ĐST 349 Doğrusal Programlama Ödev1
Adı Soyadı: ÇÖZÜM anahtarı
1. a) Aşağıdaki problemi simpleks metodu ile çözünüz.
Maximize Z = 1.5X1 + 4 X2
subjectto: 2X1 + 4 X2 ≤ 40 1X1 + 0 X2
≥ 10
1X1 + 4 X2 ≤ 24 X1, X2 ≥ 0
X1 X2 S1 A2 S3 S2
Basis Cj 1.5 4 0 -M 0 0 RHS Ratio
S1 0 2 4 1 0 0 0 40 20
A2 -M
1
0 0 1 0 -1 10 10S3 0 1 4 0 0 1 0 24 24
Zj -M 0 0 -M 0 M -10M
Cj-Zj 1.5+M 4 0 0 0 -M
R2--- R2 ; -2R2+R1---R1 ; -R2 +R3---R3
X1 X2 S1 A2 S3 S2
Basis Cj 1.5 4 0 -M 0 0 RHS Ratio
S1 0 0 4 1 -2 0 2 2 5
X1 1.5 1 0 0 1 0 -1 10 -
S3 0 0
4
0 -1 1 1 14 3.5Zj 1.5 0 0 1.5 0 -1.5 15
Cj-Zj 0 4 0 -M-1.5 0 1.5
¼ (R3 )--- R3 ; R2—R2 ; -4R3 +R1---R1
X1 X2 S1 A2 S3 S2
Basis Cj 1.5 4 0 -M 0 0 RHS Ratio
S1 0 0 0 1 -1 -1
1
6 6X1 1.5 1 0 0 1 0 -1 10 -
X2 4 0 1 0 -1/4 1/4 1/4 3.5 14
Zj 1.5 4 0 0.5 1 -0.5 29
Cj-Zj 0 0 0 -M-0.5 -1 0.5
R1 ---R1 ; R1 +R2---R2 ; -1/4(R1) + R3---R3
X1 X2 S1 A2 S3 S2
Basis Cj 1.5 4 0 -M 0 0 RHS Ratio
S2 0 0 0 1 -1 -1 1 6
X1 1.5 1 0 1 0 -1 0 16
X2 4 0 1 -1/4 0 1/2 0 2
Zj 1.5 4 0.5 0 0.5 0 32
Cj-Zj 0 0 -0.5 -M -0.5 0
a), b) Optimum Çözüm: X1 = 16, X2= 2, S1 = 0, S2 = 6, S3 = 0, ve Z= 32 b) Kaynakların marjinal değerlerini verip yorumlayınız.
Marjinal değerler: u1 = 0.5, u1 = 0, u1 = 0.5 olup birinci ve üçüncü kaynaklara birer birim ilave mümkün olsa bu ilaveler objektif fonksiyon değerinde 0.5 birimlik artışlara sağlardı; fakat ikinci kaynağın bir birim artırılması objektif fonksiyon değerinde herhangi bir değişikliğe sebep olamazdı.
2. Bir işletme 3 fabrika ve 3 dağıtım deposuna sahiptir. Fabrikaların ürettiği ürünlerin değişken birim üretim maliyetleri ve fabrikaların üretim kapasiteleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Fabrika Üretim Maliyeti Üretim Kapasitesi
F1 5 600
F2 4 350
F3 3 250
Depoların ürün talepleri de sırasıyla birinci için 650, ikinci için 400 ve üçüncü için de 150 birimdir.
Fabrikalardan depolara bir birim ürünün nakil maliyeti de aşağıdaki tabloda verildiği gibi öngörülmüştür.
Depolar
Fabrikalar Depo 1 Depo 2 Depo 3
Fabrika 1 10 16 16
Fabrika 2 16 12 20
Fabrika 3 35 20 35
Minimum Toplam maliyeti (nakliye+üretim) verecek bir doğrusal programlama modeli geliştiriniz.
Çözüm:
Xij= Fi de üretlip Dj ye gönderilecek ürün miktarı olsun.
Min Z= 15 X11 + 21 X12 + 21 X13 + 20 X21 +16 X22+ 24 X23 + 38 X31+ 23 X32 +38 X33
Subject to: X11+ X12+ X13
≤ 600
F1 in kapasitesi X21+ X22+ X23≤ 350
F2 nin kapasitesi X31+ X32+ X33≤ 250
F3 ün kapasitesiX11+ X21+ X31
≥ 650
D1 in talebi X12+ X22+ X32≥ 400
D2 nin talebi X13+ X23+ X33≥ 150
D3 ün talebiXij
≥ 0
i,j=1,2,33. Abdi Đbrahim (AĐ) Şirketi hazır kahve türü iki ayrı marka kahve üretmeyi planlamaktadır. Üretimde kullanabileceği üç farklı kahve çekirdeği mevcut olup, bu çekirdek kahvelerin içerdikleri maddeler, 1 kilosunun maliyeti ve mevcut miktarları aşağıdaki tabloda verildiği gibidir.
Kahve çekirdekleri
Özellik Brezilya Kolombiya Meksika
Asit
4 5 3Kafein 0.03 0.02 0.05
Aroma 9 7 8
Maliyet ($/kg) 2.50 3.20 2.00
Mevcut Miktar (kg) 6000 3000 2000
Asit ve Aroma değerleri uzmanlar tarafından 1-10 arası birer değer olarak saptanmış, kafein miktarları da yüzde olarak ölçülmüştür.
AĐ’nin üretip pazarlayacağı iki ayrı marka kahve ve bunlarla ilgili özellikler aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Kahve Türleri Özellikler AĐ-Harika AĐ -Süper Asit (maksimum)
Asit (minimum) Kafein (maksimum) Aroma (minimum)
4.5
4.03.5 -
0.04 -
- 8.6 Satış fiyatı ($/kg) $5.50 $7.00
Toplam net kârı [(Satışlardan elde edilen gelir) – (maliyet)] maksimize edecek karışımlar nasıl oluşturulmalıdır?
Yani her bir çekirdek kahve türünden AĐ-Harika ve AĐ-Süper üretiminde kaçar kilo kullanılmalıdır ki toplam net kâr maksimum olsun. [Çözüm için uğraşmayınız, sadece problemi modelleyiniz. [Karar değişkenlerinizi ve kısıtlarınızı adlandırınız.]
Çözüm: XHB= Harika üretiminde kullanılacak Brezilya Kahve çekirdeği miktarı, XHK= Harika üretiminde kullanılacak Kolombiya Kahve çekirdeği miktarı, XHM= Harika üretiminde kullanılacak Meksika Kahve çekirdeği miktarı, XSB= Süper üretiminde kullanılacak Brezilya Kahve çekirdeği miktarı, XSK= Süper üretiminde kullanılacak Kolombiya Kahve çekirdeği miktarı, XSM= Süper üretiminde kullanılacak Meksika Kahve çekirdeği miktarı olsun.
Max Z= 5.50( XHB+ XHK+ XHM) + 7.00(XSB+ XSK+ XSM) – 2.50( XHB+XSB) -3.20(XHK+XSK) -2.00(XHM+XSM) Subject to: XHB+XSB
≤ 6000
Brezilya kahve çekirdeği mevcut miktarıXHK+XSK
≤ 3000
Kolombiya kahve çekirdeği mevcut miktarıXHM+XSM
≤ 2000
Meksika kahve çekirdeği mevcut miktarı5 . 3 4
5
4 ≤
+ +
+ +
HM HK
HB
HM HK
HB
X X
X
X X
Harika asit üst sınırı
5 . 3 3
5
4 ≥
+ +
+ +
HM HK
HB
HM HK
HB
X X
X
X X
X
Harika asit alt sınırı
3 4 5
4 ≤
+ +
+ +
SM SK SB
SM SK
SB
X X X
X X
X
Süper asit üst sınırı
04 . 05 0
. 0 02
. 0 03
.
0 ≤
+ +
+ +
HM HK
HB
HM HK
HB
X X
X
X X
X
Harika Kafein üst sınırı
6 . 8 8
7
9 ≥
+ +
+ +
SM SK SB
SM SK
SB
X X X
X X
X
Süper aroma alt sınırı
4- Ankara Đstanbul karayolu üzerindeki “Gurbet Lokantası” 24 saat hizmet vermektedir. Lokanta sahibi belirli zaman periyodunda en az aşağıdaki sayıda personelin çalışması gerektiğini düşünmektedir.
Zaman Aralığı (i) Gerekli Minimum
Personel Sayısı
00:01 – 04:00 1 3
04:01 – 08:00 2 5
08:01 – 12:00 3 13
12:00 – 16:00 4 8
16:01 - 20:00 5 19
20:01 – 24:00 6 10
Personel, gece yarısı(00:00), sabah 04:00, 08:00, öğleyin(12:00), 16:00 ve 20:00’de işbaşı yapmakta ve 8 saat çalışmaktadır. Çalışan toplam personel sayısını minimum yapmak üzere, her dönemde işbaşı yapması gereken personel sayısını belirleyen doğrusal programlama modelini oluşturunuz. Çözüm için uğraşmayınız.
Model: Xi = i zaman aralığı başında iş başı yapacak personel sayısı olsun.
Min . Z= X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6
Subject to: X6 + X1
≥ 3
1. ci zaman aralığında gerekli personel sayısının alt sınırı X1 + X2≥ 5
2. ci zaman aralığında gerekli personel sayısının alt sınırı X2 + X3≥ 13
3. cü zaman aralığında gerekli personel sayısının alt sınırıX3 + X4
≥ 8
4. cü zaman aralığında gerekli personel sayısının alt sınırı X4 + X5≥ 19
5. ci zaman aralığında gerekli personel sayısının alt sınırıX5 + X6
