• Sonuç bulunamadı

BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri tanımlamak için iki yol vardır

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri tanımlamak için iki yol vardır"

Copied!
14
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

BÖLÜM 1: VEKTÖRLER

Vektörleri tanımlamak için iki yol vardır: uzayda noktalara karşılık gelen bir koordinat sistemindeki noktalar veya büyüklük ve yönü olan nesneler. Bu kısımda, neden iki vektör tanımının bulunduğu açıklanacak ve iki kavram ilişkilendirilmeye çalışılacaktır.

Vektörler genellikle büyüklük ve yöne sahip nesneler olarak örneğin; ötelemeler, yer değiştirmeler, hızlar, kuvvetler vb. kullanılır. Bu şekilde tanımlanan vektörlere serbest vektörler denir. Dolayısıyla bu tanımla bir vektör, paralel yönlendirilmiş doğru parçalarının sonsuz bir kümesidir.

Örneğin bir uçtan diğer uca üç birim ve bir birim yukarı öteleme ele alınsın. Bu öteleme uygulandığında, (0,0) noktası (3,1) noktasına gider ve (5,7) noktası ise (8,8) noktasına gider ve diğer her nokta benzer şekilde ötelenir. Bunu göstermek için diyagramlar çizilebilir. Aynı öteleme vektörüyle düzlemin tüm noktalarını aynı anda taşınabilir. Bu nedenle serbest vektör bir öteleme ile aynı şey olarak düşünülebilir.

Şekildeki yönlendirilmiş doğru parçalarının her biri aynı vektörü temsil eder. Her durumda vektör belirli bir noktadan başlar, daha sonra 2 birim sola, 5 birim yukarı hareket eder.

Tanım: Başlangıç noktası üzerinde hiçbir kısıtı olmayan vektöre serbest vektör denir.

Genellikle belirli bir taşımayı temsil etmek üzere sonsuz elemanlı kümeden tek bir doğru parçası seçilir. Pratikte tüm kümeyi temsil etmek için neden tek bir temsilcinin seçildiği sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir ve bu yer değiştirme sembolü OA vektörü olarak adlandırılır. Eğer A noktasından C noktasına doğru hareket devam ederse, toplam yer değiştirme bu iki yer değiştirmenin vektörel OAAC toplamıdır ve OC yönlü doğru parçasına eşittir.

(2)

Ancak O belirlenmiş sabit bir nokta olarak dikkate alındığında, OA vektörü, aynı yön ve büyüklüğe sahip serbest vektörlerin oluşturduğu kümeden seçilen bir yönlü doğru parçasıdır ve konum vektörü olarak adlandırılır. Diğer bir ifadeyle, konum vektörleri hakkında konuşurken, vektörün başlangıç ve son noktası belirtilmektedir.

Koordinat sisteminin başlangıcını tanımlayan ve konum vektörlerinin kullanılabilmesine olanak sağlayan özel bir vektör vardır. Bu vektör sıfır vektörüdür ve Rn uzayında

(0, 0, 0)

0 ifadesi ile tanımlanır. Sıfır vektörü sonsuz sayıda doğrultu ve yöne sahiptir.

Tanım: Başlangıç ve bitim noktaları çakışık olan vektöre sıfır vektörü denir.

Tanım: Sabit bir başlangıç noktasına sahip olan vektöre konum (yer) vektörü denir.

Tanım: Kartezyen sisteminde başlangıç 0(0, 0, 0) noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektörüne A noktasının konum vektörü adı verilir.

Matematikte noktalar ve uzaylar (mekan, yer, boşluk) temel soyut kavramlar olarak düşünülür ve bir koordinat sistemi kullanarak bir uzay modeli oluşturulur. Üç boyutlu bir koordinat sistemi, basitçe gerçek sayıların ( , , )x y z sıralı üçlülerinin sonsuz bir kümesidir ve her nokta, noktanın koordinatları olarak adlandırılan bu sıralı üçlülerden birine karşılık gelir. Her serbest vektöre (veya öteleme için), o öteleme altında orijin ile ilişkili bir konum vektörü karşılık gelir. Böylece konum vektörleri uzayda noktalar olarak tanımlanır ve her bir P konum vektörüne, eşsiz (tek, yegane) bir OP vektörü karşılık gelir.

Bir koordinat sistemi seçildiğinde, uzaydaki aynı yön ve büyüklüğü tanımlayan serbest vektörler kümesinden bir vektör, belirlenen koordinat sistemindeki bir noktayı temsil eder.

EğerA noktasının uzaydaki yeri, seçilen koordinat sistemi ile (x y za, a, a) şeklinde belirlenmiş ise, konum vektörü a(x y za, a, a) sıralı üçlüsü ile tanımlanır. Sonuç olarakA noktası, konum vektörü a ve serbest vektörler kümesi arasındaki ilişki açıkça görülebilir.

Serbest vektörler ile konum vektörleri arasında kavramsal bir ayrım söz konusuysa da, her iki türü de birbirinin yerine kullanmak mümkündür. Ancak tanımlar hakkında net bilgi yoksa bu karışıklığa neden olabilir.

(3)

Sonuç olarak grafiksel anlamda, vektörler yönlendirilmiş doğru parçaları ile temsil edilir.

Doğru parçasının uzunluğu vektörün büyüklüğüdür ve doğru parçasının yönü vektörün yönüdür. Bununla birlikte serbest vektörler, niceliğin ya da hareketin uygulandığı yer hakkında herhangi bir bilgi vermediğinden, aynı uzunluk ve yöne sahip herhangi bir yönlendirilmiş doğru parçası aynı vektörü temsil edebilecektir. Bu nedenle çalışmalarda genellikle konum vektörleri tercih edilir.

Tanım: Matematik, istatistik, mekanik gibi çeşitli bilim dallarında uzunluk, alan, hacim, yoğunluk, kütle, elektriksel yük gibi büyüklükler, cebirsel kurallara göre ifade edilirler. Bu tür çokluklara skaler büyüklükler denir.

Tanım: Hareket, hız, kuvvet vs. gibi hem yönü, hem doğrultusu, hem de büyüklüğü olan çokluklara vektörel büyüklükler denir.

1.1 VEKTÖRLERİN TOPLAMI VE SKALERLE ÇARPIMI

Önceki bölümlerde vektörlerin ne olduğu ve nasıl gösterildiği hakkında bilgiler verilmişti. Bu kısımda ise cebirde tanımlanan toplama ve skalerle çarpma işlemlerinin vektörler üzerinde nasıl uygulanacağı tanıtılacaktır.

1.1.1 Vektör Toplamı

Vektörlerin toplamı için iki temel yaklaşım mevcuttur. Bunlar; analitik ve geometrik toplamdır. Gösterim ve kullanım açısından farklı uygulamalara sağladığı yararlar nedeniyle her iki toplamadan da kısaca bahsedilecektir.

Analitik Toplam

Her bir vektör eksenlerde en az bir bileşene sahip olduğundan, analitik olarak toplamından bahsedilebilir. v1 ve v bileşenlerine sahip iki boyutlu bir 2 v vektörü ele alınsın.

v vektörünün sütun vektörü cinsinden gösterimi 1

2

v v

   

v   biçimindedir. Satır vektör cinsinden gösterimi ise v

v v1, 2

şeklindedir. Benzer şekilde bir 1

2

w w

   

w   vektörü tanımlansın. Bu durumda v ve w vektörlerinin toplamı, karşılıklı bileşenlerin toplamı olarak ifade edilir. Diğer bir ifadeyle, birinci vektörün ilk bileşeni ile diğer vektörün ilk bileşeni toplanır ve bu toplam yeni oluşan vektörün birinci bileşeni olur. Benzer şekilde ilk vektörün ikinci bileşeni ile diğer vektörün ikinci bileşeni toplanır ve bu toplam yeni oluşan vektörün ikinci bileşeni olur. Aşağıda sütun ve satır vektör cinsinden toplamlar sırasıyla gösterilmiştir.

(4)

1 1 1 1

2 2 2 2

v w v w

v w v w

      

            v + w

v v1, 2

 

w w1, 2

 

v1 w v1, 2 w2

     

v w

Bu toplam n boyutta yapılırsa;

1 2 n

v = v + v + …+ v olmak üzere,

11 21 n1 1n 2n mn

v = v + v +…+v ,…,v + v +…+ v yine bir vektör olur.

Geometrik Toplam

Düzlemde vektörlerin toplanması geometrik kurallara göre olur. Yaygın olarak kullanılan yöntemler: uç uca ekleme ve paralel kenar yöntemidir.

Uç Uca Ekleme (çokgen) Metodu: Uç uca ekleme metoduna göre, vektörlerin doğrultusu, yönü ve büyüklüğü değiştirilmeden, birinin bitiş noktasına diğerinin başlangıç noktası gelecek şekilde uç uca eklenir. Daha sonra ilk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş noktasına çizilen vektör, toplam vektörünü (bileşke vektör) verir.

Tanım: Vektörler sırası ile birinin başlangıç noktası diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir ve ilk vektörün başlangıç noktasını son vektörün bitim noktası ile birleştiren vektör toplam ya da bileşke vektör olarak adlandırılır.

Paralel Kenar Metodu: Paralel kenar metodu ile iki vektörü toplamak için, bu iki vektörün başlangıç noktaları aynı olacak şekilde bir noktaya taşınır ve bir paralel kenar oluşturulur.

Oluşan paralel kenarın köşegeni toplam vektörü verir.

Vektörlerde çıkarma işlemi de benzer biçimde yapılmaktadır. işleminin tersi  olduğundan ( )

   

k l k l bağıntısı kullanılabilir. Dolayısıyla kl vektörünü bulmak için l vektörünü ters çevrilip yukarıda sözü geçen metotlar kullnılarak istenilen sonuç elde edilebilir. Örneğin paralel kenar metodunun geometrisi aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir.

(5)

1.1.2 Vektörlerin bir Skaler ile Çarpımı

Bir vektörün bir skaler ile çarpımı, vektörün doğrultusunu değiştirmeyen bir işlemdir. Fakat skalerin büyüklüğü ve işareti, çarpılan vektörün yönünü ve büyüklüğünü değiştirir.Örneğin;

1 2

v v

    v  

vektörü için sırasıyla c  ve 2 c   skalerleriyle (reel sayı) çarpılırsa; 1

1 1

2 2

2 2 ,

2

v v

v v

   

    

v v olur.

Bir vektörün bir skaler ile çarpımının sonucu, yine bir vektördür. Vektörlerin bir skaler ile çarpımın en temel örneği, doğru denklemlerinin elde edilmesidir. Aşağıdaki başlıkta bu konu incelenmiştir.

Doğru Denklemi ve Vektörler

Vektörler ile doğru denklemi arasında bir ilişki vardır. Vektörler kullanılarak doğru denklemleri oluşturulur. İki boyutlu vektörleri kullanarak bir doğru denklemi yazılsın: Öncelikli olarak keyfi bir başlangıç noktası belirlenmelidir. Kolaylık açısından başlangıç noktası O(0,0) olsun.

Düzlemde çizilen keyfi bir doğru ele alınsın ve bu doğruya paralel olan bir doğrultman vektör ise

[ , ]

da b olsun. Doğru üzerinde belirlenen ( , )A x y ve B x y noktaları olsun. A noktasının doğru ( ,0 0) üzerinde hareketli bir nokta olduğu ve B noktasının ise sabit olduğu varsayılsın. Düzlemde

(6)

( , )

A x y ve B x y noktalarının belirlediği AB vektörü, ( ,0 0) ABOA OB biçiminde yazılabilir. Ayrıca d||AB bağıntısı mevcuttur. Tüm bu bilgilerden yola çıkarak;

  

0 0

0 0

0 0

( , ) (0, 0) ( , ) (0, 0)

,

( , ) ( , )

( )

AB OA OB

A x y O B x y O

A x y B x y x x y y

 

   

 

  

Aynı zamanda d||AB olduğundan ve doğrultman olması nedeniyle k  için kdAB yazılabilir. Dolayısıyla,

0, 0

   

, ,

ABxx yyk a bka kb . Sıralı ikililerin tanımından,

0 0

x x ka y y kb

 

 

olup doğrunun parametrik denklemi elde edilmiş olur. Denklemdeki parametre k reel sayısıdır. Dikkat edilirse bu sayı değiştikçe doğrunun rastgele seçilen A(x, y) noktaları elde edilecek ve AB vektörünün boyu, bu parametreye bağlı olarak değişecektir. Şimdi de elde edilen bu parametrik denklemde k parametresi her bir eşitlikte yalnız bırakılırsa, koordinatlar arasında

0 0

x x y y

k a b

 

 

bağıntısı elde edilir. Buna doğrunun Kartezyen denklemi denir. Bu doğrunun denklemi genellikle d ile gösterilir ve aşağıdaki biçimde yazılır.

0 0

: x x y y

d a b

 

 .

Benzer biçimde üç boyutlu uzayda da doğru denklemi elde edilebilir.

Tanım: u ile v gibi iki vektörün, yönleri aynı ve büyüklükleri eşit ise eşit vektörlerdir.

u = v

Eğer k ise elde edilen –ku vektörü, u vektörü ile aynı doğrultuda fakat zıt yöndedir.

Tanım: u ile yönü zıt fakat büyüklüğü eşit olan vektör -u

ile gösterilir.

(7)

Tanım: Bir u vektörünün ku çarpımında k=-1 ise, (-1)u vektörüne, u vektörünün toplamaya göre tersi denir:

u+(-u)=0

Tanım: u ve v herhangi iki vektör ise bunların farkı, vektörlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde edilen vektördür:

u+(-v)=u-v=w

u1 v1, ,un vn

  

w

temsilin başlangıç ve son noktaları göz önüne alındığında, bir vektörün nasıl oluşturulacağından bahsedilmelidir.

Verilen A( ,a a a1 2, 3) ve B( ,b b b1 2, 3) iki nokta olsun. ABdoğru parçasını temsil eden vektör,

1 1, 2 2, 3 3

vba ba ba .

Yukarıdaki vektör, A'dan başlayan ve B'de biten vektördür. B'den başlayan ve A'da sonlanan vektör, diğer bir deyişle temsili BAolan vektör;

1 1, 2 2, 3 3

wab ab ab olur.

Bu iki vektör farklıdır. Bu nedenle hangi noktanın başlangıç noktası ve hangi noktanın bitiş noktası olduğuna dikkat edilmelidir. İki nokta arasındaki vektörü belirlerken, başlangıç noktası her zaman bitiş (terminal, uç) noktasından çıkartılır.

w fark vektörü u ve v vektörlerinin tanımladığı paralelkenarın diğer köşegenidir.

Vektör toplamları ve skaler ile çarpımları için aşağıdaki şekiller incelenebilir.

Vektörler sadece büyüklük ve yön verir. Niceliğin uygulandığı yer hakkında herhangi bir bilgi vermezler. Bu bilgi, vektörler ile ilgili daima hatırlanması gereken önemli bir bilgidir.

(8)

1.2 VEKTÖRLERİN UZUNLUĞU VE BİRİM VEKTÖR

Üç boyutlu konum vektörünün uzunluğunun karesi;

2 2 2 2

rOAOCCA

2 2 2

OB BC CA

  

x2y2z2 Uzunluk,

rx2y2z2

Tanım: Bir u vektörünün uzunluğu vektör elemanlarının karelerinin toplamının kareköküdür ve u ile tanımlanır:

2

2 2 2

1 n

u u u

   

u

Tanım: Uzunluğu ya da salt değeri 1’e eşit olan vektörlere birim vektör denir. Bir u vektörü,

u e u

işlemi ile birim vektöre dönüştürülebilir. Bir u vektörü, birim vektör ve uzunluğu cinsinden yazılabilir:

u u e

Tanım: Bir vektörün normalize edilmesi, uzunluğunun bir birim olacak şekilde ölçeklenmesidir. Bu amaçla vektörün tüm bileşenleri, vektörün uzunluğuna bölünür.

u( ,u u 1 2, ,un) uu12u22 un2 ise normalize edilmiş vektör

Nu1,u2, ,un

    u

u u u

Tanım: Üç boyutlu kartezyen sistemde başlangıç (orijin) O (0,0,0) noktasını; (1,0,0), (0,1,0) ve (0,0,1) noktalarına birleştiren vektörlere sırası ile ox, oy, oz eksenlerinin birim vektörleri denir. i, j, k ile gösterilirler:

(1, 0, 0)

i

(0,1, 0)

j

(9)

(0, 0,1)

k

n- boyutlu uzayın birim vektörleri de benzer biçimde tanımlanmaktadır. Bu birim vektörler

 

 

 

 

2 3

, 0 , 0 1, 0, 0, 0,

0,1, 0, 0, 0, 0,1, 0,

0, 0, 0, ,

1 0,

0

n ,

e1

e e

e

biçimde ifade edilir.

Teorem: Üç boyutlu uzaydaki herhangi bir u( ,u u u1 2, 3) vektörü, i, j, k birim vektörlerinin doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir:

2 3

u1 u u

  

u i j k

Bu ifadeye u vektörünün analitik gösterimi denir.

Teorem: uu1iu2ju3k

u u1, 2,u3

, vv1iv2jv3k

v v1, ,2 v3

ve k R olmak üzere,

u1 v1

 

u2 v2

 

u3 v3

     

u + v i j k

 

1 1 1 1, 2, 3

kukuikujkukku ku ku

Teorem: n-boyutlu uzaydaki herhangi bir u(u1,u2,u3,,un) konum vektörü e1, e2, . . . ,en

birim vektörlerinin doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir:

1 2 n n

u u u

12 

u e e e

Bu ifadeye u konum vektörünün analitik gösterimi denir.

1.3 VEKTÖRLERİN ÇARPIMI

Vektörlerin çarpımı iki kısımda incelenebilir. Bunlar vektörlerin kendileri ile skaler çarpımı ve vektörel çarpımıdır. Skaler çarpım literatürde nokta çarpım veya iç çarpım olarak da adlandırılmaktadır.

1.3.1. Skaler (Nokta) Çarpım

İki vektörün nokta çarpımı, iç çarpım uzaylarında ayrıntılı olarak incelenecektir.

Aşağıda bu çarpımın nasıl yapıldığı hakkında temel bilgiler verilmiştir.

(10)

. .cos u v

u v =

Bir vektörün kendisine izdüşümü, büyüklüğünü değiştirmeden bıraktığı için herhangi bir vektörün kendisiyle iç çarpımı, vektörün büyüklüğünün karesidir.

cos 0 2

uu u

  

u u

Bu sonuç birim vektörlere uygulandığında, herhangi bir birim vektörün kendisiyle çarpımının bir olduğu sonucuna varılır. Buna ek olarak bir vektörün kendi başına dik izdüşümü olmadığından, herhangi bir birim vektörün diğeri ile nokta çarpımı sıfırdır.

ˆ ˆ ˆ ˆ     ˆ ˆ 1.1cos0 1

i i j j k k

ˆ ˆ ˆ     ˆ ˆ ˆ 1.1cos 900 i j j k k i

Bu bilgi kullanılarak, Kartezyen formdaki herhangi iki vektörün nokta çarpımı için bir formül elde edilebilir. Ortaya çıkan sonuç karmaşık gibi görünür. Ancak çoğunlukla sıfıra eşit terimleri içermektedir.

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

(ux uy uz ) (vx vy vz )

      

u v i j k i j k

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

u u u v u v

u v u v u v

u v u v u v

      

     

     

u v i i i j i k

j i j j j k

k i k j k k

x x y y z z

u v u v u v

   

u v

İki vektörün nokta çarpımı böylece paralel bileşenlerin çarpımlarının toplamıdır. Buradan Pisagor Teoremi üç boyutta türetilebilir.

. cos(0) x x y y z z u u u u u u u u

    

u u

2 2 2 2

x y z

u u u

  

u

Nokta çarpımı geometrik olarak incelendiğinde, iki vektör arasındaki açının oldukça kolay elde edilebildiği görülmektedir.

Aşağıdaki şekilde u ve v vektörlerinin iç çarpımının geometrik anlamı verilmiştir:

(11)

OA OB

 

u v =

OC OB

A noktasının v vektörü üzerindeki dik izdüşümü C noktasıdır. Böylece AOC üçgeni ortaya çıkar. OC vektörünün uzunluğu, u vektörü ve  açısı kullanarak yazılabilir. Trigonometriden bilindiği gibi,

cos

OC OA

 

olup OCOAcos yazılırsa,

. .cos . .cos

OA OB

    

u v u v

elde edilir.

Sonuçlar:

a- İki vektör birbirlerine dik (ortogonal) ise aralarındaki açı 2

  olup iç çarpım sonucu

sıfır olur;

 

cos  2 0

  

u v u v

b- İki vektör aynı doğrultu ve aynı yönlü ise aralarındaki açı   olup iç çarpım en 0 büyük değerini alır;

cos 0

  

u v u v u v

c- İki vektör aynı doğrultu ve zıt yönlü ise aralarındaki açı   olup iç çarpım en küçük  değerini alır;

cos( )

   

u v u v u v

d- n-boyutlu uzayda iki vektör arasındaki açı aşağıdaki formül ile bulunabilir;

1 1 2 2

cos . .

u vu v  u vn n

  u v 

u v u v

(12)

Nokta çarpımın özellikleri:

u, v w herhangi üç vektör ve , R olmak üzere, 1. u (v + w) = u v + u w  

2. u v = v u 

3.

u v

  

u v  u

 

v

4. u   v u v 0 5. u    1 u u 1 6. u u u2,

u2 u

1.3.2. Vektörel Çarpım

İki vektörün birbirleriyle çarpılması sonucunda bu iki vektöre dik bir vektör türeten işleme vektörel çarpım denir. Literatürde çapraz çarpım veya dış çarpım olarak da bilinmektedir. Aşağıdaki biçimde tanımlanır:

C = A B CA B  A B. .sin

Analitik olarak tanımına geçmeden önce birim vektörlerin vektörel çarpımlarının eşitlerini bilmek gerekir. Bunun için sağ el kuralı olarak adlandırılan kural ile vektörel çarpımın yönü tayin edilebilir. Bu kurala göre saat yönünün tersi pozitif “+” yön olarak seçildikten sonra, 1- 4 parmağımız ilk vektörün (çarpıma ilk sırada girecek olan vektörün) yönünü gösterecek şekilde sağ el düz olarak birinci vektörün üzerine konulur.

2- Elimiz hala düz iken, avucumuzun içi ile iki vektör arasındaki küçük açı taranır.

3- Dört parmağımıza dik tuttuğumuz baş parmağımız sonuç vektörünün yönünü verir.

(13)

u1,u2,u3

u1 u2 u3

   

u i j k ve v

v1, ,v v2 3

v1iv2jv3k olmak üzere bu iki vektörün vektörel çarpımı analitik olarak,

u v2 3 u v3 2

 

u v1 3 u v3 1

 

u v1 2 u v2 1

     

u× v i j k

u v2 3u v u v3 2, 1 3u v u v3 1, 1 2u v2 1

biçiminde yazılabilir. Bu çarpım, determinantlar kullanılarak aşağıdaki şekilde yapılabilmektedir.

1 2 3

1 2 3

u u u v v v

 

i j k

u v

Vektörel çarpımın en önemli geometrik anlamlarından birisi; u v çarpımının  uzunluğu yani uv değeri, u ve v vektörleri ile oluşan paralelkenarın alanına eşittir. Yandaki şekilde paralel kenarın yüksekliği vsin , taban uzunluğu ise u olup paralel kenarın alanı Av u. sin u v olur.

Tanım: u, v, wR3,aynı düzlemde bulunmayan üç vektör olmak üzere,

u v w determinant tanımı ile

 

11 22 33

1 2 3

u u u

v v v

w w w

 

u v w

biçiminde tanımlanan işleme karma çarpım denir. Karma çarpımının sonucu daima bir skalerdir. Çünkü, u ve v × w birer vektör olduğundan bu vektörlerin nokta (iç) çarpımı bir skaler tanımlar.

(14)

Karma çarpımın büyüklüğü, bu çarpımın geometrik anlamını ortaya çıkarmaktadır.

u, v w vektörleri üzerine kurulan paralel yüzlünün hacmi , u v

w

eşittir ve

. .cos

u v w u v w

formülü ile bu hacim hesaplanabilir.

Vektörel Çarpımın özellikleri:

3,

u, v, w R ve c R olmak üzere;

1. u(v + w) = uv + uw

2. u  v v u fakat, u v   v u 3. c 

u v

cu  v u cv

4. u0 = 0 u = 05. u u = 0

6. u. v

w

 

u v w

Referanslar

Benzer Belgeler

1995 yılında Konya’da kurulan KONAL, Türkiye’nin en büyük yapı malzemeleri mağazasına sahip olup Aksaray ve Afyon dahil olmak üzere 4 mağazada hizmet vermektedir.. 25

Doğa Telekom; Fiber omurgası üzerinden gelen geniş bant Metro Ethernet internet hizmetini daire içlerine kadar taşıyarak, Kablolu yada kablosuz erişim imkanı ile, en

 Transdüksiyon yolu ile hedef hücreye aktarıldıktan sonra burada plazmidler gibi replike olurlar (plazmid replikasyon orijini. Bu nedenle aktarıldıkları hücrelerden

Çok değişkenli sürekli dağılımları ikinci sınıfta İST201 ve üçüncü sınıfta İST301

Tanım: Eğer A matrisinin satır ve sütunlarının yerleri değiştirilirse elde edilen yeni matrise A matrisinin transpozu denir.. Açıktır ki aynı tanım vektör

a>0 ise parabolün kolları yukarıya doğru ve a<0 ise parabolün kolları aşağıya doğrudur.. Parabolün kolları yukarı doğru iken fonksiyonun minimumu ve kollar

Fizikte kullanılan iş kavramının, vektörler cinsinden incelenebilen bir terim olduğu ve bir kuvvetin etkisiyle yapılan işin kuvvet ile alınan yolun çarpımı

Düzlemin eğimini belirlemenin yöntemlerinden biri; bu düzleme dik sıfırdan farklı bir vektörün bulunmasıdır. Düzleme dik sıfırdan farklı vektöre normal