KÜMELER
. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
Kümelerde Temel Kavramlar
1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir.
2. Kazanım : Evrensel küme, boş küme, sonlu küme, sonsuz küme kavramlarını örneklerle açık- lar.
3. Kazanım : Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar.
4. Kazanım : İki kümenin eşitliğini açıklar.
Kümelerde İşlemler
1. Kazanım : Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar. Bu işlemler arasın- daki ilişkileri ifade eder.
2. Kazanım : İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar.
3. Kazanım : Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer.
KÜMELERDE İŞLEMLER
Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve genellikle E ile gösterilir.
Kümelerin Birleşimi
E
A B
A ∪ B = { x : x ∈ A veya x ∈ B }
Kümelerin Kesişimi
E
A B
A ∩ B = { x : x ∈ A ve x ∈ B }
Kümelerin Farkı
E
A B
A – B = { x : x ∈ A ve x ∉ B }
Bir Kümenin Tümleyeni
E
A
A›
Aı = { x : x ∈ E ve x ∉ A } KÜMELER
Küme kavramının tanımı yoktur. Ancak küme de- nilince, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğu akla gelmelidir.
Kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanı (öğesi) denir. Kümede, bir eleman bir defa yazılır. Kümenin elemanlarının küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.
Kümeler; ortak özellik yöntemi, liste yöntemi ve venn şeması ile gösterilirler.
Boş Küme: Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } veya Ø şeklinde gösterilir.
Alt Küme: A ve B gibi iki kümeden, B kümes- inin her elemanı A kümesinin de elemanı ise, B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve B ⊂ A şeklinde gösterilir.
Öz Alt Küme: Bir kümenin kendisinden farklı olan her alt kümesine öz alt kümesi denir.
Kuvvet Kümesi: Bir kümenin alt kümelerinin hepsini kendisine eleman yapan kümeye kuvvet kümesi denir.
n elemanlı bir kümenin;
x Alt küme sayısı = 2n dir.
x Öz alt küme sayısı = 2n – 1 dir.
x r elemanlı alt kümelerinin sayısı = n c m dir. r
x n n n ... n n 0 + 1 + 2 + + =2n c m c m c m c m dir.
KÜME PROBLEMLERİ
S
F B
a b c
d
Futbol oynayanların kümesi : F Basketbol oynayanların kümesi: B
a, b, c, d içinde bulundukları kümelerin eleman sayılarını göstersin.
Futbol oynayanların sayısı = a + b Basketbol oynayanların sayısı = b + c Sadece futbol oynayanların sayısı = a Sadece basketbol oynayanların sayısı = c Futbol ve basketbol oynayanların sayısı = b Futbol veya basketbol oynayanların sayısı = a + b + c Hiçbir oyun oynamayanların sayısı = d
En az bir oyun oynayanların sayısı = a + b + c En çok bir oyun oynayanların sayısı = a + c + d
SIRALI İKİLİ
® a ve b elemanlarının (a, b) biçiminde ya- zılmasıyla elde edilen ifadeye sıralı ikili veya kısaca ikili denir.
(a, b) sıralı ikilisinde a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşendir.
® (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ve b = d
KARTEZYEN ÇARPIM
® A ve B boş olmayan herhangi iki küme olmak üzere,
A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B } kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
® A x A = A2 , A x A x A = A3, ...
® A x B ≠ B x A
® (A x B) x C = A x (B x C)
® A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
® s(A x B) = s(B x A) = s(A).s(B) De Morgan Kuralları
(A ∪ B)ı = Aı ∩ Bı (A ∩ B)ı = Aı ∪ Bı
Özellikler
® A ∪ A = A
® A ∩ A = A
® A ∪ B = B ∪ A
® A ∩ B = B ∩ A
® A ∪ Ø = A
® A ∩ Ø = Ø
® A ∪ E = E
® A ∩ E = A
® A ∪ Aı = E
® A ∩ Aı = Ø
® Eı = Ø
® Øı = E
® (Aı)ı = A
® Aı = E – A
® A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
® A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
® A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
® A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
® s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
® s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) –
s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)
® A ⊂ B ⇒ Bı ⊂ Aı
® A – B = A ∩ Bı
® A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B
® A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
ESEN YAYINLARI
Çözüm
A = {x : 0 < x < 5 , x ∈ Z } kümesinin, a. Eleman sayısı kaçtır?
b. Alt küme sayısı kaçtır?
c. Öz alt küme sayısı kaçtır?
1. A = {1, 2, {3 }, {4, 5 } } kümesi için aşağıdakiler- den hangileri doğrudur?
I. s(A) = 5 II. 3 ∈ A III. {4 } ∈ A IV. {1, 2 } ⊂ A V. {4, 5 } ⊂ A VI. {{3 } } ⊂ A
2. A = {1, 2, {1, 2 }, {2, 3, 4 }, {1 } } kümesi için aşa- ğıdakilerden hangileri doğrudur?
I. s(A) = 6 II. {1 } ∈ A III. {1, 2 } ⊂ A IV. {1, 2, {1 } } ∈ A V. {2, {2, 3, 4 } } ⊂ A VI. {Ø } ⊂ A
3. B ≠ Ø ve B ⊂ A ise aşağıdakilerden hangisi daima yanlıştır?
I. A′ ∩ B′ = A′ II. A ∩ B = B
III. B – A = B IV. (A – B) ∩ (A ∩ B) = Ø V. A – B = (A ∪ B) – B
1. A = {x : –3 < x < 5 , x ∈ N } kümesinin eleman sayısı kaçtır?
2. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
3. 6 elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı kaçtır?
4. Alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 15 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?
5. İki kümenin alt kümelerinin sayıları toplamı 34 olduğuna göre, eleman sayılarının toplamı kaç- tır?
Çözüm
A = {1, 2, 3, 4, {5 } } kümesi için aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
I. s(A) = ... II. 1 ... A III.{2, 3 } ... A IV. 5 ... A V. {5 } ... A VI. {4, {5 } } ... A
REHBER SORU 1 REHBER SORU 2
Kümeler
1. s(A) = 6 ise A kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinin en az 4 elemanı vardır?
3. En çok 2 elemanlı alt küme sayısı 29 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?
4. Bir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 96 artıyor. Bu kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
5. 6 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısıyla, en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayıları toplamı kaçtır?
6. Bir A kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı ile 5 elemanlı alt küme sayısı eşittir. Buna göre, A nın 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
7. Bir A kümesinin 5 elemanlı alt kümeleri sayısı, 3 elemanlı alt kümeleri sayısına eşittir.
Bu kümenin en çok 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
8. Sekiz elemanlı bir kümenin en az bir elemanlı kaç tane öz alt kümesi vardır?
ESEN YAYINLARI
s(A) = 5 olmak üzere A kümesinin a.3 elemanlı alt kümelerinin sayısını b.En az 3 elemanlı kümelerinin sayısını
c.En çok 2 elemanlı kümelerinin sayısını bulunuz.
Çözüm
REHBER SORU 3
ESEN YAYINLARI
Çözüm
A = {a, b, c, d } kümesinin alt kümelerinin kaç tane- sinde,
a. a ve b elemanları bulunmaz?
b. a veya b elemanları bulunmaz?
1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 elemanı bulunur?
2. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 elemanı bulunur?
3. A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur ama 2 bulunmaz?
4. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanları bulunur ama c elemanı bulunmaz?
1. A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 elemanları bulunmaz?
2. A = {a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanları bulunmaz?
3. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 elemanları bulunmaz?
4. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b elemanları bulunmaz?
Çözüm
A = {a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde,
a. a elemanı bulunur?
b. a ve b elemanları bulunur?
c. a veya b elemanları bulunur?
REHBER SORU 4 REHBER SORU 5
Kümeler
1. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur?
2. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur, ama b elemanı bulunmaz?
3. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulun- maz?
4. A = {a, b, c, d, e } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanları bulunur?
5. A = {a, b, c, d, e } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b elemanları bulunur?
6. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 den yalnız biri bulunur?
7. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur ama 4 bulunmaz?
8. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 bulunur ama 3 bulunmaz?
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 3 elemanlı alt kümele- rinin kaç tanesinde 1 ve 2 elemanları bulunur?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
REHBER SORU 6
ESEN YAYINLARI
Çözüm
A ∪ B = (–2, 3] ve A ∪ C = [–3, 2) ise A ∪ (B ∩ C) kümesi nedir?
1. A = {1, 2, 3 }, B = {1, 2, 3, 4, 5 } olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi, A kümesini kapsar?
2. A = {a, b, c }, B = {a, b, c, d, e, f } olduğuna göre, A ve B den farklı olması koşulu ile B nin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?
3. A = {a, b, c } ve B = {a, b, c, d, e } olmak üzere, A ⊂ C ⊂ B koşulunu sağlayan kaç tane C küme- si vardır?
4. A = {1, 2 } , B = {1, 2, 3, 4, 5 } , A ⊂ C ⊂ B ve B ≠ C ise bu koşullara uyan kaç farklı C kümesi vardır?
5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } ve B = {2, 5, 6, 8, 9 } kümelerinin kaç tane ortak alt kümesi vardır?
1. A ∪ B = {a, b, c, d }, B ∪ C = {b, c, e, f } ise (A ∩ C) ∪ B kümesi nedir?
2. A ∪ B = {a, b, c } ve A ∪ C = {b, c, d } ise A ∪ (B ∩ C) kümesi nedir?
3. A = {1, 2, 3, 4, 5 } ve B = {4, 5, 6, 7 } ise A ∪ B = B ∪ C koşulunu sağlayan C kümesi en az kaç elemanlıdır?
4. A = {1, 2, 3 } ve B = {3, 4, 5, 6 } ise
A ∪ B = B ∪ C koşulunu sağlayan C kümesi en çok kaç elemanlıdır?
5. A ve B iki küme olmak üzere, s(A) = 5, s(B) = 7 ve A ∩ B nin alt küme sayısı 8 ise A ∪ B nin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm
A = {a, b, c, d } ve A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, k } ise kaç farklı B kümesi yazılabilir?
REHBER SORU 7 REHBER SORU 8
Kümeler
1. A = {1, 2, {2 }, {1, 3 } }, B – A = {3 } ve A – B = {2, {1, 3 } } ise B kümesi nedir?
2. A = {a, {b }, b, {a, b } }, B – A = {c, {a } } ve A – B = {{b }, b, a } ise B kümesi nedir?
3. A ve B iki küme olmak üzere,
s(A ∪ B) = 20, s(A ∩ B) = 4, s(A) = 3s(B) ise s(A – B) kaçtır?
4. A ve B iki küme olmak üzere,
3.s(A ∩ B) = 5.s(A – B) ve A ∩ B kümesinin alt küme sayısı 32 ise s(A – B) kaçtır?
5. A ve B boş kümeden farklı iki kümedir.
3.s(A – B) = 2.s(B – A) ve s(A ∪ B) = 38 ise s(A ∩ B) en az kaçtır?
6. A ve B kümeleri için s(A) – s(B) = 7 ve s(A ∪ B) – s(A ∩ B) = 15 ise s(A – B) kaçtır?
7. A = {a, b, c, d, e } ve B = {a, c, d, f, k } olduğuna göre, A – (A ∩ B) kümesi kaç elemanlıdır?
8. A ve B ayrık iki kümedir.
s(A) – s(B) = 6 ve s(A ∪ B) = 12 ise s(A) kaç- tır?
ESEN YAYINLARI
s(A) = 5, s(B) = 7 ve s(B – A) = 3 olduğuna göre, s(A – B) kaçtır?
Çözüm
REHBER SORU 9
ESEN YAYINLARI
Çözüm
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt küme- sidir. s(A) + s(B′) = 12, s(A′) + s(B) = 14
olduğuna göre, s(E) kaçtır?
1. (A ∩ B)′ – (A – B) kümesinin en sade biçimi nedir?
2. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ∪ (B – A′) kümesinin eşiti nedir?
3. [ B ∩ (A′ – B) ]′ – A kümesinin eşiti nedir?
4. A ve B aynı evrensel kümenin iki alt kümesi olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi yan- lıştır?
I. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
II. (A – B)′ ∩ A = A ∩ B III. (A ∩ B)′ ∩ B = A – B VI. A ⊂ B ise A ∪ B = B V. A ⊂ B ise A′ ⊃ B′
5. A = [–2, 3) ve B = (–3, 3] ise A′ – B′ kümesi nedir?
1. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(A) + s(B′) = 10 ve s(B) + s(A′) = 8 olduğuna göre, s(E) kaçtır?
2. A, B ve C kümeleri E evrensel kümesinin üç alt kümesidir. s(A) + s(B′) = 8 , s(B) + s(A′) = 12 ve s(C) = 6 ise s(C′) kaçtır?
3. A, B, C kümeleri için A ⊂ B ⊂ C ise
(A ∩ B′)′ ∪ (B ∪ C)′ kümesinin en sade biçimi nedir?
4. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.
B′ ∪ [(A ∪ B)′ ∪ (A ∩ B′)]′ ifadesinin eşiti nedir?
5. A′ = {a, b, c, d, e }, B′ = {c, e, f, g } olduğuna göre (A ∪ B)′ nedir?
Çözüm
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, (A – B) ∩ B kümesi hangi kümeye eşittir?
REHBER SORU 10 REHBER SORU 11
Kümeler
ESEN YAYINLARI
1. A ve B ayrık olmayan iki kümedir.
s(A) = 8 ve s(B) = 10 ise s(A ∩ B) nin alabi- leceği en büyük değer kaçtır?
2. A ve B ayrık olmayan iki kümedir.
s(A) = 6 ve s(B) = 8 ise s(A ∪ B) nin alabile- ceği en büyük değer kaçtır?
3. A ∩ B ≠ Ø, s(A) = 6 ve s(B) = 8 ise s(A ∪ B) en çok kaçtır?
4. s[ A ∪ (B ∩ C) ] = 10 olduğuna göre, s(A ∪ B) en az kaç olabilir?
5. A ∩ B = {a, b, c, d } ve A ∩ C = {b, c, d, e } ise B ∩ C kümesi en az kaç elemanlıdır?
6. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5 }
A ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7 } olduğuna göre, s(A) en çok kaçtır?
7. s(A) = 5, s(B) = 3 olmak üzere,
s(A ∪ B) nin en büyük değeri x, en küçük değeri y ise x + y kaçtır?
8. A ⊄ B olmak üzere,
s(A′ ∩ B) = 6 ve s(A) = 4 ise s(B) en çok kaç olabilir?
B ⊄ A olmak üzere, s(A ∩ B′) = 5 ve s(B) = 3
ise A kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir?
Çözüm
REHBER SORU 12
ESEN YAYINLARI
1. A = [1, 100) kümesinde 5 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır?
2. A = {x : 1 < x ≤ 10, x ∈ N } B = {x : 7 ≤ x < 10, x ∈ N }
olduğuna göre, A – B kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?
3. A = {x : 9 < x < 100, x ∈ N }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 5 veya 6 ile bölünebilir?
4. A = {x : 10 < x < 120, x = 4n, n ∈ N } B = {y : 6 < y < 90, y = 6k, k ∈ N } olduğuna göre s(A ∩ B) kaçtır?
5. A = {x : 1 < x < 100, x ∈ Z }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünebilir?
6. A = {x ∈ Z : –10 < x < 50 }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 ve 3 ile tam bölünebilir?
7. A = {x ∈ Z : 10 < x < 100 }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 ile bölü- nebilir fakat 5 ile bölünemez?
8. A = {x ∈ Z : 0 < x < 100 }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünemez?
A = {x : 1 < x < 100, x ∈ Z }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 ve 3 ile bölünebilir?
Çözüm
REHBER SORU 13
Kümeler
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı İngilizce, % 40 ı Almanca biliyor. Öğrencilerin % 20 si ise bu dillerin hiçbirini bilmiyor. Her iki dili de konuşan 5 öğrenci olduğuna göre bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
1. Herkesin Türkçe bildiği 24 kişilik bir sınıfta, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu sınıfta sadece bir dil bilen 10 kişi vardır. Türkçe ve İngilizce bilen 6 kişi olduğuna göre, Türkçe ve Almanca bilen kaç kişi vardır?
2. Bir toplulukta Almanca bilmeyenler 6 kişi, İngilizce ve Almanca dillerinden en çok birini bilen 10 kişi ise bu toplulukta kaç kişi yalnız Almanca bilmektedir?
3. Matematik ve fizik derslerinin en çok ikisinden kalanların oluşturduğu bir sınıfta, fizikten geçen 16, matematikten geçen 20, matematik ve fizik derslerinin sadece birinden kalan 8 kişi olduğu- na göre, sınıfta matematik ve fizikten geçen kaç kişi vardır?
4. 64 kişilik bir sınıfta sadece dama oynayanların sayısı, sadece satranç oynayanların 2 katı ve hem dama hem satranç oynayanların 3 katıdır.
Sınıfta dama ve satranç oynamayı bilmeyenlerin sayısı 60 ise satranç bilmeyenlerin sayısı kaçtır?
1. A ve B dersini seçenlerden oluşan bir sınıftaki öğrencilerin % 50 si A dersini, % 60 ı B dersi- ni seçmiştir. Yalnız A dersini seçen 20 öğrenci olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır?
2. 150 kişilik bir topluluğun % 20 si A dilini, % 40 ı B dilini bilmektedir. A veya B dillerini bilmeyen en çok kaç kişi vardır?
3. İngilizce veya Almanca bilenlerin oluşturduğu 165 kişilik bir toplulukta, İngilizce bilenlerin % 60 ı Almanca, Almanca bilenlerin % 20 si İngilizce bilmemektedir. Buna göre, İngilizce ve Almanca dillerini bilen kaç kişi vardır?
4. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı kız öğrencidir.
Kız öğrencilerin % 80 i, erkek öğrencilerin % 60 ı matematik dersinden başarılıdır. Buna göre, bu sınıfın matematik dersinden başarısı yüzde kaç- tır?
Çözüm
Bir grupta İngilizce ve Almancadan sadece birini bilen 6, en az birini bilen 10, en çok birini bilen 16 kişi olduğuna göre hiçbirini bilmeyenler ile her ikisini de bilenlerin toplamı kaç kişidir?
REHBER SORU 14 REHBER SORU 15
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Futbol, basketbol, voleybol oynayanlar ya da oyna- mayanlardan oluşan bir grupta, en çok iki oyun oynayan 24 kişi, en çok bir oyun oynayan 12 kişi, en az iki oyun oynayan 14 kişi bulunduğuna göre, üç oyunu da oynayan kaç kişi vardır?
1. 45 kişilik bir sınıfta 15 kişi gözlüklüdür. Bu sınıfta gözlüklü olmayan erkeklerin sayısı gözlüklü kız- ların sayısının iki katıdır. Erkeklerin 5 i gözlüklü olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?
2. 30 kişilik bir sınıfta bulunan, gözlüksüz kızların sayısı gözlüklü erkeklerin sayısının 2 katıdır.
Sınıftaki gözlüklü kızların sayısı gözlüklü erkek- lerin sayısından 4 eksik olup, 10 gözlüksüz erkek bulunduğuna göre, bu sınıftaki gözlüklü kızların sayısı kaçtır?
3. Bir sınıfta 8 i sarışın olmak üzere 36 öğrenci var- dır. Bunlardan 20 tanesi erkektir ve kız öğrenci- lerin 10 tanesi sarışın değildir. Buna göre, sınıf- taki sarışın olmayan erkek öğrenci sayısı kaçtır?
1. Herkesin futbol, voleybol ve basketbol oyunların- dan en az birini oynadığı bir sınıftaki öğrencilerin 8 i futbol, 11 i basketbol, 13 ü voleybol oynaya- biliyor. Bu öğrencilerin 3 ü futbol ve voleybol, 4 ü futbol ve basketbol, 2 si basketbol ve voleybol, 1 i de her üç oyunu oynayabildiğine göre, sınıf mevcudu kaçtır?
2. İngilizce, Fransızca ve Almanca dillerinden en az birini bilen öğrencilerden oluşan 36 kişilik bir sınıfta, her üç dili de bilenlerin sayısı 3 tür.
Sadece İngilizce, sadece Fransızca ve sadece Almanca bilenlerin sayıları birbirine eşittir. Bu sınıfta herhangi iki dili bilenler var ve sayıları da birbirine eşit olduğuna göre, İngilizce bilenlerin sayısı en az kaçtır?
3. Futbol, basketbol ve voleybol sporlarından en az ikisini yapanların oluşturduğu bir toplulukta, futbol oynayan 16, basketbol oynamayan 4 ve voleybol oynamayan 6 kişi olduğuna göre, bas- ketbol oynayan en az kaç kişi vardır?
Çözüm
28 kişilik bir sınıfta bulunanların 14 ü erkektir.
Gözlüklü öğrencilerin sayısı 10 olup, gözlüksüz erkeklerin sayısı, gözlüklü kızların sayısının 2 katı ise gözlüklü kızların sayısı kaçtır?
REHBER SORU 16 REHBER SORU 17
Kümeler
ESEN YAYINLARI
Çözüm
A x B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y) } B x C = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b) } olduğuna göre, C x A kümesini bulunuz.
1. (x + 2, y – 1) = (5, – 4) ise x.y kaçtır?
2. ( x 2+ , y + z, 9) = (2, 1, y2 + z2) ise x.y.z kaçtır?
3. a, ,
b 6 1
31 2
c m=c m ise a + b kaçtır?
4. (2n, 125) = (16, 5m–1) ise m + n kaçtır?
5. (x.y, 2) = (6, x) ise x + y kaçtır?
1. A = {1, 2, 3 } ve B = {a, b } ise A x B kümesini bulunuz.
2. A x B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2) } olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
3. A = {1, 2, 3, 4 }, B = {4, 5, 6 }, C = {a, b } ise C x (A ∩ B) nin eşiti nedir?
4. A = {1, 2, 3 }, B = {2, 3, 4, 5 } ve C = {1, 2, 3, 4}
olduğuna göre, (A ∪ B) x (B ∩ C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
5. A = {1, 2, 3, 4 } , B = {3, 4, 5, 6, 7, 8 } ve C = {2, 3, 4, 5, 6} olduğuna göre,
(A x B) ∩ (B x C) kümesinin eleman sayısı kaç- tır?
Çözüm
(3a–1, 2a – b) = (9, 10)
eşitliğini sağlayan b değeri kaçtır?
REHBER SORU 18 REHBER SORU 19
ESEN YAYINLARI
1. A = {a, b } ve B = {1, 2, 3 } ise A x B kümesinin grafiğini çiziniz.
2. A = {1, 2 } ve B = [0, 3) ise A x B nin grafiğini çiziniz.
3. A = [1, 2 ] ve B = {2, 3 } ise B x A nın grafiğini çiziniz.
4. A = [–1, 3 ] ve B = (0, 3 ] ise A x B nin grafiğini çiziniz.
5. A = {0, 1, 2 } ve B = {1, 2 } olmak üzere, A x B kümesinin bütün elemanlarını içinde bulunduran en küçük dairenin çapı kaçtır?
6. A = { x : –2 ≤ x < 3 ve x ∈ R } olmak üzere, A x A kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü- nün alanı kaç br2 dir?
Aşağıda bazı kartezyen çarpım grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz.
1
1 2
2 3
0
AxB B
A
A = { 1, 2, 3 } B = { 1, 2 }
0 B
A
A = { 1, 2 } B = ( 1, 2 ]
1 2
1
2 AxB
0 B
A
A = [ 0, 2 ) B = [ 1, 3 ]
2 1
3
AxB 1
1 2
3 0
AxB B
A
A = ( 1, 3 ] B = { 1, 2 }
REHBER SORU 20
Kümeler
ESEN YAYINLARI
1. s(A) = 3 ve s(A x B) = 18 ise s(B) kaçtır?
2. s(A) = 4 ve s(B ∪ C) = 5 olduğuna göre, s[(A x B) ∪ (A x C) ] kaçtır?
3. A, B ve C birbirinden ve boş kümeden farklı kümelerdir.
s[(A x B) ∪ (A x C) ] = 12 ise s(A) en çok kaç- tır?
4. s(A) = 6, s(B) = 8, s(C) = 10 olduğuna göre, (A x B) ∪ (A x C) kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir?
5. s(A) = 4, s(B) = 6, s(C) = 8 olduğuna göre, (A x B) ∩ (A x C) kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir?
6. A = {a, b, c}, B = {c, d, e}, B ∩ C = ∅ ve s[A x (B ∪ C)] = 36 olduğuna göre, s(C) kaçtır?
Çözüm
s(A) = 2 ve s(C ∪ B) = 6 ise s[(A x B) ∪ (A x C) ] kaçtır?
REHBER SORU 21
I. Sol sü tun da verilen kümelerin eşitini sağ sü tun da bulup eş leş ti riniz.
a. A ∪ ∅
b. A ∩ ∅
c. ∅′
d. E – A
1. A′
2. E
3. ∅
4. A
II. Sol sü tun da verilen kümelerin eşitini sağ sü tun da bulup eş leş ti riniz.
a. A – B
b. A – B′
c. A – A′
d. ∅ – A
1. A ∩ B
2. A
3. ∅
4. A ∩ B′
III. Sol sü tun da verilen kümelerin eşitini sağ sü tun da bulup eş leş ti riniz.
a. (A ∪ B′)′
b. (A′ ∩ B)′
c. (A – B)′
d. (A′ ∪ B′)′
1. A ∩ B
2. A′ ∪ B
3. A ∪ B′
4. A′ ∩ B
SOLDAN SAĞA
3. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ ve (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ kural- larına adını veren matematikçi
6. Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsa- yan küme
8. E evrensel kümesinin bir A alt kümesi için E de olup A da olmayan elemanların oluşturduğu küme
10. Eleman sayısı tespit edilebilen kümelere veri- len ad
11. Bir kümenin alt küme sayısının bir eksiği 12. Matematikte ∪ simgesinin adı
YUKARIDAN AŞAĞIYA 1. Elemanı olmayan kümeye verilen ad
2. Kümeleri, kümelerin kesişimini ve birleşimini kapalı eğrilerle gösteren ilk matematikçi 4. Herbiri ayrı bir cümle kuruluşunu gerektiren
birkaç elemanın tek bir kuruluş içine alınması 5. Öğe
7. Ortak elemanı bulunmayan 9. Arakesit
1
2 3
4
5 6
7
8 9
10
11
12
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1. Bir kümenin kendisinden farklı olan her alt kümesine ... denir.
2. A ⊂ E olmak üzere E evrensel kümesinin A da bulunmayan elemanlarına A kümesinin ...
denir.
A = {1, 2, {1, 2 }, {3 }, 4 } kümesine göre 3, 4 ve 5. sorulardaki noktaları yerlere ∈, ∉ veya ⊂ sembol- lerinden uygun olanları yerleştiriniz.
3. 3 …… A
4. {1, 2, 4 } …… A
5. {3 } …… A
6. A ∩ (B ∪ C) = ………
7. A ∪ (B – C) = ………
8. A ⊂ B ise A ∪ B = ………
9. A ⊂ B ise A ∩ B = ………
10. A ∪ B = ∅ ise ………
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1. Küme tanımsız bir kavramdır.
2. Eleman sayıları eşit olan kümelere eşit kümeler denir.
3. Boş küme her kümenin bir alt kümesidir.
4. Tam sayılar kümesi sonsuz elemanlı bir kümedir.
5. 8 elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.
6. Bir kümenin alt kümeleri arasında kendisi de vardır.
7. Her kümenin öz alt kümesi vardır.
8. {∅ } kümesinin alt küme sayısı 1 dir.
9. ∅ kümesinin eleman sayısı 0 dır.
10. MATEMATİK sözcüğündeki harflerle oluşturulan kümenin eleman sayısı 6 dır.
Kümeler
ESEN YAYINLARI
TEST - 1
1. M ∪ N = {1, 2, 3 } , M ∪ K = {1, 4 } olduğuna göre M ∪ (N ∩ K) kümesi nedir?
A) {1 } B) {1, 4 }
C) {1, 2, 3, 4 } D) {1, 2, 4 }
E) Ø
2. A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h } A ∩ B = {a, b, c }
A – B = {e, f, g }
olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden han- gisidir?
A) {a, b, c, d } B) {a, b, c, d, h } C) {d, h } D) {a, b, c, h } E) {e, f, g, h }
3. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) s(A) = s(B) B) s(A ∩ B) = 1 C) s(A ∪ B) = 0 D) s(A ∩ B) = 0
E) s(A) = 0
4. 6 elemanlı bir kümenin en az üç elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
A) 42 B) 40 C) 38 D) 36 E) 32
5. I. A ⊂ A II. Ø ⊂ A
III. (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C IV. (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇒ A ≠ B V. (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇒ A ≡ B
Yukarıdaki önermelerden kaç tenesi doğrudur?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. A ∪ B , A – B , B – A kümelerinin alt kümeleri sayısı sırasıyla 128, 4, 16 dır. Buna göre A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8
7. A ve B iki kümedir. A nın 3 elemanı, B nin 2 elemanı A ∩ B nin elemanı değildir. A nın öz alt küme sayısı 1023 ise B nin alt küme sayısı kaçtır?
A) 32 B) 64 C) 128 D) 256 E) 512
8. [ (A ∩ B)′ ∩ A]′ ∪ A aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) A B) E C) A ∩ B′
D) A ∪ B′ E) A′ ∪ B
ESEN YAYINLARI
9. s(A ∪ B) = 17 , s(A ∩ B) = 4 , s(A) = 2s(B) olduğuna göre, B kümesinin kaç tane alt küme- si vardır?
A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128
10. A ∪ B = B olduğuna göre, aşağıdakilerden han- gisi daima doğrudur?
A) B ⊂ A B) A ⊂ B
C) A ∩ B = Ø D) A ∩ B = E E) A = B
11. s(A) = 7 , s(B) = 5 ve A ∩ B ≠ Ø dir.
A ∪ B nin en çok eleman sayısı x, en az eleman sayısı y ise x + y nin değeri nedir?
A) 5 B) 7 C) 12 D) 17 E) 18
12. {m, k, p } kümesinin kaç alt kümesinde m harfi bulunur?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
13. A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir sesli harf bulunur?
A) 16 B) 32 C) 42 D) 48 E) 60
14. 48 kişilik bir gezi grubunda 26 kişi Kapadokya’yı, 29 kişi Efes’i, 11 kişi ise bu iki yeri de görmek istemektedir. Her iki yeri de görmek istemeyen- lerin sayısı kaçtır?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
15. 44 kişilik bir sınıfta, 15 kişi matematik dersinden başarılı, 20 kişi fizik dersinden başarısız ve 8 kişi de her iki dersten başarısızdır.
Bu sınıfta sadece fizik dersinden başarılı olan kaç kişi vardır?
A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23
16. Bir sınıfta matematik ve fizik derslerinden yalnız birinden geçenler 17, en az birinden geçenler 18, en çok birinden geçenler 24 kişi olduğuna göre, sınıfta kaç kişi vardır?
A) 36 B) 34 C) 28 D) 25 E) 20
Kümeler
ESEN YAYINLARI
TEST - 2
1.
Şemaya göre,
E
B C
A 1
2 3
4
6 5 7
8
(E – A) – (B ∩ C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {3, 7 } B) {3, 6, 7, 8 } C) {3, 6, 7 } D) {3, 8 } E) {3, 7, 8 }
2. A = {x | x2 ≤ 4 ; x ∈ Z }
A kümesinin öz alt küme sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 7 B) 8 C) 15 D) 31 E) 63
3. A = {a, b, c, {d }, e } , B = {b, c, d, {e } } küme- leri veriliyor. A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32
4. A ve B kümeleri veriliyor.
s(A – B) = 3s(A ∩ B) = 43 s(B – A) ve s(A ∪ B) = 32 ise B kümesi kaç elemanlıdır?
A) 16 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26
5. A ve B iki kümedir.
s(B – A) = 2 , s(A – B) = 2s(B) ve A ∩ B nin alt küme sayısı 8 ise A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 13 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5
6. Bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı, 5 ele- manlı alt küme sayısına eşittir. Bu kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
A) 28 B) 26 C) 15 D) 10 E) 8
7. A = {a, b, c, d, e, f, g } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde f ve g bulunur?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
8. En çok iki elemanlı alt kümelerinin sayısı 29 olan bir kümenin en az dört elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
A) 64 B) 63 C) 62 D) 56 E) 44
ESEN YAYINLARI
9. [ A ∩ (A′ ∪ B) ] ∪ A′ kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) A B) A′ C) A ∪ B
D) A ∪ B′ E) A′ ∪ B
10. E = {x | 17 < x < 53 , x ∈ Z } ve
A = {x | 25 ≤ x ≤ 47 , x ∈ Z } olduğuna göre, s(A′) kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
11. A = {x | 141 < x < 252 , x tam sayı } kümesinde 5 ile bölünebilen kaç tane sayı vardır?
A) 50 B) 29 C) 22 D) 21 E) 20
12. 34 kişilik bir topluluk İngilizce veya Fransızca dillerinden en az birini bilenlerden oluşmaktadır.
Bu toplulukta İngilizce bilenler, Fransızca bilen- lerin 5 katı olduğuna göre, sadece İngilizce bilen kaç kişi vardır?
A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28
13. A ve B , E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.
s(B) = 8 , s(B′) = 12 ve s(A) = 3s(A′) ise A kümesi kaç elemanlıdır?
A) 20 B) 18 C) 15 D) 10 E) 5
14. A ⊄ B , B ⊄ A , A ∩ B ≠ Ø , s(A ∪ B) = 9 olduğuna göre, B kümesi en az kaç elemanlı- dır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15. M ve N dergilerinden en az birini takip edenler- den oluşan bir sınıfın % 60 ı M dergisini, % 80 i N dergisini alıyor. İki dergiyi de takip eden 14 kişi olduğuna göre, sınıfın mevcudu kaç kişidir?
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
16. 47 kişilik bir toplulukta İngilizce, Fransızca ve Almanca dillerinden en az birini bilenler bulun- maktadır. İngilizce bilen 30, Fransızca bilen 20, Almanca bilen 18 kişidir. Sadece iki dil bilenlerin sayıları eşit ve bunların toplamı 15 kişi olduğuna göre, üç dili de bilen kaç kişi vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Kümeler
ESEN YAYINLARI
TEST - 5
1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 eleman olarak bulunup, 3 bulunmaz?
A) 8 B) 16 C) 24 D) 32 E) 48
2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 6 ve 7 eleman olarak bulunur?
A) 5 B) 10 C) 12 D) 15 E) 21
3. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en çok bir çift sayı bulunur?
A) 8 B) 16 C) 24 D) 32 E) 40
4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 eleman olarak bulunup, 3 bulunmaz?
A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
5. A ve B ayrık olmayan iki kümedir.
s(A) = 8 ve s(B) = 6 ise s(A ∪ B) en fazla kaçtır?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
6. A = { a, b, c, d } ve B = { b, c, e} ise
A ∪ B = A ∪ C koşulunu sağlayan en çok kaç tane C kümesi yazılabilir?
A) 1 B) 7 C) 8 D) 15 E) 16
7. Aynı evrensel kümeye ait A, B, C kümeleri için, s(A) + s(B) = 12, s(A′) + s(B′) = 16 ve s(C) = 8 ise s(C′) kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
8. A ve B iki küme, A ⊂ B ve s(A ∪ B′) = 36 , s(B ∩ A′) = 10 ve s(A′) = 44 ise s(A) kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ESEN YAYINLARI
9. A ∩ B′ = {a, b, c } ve A ∩ C′ = {a, c, d, e } ise A ∩ (B ∩ C)′ kümesi aşağıdakilerden hangisi- dir?
A) {a, b, c } B) {a, c } C) {a } D) {a, b, c, d, e } E) {a, b, c, d }
10. E evrensel kümesinin iki alt kümesi A ve B dir.
A ∩ B ≠ Ø , s(A ∪ B) = 2.s(A ∩ B) + 15 ve s(A) = 9 ise B kümesi en az kaç elemanlıdır?
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
11. A ve B iki küme, s(A) = 6, s(B) = 14 ve A ∩ B ≠ Ø olmak üzere A ∪ B kümesinin en az elaman sayısı a, en çok eleman sayısı b ise a + b nedir?
A) 34 B) 33 C) 32 D) 31 E) 30
12. A = {x : x < 100 , x ∈ N } kümesinin eleman- larından kaç tanesi 2 ile bölünemez veya 3 ile bölünemez?
A) 33 B) 66 C) 67 D) 82 E) 83
13. 30 kişilik bir sınıfta sadece matematikten kalan- ların sayısı, sadece fizikten kalanların sayısı ve bu iki dersten de geçenlerin sayısı eşittir. Bu sınıfta hem matematikten hem de fizikten kalan- ların sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 21
14. A ve B derslerinden en az birini seçenlerden olu- şan bir toplulukta A dersini seçenlerin % 20 si B dersini de seçmiştir. Yalnız A dersini seçenlerin sayısının % 25 i ise yalnız B dersini seçenlerin sayısına eşittir. Bu toplulukta 36 kişi olduğuna göre, her iki dersi seçenlerin sayısı kaçtır?
A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12
15. Bir topluluğun % 24 ü Türkçe, % 16 sı İngilizce ve % 4 ü her iki dili de bilmektedir. Bu toplulukta her iki dili de bilmeyen 32 kişi bulunduğuna göre, her iki dili de bilen kaç kişi vardır?
A) 12 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1
16. A, B, C seçmeli derslerinden en az birini seçen 22 kişilik bir öğrenci grubunda A yı seçenlerin hiç biri B veya C yi seçmemiştir. Bu grupta C yi seç- meyen 11 kişi, B yi seçmeyen 15 kişi, A, B veya C den yalnız birini seçen 17 kişi olduğuna göre, C yi seçen öğrenci sayısı A yı seçen öğrenci sayısından ne kadar fazladır?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
Yazılıya Hazırlık Soruları
ESEN YAYINLARI
1. A ve B kümeleri için A ∩ B′, A ∪ B ve A ∩ B kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 32, 256 ve 2 ise s(B ∩ A′) kaçtır?
2. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(A – B) = 8, s(B) = 9 ve s(E) = 24 ise s(A ∪ B)′ kaçtır?
3. A ∩ B = {2, 3, 4, 5 } ve B ∩ C = {3, 5, 8, 9 } ise (A ∪ C) ∩ B kümesini bulunuz.
4. A = {1, 2, 3 }, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } olmak üzere, A ⊂ C ⊂ B koşulunu sağlayan C kümelerinden
kaç tanesi B kümesinin öz alt kümesidir?
5. {a, b, c, d, e, f, g, k } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde sesli harf bulunur?
6. A = {x : x2 – 9 = 0, x ∈ N } B = {x : 0 < x ≤ 4, x ∈ Z }
olmak üzere A ∪ B kümesinin en az 3 eleman- lı kaç tane alt kümesi vardır?
ESEN YAYINLARI
7. A, B, C kümeleri için A ⊂ B ⊂ C,
s(A ∪ B ∪ C) = 12, s(A′) = 9, s(B′) = 4 ise s(B – A) kaçtır?
8. A x B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
B x C = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}
olduğuna göre, B x (A – C) kümesi nedir?
9. A = {1, 2, 3, 4 } , B = {3, 4, 5 } , C = {3, 4, 6 } olmak üzere (A x C) ∩ (B x C) kümesini bulu- nuz.
10. 25 kişilik bir sınıfta 14 kişi futbol, 8 kişi voleybol, 13 kişi basketbol oynuyor. Bu oyunlardan yal- nız ikisini oynayan 9 kişi, oyunlardan hiç birini oynamayan 3 kişi ise üç oyunu da oynayan kaç kişidir?
1. 1990 – ÖYS
s(A \ B) = 9 , s(B \ A) = 7 ve A ∩ B nin alt küme sayısı 64 olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
A) 16 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28
2. 1991 – ÖYS
A = {Sınıftaki gözlüklü öğrenciler } B = {Sınıftaki sarışın öğrenciler } C = {Sınıftaki erkek öğrenciler }
D = {Sınıftaki kız öğrenciler } olduğuna göre, C ∩ A – (B ∪ D) kümesi aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A) {Sınıftaki sarışın olmayan, gözlüklü erkek öğrenciler }
B) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın erkek öğrenciler }
C) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın kız öğ- renciler }
D) {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler } E) {Sınıftaki sarışın kız öğrenciler }
3. 1991 – ÖYS M ve N kümeleri, M = {a, b, {1, 2 }, ∆ }
N = {a, 1, 2, {∆ } } olduğuna göre, M \ N fark kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaç- tır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
4. 1992 – ÖSS
A = { x l 11 ≤ x ≤ 1200 , x = 4n , n ∈ N } B = { y l 8 < y < 900 , y = 6k , k ∈ N }
olduğuna göre, (A ∩ B) nin eleman sayısı kaçtır?
A) 64 B) 66 C) 68 D) 70 E) 74
5. 1993 – ÖSS
A = {a, b, c, d, e } kümesinin, 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
6. 1993 – ÖYS
A ve B herhangi iki küme ve A ∪ B , A \ B , B \ A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 512, 32 ve 4 olduğuna göre, A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
7. 1994 – ÖYS
E evrensel küme olmak üzere,
s(E) = 9 , s(A ∩ B) = 3 , s(A ∪ B) = 6 ve s(B) = 4 olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A′ kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
8. 1994 – ÖYS A = {a, c, d }
B = {a, b, c, d, e, f, g } olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi, A kümesini kapsar?
A) 16 B) 32 C) 48 D) 96 E) 112
9. 1996 – ÖYS
A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur?
A) 24 B) 22 C) 20 D) 16 E) 8
ESEN YAYINLARI
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
ESEN YAYINLARI
10. 1997 – ÖYS
18 kişilik bir sınıfta öğrenciler İngilizce, Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin üç katıdır.
Buna göre sadece Fransızca bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
11. 1998 – ÖSS
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s(E) =12, s(A \ B) = 4 ve s(A′ ∩ B′) = 3 olduğuna göre, B kümesinin ele-
man sayısı kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
12. 1999 – ÖSS
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 3.s(A \ B) = 4.s(A ∩ B) = 5.s(B \ A)
olduğuna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?
A) 12 B) 27 C) 35 D) 47 E) 60
13. 2000 – ÖSS
Bir sınıfta Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilen 40 öğrenci vardır. Almanca bilenlerin sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı, her iki dilide bilenlerin sayısının ise 4 katı- dır.
Buna göre, sınıfta Almanca bilenlerin sayısı kaç- tır?
A) 18 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32
14. 2001 – ÖSS
Pozitif tam sayılardan oluşan A = {x l x < 100, x = 2n, n ∈ Z+ } B = {x l x < 151, x = 3n, n ∈ Z+ }
kümeleri veriliyor. Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 49 B) 65 C) 74 D) 83 E) 99
15. 2002 – ÖSS
Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına oranı 73 dir. Erkeklerin % 20 si futbol oynadığına
göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm sınıfın yüzde kaçıdır?
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
16. 2002 – ÖSS
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur; ama 4 bulunmaz?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 50 E) 70
17. 2003 – ÖSS
Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için,
s(N) = 4.s(M) s(N \ M) = 5.s(M \ N)
olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır?
A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24
Kümeler
ESEN YAYINLARI
18. 2008 – ÖSS
K = {–2, –1, 0, 1, 2, 3 }
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
19. 2009 – ÖSS
Herhangi A ve B kümeleri için (A ∪ B) – (A ∩ B) fark kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) A ∩ (A – B) B) A ∪ (A – B) C) (A – B) ∪ (B – A) D) (A – B) ∩ (B – A) E) (A ∪ B) – (A – B)
20. 2010 – YGS A = {a, b, e } B = {a, b, c, d }
olduğuna göre, (A ∩ B) ⊆ K ⊆ (A ∪ B) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9
21. 2011 – YGS
n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n yi kalan- sız bölen pozitif tam sayıların kümesi S(n) ile gösteriliyor. Buna göre, S(60) ∩ S(72) kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4
22. 2011 – LYS
A = {n ∈ Z+ | n ≤ 100; n, 3’e tam bölünür. } B = {n ∈ Z+ | n ≤ 100; n, 5’e tam bölünür. } kümeleri veriliyor.
Buna göre, A \ B fark kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 33 B) 32 C) 30 D) 28 E) 27
23. 2012 – YGS
A = ,
2
3 5
;– E B = 3, 3
; 16E
kapalı aralıkları için (A ∪ B) ∩ Z kümesinin ele- man sayısı kaçtır? (Z, tam sayılar kümesidir.) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
24. 2012 – LYS
Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağı- daki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır.
İddia: A, B, C herhangi kümeler olmak üzere, A \ (B ∩ C) ⊆ (A \ B) ∩ (A \ C) dir.
Öğrencinin ispatı:
A \ (B ∩ C) kümesinin her elemanının
(A \ B) ∩ (A \ C) kümesinde olduğunu gösterir- sem ispat biter.
Şimdi, x ∈ A \ (B ∩ C) alalım.
I. Buradan x ∈ A ve x ∉ (B ∩ C) olur.
II. Buradan x ∈ A ve (x ∉ B ve x ∉ C) olur.
III. Buradan (x ∈ A ve x ∉ B) ve (x ∈ A ve x ∉ C) olur.
IV. Buradan x ∈ A \ B ve x ∈ A \ C olur.
V. Buradan x ∈ [(A \ B) ∩ (A \ C) olur.
Bu öğrenci, numaralandırılmış adımların hangi- sinde hata yapmıştır?
A) I B) II C) III D) IV E) V
ESEN YAYINLARI
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
1. Kazanım : Gerçek sayılar kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.
2. Kazanım : Gerçek sayılar kümesinde aralık kavramını açıklar.
Açık, kapalı ve yarı açık aralık kavramları ve bunların gösterimleri incelenir.
3. Kazanım : Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
BİRİNCİ DERECEDEN EŞİTSİZLİK VE SIRALAMA
a, b ∈ R ve a ≠ 0 için ax + b > 0 , ax + b < 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0 ifadelerine 1. dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.
ax + b ifadesinin işareti incelenirken ifadeyi sıfır yapan değer bulunur ve tabloya yerleştirilir.
x ax + b
–∞ +∞
a ile ters
iflaretli a ile ayn›
iflaretli – ba
® a < b ve b < c ise a < c
® a < b ise a + c < b + c
® a < b ise a – c < b – c
® a < b ve k > 0 için a.k < b.k
® a < b ve k < 0 için a.k > b.k
® a2 < a ⇔ 0 < a < 1
® Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.
a < x < b c < y < d a + c < x + y < b + d +
® a.b > 0 iken a < b ise a b 1>1
® a > b > 0 ve n ∈ Z+ için an > bn > 0
® a < b < 0 ve n ∈ Z+ için a2n > b2n > 0 a < b < 0 ve n ∈ Z+ için a2n+1 < b2n+1 < 0
®
x ∈ [a, b] veya a ≤ x ≤ b dir.
a b R
Kapal› Aral›k
x ∈ (a, b) veya a < x < b dir.
a b R
Aç›k Aral›k
a b R
Yar› Aç›k Aral›k
x ∈ [a, b) veya a ≤ x < b dir.
a b R
x ∈ (a, b] veya a < x ≤ b dir.
®
® I. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER
a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 şekli- ne getirilebilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
ax + b = 0 eşitliğini sağlayan x değerini bulmaya denklemi çözmek denir.
x değerine denklemin kökü, köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir.
ax + b = 0 denkleminde;
® a = 0 ve b = 0 ise Ç.K. = R
® a = 0 ve b ≠ 0 ise Ç.K. = ∅
® a ≠ 0 ve b = 0 ise Ç.K. = {0 }
® a ≠ 0 ve b ≠ 0 ise Ç.K. = ab '− 1 BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 , b ≠ 0 olmak üzere ax + by + c = 0 şeklindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
Denklemi sağlayan (x, y) ikililerinin kümesine denklemin çözüm kümesi denir.
® ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. (a ≠ 0, b ≠ 0)
® ax + by = 0 denklemi ∀x ∈ R için doğru ise a = 0 ve b = 0 dır.
® ax by c a x b y c
0
1 1 1 0
+ + =
+ + = 4 denklem sisteminde
x aa bb
cc
1= 1= 1
ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
x aa bb
cc
1 1 1
= !
ise çözüm kümesi boş kümedir.
x aa bb
1! 1
ise çözüm kümesi tek elemanlıdır.
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
ESEN YAYINLARI
Çözüm 2x 1
3− = x + 2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
1. 2x – 3 = 7 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2. 1 – 2x = 5 denkleminin çözüm kümesi nedir?
3. 3y – 2 = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir?
4. 2(3x – 2) + 3(x – 3) = 5 denkleminin kökü kaçtır?
5. ax + b = c denkleminin kökü nedir?
1. x 21
+ = x – 1 denkleminin kökü kaçtır?
2. x x
2 3+ = x – 1 denkleminin kökü kaçtır?
3. x 3 x
3 610
– – + = –3 denkleminin çözüm kümesi nedir?
4. x x x
22 31
4 2 1
4 – – 17
+ + + =
denkleminin çözüm kümesi nedir?
5.
2 x x 1
1 2 1 6
– +
+
= 3
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm
4x – 3 = 9 denkleminin çözüm kümesi nedir?
REHBER SORU 1 REHBER SORU 2
ESEN YAYINLARI
Çözüm x y x y
2
2 5
− =
+ = 4 sistemini sağlayan (x, y) ikilisi nedir?
1. mx = x + 6 denklemini sağlayan x değeri 4 ise m kaçtır?
2. 2(x – n) + 3x – 4n + 10 = 0 denkleminin kökü –1 olduğuna göre, n reel sayısı kaçtır?
3. 1 2
xx xa
x x
x
1 2 2
− + + = −
+ + denkleminin çözüm kümesi {–1, 0, 1, 2 } elemanlarından birisi ise a kaçtır?
4. xy + 12 = 0, 3y – a = 0 ve x = 3 ise a kaçtır?
5. x2 – (m + 1)x – 6 = 0 denkleminin köklerinden biri 2 ise m kaçtır?
1. x y x y
4 5
3 2 12 – =
+ = 4
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
2. x y
x y
2 3 7
1 – =
+ = 4
denklem sistemine göre, x.y kaçtır?
3. x y 4 x y3 2
1 –
–
= + =
4
denklem sistemini sağlayan x değeri kaçtır?
4. x + y = 6 y – z = 4
z – x = 8 olduğuna göre, y kaçtır?
5. x ve y gerçel sayılardır.
(2x + y – 1)2 + (x + y + 3)2 = 0 olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm
2ax – 3x + a + 1 = 0 denkleminin kökü (x değeri) 2 ise a kaçtır?
REHBER SORU 3 REHBER SORU 4
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
ESEN YAYINLARI
Çözüm
(a – 2)x + b – 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi ∅ ise a ve b ne olmalıdır?
1. (k – 2)a + (p – 3)b = 0 eşitliği her a, b ∈ R için sağlanıyorsa k + p kaçtır?
2. (a + b + 5)x + (2a – 3b – 5)y = 0
eşitliği her x ve y reel sayıları için sağlanıyorsa (a, b) sıralı ikilisi nedir?
3. (x – y)a + (y – 2x)b + 4x + y = 0
eşitilği her x, y ∈ R için sağlanıyorsa a + b kaç- tır?
4. a(x2 – 4) + b(x – 2) + c = 2x + 3
denklemi tüm reel sayılar için sağlandığına göre, a + b + c toplamı kaçtır?
1. (m – 2)x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi ∅ ise m kaçtır?
2. (a2 – 1)x + a = 8x + 3 denkleminin çözüm küme- si boş küme ise a kaçtır?
3. (a – 1)x + b + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi R ise a ve b ne olmalıdır?
4. (a + 2)x + b – 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı ise a kaç olamaz?
Çözüm
(a – 2)x + (b – a + 4)y = 0 eşitliği her x, y ∈ R için sağlanıyorsa a ve b değerlerini bulunuz.
REHBER SORU 5 REHBER SORU 6
ESEN YAYINLARI
1. x = y y 3 6 2 1 –
– eşitilğine göre, hangi y değeri için x bulunamaz?
2. a(x – 2) = 2x + a – 3 denkleminde a nın hangi değeri için x bulunamaz?
3. x = y y 2 4 6 –1
+ eşitliğine göre hangi y değeri için x bulunamaz?
4. (x + 3)a + (x + 1)b = 0 denkleminde x in çözümü olmadığına göre, a ve b ne olmalıdır?
5. axx 2 36 0
++ = olduğuna göre, a kaç olamaz?
1. ,
a b b c ve
a c 1 1
2 1 1 1
3
1 1 1
6
+ = + = + =1
olduğuna göre, a kaçtır?
2. x + y = 4xy, x + z = 2xz ve y + z = 3yz olduğuna göre, y kaçtır?
3. x2–1y = 3 ve x y
1 2+ = 4 ise x kaçtır?
4. xx y 1 y 1
3 – – + =1 x
x
y 1 y 2
2 + + + =1
denklem sistemini sağlayan y kaçtır?
5. a b a b1 3 1 – 1
– = +
a b1 a b1 3 5 –
+ + =
olduğuna göre, a + b kaçtır?
Çözüm
x y , x z ve
y z
1 1+ =2 1 1+ =3 1 1+ =6 olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm
2ax – a = x + 4 eşitliğine göre hangi a değeri için x bulunamaz?
REHBER SORU 7 REHBER SORU 8
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
ESEN YAYINLARI
1. 2x – y + 4z = 10 3x + 6y + z = 5
eşitliklerini sağlayan x + y + z kaçtır?
2. 5x + 4y + 7z = 14 3x + 2y + 5z = 6
eşitliklerini sağlayan x + y + z kaçtır?
3. 2x + y + 3z = 10
x + 2y = 14 olduğuna göre, x + y + z kaçtır?
4. x – y + z = 6 x + y – z = 4
x + y + z = 10 olduğuna göre, y kaçtır?
1. ax – 2y = 4 4x + by = 1
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz ele- manlı ise a + b kaçtır?
2. ax + 2y = 5
2x + by = 10 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı ise a.b kaçtır?
3. (2a + 1)x + 2y = 5 , 5x + 4y = 6
denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme ise a kaçtır?
4. ax – 2y = 3
4x – 3y = 5 denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı ise a kaç olamaz?
Çözüm
(a + 1)x + 2y + 1 = 0
4x + (b – 1)y + 2 = 0 sisteminin çözüm kümesi son- suz elemanlı olduğuna göre, a + b kaçtır?
Çözüm 3x + 4y + z = 9
4x + 3y + 6z = 5 eşitliklerini sağlayan x + y + z kaçtır?
REHBER SORU 9 REHBER SORU 10
ESEN YAYINLARI
Çözüm –3 ≤ 3 2x
−3 < 1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
1. 3x – 2 < 2x + 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
2. 3 x x 22 $ 31
− + eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?
3. 4 – 3x < x – 8 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
4. x
2 – 2 > x
3 + 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
5. x < 3 ise 2 – 3x ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
1. –2 < 2x + 4 < 6 eşitsizliğine göre, x hangi ara- lıkta değer alır?
2. –5 ≤ 1 – 3x < 8 eşitsizliğine göre, x kaç farklı tam sayı değeri alır?
3. x + 3 ≤ 3x – 1 < x + 9 olduğuna göre, x in bulunacağı en dar aralık nedir?
4. 2x – 1 < 5 ≤ 4x – 3 olduğuna göre, x in bulu- nacağı en dar aralık nedir?
5. –5 < 2x – 3 < 3 olduğuna göre, 3x – 2 nin bulunacağı en dar aralık nedir?
Çözüm
2x – 4 ≥ 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
REHBER SORU 11 REHBER SORU 12
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
ESEN YAYINLARI
Çözüm
x ve y reel sayı olmak üzere,
–1 < x < 3 ve 2 < y < 6 ise 3x – 2y nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
1. –2 < x < 6 ve 2y – x + 3 = 0 olduğuna göre, y tam sayısı en çok kaçtır?
2. a2 < a ise 3a – 2 ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
3. –2 ≤ x < 3 ise x2 + 1 in alabileceği değerler kümesi nedir?
4. a + 3b = 16 ve 2 < b < 6 ise a nın bulunacağı en dar aralık nedir?
5. –2 < x < 3 ise x2 – 6x ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
1. –2 < x < 3 ve 1 < y < 2 ise 2x + 3y nin bulu- nacağı en dar aralık nedir?
2. –3 < x < 6 ve 2 < y < 8 olduğuna göre, x y
3–2 nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
3. –2 < x < 3 ve –3 < y < 1 olmak üzere,
2x – y nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
4. –4 < x < 2 ve –2 < y < 3 olduğuna göre, x.y çarpımının en büyük tam sayı değeri kaçtır?
5. – 4 < a < 1 ve –1 < 2a + b < 5 ise b hangi aralıkta değer alır?
Çözüm
–2 < a ≤ 3 ve 2a – b + 1 = 0 ise b nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
REHBER SORU 13 REHBER SORU 14
ESEN YAYINLARI
Çözüm
x, y, z ∈ R olmak üzere,
x.y2 < 0 , x2.z3 > 0 ve y.z < 0 ise x, y, z nin işaretleri sırasıyla nedir?
1. x ve y tam sayıdır.
2 < x < 6 ve – 4 < y < 1 ise 2x – 3y ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
2. x ∈ R ve y ∈ Z olmak üzere,
–2 < x < 3 ve – 4 < y < 5 ise 2x – 3y nin ala- bileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
3. x ve y tam sayılardır.
– 6 < x < 4 ve –3 < y < 6 ise
3x – 2y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
4. x ve y tam sayılardır.
–3 < x < 5 ve –2 < y < 4 ise x2 – y2 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
5. x ve y sıfırdan farklı birer tam sayıdır.
– 4 ≤ x < 6 ve –3 < y ≤ 8 ise y
x ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
1. a2.b < 0, b3.c > 0, a.c3 < 0 ise a, b, c nin işaretleri sırasıyla nedir?
2. a2.b3.c < 0, b2.c.a3 > 0, a4.b2.c < 0 ise a, b, c nin işaretleri sırasıyla nedir?
3. x2(y – 1) > 0 , yz + 2z < 0, x2 < x ise x, y, z arasındaki sıralama nedir?
4. x < y < z ve (x + y)(y – z)(x – z) = 0 ise x.y.z nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
5. x2 < x ve x.y < –1 ise y hangi aralıkta değer alır?
Çözüm
x ve y birer tam sayı olmak üzere, –3 < x < 5 ve –1 ≤ y < 7 olduğuna göre, 3x – y nin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulunuz.
REHBER SORU 15 REHBER SORU 16
ESEN YAYINLARI
Birinci Dereceden Denklem TEST - 1
1. a b
3 4
+ = a c
5+ =3 b + c = 11
denklem sistemine göre c kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
2. x + y = 140 y + z = 128 x + z = 132
denklem sistemine göre y kaçtır?
A) 72 B) 68 C) 64 D) 60 E) 58
3. a – 4b – 3c = 14 3a – 2b – c = 72
denklem sistemine göre a + b + c kaçtır?
A) 27 B) 29 C) 32 D) 34 E) 39
4. 3 1+ – 2x = 0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) –
4 3 B)
4
1 C) 1 D)
4
3 E)
4 5
5.
a b
b c
a c 1 1
127 1 1
209 1 1
158 + =
+ =
+ = _
`
a bb bb bb bb
denklem sistemine göre
a + b + c kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 12
6. (a – 3)x3 + (2b + 3)x2 – (a + b)x + 6a = 0 eşitliği birinci dereceden bir bilinmeyenli denk- lem ise x kaçtır?
A) 15 B) 12 C) 10 D) 9 E) 8
7.
x x
52 5
+ 2 = 13 denklemini sağlayan x kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 11 E) 15
8.
2 x 2
1 31 3
− +
+ = eşitliğini sağlayan x kaçtır?
A) 25 B) 2
3 C) 1 D)
2
1 E) 2
ESEN YAYINLARI
9. a2 = 3b b2 = 2c c2 = 6a
denklem sistemine göre a.b.c kaçtır?
A) 36 B) 30 C) 24 D) 18 E) 16
10. (a + 2)x + a – 2 = bx – 6
denklemi her x reel sayısı için sağlanıyorsa a + b kaçtır?
A) –6 B) –4 C) 0 D) 4 E) 6
11. kx – 2y = m 3x – y = 2
sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı oldu- ğuna göre k + m kaçtır?
A) –10 B) –8 C) 6 D) 8 E) 10
12. a, b, c ∈ R olmak üzere,
a.b = 3 , b.c = 5 ve a – c = 2 ise b kaçtır?
A) 2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
13.
1 3 2
x xx
3 3
−
−
+ = eşitliğini sağlayan x kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
14. a ≠ b olmak üzere, a
x b a
b x
a
− = −b denklemini sağlayan x in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) b – a B) a – b C) a + b
D) –a – b E) a.b
15. x + y = z ve x.y.z = 4
1 olduğuna göre,
yz1 –xy yz xz xy1 1 + 1 1 –xz1
c mc mc m
ifadesinin eşiti kaçtır?
A) –16 B) –8 C) –4 D) 8 E) 16
16. a = 3 1 b b 2 −5
+ kesrinde a nın hangi değeri için b bulunamaz?
A) –
5
1 B) – 3 2 C)
3
2 D)
2
3 E) 2
