11. SINIF KONU ANLATIMLI

11. SINIF

KONU ANLATIMLI

1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

7. Konu

İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM

ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

1. Ünite 7. Konu

(İtme ve Çizgisel Momentum)

A’nın Çözümleri

1. Eğik atılan bir cismin hareketi boyunca yatay

doğ-rultudaki hızı değişmez. Bu nedenle eğik atışta ya-tay doğrultuda momentum değişmez. Momentum değişimi yalnızca düşey doğrultudadır. Atılış anın-da top mermisinin düşey hızı;

v_y = v₀ . sin37° v_y = 20 . 0,6 = 12 m/s dir. v_y1 37° v_{y2 v} 0 v_x 37° v_x v₀ v_x v_y=0 h_max

Top mermisi atılırken düşey hızı v

y1 = 12 m/s dir.

Top mermisi yere düşerken düşey hızı v_y2 = –12 m/s olduğundan momentum değişimi;

ΔP = m(v_y2 – v y1) ΔP = 4(–12 – 12) = –96 kg m/s bulunur. 2. vortak çarpışmadan sonra B A C

Çarpışmadan önceki momentumların vektörel top-lamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel toplamına eşittir. Momentumun korunumundan;

Pönce = Psonra

m₁v1 + m2v2 + m3v3 = (m1 + m2 + m3)vortak

1 . 30 + 1 . 10 + 2 . 10 = (1+1+2) · v_ortak v_ortak = 15 m/s bulunur.

3. a. Çarpışma sırasında cisimlerin momentumları

ko-runacağından; P_önce = P_sonra m₁ . v₁ – m₂ . v₂ = (m₁ + m₂). v_ortak 1 . 3 – 2 . 6 = 3 . v_ortak –9 = 3 . v_ortak v_ortak = – 3 m/s

bulunur. O halde cisim (–) yönde 3 m/s hızla hare-ket eder.

b. Çarpışmada kaybedilen kinetik enerji;

, ( ) , , , . E m v m v E J E m m v E J E J bulunur 2 1 2 1 2 1 1 9 2 1 2 36 40 5 2 1 2 1 _{3 3} 13 5 40 5 13 5 27 · · · · · · · · · – ilk ilk son ortak son kay p 1 12 2 22 1 2 2 2 ı = + = + = = + = = = = 4. 37° P2 P₁ P_ortak Portak(y) P_ortak(x)

Hem yatay eksende hem de düşey eksende mo-mentum korunur. Yatay momo-mentum korunumun-dan; Portak(x) = P1 m · v_ortak · cos37° = m₁ · v₁ (3 + 2) · v_ortak · 5 4 = 2 · 4 v_ortak = 2 m/s

7

Nihat Bilgin Yayıncılık© α P_önce = 16 kg.m/s P₂ P₁ = 12 kg.m/s x y P₂ = P₁2+P2 P₂ = 122+162 = 20 kg.m/s P₂ = m₂ . v₂ 20 = 2 . v₂ ⇒ v₂ = 10 m/s

bulunur. O halde m₂ kütleli cisim güneydoğu yönün-de 10 m/s hızla hareket eyönün-der.

8. Cismin patlamadan önceki momentumu;

P_önce = m . v = 6 . 5 = 30 kg.m/s

dir. Patlamadan sonraki v₁, v₂ hızlı cisimlerin mo-mentumları; P_önce x y 60° 60° P1 = 2 . 5 = 10 kg.m/s P₂ = 2 . 5 = 10 kg.m/s |P₁ + P₂| = 10 kg.m/s

1 ve 2 numaralı parçaların momentumlarının bileş-kesinin büyüklüğü 10 kg.m/s dir. Patlamadan son-raki momentumun +x yönünde 30 kg.m/s çıkması için üçüncü parça +x yönünde ve 10 m/s hızla hare-ket etmelidir. 5. P_önce = P_sonra m₁ . v₁ – m₂ . v₂ = (M + m₁ + m₂) . v_ortak 0,1 . 300 – 0,4 . 50 = (500 + 100 + 400).10–3_{. v} ortak 30 – 20 = 1 . v_ortak v_ortak = 10 m/s

dir. P₁ > P₂ olduğundan cisim (+) yönde ve 10 m/s lik hızla hareket eder.

6. Balmumunun düşey momentum bileşeni araba

yar-dımıyla yola aktarılır. Yataydaki momentumun koru-numundan; 60° m1 . v1 m2 . v2x m₂ . v_2y P_önce = P_sonra m₁ . v₁ – m₂ . v_2x = (m₁ + m₂) .v_ortak 9 . 8 – 1 . 4 . cos 60° = 10 . v_ortak 72 – 2 = 10 . v_ortak v_ortak = 7 m/s bulunur.

7. Cismin parçalanmadan önce toplam momentumu

yatay eksen üzerinde ve doğu yönündedir. P_önce = m . v

P_önce = 8 . 2 = 16 kg . m/s

dir. Patlamadan sonra m₁ kütleli cismin momentu-mu;

P₁ = m₁ . v₁ = 12 kg . m/s

dir. Momentumun korunması için P₂ nin düşey bile-şeni 12 kg.m/s, yatay ekseni ise 16 kg.m/s olmalı-dır.

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

12. a. Tahta bloktaki yükselmeye cisimlerin yatay

mo-mentumları neden olur. Momentumun korunu-mundan;

P_önce = P_sonra m₁ . v₁ – m₃ . v₃ . cos 37° = m_ortak . v_ortak 10.10–3_{.160 – 5.10}–3_{. 400 . 0,8 = 500 . 10}–3 _{. v}

ortak

1600 – 1600 = 500 . v_ortak v_ortak = 0

bulunur. Yani tahta blok hareket etmez.

b. İpteki gerilmeyi yatay hızın oluşturduğu itme ve

ci-simlerin toplam ağırlıkları meydana getirir. F . Δt = ΔP F . 0,1 = m₃ . v₃ . sin 37° F . 0,1 = 5 . 10–3 _{. 400 .} 5 3 ⇒ F = 12 N T = F + G T = 12 + (m₁ + m₂ + m₃) . g T = 12 + (485 + 5 + 10) . 10–3 _{. 10} T = 17 N bulunur. 13. a. P = m . v_0x 60 = 2 . v_0x ⇒ v_0x = 30 m/s Yatayda alınan yol;

x = v_0x . t

240 = 30 . t ⇒ t = 8 s bulunur. Cisme uygulanan itme;

I = F . Δt = mg . Δt I = 2 . 10 . 8 = 160 N . s bulunur. b. t_uçuş = 2 v_g0y 8 = 2 · v 10 y 0 ⇒ v_0y = 40 m/s

Cismin yere çarpma hızı ve momentumu; v₀ = v₀2_x+v₀2_y

v₀ = 302+402 = 50 m/s

P = m . v₀ = 2 . 50 = 100 kg.m/s bulunur.

9. Cisim tepe noktasında 30 m/s yatay hıza ve

P_ilk = m . v_0x = 3 . 30 = 90 kg.m/s

lik momentuma sahiptir. Patlamadan sonra bileşke momentum aynı yönde ve 90 kg.m/s olmalıdır. Pat-lamadan sonra hareketli iki cismin yatay momen-tumlarının toplamı 90 kg.m/s olduğundan 3. parça düşey aşağı doğru 30 m/s hızla hareket etmelidir.

10. Kuvvet - zaman grafiklerinin altında kalan alan

mo-mentum değişimini verir. O hâlde;

5 Fnet (N) t(s) 10 15 0 35 A1 A2 A₁ = 2 35+15 _{· 5 = 125 N.s} A₂ = 15 · 5 = 75 N.s ∆P = A₁ + A₂ = 200 N.s ∆P = m(v_son – v₁) 200 = 10(v_son – 0) ⇒ v_s = 20 m/s E_k = 2 1 m · v_son2 E_k = 2 1 · 10 · (20)2 _{= 2000 J bulunur.} 11. Momentumun korunumundan; m₁ · v = (m₁ + m₂) · v_ortak 50 · 10–3 _{· v = 1000 · 10}–3 _{· 2 ⇒ v = 40 m/s}

Nihat Bilgin Yayıncılık© c. –x +x v_1x v_2x m1 m2 P_önce = P_sonra m₁ · v_1x – m₂ · v_2x = (m₁ + m₂) · v_ortak m · 30 – 3m · 40 = 4m · v_ortak v_ortak = –22,5 m/s

bulunur. O halde cisim 22,5 m/s hızla –x yönün-de yatay atış hareketi yapar.

16. m₁ = 2m₂ olduğundan m₁ ve m₂ kütleli cisimlerin A noktasındaki momentumlarının eşit olması için bu noktadaki hızları v₂ = 2v₁ olmalıdır. Serbest düşme hareketi kurallarına göre h₁ = h ve h₂ = 5h olur. O hâlde; h h 5 1 2 1 _{= bulunur.}

17. a. m₁ kütleli cisim a = g . sin 37° ivmesiyle yavaşlar, m₂ kütleli cisim ise a = g . sin 37° ivmesiyle hızlanır. Çarpışmadan önceki hızları;

v₁ = v₀ – g . sin 37° . t v₁ = 36 – 10 . 0,6 . 2 = 24 m/s v₂ = g . sin 37° . t

v₂ = 10 . 0,6 . 2 = 12 m/s

bulunur. Momentumun korunumundan; m₁ . v₁ – m₂ . v₂ = (m₁ + m₂) . v_ortak 2 . 24 – 1 . 12 = 3 . v_ortak 36 = 3v_ortak

v_ortak = 12 m/s

14. Mermi silindire çarptığında ona bir itme uygular.

F . Δt = ΔP = m . (v₁ – v′₁) F . 2 . 10–2 _{= 10 . 10}–3 _{. 80} F = 40 N bulunur. F h L G r

Sistem dengede olduğuna göre L noktasına göre moment alınırsa;

F . h = G . r 40 . 50 = G . 20

G = 100 N bulunur.

15. a. Cisimler t süre sonra çarpışsınlar. O halde;

v_1x . t + v_2x . t = 280 50 · cos 53° · t + 40 2 · cos 45° · t = 280 70t = 280 t = 4 s bulunur. Cisimlerin hızlarının düşey bileşenleri v_1y = v_2y = 40 m/s olduğundan bu süre cisimlerin maksimum yüksekliğe çıkma zamanıdır. Bu ne-denle cisimler yörüngenin tepe noktasında çar-pışır. b. h_max = ( ) ( ) g v g v 2 2 y y 1 2 2 2 = h_max = · ( ·sin ° ) 2 10 50 53 2 = 80 m bulunur.

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

18. Cismin yere göre sahip v0y = 30 m/s

m = 2 kg

v0x = 40 m/s

olduğu hız bileşenleri v_0x = 40 m/s ve v_0y = 30 m/s dir. Cismin havada kalma süresi;

–h = v_0y . t – 5t2

–35 = 30 . t – 5t2

t2 _{– 6t – 7 = 0}

(t – 7) (t + 1) = 0 ⇒ t = 7 s

bulunur. Bu süre içinde cisme uygulanan itme, mo-mentum değişimine eşit olacağından;

ΔP = F . Δt = mg . Δt ΔP = 2 . 10 . 7 = 140 kg . m/s bulunur. 19. a. 30 m/s 30 m/s 40 m/s 40 m/s x = 60 m

Yatay hızları 30 m/s olan iki cisim arasındaki uzaklık 60 m dir. İki cisim birbirine yaklaştığı için 1 saniye sonra çarpışırlar. Yani t₁ = 1 saniyedir.

b. Cisimlerin çarpışma anında yatay

momentum-ları eşit ve zıt yönlüdür. Bu nedenle yatayda momentum sıfır olur. Yatay momentum sıfır ol-duğundan ortak kütle düşeyde 40 m/s hızla ha-reket eder. Cisimler atıldıkları noktadan sonra;

t = 2 · v · 2 10 2 40 y 0 = = 8 s

havada kalırlar. Bunun 1 saniyesi çarpışma ön-cesinde geçtiği için çarpışmadan 7 saniye son-ra atıldıkları noktaya gelirler.

b. v_s son hız, v_i ilk hız alınarak; v_s = v_i – a . t

0 = v_ortak – g . sin 37° . t v_ortak = g . sin 37° . t

12 = 10 . 0,6 . t ⇒ t = 2 s

bulunur. O hâlde ortak kütle çarpışmadan 2 sa-niye sonra durur ve yön değiştirir.

c. E_i = 2 1 m₁ · v₁2 ₊ 2 1 m₂ · v₂2 E_i = 2 1 · 2 · (24)2 ₊ 2 1 · 1 · (12)2 E_i = 576 + 72 = 648 J E_s = 2 1 (m₁ + m₂) · v_ortak2 E_s = 2 1 · 3 · (12)2 _{= 216 J}

Kaybolan kinetik enerji;

E = E_i – E_s = 648 – 216 = 432 J bulunur.

ç. m₁ , m₂ kütleli cisimlerin hız-zaman grafiği şe-kildeki gibidir. m₁ kütleli cismin aldığı yol x₁ , m₂ kütleli cismin aldığı yol x₂ kadardır.

v (m/s) t (s) 36 0 24 12 x₁ x₂ |AB| = x₁ + x₂ x₁ = 2 36+24 _{· 2 = 60 m} x₂ = · 2 12 2 = 12 m |AB| = 60 + 12 = 72 m

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

ΔE_k = E_k – E′_k = 5000 – 2000 ΔE_k = 3000 J olur.

22. m₁ kütleli vagon, yaya dokunduğu andan itibaren bir kuvvet uygulayarak m₂ kütleli vagonu harekete geçi-rir. Bu etkileşim iki vagonun hızı eşit oluncaya kadar devam eder. Vagonların hızları eşit olduğu andan iti-baren birbirinden ayrılırlar. Yaydaki en büyük sıkış-ma iki vagonun hızlarının eşit olduğu andır. Momen-tumun korunumundan;

/

P_önce=

/

P_sonra m₁ · v₁ + m₂ · v₂ = (m₁ + m₂) · v_ort 4000 · 10 + 0 = (10000) · v_ort

v_ort = 4 m/s

bulunur. Sürtünmeler önemsenmediğine göre me-kanik enerji korunur. Çarpışmadan önce yalnız m₁ kütleli vagonun kinetik enerjisi vardır. Çarpışmadan sonra ise toplam kütlenin kinetik enerjisi ve yayın potansiyel enerjisi vardır. O hâlde;

/

E_ilk=

/

E_son 2 1 · m₁ · v₁2 ₌ 2 1 · (m₁ + m₂) · v_ort2 ₊ 2 1 · k · x2 2 1 · 4 · 103 _{· 100 =} 2 1 · (1 · 104_{) · 16 +} 2 1 · 12 · 104 _{· x}2 2 · 105 _{= 8 · 10}4 _{+ 6 · 10}4 _{· x}2 x = 2 m bulunur. 20. 45° K L v0 –h h v0x v_0y 45°

K noktasından atılan cisim L noktasına düşmekte-dir. Cisim hareketi sırasında yatayda ve düşeyde eşit h yollarını almaktadır.

h = v₀ · cos 45° · t = v_{0 2}2 · t ... (1) –h = v₀ · sin 45° · t –

2

1 gt2 _{... (2)}

(1) denklemi (2) denkleminde yerine yazılırsa; –v_{0 · 2}2t = v_{0 · 2}2t – 5t2

5t2

= 2( 22v₀) · t

5 · 2 = 2 · v0 ⇒ v0 = 5 2 m/s

P_K = m · v₀ = 2 · 5 2 = 10 kg.m/s

21. Çarpışmadan önceki momentumların vektörel

top-lamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel toplamına eşittir.

Cisimlerin çarpışmadan sonraki ortak hızı; m₁v₁ + 0 = (m₁ + m₂)v_ortak

100 . 10 = (250) . v_ortak v_ortak = 4 m/s

bulunur. Çarpışmadan önceki kinetik enerjileri; E k1 = 21 m1v12 = ₂1 100(10)2 = 5000 J E k2 = 0 dır. E_k(top) = E k1 + Ek2 = 5000 J

Çarpışmadan sonra sistemin toplam kinetik enerjisi ise; E′_k = 2 1 (m₁ + m₂)v_ortak2 E′_k = 2 1 (250)42 _{= 2000 J}

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

3. Önce momentum vektörlerinin yatay ve düşey

bile-şenlerini alalım. Şekil I 4 mv 2 mv mv 2 mv A Şekil II 3 mv

Birim karelerin kenarları 1 birim alındığında çarpış-madan önceki momentum vektörlerinin bileşenleri Şekil I deki gibidir. Cisimler çarpıştıktan sonra Şekil II de gösterilen yönde hareket eder.

Yanıt B dir.

4. Soruda verilen şekil incelendiğinde v₁ = 1 birim alı-nırsa v₂ = 2 birim, v3 = 2 birim olduğu görülür.

45° 45° P₁ = mv P₂ = 2 2 mv P₃ = 2 mv Şekil I 2 mv Şekil II 3 mv IV

Çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin bü-yüklükleri Şekil I deki gibidir. Bu vektörler sadele-şince Şekil II deki durum ortaya çıkar. Bir başka ifa-deyle, cisimler birbirine yapıştıktan sonra IV numa-ralı yolu izler.

Yanıt D dir.

Test 1 in Çözümleri

1. Soruda verilen ivme-zaman grafiğinden

yararlana-rak hız-zaman grafiğini aşağıdaki gibi çizebiliriz.

–v hz zaman 0 I _III 3t t 2t –2v II

Verilen hız-zaman grafiğinden yararlanarak I ve II aralıklarında hızın arttığını III. aralıkta ise hızın azaldığını söyleyebiliriz. Hangi aralıkta hız azalıyor-sa aynı aralıkta momentum da azalır.

Yanıt E dir.

2. Momentum, P = m v bağıntısı ile bulunan vektö-rel bir büyüklüktür. P ile v vektörleri birbirinin varlık nedenidir. Bu nedenle momentum - zaman grafikleri ile hız-zaman grafikleri birbirine çok benzer. Aradaki tek fark m çarpanıdır. Momentum-zaman grafiği ve-rilen cismin hız-zaman grafiği aşağıdaki gibidir.

t hız zaman 2t 3t 4v 3v 2v v 0 I II III

Bilindiği gibi hız-zaman grafiklerinde eğim ivmeyi verir. Şekilden a₁ = 0, a₂ nin artan, a₃ ün sabit oldu-ğu görülür. F = ma olduoldu-ğuna göre I. aralıkta kuvvet sıfır, II. aralıkta artan, III. aralıkta sabittir.

Nihat Bilgin Yayıncılık© 7. v v v 120° 120° 120° P_sonra = 0

A noktasında iç patlama sonucu üç eşit parçaya ay-rılan cismin patlama sonrası momentumu sıfırdır. O hâlde patlama olmadan önceki momentum da sıfır-dır. Bunun böyle olması için cismin tepe noktasına varmış olması gerekir. Buradan;

h_max = g v 2 20 60 0 2 ₂ = h_max = 180 m bulunur. Yanıt D dir. 8. ip m₁ = 300 kg m₂ = 400 kg v₁ v₂ (–) (+)

İp kesilmeden önce cisimler durgun olduğundan momentumları sıfırdır. İp koptuğunda momentum-ların vektörel toplamı yine sıfır olacağından; P_önce = P_sonra 0 = 400 · v₂ + 300 · (–v₁) 4 · v₂ = 3 · v_{1 v}v 3 4 2 1 = bulunur. Yanıt A dır. 5. Soruda verilen şekil incelendiğinde v₁ = 2v ,

v₂ = 2 v olduğu görülür. Çarpışmadan önceki mo-mentum vektörleri şekildeki gibidir.

P1 = 2m1.v P2x P_2y P2 = 2 m2.v –x 45° +x

Ortak kütlenin (–x) yönünde hareket edebilmesi için; P₁ = P_2y P₁ = 2 m2v · sin 45° 2m₁v = 2 m2v · 22 2m₁ = m₂ m m 2 1 2 1 = bulunur. Yanıt C dir. 6. a m1.g = 5 N m2.g = 15 N m2 = 1,5 kg m₁ = 0,5 kg

Destek çekildiğinde sistem ok yönünde a = 5 m/s2

lik ivmeyle hızlanır. İki cisim aynı ipe bağlı olduğun-dan hızları her zaman eşit olur. Bu nedenle;

, , . P P m v m v P P bulunur 1 5 0 5 3 1 · · 2 1 2 1 2 1 = = = Yanıt C dir.

Nihat Bilgin Yayıncılık© 11. B C A 60 m 45 m v1x=20 m/s v_1y=15 m/s v1=25 m/s 37° 45° v2x=15 m/s v2y =15 m/s v2=15 2 m/s Şekil I

m₁, m₂ kütleli cisimlerin atılma anındaki hızlarının yatay ve düşey bileşenleri Şekil I deki gibidir. Her iki cismin düşey hızları eşit olduğundan, cisimler, aynı yükseklikten geçer. Cisimlerin düşey hızları 15 m/s olduğundan, her iki cismin de uçuş süresi 3 s dir. Bu nedenle A noktasından atılan m₁ kütleli cisim, 3 s de yatayda 60 m yol alarak C noktasına varır. Benzer biçimde B noktasından atılan m₂ kütleli ci-sim de aynı sürede 45 m yol alarak C noktasına va-rır. C noktasında hız vektörlerinin düşey bileşenleri yer tarafından dengelenir.

m m

v1x = 20 m/s v2x = 15 m/s

m m vort = 2,5 m/s Şekil II

C noktasında cisimlerin hız vektörlerinin yatay bile-şenlerinin etkileşimi Şekil II deki gibi olur. Ortak küt-le ise sağa doğru 2,5 m/s lik hızla yatay yüzeyde düzgün doğrusal hareket yapar.

Yanıt B dir. 9. B noktası yörüngenin tepe noktası olup bu noktada

yalnızca yatay hız vardır. B noktasında cismin ya-tay hızı v_x = v₀ . cos 60° = 15 m/s dir. Yani patlama olmadan önce cismin momentumu;

P_x = m · v_x = 2 · 15 = 30 kg.m/s

dir. Patlamadan sonra da bu momentumun korun-ması gerekir. v1 = 30 m/s 1 kg 45° _v 2x = 30 m/s v_2y = 30 m/s v2 = 30 2 m/s 1 kg B

Bu nedenle patlamadan sonra diğer parça yatayla 45° lik açı yapacak biçimde v₂ = 30 2 m/s ilk hız-la eğik atış yapar.

Yanıt B dir.

10. Eğik atış hareketinde yatay eksende hız değişimi

olmadığından momentum değişimi de yoktur. Dü-şey eksende ise momentum değişimi vardır.

B

C vilk = v

v_son = –v T

Cismin B den C ye varıncaya kadarki momentum değişimi;

ΔP = m . Δ v = m . ( vson – vilk)

ΔP = m (–v – v) = –2mv bulunur.

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

14. m₂ kütleli cisim arabadan atılmadan önce, araba-nın, +x doğrultusunda bir momentumu vardır. Atıl-dıktan sonra cismin y doğrultusunda bir momentu-mu oluşacak ancak bu momentumomentu-mun arabanın hız vektörüne bir katkısı olmayacaktır. +x yönündeki momentumun korunumundan; v2y 60° v2x v1 = 4 m/s m2 v2 P_{önce x( )}= P_{sonra x( )}

/

/

(m₁ + m₂)v₁ = m₁v′₁ + m₂v_2x 10 · 4 = 8 · 4 + 2 · v_2x 8 = 2v_2x ⇒ v_2x = 4 m/s bulunur. Buradan v₂ hızı; v_2x = v₂ . cos 60° 4 = v₂ · 2 1 ⇒ v2 = 8 m/s bulunur. Yanıt C dir. 15. m1 = 4 kg v1 = 14 m/s v₂ = 0 m2 = 3 kg m1 v1 v2 m2 ç. önce ç. sonra Şekil I Şekil II

Hızı v₁ = 14 m/s olan m₁ kütleli cisim, durgun hâl-deki m₂ kütleli cisme merkezi esnek olarak çarpıyor (Şekil I). Cisimlerin çarpışmadan sonraki hızları v′1,

v′₂ olsun. v′₂ = ( m m m 2 1 2 1 + ) · v1 v′₂ = ( 7 8 ) · 14 = 16 m/s olur. Yanıt C dir. 12. yer h = 80 m v0 = 40 m/s 30 m/s 2 kg yatay

Balondan atılan cismin yere düşme süresi; –h = v_0y · t – 2 1 · g · t2 –80 = 30 · t – 5t2 t2 _{– 6t – 16 = 0} (t – 8) · (t + 2) = 0 ⇒ t₁ = 8 s, t₂ = –2 s olur. Zaman negatif değer almayacağına göre t = 8 s dir. Cismin uçuş süresi 8 s olduğuna göre bu cisme uy-gulanan itme; itme = F . Δt itme = mg . Δt itme = 2 . 10 . 8 = 160 N.s olur. Yanıt C dir. 13. _m 1 = 4 kg m2 = 1 kg m₂.g = 10 N a = 2 m/s2

Şekildeki sürtünmesiz sistem serbest bırakıldığın-da ok yönünde a = 2 m/s2 _{lik ivme ile hızlanır.}

Sis-temin, dolayısıyla m₂ kütleli cismin hızı arttıkça po-tansiyel enerjisi azalır. m₂ kütleli cismin potansiyel enerjisi 360 J azaldığında ∆E_p = ∆E_k ∆E_p = 2 1 · (m₁ + m₂) · v2 360 = 2 1 · 5 · v2 _{⇒ v = 12 m/s}

bulunur. Bu hız, her iki kütlenin ortak hızıdır. m₁ küt-leli cismin ilk hızı sıfır, son hızı 12 m/s olduğundan momentumundaki değişme;

ΔP = m₁ . Δv = 4 . (v_son – v_ilk) ΔP = 48 kg m/s bulunur.

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

16. Momentumun korunumundan çarpışmadan sonraki

ortak hızı bulalım.

/

P_önce=

/

P_sonra m₁v₁ + m₂ · 0 = (m₁ + m₂) · v_ort 0,1 · 300 + 0 = 1 · v_ort v_ort = 30 m/s v₁ = 300 m/s v₂ = 0 m₂ m₁ vort m₁ + m₂ ç. önce ç. sonra

Ortak kütle, sahip olduğu kinetik enerjiyi potansiyel enerjiye dönüştürerek yükselir. Yükselme miktarı; E_k = E_p 2 1 · mv2 _{= mgh} h = g v 2 20 900 ort 2 = h = 45 m bulunur. Yanıt A dır.

17. Merkezi esnek çarpışma yapan iki cismin ilk

mo-mentumlarının bileşkesi sıfır ise, çarpışmadan son-ra, cisimler geldikleri hızlarla geri dönerler.

P_önce = 2m . 3v + 3m (–2v) = 0

olduğundan, P_sonra = 0 olmalıdır. Bu nedenle; v′₁ = –3v v′₂ = 2v olur. m1 = 2m v1 = 3v v2 = 2v m2 = 3m (–) (+) Yanıt E dir.

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

4. • Kuvvet-ivme grafiğinin eğimi cismin kütlesini

ve-rir.

• Cisim başlangıçta durmakta olduğundan kuvvet zaman grafiğinin altında kalan alan momentumu verir.

• Momentum P = m . v olduğundan P ve m bilinen-leriyle v hızı bulunur. Yanıt D dir. 5. hz I II III t 2t 3t zaman v 0

Momentum-zaman grafiği ile hız-zaman grafiği bir-birine benzer grafiklerdir. Şekildeki grafiğe göre ci-sim I. aralıkta a ivmesiyle hızlanmış II. aralıkta a = 0 ivmesiyle sabit hızlı III. aralıkta a ivmesiyle yavaşla-mıştır. Yani cisme II. aralıkta kuvvet etki etmez.

Yanıt D dir. 6. itme = ∆P itme = m(v_s – v_i) itme = m(– v 2 – v) = – · m v 2 3

bulunur. (–) işareti itmenin azaldığını gösterir.

Yanıt B dir.

Test 2 nin Çözümleri

1. Bir cismin kinetik enerjisiyle momentumu arasında

E_k = m P 2

2

bağıntısı vardı. Grafik incelendiğinde; P = 5 kg.m/s

iken E_k = 5 J olduğu görülür. Buradan; 5 = m 2 52 2m = 5 m = 2 5 bulunur. Yanıt A dır. 2. 2t kuvvet F 0 –F t 3t 4t _zaman + –

Kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan momentum değişimini verir. Buradan 4t anında momentumun sıfır olduğu görülür.

Yanıt E dir.

3. ivme-zaman grafiğinden cismin 2 s sonraki hızı

1. s için; v₁ = 10 – 2 . 1 = 8 m/s 2. s için; v₂ = v₁ + 2 . 1 = 10 m/s dir. Momentum değişimi;

ΔP = m . (v2 – v1)

ΔP = 2 . (10 – 10) = 0 bulunur.

Pratik Çözüm: İvme-zaman grafiğine göre ilk 2

sa-niyede hızdaki değişim sıfırdır.

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

10. m₁ ve m₂ kütleli cisimlerin A noktasındaki hızı; v₁ = 2 2· ·g h

v₂ = 2· ·g h

olur. Cisimler çarpıştıktan sonra durduklarına göre ilk momentumları birbirine eşit ve zıt yönlüdür. O hâlde; P₁ = P₂ m₁ · 2 2gh = m₂ · 2gh _mm 2 1 2 1 _{= bulunur.} Yanıt B dir.

11. m kütleli K cismi duran m kütleli L cismine çarptığında

hızını ona aktarır ve kendisi hareketsiz kalır. O hâlde K cisminin kinetik enerjisi,

2 1 mv2 _{kadar azalır.} Yanıt C dir. 12. A P₂ = 6 kg.m/s x y 30° 60° 60° P = 6 kg.m/s P1 = 6 kg.m/s

Şekil incelendiğinde ortak kütlenin momentumu P = 6 kg . m/s olduğu görülür. O hâlde ortak kütle-nin hızı;

P = (m₁ + m₂) . v_ortak 6 = (3 + 2) . v_ortak v_ortak = 1,2 m/s

Yanıt D dir. 7. Cismin 50 m yükseklikten 10 m yüksekliğe ininceye

kadar geçen zaman; h = 5t2

40 = 5 . t2

t = 2 2 s

bulunur. Bu sürede cismin kazanacağı hız ve mo-mentum; v = g . t v = 10 . 2 2 = 20 2 m/s P = m . v P = 2 · 20 2 = 40 kg . m/s Yanıt C dir.

8. Grafikte cismin ilk hızı 10 m/s, son hızı –10 m/s

ola-rak verilmiştir. Momentumdaki değişim; ΔP = m (v_s – v_i)

ΔP = 2 . (–10 – 10)

ΔP = 2 . (–20) = –40 kg . m/s

Yanıt C dir.

9. Momentumun korunumu ilkesinden, P_ilk = P_son olmak zorundadır ve momentum vektörel bir büyük-lük olduğundan →P₂ ve →P₁ momentumlarının vektörel toplamı →P momentumunu vermelidir. Bunu sağla-yan →P₁ momentumu Şekil II de kesikli çizgilerden IV ile ifade edilmiştir.

Nihat Bilgin Yayıncılık© 15. P_önce = P_sonra m . v = (M + m) . v_ortak 10 . 10–3 _{. 400 = (990 + 10) . 10}–3 . _v ortak v_ortak = 4 m/s

bulunur. Ortak kütlenin yükselme miktarı; h = g v 2 ortak 2 h = · ( ) 2 10 4 5 4 2 = m bulunur. Yanıt C dir.

16. m kütleli cismin L noktasındaki hızı;

mgh = 2 1 m · v2 10 · 1,8 = 2 1 v2 _{⇒ v = 6 m/s}

bulunur. Momentumun korunumundan; P_önce = P_sonra

m . v = (m + 2m) . v′

m . 6 = 3m . v′ ⇒ v′ = 2 m/s bulunur. Çarpışmadan sonra cisimler; h = g v 2 2 l h = m 20 4 5 1 = yüksekliğe çıkar. Yanıt B dir. 17. P_önce = P_sonra m₁ · v₁ + m₂ · v₂ = (m₁ + m₂) · v_ortak m₁ · v = (m₁ + m₂) · v 3 m₁ · v = m₁ · v 3 + m2 · v3 3 2 · m₁ · v = 3 1 · m₂ · v _mm 2 1 2 1 ₌ Yanıt B dir. 13. A x y P₁ = 1 · 12 = 12 kg.m/s P P2 = 2 · 8 = 16 kg.m/s P = (12)2+(16)2 = 20 kg.m/s P = (m₁ + m₂) · v_ortak 20 = (2 + 1) · v_ortak v_ortak = 3 20 m/s Yanıt A dır.

14. Sistemin ilk kinetik enerjisi;

E_k1 = 2 1 mv2 ₊ 2 1 · 2m( v 2) 2 E_k1 = 4 3 m · v2 _{... (1)}

bulunur. Cisimlerin çarpışma sonrası sahip oldukla-rı kinetik enerji; m · v + 2m · v 2 = 3m · v′ 2mv = 3m · v′ ⇒ v′ = 3 2 v E_k2 = 2 1 · 3m · ( 3 2 v)2 E_k2 = 3 2 mv2 _{... (2)}

bulunur. (1) ve (2) denklemi oranlanırsa;

· · E E m v m v 4 3 3 2 9 8 k k 1 2 2 2 = = Yanıt B dir.

Nihat Bilgin Yayıncılık© 20. _F 37° 9 m F_x F_y

Dinamiğin temel prensibinden; F_{net = F . cos 37° = m . a} 60 . 0,8 = 6 . a a = 8 m/s2 _bulunur. x = 2 1 a · t2 9 = 2 1 · 8 · t2 _{⇒ t =} 2 3 s I = F_net · ∆t I = 60 · cos 37° · 2 3 I = 60 · 5 4 · 2 3 = 72 N.s bulunur. Yanıt A dır.

21. Cismin momentumdaki değişimi;

Δ→P = →P_s –→P_ö dir. O hâlde; 30° mv 30° 60° 60° mv mv bulunur. Yanıt A dır. 18. Çarpışmadan sonra; P_önce = P_sonra m₁ · v₁ + m₂ · v₂ = (m₁ + m₂) . v_ortak 1 · 20 = (1 + 3) · v_ortak v_ortak = 5 m/s

hızla ortak kütle yatay atış hareketi yapar. O hâlde; h = 5t_u2_ç

20 = 5t_u2_{ç ⇒ t}

uç = 2 s

x = v_ortak · t_uç = 5 · 2 = 10 m bulunur.

Yanıt D dir. 19. Momentumun korunumundan; P_önce = P_sonra m₁ . v₁ – m₂ . v₂ = (m₁ + m₂) . v 380 . 20 – 20 . 100 = 400 . v 5600 = 400 . v v = 14 cm/s

bulunur ve P₁ > P₂ olduğundan cisim +x yönünde hareket eder.

Nihat Bilgin Yayıncılık© 3. m 1 m 2 P1 2P P P2 1 br 1 br Şekle bakıldığında; P₁ = m₁ . 2 br = P ... (1) P₂ = m₂ . 1 br = 2P ... (2) elde edilir. (1) ve (2) denklemleri oranlanırsa;

· · m br m br P P m m 1 2 2 4 1 2 1 2 1

&

= = Yanıt E dir.

4. 3m kütleli cismin iç patlama sonucu parçalanmadan

önceki düşey momentumu sıfırdır. Bu nedenle par-çaların da düşey momentumlarının bileşkesi sıfır olur. Böyle olması için m kütlesi cismin hızı 2v olur. Her birinin momentumu 2mv olan parçalar arasın-daki açı 120° olduğundan bileşkeleri +x yönünde 2mv olur.

Momentumun korunması için 3m kütleli cismin par-çalanmadan önceki hızının

3

2 v olması gerekir.

Yanıt B dir.

Test 3 ün Çözümleri

1. Balmumu sahip olduğu düşey momentumu araba

yardımıyla yere aktarır. Yatayda momentumun ko-runumu göz önüne alınıldığında;

P_önce = P_sonra

m₁ . v = (m₁ + m₂) . v_ortak 4 . 10 = (4 + 1) . v_ortak v_ortak = 8 m/s bulunur.

Yanıt C dir.

2. A noktasındaki cismin K noktasında sahip olduğu

hız ve kinetik enerji; mgh = 2 1 m · v2 10 · 20 = 2 1 · v2 _{⇒ v = 20 m/s} E_k(önce) = 2 1 m · v2 ₌ 2 1 · 1 · (20)2 _{= 200 J}

bulunur. Çarpışma sonrası hızı ve kinetik enerjisi; P_önce = P_sonra m · v = (m + m) · v_ortak 1 · 20 = (1 + 1) · v_ortak ⇒ v_ortak = 10 m/s E_k(sonra) = 2 1 · 2m · v_ortak2 ₌ 2 1 · 2 · (10)2 _{= 100 J}

Çarpışma sırasında ısıya dönüşen enerji; E₁ = E_k(önce) – E_k(sonra) = 200 – 100 = 100 J bulunur. Enerjinin korunumundan;

E_k(sonra) = E₂ + mgh 100 = E₂ + 2 . 10 . 2,5 ⇒ E₂ = 50 J bulunur. O hâlde; E E 50 100 2 1 = = 2 bulunur. Yanıt E dir.

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

7. Cisim maksimum yükseklikte patladığı için ilk

mo-mentumu sıfırdır. Patlamadan sonra üç parçanın momentumlarının bileşkesi yine sıfır olur.

|P1 + P2 + P3| = 0 P3 = – (P1 + P2) olmalıdır. O hâlde; 60° 60° |P₂| = 20 kg.m/s |P1| = 20 kg.m/s |P1 + P2| = 20 kg.m/s |P₃| = 20 kg.m/s 60° P₃ = m . v₃ 20 = 2 . v₃ v₃ = 10 m/s bulunur. Yanıt B dir.

8. Cisimlerin çarpışma öncesi momentumları eşit ve

zıt yönlü olduğundan çarpışma sonrasında geldik-leri hızın tersi ile hareket ederler.

Yanıt A dır. 9. I. h g v 2 max ortak 2 =

bağıntısı ile bulunur. g, iki gezegende farklı ol-duğundan çıkabilecekleri h yükseklikleri farklı olur.

II. m . v = (m + 2m) . v_ortak

bağıntısına göre sarkacın ortak hızları her iki yerde de aynıdır.

III. Her iki gezegende sarkacın çıkabileceği h yük-sekliği farklı olduğundan düşeyle yaptığı α açısı da farklı olur.

Yanıt B dir. 5. Cisimler 3h yüksekliğinden bırakıldıklarından P

noktasında kazanacakları hız değeri v = 6gh dır. Momentumun korunumundan; 2m · 6gh – m · 6gh = 3m · v_ortak m · 6gh = 3m · v_ortak v_ortak = gh 3 6

bulunur. Bu hızla ortak kütlenin çıkabileceği maksi-mum yükseklik; mgh′ = 2 1 m · (v_ortak)2 gh′ = gh 2 1 3 6 2 d n gh′ = · g h· 2 1 9 6 ⇒ h′ = h 3

bulunur. 2m kütleli cismin momentumu m kütleli cis-min momentumundan büyüktür. Bu nedenle ortak kütle PS arasında bir noktaya çıkar.

Yanıt D dir.

6. Çarpışmadan hemen önce m kütleli cismin

kazan-dığı hız v₁ , 2m kütleli cismin kazandığı hız v₂ ol-sun. Şimdi bu hızları bulalım.

mgh = 2 1 m · v₁2 10 · 0,8 = 2 1 · v₁2 v₁ = 4 m/s 2mgh = 2 1 · 2m · v₂2 10 · 3,2 = 2 1 · v₂2 v₂ = 8 m/s bulunur.

Çarpışmadan sonra momentumun korunumundan; 2m . v₂ – m . v₁ = (m + 2m + 3m) . v_ortak

2m . 8 – m . 4 = 6m . v_ortak 12m = 6m . v_ortak v_ortak = 2 m/s

bulunur. 2m kütleli cismin momentumu m kütleli cis-min momentumundan büyük olduğundan (b) yö-nünde hareket eder.

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

13. Çarpışma sonrası kütleler +x yönünde hareket

et-tiğine göre düşeydeki momentum sıfır olmalıdır. O halde; P_1y = P_2y m₁ · v · cos 37° = m₂ · v · sin 37° ° ° cos sin m m 37 37 4 3 2 1 _{= = bulunur.} Yanıt D dir. 14. P_önce = P_sonra m₁ . v₁ – m₂ . v₂ = (m₁ + m₂) . v_ortak 90 . 10 – 10 . 30 = (90 + 10) . v_ortak 600 = 100 . v_ortak v_ortak = 6 cm/s

bulunur. m₁ kütleli cismin momentumu daha büyük olduğundan cisim v₁ yönünde hareket eder.

Yanıt A dır.

15. Momentum vektörel bir büyüklük olduğundan;

1 br 1 br |P1 + P2| = 4 kg.br |P₂| = 2 2 kg.br |P1| = 2 2 kg.br x y P3 |P1 + P2 < P3| 4 kg.br < m₃ . 1 br 4 kg < m₃

olmalıdır. Sistemin –x yönünde hareket edebilmesi için m₃ kütlesi 5 kg olabilir.

Yanıt A dır. 10. m kütleli cisim 4h yüksekliğinden bırakıldığından

B noktasındaki hızı v = 2 2gh olur. Çarpışmadan sonra momentumun korunumundan;

m · 2 2gh = 2m · v_ortak v_ortak = 2gh

bulunur. Ortak kütlenin çıkabileceği yükseklik; h g v h g gh h 2 2 2 ortak 2 = = = l l

bulunur. O hâlde ortak kütle C noktasına çıkar.

Yanıt C dir.

11. Patlamadan önceki momentum +x yönünde ve

P_önce = 8 · 12 = 96 kg.m/s dir.

Patlamadan sonra m₁ ve m₂kütleli parçaların mo-mentumlarının bileşkesi +x yönünde 6 kg.m/s dir. Momentumun korunması için m₃ kütleli parçanın momentumu +x yönünde 90 kg.m/s olması gerekir. m₃ = 2 kg olduğundan v₃ hızı +x yönünde 45 m/s olur. Yanıt A dır. 12. P_önce = P_sonra (m₁ + m₂) . v₂ = m₂ . v₂′ – m₁ . v₁ . cos 60° (m + 2m) · 15 = 2m · v₂′ – m · 30 · 2 1 45m = 2m · v₂′ – 15m 2mv₂′ = 60 v₂′ = 30 m/s bulunur. Yanıt C dir.

Nihat

Bilgin

Yayıncılık©

16. Parçalanma olmadan önce momentum +x

yönün-dedir. Parçalanmadan sonra eşit kütleli dört parça-nın momentumlarıparça-nın bileşkesi +x yönünde olmalı-dır.

Parçalanmadan sonra v₁ ile v₃ hız vektörlerinin düşey bileşenleri eşit olduğundan düşey momen-tum sıfırdır. Bu nedenle dördüncü parçanın hız vek-törü v₂ ile birlikte +x yönündedir.

Yanıt B dir. 17. Momentumun korunumundan; P_önce = P_sonra m₁ · 2v = (m₁ – m₂) · v′ v′ = _m2m_–m 1 2 1 _{· v} bulunur. Yanıt E dir.