3. İKİ BOYUTLU KOORDİNAT İŞLEMLERİ
Birçok mühendislik problemleri bir modelin iki boyutlu tanımlanmasıyla çözülür.
Bunlar arasında standart kinematik problemleri, bazı mekanizmaların hareketleri, ya da yapısal elemanların kesme kuvvet ve bükme moment grafikleri sayılabilir. Bu problemlerin gösterimi için çizgi, çember gibi temel grafik elemanlara ihtiyaç vardır.
Ayrıca arzu edilen grafik görüntüyü elde etmek için bu grafik elemanlar üzerine bazı grafik dönüşümleri uygulamak da gereklidir. Grafik çalışmalarındaki temel işlemler, Öteleme (Translation), Döndürme (Rotation), ve Ölçekleme (Scaling) olarak özetlenebilir.
Bu bölümde iki boyutlu grafik dönüşümleri üzerinde durulacaktır:
3.1. TEMEL 2 BOYUTLU GRAFİK DÖNÜŞÜMLERİ 3.1.1. Öteleme (Translation):
Öteleme operasyonu bir cismin belli bir miktarda ötelenmiş gösteriminin elde edilmesini sağlar. Matematiksel olarak;
x' = x + Tx
y' = y + Ty
Burada
x y : ilk koordinatlar
x' y' : yeni koordinatları göstermektedir.
Örnek 3.1:
Aşağıdaki [(20,0) (60,0) (40,100)] köşe noktalı üçgenin 100 birim sağa 10 birim yukarı ötelenmesi durumunda;
Tx = 100, Ty = 10 alınarak ve yukarıdaki denklemler kullanılarak üçgenin yeni köşe nokta koordinatları [(120,10) (160,10) (140,110)] elde edilir.
Şekil 3.1 Öteleme örneği
3.1.2. Döndürme (Rotation):
Bir noktanın (x,y) saat yönünün tersi yönde koordinat ekseninin merkezi etrafında döndürdürüldüğü takdirde elde edilen noktanın yeni koordinat değerleri şu şekilde hesaplanabilir:
( Not : Sağ el kuralına uyularak saat yönünün tersi yön pozitif dönüş yönü olarak alınmıştır.)
x = r cosα y = r sinα
x’ = r cos (θ+α )
= r ( cos θ cos α - sin θ sin α )
= r cos θ cos α - r sin θ sin α
= x cos θ - y sin θ
y’ = r sin (θ+α )
= r ( sin θ cos α + cos θ sin α )
= r sin θ cos α + r sin α cos θ
= x sin θ + y cos θ Sonuç olarak :
x’ = x cos θ - y sin θ
y’ = x sin θ + y cos θ
denklemlerinden döndürülmüş nokta koordinatları elde edilebilir.
Örnek 3.2:
Örnek 1’de gösterilen [(20,0) (60,0) (40,100)] köşe noktalı üçgenin (ilk durumda), koordinat ekseninin merkezi etrafında saat yönünde 45 derece döndürülmesiyle üçgenin yeni köşe nokta koordinatları
olarak elde edilir.
Şekil 3.3 Döndürme örneği
Not: Bu denklemler 0 merkez noktası etrafındaki dönmeler için kullanılır.
3.1.3. Ölçekleme (Scaling):
Bir cismin ölçeğini değiştirmek için
x' = x Sx
y' = y Sy
denklemleri uygulanır.
Örnek 3.3:
Not: Sx Sy kullanıldığı takdirde şekilde bozulma elde edilir.
Ölçekleme kullanılarak aşağıda gösterilen ayna görüntüler (mirror images) elde edilebilir.
Şekil 3.4 Değişik ölçekleme oranlarıyla ayna görüntü oluşumu
3.2. ARDIŞIK DÖNÜŞÜMLER
Sıralı dönüşüm işlemleri tek bir dönüşüm altında toplanabilir. Örnek olarak herhangi bir nokta etrafında dönüş;
öteleme + dönme + öteleme
şeklinde birleştirilebilir. Belirtilen sıra önemlidir.
Örnek 3.4:
Bir cisim koordinat ekseni merkezi etrafında pozitif yönde (saat yönünün tersi yönde) 90 derece döndürüldükten sonra x yönünde -80 birim ötelenirse (Tx = - 80, Ty = 0);
Döndürme x' = y Öteleme x'' = x' - 80
y' = -x y'' = y'
ya da
x'' = y - 80 Birleşik işlem
y'' = -x
elde edilir. Eğer işlem sırası değiştirilirse farklı sonuçlar elde edilir. Daha az aritmetik işlem içerdiği için birleşik işlem tercih edilir. Doğru sıralam için matris işlemleri kullanmak daha faydalıdır.
3.3 MATRİS GÖSTERİMLERİ
2-D dönüşümleri bir 3 x 3 matris kullanılarak gerçekleştirilebilir ve (x , y) koordinatları ( x' , y') ‘a dönüştürülmüş olur :
=
′
′
1 y x
1 0 0
f e d
c b a
1 y x
[ x , y ]T vektörüne yapılan eklemeler 3 x 3 matris ile dönüşümüne imkan verir.
Sunulan transformasyon matrisleri aslında homojen vektörlerin dönüşümleridir. (x , y) noktasının homojen gösterimi [ wx wy w]T dir. w sıfırdan farklı bir scalar (scalar quantity) değerdir ki bu değer ölçekleme faktörü (scale factor) olarak da adlandırılabilir. w=1 ölçekleme faktörü kullanıldığı zaman cismin birebir aynısı elde edilir.
Öteleme (Translation) :
=
′
′
y x T 1 0
T 0 1 y x
y x
−
=
′
′
1 y x
1 0 0
0 θ cos θ
sin
0 θ sin θ
cos
1 y x
Ölçekleme (Scaling):
=
′
′
1 y x
1 0 0
0 S 0
0 0 S
1 y x
y x
3.3.1. Birleşik Matris Dönüşümleri :
Birleşik matris dönüşümleri incelemek için bir örnek üzrinde çalışmak uygun olacaktır.:
Örnek olarak bir cismin Sx = Sy = 2 ölçeklenmesi,
ardından da Tx = 10, Ty = 0 ötelenmesi ele alındığı zaman;
Ölçekleme:
=
′
′
1 y x
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1 y x
Öteleme:
′
′
=
′′
′′
1 y x
1 0 0
0 1 0
10 0 1
1 y x
[ x' y' 1] sadece bir ara sonuçtur ve aşağıda gösterildiği şekilde birinci denklem ikinci denkleme yerleştirilerek yok edilebilir:
=
′′
′′
1 y x
1 0 0
0 2 0
0 0 2
1 0 0
0 1 0
10 0 1
1 y x
İki 3 x 3 matris ( x , y ) noktasından bağımsız olarak ( Sx, Sy, Tx, Ty) dönüşüm sırasına uyularak çarpılabilir. Sonuç olarak iki matrisin çarpımı dönüşüm için kullanılabilir.
=
′′
′′
1 y x
1 0 0
0 2 0
10 0 2
1 y x
İki matrisin çarpımı birleşik matris dönüşümünü ifade eder. Dönüşüm sayısından bağımsız olarak birleşik matris oluşturulabilir ve komple dönüşüm sonuçta tek bir matrisle ifade edilebilir.
3.3.2. Herhangi Bir Nokta Etrafında Döndürme:
Koordinat ekseninin merkezi dışında (Rx , Ry) koordinatlarına sahip bir nokta etrafında saat yönünde θ derecesi kadar döndürmek için aşağıdaki işlem sırası takip edilmelidir.
1. Dönüşümü yapılacak nokta/noktalar, ilk olarak (Rx , Ry) noktası merkez noktası olacak şekilde ötelenmelidir.
−
−
=
′
′
1 y x
1 0 0
R 1 0
R 0 1
1 y x
y x
′
′
−
−
−
−
−
=
′′
′′
1 y x
1 0
0
0 ) θ cos(
) θ sin(
0 ) θ sin(
) θ cos(
1 y x
3. Son olarak dönüşümü yapılacak nokta/noktalar, geri dönüşümle (Rx , Ry) kadar ötelenmelidir.
′′
′′
=
′′′
′′′
1 y x
1 0 0
R 1 0
R 0 1
1 y x
y x
Yukarıda 3 madde halinde verilen işlemler birleştirilebilir ve
−
−
−
−
−
−
−
=
′′′
′′′
1 y x
1 0 0
R 1 0
R 0 1
1 0
0
0 ) θ cos(
) θ sin(
0 ) θ sin(
) θ cos(
1 0 0
R 1 0
R 0 1
1 y x
y x y
x
− +
−
− −
−
−
−
−
− −
−
−
=
′′′
′′′
1 y x
1 0
0
) θ sin(
R
)) θ cos(
1 ( ) R θ cos(
) θ sin(
) θ sin(
R
)) θ cos(
1 ( ) R θ sin(
) θ cos(
1 y x
x y
y x
elde edilir.
Eğer Rx, Ry ve θ bilindiği takdirde 3 matris çarpılarak tek bir dönüşüm matrisi elde edilebilir.
3.3.3. Hesaplama Verimliliği:
Görüntülemek için bir resim oluştururken çok sayıda nokta için dönüşüm uygulanması gerekebilir. Bu uygulama mümkün olduğu kadar verimli olmalıdır.
1 y x
1 0 0
f e d
c b a
hesaplamasının 9 çarpma ve 6 toplama işlemi gerektirdiği görülmektedir. Fakat formülasyonda verilen üçüncü sütun her zaman
[ ]
1 y x 1 0 0
formunda olacaktır. Matrisin birçok birleştirmenin sonucunda şekillenmesi durumunda bile x' ve y' hesabı
x' = ax + by +c
y' = dx + ey +f
formunda gerçekleşecektir, ki bu işlem sayısının 4 çarpma ve 4 toplama işlemine indirgenmesi demektir.
Bu belirtilen hesaplama için kullanılan dönme matrisi
=
′
′
1 y x f e d
c b a 1 y x
şeklinde olur ki, matris şimdi 2 x 3 bir matrisdir. Fakat iki 2 x 3 matrisler birbiriyle çarpılarak birleştirilemez. Çarpma işleminden once onları üçüncü bir kolon ekleyerek 3 x 3 formuna dönüştürmek gerekir.
