DENKLEM ÇÖZME A. Eşitliğin Özellikleri
1. ab ise acbc dir.
2. ab ise acbc dir.
3. ab ise acbc dir.
4. ab ise c b c
a , (c0) dir.
5. ab ve bc ise ac dir.
6. ab ise anbn dir.
7. ab ise n an b dir.
Örnek:
33 ise 323255 tir.
33 ise 323211 dir.
33 ise 3.23.266 dır.
33 ise
2 3 2 2 3 : 3 2 :
3 dir.
Örnek:
88 ise 82 82 6464 tür.
88 ise 3 83 822 dir.
B. Denklem
İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğruluğu sağlanabilen eşitliklere denklem denir.
Denklemler, içinde bulunan bilinmeyenin sayısına ve bilinmeyenin üssüne ( kuvvetine ) göre adlandırılır.
Örnek:
17 5 x
3 , birinci derecen bir bilinmeyenli denklemdir.
Çünkü, 3x517 denkleminde bilinmeyen x ve x in üssü 1 olduğu için, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
Örnek:
22 y 3 x
2 , birinci dereceden iki bilkinmeyenli denklemdir.
Çünkü, 2x3y22 denkleminde bilinmeyen x ve y dir.
x ve y nin üssü 1 olduğu için, birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdir.
Örnek:
10 4 6
x , dördüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
Çünkü, x4610 denkleminde bilinmeyen x ve x in üssü 4 olduğu için, dördüncü dereceden bir bilinmeyenli
denklemdir.
C. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
a ve b birer reel sayı ve a0 olmak üzere, a.xb0 biçimindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Denklemi sağlayan x reel sayısına denklemin kökü, denklemin köklerinden oluşan kümeye de denklemin çözüm kümesi denir.
Örnek:
0 3 x ) 2 b 2 ( x ) 3 a
(
denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ise a ve b nin durumunu araştıralım.
Çözüm:
0 3 x ) 2 b 2 ( x ) 3 a
(
denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, x2 li terim olmamalı ve x in katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır.
Öyleyse,
3 a 0 3
a ve b20b2 olmalıdır.
1. a.xb0 Denkleminin Çözüm Kümesini Bulma Eşitliğin özellikleri kullanılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.
0 b x .
a denkleminin çözümünde 3 durum vardır.
1.Durum 0 b x .
a denkleminde a0 ise, a x b dır.
a} { b
Ç olup, çözüm kümesi bir elemanlıdır.
2.Durum 0 b x .
a denkleminde a0 ve b0 ise, ÇR dir.
Çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
3.Durum 0 b x .
a denkleminde a0 ve b0 ise, Ç dir.
Çözüm kümesinin hiçbir elemanı yoktur.
Örnek:
15 7 x .
2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
15 7 x .
2 ise 2.x77157 2.x8
2 8 2
x . 2
x4 tür.
Buna göre, denklemin çözüm kümesi, Ç{4} tür.
Örnek:
x 4 20 4 ) 1 x .(
3 denkleminin çözüm kümesini
bulalım.
Çözüm:
x 4 20 4 ) 1 x .(
3 ise, 3x34204x 3x1204x
3x14x204x4x 7x120
7x11201 7x21
7 21 7
x 7
x3 Buna göre, denklemin kökü 3, Denklemin çözüm kümesi Ç{3} tür.
Örnek:
) 1 x .(
4 ) 3 x .(
2 2 x
6 denkleminin çözüm
kümesini bulalım.
Çözüm:
) 1 x .(
4 ) 3 x .(
2 2 x
6
4 x 4 6 x 2 2 x
6
2 x 6 2 x
6
0 0
Bu eşitlik 0.x00 biçiminde düşünülebilir.
Öyleyse, a0 ve b0 dır. (2.Durum) Buna göre, ÇR dir.
Örnek:
) 5 x .(
2 x 5 ) 2 x .(
3 denkleminin çözüm kümesini
bulalım.
Çözüm:
) 5 x .(
2 x 5 ) 2 x .(
3
10 x 2 x 5 6 x .
3
10 x 3 1 x .
3
10 1
0 11
Bu eşitlik 0.x110 biçiminde düşünülebilir.
Öyleyse, a0 ve b0 dır. (3.Durum) Buna göre, Ç dir.
Örnek:
0 3 b x ).
1 a
(
denklemi bütün reel sayılar için sağlandığına göre, ab değerini bulalım.
Çözüm:
0 3 b x ).
1 a
( denkleminin çözüm kümesi reel sayılar kümesi olduğuna göre,
0 1
a ve b30 olmalıdır.
1 a 0 1
a dir.
3 b 0 3
b tür.
Buna göre, ab132 dir.
Örnek:
3 2 1 3 x 2
mx
denkleminin çözüm kümesi boş küme
olduğuna göre, m değerini bulalım.
Çözüm:
3 2 x 1 3 3 1 2x 2 m 3
1 3 x 2
mx
3 3 x 5 3 x 1 2
m
3 x 4 3 . 1 2
m
0 3 x 4 3 . 1 2
m
Bu denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için,
3 m 2 3 1 2 0 m 3 1 2
m olmalıdır.
Örnek:
2 1 4
1 x 3
x
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
12 6 12
) 1 x .(
3 x 4 ) 6 (2 1 ) 3 (4 1 x ) 4 (3
x
4x3.(x1)6 4x3x36 x639 Buna göre, denklemin kökü 9,
Denklemin çözüm kümesi Ç{9} dur.
Örnek:
3 1 a 1 4
2 5
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
1 5 a 1 4 1 1 a 1 4 3 5
1 a 1 4
2 5
4 a 1 1 1
a
4
4 a 1 1 1
a
4
a2 olur.
Örnek:
n 1 x 1 m
1 olduğuna göre, x in eşitini bulalım.
Çözüm:
n . m
m n x 1 ) m (n 1 ) n (m 1 x 1 n 1 x 1 m
1
m n
n . x m
olur.
Örnek:
n m m x
x
olduğuna göre, x in eşitini bulalım.
Çözüm:
m x ) m x .(
n n m m x
x
nxnmxm nxxnmm x.(n1)m.(n1)
m
1 n
) 1 n .(
x m
olur.
Örnek:
9 1 3 , 0
x 2 ,
x 0
olduğuna göre, x i bulalım.
Çözüm:
9 1 9 3 9 x 2 9 x
1 3 , 0
x 2 ,
x 0
9 1 3
x 9
x 2
9 1 3
x 9 2 x
3
9 1 3
2 x 6
9 1 ) 3 (3
2 x
6
9 1 9
6 x 18
18x61
18 x 5
D. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
a , b ve c birer reel sayı ve a0 , b0 olmak üzere, 0
c by x .
a biçimindeki eşitliklere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem analitik düzlemde bir doğru belirtir.
Örnek:
0 5 y 2 x
3
denklemi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdir.
Örnek:
9 n 7
m
denklemi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdir.
Bu denklem m ve n değişkenlerine bağlıdır.
Örnek:
5 b 2
3 a
denklemi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdir.
Bu denklem a ve b değişkenlerine bağlıdır.
Örnek:
4 x 2 y
denklemi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdir.
Bu denklem x ve y değişkenlerine bağlıdır.
Bu denklemde;
0
x için y2.044 2
x için y2.248 5
x için y2.5414 değerlerini alır.
Görüldüğü gibi, y2x4 denklemini sağlayan (x,y) ikililerinden bazıları; (0,4) , (2,8) , (5,14) tür.
4 x 2
y denklemini sağlayan ikililerin sayısı sayılamayacak kadar çoktur.
Bu denklemin çözüm kümesi;
R}
y x,
; 4 2x y I y) {(x,
Ç dir
Diğer bir ifade ile Ç{(x,2x4) I xR} dir.
Uyarı
0 c by x .
a denklemi bütün (x,y) reel sayı ikilileri için sağlanıyorsa abc0 dır.
Örnek:
0 y ) 3 b ( x ) 2 a
( denklemi her (x,y) reel sayı ikilileri için sağlanıyorsa, ab toplamını bulalım.
Çözüm:
0 y ) 3 b ( x ) 2 a
( denklemi her (x,y) reel sayı ikilileri için sağlanıyorsa,
0 2
a ve b30 eşitlikleri vardır.
Buna göre,
2 a 0 2
a dir.
3 b 0 3
b tür.
Bu durumda, 1 3 2 b
a olur.
E. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
0 c by x .
a
0 f y . e x .
d
biçiminde, birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme, iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.
Bu iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözümünde, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözümünde olduğu gibi 3 durum vardır.
0 c by x .
a
0 f y . e x .
d
sisteminin çözümündeki 3 durumu inceleyelim.
1.Durum
e b d
a ise çözüm kümesi bir tek ikiliden oluşur.
( Yani, doğrular bir tek noktada kesişir. )
Örnek:
0 2 y . n x ).
1 m
(
0 4 y . 3 x .
2
denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek ikiliden oluştuğuna göre, m ile n arasındaki bağıntıyı bulalım.
Çözüm:
0 2 y . n x ).
1 m
(
0 4 y . 3 x .
2
denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek ikiliden oluşuyorsa
3 n 2
1 m
tür. Buna göre,
n 2 3 m 3 n . 2 ) 1 m .(
3 3 n 2
1
m
dir.
2.Durum
f c e b d
a ise çözüm kümesi sonsuz ikiliden oluşur.
( Yani, doğrular çakışıktır. )
Örnek:
0 4 y . 2 x .
a
0 2 a y . a x .
b
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz ikiliden oluştuğuna göre, (a,b) ikilisini bulalım.
Çözüm:
0 4 y . 2 x .
a
0 2 a y . a x .
b
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz ikiliden oluştuğuna göre,
2 a
4 a 2 b a
olur.
Buna göre,
2 a
4 a 2
ise 2.(a2)4a2a44a 2a4 a2 dir.
a 2 b
a ise 1 b 2
b 2 2 2 b
2
dir.
O halde (a,b)(2,2) dir.
3.Durum
f c e b d
a ise çözüm kümesi boş kümedir.
( Yani, doğrular paraleldir. )
Örnek:
0 4 y . 3 x ).
1 c 5
(
0 7 y x ).
1 c
(
denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, c değerini bulalım.
Çözüm:
0 4 y . 3 x ).
1 c 5
(
0 7 y x ).
1 c
(
denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre,
7 4 1 3 1 c
1 c
5
dir.
Buna göre,
1 3 c
1 c
5
ise 5c13c32c4c2 dir.
F. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümesini Bulma
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesinin bulunmasına dair pek çok yöntem vardır. Biz burada, sırasıyla en çok kullanılan üçü üzerinde duracağız.
1. Yok Etme Metodu
Verilen denklemlerin kat sayıları; değişkenlerden birinin yok edilmesini netice verecek biçimde düzenlendikten sonra taraf tarafa toplama ya da çıkarma yapılarak sonuca gidilir.
Örnek:
4 y x 2
11 y x 3
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Verilen denklemler taraf tarafa toplanırsa,
5x15 x 3 olur.
Bu değer, verilen denklemlerden en sade olanında yazılırsa y değeri bulunur. Bu durumda,
4 y x .
2 ise 2.3y4y642 dir.
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç{(3,2)} dir.
Ayrıca ( 3,2 ) ikilisinin verilen her iki denklemi de sağladığını görünüz.
Örnek:
3 y x
23 y 4 x
3
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Birinci satırda verilen denklem 4 ile genişletilir, sonra taraf tarafa toplanır.
7x1435 x2 dir.
2
x değeri 1. denklemde yerine yazılarak y değeri bulunur.
3 y
x ise 2y 3y1 dir.
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç{(2,1)} dir.
2. Yerine Yazma Metodu
Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir.
Örnek:
17 y 3 x
4
3xy 3
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
2. denklemden y çekilip 1. denklemde yazılarak sonuca gidilir. Buna göre 2. denklemden,
3 y x
3 ise 3x3yy3x3 olur.
Bu değer 1. denklemde y yerine yazılırsa, 17
y 3 x
4 ise 4x3.(3x3)17 4x9x917 13x 26 x2 dir.
Bu değer y3x3 denkleminde yazılırsa,
3 x 3
y ise y3.23633 olur.
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç{(2,3)} tür.
Örnek:
7 y 4 x
31 y 2 x
5
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
1. denklemden x çekilip 2. denklemde yazılarak sonuca gidilir. Buna göre 1. denklemden,
7 y 4
x ise x4y7 olur.
Bu durumda, 31 y 2 x
5 ise 5.(4y7)2y31 20y352y 31 22y 66 y 3 tür.
Bu değer x4y7 denkleminde yerine yazılırsa, 7
y 4
x ise x4.(3)71275 olur.
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç{(5,3)} tür.
3. Karşılaştırma Metodu
Verilen denklemlerin her ikisinden de aynı değişkenler çekilir. Denklemlerin diğer tarafları eşitlenerek sonuca gidilir.
Örnek:
0 3 b 2
a
0 7 b 3
a
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
3 b 2 a 0 3 b 2
a
7 b 3 a 0 7 b 3
a
Denklemlerin sol tarafları eşit olduğu için sağ tarafları da eşit olmalıdır.
Buna göre, 7 b 3 3 b
2
ise 733b2b
5b10 b2 dir.
Bu değer denklemlerin herhangi birinde yazılırsa, 7
b 3
a ise a3.27671 olur.
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç{(1,2)} dir.
Örnek:
5 3 y
2 x
3xy 2
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
3 2 5 x y 5 3 y
2
x
3xy2y3x2
Denklemlerin sol tarafları eşit olduğu için sağ tarafları da eşit olmalıdır.
Buna göre,
3 2 x x 3 2 5 2 x 3 3
2
5 x
3 2 x 7 10
2110x2 1910x
10 x 19
olur.
Bu değer denklemlerin herhangi birinde yazılırsa,
2 x 3
y ise
10 2 37 10 2 57 10 .19 3
y olur.
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, )}
10 ,37 10 {(19
Ç dur.
G. Özel Denklemler
Bu kısımda, daha önce ele aldığımız denklem tiplerinin dışında kalan bazı denklem tiplerini ele alacağız.
Örnek:
5 b
a
7 c b
8 c
a
olduğuna göre abc toplamının değerini bulalım.
Çözüm:
Verilen denklemleri taraf tarafa toplarsak,
8 7 5 c a c b b
a
2a2b2c20 2.(abc)20 abc10
Örnek:
43 z 5 y x
7
19 z y 3 x
3
olduğuna göre xyz toplamının değerini bulalım.
Çözüm:
Denklemler taraf tarafa çıkarılarak sonuca gidilir.
4x4y4z24 4.(xyz)24 xyz 6 olur.
Örnek:
12 b 2
a
10 c 2
b
cd8
olduğuna göre a3b3cd değerini bulalım.
Çözüm:
İkinci denklem – 1 ile çarpıldıktan sonra her üç denklem taraf tarafa toplanarak sonuca gidilir.
a3b3cd10 olur.
Örnek:
x , y , z doğal sayılar olmak üzere,
36 z y 2
x
28 z 2 y
x
olduğuna göre, x in en büyük değerini bulalım.
Çözüm:
x in en büyük değerini alabilmesi için, y ve z her iki eşitliği de sağlayacak şekilde en küçük değerlerini almalıdır. Bunun için y ile z arasında bir bağıntı bulmalıyız. İki denklemi taraf tarafa çıkaralım. Buna göre,
yz 8 olur.
y ve z doğal sayı olduğu için, x en büyük değerini aldığında y ve z en küçük değerlerini alırlar.
Buna göre yz8 eşitliğinde z0 alınırsa y 8 bulunur. Denklemlerden herhangi birinde bu değerler yerine yazılırsa, x in en büyük değeri bulunur.
Bu durumda, x in alabileceği en büyük değer, 36
z y 2
x ise x2.8036x20 olur.
Örnek:
c 1 b . a
b 2 c . a
a 3 c . b
olduğuna göre a2 b2 nin sonucunu bulalım.
Çözüm:
Birinci satırda verilen denklem ile ikinci satırda verilen denklemi taraf tarafa çarpalım.
2 2 a 2 . b 1
c . b c
b .
a dir.
Birinci satırda verilen denklem ile üçüncü satırda verilen denklemi taraf tarafa çarpalım.
2 3 b 3 . a 1
c . b c
b .
a tür.
Buna göre, a2 b2 235 olur.
Örnek:
y 12 x 1
x 4 y 1
olduğuna göre y
x nin değerini bulalım.
Çözüm:
Eşitlik özelliklerinden yararlanılarak çözüme gidilir.
y 12 1 xy y 12
1 12 xy
y
x 1
x 4 1 xy x 4
1 4 xy
x
y 1
Sol taraflar eşit olduğundan sağ taraflar da eşit olmalıdır.
y 12 1
xy ve xy14x ise,
4 3 12 y x x 4 y
12 bulunur.
Örnek:
a , b , c birer reel sayıdır. Aşağıdaki tablolarda toplama ve çarpma işlemleri verilmiştir.
Buna göre, c yi bulalım.
