KÜMELER
. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
Kümelerde Temel Kavramlar
1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir.
2. Kazanım : Evrensel küme, boş küme, sonlu küme, sonsuz küme kavramlarını örneklerle açık- lar.
3. Kazanım : Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar.
4. Kazanım : İki kümenin eşitliğini açıklar.
Kümelerde İşlemler
1. Kazanım : Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar. Bu işlemler arasın- daki ilişkileri ifade eder.
2. Kazanım : İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar.
3. Kazanım : Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer.
KÜMELER
Küme kavramının tanımı yoktur. Ancak küme denilince, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğu akla gelmelidir.
x Kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanı (öğesi) denir.
x Kümede, bir eleman bir defa yazılır. Kümenin elemanlarının küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi de- ğiştirmez.
x Kümeler, genellikle A, B, C, .... gibi büyük harflerle, elemanları da a, b, c, x, y, ... gibi küçük harflerle gösterilir.
x a bir A kümesinin elemanı ise a ∈ A biçiminde gösterilir. Eğer b, A kümesinin elemanı değilse, b ∉ A biçiminde gösterilir.
KÜMELERİN GÖSTERİMİ
Liste Yöntemi: Kümenin tüm elemanlarının aralarına virgül konularak küme parantezi içine yazılmasıdır.
Örneğin, bir basamaklı asal sayıların kümesi {2, 3, 5, 7 } biçiminde gösterilir.
Venn Şeması İle Gösterim: Kümenin elemanlarının kapalı eğrilerin içine, yanına “•” konularak yazılmasıdır.
Örneğin A = {2, 3, 5, 7 } kümesinin Venn şeması ile çeşitli şekillerde gösterimi aşağıdakiler gibidir.
• 2
• 3
• 5
• 7
• 2
• 3
• 5 • 7
• 2 • 3
• 5 • 7
A A
A
Ortak Özellik Yöntemi: {x : x elemanlarının ortak özellikleri } veya {x | x elemanlarının ortak özellikleri } biçimlerinde kümeler yazılabilir. Bu yazılışta kümenin elemanları x harfi ile gösterilmiştir.
Ayrıca “:” veya “|” sembolleri “ öyle ki ” anlamına gelmektedir. Örneğin, bir basamaklı asal sayılar kümesi A = { x : x asal sayı ve x < 10 } biçiminde de gösterilebilir.
Kümeler
ESEN YAYINLARI
Eleman Sayısı
Bir A kümesinin elemanlarının sayısı s(A) veya n(A) şeklinde gösterilir. Örneğin A = {1, 2, 3, 4, 5 } ise s(A) = 5 tir.
Boş Küme
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } veya Ø şeklinde gösterilir.
{ Ø } kümesi bir elemanlı bir küme olup boş küme değildir.
ÖRNEK 1
A = {x : 3x – 1 = 6 ve x tam sayı}
kümesi boş küme midir?
Çözüm
Sonlu ve Sonsuz Küme
Eleman sayısı tespit edilebilen kümeye sonlu küme denir.
A = {x : x < 6 ve x ∈ N }
kümesinin eleman sayısı tespit edilebildiğinden bu küme sonlu bir kümedir.
Eleman sayısı tespit edilemeyen kümeye sonsuz elemanlı küme denir.
Doğal sayılar kümesi ve tam sayılar kümesi sonsuz elemanlı kümeye birer örnektir.
ÖRNEK 2
A = {1, 2, 3, 4, 5 } ve B = {x : x tek doğal sayı}
kümeleri sonlu mudur?
Çözüm
Eşit Küme
Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir ve A = B biçiminde gösterilir.
Örneğin; A = {1, 2, 3, 4} ve
B = {x : 1 ≤ x ≤ 4, x ∈ Z } kümeleri için A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4}
olduğundan A = B dir.
ALT KÜME
A ve B gibi iki kümeden, B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve B ⊂ A şeklinde gösterilir.
x Bir kümenin kendisinden farklı olan her alt kü- mesine öz alt kümesi denir.
Küme
A = { }
B = {a}
C = {a,b}
D = {a,b,c}
Alt Kümeleri Alt küme
say›s› Öz alt küme say›s›
{ } 1 = 20 0
∅ , {a} 2 = 21 1
3
7 4 = 22
8 = 23
∅ , {a} , {b}, {a, b}
∅ , {a} , {b} , {c} , {a, b}
{a, c} , {b,c} , {a,b,c}
n elemanlı bir kümenin;
® Alt küme sayısı 2n dir.
® Öz alt küme sayısı 2n – 1 dir
® r elemanlı alt kümelerinin sayısı
( )!. ! n !
r n r r
n
= –
f p dir.
® n n ... n n
0 + 1 + + =2n
f p f p f p dir.
® Boş küme her kümenin alt kümesidir.
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 3
A = {1, 2, 3 }
kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini yazınız.
Çözüm
ÖRNEK 4
A = {a, {a, b}}
kümesinin öz alt kümelerini yazınız.
Bu kümeler kaç tanedir?
Çözüm
ÖRNEK 5
Aşağıdakilerden hangileri A = {1, 2, {1}, {2, 3 }}
kümesinin alt kümesidir?
a . {1} b. {2 }
c . {{1} } d . {3 }
e. {1, {1} } f. {2, 3 }
g . {2, {1} } h . {1, 2, 3 }
Çözüm
ÖRNEK 6
Alt küme sayısı 32 olan küme kaç elemanlıdır?
Çözüm
ÖRNEK 7
A = {x : 1 < x < 6, x tam sayı} kümesinin, a . Eleman sayısı kaçtır?
b. Alt küme sayısı kaçtır?
c . Öz alt küme sayısı kaçtır?
d . 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
e. 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 8
İki elemanlı alt kümelerinin sayısı 28 olan bir küme- nin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm
Kümeler
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 9
Bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 ele- manlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 10
s(A) = 6 olmak üzere, A kümesinin;
a. En çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
b. En az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 11
A = {1, 2 } ve B = {1, 2, 3, 4, 5 }
olmak üzere, B nin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?
Çözüm
ÖRNEK 12
A = {a, b, c, d, e, f }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. a elemanı bulunmaz?
b. a elemanı bulunur?
c. a elemanı bulunur fakat b elemanı bulunmaz?
Çözüm
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 13
A = {a, b, c, d, e, f }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. a ve b elemanları bulunur?
b. a veya b elemanları bulunur?
Çözüm
ÖRNEK 14
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 6 bulunur; ama 7 bulunmaz?
Çözüm
ÖRNEK 15
A = {a, b, c, d, e, f }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. a ve b elemanları bulunmaz?
b. a veya b elemanları bulunmaz?
Çözüm
ÖRNEK 16
Alt küme sayısı ile öz alt küme sayıları toplamı 63 olan küme kaç elemanlıdır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
1. Aşağıda liste biçiminde gösterilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazınız.
a. A = {1, 2, 3, 4, 5 }
b. B = {Pazar, Pazartesi, Perşembe } c. C = {2, 4, 6, 8, 10, 12 }
d. D = {a, e, ı, i, o, ö, s, ş, u, ü }
2. A = {a, b, {b, c } , {d } , e }
kümesine göre aşağıdaki noktalı yerlere “∈ ” veya “∉ ” sembollerinden uygun olanları yer- leştiriniz.
a. a ... A b. {b } ... A c. {b, c } ... A d. d ... A
3. Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulunuz.
a. A = { a, {b, c } , {d } , e } b. B = {x : x ∈ Z+ ve x < 4 } c. C = {∅ }
d. D = {x : x ∈ R x2 ≥ 0 } e. D = {x : x ∈ R , x2 = –1 }
4. A = {1, 2, 3, 4, 5 }
kümesinin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı kaçtır?
5. A = {a, b, c, d }
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerini yazınız.
6. Aşağıdaki kümelerden sonlu, sonsuz ya da boş küme olanları belirleyerek noktalı yerlere yazınız.
a. Çift sayılar kümesi : ...
b. Asal sayılar kümesi : ...
c. C = {x : x ∈ Z ve –4 < x ≤ 23 } : ...
d. D = {x : x ∈ R x2 = –4 } : ...
e. E = {x : x tek sayı ve x < 2 } : ...
7. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara “D”
yanlışsa “Y ” yazınız.
Her kümenin öz alt kümesi vardır.
Boş kümenin alt kümesi yoktur.
A = {∅ } kümesinin alt küme sayısı 2 dir.
B = ∅ kümesinin alt küme sayısı 1 dir.
8. A = {a, b, {c } , {d, e } }
kümesi için aşağıdakilerden kaç tanesi doğru- dur?
I. s(A) = 5 II. c ∈ A III. {d } ∈ A IV. {a, b } ⊂ A
V. {d, e } ⊂ A VI. { {c } } ⊂ A
ALIŞTIRMALAR - 1
ESEN YAYINLARI
9. A = {1, 2, {1, 2 } , 3, ∅ } kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
10. A = {a, b, c, d, e, f }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a.a bulunmaz?
b.a bulunur?
c.a ve b bulunur?
d.a veya b bulunur?
e.a bulunup, b bulunmaz?
11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunup, 3 bulunmaz?
12. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur?
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 bulunur?
14. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin kaç tane- sinde 1 ve 2 bulunur ama 3 bulunmaz?
15. K = {a, b, c } ve M = {a, b, c, d, e, f, g } olmak üzere, K ⊂ L ⊂ M koşuluna uyan kaç farklı L kümesi yazılabilir?
16. 5 elamanlı bir kümenin, a.en az 3 elemanlı b.en çok 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
17. s(A) = 8 olmak üzere, A kümesinin en az 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı x, en çok 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı y ise x + y kaçtır?
18. Üç elemanı a, b, c olan bir A kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin 10 tanesinde a, b, c eleman olarak bulunuyorsa A kümesi kaç elemanlıdır?
19. A = {x : 0 ≤ x ≤ 5 ve x ∈ Z } B = {(x, y) : x < y ve x, y ∈ A } olmak üzere, s(B) kaçtır?
Kümeler KÜMELERDE İŞLEMLER
Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve genellikle E ile gösterilir.
ÖRNEK 17
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5, 6 }
ise A ∪ B kümesini liste yöntemi ile ve Venn şeması ile gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 18
A = {a, b, c, d} ve B = {1, 2, a, c}
ise A ∩ B kümesini liste yöntemi ve Venn şeması ile gösteriniz.
Çözüm Kümelerin Birleşimi ve Kesişimi
Yurt içi turlardan birine katılan bir grupta Ali, Orhan, Müge ve Aylin İngilizce; Müge, Pelin, Merve ve Aylin Almanca konuşa- bilmektedir.
İ : İngilizce konuşabilenlerin kümesi
A : Almanca konuşabilenlerin kümesini göstermek üzere,
Müge Aylin
Pelin
Merve Ali
Orhan
‹ A
Yandaki şemada ifade edilen küme İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşabilenlerin kümesidir. Bu küme İ ile A kümelerinin birleşimi olarak adlandırılıp, İ ∪ A olarak gösterilir.
İ ∪ A = {x : x ∈ İ veya x ∈ A }
Müge Aylin
‹ A
Yandaki şemada ifade edilen küme hem İngilizce hem Almanca konuşabi- lenlerin kümesidir. Bu küme İ ile A kümelerinin kesişimi olarak adlandırılıp, İ ∩ A biçiminde gösterilir.
İ ∩ A = {x : x ∈ İ ve x ∈ A }
A ∪ B = {x : x ∈ A veya x ∈ B }
E
A B
E
A B
E
A B
A ∩ B = {x : x ∈ A ve x ∈ B }
E
A B
E
A B
E
A B
ESEN YAYINLARI
Ayrık Kümeler
A ∩ B = Ø ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir.
Bir Kümenin Tümleyeni
A ⊂ E olmak üzere E kümesinin A da bulunmayan elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A′ veya A–
ile gösterilir.
E A′ A
A′ = {x : x ∈ E ve x ∉ A }
ÖRNEK 19
E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A = {2, 3, 5, 7 }
olduğuna göre, A′ kümesini bulunuz.
Çözüm
Kümelerin Farkı
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanla- rın kümesine A ile B nin farkı denir ve A – B veya A \ B ile gösterilir.
E E E
A B A B
B A
A – B = {x : x ∈ A ve x ∉ B}
A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) kümesine A ve B kü- melerinin simetrik farkı denir.
ÖRNEK 20
A = {1, 2, a, b, c } ve B = {2, 3, 4, a}
olduğuna göre, A – B ve B – A kümelerini bulunuz.
Çözüm
De Morgan Kuralları
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
ÖRNEK 21
A′ = {a, b, c, d, e} ve B′ = {d, e, f } olduğuna göre,
a. (A ∪ B)′ kümesini bulunuz.
b. (A ∩ B)′ kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 22
A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
s(A′ ∩ B′) = 6 ve s(A′ ∪ B′) = 10
olduğuna göre, s(A – B) + s(B – A) toplamı kaçtır?
Çözüm
Kümeler
ESEN YAYINLARI
Özellikler
® A ∪ A = A ® A ∩ A = A
® A ∪ B = B ∪ A ® A ∩ B = B ∩ A
® A ∪ Ø = A ® A ∩ Ø = Ø
® A ∪ E = E ® A ∩ E = A
® A ∪ A′ = E ® A ∩ A′ = Ø
® E′ = Ø ® Ø′ = E
® (A′)′ = A ® A′ = E – A
® A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
® A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
® A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
® A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
® s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
® s(A∪B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)
® A – B = A ∩ B′
® A ⊂ B ⇒ B′ ⊂ A′
® A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B
® A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
ÖRNEK 23
∪A B = (–3, 4 ] ve A ∪ C = [–2, 5) olduğuna göre, A ∪ (B ∩ C) kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 24
A ve B ayrık iki küme olmak üzere,
s(A) – s(B) = 5 ve s(A ∪ B) = 9 ise s(A) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 25
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, s(A) = 6 ve s(B) = 8 ise
a . s(A ∪ B) en az kaçtır?
b. s(A ∪ B) en çok kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 26
B ⊄ A olmak üzere,
s(A ∩ B′) = 8 ve s(B) = 5
ise A kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 27
s(A – B) = 5 , s(B – A) = 3 ve A ∩ B kümesinin öz alt küme sayısı 15 ise s(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 28
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, (A′ – B) ∩ A
kümesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 29
A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.
(A ∩ B) ∪ (A′ ∩ B) kümesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 30
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, [ (B – A) ∪ (A ∩ B) ] ∩ (B – A)′
kümesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 31
A – B = {1, {2, 3 } } , B – A = {2 } ve B = {2, {2 }, {1, 2 } } ise A kümesi nedir?
Çözüm
ETKİNLİK
Kan nakillerinde vericinin sahip olduğu antijenlerin önemli olduğunu biliyoruz. Bir kişide, A, B ve Rh anti- jenlerinin en az biri olabilir ya da hiçbiri bulunmayabilir.
Aşağıdaki tabloda kan grupları ve bu gruplara sahip kişilerin antijenleri gösterilmiştir. Buna göre tablonun yanındaki Venn şemasını doldurunuz.
Kan grubu Antijen A, Rh
ARh+ ARh– BRh+ BRh– ABRh+ ABRh– 0Rh+ 0Rh–
A B, Rh B A, B, Rh A, B Rh ––
A B
Rh
Kümeler
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 32
A = {x : x < 100, x ∈ N }
kümesinin kaç tane elemanı 6 ile bölünebilir?
Çözüm
ÖRNEK 33
A = {x : x < 200, x ∈ N }
kümesinin kaç tane elemanı 3 ve 5 ile bölünebilir?
Çözüm
ÖRNEK 34
A = {x : 10 < x < 100, x tam sayı}
kümesinin kaç tane elemanı 3 veya 5 ile bölünebilir?
Çözüm
ÖRNEK 35
A = {x : 20 < x < 200, x = 4k, k ∈ Z } B = {x : 30 < x < 150, x = 5k, k ∈ Z } kümeleri için s(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 36
A = {x : x = 2k, k < 50, k ∈ Z+ } B = {x : x = 5k, k < 30, k ∈ Z+ } kümeleri için s(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 37
32 kişilik bir sınıfta, matematikten 18 kişi ve fizikten 12 kişi başarılı olmuştur. Her iki dersten başarısız 8 kişi olduğuna göre, bu sınıfta bu derslerin sadece birinden başarılı kaç kişi vardır?
Çözüm
ÖRNEK 38
Bir sınıftaki öğrenciler matematik veya fizik dersle- rinin en az birinden bütünlemeye kalmıştır. Sınıftaki öğrencilerin % 60 ı matematikten, % 70 i fizikten bütünlemeye kalmıştır. Her iki dersten bütünlemeye kalan 6 öğrenci varsa, bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
Çözüm KÜME PROBLEMLERİ
E
B F
a b c
d
Futbol oynayanların kümesi: F Basketbol oynayanların kümesi: B a, b, c, d içinde bulundukları kümelerin eleman sayılarını göstersin.
Futbol oynayanların sayısı = a + b Basketbol oynayanların sayısı = b + c Sadece futbol oynayanların sayısı = a Sadece basketbol oynayanların sayısı = c
Futbol ve basketbol oynayanların sayısı = b Futbol veya basketbol oynayanların sayısı = a + b + c Hiçbir oyun oynamayanların sayısı = d En az bir oyun oynayanların sayısı = a + b + c En çok bir oyun oynayanların sayısı = a + c + d
Kümeler
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 39
Bir iş yerinde A, B, C gazetelerinden en az biri okunmaktadır. A gazetesini 16, B gazetesini 12, C gazetesini 18, A ve B gazetesini 8, A ve C gazetesini 10, B ve C gazetesini 6 ve her üç gazeteyi de okuyan 5 kişi olduğuna göre, sadece bir gazete okuyan kaç kişi vardır?
Çözüm
ÖRNEK 40
50 kişilik bir sınıftaki gözlüksüz kızların sayısı, göz- lüklü erkeklerin sayısının 3 katına eşittir. Kızların sayısı, erkeklerin sayısından 8 fazladır. Bu sınıfta gözlüksüz erkeklerin sayısı 12 ise gözlüklü kız sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 41
Herkesin Türkçe bildiği 30 kişilik bir toplulukta, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu toplu- lukta sadece bir dil bilen 10 kişi vardır. Türkçe ve Almanca bilen 12 kişi olduğuna göre, Türkçe ve İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 42
A, B, C dillerinden en az birinin konuşulduğu 36 kişilik bir sınıfta; B dilini konuşanların hepsi C dilini de konuşmaktadır. Toplulukta üç dili konuşan 6 kişi ve iki dili konuşan 18 kişi olduğuna göre, tek dil konuşan kaç kişi vardır?
Çözüm
1. Aşağıdaki noktalı yerleri uygun şekilde dolduru- nuz.
a. A ⊂ B ise A ∩ B = ...
b. A ⊂ B ise ... = B
c. Her A kümesi için A ∪ B = A ise ...
d. ... = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) e. ... = A ∩ B′
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara “D”
yanlışsa “Y” yazınız.
A ∩ A′ = ∅ A ∪ A′ = A A ∪ E = E A ∩ E = A
A ⊂ B ⇔ B′ ⊂ A′
A ⊂ B ve B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
3. Aşağıdaki kümeleri karşı sütunda bulunan eşitle- ri ile eşleştiriniz.
(A – B) ∩ (A ∩ B)
(A – B) ∪ (A ∩ B)
(A – B) ∪ (B ∪ A′)
A
(A – B) ∪ (A ∩ C)
∅ a
b
c
1
2
3
A – (B – C)
c 3
E
4. A = {x : – 10 < x < 50, x ∈ Z }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 ve 3 ile tam bölünebilir?
5. A = {1, 2, 3 } ve B = {3, 4, 5, 6 }
olduğuna göre, A ∪ B = B ∪ C koşulunu sağlayan C kümesi,
a.en az kaç elemanlıdır?
b.en çok kaç elemanlıdır?
6. A = {x : 10 < x < 100, x ∈ Z }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 ile bölü- nebilir fakat 5 ile bölünemez?
7. A ve B ayrık olmayan iki kümedir.
s(A) = 6 ve s(B) = 8
olduğuna göre, s(A∪B) en çok kaç olabilir?
8. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, [B ∩ ( A′– B) ] ∩ A
kümesinin en sade hâli nedir?
ESEN YAYINLARI
ALIŞTIRMALAR - 2
Kümeler 9. A, B, C kümeleri için
s(A) + s(B) + s(C) = 35
olduğuna göre, s(A ∪ B ∪ C) en az kaçtır?
10. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.
s(A) + s(B′) = 11 ve s(A′) + s(B) = 17 olduğuna göre, s(E) kaçtır?
11. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, s(A ∩ B ) = 5
s(A ∪ B ) = 16 s(A) = 2.s(B)
olduğuna göre, s(A – B) kaçtır?
12. A ⊂ B olmak üzere, [A ∩ (A ∪ B′ ) ] ′ kümesinin eşitini bulunuz.
13. s(A – B) = 6 , s(B – A) = 5 ve s(A) = 8
14. A = {x : x = 3n , n ∈ N , 1 ≤ n ≤ 36 } B = {x : x = 2n , n ∈ N , 1 ≤ n ≤ 30 } olduğuna göre, s(A – B) kaçtır?
15. s(A ∪ B) + s(A ∩ B) = 24 s(A) – s(B) = 4
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
16. (A ∩ B)′ ∩ (A ∪ B) kümesinin eşitini bulunuz.
17. s(A ∩ B) = 6
s(A′ – B) = 2.s(A – B′) olduğuna göre, s(A′ ∩ B′) kaçtır?
18. A ⊂ B ve s(A) + 2.s(B) = 14 olduğuna göre, s(A ∪ B) en az kaçtır?
ESEN YAYINLARI
19. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerden oluşan bir grubun % 60 ı İngilizce,
% 50 si Almanca biliyor. Her iki dili bilinler 5 kişi olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişidir?
20. Basketbol ve futbol sporlarından en az birinin oynandığı bir toplulukta basketbol oynayanların
% 60 ı futbol oynamıyor. Futbol oynayanların
% 80 i basketbol oynamıyor. Grupta yalnız futbol oynayan 8 kişi olduğuna göre yalnız basketbol oynayan kaç kişi vardır?
21. Bir sınıfta Almanca bilenlerin sayısı, İngilizce bi- lenlerin sayısının üçte biridir. Bu sınıfta Almanca bilmeyip, İngilizce bilen 27 kişi, İngilizce bilmeyip Almanca bilen 3 kişi vardır. İngilizce veya Al- manca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının üçte biri ise bu sınıfın mevcudu kaçtır?
22. Erkek ve kız öğrencilerin bulunduğu 45 kişilik bir sınıfta gözlüklü erkeklerin sayısı gözlüksüz kızların sayısının 4 katıdır. Sınıfta 14 erkek gözlüksüz ve 6 kız gözlüklü olduğuna göre, erkeklerin sayısı nedir?
23. Bir grupta Almanca ve Fransızca dillerinden sadece birini bilen 15, en az birini bilen 19, en çok birini bilen 29 kişi olduğuna göre, bu grup kaç kişiliktir?
24. 12 erkek, 18 kadının bulunduğu bir grupta 24 kişi gözlüksüzdür. Bu grupta, gözlüklü veya kadın olanların sayısı 22 olduğuna göre, gözlüksüz kadınların sayısı kaçtır?
25. Bir şantiyede sıva, boya, elektrik ve su işlerinden en az birini yapabilenler vardır. En az üç işi yapanlar 16, en fazla dört işi yapabilen 20 kişi bulunduğuna göre, en çok iki iş yapabilen kaç kişi vardır?
26. Futbol veya basketbol oynayanların bulunduğu 30 kişilik bir sınıfta 6 kişi hem futbol hem basketbol oynayabilmektedir. Futbol oynayan- ların sayısı basketbol oynayanların sayısının 2 katı olduğuna göre, bu sınıfta sadece basketbol oynayan kaç kişi vardır?
ESEN YAYINLARI
Kümeler
ESEN YAYINLARI
SIRALI İKİLİ
Milli futbol takımımızın 2005 ile 2010 yılları arasında aldığı galibiyet sayılarını bu yıllarla ilişkilendirip ikililer elde etmeye çalışalım.
İkililerin birinci bileşenleri yılı, ikinci bileşenleri o yıla ait galibiyet sayısını göstersin.
Bu durumda,
(2005, 6) , (2006, 8) , (2007, 5) (2008, 5) , (2009, 4) , (2010, 4) olur.
a ve b elemanlarının (a, b) biçiminde yazılmasıyla elde edilen elemana sıralı ikili veya kısaca ikili denir.
(a, b) sıralı ikilisinde a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir. Sıralı ikilide bileşenlerin sırası önem- lidir.
Yani, (a, b) ≠ (b, a) dır.
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ve b = d
ÖRNEK 43
(a + 2, b – 1) = (–3, 2) olduğuna göre, a + b kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 44
(3n, 25) = (27, 5m–1) olduğuna göre, m . n kaçtır?
Çözüm
KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B boş olmayan herhangi iki küme olmak üzere, A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B} kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir. Kartezyen çarpımının özellikleri aşağıda gösterilmiştir.
® A x A = A2
® A x B ≠ B x A
® (A x B) x C = A x (B x C)
® s(A x B) = s(A) . s(B)
® A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
® A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
ÖRNEK 45
A = {1, 2 } ve B = {a, b}
olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerini yazınız.
Çözüm
ÖRNEK 46
A = { x : –2 < x < 3, x ∈ Z } B = { x : –1 ≤ x ≤ 1, x ∈ Z } olduğuna göre, s(A x B) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 47
s[(A x B ) ∩ (A x C)] = 12 ve s(B ∩ C) = 3 olduğuna göre, s(A) kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 48
A = {1, 2 } ve B = {1, 2, 3 }
olduğuna göre, A x B kümesini yazıp analitik düz- lemde gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 49
A = [1, 4) ve B = {1, 2 }
olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerinin gra- fiklerini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 50
A = (–1, 2] ve B = [1, 3]
olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerinin gra- fiklerini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 51
4 –1
B
–2 A
3
Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre, A – B kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 52
A = {1, 2, 3 }
olmak üzere A x A kümesinin elemanlarını dışa- rıda bırakmayan en küçük çaplı dairenin çapı kaç birimdir?
Çözüm
1. (x3 , 2x + y) = (8, 9) olduğuna göre, x.y kaçtır?
2. AxB = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2) } ise A kümesini bulunuz.
3. A = {0, 1, 2, 3, 4 } B = {0, 2, 4, 6, 8 } C = {2, 3, 4, 5, 6 }
olduğuna göre, s[(A x B) ∩ (A x C)] kaçtır?
4. Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanlar için boş kutuya “D ” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
A x B = B x A s(A x B) = s(B x A)
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
A x (B x C) = (A x B) x C
A ⊂ B ve C ⊂ D ise ( A x C ) ⊂ (B x D)
5. A = {1, 2, 3 } B = {2, 3, 4, 5 }
olmak üzere A x B kümesinin birbirine en uzak iki elamanı arasındaki uzaklık kaç birimdir?
6. s(A x A) = 64
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
7. Aşağıda grafiği verilen A x B kümesi için A ∪ B ve A ∩ B kümelerini bulunuz.
A B
3 2
1 2 3
8. Aşağıda grafiği verilen A x B kümesi için A ∪ B ve A ∩ B kümelerini bulunuz.
A B
4
1 3
2
ESEN YAYINLARI
ALIŞTIRMALAR - 3
9. s(A ∩ B ) = 4 s(B) = 6 s(A x B) = 42
olduğuna göre, s(A∪B) kaçtır?
10. A = [1, 3) ve B = {1, 3 }
olduğuna göre, A x B kümesinin grafiğini çiziniz.
11. A = [–1, 2] ve B = (–3, 2)
olduğuna göre, B x A kümesinin grafiğini çiziniz.
12. A = {x: –2 ≤ x ≤ 5, x ∈ R }
olduğuna göre, A x A kümesinin koordinat düzle- minde oluşturduğu düzlemsel bölgenin alanı kaç br2 dir?
13. A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = {2, 3, 4, 6 } C = {1, 2, 3, 6 }
olduğuna göre, (A x B) ∪ (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
14. s(A) = 3, s(B) = 4, s(C) = 5 olmak üzere, (A x B) ∪ (A x C)
kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir?
15. B ∩ C ≠ ∅ olmak üzere, s [(A x C) ∩ (A x B)] = 15 ise s(A) en çok kaçtır?
16.
x y
–3 –2
1
3
Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre A ∩ B kümesi nedir?
ESEN YAYINLARI
ESEN YAYINLARI
Yazılıya Hazırlık Soruları
1. A ve B boş olmayan iki kümedir.
2.s(A) = 3.s(B) = 5.s(A ∩ B) olduğuna göre, s(A – B) en az kaçtır?
2. A = {x: 2 ≤ x ≤ 5 } ve B = {x: 2 < x < 7 } olduğuna göre (A ∩ B)′ kümesini bulunuz.
3. A ve B gibi iki kümeden A nın bir, B nin iki elemanı A ∩ B kümesinin elemanı değildir.
∅ dışında A ∩ B nin alt kümeleri sayısı 15
4. A ve B iki kümedir.
s(A) = 12 – n, s(B) = 2n + 6 ve s(A ∩ B) = 4 olduğuna göre, s(A ∪ B) en çok kaçtır?
5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur ama 2 bulunmaz?
6. A ⊄ B ve s ( A ∩ B ) = 8 olmak üzere, B kü- mesinin alt küme sayısı, A kümesinin alt küme sayısının 4 katı ise s(A ∪ B) en az kaçtır?
ESEN YAYINLARI
7. Bir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı kız öğrencidir.
Kız öğrencilerin % 90 ı, erkek öğrencilerin % 80 i matematik dersinden başarılıdır.
Buna göre, bu sınıfın matematik dersinden başarısı yüzde kaçtır?
8. (2a + b, 7) = (2, a – b + 3) olduğuna göre a.b kaçtır?
9. A = {x: x < 100, x ∈ N } olmak üzere, A kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 veya 5 ile tam bölünür?
10. Bir kümenin eleman sayısını 2 artırdığımızda öz alt küme sayısı 48 artmaktadır.
Bu kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
TEST - 1 Kümeler
1. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi bir küme belir- tir?
l. Asal sayılar
II. Türkiye’deki iller
III. Haftanın A ile başlayan günleri IV. Güzel olan harfler
V. En güzel meyve
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. A = {a, b, c, d, e }
kümesi için aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur?
l. {a } ∈ A lI. Ø ∈ A lII. Ø ⊂ A lV. {Ø } ⊂ A V. {a, b } ⊂ A VI. {e } ⊂ A
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3. A = {1, {2 }, 3, {1, 2 }, 4, 5 }
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) s(A) = 6 B) {1, 4, 5 } ⊂ A C) {1, 2 } ∈ A D) {2 } ⊂ A E) {1, {2 } } ⊂ A
4. Alt kümelerinin sayıları toplamı 40 olan iki
5. A = {a, b, {a }, c, {a, c } }
olmak üzere aşağıdakilerden hangisi A kümesi- nin hem elemanı hem de alt kümesidir?
A) a B) {a, c } C) {b } D) {a, b } E) {c }
6. A = {1,2, 3, 4, 5, 6 } B = {4, 6, 8, 10 }
kümelerinin kaç tane ortak alt kümesi vardır?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32
7. A ve B kümeleri için
s(A) = 6 , s(A ∪ B) = 9 ve A ⊄ B olduğuna göre, A ∩ B nin en fazla kaç alt
kümesi olabilir?
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64
8. 2 elemanlı alt küme sayısı 28 olan bir kümenin
ESEN YAYINLARI
9. A ∩ B kümesinin alt küme sayısı 2 ve A ile B kümelerinin alt küme sayılarının toplamı 24 ise, A ∪ B kümesi kaç elemanlıdır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9
10. M = {a, b, c, d } N = {a, b, c, d, e, f, g }
kümeleri için M ve N den farklı olması koşulu ile N nin alt kümelerinden kaç tanesi M yi kapsar?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 14
11. A = {a, b, c } ve A ∪ B = {a, b, c, d, e, f } koşullarını sağlayan en çok kaç tane B kümesi
yazılabilir?
A) 3 B) 4 C) 7 D) 8 E) 16
12. (x – 3, y + 1) = (4, 3) olduğuna göre, x + y kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
13. Boş olmayan n elemanlı bir A kümesinin, k tane öz alt kümesi vardır. A kümesine 2 eleman daha katılırsa, kaç tane alt kümesi olur?
A) k + 3 B) 4k + 4 C) 4k
D) 2k + 4 E) k + 4
14. A = {x : x2 < 50 ve x asal sayı }
kümesinin kaç alt kümesinde 3 ve 5 bulunur?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16
15. 25 kişilik bir sınıf Türkçe ve İngilizce dillerinden en çok ikisini bilenlerden oluşmaktadır. Sadece Türkçe bilen 10 kişi ve Türkçe bilmeyen 8 kişi olduğuna göre, her iki dili bilen kaç kişi vardır?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
16. 30 kişilik bir sınıfta futbol oynayanların sayısı 12, basketbol oynayanların sayısı 10, futbol ve bas- ketbol oynayanların sayısı 4 kişidir. Buna göre, sınıfta futbol veya basketbol oynamayanların sayısı kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
ESEN YAYINLARI
TEST - 2 Kümeler
1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur?
A) 56 B) 64 C) 112 D) 116 E) 120
2. A ⊄ B ve s ( A ∪ B ) = 25
olmak üzere, B kümesinin en çok bir elemanlı alt küme sayısı 17 ise A – B kümesi kaç elemanlıdır?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
3. Öz alt küme sayısı 63 olan bir kümenin eleman sayısı 1 azaltılırsa alt küme sayısı kaç azalır?
A) 32 B) 28 C) 16 D) 8 E) 4
4. 3 elemanlı alt kümeleri sayısı, 2 elemanlı alt kümeleri sayısına eşit olan bir kümenin en az 3
5. A = { a, b, c, d, e, f }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a veya b den en çok birisi eleman olarak bulunur?
A) 64 B) 48 C) 32 D) 16 E) 8
6. A ∩ B = A
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A) A ∪ B = A B) A = B C) A ⊂ B D) A′ ∩ B = A E) B′ ∪ A′ = B
7. A ∪ B = ( –2, 5 ] ve A ∪ C = [ 1, 7 ) olduğuna göre, A ∪ (B ∩ C) neye eşittir?
A) [1, 5] B) [–2, 1] C) [5, 7]
D) (1, 5] E) [1, 5)
8. A = {x : –2 < x < 3 , x ∈ R } B = {x : –3 < x < 2 , x ∈ R }
olduğuna göre, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
ESEN YAYINLARI
9. A ∩ B , A – B ve B – A
kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 1, 16 ve 8 ise s(A ∪ B) kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
10. Bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı ile 4 elemanlı alt küme sayısı birbirine eşittir. Bu kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
A) 28 B) 21 C) 15 D) 14 E) 7
11. (2x+1, y
1) = (16, 6)
olduğuna göre, x.y kaçtır?
A) 6
1 B)
4
1 C) 3
1 D)
2
1 E) 1
12. K, L, M birbirinden farklı ve boş kümeden farklı kümeler olmak üzere,
s[ (K x L) ∪ (K x M) ] = 24 ise s(K) en çok kaç olabilir?
A) 24 B) 12 C) 8 D) 6 E) 4
13.
A B
–1 3
–2 2
Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–2, –1) B) (–1, 2) C) (–2, 2) D) (–1, 3) E) (2, 3)
14. s(A – B) = 3 ve s(A ∪ B) = 4 olduğuna göre, s(A x B) en az kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 24
15. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ının bisikleti, % 72 sinin bilgisayarı vardır. Öğrencilerin en az yüzde kaçında hem bisiklet hem de bilgisayar vardır?
A) 12 B) 28 C) 32 D) 40 E) 60
16. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ının bisikleti,
% 72 sinin bilgisayarı vardır. Öğrencilerin en çok yüzde kaçında hem bisiklet hem de bilgisayar vardır?
A) 12 B) 28 C) 32 D) 40 E) 60
ESEN YAYINLARI
TEST - 5 Kümeler
1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 7 ele- man olarak bulunur?
A) 32 B) 56 C) 64 D) 120 E) 128
2. s(A) + s(B) = 22 s(A ∩ B ) = 5
olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 20
3. A = {x : x < 100, x ∈ N }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünür?
A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36
4. A = {x : x < 100, x ∈ N }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ile bölü- nüp, 5 ile bölünemez?
5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 6 ele- man olarak bulunup, 7 bulunmaz?
A) 8 B) 16 C) 28 D) 32 E) 64
6. A ve B boştan farklı iki kümedir.
s(A ∪ B) + s(A ∩ B ) = 24 s(A) = 2.s(B)
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 18
7. K ∪ L = {a, b, c, d } K ∪ M = {a, c, e, f }
olduğuna göre, K ∪ (L ∩ M) kümesi aşağıdaki- lerden hangisidir?
A) Ø B) {a, b, c, d } C) {a, c, e, f } D) {a, c } E) {e, f }
8. A = { x : 0 < x < 100 , x = 2k , k ∈ Z } B = { x : 0 < x < 75 , x = 3k , k ∈ Z } kümeleri için s(A ∩ B) kaçtır?
ESEN YAYINLARI
9. s(A – B) = 3 s(A ∪ B ) = 7
olduğuna göre, s(A x B) en çok kaçtır?
A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 28
10. A = {x : –2 ≤ x < 1, x ∈ Z } B = {x : |x – 1| ≤ 1, x ∈ Z } olduğuna göre, s(A x B) kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12
11. s(A) = 6 s(A ∩ B ) = 3
s [(B x B) ∪ (B x A)] = 40 olduğuna göre, s(B – A) kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12. 32 kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı 20, Almanca bilmeyenlerin sayısı 18, en çok bir dil bilenlerin sayısı 24 olduğuna göre, bu sınıfta İngilizce ve Almanca bilmeyen kaç kişi vardır?
A) 6 B) 8 C) 12 D) 24 E) 26
13.
0 1 3
–1 2
y
x
Yukarıdaki grafik A x B kümesine ait olduğuna göre A ∩ B kümesini gösteren aralık aşağıda- kilerden hangisidir?
A) [1, 2] B) (1, 2] C) (1, 2) D) [1, 2) E) [0, 2)
14. A
B C
Şekildeki taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?
A) A – (B ∩ C)B) A ∪ (B ∩ C) C) A ∩ (B ∪ C)D) B ∩ (A ∪ C) E) C ∩ (A ∪ B)
15. M ve N aynı evrensel kümenin iki alt kümesi olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) M ⊂ N ise M ∪ N = N B) M ⊂ N ise N′ ⊂ M′
C) (M ∪ N)′ = M′ ∩ N′
D) (M – N)′ ∩ M = M ∩ N E) M – N = (M ∩ N)′ ∩ N
1. 1987 – ÖYS
A = {1, 2, 3 } , A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5 } ve A – B = {1, 2 } olduğuna göre, B kümesi aşağıda- kilerden hangisidir?
A) {5 } B) {4, 5 } C) {3, 4, 5 } D) {3, 4} E) {1, 3, 5 }
2. 1988 – ÖSS
A ve B birer küme olmak üzere A – B kümesinin eleman sayısı 4, B – A kümesinin eleman sayısı 5, A kümesinin eleman sayısı 6 dır. Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15
3. 1988 – ÖYS
Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan oluşan bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da oynayanlar 5, futbol ve voleybol oynayanlar 9, voleybol ve basketbol oynayanlar 8, futbol ve basketbol oynayanlar 6 kişidir. Futbol oyna- yanlar 23, voleybol oynayanlar 21, basketbol oynayanlar 15 kişi olduğuna göre, kafilede kaç sporcu vardır?
A) 64 B) 59 C) 53 D) 41 E) 39
4. 1988 – ÖYS
A ve B kümeleri için , A ⊄ B , B ⊄ A , s(A ∪ B ) = 8 , s ( A ∩ B ) = 2 olduğuna göre,
5. 1988 – ÖYS
A = {–2, –1, 0 } ve B = {1, 2, 3 }
kümelerinin, A x B (kartezyen çarpım) kümesi- nin noktalarını dışarıda bırakmayan, en küçük çemberinin yarıçapı kaç birimdir?
A) 3
1 B) v3 C) v2 D) 2 E) 1
6. 1989 – ÖSS
Bir sınıftaki öğrencilerden 35 i İngilizce, 33 ü Almanca kursuna gidiyor. Bunlardan 15 i her iki kursada gittiğine göre, bu sınıfta bu kurslara katılan öğrencilerin tümü kaç kişidir?
A) 50 B) 53 C) 68 D) 78 E) 83
7. 1989 – ÖYS
En az birer elemanı bulunan A ve B kümeleri için, (A – B) ∪ B = A eşitliği gerçekleniyorsa, bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) B ⊂ A B) A ⊂ B C) A ∩ B = Ø D) A ∪ B = B E) (A ∪ B)′ = B′
8. 1990 – ÖYS
s(A – B) = 9 , s(B – A) = 7 ve A ∩ B nin alt
ESEN YAYINLARI
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
ESEN YAYINLARI
9. 1991 – ÖYS
A = {Sınıftaki gözlüklü öğrenciler } B = {Sınıftaki sarışın öğrenciler } C = {Sınıftaki erkek öğrenciler }
D = {Sınıftaki kız öğrenciler } olduğuna göre, C ∩ A – ( B ∪ D ) kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {Sınıftaki sarışın olmayan, gözlüklü erkek öğrenciler }
B) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın erkek öğrenciler }
C) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın kız öğ- renciler }
D) {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler } E) {Sınıftaki sarışın kız öğrenciler }
10. 1991 – ÖYS
M = {a, b, {1, 2 } , ∆ } N = {a, 1, 2, {∆ } }
olduğuna göre, M – N fark kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
11. 1992 – ÖSS
A = { x : 11 ≤ x ≤ 1200 , x = 4n , n ∈ N } B = { y : 8 < y < 900 , y = 6k , k ∈ N } olduğuna göre, (A ∩ B) nin eleman sayısı
kaçtır?
A) 64 B) 66 C) 68 D) 70 E) 74
12. 1993 – ÖSS
A = {a, b, c, d, e }
kümesinin, 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tane- sinde a elemanı bulunur?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
13. 1993 – ÖYS
A ve B herhangi iki küme ve A ∪ B , A – B , B – A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 512, 32 ve 4 olduğuna göre, A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
14. 1994 – ÖYS
E evrensel küme olmak üzere,
s(E) = 9 , s(A ∩ B) = 3 , s(A ∪ B) = 6 ve s(B) = 4 olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A′ kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
15. 1994 – ÖYS A = {a, c, d }
B = {a, b, c, d, e, f, g }
olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi, A kümesini kapsar?
A) 16 B) 32 C) 48 D) 96 E) 112
Kümeler
ESEN YAYINLARI
16. 1996 – ÖYS
A = {1, 2, 3, 4, 5 }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 ele- manı bulunur?
A) 24 B) 22 C) 20 D) 16 E) 8
17. 1997 – ÖYS
18 kişilik bir sınıfta öğrenciler İngilizce, Fransız- ca dillerinden en az birini bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin üç katıdır.
Buna göre sadece Fransızca bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
18. 1998 – ÖSS
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
s(E) =12, s(A – B) = 4 ve s(A′ ∩ B′) = 3 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
19. 1999 – ÖSS
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 3.s(A – B) = 4.s(A ∩ B) = 5.s(B – A) olduğuna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı
20. 2000 – ÖSS
Bir sınıfta Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilen 40 öğrenci vardır. Almanca bilenlerin sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı, her iki dilide bilenlerin sayısının ise 4 katıdır. Buna göre, sınıfta Almanca bilenlerin sayısı kaçtır?
A) 18 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32
21. 2001 – ÖSS
Pozitif tam sayılardan oluşan
A = {x : x < 100, x = 2n, n ∈ Z+} B = {x : x < 151, x = 3n, n ∈ Z+}
kümeleri veriliyor. Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 49 B) 65 C) 74 D) 83 E) 99
22. 2002 – ÖSS
Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına oranı
7
3 dir. Erkeklerin % 20 si futbol oynadığına
göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm sınıfın yüzde kaçıdır?
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
23. 2002 – ÖSS
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tane-
ESEN YAYINLARI
24. 2003 – ÖSS
Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için,
s(N) = 4.s(M)
s(N – M) = 5.s(M – N)
olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır?
A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24
25. 2005 – ÖSS A = {a, b, c, d }
B = {b, c, d, e, f, g, k, l } C = {c, d, e, r }
olduğuna göre, kartezyen çarpımların kesişimi olan (A x B) ∩ (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
26. 2008 – ÖSS
K = {–2, –1, 0, 1, 2, 3 }
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
27. 2009 – ÖSS
Herhangi A ve B kümeleri için (A ∪ B) – (A ∩ B) fark kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) A ∩ (A – B)B) A ∪ (A – B) C) (A – B) ∪ (B – A)D) (A – B) ∩ (B – A) E) (A ∪ B) – (A – B)
28. 2010 – YGS A = {a, b, e } B = {a, b, c, d }
olduğuna göre, (A ∩ B) ⊆ K ⊆ (A ∪ B) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9
29. 2011 – YGS
n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n yi kalansız bölen pozitif tam sayıların kümesi S(n) ile gösteriliyor. Buna göre, S(60) ∩ S(72) kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4
30. 2011 – LYS
A = {n ∈ Z+ : n ≤ 100; n, 3’e tam bölünür. } B = {n ∈ Z+ : n ≤ 100; n, 5’e tam bölünür. } olduğuna göre, A – B fark kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
A) 33 B) 32 C) 30 D) 28 E) 27
31. 2012 – YGS
A = ,
2
3 5
=– G
B = 3,
3
> 16H
kapalı aralıkları için (A ∪ B) ∩ Z kümesinin ele- man sayısı kaçtır? (Z, tam sayılar kümesidir.) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Kümeler
ESEN YAYINLARI
32. 2012 – LYS
Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağı- daki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır.
İddia: A, B, C herhangi kümeler olmak üzere, A – (B ∩ C) ⊆ (A – B) ∩ (A – C) dir.
Öğrencinin ispatı:
A – (B ∩ C) kümesinin her elemanının ( A – B) ∩ (A – C) kümesinde olduğunu gösterirsem ispat biter.
Şimdi, x ∈ A – (B ∩ C) alalım.
I. Buradan x ∈ A ve x ∉ (B ∩ C) olur.
II. Buradan x ∈ A ve (x ∉ B ve x ∉ C) olur.
III. Buradan (x ∈ A ve x ∉ B) ve (x ∈ A ve x ∉ C) olur.
IV. Buradan x ∈ A – B ve x ∈ A – C olur.
V. Buradan x ∈ [(A – B) ∩ (A – C) olur.
Bu öğrenci, numaralandırılmış adımların hangi- sinde hata yapmıştır?
A) I B) II C) III D) IV E) V
ESEN YAYINLARI
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
1. Kazanım : Gerçek sayılar kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.
2. Kazanım : Gerçek sayılar kümesinde aralık kavramını açıklar.
Açık, kapalı ve yarı açık aralık kavramları ve bunların gösterimleri incelenir.
3. Kazanım : Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
ÖRNEK 1
[– 4, 5] aralığındaki;
a) Sayma sayıları b) Doğal sayıları c) Tam sayıları d) Pozitif tam sayıları e) Negatif tam sayıları f) Pozitif olmayan tam sayıları
g) Negatif olmayan tam sayıları kümelerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 2
Aşağıdaki sayılardan hangileri rasyonel sayıdır?
a) 3 b) – 4 c) 0 d) 0,4
e) – 3
1 f) 2, –
5 g) π h) v2
Çözüm
ÖRNEK 3
Aşağıdaki sayılardan hangileri reel sayıdır?
a) 3 b)v2 c)3 4
d) c–5 e) 3 –6 f) 4 –7
Çözüm
Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollerdir. Onluk sayma sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılır.
Sayı: Bir çokluğu ifade edecek şekilde, rakamların tek başına ya da birlikte kullanılmasıyla oluşturulan ifadelerdir.
2 , –5 , 19 , 0 , 3 1 , –
2
1 , v2 , π , e, 3 5 ifadeleri birer sayıyı gösterir.
Sayma Sayıları Kümesi (N+) N+ = S = {1, 2, 3, ... } Doğal Sayılar Kümesi (N) N = {0, 1, 2, 3, ... } Tam Sayılar Kümesi (Z)
Z– = {..., –3, –2, –1} negatif tam sayılar kümesi, Z+ = {1, 2, 3, ... } pozitif tam sayılar kümesidir.
Z = Z– ∪ {0 } ∪ Z+ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } Rasyonel Sayılar Kümesi (Q)
Q = { b
a: a ∈ Z, b ∈ Z ve b ≠ 0 } İrrasyonel Sayılar Kümesi (Q′)
Rasyonel olmayan sayılar kümesidir. v2 , v3 , 3 5, π , e , ... gibi Reel (Gerçel) Sayılar Kümesi (R)
Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimine reel (gerçel) sayılar kümesi denir.
® R = Q ∪ Q′ ® N+ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ® Q′ ⊂ R Sayıların Sınıflandırılması
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
ESEN YAYINLARI
–1
O
0 1 2
A B
C v2 1
1
Dik kenarları 1 birim uzunlukta ve bir dik kenarı, sayı ekseni üzerinde bulunan OAB dik üçgeninde, |OB|2 = |OA|2 + |AB|2 = 12 + 12 = 2 dir.
O merkezli, |OB| yarıçaplı çemberin sayı eksenini kestiği nokta C olsun.
|OB| = |OC| olduğundan, C noktası, karesi 2 ye eşit olan sayıya karşılık gelen noktadır.
Bu sayının, rasyonel sayı olmadığını göstere- lim. |OB| = |OC| ye karşılık gelen sayı rasyonel olsaydı, bu sayıyı
q
p biçiminde yazabilirdik (p ve
q aralarında asal). Bu durumda,
q
p 2
2
f p = ⇒ q p
2 2
= 2 ⇒ p2 = 2q2 (I) olurdu.
2q2 çift sayı olacağından, p2 de çift sayı olur.
p2 çift sayı ise p çift sayıdır.
O halde, en az bir p1 ∈ Z+ için, p = 2p1 dir.
Bunu (I) eşitliğinde yerine yazalım:
(2p1)2 = 2q2 ⇒ 4p21 = 2q2 ⇒ 2p12 = q2 olur.
p
2 12 çift sayı olduğundan, q2 de çift sayı olur.
q2 çift sayı ise, q çift sayıdır.
O halde, en az bir q1 ∈ Z+ için, q = 2q1 dir.
p = 2p1 ve q = 2q1 ⇒ p ile q nun ortak böleni 2 dir.
⇒ p ile q aralarında asal değildir.
Oysa, p ile q aralarında asal olarak seçilmişti.
Dolayısıyla, varılan sonuç bir çelişkidir. Bu du- p 2
f p
Sayı ekseni üzerinde, karesi 2 ye eşit olan sayıya karşılık gelen bir nokta bulunduğunu ve bunun rasyonel sayı olmadığını gösterelim.
DOĞAL SAYILARDA İŞLEMLER Sayıların Çözümlenmesi
a, b, c, d birer rakam olmak üzere, (ab) = 10.a + b
(abc) = 100.a + 10.b + c
(abcd) = 1000.a + 100.b + 10.c + d dir.
a b c = a.102 + b.10 + c 100 : Birler basama¤›
101 : Onlar basama¤›
102 : Yüzler basama¤›
ÖRNEK 4
ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
ab + ba = 66 ise a + b kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 5
Rakamları toplamının 3 katına eşit olan iki basamaklı sayı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 6
abc ve cba üç basamaklı sayılardır.
abc – cba = 396
olduğuna göre, a – c kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Doğal Sayılarda Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri x Toplama işlemine göre sadeleşme özelliği:
a = b ⇔ a + c = b + c
x Çarpma işlemine göre sadeleştirme özelliği:
a = b ⇔ a.c = b.c, (c ≠ 0)
x Toplama İşleminin değişme özelliği:
a + b = b + a
x Toplama işleminin birleşme özelliği:
a + (b + c) = (a + b) + c
x Toplama işleminin birim elemanı:
a + 0 = 0 + a = a
x Çarpma işleminin birim elemanı:
a.1 = 1.a = a
x Çarpma işleminin değişme özelliği:
a.b = b.a
x Çarpma işleminin birleşme özelliği:
a.(b.c) = (a.b).c
x Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği: a.(b + c) = ab + ac
x Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği: (b + c).a = ba + ca
ÖRNEK 7
A, B, C, 50 şer basamaklı sayılar ve A = 22...2 , B = 66...6 , C = 88...8 ise B.C çarpımının A cinsinden değeri nedir?
Çözüm
ÖRNEK 8
a b c 6 a b c 2 0 0 4
Yukarıda verilen çıkarma işlemine göre, abc üç basa- maklı sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 9
1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamları kullanılarak yazılan, rakamla- rı farklı, altı basamaklı ABCDEF sayısında,
A + B = C + D = E + F
olduğuna göre, bu koşulları sağlayan en küçük ABCDEF sayısının yüzler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm
Bir çizgiden oluşan ve her noktası bir gerçek sayıya karşılık gelen en temel koordinat sisteminin sayı doğrusu olduğunu biliyoruz. R nin geometrik temsili bir sayı doğrusudur.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4…
R x R kartezyen çarpımındaki her sıralı ikilinin Öklid düzlemindeki bir nokta ile birebir eşlenmesiyle oluşturulan geometrik yapıya kartezyen koordinat sistemi denir. Koordinat eksenleri x ve y eksenleri olup bunların kesiştiği nokta başlangıç noktasıdır.
apsisler ekseni ordinatlar ekseni
A(a, b)
x y
0 a
b
x y
0
I. bölge x > 0 y > 0 II. bölge
x < 0 y > 0
IV. bölge x > 0 y < 0 III. bölge
x < 0 y < 0
R ve R x R nin Geometrik Temsili
1. abc üç basamaklı, ab iki basamaklı sayılardır.
abc – ab = 113 ise a + b + c toplamı kaçtır?
2. Basamaklardaki rakamların sayı değerlerinin çarpımı 36 olan dört basamaklı en küçük doğal sayının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
3. Üç basamaklı ab3 sayısında a ile 3 ün yerleri değiştirildiğinde sayı 297 azalıyorsa a kaçtır?
4. İki basamaklı ab sayısı rakamlarının sayısal değerlerinin toplamının x katı; iki basamaklı ba sayısı ise rakamlarının sayısal değerlerinin toplamının x – 1 katına eşit ise x kaçtır?
5. Her biri en az üç basamaklı 4 sayının onlar ba- samağı ile birler basamağı 3 arttırılır, yüzler ba- samağı 2 azaltılırsa bu dört sayının toplamı ne kadar azalır?
6. a, b, c, d birer rakam olmak üzere,
0, a + 0, bb + 0, ccc = 1,928 ise a + b + c kaçtır?
7. a = 2b ve b = c + 2 koşullarını sağlayan kaç farklı üç basamaklı abc sayısı yazılabilir?
8. abc
cba xy5
Yukarıdaki çıkarma işleminde abc ve cba üç basamaklı sayılardır. Buna göre, x + y toplamı kaçtır?
9. x
y m
yz n
xz 27
ve m < n ise y nin en küçük tam sayı değeri nedir?
10. Rakamları farklı iki basamaklı 4 sayının toplamı 314 ise bu sayıların en küçük olanı en az kaçtır?
ESEN YAYINLARI
ALIŞTIRMALAR - 1
ÖRNEK 10
2 x – 5 = 7
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 11
2(x – 1) – (x + 1) = 5
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 12
x x
2 2
3 2 1 2 – – – =
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 13
(a + 1)x – x + a – 4 = 0
denkleminin çözüm kümesi {2} olduğuna göre, a reel sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 14
5x – (3x + 1) = 2x + 4
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere, a x + b = 0 biçiminde ifade edilen denklemlere birinci dereceden bir bilin- meyenli denklem, bu denklemi sağlayan x değerine de denklemin kökü denir.
a x + b = 0 denkleminde;
® a ≠ 0 iken ax + b = 0 ⇒ x = a
–b olduğundan çözüm kümesi; Ç = a –b
) 3 dır.
® a = 0 ve b = 0 iken çözüm kümesi; Ç = R dir. ( R = (–
∞
,∞
) )® a = 0 ve b ≠ 0 iken çözüm kümesi; Ç = Ø dir.
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 15
2(x + 1) – x + 1 = x + 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 16
(m + 1)x + n – 2 = 0
denkleminin çözüm kümesi, Ç = R ise (m, n) nedir?
Çözüm
ÖRNEK 17
a.(x – 2) = 3x – a + 1
denkleminde hangi a değeri için x bulunamaz?
Çözüm
ÖRNEK 18
x x
x 2 2
1 + –
= denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
P(x).Q (x) = 0 ⇒ P(x) = 0 ∨ Q(x) = 0 dır.
( ) ( ) Q x
P x =0& P(x) = 0 ∧ Q(x) ≠ 0 dır.
ÖRNEK 19
x.(x – 2) = x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 20
x 1 x x
2
1 1
1
2 0
– – –
2 +
+ =
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 21
2x – y = 2 ve x + 2y = 1
denklem sisteminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere, a x + by + c = 0 biçiminde ifade edilen denklemlere birinci derece- den iki bilinmeyenli denklemler denir. Denklemi sağlayan (x, y) ikililerinin kümesine denklemin çözüm kümesi denir.
ax by c
dx ey f 0 0 + + =
+ + =
4
denklem sisteminin çözümü demek, geometrik olarak bu doğruların birbirine göre durumunu incelemek demektir.® d a
e b
f
= =c ise doğrular çakışıktır. Sistemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
® d a
e b
f
≠ c
= ise doğrular paraleldir. Sistemin çözüm kümesi boş kümedir.
® d a
e
≠b ise doğrular kesişir. Sistemin çözüm kümesi bir elemanlıdır.
∀ x, y ∈ R için a x + by = 0 eşitliği sağlanıyorsa, a = 0 ve b = 0 olmalıdır.
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
ÖRNEK 22
2x – y = 2 ve 2y – 4x = 8
denklem sisteminin çözüm kümesini bulup analitik düzlemde yorumlayınız.
Çözüm:
ÖRNEK 23
x – 3y = 6 ve 6y – 2x = –12
denklem sisteminin çözüm kümesini bulup analitik düzlemde yorumlayınız.
Çözüm:
ESEN YAYINLARI ÖRNEK 24
(a – 1)x + 3y = 2 ve 2x + (b + 1)y = 1
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı ise a + b kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 25
3x – 2y = 5 ve kx + 4y = 2
denklem sisteminin çözüm kümesi k nın hangi değe- ri için boş kümedir?
Çözüm
ÖRNEK 26
x – y + 1 = 0 , x + y + 5 = 0 ve ax + y – 3 = 0 sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı ise a kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 27
x y ve
x y
2 1 2 1 2
3 –
+ = =
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 28
a.b = 6 , b.c = 3 ve a.c = 2
olduğuna göre, a.b.c nin pozitif değeri kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 29
a b , a c ve
b c 1 1+ =3 1 1+ =5 1 1+ =7
denklem sistemini sağlayan a kaçtır?
Çözüm
