Bir bardak sütlü kahve ve biraz şeker... Enfes bir aroma ve
damağımızda hoş bir lezzet ile eski Formula 1 yarışlarından kalma bir resme bakalım (50. sayfa). Fotoğraf çekildiği zamanlarda pit ziyareti sırasında araçların lastikleri değiştirilir ve araçlara yakıt takviyesi yapılırdı. Bu resimde matematik, fizik ve kimya var. Muazzam bir mühendislik var. Geçmiş yarışlardan edinilen tecrübelere göre ayarlanmış bir düzen var. Yakıt takviyesi yapıldığı yıllarda dört lastiğin değişip aracın yarışa geri gönderilmesi sekiz saniyenin altında gerçekleşiyordu. Artık araca yakıt konmuyor, yalnız dört lastik değişiyor ve bu ziyaret üç veya dört saniye sürüyor.
Şu
Matematik
Dedikleri…
D
ünyada pek çok ara-ba yarışı olmasına rağ-men sadece Formula 1 yarışları televizyondan yayınlandıkları sırada beş yüz milyon kişi tarafından ücretli kanallarda can-lı olarak izleniyor. Bu üstün bir pazar-lama ve insan ilişkileri ağı gerektiri-yor. Yayınların televizyondan yapıl-dığını düşünürsek elektrik ve elekt-ronik bilgileri devreye giriyor. Araç-ların, lastiklerin ve hatta televizyon-ların imalatları metalürji ve endüstri mühendisliği gerektiriyor. Ya yakıtlar? Petrolün çıkarılması için önce jeoloji bilgisiyle sondaj yapılacak yerin tespi-ti gerekiyor. Sonra rafinerilerde kimya bilgisi kullanılıyor.Hâlâ sorabilir miyiz acaba in-sanlığın geliştirdiği tüm sosyal ve fen bilgilerini hiçbir ayrım yapma-dan kullanan bu Formula 1 yarı-şında matematiğin yeri nedir di-ye? Ya da fizik bunun neresinde diyebilir miyiz? Fizik, kimya, ma-tematik, mühendislik ve daha ne biliyorsak hepsini kullanıyoruz ve televizyon başında sıcak sütlü kah-vemizi yudumlarken Formula 1 ta-kımlarının yarış ortasında gelece-ği meteoroloji uzmanlarınca bildi-rilen yağış için ıslak zemin lastik-lerine ne zaman geçeceklerini he-yecanla bekliyoruz.
Ama yine de soruyoruz işte…
Matematik
Nedir?
Matematik herhangi bir konu-da doğru düşünme sanatıdır diye-biliriz. Buradaki kilit kavram doğ-ru kelimesiyle anlatılıyor. Sağduyu da herhangi bir konuda doğru yo-lu bulmak olarak açıklanabilir ama sağduyuyu betimlerken kullandı-ğımız doğru kelimesi zamana ve mekâna göre değişir. Geçen yıl yol-da karşılaştığımız dostlarımıza sarı-lıp yanaklarından öpmek doğru bir davranıştı. Bu yıl iki metre uzaktan, ağzımızda maske ile korkarak soh-bet ediyoruz.
Pek çok bilim dalındaki doğru-lar da yıldan yıla değişir çünkü öğ-renmek bir süreçtir. Yeni deneyle-rin getirdiği yeni bilgilerle eski kav-ramlarımızı geliştirir, doğayı daha gerçekçi açıklayacak teoriler geliş-tiririz. Beş yıl önceki bilgilerimiz eskir. Şimdiki bilgilerimiz de beş yıl sonra eskiyecek ama biz bu bil-gilerin omuzlarında o yeni bilgilere ulaşmış olacağız.
Eğer Merkür gezegenin hareket-lerini eskisinden daha hassas şekil-de gözleyemeseydik Newton meka-niğinin bu hareketleri öngörmedi-ğini bilemeyecektik. Einstein da bu ve buna benzer sorunları açıklaya-cak yeni bir teori peşinde koşmaya-caktı.
Belki de bu yüzden pek çok bilim dalında beş yıl önce yazılmış makale-ler çok nadiren okunur.
51
Her bir bilim dalını diğer bilim dallarından ayıran en az bir özelliği vardır. İşte matematiği de diğer bi-lim dallarından ayıran bu doğru ke-limesine yüklenen anlamdadır.
Ma-tematikte doğru demek zamandan ve mekândan, gelenek ve görenek-ten, insandan ve ülkeden bağımsız olarak her zaman doğru kalacak bil-gi demektir.
Örnek olarak Öklid’in iki bin üç yüz yıl önce yazdığı kitaba bakın! O kitabın bir yerinde sonsuz tane asal sayı vardır demişti. Hâlâ sonsuz ta-ne asal olmaya devam ettiği gibi iki bin üç yüz yıl sonra da bu durum değişmeyecek.
İşte “Matematik herhangi bir ko-nuda doğru düşünme sanatıdır” derken böylesi bir doğruluk kavra-mından söz ediyoruz! Rodin’in dü-şünen adam heykeli, kim bilir bel-ki de bize doğru düşünmenin ne kadar yoğun bir eylem olduğunu göstermeye çalışıyor.
Matematik
Ne İşe
Yarar?
Aslında bu soru “Benim bildi-ğim kadarı dışındaki matematiğe ne gerek var?” şeklinde yeniden yazılabilir. Hâlbuki “benim bildi-ğim kadar bilgi”nin dışındaki bil-gileri ben küçümsesem, hatta yok saysam bile, o bilgiler ve o bilgilere sahip kişiler benim hayatımı doğ-rudan etkiliyor.
Bir savaş sırasında karşı tara-fa belli etmeden iletişim kurmak ve onların gizli haberleşmelerine ulaşmak, nasıl yapıldığını anlama-sam bile benim hayatımı etkileye-cektir. Kendi anlayabildiğim kadarı dışındaki matematik bilgisinin
ge-Düşünen adam heykeli İkinci Dünya Savaşı sırasında bir Alman denizaltısından gönderilen şifreli mesaj
lişmesini desteklemezsem bu çeşit şifreli mesajları değil okumak, ele geçenleri deşifre etmeyi bile bece-remezdim.
İkinci Dünya Savaşı’nı takip eden yıllardaki nüfus patlaması nedeniyle oluşan kuşak, demog-rafi bilimiyle uğraşanlar için başlı başına sosyal bir olgu oluşturmuş-tu. Bu kuşağın eğitim dönemin-de oluşan öğretmen ihtiyacı kar-şılandıktan sonra arkadan gelen aynı yoğunlukta bir grup olmadı-ğı için birdenbire öğretmen fazla-lığıyla karşılaşılmıştı. Biz de kendi-miz bu “bebek patlaması” kuşağın-da olduğumuz için gelecekteki iş bulma ihtimalimizi bizim kuşağın çocuklarının okul ve üniversite ya-şına gelmesine bağlıyorduk.
Bizim saf hesaplarımızın ötesin-de, bu kuşak sosyal sigortalar ku-rumları için de bir problem oluş-turmuştu. Bu kuşak iş gücüne ka-tılıp prim ödemeye başlayınca bir-denbire sosyal sigortalar kurum-ları çok zenginleşmişti. İleride bu primleri ödeyenlerin emekli olma-ya başlaolma-yacağını ve onların emek-lilik maaşlarını ödeyecek sayıda yeni nüfus olmadığını hesaplaya-mayan bazı kurumlar batmıştı. Bu elbette herkesin yaşam şartını et-kileyen bir durumdu.
Hâlâ soracak mıyız matematiğin fazlasına ne gerek var diye!
Ya Paskalya Adası’na ne deme-li? Güney Doğu Pasifik’te yer alan ve en yakın kara parçasından
bin-lerce kilometre uzakta bulunan bu adada, ağırlıkları elli tonu, boyla-rı on metreyi geçen yüzlerce insan heykeli var. Bu heykellerin nasıl yapıldığı, buraya nasıl getirildiği, yapanların kimler olduğu bilinmi-yor. Adanın bitki örtüsü ve diğer bulgular ışığında türetilen en akla yakın açıklama, adanın eski sakin-lerinin adanın doğal varlığını he-sapsızca kullanarak üstün bir dü-zeye geldiklerini iddia eder. Bura-da yaşayan insanların aBura-danın ken-dilerini besleme kapasitesini he-saplamadıkları için zamanla be-sin kıtlığı yaşadığı ve bu dev hey-kelleri yapan uygarlığın kendi he-sap bilmezliğine yenilip yok oldu-ğu düşünülür.
O dönemde de bu çeşit hesap-ları yapanlar mutlaka çıkmıştır. Onlara soyut şeylerle uğraşmayın dendiğini, hatta onlarla alay edil-diğini tahmin edebiliyoruz.
Matematiğin
İlk Sahibi
Kim?
Genel olarak bilimin, özel olarak da matematiğin günlük hayatımızı biz istesek de istemesek de etkilediği-ni anladıktan sonra insan merak edi-yor. Başıboş günlük hayatı sürdürme-nin yetmediğini fark edip doğadaki düzeni yakalayıp kullanmayı ilk akıl eden kimdi diye…
Bu konuda elimizde fazla bulgu yok elbette.
Çok eski dönemlere ait kalıntı-ları arayankalıntı-ların baş vurduğu bir yöntem de yer kabuğunun kırı-lıp binlerce, hatta milyonlarca yıl önceki katmanlarını görünür kıl-dığı bölgelere gitmektir. Güney Afrika’da bu çeşit yerlerde yapılan aramalarda bulunan iki kemik par-Paskalya Adası’ndaki
çası bize ilk matematikçiler hak-kında ipucu verebilir.
Lebombo Dağı civarında bulun-duğu için bu dağın adıyla anılan ve bir maymunun baldır kemiği ol-duğu düşünülen Lebombo kemiği-nin üzerinde aşınmaya atfedileme-yecek düzende çentikler vardır. Bu kemik çeşitli kaynaklarda yaklaşık kırk bin yıl öncesine kadar tarihlen-miştir.
İkinci kemik ise daha yenidir. Yirmi bin yıllık olduğu düşünülen İshango kemiğinin üzerinde asal sayılara karşılık gelen çizgiler yer alıyor. O dönemlerden kalan başka bir bulgu olmadığı için bu çizgile-rin ne anlama geldiği değişik var-sayımlarla açıklanıyor.
Biz bu kemiklerdeki çizikleri şim-dilik doğada düzen aramanın ilk işa-retleri olarak kaydedelim.
Tabletler
Yazının icat edilmesi ve tabletler üzerine kayıtlar düşülmesi için Af-rika kemiklerinden sonra binlerce yıl bekledik. Kazılarda bulunan tab-letler okunduğunda daha çok gün-lük hayat, ticaret ve yasalar hakkın-da bilgiler ediniliyor. Arahakkın-da sırahakkın-da bizi şaşırtan bazı matematik tablet-leri de çıkıyor.
Bu tabletlerde dik üçgen teoremiy-le ilgili bilgiteoremiy-lerden, ikinci dereceden polinomların çözümlerine kadar de-ğişik bilgiler bulunuyor. Hatta son yıl-larda bulunan ve gezegenlerin hare-ketlerini kaydeden bir tablette bugün integral hesabı olarak adlandırdığımız hesaba benzer çalışmalar yer alıyor.
Irak bölgesinde bulunan bir tablet-te ise köşegen uzunluğu ve alanı ve-rilen bir dikdörtgenin kenar uzun-luklarının nasıl bulunacağı anlatılı-yor. Dört bin yıl önce bu konuda ça-lışan insanlara “Bu yaptıklarınız gün-lük hayatta ne işe yarayacak?” diyen-lerden geriye ise bir şey kalmamış.
Lebombo Kemiği MÖ 35.000
İshango Kemiği MÖ 18.000
Üzerinde büyük sayılarla ilgili bilgi bulunan bir tablet ve bu çeşit tabletlerin kazılarda ilk bulunduğu an. Bu tabletler yaklaşık 4000 yaşında. Arkeologlara ne kadar teşekkür etsek az.
Irak’ta bulunan bir tablet, MÖ 2000
Plimpton 322 nolu tablet, MÖ 1800
Bir de meşhur Plimpton 322 table-ti var. George Arthur Plimpton’un Co-lumbia Üniversitesine bağışladığı ko-leksiyonun 322 nolu parçası olan bu tabletin ön yüzündeki sayıların ne için yazıldığı konusunda hararetli tar-tışmalar ve yazılmış pek çok bilimsel makale var. Son yıllarda tabletin arka yüzüne bakmayı akıl ettik. Buradaki çizgiler ön yüzdeki tablonun devam ettirilmesinin planlandığı ama proje-nin yarım kaldığını gösteriyor. Bu du-rumda ön yüzdeki sayılar hakkında ortaya atılan ve yayımlanan pek çok varsayım çöpe gitmiş oluyor. Babilli-lerin altmış tabanına göre yazdıkları bu sayıları inceleyip bir tahminde bu-lunmayı size bırakıyorum. Bu konu-da yazılanlar arasınkonu-da benim kendi-me en yakın bulduğum açıklama, bu sayıların kenar uzunlukları sistema-tik olarak sıralanmış dik üçgenlerle il-gili olduğu.
Papirüsler
Elimizdeki en eski matematik içe-rikli papirüsler MÖ 1800 ve MÖ 1650 tarihlerinde yazıldıkları düşünülen Moskova ve Rhind papirüsleridir. He-nüz Pi sayısının resmi kayıtlarda boy göstermediği bu dönemlerde Pi sayı-sı gerektiren hacim hesaplarında kul-lanılan sabitler Pi sayısından yüzde birlik bir hata payıyla ayrılıyordu. Üs-tü kesik bir piramidin hacminin ya da ölçüleri bilinen bir piramidin eğimi-nin hesaplanması gibi problemlerin çözüldüğü bu papirüsler, bize Mısır uygarlığının ulaştığı düzey hakkında da ipuçları veriyor.
Antik Yunan
MÖ 500 yıllarından başlayarak Do-ğu Akdeniz’de yeşeren Antik Yunan uygarlığı felsefe ve matematiğe önem vermiş ve bugüne kalan eserler ver-miştir. Bu dönemin en önemli mate-matikçileri olarak Öklid ve Arşimet’i gösterebiliriz. Öklid yazdığı
Eleman-lar kitabıyla dönemin bilinen tüm
matematiğini sistematik olarak kur-guladı. Bu kitaptaki kusurları günü-müzde belitsel geometri dalının orta-ya çıkmasına yol açtı. Öte orta-yandan di-le getirdiği probdi-lemdi-ler ve çözümdi-lerdi-le de günümüz matematiğinin oluşma-sında belirleyici oldu. Cetvel ve pergel çizimlerine verdiği önem Öklid’i takip eden binlerce yılda matematik araş-tırmalarının yönünü belirledi.
Arşimet ise eski zamanların en bü-yük matematikçileri arasında sayılır. Aslında Arşimet’i matematikçi, fizik-çi ve mühendis olarak tanımlayabi-lir, “hezârfen” (bin bilim dalı ile ilgile-nen) sıfatını ona da atfedebiliriz. Di-ğer yandan, Arşimet çocukça bir me-rakla doğayı anlamaya çalışan bir fa-niydi sadece de diyebiliriz.
Günlük hayatta ne işe yarayaca-ğını düşünmeden araştırıp bulduğu şeyler gün geldi Sirakuz’u Roma ku-şatmasına karşı savunurken bile kul-lanıldı.
Arşimet matematiksel buluşlar-da kanıt ve yöntem açıklama gelene-ğinin yeni yeni yerleştiği bir dönem-de bazı çalışmalarının nasıl gerçek-leştiğini anlattığı Metotlar adlı bir ki-tap yazdığından söz etmişti. Bu kiki-tap uzun süre bulunamadı.
Rhind Papirüsü MÖ 1650
Çin kayıtlarından, bugün sözsüz ispat olarak adlandırdığımız stilde çizilmiş bir dik üçgen
teoremi kanıtı. MÖ 500 yılları.
Rafael’in “Atina Okulu” freskinden bir ayrıntı. Öklid öğrencilerine geometri anlatıyor.
Geçen yüzyılın başında İstanbul’da bulunan bir dua kitabında, yazıların altında silinmiş olarak başka kitap parçaları olduğu gözlemlendi. Bun-lardan biri Arşimet’in Metotlar kitabıy-dı. Bu kitap daha sonra yine kaybol-du -ta ki 1998’de Christie’s salonunda-ki açık artırmada ortaya çıkıncaya ka-dar. Yunan hükümetinin görevlendir-diği bir heyete karşı, ismini vermek is-temeyen bir hayırsever adına müza-yedeye katılan bir müze görevlisi bu açık artırmayı kazandı.
Bu kitabın kaybolma ve bulunma hikâyesi, kazınıp silinmiş yazıların nasıl okunduğu ve elde edilen yeni bilgiler başka bir yazının konusu ol-sun. Şimdilik bizi ilgilendiren konu, yirminci yüzyılda dahi eski bir mate-matik metnine iki milyon dolar vere-cek insanların bulunması. Hatta bu kitabı okunur hâle getirmek için ken-di meslek hayatlarının dışına çıkıp gece gündüz çalışan insanların olma-sı… Zaman zaman günlük hayatta işe yaramayan şeylerle uğraşıp zevk al-dığınızı fark ettiğinizde kendi kendi-nize “Deli miyim ben?” diye soracak olursanız bu âlemde yalnız olmadığı-nızı bilin diye yazdım bunları.
Hârizmî
(780-850)
Doğu dünyasının Öklid’e cevabı belki de Hârizmî’dir. Döneminin bi-linen tüm matematiğini sistematik olarak sergilediği kitaplarıyla cebi-rin babası unvanını aldı. Matema-tik kavramlarının simgelerle temsil edilmesi ve bu simgeler birtakım işlemlerde kullanıldıktan sonra çı-kan sonuçların tekrar matematik diline çevrilmesine dayalı bir tek-nikler yumağı olan cebir sayesinde matematikteki keşifler hızlandı.
O dönemde cebirin kullanıma gir-mesinin etkisi günümüzde bilgisa-yarların kullanıma girmesinin etki-siyle kıyaslanabilir. Nitekim cebirin kullanılmaya başlanması bin yıldır olduğu yerden bir milim ilerleyeme-miş eski bir problemi yeniden can-landırdı. Babilliler ikinci dereceden denklemleri çözmeyi biliyorlardı. Üçüncü dereceden denklemler hak-kındaysa henüz hiç kimse kalem oy-natamamıştı. İşte cebir bu probleme saldırmak için güçlü bir silah olarak görünüyordu.
Bu silahı üçüncü dereceden denk-lemler için kullanan ilk kişi 1048-1131 yılları arasında yaşayan Ömer Hayyam’dır. Henüz üçüncü derece-den derece-denklemleri çözmek için bir yol görünmediğinden bu konuya dair ilk açıklanmaya çalışılan şey üçüncü dereceden bir polinomun ne zaman kaç tane kökü olacağıydı. Eskiden kök terimi ile kastedilen bugünkü
te-rimlerle pozitif reel köktür. O dönem denklemler hep pozitif kat sayılarla yazılır, bugün negatif katsayı isteni-lecek durumlarda da bu katsayı eşit-liğin öbür tarafına pozitif olarak yazı-lırdı. Ne de olsa artık cebir kullanım-daydı.
Arşimet’in kayıp kitabı Hârizmî
Ömer Hayyam (1048 - 1131) 55
Ömer Hayyam üçüncü derece-den derece-denklemleri sınıflandırdı ve her bir sınıf içindeki denklemlerin ne şartlarda kökleri olacağını ince-ledi. Bu çalışması çağdaş matema-tik anlayışının ilk örneği olarak de-ğerlendirilir.
Ömer Hayyam’ın ölümünden dört yıl sonra doğan Şerefeddin Tûsî yine üçüncü dereceden denk-lemlerle ilgilendi. Kendi bakış açı-sına göre yaptığı sınıflandırmala-ra dayanasınıflandırmala-rak köklerin varlığını in-celedi. Bu sınıflardan birindeki kök-leri incelerken kendisinden 500 yıl sonra doğan Newton’u kıskandıra-cak bir şey yaptı. Üçüncü den bir polinom için ikinci derece-den bir polinom yazdı. Bu polinom, o üçüncü dereceden polinomun tü-reviydi. İkinci dereceden polino-mun köklerini üçüncü dereceden polinoma vererek üçüncü derece-den polinomun maksimum değeri-ni buldu ve bu polinoma eşit olma-sı istenen değer bu maksimumdan fazlaysa polinomun kökü olmaya-cağını belirtti.
Elbette Batılı bilim tarihi yazar-ları Şerefeddin Tûsî’nin türevden anlamadığını, bu ve benzer hesap-ları tesadüfen bulduğunu yazmak-ta geç kalmadılar. Hatyazmak-ta Şerefeddin Tûsî’nin başka eserlerinde yaptığı bazı hesapları da “bunlar zaten Ruf-fini-Horner metodudur” diye geçiş-tirdiler. Ruffini ve Horner’in Şere-feddin Tûsî’den yaklaşık yedi yüz-yıl sonra doğduğunu hatırlatıp ko-nuyu kapatayım.
Cardano
(1501-1576)
Cebirin ne denli güçlü bir silah olduğu on altıncı yüzyılda anlaşıl-maya başlandı. O güne kadar çeki-nilerek uygulanan cebir teknikle-rinin hep doğru sonuçlar vermesi kullananların cesaretini artırdı. So-nunda bu teknikler üçüncü derece-den derece-denklemlerin tam çözümleri-nin yazılması için kullanıldı ve ba-şarılı olundu.
Üçüncü dereceden denklemleri çözen ilk kişinin Scipione del Fer-ro (1465-1526) olduğu biliniyor. O dönemlerde üniversitedeki kadro-yu koruyabilmek için çeşitli mate-matik yarışmalarında başarılı ol-mak gerekiyordu. Yoksa sizin yeri-nize sizi yenen matematikçiyi işe almaları işten bile değildi. O dö-nemdeki yarışmaların gözde prob-lemleri de özel durumlarda çeşit-li zekice uygulamalarla çözülebi-lecek üçüncü dereceden denklem-lerdi. Ferro tüm üçüncü dereceden denklemleri çözebilecek tekniği bu-lunca elbette bunu kimseye gös-termedi. Ama böyle bir formül bu-lunduğunu duyan Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1557), artık bu psi-kolojik engel yıkıldığına göre, “bi-ri bulduysa ben de bulurum” deyip aynı formülleri buldu. Tartaglia ay-nı zamanda Öklid’in Elemanlar ki-tabını, Latince dışında, konuşulan bir dile çeviren ilk matematikçidir. Tartaglio’nun İtalyanca çevirisine internetten hâlâ ulaşılabilir.
Üçüncü dereceden denklem deyin-ce akla gelen ismin Gerolamo Carda-no (1501-1576) olmasının nedeni ise Cardano’nun Tartaglia’dan öğrendi-ği ve bunu açıkça belirttiöğrendi-ği çözümü 1545’te yazdığı Ars Magna kitabında açıklamasıdır. Bugün bu formüllere Cardano formülleri diyoruz -Ferro ve Tartaglia mezarlarında dönse yeridir!
Cardano’nun matematiğe en bü-yük hizmeti ise üçüncü dereceden polinomlarla oynarken negatif sayı-ların kare köklerinin de pekâlâ birer
Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1557)
sayı gibi kullanılabileceğini keşfetme-sidir. Hatta kitabında bu keşfini kulla-narak toplamı 10, çarpımı 40 olan iki sayının nasıl yazılacağını bile göster-mişti. Daha sonra bilim dalları ayrılıp uzmanlaşmalar başlayınca kendileri-ni elektrik mühendisliği sınıfında bu-lan bilim insanları Cardano’ya ne ka-dar borçlu olduklarını bir bilseler…
Ars Magna kitabında üçüncü dere-ceden denklemler hep bir hikâyeyle anlatılır ve çözümleri verilir. Dördün-cü dereceden denklemler için “gün-lük hayattan” örnek bulamayan Car-dano, bu denklemleri çözmeyi asista-nı Lodovico Ferrari’ye (1522-1565) bı-rakmıştı. Ferrari cebirsel teknikleri ze-kice kullanıp kısa sürede dördüncü dereceden denklemlerin nasıl çözüle-ceğini buldu.
Bu hikâyede adları geçen kahra-manlarımız Tartaglio, Cardano ve Ferrari’nin doğum tarihlerine ve Ars Magna’nın yayınlanma tarihine ba-karsanız matematiğin gençlerin eğ-lenceli zaman geçirmesi için uygun bir aktivite olduğunu görebilirsiniz.
Beş, Altı,
Yedi
Derken…
Yukarıda anlatılan polinom çö-zümleri hikâyelerine bakınca insa-nın aklına matematiğin meşhur mak için ne kadar uygun bir dal ol-duğu geliyor. Her bir dereceden po-linomun nasıl çözüleceğini bulan
kişi meşhur olacak ve henüz sadece dördüncü derecedeyiz. Bu gidişle bize de mutlaka sıra gelecektir diye düşünebiliriz -ama kazın ayağı hiç de öyle değil!
Matematikçiler beş ve daha yük-sek dereceli polinomların çözümü-nün cebirsel olarak bulunmasının imkânsız olduğundan şüphelenmeye başladı. Bundan ilk şüphelenen kişi Paolo Ruffini’dir. Cardano’dan yakla-şık iki yüz yıl sonra doğan Ruffini bu konudaki çalışmalarına kıymet veril-mediğini görerek mutsuz bir şekilde öldü. Onun kıymetini ancak yirminci yüzyılın sonlarında keşfettiler.
Ruffini’den yüz yıl kadar sonra Niels Henrik Abel (1802-1829) be-şinci dereceden polinomların kök-lerinin cebirsel olarak her zaman bulunamayacağı üzerine bir ma-kale yayımladı. Onun kadar şans-lı olmayan Evariste Galois (1811-1832) ise tüm polinomlar için ge-çerli olan ve kendi adıyla anılan ku-ramını düelloda öleceğini anladı-ğı için düellodan önceki son gece-lerinde arkadaşına yazdığı bir mek-tupta açıkladı.
Değeri bilinmeyen Ruffini’nin mutsuz ölümü; Abel’in 29, Galo-is’nınsa 21 yaşlarında henüz çok genç iken ölümü bana Kutsal Ha-zine Avcıları (Raider’s of the Lost Ark, 1981) filminde arkeologların Hz. Musa’nın on tabletinin olduğu sandığı bulmaya her yaklaştıkların-da göklerin gürlediği ve şimşekler-le yıldırımların çaktığı sahneşimşekler-leri ha-tırlatır.
Paolo Ruffini (1765-1822)
Niels Henrik Abel (1802-1829) Evariste Galois (1811-1832) Heykeltıraş Gustav Vigeland tarafından 1908’de yapılan Abel heykeli, bir dehanın doğuşu 57
Yirminci
Yüzyıla
Geçerken
Yirminci yüzyılın başında ya-pılan Uluslararası Matematikçiler Toplantısı’nda yeni yüzyılın mate-matiğine yön verecek problemle-rin belirlenmesi düşünüldü. O dö-nemde bu çeşit bir problem listesi hazırlayabilecek kapasitede ve sö-zünü dinletecek otoritede iki mate-matikçi vardı: Poincaré ve Hilbert. Sonunda bu problem listesini ha-zırlamak Hilbert’e düştü. Hilbert’in hazırladığı 23 problemlik liste ger-çekten de yirminci yüzyıl matema-tiğinin itici gücü oldu.
Geçen yüzyılda yaptığınız bir matematik çalışması ucundan bu-cağından Hilbert’in listesindeki bir probleme hizmet etmiyorsa pek takdir edilmiyordu. Sokaktaki ada-mın matematikçilere “Bu yaptıkla-rın günlük hayatta ne işe yarıyor sanki?” küçümsemesinin matema-tik dünyasındaki karşılığı “Bu yap-tıkların Hilbert’in listesindeki han-gi problemin çözümüne katkı su-nuyor ki sanki?” olmuştu. Ama ma-tematikçiler gündüzleri meslektaş-larından övgü alamasalar bile ge-ce rüyalarında Gauss’tan övgü alı-yorlarsa kendi uçuk konularıyla il-gilenmeye devam ederler.
Hilbert listesindeki problemle-ri ve önemleproblemle-rini anlatmak popü-ler bir yazıda biraz zor olur çünkü buraya kadar anlattıklarım
ortaöğ-retim müfredatında yer alan mate-matik bilgileriydi. Hilbert’in listesi-nin ortaöğretim müfredatına alın-dığını görebileceğimi hiç zannet-miyorum.
Ya Yirmi
Birinci
Yüzyıl?
Yeni bin yıla girerken Hilbert gibi herkesin sözünü dinleyeceği bir ma-tematikçi bulamadık. Bazı kendine güvenen matematikçiler birer liste yaptılarsa da kimse pek üzerinde dur-madı. Sonunda çağımızın biraz da maddiyat çağı olduğunu göz önün-de bulundurarak Amerikalı banker bir aile olan Clay ailesi, bir grup ile-ri gelen matematikçiye yedi problem-den oluşan bir liste hazırlattı ve her bir problemin çözümüne bir milyon dolar ödül koydu.
Hilbert’in listesinde olup da çözü-lemeyen problemlerden yalnızca bi-ri, Riemann Hipotezi, Clay listesinde yer aldı. Diğer problemler daha çok yirminci yüzyıl matematiğinin erişti-ği noktada çözümü merak edilen çe-tin cevizlerden oluşuyor.
Bu listedeki problemlerden biri, Poincaré Sanısı, Rus matematikçi Pe-relman tarafından çözüldü. Beklenti-lerin aksine Perelman ne ödül parası-nı ne de bu çözümünden dolayı ken-disine verilen Fields madalyasını aldı. “Çözümümün doğru olduğunu her-kes biliyor. Bu bana yeter.” dedi.
Matematikçiler de biraz böyle in-sanlar işte.
Her Şeyin
Bir Kolayı
Var
Yüz yirmi yıl önceki Hilbert prob-lemlerini anlatmaya yeltenmediğim gibi Clay listesindeki problemlerden de hiç söz etmeyeceğim. Bu problem-leri anlamak için epey bir bilgi biriki-mi gerekiyor -tıpkı yabancı bir dilde şiir okuyabilmek için sadece sözlük yetmeyeceği gibi.
Ama moralimizi bozmayalım. Yir-mi birinci yüzyılda bile hâlâ çözülme-miş ama ortaöğretim müfredat bilgi-leriyle anlayıp çözmeye heveslenebi-leceğimiz problemler var.
Bunlardan biri Frobenius bozuk para problemidir. Problemi ortaya atan kişi elbette Frobenius değil. Bu problem on dokuzuncu yüzyılın son-larında eğlenceli bir problem olarak sunulmuş ama daha sonra hem ma-tematikte hem de uygulamalı bilim-lerde bu sorunun ortaya çıktığının görülmesi üzerine meşhur olmuştur. Frobenius’un katkısı bu problemin önemini sık sık öğrencilerine hatırlat-masındadır.
Problem kısaca şöyle anlatılabilir. Elimizde değişik değerlerde sonsuz sayıda bozuk para olduğunu varsaya-lım. Bu bozuk paraları kullanarak, pa-ra üstü almamak koşuluyla, hangi fi-yattaki malları satın alabiliriz?
Örne-ğin elimizde 3 ve 5 kuruşluk bozuk paralar varsa 1, 2, 4 ve 7 kuruşluk mal-ları satın alamayız ama bunun dışın-daki tüm fiyatlardışın-daki malları satın ala-biliriz. Buradaki önemli sayının 7 ol-duğunu görüyorsunuz: Satın alama-yacağımız en değerli malın fiyatı. Bu sayıya 3 ve 5’in Frobenius sayısı de-nir. Eğer elimizdeki paralar 5 ve 7 ku-ruş olsaydı onların Frobenius sayısı 23 olacaktı. Kısaca, eğer elimizde x ve y kuruşlar olsa, x ve y’nin ortak böle-ni olmaması koşuluyla, bunların Fro-benius sayısı xy-x-y formülüyle hesap-lanabilir.
Şimdi, çözmeniz durumunda adınızın evrendeki son yıldız sö-nünceye kadar matematik
kitapla-rında anılmasını sağlayacak soru-yu soruyorum: Elimizde ortak bö-lenleri olmayan x, y, z gibi ikiden fazla sayıda bozuk para olsa onla-rın Frobenius sayısını veren yuka-rıdaki gibi kapalı bir formül bulabi-lir misiniz?
Benim gençliğimde bu problemin bir diğer adı da KGB problemiydi. Bu probleme kafayı takan matematikçi bu merakını bölümdeki diğer arka-daşlarına da bulaştırdığı için bir süre sonra bölümdeki tüm akademik faali-yetler duruyor ve herkes bu problem-le uğraşıyordu. Güya eski Sovyetproblem-ler Birliği’nin o zamanki istihbarat örgü-tü KGB bilerek bu problemi Batı dün-yasına sokuyor ve onların akademik çöküşünü hazırlıyordu.
Gebze Temel Bilimler Enstitüsün-de çalışırken günlerce enstitüEnstitüsün-de ha-yatın durduğunu ve hepimizin, bü-yüklerimizin nazik uyarılarına kulak asmadan, bu problem üzerinde kafa yorduğunu, biraz da mahcubiyetle, dün gibi hatırlıyorum.
Siz de önce biraz kendiniz dene-yin. Sonra Alfonso Ramirez’in bu konuda yazdığı ve kaynaklarda adı-nı bulabileceğiniz kitabına bakmak isteyebilirsiniz. Ama cevap orada da yok, ona göre! n
Kaynaklar
Hilbert’in 23 Problemi için https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hilbert_problems Clay Enstitüsü problemleri için https://www.claymath.org/millennium-problems Şerefeddin Tûsî için https://islamansiklopedisi.org.tr/tusi-serefeddin
Cardano, Ars Magna (İngilizce çevirisi), Dover yayınları, 1993.
Ramirez Alfonsin, The Diophantine Frobenius Problem, Oxford University Press, 2005. R. Netz, W. Noel, Arşimed’in Elyazmaları, (Çeviren: Zennur Anbarcıoğlu), Alfa Yayınları, 2012.
