MD-2007-III ¨Od¨ull¨u Sorusunun Genelle¸stirilmi¸s Hali ve Yanıtı:
Bir torbada n − 1 beyaz, 1 siyah olmak ¨uzere toplam n bilye vardır. 1 siyah top ¸cekene kadar ¸cekili¸s yapma oyununda, ortalama ka¸c ¸cekili¸ste oyunun sonlanacaˇgını hesaplamak istiyoruz. X rasgele deˇgi¸skeni ¸cekili¸s sayısı ise, X’in olasılık daˇgılımı ¸s¨oyle olacaktır:
X P (X)
1 1n
2 n−1n2
3 (n−1)n3 2
... ... m (n−1)nmm−1
... ...
Bu oyunun ortalama ¸cekili¸s sayısı X’in beklenen deˇgeridir. Hesaplarsak, t = n−1n < 1 i¸cin,
E(X) =P
iXiP (xi)
= 1 · n1 + 2 · n−1n2 + 3 · (n−1)n3 2 + · · · + m ·(n−1)nmm−1 + · · ·
= 1 · n1 + 2 · nt + 3 · tn2 + · · · + m ·tm−1n + · · ·
= n1(1 + 2t + 3t2+ · · · + mtm−1+ · · · )
= n1 · T
= n1 · [1 + t + t2+ · · · + t(1 + 2t + 3t2+ · · · )]
= n1 · (1−t1 + t · T ) ⇒ T = (1−t)1 2
ve b¨oylece E(X) = 1n(1−t)1 2 = n1 1
(1−n−1n )2 = n bulunur.
Selamlar. Ahmet Delil
CB ¨U Eˇgitim Fak¨ultesi, 45900-Demirci/Manisa
e-posta: ahmet.delil@bayar.edu.tr, delil@hotmail.com
