YKS (TYT ve AYT)‘ ye Hazırlık
KONU ANLATIMLI GEOMETRİ
FASİKÜL – 1
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE AÇILAR
Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik Öğretmeni
Editör Hüseyin AKTÜRK sky4eve_r@hotmail.com
II
“Çizilebilen her sorunun, doğru çözümü vardır.”
“Geometri, görme ve sezgi gücünü doğru kullanabilme kabiliyetidir.”
Bu kitabımı çok sevdiğim torunlarım Eren Haydaroğlu ile T.Furkan GEDİKLİ’ye hayat boyu çalışmalarında üstün başarı dileklerimle armağan ediyorum.
Erol GEDİKLİ
“Geometri, uzaydaki tüm varlıkları ahenkli bir biçimde görebilme sanatıdır.”
Erol GEDİKLİ
Bu kitabın bir kısmı veya tamamı, kitabın yazarından izin alınmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz, yayınlanamaz, dağıtılamaz ve satılamaz.
Bu kitabın yasal her hakkı ve telif hakkı, bu kitabı hazırlayan Erol
GEDİKLİ’ye aittir.
III
BU KİTAPTA KULLANILMIŞ SEMBOLLER VE ANLAMLARI
Sembol: Anlamı:
. A A noktası d doğrusu veya AB doğrusu [AB : AB ışını
]AB : AB yarı doğrusu [AB] : AB doğru parçası ]AB[ : AB yarı doğru
parçası
|AB| = a : A B doğru parçasının uzunluğu a sayısıdır.
A (a) : A noktasının koordinatı a dır veya A noktasının eşlendiği sayı a dır.
ABĈ : Köşesi B noktası olan ABC açısı m(ABĈ )=x0 : ABC açısının ölçüsü x derecedir.
ABC :ABC üçgeni
A(ABC) = S :ABC üçgensel bölgesinin alanı S sayısıdır.
ABC ↔ DEF : ABC üçgeni ile DEF üçgeninin köşeleri karşılıklı birebir eşleniyor.
ABC ≅ DEF : ABC üçgeni ile DEF üçgeni eş iki üçgendir.
ABC ∼ DEF : ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzer iki üçgendir.
Sembol: Anlamı:
∈:
Elemanı olma veya ait olma.∉:
Elemanı değildir veyaait değildir.
= : Eşittir.
≠: Eşit değildir.
>: Büyüktür.
<: Küçüktür.
≥: Büyüktür veya
eşittir.
≤: Küçüktür veya eşittir.
d1// d2: d1 ile d2 doğrusu paraleldir
d1 d2 d1 ile d2 doğrusu diktir
: P düzlemi P
IV
ÖNSÖZ Sevgili Öğrenciler:
Bu kitabınız, size gireceğiniz sınavlardaki geometri sorularını çözmede, çalışmalarınız da başarılı olmanız için katkı sağlayacaktır.
Kitap 12 bölümden oluşmaktadır.
Bölümler; belli bir sıralama ve sistematik bir biçimde konu anlatımları ve örnek çözümleri ile öğrencilere yorum yaparak çalışma alışkanlığını kazandıracak biçimde sunulmaktadır.
Bu derste yapacağınız çalışmalarınızın sonucunda başarılı olmanızı bekliyorsanız aşağıdaki sıralamaya özen göstererek bu kitaptaki konulara sırasıyla çalışmanızı öneriyorum.
1) Konu anlatım sırasına dikkatle uyunuz.
2) Konu anlatım ve konu bilgilerini ezbere değil ve örnek üzerinde çözüm yaparak, kavrayınız.
3) Çözümlü test sorularını, kendiniz tekrar çözerek konu bilgilerinizi ve yorum gücünüzü geliştiriniz.
4) Cevaplı test sorularını çözerek, cevapları ile karşılaştırınız, varsa yanlışlarınız ve eksikleriniz konu tekrarı ile doğrulayınız.
5) Konu ile ilgili bağlantıları, konu anlatım sırasına göre öğrendiğiniz konu bilgilerinizi unutmadan çözümlerle geliştirmeye ve sağlamaya çalışınız. Bu yöntemle öğrendiğimiz konu bilgilerinizi kullanarak, yorumlu bol ve değişik sorular çözünüz.
Soru çözerken şekle göre çözüm değil de verilenlere göre gerektiğinde yardımcı çizimlerle (açıortay, dik doğru ve paralel doğru… gibi) çözümü kolaylaştırarak, bilinmeyeni en kısa ve kolay yoldan bulmaya çalışınız.
Okul hayatınızda ve gerçek hayatınızda; problemleri değerlendirip, doğru sonuca ulaşmanızda temel yönteminiz, mantıksal düşünerek verileri doğru bilgiler ışığında analiz edip, tümdengelim ve tümevarım (gerektiğinde doğrudan veya aksine örnek verme) yöntemlerini kullanmayı prensip haline getirmeniz size yarar sağlar.
Sevgili öğrenciler; bu kitabınız çalışmalarınızda, hedeflediğiniz yere ulaşmanız için size katkı sağlayacaktır.
Değerli meslektaşlarım bu kitabı sizlerin de değerli görüşlerinize sunarken öneri ve eleştirilerinizi bildirmenizi rica eder, iyi çalışmalar dilerim.
Erol GEDİKLİ Emekli Mat. Öğretmeni
V
İÇİNDEKİLER
I. TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
1.1. Nokta, Doğru, Düzlem ve Uzay kavramları……….1
1.2. Doğru ve Düzlemle ilgili Aksiyomlar………..1
1.3. Yarı Doğru, Işın, Doğru parçası ve Doğru parçasının uzunluğu………..4
Çözümlü Test ……….7
Test 1 – 2 – 3 ……….9
II. AÇILAR 2.1. Açı ve Açının Bölgeleri……….12
2.2. Yönlü Açı ve Açı Ölçüsü………...12
2.3. Açı Çeşitleri………...14
2.4. Kenarları Paralel ve Kenarları Dik Açılar……….…….16
Çözümlü Test ………21
Test 1 – 2 – 3……….25
1 I. TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
1.1. Nokta, Doğru, Düzlem ve Uzay Kavramları
Nokta: Geometrinin temel kavramlarından olan nokta, tanımsızdır ve boyutsuzdur. Bir kalemin ucunun bıraktığı bir iz olarak düşünülebilir.
Nokta A.B.C.D.E…. gibi büyük harflerle gösterilir.
. A (A noktası gibi)
Doğru: Geometrinin tanımsız temel kavramlarından olan doğru, pek çok noktaların bir kümesidir ve bir düz çizgi şeklinde bir geometrik şekil anlaşılır. Doğrunun sadece bir boyutu (boyu) vardır. Doğrular d,e,f,k,l,m,n,t gibi küçük harflerle veya farklı iki noktası ile adlandırılırlar.
A∈d, B∈d ve ABolmak üzere d doğrusudur veya AB doğrusudur (Bir doğru, iki farklı ok yönünde istenildiği kadar çizilebilir).
Düzlem: Düzlem tanımsız bir geometrik kavramdır. Pek çok sayıdaki noktaların oluşturduğu bir küme ve düz bir yüzey anlaşılır.
Düzlem, boyu ve eni olmak üzere iki boyutludur.
Bir düzlem, pek çok noktaları veya doğruları kapsar. Düzlemler E,P,Q gibi büyük harflerle gösterilirler.
Uzay: Bütün noktaları, bütün doğruları veya bütün düzlemleri kapsayan en geniş (evrensel) küme anlaşılır. Uzay; boyu, eni ve yüksekliği olmak üzere üç boyutlu bir kavramdır. Bu kitapta geometride bütün işlemlerimizi, düzlemde ifade edeceğiz ve bu geometriye düzlem geometrisi veya Öklid geometrisi adı verilir. Bütün işlemlerimizi uzayda ve ilgili aksiyonlarını ifade edeceğimiz bir diğer geometriye “uzay geometri”
denir. Koordinat sistemi tanımlanıp işlemleri bu koordinat sisteminin yerleştirildiği düzlemde ifade edilebilen bir başka geometriye de “analitik geometri” denir. Kısaca; düzlem geometri, analitik geometri, uzay geometri… gibi çeşitli geometriler vardır.
1.2. Doğru İle İlgili Önemli Aksiyomlar ve Kuralları
1. Farklı iki noktadan yalnız bir tek doğru geçer.
Aile B gibi iki farklı nokta, bir tek d doğrusunu belirtir.
F A S İ K Ü L 1
2 2. Bir noktadan, pek çok doğru geçer. Bu doğrulara bir doğru demeti denir.
3. Bir doğru üzerinde bulunan noktalara,
“doğrusal noktalar” denir. Bir doğru üzerinde bulunmayan noktalara da “doğrusal olmayan noktalar” denir.
A∈d, B∈d ve C∈d ise A,B ve C doğrusal noktalardır.
A∉d, B∈d ve C∈d ise A,B ve C doğrusal değildir.
B ve C doğrusal iki noktadır.
4. Bir düzlemde bulunan ve herhangi üçü aynı doğru üzerinde bulunmayan (doğrusal olmayan) n tane noktadan geçen en çok 𝐶(2𝑛) = (2𝑛) =n .(n−1)
2
tane doğru vardır.
Örnek: Doğrusal olmayan 3 tane noktadan en çok kaç tane farklı doğru geçer?
Çözüm: n=3 𝐶(23) =3.(3−1)
2 =3.2
2 = 3 tane doğru geçer.
2. Yol:
Çizimle A,B ve C doğrusal olmayan üç nokta olsun. Bu üç noktadan ikişer ikişer en çok 3 tane d1,d2,d3 gibi doğrular çizilebilir.
Örnek: Üçü doğrusal olan 4 tane farklı noktadan en çok kaç farklı doğru geçer.
Çözüm:
1 Yol: Üçü doğrusal olmasaydı 𝐶(24) =4.(4−1)
2 =4.3
2 = 6 tane olurdu. Ancak 3 ü doğrusal olduğundan
𝐶(23) =3.(3−1)
2 =3.2
2 = 3 tanesi çakışık (bir doğru) olur. O halde;
𝐶(24) − 𝐶(23) + 1 = 6 − 3 + 1 = 4 tane farklı doğru geçer.
2. Yol:
Çizimle A,B, ve C doğrusal nokta olmak üzere A,B,C,D 4 nokta olsun. 2 şer 2 şer birleştirerek bu noktalarla en çok d1,d2,d3 ve d4 gibi 4 farklı doğru çizilebilir.
F A S İ K Ü L 1
3 5. Bir düzlemdeki farklı iki doğrunun en çok bir tek ortak noktaları vardır (bu nokta, kesim noktasıdır).
d1d2 = {A} dır.
d1d2 = ise d1//d2
dir. ( d1 ile d2 paraleldir.)
6. Bir düzlemde, birbirine paralel olmayan n tane farklı doğru birbirini en çok = 𝐶(2𝑛) tane noktada keserler.
Örnek: Birbirine paralel olmayan üç farklı doğru, birbirini en çok kaç farklı noktada keserler?
Çözüm: n=3 𝐶(2𝑛) = (23) = 3!
2!.(3−2)!= 3!
2!.1!=2!.3
2!.1= 3 farklı noktada keserler.
2.Yol: Çizimle
Birbirine paralel olmayan d1,d2, ve d3 gibi 3 doğru ikişer ikişer birbirini en çok A,B, ve C gibi 3 noktada keserler.
Örnek: İkisi paralel olan 4 doğru birbirini en çok kaç farklı noktada keserler?
Çözüm: 4 doğru birbirini (24) noktada keserler.
Ancak 2 si paralel olduğundan (22) nokta eksik
olacağından (24) − (22) =4.3
2 −2.1
2 = 6 − 1 = 5 farklı noktada keserler.
2. Yol Çizimle
d1// d2 olmak üzere d1,d2,d3 ve d4 4 farklı doğru 2şer 2şer birbirini A,B,C,D,E gibi 5 farklı noktada kesiştikleri çizimle bulunabilir.
7. Düzlemde ortak noktaları bulunmayan doğrulara, paralel doğrular denir.
d1 d2 = ∅ <=> d1 // d2 dir.
Bir doğruya, dışındaki bir noktadan geçen tek paralel doğru çizilebilir.
A∈d olmak üzere A noktasından geçen ve d ye paralel olan bir tek k doğrusu vardır. A∈k ve k//d olmak üzere k doğrusu, bir tektir.
8. Düzlemde paralel iki doğrudan, birine paralel olan doğru, diğerine de paralel olur.
d1 // d2 olsun.
d3 // d1 ise d3 // d2 olur.
F A S İ K Ü L 1
4 9. Paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini de keser.
d1//d2 olmak üzere d3 n d2 = {A} ise d3 n d1 = {B}
olur.
d1//d2 ve A∈d3ise b∈d1 olur.
1.3. Yarı Doğru:
A başlangıç noktası, doğruya ait olmayan bir doğrudur. ] AB ile gösterilir.
Işın: Başlangıç noktası yarı doğruya aittir.
A∈[AB olmak üzere [AB ışınıdır.
Doğru Parçası: Bir doğru üzerinde bulunan farklı iki nokta ile aradaki tüm noktaların birleşim kümesidir.
A∈d ve B∈d olmak üzere [AB] AB doğru parçasıdır.
C∈ [AB] dir.
Doğru Parçasının Uzunluğu: Başlangıç ve bitim noktalarına karşılık gelen sayıların farkıdır.
A(a) ve B(b) noktaları verilsin. Aile B noktaları arasındaki uzaklık veya [AB]’nin uzunluğu |AB|
ile gösterilir ve |AB|= |a-b|=|b-a|=C∈ R+dir.
Örnek: A(3) ve B(-2) noktaları veriliyor. A ile B noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
|AB| = |3-(-2) = |3+2| = |5| = 5 birimdir.
Örnek:
Şekilde d doğrusu üzerinde verilen A(a) ve B(b) noktaları için b > a olmak üzere;
a= 2x -1 ve b= x – 2 veriliyor. |a-b| ≤ 4 olduğuna göre x in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) -15 B) -14 C) -9 D) -5 E) 0 Çözüm: a = 2x-1, b = x-2 olduğundan
|a - b| ≤ 4 => |2x-1-(x-2)| ≤ 4
=> |2x-1- (x+ 2)| ≤ 4
=> |x+1| ≤ 4 ve b>a => a-b=x+1<0
=> -(x+1)≤ 4 => x+1 ≥ -4 => x≥-5 tir.
=> x≥-5, a=2x-1, b=x-2 ve b>a olduğuna göre x tamsayıları,
x = -5, -4, -3, -2, ve toplamları -5 -4 -3 -2 = -14 bulunur. (B)
Örnek:
Şekilde d doğrusu üzerindeki A(x) ve B(y) noktaları için x<y,x = 1 – a ve y = 2+a veriliyor. a bir tam sayı ve |AB| > 3 ise A ile B noktaları arasındaki uzaklık en az kaç birimdir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
A C B
F A S İ K Ü L 1
5 Çözüm: |AB| > 3 => |1- a-(2+a)| > 3
=> |1- a- 2 - a| > 3 => |-2a-1| > 3
=> -2a -1 > 3 V- (-2a-1) > 3
=> 2a < -4 V 2a+1> 3
=> a < -2 V a > 1
a > 1 olmak üzere a=2 alınırsa
|AB| > 3 => |-2a-1| > 3
? ?
=> |-2a-1| = |-2. 2 -1|= |-4 -1| = 5> 3
|AB| = 5 en az olur. (B)
Örnek: [AB] doğru parçası için A(-2) ve B(5) ise
|AB| kaç birimdir?
|AB| = |a-b| = |-2-5| = |-7| = 7 olur.
Bir doğru bulunduğu düzlemi iki bölgeye ayırır.
d doğrusu üzerinde bulunduğu düzlemi 1. bölge ve 2. bölge olmak üzere farklı iki bölgeye ayırır.
Kural: Aynı bir düzlemde bulunan n tane farklı doğru, bulundukları bu düzlemi en az = n+1 tane (doğrular paralel ise) bölgeye ayırırlar ve en çok ise n.(n+1)
2 + 1 tane bölgeye ayırırlar.
Örnek: Bir düzlemde bulunan 3 farklı doğru, bu düzlemi en az ve en çok kaç bölgeye ayırırlar?
Çözüm: n = 3 ve en az = ( n + 1) = 3+1= 4 ve en çok = n.(n+1)
2 + 1
= 3.(3+1)
2 + 1
= 3 .4
2 + 1 = 6 + 1 = 7 tane bölgeye ayırırlar.
2. Yol: Çizimle En az doğrular paralel
(4) bölgeye ayırırlar.
En çok ise;
(7) Bölgeye ayırırlar.
Düzlem ile İlgili Aksiyomlar ve Önemli Kurallar:
1. Doğrusal olmayan en az üç farklı nokta bir düzlem belirtir. Doğrusal olan noktalardan sayısız (pek çok) düzlem geçer (Bir doğrudan).
Kural: n farklı nokta en az 1 ve en çok=C(n,3)=𝑛.(𝑛−1).(𝑛−2)
6 farklı düzlem belirtir.
2. Bir doğru ve dışındaki bir noktadan bir tek düzlem geçer.
F A S İ K Ü L 1
6 3. Kesişen iki doğru yalnız bir tek düzlem belirtir.
Örnek: Bir noktadan kaç farklı düzlem geçer. Pek çok düzlem geçer.
Örnek: Bir doğrunun üzerinde bulunduğu, bir noktadan kaç farklı düzlem geçer. Pek çok düzlem geçer.
Soru: Bir doğrunun üzerinde bulunduğu kaç farklı düzlem vardır?
Soru: Doğrusal olmayan 4 farklı noktadan kaç farklı düzlem geçer?
Kural: Aynı düzlemde bulunan ve herhangi 3ü doğrusal olmayan n tane farklı noktadan en çok = 𝐶(2𝑛) = n!
(n−2)! .2!= 𝑛.(𝑛−1)
2 tane farklı doğru geçer.
Örnek: Bir düzlemdeki herhangi 3ü doğrusal olmayan 8 tane farklı noktadan en çok kaç tane farklı doğru geçer?
Çözüm: n=8 olduğuna göre en çok = 𝑛.(𝑛−1)
2 =
8.(8−1)
2 = 4.7 = 28 tane farklı doğru geçer.
Örnek: Bir düzlemdeki herhangi 3ü doğrusal olmayan 6 nokta ile en çok (2x-1) tane farklı doğru çizilebildiğine göre x i bulunuz?
Çözüm: n=6 ve
=> 2𝑥 − 1 =𝑛.(𝑛−1)
2 => 2𝑥 − 1 =6.(6−1)
2
=> 2𝑥 − 1 =6.5
2 => 2x-1=15 => 2x=16
=> x=16/2 => x=8 bulunur.
Kural: Aynı düzlemde bulunan ve hiçbiri birbirine paralel olmayan n tane farklı doğrunun 2 şer 2 şer en çok = 𝐶(2𝑛) =n.(n−1)
2 tane farklı kesim noktası vardır.
Örnek: Bir düzlemdeki birbirine paralel olmayan 9 farklı doğrunun 2 şer 2 şer en çok kaç farklı kesim noktası olduğunu bulunuz?
Çözüm: n=9 farklı doğrunun en çok 𝑛.(𝑛−1)
2 den
9.(9−1) 2 = 9.8
2 = 36 tane farklı kesim noktası vardır.
Örnek: Hiçbiri birbirine paralel olmayan ve aynı düzlemde bulunan (3x-15) tane farklı doğrunun, 2 şer 2 şer en çok 15 tane farklı kesim noktası varsa, x i bulunuz?
Çözüm: n=3x-15 ve 𝑛.(𝑛−1)
2 = 15 => n2-n-30 = 0
=> (n-6)(n+5) = 0 => n-6 = 0
=> 3x-15-6 = 0 => 3x = 21
=> x = 7 bulunur.
F A S İ K Ü L 1
7 1) Bir düzlemde bulunan ve herhangi 3 ü doğrusal olmayan 4 noktadan geçen en çok kaç doğru vardır?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
2) Bir düzlemde bulunan ve herhangi 4’ü doğrusal olan 5 noktadan en çok kaç farklı doğru geçer?
A) 10 B) 8 C) 7 D) 5 E) 4
3) Aynı düzlemde bulunan ve birbirine paralel olmayan 4 farklı doğru birbirini en çok kaç farklı noktada keserler?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
4) Bir düzlemdeki 5 farklı doğrudan 2 si paralel olduğuna göre, bu doğrular birbirini en çok kaç farklı noktada keserler?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
5) Bir düzlemde bulunan farklı 4 doğru, bu düzlemi en az kaç farklı bölgeye ayırırlar?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
6) Aynı düzlemdeki 5 farklı doğru, bu düzlemi en çok kaç farklı bölgeye ayırır?
A) 10 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16
7) Bir düzlemdeki 4 farklı doğru bu düzlemi en az x-1 ve en çok y+3 bölgeye ayırırsa x+y toplamı kaçtır?
A) 12 B) 14 C) 16 D)18 E) 20
8) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) İki nokta, bir tek doğru belirtir.
B) Üç nokta doğrusal olabilir.
C) Bir noktadan pek çok doğru geçer.
D) Üç noktadan bir tek düzlem geçer.
E) İki noktadan pek çok düzlem geçer.
9)
Yukarıdaki şekle göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) [CA [AC]= [AC]
B) [AB] [AC]={B}
C) [AB] [BC]={B}
D) B∈ ] BC
E) [BC] [BA] = [BC]
10) Aynı düzlemde bulunan ve paralel olmayan doğrular en çok 10 noktada kesişiyorsa, en az kaç farklı doğru vardır?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 ( Çözümlü Test)
F A S İ K Ü L 1
8 1) n = 4 ve en çok = 𝐶(2𝑛) =n (n−1)
2 den en çok = 4.(4−1)
2 = 2.3 =6 bulunur. (B) 2) n= 5 ve k= 4 ü doğrusal olduğundan
en çok = 𝐶(2𝑛) − 𝐶(2𝑘) + 1 den = (25) − (24) + 1
= 5 .4
2 −4 .3
2 + 1
= 10-6+1 = 5 bulunur. (D)
3) n = 4 ve en çok = (2𝑛) den En çok = (24) =4.3
2 =6 bulunur. (C)
4) n = 5 ve k = 2 olduğundan en çok = (25) − (22)
=5 .4
2 −2 .1
2 = 10 − 1 =9 bulunur. (E) 5) n doğru düzlemi en az n+1 bölgeye ayırır o
halde n = 4 olduğundan
En az = n + 1= 4+1= 5 bulunur. (A)
6) n = 5 ve en çok = n .(n+1)
2 + 1 olduğundan En çok = 5 .(5+1)
2 + 1 = 5 . 6
2 +1= 16 bulunur. (E)
7) n = 4 ve
En az = x–1= n+1=>x-1=4+1
=>x-1=5
=>x=6 dır.
En çok= y+3=n.(n+1)
2 + 1=>
y+3= 4.5
2 +1=>y+3=11
=>y=8 dir.
O halde; x=6 ve y=8 den x+y=6+8=14
bulunur. (B)
8) Farklı iki nokta, bir tek doğru belirtir.
O halde A yanlıştır.
9)
[AB] [BC] = {B} (ortak) olur. (C)
10) n tane doğru en çok (2𝑛) noktada kesişirler.
O halde (2𝑛) = 10 => n.(n−1)
2 = 10 => n2 − n − 20 = 0 => (n-5) (n+4) = 0
=> n-5=0=>n=5 bulunur. (A) ( Çözümlü Testin Çözümleri)
F A S İ K Ü L 1
9 1) Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 7 nokta, en çok kaç farklı doğru belirtir?
A) 43 B) 42 C) 21 D) 12 E)6
2) Aynı düzlemde bulunan en az kaç tane doğrusal olmayan nokta, 36 tane doğru belirtir?
A) 8 B) 9 C) 16 D) 18 E) 23
3) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) İki nokta, bir düzlem belirtir.
B) Bir noktadan birçok doğru geçer.
C) Üç noktada doğrusal olabilir.
D) Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir.
E) Bir doğru bulunduğu düzlemi iki bölgeye ayırır.
4) Bir düzlemde bulunan 2 si paralel olan 4 doğru, en çok kaç kesişme noktası oluştururlar?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
5) Bir düzlemde bulunan 6 farklı doğru, en az kaç farklı nokta ile çizilebilir?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
6) n tane farklı doğru, bulundukları bir düzlemi en çok 22 bölgeye ayırdığına göre n kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
7) 5 farklı doğru, bir düzlemi kaç bölgeye ayıramaz?
A) 14 B) 6 C) 10 D) 5 E) 16
8) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Üç nokta düzlemseldir.
B) Kesişen iki doğrudan birini kesen bir doğru, diğerini de keser.
C) Paralel iki doğru arasındaki uzaklıklar aynıdır.
D) Üç doğru, üç kesişme noktası oluşturabilir.
E) Bir noktanın bir doğruya dik uzaklığı en kısadır.
9)
Yukarıdaki şekle göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) [AC U [BA = AB B) [AB] U [BC] = [AC]
C) [AC] U [BA = [AC D) AЄ [BA
E) CЄ [AB
10) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Kesişen iki doğru düzlemseldir.
B) Paralel iki doğru düzlemseldir.
C) Bir doğru, bir düzlem belirtir.
D) Üç paralel doğru, bir düzlem belirtir.
E) Bir doğru ile dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir.
( Test-1)
1)B 2)B 3)A 4)E 5)E 6)D 7)D 8)B 9)C 10)C F
A S İ K Ü L 1
10 1) |x+3|<2 ifadesini sağlayan tüm x R sayılarının, geometrik gösterimi, aşağıdakilerden hangisidir?
A) B) C)
D) E)
2)
Yukarıdaki şekilde A(1) ve B(3) başlangıç noktaları, d doğrusu üzerinde olan iki ışın veriliyor. C(x) ve C [AB] için tüm x R sayılarını, aşağıdaki hangi ifade belirtir?
A) |x+2|≥1 B)|x-2|≥1 C)|x-3|≥1 D)|x+3|≥-1 E)|x-2|≥-1
3) Bir düzlem üzerinde bulunan ve herhangi üçü doğrusal olmayan 4 farklı nokta ile bu düzlem dışındaki farklı bir nokta, en fazla kaç düzlem oluşturur?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
4) Doğrusal olmayan 6 nokta, en az kaç düzlem belirtir?
A)1 B)3 C)6 D)15 E)20
5) Bir düzlemde 3ü doğrusal olmayan 7 farklı nokta ile en çok kaç farklı düzlem çizilebilir?
A)21 B)42 C)35 D)105 E)210
6) Aynı düzlemde bulunan ve doğrusal olmayan en az kaç nokta, 36 tane farklı doğru belirtir?
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
7) |2x-5|≤4 ifadesinin sayı doğrusu üzerinde gösterdiği doğru parçasının uzunluğu, kaç birimdir?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
8) A, B ve C doğrusal üç noktadır. C noktası A ile B nin arasında ve |AB|-|AC|=12 birimdir. [CB]
nin orta noktası D ise; |BD| uzunluğu kaç birimdir?
A)6 B)5 C)4 D)3 E)2
9) x tane farklı nokta ile en az y-2 tane ve en çok da 4 tane farklı düzlem çizebildiğine göre x+y toplamı kaçtır?
A)3 B)4 C)5 D)6 E)7
10) 5 farklı nokta, en az x-1 tane düzlem ve en çok ise 2y+2 tane farklı düzlem belirtiyor. Buna göre , y-x farkı kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 ( Test-2)
F A S İ K Ü L 1
11 Şekildeki d1, d2
ve d3 doğrularının A(a), C(c), D(d) kesim noktaları ile B(b) noktası için 0<a<b<c<d olmak üzere; |AB|=x birim, |BC|=4x birim,
|CD|=2y birim ve |DA|= 3y birim. Yukarıdaki verilere göre x in, y türünden eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A)x=y B)3y C)5y D)y/5 E)y/6
12) |3x+1|≤2 ifadesinin gösterdiği doğru parçası [AB] dir. |AB|=m-1/6 olduğuna göre, m’nin değeri kaçtır?
A)1/2 B)2/3 C)3/2 D)3/4 E)4/3
Şekildeki d1, d2,d3
ve d4 doğrularının A(x), B(y), C(z) ve D(t) kesim noktaları
veriliyor. |AB|=4a cm, |BC|=2b cm, |CD|=a cm, |DA|=3b cm ve 0<x<y<z<t dir. Yukarıdaki verilenlere göre,
|AB| |BC| + |𝐶𝐷|/|𝐷𝐴|⁄ oranı kaçtır?
A)7/3 B)5/3 C)5 D)3 E)2
14) Bir düzlemde bulunan ve doğrusal olmayan 4 nokta ile bir düzlemin dışında farklı 2 nokta olmak üzere 6 nokta veriliyor. Bu noktalarla en çok kaç farklı düzlem oluşturulabilir?
A)20 B)17 C)16 D)13 E)12
15) Aynı düzlemdeki x+1 tane doğru, bu düzlemi en çok 37 bölgeye ayırdığına göre, x kaçtır?
A)10 B)9 C)8 D)7 E)6
1)B 2)B 3)D 4)A 5)C 6)E 7)C 8)A 9)E 10)B 11)D 12)C 13)A 14)B 15)D ( Test-2)
F A S İ K Ü L 1
12 2.1. Açı ve Açının Bölgeleri:
Açı: Bir düzlemde kesişen iki ışının birleşimine açı denir.
[AB U [AC= BAC açısıdır.
BAĈ , CAB̂ veya  ile gösterilir.
[AB ve [AC, BAĈ açısının kenarlarıdır.
FЄ BAĈ , E
∉
BAĈ ve D∉ BAĈ dir.2.2. Yönlü Açı:
Saatin dönme yönünün tersi açıya, pozitif yönlü açı ve saatin dönme yönündeki açıya da negatif yönlü açı denir.
Açının Ölçüsü:
Bir açının, kenarları arasındaki açıklık miktarına bu açının ölçüsü denir. Açı ölçüsü reel bir sayıdır.
Açı ölçüsü olan sayı negatifse, açı negatif yönlüdür. Açı ölçüsü pozitif sayı ise, açı pozitif yönlüdür.
m (BAĈ ) = ∝1 > 0 m (CAB̂ ) = ∝2 < 0 Örneğin: ∝1 = 970> 0 ∝2 = −830 < 0
Açı Ölçüleri ve Birbirine Çevrilmesi:
1. Derece: Bir çember yayının 360 eş parçadan birini gören merkez açının ölçüsüne, bir derece denir.
a) Dakika: Bir derecenin 1
60 ine denir. 10 = 60′ ve 1′=1
60 0
b) Saniye: Bir dakikanın, 1
60 ine denir.
1′′ = 1′
60 veya 1′= 60′′ dir.
10 = 60′= 3600′′ dir.
Örnek: x=380 43′ 21′′
ve y= 190 26′ 54′′ ise
x + y, x – y ve 2x-3y nin eşitini bulunuz?
Çözüm:
x + y= 38043′ 21′′+ 190 26′ 54′′
= 570 69′ 75′′
= 580 10′ 15′′ olur.
x = 38043′21′′ = 38042′81′′
y= 19026′54′′ = 19026′54′′
x-y=? 19016′27′′ olur.
2x-3y= 2. (38043′21′′) -3. (19026′54′′)
=76086′42′′− 57078′162′ 2x-3y= 760 86 ′42′′
- 570 78′ 162′′
770 26′ 42′′
- 580 20′ 42′′
190 6′ bulunur.
F A S İ K Ü L 1
13 Örnek: 375082′′ saniyelik bir açı, kaç derece, kaç dakika, kaç saniyedir?
Çözüm: 375082 3600 - 3600 1040 15082
- 14400
682 60 - 60 11′ 82
- 60 22′′
375082′′ = 1040 11′ 22′′
Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara, eş açılar denir.
m (BAĈ ) = m (FDÊ ) = ∝
ise bu iki açı eşittir ve BAĈ ≅ FDÊ dir.
2. Grad: Tam bir çember yayının 400 de birine denir ve 1G ile gösterilir.
400 G= 360 derecedir.
3. Radyan: Tam bir çember yayı 2π ye bölünürse, her bir yayın ölçüsüne bir radyan denir ve 1 R ile gösterilir.
360 derece=400 Grad=2π radyandır.
360D= 400G=2πR
D 180 = G
100= R
π orantı vardır.
Örnek: 600 kaç grad ve kaç radyandır?
D=60 60
180= G
200 => G = 200
3 ve G=?
R=? 60
180=R
π=> 𝑅 =π
3 olur.
600 = 200
3 G = π
3 R dir.
Açıortay, Dik Doğrular ve Ters Açılar:
Açıortay: Bir açıyı, eş iki açıya bölen ışına bu açının açıortayı denir.
m(BAĈ )= 2 ∝ olsun
m(BAD̂)= m(DAĈ)=∝ ise,
[AD ışını, BAĈ açısının açıortayıdır.
Dik Doğrular: İki doğru veya iki doğru parçası veya iki ışının kesiştikleri açı 900 ise bunlar diktir.
1
3 1 3
F A S İ K Ü L 1
14 Ters Açı: Kenarları zıt ışınlar olan iki açıya ters açılar denir ve ölçüleri eşittir.
1 ile 2 ve 3 ile
4 ters açılardır.
1=2 ve3=4
dür.
2.3. Açı Çeşitleri 1. Komşu Açı:
Köşeleri ve birer kenarları ortak, ancak iç bölgeleri farklı olan iki açıya denir. BAĈ ile CAD̂ komşu iki açıdır.
2. Dik Açı: Ölçüsü 900 olan açıya denir.
m(BAĈ )=900 ise BAĈ dik açıdır. [AC [AB dir.
3. Dar Açı: Ölçüsü 900 den küçük olan açıya denir.
m(BAĈ )= ∝ <900 ise BAĈ bir dar açıdır.
4. Geniş Açı: Ölçüsü 900 den büyük olan açıya geniş açı denir.
m(BAĈ )= ∝ > 900 ise BAĈ bir geniş açıdır.
5. Doğru Açı: Ölçüsü 1800 olan bir açıya doğru açı denir.
m(BAĈ )= ∝= 1800 ise BAĈ bir doğru açıdır.(Yarım çember yayıdır)
6. Tam Açı: Ölçüsü 3600 olan bir açıya tam açı denir.(Tam bir çember yayının ölçüsü 3600 dir)
m(BAĈ )= ∝= 3600 dir.
7. Sıfır Açı: Ölçüsü 00 olan açıya denir.
m(BAB̂)=∝= 00 dir.
8. Tümler Açılar: Ölçülerinin toplamı 900 olan iki açıya tümler açılar denir. ∝ +β = 900 ∝ ile β tümler iki açıdır.
Örneğin: Ölçüsü ∝ =360 olan bir açının tümleri β=90-36=540 dir.
F A S İ K Ü L 1
15 Örnek: Tümler iki açıdan birisi, diğerinin 400e eksiğinin 2 katından 230 fazla ise, küçük açı kaç derecedir?
Çözüm: Açılardan bir ∝ ise, diğeri 90-∝ dir.
∝= 2(90−∝ −40) + 230=>
∝= 2. (50−∝) + 23 =>
∝ = 100 – 2∝ +23=>
3∝= 123 =>∝= 410 (küçüğü) ve büyüğü=90-41=490 olur.
9. Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı 1800 olan iki açıya, bütünler açılar denir.
∝1+∝2 =1800 ise
BAĈ ile CDÊ bütünler açılardır.
Örnek: Bütünler iki açıdan birinin ölçüsü, diğerinin 4 katının 500 fazlası ise, büyük açı ile küçük açının farkı kaç derecedir?
Çözüm: Birisi ∝ ise, diğeri 1800-∝ dir.
180-∝= 4 ∝+50 => 5∝= 130 =>∝1= 260 (küçüğü)
ve büyüğü = ∝2= 180 − 26
∝2 =1540 dir.
O halde fark:154-26=1280 bulunur.
10. İç- Ters , Dış Ters
Yöndeş ve Karşı Durumlu Açılar
d1//d2 ve d1∩d3= {A}, d2∩d3= {B} olsun.
İç –Ters açılar eşittir.
b= x ve c=z dir.
Dış – Ters açılar eşittir.
d=k ve a=y dir.
Yöndeş açılar eşittir.
a=x, d=z, b=y, c=k dir.
Karşı durumlu açılar bütünlerdir.
c+x=1800, b+z=180 d+y=1800 ve a+k=1800
c+x =b+z =d+y =a+k =1800 olur.
Örnek:
Şekilde [AC // [DE, [AB// [DC ve m(BAĈ )=650 ise
m(EDĈ )= kaç derecedir?
Çözüm:
m(DCÊ )=m(ABĈ )=650 (yöndeş açılardır).
x+650=1800 (karşı durumlu açılardır).
O halde x=180- 65=1150 olur.
F A S İ K Ü L 1
16 Örnek:
Şekilde [BC // [AD//
[EF/ ve [BECBÂ , açısının açıortayıdır.
m(BEF̂ )=1400 ise, m(BAD̂)=x kaç derecedir?
Çözüm:
a2+140 = 1800 => a2 = 400 dir.
a1=a2= 400 (Yöndeş açılar) dır.
x+(40+40)=1800 (Karşıt durum açılar)=>
x=180-80=1000 bulunur.
2.4. Kenarları Paralel ve Kenarları Dik Açılar 1. Kenarları aynı yönde paralel olan açıların ölçüleri eşittir.
[AB // [DE ve [AC// [DF
ise m(BAĈ )=m(EDF̂ ) ve ∝= 𝛽 dir.
2. Kenarları zıt yönde ve paralel açıların ölçüleri eşittir.
[AB // [DE ve [AC// [DF
ise m(BAĈ )= ∝= 𝛽 =m(EDF̂ ) dir.
3. Kenarlarından biri aynı yönde, diğerinin zıt yönde paralel olan açılar bütünlerdir.
[AB // [DC ve [AC// [DE ise ∝ +𝛽 = 1800 dir.
Örnek:
Şekilde [AB // [DF, [AC// [DE dir.
m(BAĈ )= ∝, m(FDÊ ) = 𝛽
∝ =1320 ve 𝛽 = 3𝑥 − 240 ise x kaç derecedir?
Çözüm: ∝ +𝛽=1800 =>3x-24+1320=1800
=>3x=180-108
=>3x-72=>x=240 bulunur.
F A S İ K Ü L 1
17 Kenarları Dik Açılar
1. Kenarları dik olan iki dar açının ölçüleri eşittir.
[AB ⊥ [DB ve [AE ⊥ [DE ise ∝= 𝛽 dir.
[AB ⊥ [AD ve [AC ⊥ [AE ise ∝= 𝛽 dir.
2. Kenarları dik olan iki açıdan birisi geniş açı, diğeri dar açı ise, bu iki açı bütünlerdir.
[AB ⊥ [DB ve [AC ⊥ [DC ise
∝ +𝛽 = 1800 dir.
[AC ⊥ [AD ise ∝ +𝛽 = 1800 dir.
Örnek:
Şekilde [AB ⊥ [DB ve [AC ⊥ [DC dir.
m(BAĈ )=2∝-180 ve
m(CDB̂)=3∝+630 ise ∝ 𝑘𝑎ç 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒𝑑𝑖𝑟?
Çözüm: m(BAĈ )=2∝-180 ve m(CDB̂)+ m(BAĈ )=1800 den 2∝-18+3∝+63=180
5∝+450=180
5∝=180-45=>5∝=135=>∝=270 bulunur.
Örnek:
[AC ⊥ [AE, [AB ⊥ [AD dir. ∝=y+200 ve β=2∝+400 ise x kaç derecedir?
Çözüm: ∝+β=1800 den x+20+2x+40=1800
3x=180-60=>3x=120=>x=400 bulunur.
F A S İ K Ü L 1
18 Örnek:
Şekilde [AB [CB,
[AB // [CD, m(ADĈ) = x-350 ve
m(BAD̂)=2x + 113o olduğuna göre x in kaç derece olduğunu bulunuz?
Çözüm:
[AB // [CD ise,
m(DCB̂) + m(ABĈ ) = 1800 (karşı durumlu) m(DCB̂)=180-90o = 90o dir.
O halde;
2x + 113o + x – 35o = 180o (karşı durumlu) 3x + 78o = 180o
3x = 102
x = 102/3 => x = 34o
Açılarla İlgili Önemli Kurallar:
d1//d2 ise, aynı yöne bakan açıların toplamı eşittir.
a+b=c+d dir.
Örnek:
Şekilde d1//d2 dir.
Verilenlere göre x kaç derecedir?
Çözüm: x+36=24+57 =>x=81-36=>x=450 olur.
d1//d2 ise, a+b+c=3600 dir.
Örnek:
Şekilde d1//d2 dir.
Verilenlere göre x kaç derecedir?
F A S İ K Ü L 1
19 Çözüm:
x+60+2300=360
x=360-290=>x=700 bulunur.
d1//d2 ise a+b+c+d=5400 dir.
Örnek:
Şekilde d1//d2 dir. Verilenlere göre a kaç derecedir?
Çözüm: a+140+80+1650=540
a+385=540=>a=540-385=>a=1550 bulunur.
AC, DAB̂ açısının açıortayı ise, verilenlere göre c= b+d
2 dir.
Örnek:
Şekilde [DB, CDÂ açısının açıortayı ise, verilenlere göre x kaç derecedir?
Çözüm: x = 10+140
2 = 150
2
x = 750 bulunur.
x = a + b + c dir.
Örnek:
Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir?
Çözüm: x=113+26+21 => x=1600 bulunur.
F A S İ K Ü L 1
20 Şekilde [OF, AOB̂ açısının açıortayı olsun. Açıortayın üzerindeki bir noktanın açının kenarlarına olan uzaklıkları eşittir.
[CE] ⊥ [OA, [ED ⊥ [OB ise |CE| = |ED| ve
|FA|=|FB| dir.
Örnek:
Şekilde [AC, BAD açısının açıortayıdır.
[CB ⊥ [AB, [CD] ⊥ [AD, |CD| = 2X+3 ve
|CB|=3x-1 olduğuna göre |CD|+|CB| toplamı kaç birimdir?
Çözüm: |CD|=|CB|=> 2x+3=3x-1=>x=4 ve
|CD|=|CB|=2x+3=2.4+3
|CD|=|CB|=8+3=11 olur.
O halde |CD|+|CB|=2.11=22 birim bulunur.
F A S İ K Ü L 1
21 Şekilde B, O ve C doğrusaldır. [OE, AOB̂ açısının ve [OD, COÂ açısının açıortayıdır. Buna göre m(DOÊ) kaç derecedir?
A) 75 B) 86 C) 90 D) 94 E) 100
Şekilde d1//d2 ise, verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 16 B) 24 C) 28 D)32 E)48
Şekilde d1//d2//d3
ise verilenlere göre m(ACB̂ ) = x kaç derecedir?
A) 80 B) 70 C) 60 D)50 E) 40
Şekilde [AB]//[CD]
olduğuna göre x kaç derecedir?
A) 72 B) 54 C) 45 D) 36 E) 24
5) Bir açının ölçüsü, tümlerinin ölçüsünün 4 katından 100 eksik ise küçük açı kaç derecedir?
A) 20 B) 25 C) 30 D) 65 E) 70
d1//d2 ise şekilde verilenlere göre kaç derecedir?
A) 100 B) 108 C) 118 D) 120 E) 124
7) Bütünler olan iki açının ölçüsünden büyüğü, küçük olana bölündüğünde bölüm 3 ve kalan 120 ise küçük açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 25 B) 30 C) 36 D) 42 E) 48 (Çözümlü Test )
F A S İ K Ü L 1
22 Şekilde d1//d2 ve
d4 ⊥ d3 ise
verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 185 B) 190 C) 205 D) 210 E) 215
Şekilde d1//d2//d3
ise verilenlere göre b-a farkı kaç derece olur?
A) 55 B) 60 C) 65 D) 70 E) 75
Şekilde d1//d2//d3
tür. Verilen ölçülere göre x kaç derecedir?
A) 215 B) 220 C) 225 D) 235 E) 240
Şekilde d1//AB ve d2//CD dir. Verilen ölçülere göre x kaç derecedir?
A) 30 B) 25 C) 20 D) 25 E) 10
12) Bir açının tümlerinin, bütünlerine oranı ¼ ise, bu açının tümleri kaç derecedir?
A) 20 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75
13) İki açının toplamı 75o dir. Büyük açının, küçüğüne bölünmesinden bölüm 2 ve kalan 15o ise bu iki açının farkı kaç derecedir?
A) 55 B) 50 C) 45 D) 35 E) 20
14) Üç açının toplamı 80o dir. En büyüğü ile en küçüğünün farkı 30o ve en büyüğü ortancadan 10o fazla olduğuna göre; ortanca açı kaç derecedir?
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 (Çözümlü Test)
F A S İ K Ü L 1
23 2x+2y=180=>x+y=90 ve
m(DOÊ)=x+y=900 bulunur. (C)
2) x+2x=96-x=>4x=96=>x=240 bulunur.(B)
y+140=1800 (karşıt durumlu) y=400 dir.
x+y=120(iç ters açılar)
x+40=120=>x=800 bulunur. (A)
4) 3x+y=180=3y+x(karşıt durumlu) 2x=2y=>x=y ve 3x+y=180=>3x+x=180
=>4x=180=x=450 bulunur. (C)
5) Açılardan biri x ise Tümleri= 90-x dir.
4.x-100=900-x=>5x=100
=>x =100
5 =>x=200 bulunur. (A)
6) 2∝+∝1∝+∝=5400=>5∝=540
=>∝=540
5 =1080 bulunur. (B) 7) Küçüğü= x ise
Büyüğü= 180-x olur.
180-x=3.x+120
4x=180-12=>4x=168=>x=420 bulunur. (D)
x+a+90=3600 (Tam açı) x+65+90=360
x=360-155
x=2050 bulunur. (C)
x-180-35=1450 dir.
180-a+105+145=360 (Tam açı)
a= 430-360 a=700 olur. b=x=1450 (İç ters) ve b-a=145-70=750 bulunur. (E)
(Çözümlü Testin Çözümleri)
F A S İ K Ü L 1
24 a+25= 800 (içters açılar)
a=80-25=550 dir.
a+360-∝ =1800 den 55+360-∝=1800
∝ =55+180 ∝=2350 bulunur. (D)
a+175-3x=180(karşıt durumlu açılar) 2x+15+175-3x=180
x=190-180 x=100 bulunur. (E)
12) Açı x ise, Tümleri 90-x ve bütünleri 180-x tir.
90−𝑥 180−𝑥= 1
4 => 180 – x = 360 – 4x
=> 3x = 180 => x = 60o ve 60o nin tümleri de 90 – 60 = 30o bulunur. (B)
13) Açılardan biri x ise diğeri 75 – x tir. Büyüğü x olsun.
x 75-x olduğuna göre 2 = bölüm
15o = kalan
x=(75-x).2+15 => x=150-2x+15 => 3x=165
=> x = 165 / 3 = 55o (Büyüğü)
Küçüğü 75-55 = 20o dir. O halde fark 55-20=35o bulunur. (D)
14) Açılar küçükten büyüğe x,y ve z olsun.
x+y+z = 80o
z-x = 30o ve ise y=? (ortanca) z = y+10o
z-x=30o => x=z-30o=y+10-30 => x= y-20o dir.
x + y + z = 80o => y-20+y+y+10 = 80o y-20 y+10 => 3y-10=80o
=> 3y=80+10=90o
=> y = 90/3 = 30o bulunur. (C) (Çözümlü Testin Çözümleri)
F A S İ K Ü L 1
25 1) Tümler iki açıdan birinin ölçüsü, diğerinin ölçüsünün 4 katından 400 eksik ise büyük açının bütünleri kaç derecedir?
A) 64 B) 104 C) 116 D) 148 E) 154
2) Bütünler iki açıdan birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün 3 katından 200 eksikse küçük açının tümlerinin ölçüsü kaç derecedir?
A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 30
3) Bir açının tümleri x, bütünleri y ve x
y =1
3 ise x+y kaç derecedir?
A) 180 B) 150 C) 135 D)90 E) 45
4)  ile B̂ tümler açılar ve  ile Ĉ bütünler açılardır.
m + mB̂ + mĈ = 2100 ise m kaç derecedir?
A) 70 B) 60 C) 50 D) 40 E) 30
Şekilde d2//d3 tür.
x = 2y ise,
verilenlere göre y kaç derecedir?
A) 72 B) 60 C) 54 D) 48 E) 36
Şekilde d1//d2 ve x-y = 250
olduğuna göre x kaçtır?
A) 70 B) 65 C) 50 D) 45 E) 40
Şekilde d1//d2//d3
ve x+z=1320 ise x-y farkı kaç derecedir?
A) 72 B) 70 C) 62 D) 54 E) 44
Şekilde d1//d2 dir. Verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 55 B) 60 C) 65 D) 70 E) 75 Test-1
F A S İ K Ü L 1
26 Şekilde d1//d2 dir. Verilenlere göre Z kaç derecedir?
A) 110 B) 105 C) 95 D) 90 E) 85
Şekilde [AD, BAĈ açısının açıortayıdır.
[DC] ⊥ [AC, [DB] ⊥ [AB,|CD|=2x+4 ise
|DB|=3x-1 ise |CD| kaç birimdir?
A) 5 B) 8 C) 10 D) 13 E) 14
Şekildeki d1// [BC], d2// [AB] dir. Verilenlere göre y kaç derecedir?
A) 50 B) 56 C) 60 D) 62 E) 64
Şekilde d1//d2 dir.
[AB] ve [BC] açıortaylardır. Verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 43 B) 46 C) 48 D) 52 E) 54
Şekilde d1//d2 ise d3//d4 tür. Verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30
Şekilde [AC, DAB̂ açısının açıortayıdır.
Verilenlere göre a+b toplamı kaç derecedir?
A) 160 B) 170 C) 180 D) 190 E)200 Test-1
1)C 2)D 3)A 4)B 5)E 6)A 7)C 8)D 9)C 10)E 11)B 12)A 13)B 14)E y
F A S İ K Ü L 1
27 1) Tümler iki açının ölçülerinin oranı 3
2 ise, küçük açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 18 B) 36 C) 54 D) 62 E) 72
Şekilde d1//d2 ve d3 ⊥ d4 dür.
Verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
Şekilde d1//d2//d3 tür. Verilenlere göre y kaç derecedir?
A) 16 B) 32 C) 44 D) 54 E) 58
Şekilde d1//d2 dir. Verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80
Şekilde mB̂ =250, mĈ =1350 ise mD̂ =15 ise m = x kaç derecedir?
A) 80 B) 85 C) 90 D) 95 E) 100
Şekilde d1//d2//d3
ve [BC] // [ED dir.
Verilenlere göre kaç derecedir?
A) 130 B) 120 C) 110 D) 100 E) 90 Test-2
F A S İ K Ü L 1
28 Şekilde [AD, BAÊ açısının ve [CD, FCB̂ açısının açıortayıdır. m(ABĈ )=600 ve d1//d2 ise m(ADĈ)=∝
kaç derecedir?
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
Şekilde d1//d2 dir. Verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13
Şekilde d1//d2//d3 tür. Verilenlere göre x kaçtır?
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25
d1//d2 dir. [AD ve [CD açıortaylardır. Verilenlere göre x kaçtır?
A) 35 B) 30 C) 25 D) 20 E) 15
Şekilde d1//d2 dir. Verilenlere göre x kaç derecedir?
A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120
Şekilde d1//d2 dir. x = 3∝ ise x+y+z toplamı kaç derecedir?
A) 270 B) 215 C) 210 D) 205 E) 135 Test-2
F A S İ K Ü L 1
29 Şekilde m =x+650, mB̂ =x+25 ve m(BCD̂=225o dir. mD̂ = x ise x kaç derecedir?
A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45
14) İki açının toplamı 108o ve farkı 24o olduğuna göre, büyük açı, küçük açıdan kaç derece fazladır?
A) 11 B) 24 C) 33 D) 42 E) 66
15) İki açının farkı 54o ve büyüğünün, küçüğüne bölünmesinden bölüm 3 ve kalan 26o ise bu iki açının toplamı kaç derecedir?
A) 44 B) 66 C) 68 D) 80 E) 82
1)B 2)E 3)C 4)A 5)D 6)D 7)C 8)E 9)A 10)B 11)B 12)A 13)E 14)D 15)E Test-2
F A S İ K Ü L 1
30 Yandaki şekilde
[FA]// [DC], [ED] // [AB], m(AFÊ )=150, m(DEF̂ )=650 ise m(BCD̂)=750 ise m(CBÂ )= x kaç derecedir?
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35
Yandaki şekilde [CD // [AB, m(EDĈ ) =350, m(DEÂ)=850 ve
m(BAĈ )=2.m(CAÊ ) ise, m(DCÂ)=∝ kaç derecedir?
A) 70 B) 65 C) 60 D) 35 E) 30
Yandaki şekilde [AE] ⊥ [ED], [DC] ⊥ [BC], m(EAB̂)=830 ve m(CBÂ )=610 ise m(CDÊ )=∝ kaç derecedir?
A) 113 B) 114 C) 141 D) 142 E) 144
Yandaki şekilde [EF// [BA, [ED] ⊥ [CD], m(FED̂ )=380 ve m(DCB̂)=230 ise, m(ABĈ )=x kaç derecedir?
A) 128 B) 132 C) 136 D) 142 E) 151
Yandaki şekilde ED ⊥ BC ve m(EDÂ)=1080 ise m(CDB̂)= ∝ kaç derecedir?
A) 20 B) 18 C) 16 D) 14 E) 12
Yandaki şekilde AB // EF, DE⊥ EF, m(ABĈ )=650 ve m(DCB̂)=150 ise m(CDÊ )= x kaç derecedir?
A) 65 B) 60 C) 55 D) 50 E) 40 Test-3
F A S İ K Ü L 1
31 Yandaki şekilde
[BA// [DE, m(DCB̂)=190 ve m(CDÊ )=1280 ise, m(ABĈ )=∝ kaç derecedir?
A) 74 B) 71 C) 62 D) 57 E) 55
Yandaki şekilde A,O,B doğrusal noktalardır. [OC, DOÂ açısının ve [OE, BOD̂ açısının açıortayıdır. m(DEÔ)=400 ise m(OCD̂)=∝ kaç derecedir?
A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60
Yandaki şekilde [AB//[CD, m(DCÊ )=∝
m(EGF̂ )=2∝ ve m(BAF̂ )=780 ise,
∝ kaç derecedir?
A) 26 B) 28 C) 30 D) 32 E) 36
Yandaki şekilde [BF//[DE, m(FBÂ )=3∝, m(GDÊ)=4∝ ve m(ACĜ )=1260 ise, ∝ kaç derecedir?
A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 Test-3
1)C 2)E 3)E 4)E 5)B 6)E 7)B 8)D 9)A 10)C F
A S İ K Ü L 1
