n r 1
1
– + = +
c m c m d n bağıntısını, Pascal üçgenini kombinasyon biçiminde yukarıdaki gibi yazdığımızda rahatlıkla görebiliriz.
Örneğin, 1 , gibi
0 1 1
2 1
2 1
2 2
3
+ = + = 2
d n d n d n d n d n d n
BİNOM AÇILIMI
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 85
(2x – 5y)3 ifadesinin açılımını yapınız.
Çözüm
ÖRNEK 86
a b
2 3
+ 2
c m ifadesinin açılımını yapınız.
Çözüm
ÖRNEK 87
(2a + 3)4 ifadesinin açılımını yapınız.
Çözüm
ÖRNEK 88
(2a – b2 + c)5 açılımında kat sayılar toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 89
(3x – 4y)n açılımında 8 tane terim bulunduğuna göre, bu terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 90
(x3 – 5x + 2)6 açılımında sabit terim kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 91
(x + 2y)6 açılımında ortadaki terim nedir?
Çözüm
ÖRNEK 92
(2x + y)10 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sırala- nırsa baştan 4. terim ne olur?
Çözüm
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 93
(x – 2y)n = xn + ... + Ax6y4+...
biçiminde x in azalan kuvvetlerine göre açılım yapıldı- ğına göre A kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 94
(x2 – y)12 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sırala- nırsa sondan 4. terim ne olur?
Çözüm
ÖRNEK 95
x2+x1 6
c m ifadesinin açılımındaki x6 lı terimin kat sa- yısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 96
a a
– 1
3 2
c m5 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
Çözüm
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 97
x x
3 1 8
c + m ifadesinin açılımındaki x li terimin kat sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 98
5 5
3 +5 11
^ h açılımında rasyonel terim kaça eşittir?
Çözüm
ÖRNEK 99
(x + y + z)n açılımındaki terimlerden birisi A.x2.y3.z5 olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
(ax + by + cz)n ifadesinin açılımında xp.yq.zt li terimin kat sayısı ap.bq.ct. !. !. !!
p q tn dir.
ÖRNEK 100
(x – 3y + 2z)6 ifadesinin açılımındaki terimlerden biri A.x3.y2.z olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 101
(x2 + 2y3 – z4)10 açılımı yapıldığında, içinde x6 çar- panı olup başka x çarpanı olmayan kaç terim vardır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku- tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
(a + b)n açılımında;
Baştan r. terim n r an r r– b c m dir.
Sondan (r + 1). terim n r a br n r– c m dir.
Kat sayılar toplamı 2n dir.
n çift olmak üzere ortadaki terim için r n
=2 dir.
Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimle- rin kat sayıları eşittir.
2. (2x – y)6
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa baştan 3. terim ne olur?
3. Aşağıdaki açılımların her birinde sabit terimleri bulunuz.
a. (x – 1)3
b. (3x – 2)4
c. (x2 – x + 2)5
4. Aşağıdaki açılımların her birinde kat sayılar top- lamını bulunuz.
a. (2x – 1)20
b. (3x + 1)4
c. (2x – 3y)7
d. (2x – 3y + z)40
e. (x – 2y + 3z)7
5. (2x2 – y)8
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa sondan 4. terim ne olur?
ESEN YAYINLARI
ALIŞTIRMALAR - 4
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARIESEN YAYINLARI
6. x
3 –x12 6
c m
açılımında ortadaki terim nedir?
7. (x – 3y)n = xn + ... + Ax4y2 + ...
eşitliğine göre A kaçtır?
8. x
x –1
3 7
c m
ifadesinin açılımında x5 li terimin kat sayısı kaçtır?
9.
x1 –2 x6
c m
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
10. (x2 – 3y2)n
açılımında terimlerden biri Ax4y8 ise A kaçtır?
11. x
x – 2
2 3
c m5
açılımında sabit terim baştan kaçıncı terimdir?
12. (x – y + 3z)6
açılımında terimlerden biri Ax2yz3 ise A kaçtır?
13. (v2 – 1)6
açılımında elde edilen terimlerden rasyonel olan- ları bulunuz.
ESEN YAYINLARI
KOŞULLU OLASILIK
E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının ger- çekleşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) biçiminde gösterilir.
P(A \ B) = ( )
( )
P B P A B+
dir.
® E eş olumlu örnek uzay ise, P(A \ B) =
( )
( )
s B s A B+
dir.
® A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B küme- si örnek uzay olarak düşünülüp hesap yapılabilir.
ÖRNEK 102
E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P(A) = 31 P(B) =
2
1 ve P(A ∪ B) = 43 ise P(A \ B) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 103
Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması de- neyinde yazı geldiği bilindiğine göre, ikisinin de yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 104
İki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olması olayı, B = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} dır.
Üst yüze gelen sayıların ikisinin de çift sayı olması olayı,
A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}
olur. O halde,
A ∩ B = {(6,2), (4,4), (2,6)} olup istenen olasılık,
ÖRNEK 105
Bir zar atıldığında üst yüze tek sayı geldiği bilindiğine göre, asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 106
Üç madeni para birlikte atıldığında üst yüze gelenlerin en az ikisinin yazı olduğu bilindiğine göre, üçünün de yazı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 107
Aşağıda bir sınıftaki futbol veya voleybol oynayanlar ile ikisini de oynamayanların sayısı verilmiştir.
6 4 3
5
F V
Bu sınıftan rastgele seçilen bir kişinin voleybol oyna- dığı bilindiğine göre, bu kişinin futbol da oynayan biri olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 108
E = { 1, 2, 3, 4, ..., 99 } kümesinin elemanları ayrı ayrı kartlara yazılıp bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kart çekildiğinde üzerinde yazılı olan sayı- nın 5 ile bölünebildiği biliniyor. Buna göre, bu sayının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 109
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinden rastgele iki sayı seçiliyor. Seçilen iki sayının çarpımlarının çift sayı olduğu bilindiğine göre, toplamlarının tek sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 110
Bir sınıftaki öğrencilerin % 75 i matematik dersinden,
% 60 ı Türkçe dersinden, % 50 si ise her iki dersten geçmiştir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Türkçe dersinden geçtiği bilindiğine göre, matematik dersinden kalma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 111
Bir torbada özdeş 3 sarı, 4 mavi, 5 kırmızı bilye vardır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin sarı olmadığı bilindiğine göre, mavi olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 112
I. torbada 2 sarı 3 kırmızı top, II. torbada 3 sarı 4 kırmızı top vardır. Torbaların birinden rastgele bir top çekildiğinde topun kırmızı renkte olduğu bilindiğine göre, I. torbadan çekilmiş olma olasılığı nedir?
Çözüm
BAĞIMSIZ OLAYLAR
İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme- mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar denir.
A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A ∩ B) demektir.
A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A ∪ B) demektir.
ÖRNEK 113
A ve B bağımsız olaylardır.
P(A) =
32 ve P(B) = 6 1 ise
P(A ∩ B) ve P(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
® A ve B bağımsız olaylar olduğundan,
ÖRNEK 114
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 115
Bir madeni para ile bir çift zar aynı anda atılıyor.
Paranın tura ve zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımının tek sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 116
Bir madeni para ile bir çift zar aynı anda atılıyor.
Paranın yazı veya zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 6 dan küçük olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 117
İki atıcının bir hedefi vurma olasılıkları 2 3 ve
6 5 dır.
Bu atıcıların birer atış yapmaları sonucu hedefin en az bir kez vurulmuş olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 118
Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilye- nin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 119
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 120
Bir topluluktaki 12 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin 6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
ÖRNEK 121
Bir sınava giren Ali’nin sınavı geçme olasılığı 53 ve Barış’ın aynı sınavı geçme olasılığı
3
1 tür. Buna göre,
a. Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır?
b. Sadece Ali’nin sınavı geçme olasılığı kaçtır?
c. En az birisinin sınavı geçme olasılığı kaçtır?
d. İkisinin de sınavı geçememe olasılığı kaçtır?
Çözüm
Sayma ve Olasılık
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 122
5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 123
A torbasında 3 kırmızı, 4 mavi bilye, B torbasında 2 kırmızı, 5 mavi bilye vardır. Torbaların her birinden aynı anda rastgele birer bilye çekiliyor. Çekilen bilye- lerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 124
Bir oylama sırasında, birinci sandıkta 4 siyah 5 beyaz ve ikinci sandıkta, 5 siyah 3 beyaz oy pusulası vardır.
Birinci sandıktan bir oy pusulası alınarak rengine bakılmadan ikinci sandığa atıldıktan sonra ikinci san- dıktan alınan bir oy pusulasının beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 125
İki torbadan her birinde 4 beyaz, 3 siyah bilye vardır.
Birinciden bir bilye alınıp ikinciye ve sonra da ikinci- den bir bilye alınıp birinci torbaya atılıyor. Renk bakı- mından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
SONSUZ ÖRNEK UZAYI
E örnek uzayı sonsuz çoklukta örnek noktalardan (uzunluk, alan, hacim, ağırlık, açı ölçüsü, ...) oluşuyor- sa bu örnek uzaya sonsuz örnek uzay denir. A olayı da E örnek uzayında bir olay ise bu A olayının olasılığı,
A nın ölçüsü P(A) = –––––––––––– olur.
E nin ölçüsü
ÖRNEK 126
Yarıçapı r cm olan bir dairenin içinden seçilen bir nok- tanın, dairenin merkezine olan uzaklığının, dairenin çevresine olan uzaklığından daha kısa olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 127
Boyutları 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kağıt üzerinde rastgele işaretlenen bir noktanın, kağıdın ağırlık merkezine en çok 10 cm uzaklıkta olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 128
E = { x : |x| ≤ 3, x ∈ R }
örnek uzayında seçilen bir noktanın [0, 2] aralığına ait olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 129
C D
B A
N M
K L
3 5
4
2
Şekildeki ABCD dikdörtgeni, K, L, M, N dikdörtgen- sel bölgelerinin birleşiminden oluşmaktadır ve kenar uzunlukları şekildeki gibidir.
Buna göre, ABCD dikdörtgeni içinde bir nokta rast- gele işaretlendiğinde bu noktanın M bölgesinde olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
1. A ve B bağımsız iki olaydır.
P(A) =
3
2 ve P(B) = 2
1 olduğuna göre,
P(A ∪ B) kaçtır?
2. A ve B aynı örnek uzaya ait iki farklı olay olmak üzere, P(A \ B) =
4
1 ve P(A′ ∪ B′) = 6
5 ise P(B) kaçtır?
3. Bir çift zar atıldığında her iki zarın üst yüzüne gelen sayıların çift sayı olduğu bilindiğine göre, toplamlarının 8 olma olasılığı kaçtır?
4. Üç madeni para birlikte atılıyor. Paralardan en az iki tanesinin yazı geldiği bilindiğine göre, hepsinin yazı gelme olasılığı kaçtır?
5. Aralarında Aybars ve Canberk’in de bulunduğu 8 kişiden rastgele 3 kişi seçiliyor. Seçilen kişilerden birinin Aybars olduğu bilindiğine göre, diğerinin Canberk olma olasılığı kaçtır?
6. Gizem ve Ecem’in bir sınavda başarılı olma ola- sılıkları sırasıyla
3 2 ve
6
5 dır. Buna göre, Gizem ve Ecem’den en az birinin bu sınavda başarılı olma olasılığı kaçtır?
7. Bir zar ve bir madeni para aynı anda atılıyor.
Buna göre, zarın üst yüzüne asal sayı ve paranın tura gelme olasılığı kaçtır?
8. Bir torbada 4 kırmızı ve 3 beyaz bilye vardır.
Geri atılmamak şartıyla art arda torbadan çekilen iki bilyeden birincisinin kırmızı, ikincisinin beyaz renkte olma olasılığı kaçtır?
9. 4 kız ve 3 erkeğin bulunduğu bir gruptan rastgele iki kişi seçiliyor. Seçilenlerden birinin erkek oldu- ğu bilindiğine göre, diğerinin kız olma olasılığı kaçtır?
10. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı kız öğrencidir.
Kız öğrencilerin % 80 i, erkek öğrencilerin % 90 ı matematik dersinden geçmiştir. Bu sınıftan rast- gele seçilen bir öğrencinin matematik dersinden geçtiği bilindiğine göre, kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?
ALIŞTIRMALAR - 5
ESEN YAYINLARI
11. Bir madeni para iki kez atılıyor. Birinci atışta tura geldiği biliniyorsa, ikinci atışta yazı gelme olasılı- ğı kaç olur?
12. Bir çift zar atıldığında zarların üstündeki sayıların toplamının 10 olduğu biliniyorsa ikisinin de tek sayı olma olasılığı kaç olur?
13. İki torbadan birincisinde 3 kırmızı, 5 beyaz; ikinci- sinde 4 kırmızı, 3 beyaz bilye vardır. Torbalardan biri rastgele alınıp içinden bir bilye alınırsa bu bilyenin kırmızı olma olasılığı kaç olur?
14. İki torbadan birincisinde 4 beyaz, 5 yeşil; ikinci- sinde 3 beyaz, 4 yeşil bilye vardır. Birinci torba- dan bir bilye rastgele alınıp, ikinci torbaya konu- yor ve ikinci torbadan rastgele bir bilye alınıyor.
Bu bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?
15. İki torbadan birincisinde 6 kırmızı, 4 mavi; ikinci- sinde 5 kırmızı, 3 mavi bilye vardır. Torbalardan biri rastgele alınıp, içinden bir bilye çekiliyor. Bu bilyenin kırmızı olduğu biliniyorsa, birinci torba- dan çekilmiş olma olasılığı kaç olur?
16. s(A) = 3 ve s(B) = 4 olmak üzere, A dan B ye tanımlı bağıntılardan biri rastgele seçilirse bunun A dan B ye bir fonksiyon olma olasılığı kaç olur?
17. Şekildeki O merkezli
5 puan 3 puan 1 puan
C B
A O
hedef tahtasında
|CB| = |BA| = |AO|
olmak üzere, alınabilecek puanlar verilenler gibidir.
Tek atış yapan birisinin tahtayı vurduğu bilindiği- ne göre, 3 puan alma olasılığı kaçtır?
18. Yandaki şekilde A, B, C, D
50°
120°
80°
B A D
fabrikalarının ürettiği malların C
dairesel grafiği verilmiştir.
Bu fabrikaların ürettiği mal- lardan seçilen bir malın C veya D fabrikasında üretilmiş olma olasılığı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Yazılıya Hazırlık Soruları – 1
1. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanıla- rak yazılabilecek rakamları farklı, üç basamaklı 200 den büyük kaç çift sayı vardır?
2.
Köşeleri şekildeki üçgenin üzerinde bulunan 12 nokta olan kaç üçgen çizilebilir?
3.
Şekildeki dikdörtgen 20 eş kareden oluşmuştur.
Şekildeki tüm karelerin sayısı kaçtır?
4. Aybars ve Canberk’in de aralarında bulundu- ğu 5 kişi yan yana sıralanacaktır. Aybars ile Canberk’in yan yana olması koşulu ile kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
5. 12345 sayısının rakamları yer değiştirilerek yazı- labilecek beş basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanırsa baştan 50. sayının onlar basa- mağında hangi rakam bulunur?
6. Bir torbada 3 kırmızı, 4 beyaz top vardır. Torbadan çekilen top geri atılmamak üzere, art arda çekilen 2 topun aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
7. 24 futbolcu ve 16 basketbolcunun bulunduğu bir sporcu grubunda futbolcuların 6 sı, basketbol- cuların 4 ü yeşil gözlüdür. Bu gruptan rastgele seçilen birinin futbolcu veya yeşil gözlü olma olasılığı kaçtır?
8. Ali ve Barış bir madeni para ile oyun oynuyorlar.
Tura atan oyunu kazanacaktır. Parayı ilk kez Ali atacağına göre, oyunu Barış’ın kazanma olasılığı kaçtır?
9. (x2 – 3y2)n açılımında terimlerden biri Ax4y4 ise A kaçtır?
10. x x – 22 6
c m ifadesinin açılımında sabit terimi bulu- nuz.
ESEN YAYINLARI
1. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını kulla- narak yazılabilecek iki basamaklı çift sayıların toplamı kaçtır?
2. 4 evli çift düz bir sırada yan yana oturacaklardır.
Eşlerin yan yana olması koşulu ile kaç farklı şe- kilde oturabilirler?
3. Çakışık olmayan 5 farklı çember en çok kaç noktada kesişir?
4. 12 farklı doğrudan 3 tanesi bir A noktasından, 4 tanesi bir B noktasından geçmektedir.
Bu doğruların en fazla kaç kesim noktası vardır?
5. 8 televizyon programından 3 tanesi aynı gün ve saatte yayınlanmaktadır. Bu programlardan iki tanesini izlemek isteyen biri kaç değişik seçim yapabilir?
6. {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile oluşturula- bilecek rakamları farklı beş basamaklı sayılardan kaç tanesinde 1 rakamı 5 ten sonra gelir?
Yazılıya Hazırlık Soruları – 2
ESEN YAYINLARI
7. İki madeni para ile iki zar birlikte atılıyor. Para- lardan en az birinin tura ve zarların üst yüzüne gelen sayılarının toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, paraların farklı ve zarların ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır?
8. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlarından ikisi rastgele seçiliyor. Seçilen bu iki sayının çar- pımının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
9. (ax4 – ax3 + 4x – 2)(2x5 – 3x2 – 1) açılımında, x4 lü terimin kat sayısı 3 ise x5 li terimin kat sayısı kaçtır?
10. x x –3
2 7
c m açılımında x8 li terimin kat sayısını bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Faktöriyel ve Permütasyon
1. 0! + 2! + 4! + ... + 400! sayısının birler basama- ğındaki rakam kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8
2. 13! + 14! toplamının sonunda kaç tane sıfır var- dır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3. 4! + 6! + 8! + ... + 120! sayısının onlar basama- ğındaki rakam kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
4. 40! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
5. 3! + 4! + 5! + ... + 140! sayısının 30 ile bölü- münden kalan kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 3 D) 12 E) 17
6. x ve y doğal sayılar olmak üzere 24! = 4x.y eşitliğini sağlayan x en çok kaçtır?
A) 22 B) 20 C) 18 D) 14 E) 11
7. x ve y doğal sayılar olmak üzere y !
24 40
= x eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 80 B) 79 C) 78 D) 77 E) 76
8. x ve y doğal sayılar olmak üzere 32! = 12x.y eşitliğini sağlayan en büyük x değeri kaçtır?
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
TEST - 1
ESEN YAYINLARI
9. 5 soruluk bir test sınavında her soru için 5 se- çenek vardır. Ardışık iki sorunun doğru yanıtları aynı seçenek olmayacak şekilde kaç farklı cevap anahtarı hazırlanabilir?
A) 1280 B) 1240 C) 1220 D) 1140 E) 1020
10. 7 rakamlı telefon numarasının ilk 5 rakamı bilin- mektedir. Kaç değişik deneme ile bu telefon nu- marası kesin olarak tespit edilebilir?
A) 80 B) 90 C) 96 D) 98 E) 100
11. 3 öğrenci 5 farklı dersten birer tane seçecektir.
Her birinin seçtiği ders farklı olmak koşuluyla kaç seçim yapılabilir?
A) 24 B) 32 C) 48 D) 60 E) 72
12. 18 takımın bulunduğu süper ligde her takım birbi- riyle 2 maç yapacaktır. Toplam kaç maç oynanır?
A) 304 B) 305 C) 306 D) 308 E) 309
13. A = {0, 1, 3, 4} kümesinin elemanlarını kullana- rak rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı ya- zılabilir?
A) 8 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30
14. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamlar kullanı- larak, rakamları farklı, 4 basamaklı kaç tane çift sayı yazılabilir?
A) 96 B) 120 C) 156 D) 180 E) 196
15. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kul- lanarak 400 den küçük rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50
16. A = {2, 4, 5, 7, 9} kümesinin elemanları ile ra- kamları farklı 4 ile bölünebilen 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
A) 30 B) 24 C) 18 D) 12 E) 9
ESEN YAYINLARI
Permütasyon
1. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını kul- lanarak rakamları farklı üç basamaklı 400 den küçük kaç sayı yazılabilir?
A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 180
2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin farklı elemanlarını kullanarak 400 den büyük 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
A) 48 B) 60 C) 72 D) 96 E) 120
3. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin farklı elemanlarını kullanarak 3 basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
A) 6 B) 9 C) 15 D) 18 E) 24
4. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarını kulla- narak rakamları farklı 2300 den küçük kaç doğal sayı yazılabilir?
A) 106 B) 105 C) 104 D) 103 E) 102
5. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kul- lanarak rakamları farklı dört basamaklı 25 ile bö- lünebilen kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21
6. A = {0, 3, 5, 6, 8} kümesinin elemanları ile 6000 den büyük, rakamları farklı ve 5 ile tam bölünebi- len kaç sayı yazılabilir?
A) 48 B) 54 C) 66 D) 72 E) 76
7. P(n, 2) = 56 ise n nedir?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
8. P(n, 4) = 2P(n, 2) olduğuna göre n kaçtır?
A) 1 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12
