TES ¸EKK ¨ UR

T.C.

˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U

MUTLAK OLMAYAN T˙IPTEN `( eB, p) D˙IZ˙I UZAYI VE BAZI GEOMETR˙IK OZELL˙IKLER˙I¨

Ahmet AKAR

Y ¨UKSEK L˙ISANS TEZ˙I MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

Temmuz 2019

Tezin Ba¸slı˘gı : MUTLAK OLMAYAN T˙IPTEN `( eB, p) D˙IZ˙I UZAYI VE BAZI GEOMETR˙IK ¨OZELL˙IKLER˙I

Tezi Hazırlayan : Ahmet AKAR Sınav Tarihi : 01.07.2019

Yukarıda adı ge¸cen tez j¨urimizce deˇgerlendirilerek Matematik Ana Bilim Dalında Y¨uksek Lisans Tezi olarak kabul edilmi¸stir.

Sınav J¨uri ¨Uyeleri

Tez Danı¸smanı: Do¸c.Dr. Murat CANDAN

˙In¨on¨u ¨Universitesi

Prof.Dr.Yılmaz YILMAZ

˙In¨on¨u ¨Universitesi

Prof.Dr. Mustafa YILDIRIM Cumhuriyet ¨Universitesi

Prof.Dr. H. ˙Ibrahim ADIG ¨UZEL Enstit¨u M¨ud¨ur¨u

ONUR S ¨ OZ ¨ U

Y¨uksek Lisans Tezi olarak sundu˘gum “Mutlak Olmayan Tipten `( eB, p) Dizi Uzayı ve Bazı Geometrik ¨Ozellikleri” ba¸slıklı bu ¸calı¸smanın bilimsel ahlak ve geleneklere aykırı d¨u¸secek bir yardıma ba¸svurmaksızın tarafımdan yazıldı˘gını ve yararlandı˘gım b¨ut¨un kaynakların, hem metin i¸cinde hem de kaynak¸cada y¨ontemine uygun bi¸cimde g¨osterilenlerden olu¸stu˘gunu belirtir, bunu onurumla do˘grularım.

Ahmet AKAR

OZET ¨

Y¨uksek Lisans Tezi

MUTLAK OLMAYAN T˙IPTEN `( eB, p) D˙IZ˙I UZAYI VE BAZI GEOMETR˙IK OZELL˙IKLER˙I¨

Ahmet AKAR

˙In¨on¨u ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Matematik Ana Bilim Dalı

70+iv sayfa 2019

Danı¸sman : Do¸c.Dr. Murat CANDAN

Bu tez toplamda altı b¨ol¨umden olu¸smaktadır.

˙Ilk b¨ol¨um¨unde matris etki alanı vasıtası ile yeni bir dizi uzayı in¸sa etme y¨onteminden ve literat¨urde mevcut bu teknik i¸cin kullanılan farklı sonsuz band matrislerinden bahsetikten sonra tezin b¨ol¨umlerinin kısa bir ¨ozeti sunulmu¸stur.

˙Ikinci b¨ol¨umde, tezde kulanılacak olan temel kavramların yanı sıra klasik dizi uzayları ve `(p), Maddox uzayı hatırlatılmı¸stır.

U¸c¨¨ unc¨u b¨ol¨umde ¸cift dizisel band matrisi ˜B kullanılarak in¸sa edilmi¸s olan mutlak olmayan tipten `( eB, p) dizi uzayı in¸sa edilmi¸s ve bazı ¨ozellikleri incelen- mi¸stir.

D¨ord¨unc¨u b¨ol¨umde mutlak olmayan tipten `( eB, p) dizi uzayının α−, β− ve γ− dualleri sunulmu¸stur.

Be¸sinci b¨ol¨umde `( eB, p) dizi uzayından bazı dizi uzaylarına matris sınıflarının karekterizasyonu verilmi¸stir.

Altıncı b¨ol¨umde `( eB, p) dizi uzayının rotundlu˘gu, Kadec-Klee ve d¨uzg¨un Opial

¨

ozelikleri gibi bazı geometrik ¨ozelikleri ifade ve ispat edilmi¸stir.

ANAHTAR KEL˙IMELER: Matris etki alanı, matris d¨on¨u¸s¨umleri, rotundluk, Kadec-Klee ¨ozelli˘gi, d¨uzg¨un Opial

¨ ozelli˘gi.

ABSTRACT

M.Sc. Thesis

SEQUENCE SPACE `( eB, P ) OF NON-ABSOLUTE TYPE AND SOME OF ITS GEOMETRIC PROPERTIES

Ahmet AKAR

˙In¨on¨u University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

70+iv pages 2019

Supervisor : Do¸c.Dr. Murat CANDAN

This master thesis consists of six chapters.

In the introductory chapter of the thesis, preliminary information is briefly given about the purpose of this study after mentioning various band matrices.

The second chapter is devoted to the collecting sequence space and all the fundamental concepts which are frequently used in this thesis.

In the third chapter, after the definition of the matrix domain, the literature search of the matrix domain is described in detail. Moreover, the linear sequence space `( ˜B, p) is defined and proved that it is a complete paranormed space with a Schauder basis.

In the fourth chapter, two different situations of the sequence p = (p_k) are taken into consideration and alpha-, betha- and gamma- duals of the sequence space `( ˜B, p) are determined by means of some given lemmas.

In the fifth chapter, the classes (`( eB, p), `∞), (`( eB, p), f ), (`( eB, p), c) and (`( eB, p), c<sub>0</sub>) of infinite matrices are characterized. In addition to those, the charac- terizations of some other classes of matrix transformations from the space `( ˜B, p) to the Euler, Riesz, difference; and so forth sequence spaces are found out using some presented lemmas.

In the sixth chapter, constituting the main body of the thesis, the geometric properties of the non-absolute space `( eB, p) such as rotundity, and Kadec-Klee and uniform Opial ones are investigated.

KEYWORDS: Matrix domain, matrix transformations, rotunduty, Kadec-Klee property, uniform Opial property.

TES ¸EKK ¨ UR

Y¨uksek lisans tez ¸calı¸smamı y¨oneten, tezin hazırlanmasının her a¸samasında disiplinli ve sistematik bir ¸sekilde beni y¨onlendiren tecr¨ube ve deneyimleri ile b¨uy¨uk katkılarda bulunan ve ¨uzerimde emekleri olan danı¸sman hocam Do¸c. Dr.

Murat Candan’a, yine tecr¨ube ve deneyimleri ile bana katkı sunan saygıde˘ger hocalarım Prof. Dr. Yılmaz Yılmaz’a ve Do¸c. Dr. Kemal ¨Ozdemir’e sonsuz ¸s¨ukran- larımı sunarım. Bununla birlikte tez yazımında kullandı˘gım latex programında kar¸sıla¸stı˘gım zorluklarını gidermede ve di˘ger konularda yardımını esirgemeyen Do¸c Dr. Kemal ¨Ozdemir ile birlikte ˙In¨on¨u ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Ma- tematik Anabilim dalına kayıt yaptırdı˘gım g¨unden bu yana y¨uksek lisans program- ında her t¨url¨u konuda bana yardımcı olan ve y¨onlendiren ba¸sta b¨ol¨um ba¸skanımız Prof. Dr. Sadık Kele¸s ve t¨um b¨ol¨um elemanlarına te¸sekk¨ur etmeyi bir bor¸c bilirim.

E˘gitim ¨o˘gretim s¨urecim boyunca anlayı¸s ve sabrı ile her zaman katkıda bulunan benden desteklerini hi¸c bir zaman esirgemeyen ve bu hayatta ki en b¨uy¨uk de˘gerler- im olan annem Havva Akar, babam Memet Akar ve sevgili e¸sim Fadime Akar’a da ¸s¨ukranlarımı sunarım.

˙IC ¸ ˙INDEK˙ILER

OZET . . . .¨ i

ABSTRACT . . . ii

TES¸EKK ¨UR . . . iii

˙IC¸ ˙INDEK˙ILER . . . iv

1. G˙IR˙IS¸ . . . 1

2. TEMEL KAVRAMLAR . . . 3

2.1. Gerekli Tanımlar, Teoremler ve E¸sitsizlikler . . . 3

3. B Ce ¸ ˙IFT BANT MATR˙IS˙IN˙IN `(p) UZAYINDAK˙I ETK˙I ALANI . . . 15

3.1. Mutlak Olmayan Tipten `( eB, p) Dizi Uzayı . . . 15

4. MUTLAK OLMAYAN T˙IPTEN `( eB, p) UZAYININ α−, β− ve γ− DUALLER˙I . . . 30

4.1. `( eB, p) Uzayının Alpha-, Betha- ve Gamma- Dualleri . . . 30

5. BAZI MATR˙IS SINIFLARI . . . 35

5.1. `( eB, p) Dizi Uzayı ¨Uzerinde Matris D¨on¨u¸s¨umleri . . . 35

6. `( eB, p) D˙IZ˙I UZAYININ BAZI GEOMETR˙IK ¨OZELL˙IKLER˙I . . . 42

6.1. `( eB, p) Dizi Uzayının Rotundlu˘gu . . . 42

OZGEC¨ ¸ M˙IS¸ . . . 70

1. G˙IR˙IS ¸

Literat¨urde bir ¸cok farklı yol izlenilerek dizi uzayı in¸sa etme y¨ontemi bulunmak- tadır. Son zamanlarda ¨ozel bir matrisin etki alanı vasıtasıyla, bir dizi uzayı in¸sa etme d¨u¸s¨uncesi, bazı matematik¸ciler tarafından kullanılan yeni bir teknik olmu¸stur. S¨oz konusu matrislerden bir kısmı fark matrisi, genelle¸stirilmi¸s fark matrisi, ¨u¸c sabit dizi ile olu¸sturulmu¸s ¨u¸cl¨u band matrisi, ikili dizisel band matrisi, Fibonacci dizileri ile te¸skil edilmi¸s band matrisleri, ¨ozel tanımlı fonksiyonların kullanıldı˘gı matrisler olup farklı dizi uzaylarındaki etki alanları bir ¸cok yazar tarafından ele alınıp incelenmi¸stir. Yine son zamanlarda matris etki alanı kullanı- larak in¸sa edilmi¸s mutlak olmayan tipten dizi uzaylarının cebirsel, topolojik ve geometrik ¨ozelliklerinin incelenmesi ara¸stırılmaya de˘ger g¨or¨ulm¨u¸st¨ur. Bu ara¸stırma

¸calı¸smalarının bazıları [1–22] nolu referanslarda verilmi¸stir.

Yakınsaklıkla alakalı olarak adi, ko¸sullu, mutlak ve d¨uzg¨un yakınsaklık gibi

¸ce¸sitli tiplerde yakınsaklık kavramlarının tanımlandı˘gı bilinmektedir. Bu durum, dizi ve serilere ili¸skin teori ve uygulamalarda b¨uy¨uk bir esneklik sa˘glamaktadır.

Temelde d¨uzg¨un sınırlılık teoremine dayanan bir di˘ger yakınsaklık kavramı olan zayıf yakınsaklık kavramı varyasyon hesap, genel diferansiyel denklemler teorisi gibi ¸cok ¸ce¸sitli uygulama alanlarına sahiptir. Bu kavram, fonksiyonel analizin temel ilkelerinden birini ya da daha a¸cık bir ifade ile uzayların incelenmesinin

¸co˘gunlukla bu uzayların dualleri ile ili¸skin oldu˘gu ger¸ce˘gini a¸cı˘ga ¸cıkarır. Tezde

`( eB, p) dizi uzayının Kadec-Klee ¨ozelli˘gine sahip oldu˘gu ger¸ce˘gi ispatlanırken zayıf yakınsaklık kavramından yararlanılmı¸stır.

Bu tezin temel kaynakları H. Nergis ve F. Ba¸sar’ın [23] ve [24] nolu referanstaki makaleleri olup bu y¨uksek lisans tezi toplamda altı b¨ol¨umden olu¸smak- tadır. Birinci b¨ol¨um giri¸s b¨ol¨um¨ud¨ur. ˙Ikinci b¨ol¨um standart fonksiyonel analiz derslerinden iyi bilinen ve tezde kullanılacak olan temel kavramları hatırlatmayı

ama¸clamaktadır. ¨U¸c¨unc¨u b¨ol¨umde ¸cift dizisel band matrisinin `(p) etki alanında olan mutlak olmayan tipten `( eB, p) dizi uzayı tanımı verilerek ilgili uzayın ¸ce¸sitli cebirsel ve topolojik ¨ozellikleri formel olarak sunulmu¸stur. 4-¨unc¨u b¨ol¨umde `( eB, p) uzayının K¨othe-Toeplitz duali, genelle¸stirilmi¸s K¨othe-Toeplitz duali ve Garling duallerine de˘ginilmi¸stir. 5-inci b¨ol¨umde matris sınıflarına giri¸s yapılıp belirli durum- larda `( eB, p) den standart dizi uzaylarına matris d¨on¨u¸s¨umleri ba¸sta olmak ¨uzere

¸ce¸sitli matris d¨on¨u¸s¨umleri irdelenmi¸stir. 6-ıncı ve son b¨ol¨umde bir Banach uzayının en ¨onemli geometrik ¨ozelliklerinden biri olan kesin konvekslik, Kadec-Klee ¨ozelli˘gi, Opial ¨ozelli˘gi ve d¨uzg¨un Opial ¨ozelli˘gi kavramları sunularak `( eB, p) uzayının bu

¨

ozelliklerle olan ili¸skisi ortaya konulmu¸stur.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu b¨ol¨umde sunulanlar analiz bran¸sının temel kavramları olup tezde ihtiya¸c duyulan tanımlar, teoremler ve e¸sitsizliklerdir.

2.1 Gerekli Tanımlar, Teoremler ve E¸ sitsizlikler

Tanım 2.1.1. X bo¸s olmayan bir c¨umle ve F reel ya da kompleks sayıların bir cismi olsun. Her λ, µ ∈ F ve x, y, z ∈ X i¸cin

+ : X × X → X . : F × X → X

i¸slemleri,

i) x + y = y + x,

ii) x + (y + z) = (x + y) + z,

iii) x + θ = x olacak ¸sekilde bir θ ∈ X mevcut, iv) x + (−x) = θ olacak ¸sekilde bir −x ∈ X mevcut,

v) 1x = x,

vi) λ(x + y) = λx + λy, vii) (λ + µ)x = λx + µx, iix) λ(µx) = (λµ)x

¸sartlarını sa˘glayan X c¨umlesine F cismi ¨uzerinde bir lineer uzayı veya vekt¨or uzayı denir [25].

Tanım 2.1.2. X bir vekt¨or uzayı ve Y ⊂ X olsun. X deki i¸slemlere g¨ore Y alt c¨umlesi de bir vekt¨or uzayı ise Y c¨umlesine bir alt uzay denir. Alt uzaylar bazen lineer katman olarak da adlandırılırlar [25].

Lemma 2.1.1. X bir vekt¨or uzayı, φ 6= Y ⊂ X olsun. E˘ger her x, y ∈ Y ve her α, β ∈ F i¸cin

αx + βy ∈ Y ise Y ye X in bir alt vekt¨or uzayıdır [25].

Tanım 2.1.3. X bir lineer uzay olsun. Her λ ∈ F ve her x, y ∈ X i¸cin

i) kθk = 0

ii) kλxk = |λ| kxk iii) kx + yk ≤ kxk + kyk

¸sartlarını sa˘glayan k·k : X → R fonksiyonuna bir yarınorm (X, k·k) ikilisine de bir yarınormlu uzay denir. (i) ve (iii) ¸sartlarının yanında kxk = 0 iken x = θ ¸sartını da sa˘glıyorsa k·k fonksiyonuna norm, (X, k·k) ikilisine de bir normlu uzay denir.

Yarınormun tanımından her x ∈ X i¸cin kxk ≥ 0 dır [26].

Tanım 2.1.4. X bir lineer uzay olsun. Her x, y ∈ X i¸cin

i) h(θ) = 0 ii) h(x) = h(−x)

iii) h(x + y) ≤ h(x) + h(y)

iv) E˘ger λ_n, λ_o ∈ F i¸cin λn → λ_o (n → ∞) ve x_n, x_o ∈ X i¸cin h(x_n− x_o) → 0 (n → ∞) iken h(λ_nx_n− λ_ox_o) → 0 (n → ∞)

¸sartlarını sa˘glayan h : X → R fonsiyonuna bir paranorm, (X, h) ikilisine de bir paranormlu uzay denir. Ayrıca h(x) = 0 ise x = θ ¸sartını da sa˘glıyorsa h ya bir total paranorm, (X, h) ikilisine de bir total paranormlu uzay denir [25–29].

Tanım 2.1.5. Bir M 6= ∅ k¨umesi ¨uzerinde tanımlı bir metrik her x, y ∈ M i¸cin

(a) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;

(b) d(x, y) = d(y, x);

(c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (¨u¸cgen e¸sitsizli˘gi)

¨

ozeliklerini sa˘glayan bir d : M × M → R fonksiyonudur. E˘ger d, M ¨uzerinde bir metrik ise o zaman (M, d) ¸ciftine bir metrik uzay denir [29].

Tanım 2.1.6. (X, d) bir metrik uzay olmak ¨uzere bu uzaydaki her Cauchy dizisi yakınsak ise X e bir tam metrik uzay denir [25].

X normlu vekt¨or uzayı olmak ¨uzere, norm aracılı˘gı ile d : X × X → R fonksiyonu

d(x, y) = kx − yk (2.1.1)

olarak tanımlandı˘gında (2.1.1) ile tanımlanan d fonksiyonu X vekt¨or uzayı ¨uzerinde bir metriktir. Normdan ¨ureyen bu metri˘ge X normlu uzayı ¨uzerinde do˘gal metrik adı verilir.

Tanım 2.1.7. Do˘gal metri˘ge g¨ore tam olan bir normlu uzaya Banach uzayı adı verilir [25].

Tanım 2.1.8. X bo¸stan farklı bir c¨umle ve τ , X in alt c¨umlesinin bir sınıfı olsun.

E˘ger τ ,

i) ∅ ∈ τ ve X ∈ τ

ii) τ daki c¨umlelerin herhangi bir birle¸simi τ da ise

iii) τ daki c¨umlelerin herhangi bir sonlu sayıdaki kesi¸simi τ da ise

τ ya X i¸cin bir topoloji, (X, τ ) ikilisine de bir topolojik uzay denir [25–31].

Bir yarınormun bir paranorm oldu˘gu kolayca g¨or¨ulebilir. B¨oylece her yarı- normlu uzay bir paranormlu uzaydır. Benzer ¸sekilde her normlu uzayın bir total paranormlu uzay oldu˘gu kolayca g¨or¨ul¨ur. Ancak her paranorm bir yarınorm ve her total paranorm bir norm de˘gildir.

Diziler ve seriler analizin toplanabilme teorisinde a˘gırlıklı olarak kullanılması ile birlikte matemati˘gin di˘ger bran¸sları ile fizik, bilgisayar bilimleri ba¸sta olmak

¨

uzere son zamanlarda y¨uz tanıma yazılımlarında da kullanılan bir kavram- dır.

A¸sa˘gıda ¨ozellikle temel analizden ¸cok iyi bilinen dizi tanımı verilecek ve tezde lazım olacak belirli bilgiler sunulacaktır.

Bo¸s c¨umleden farklı olan herhangi bir c¨umle X olmak ¨uzere bir dizi f : N → X fonksiyonu olarak tanımlanır. Daha ba¸ska bir ifade ile X i¸cinde bir dizi X in elemanlarının sıralı bir listesi olarak d¨u¸s¨un¨ulebilir ve her k ∈ N i¸cin

xk= f (k) olmak ¨uzere

(x₁, x₂, ..., x_k, ...)

bi¸ciminde yazılır. Genellikle bir dizi i¸cin (xk) notasyonu kullanılır. Herhangi bir karı¸sıklık olmaması i¸cin gerekli g¨or¨uld¨u˘g¨u durumlarda hangi de˘gi¸skenin diziyi indeksledi˘gini belirtmek ¨onemli ise (x_k)^∞_k=1 notasyonu kullanılır. Burada x_k ya dizinin k−ıncı terimi ya da genel terimi denir.

Diziler X c¨umlesine g¨ore adlandırılır. E˘ger X = R ise diziye reel sayılar dizisi, X = C ise diziye kompleks sayılar dizisi, X = R²2 ise diziye terimleri reel sayılar olan 2 × 2 tipindeki matrislerin dizisi denir.

T¨um reel de˘gerli x = (x_k) dizilerinin c¨umlesi ω(R), ω veya s notasyonlarından biri ile g¨osterilir. ω ¨uzerinde ¨ozde¸slik d¨on¨u¸s¨um¨u, toplama ve bir skaler ile ¸carpma

i¸slemleri do˘gal yolla tanımlanır. x = (x_k) ve y = (y_k) dizileri verildi˘ginde her k ∈ N i¸cin x^k= yk ise x = y ve λ, herhangi bir reel sayı oldu˘gunda

x + y = (x_k+ y_k)

ve

λx = (λx_k)

dır. T¨um x, y ve z ∈ ω i¸cin Tanım 2.1.1 de verilen ¸sartlar sa˘glandı˘gından ω bir vekt¨or uzayıdır. ω nın sıfır elemanı t¨um terimleri sıfır olan θ = (0) dizisidir.

Bu a¸cıklamaların ı¸sı˘gında ω uzayı a¸sa˘gıdaki gibi verilebilir.

Tanım 2.1.9. Reel terimli t¨um dizilerin uzayı ω,

ω = {x = (x_k) : her k ∈ N i¸cin xk∈ R}

c¨umlesi ile g¨osterilir.

ω nın herbir alt vekt¨or uzayına bir dizi uzayı adı verilir. A¸sa˘gıda bazı dizi uzayları sunulmu¸stur.

Tanım 2.1.10. Sınırlı dizilerin `∞ uzayı, sıfıra yakınsak ve yakınsak dizilerin uzayları sırası ile

`∞ =



x = (xk) ∈ ω : sup

k∈N

|xk| < ∞



c0 = n

x = (xk) ∈ ω : lim

k→∞xk = 0 o

c =n

x = (x_k) ∈ ω : lim

k→∞|x_k− `| = 0, en az bir ` ∈ R i¸cino c¨umleleri ile tanımlanır.

Tanım 2.1.11. Bir (x_k) dizisi i¸cin, genel terimi

s_k = x₁ + x₂+ ... + x_k

¸seklinde tanımlanan (s_k) dizisi d¨u¸s¨un¨uld¨u˘g¨unde ((x_k) , (s_k)) sıralı ikilisine kısaca seri ismi verilir. Burada xk terimine, serinin genel terimi denir. Genel terimi xk

olan seri de

∞

P

k=1

x_k notasyonu ile g¨osterilir. E˘ger lim

k→∞s_k = s ise P

k

x_k serisine yakınsak ve toplamı s denir.

Tanım 2.1.12. Sırası ile yakınsak seri olu¸sturan dizilerin uzayı, sınırlı seri te¸skil eden dizilerin uzayı ve mutlak p-toplanabilir dizilerin `_p uzayı

cs =



x = (x_k) ∈ ω :

∞

P

k=1

x_k yakınsak



bs =



x = (xk) ∈ ω : sup

n∈N

n

P

k=0

xk

< ∞



`_p =



x = (x_k) ∈ ω :

∞

P

k=1

|x_k|^p < ∞



, 0 < p < ∞

ile g¨osterilir.

Tanım 2.1.13. Pozitif reel sayıların sınırlı bir dizisi (p_k) dizisi aynı zamanda H ile M ise H = sup pk, M = max{1, H} olmak ¨uzere Maddox [32] (aynı zamanda Simons [33], Nakano [34]) tarafından tanımlanan `(p) lineer uzayı

`(p) =



x = (x_k) ∈ ω :P

k

|x_k|^pk < ∞



c¨umlesidir ve bu uzay

h(x) =

 P

k

|x_k|^pk

_M¹

ile tam paranormlu uzaydır.

Tanım 2.1.14. Her n ∈ N i¸cin (P x)n = x + 1 e¸sitli˘gi ile verilen ω ¨uzerindeki P operat¨or¨une shif t operat¨or¨u denir. ( `∞ ¨uzerinde bir L Banach limiti negatif olmayan bir lineer fonksiyonel olarak tanımlanır ¨oyle ki L(P x) = L(x) ve L(e) = 1, burada e = (1, 1, ...) dir.)

Tanım 2.1.15. Bir x = (x_n) dizisinin bir l sayısına hemen hemen yakınsak olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul b¨ut¨un L Banach limitleri i¸cin L(x) = l olmasıdır.

1948’de Lorentz, x in l ye hemen hemen yakınsak olması i¸cin gerek ve yeter

¸sartın

1 m

m

P

k=1

x_n+k → l (m → ∞) n ye g¨ore d¨uzg¨un oldu˘gunu ispatlamı¸stır. Yani hemen hemen yakınsak dizilerin uzayı

ˆ c =

 x : lim

m

1 m

m

P

k=1

x_n+k mevcut, n ye g¨ore d¨uzg¨un



c¨umlesidir. Literat¨urde hemen hemen yakınsak dizilerin uzayı ˆc veya f sembollerin- den biri ile de g¨osterilmektedir.

Tanım 2.1.16. E˘ger M ⊂ N ise SM : ω → ω lineer d¨on¨u¸s¨um¨u (S_M(x))_i =x_i, i ∈ M ise

0, i /∈ M ise

ile tanımlanır. E˘ger M = {1, 2, ..., n} ise S_M i¸cin S_n yazılır. S_n(x) ¨o˘gesine x ∈ ω nın n − inci kısmı adı verilir bazen S_n(x) i¸cin x⁽ⁿ⁾ g¨osterimi de kullanılır.

Yani, x₁, x₂, ... ler x in koordinatları ise

eⁱ = δik =1, i = k 0, i 6= k olmak ¨uzere

S_n(x) = x⁽ⁿ⁾= {x₁, x₂, ..., x_n, 0, 0, ...} =

n

P

i=1

x_ieⁱ dir [35].

Tanım 2.1.17. (X, k·k_X) ve (Y, k·k_Y) normlu uzaylar ve f : X → Y bir d¨on¨u¸s¨um ve x₀ ∈ X olsun. E˘ger her ε > 0 i¸cin

kx − x₀k_X < δ olan her x ∈ X i¸cin kf (x) − f (x₀)k_Y < ε

olacak bi¸cimde bir δ(x0, ε) > 0 sayısı varsa f ye x noktasında s¨ureklidir denir.

E˘ger f fonsiyonu X in her noktasında s¨urekli ise f ye X ¨uzerinde s¨ureklidir denir [29].

Tanım 2.1.18. X bir vekt¨or uzayı ve τ , X ¨uzerinde bir topoloji olsun. Bu takdirde e˘ger

+ : X × X →X (x, y) →x + y

ve

· : F × X →X (λ, x) →λx

d¨on¨u¸s¨umleri s¨urekli ise, bu takdirde (X, τ ) topolojik uzayına bir topolojik vekt¨or uzayı denir ve bu durum kısa olarak T V S olarak g¨osterilir. (X, τ ) topolojik vekt¨or uzayı ¨uzerindeki topolojiye lineer ya da vekt¨or topoloji denir [25–31, 35].

Tanım 2.1.19. E˘ger her k ∈ N i¸cin pk(x) = x_k ile tanımlanan p_k : λ → F d¨on¨u¸s¨umlerinin her biri s¨urekli ise bir lineer topoloji ile birlikte bu λ dizi uzayına K−uzayı ( koordinat uzayı ) denir [35].

Tanım 2.1.20. λ; bir K-uzayı olmak ¨uzere aynı zamanda bir Banach uzayı ise yani bir tam lineer metrik uzay ise λ, K−uzayına bir BK−uzayı denir [35].

Ornek 2.1.1. c¨ ₀, c ve `∞ uzayları kxk_∞ = sup_k|x_k| normu ile Banach uzayı ve her bir k i¸cin

|xk| ≤ kxk_∞

oldu˘gundan bu dizi uzaylarının koordinat izd¨u¸s¨um fonksiyonları s¨ureklidir. Bundan dolayı c₀, c ve `∞uzayların her biri BK-uzayıdır. Bundan ba¸ska 1 ≤ p < ∞ olmak

¨

uzere `_p uzayı

kxk_`

p =

_∞ P

k=1

|xk|^p

1/p

normu ile bir BK−uzayıdır.

Herhangi bir 1 ≤ k ≤ m i¸cin p_k(x) = x_k, k ≥ 1 ile tanımlı izd¨u¸s¨um fonksiyonları



`p, kxk<sub>`</sub>

p



¨

uzerinde s¨ureklidir. Ger¸cekten y = (y1, y2, ..., ym, ...) i¸cin

|p_k(x) − p_k(y)| = |x_k− y_k|

≤

_∞ P

k=1

|x_k− y_i|^p

1/p

= kx − yk_`

p

bulunur. Her ε > 0 i¸cin δ = ε se¸cilirse

kx − yk_`

p < δ i¸cin

|p_k(x) − p_k(y)| < δ = ε bulunur. Bu nedenle p_k izd¨u¸s¨um fonksiyonları s¨ureklidir.

Tanım 2.1.21. (X, τ ) bir K−uzayı ve x = (xk) ∈ (X, τ ) olsun. Bu takdirde e˘ger

x⁽ⁿ⁾=

n

P

k=1

x_ke^k → x ∈ (X, τ )

ise x, AK-¨ozelli˘gine sahiptir denir. E˘ger (X, τ ) uzayının her x elemanı AK-¨ozelli-

˘

gine sahip ise (X, τ ) uzayına AK−uzayı denir [36, 37].

Tanım 2.1.22. Sınırlı dizileri sınırlı dizilere d¨on¨u¸st¨uren lineer d¨on¨u¸s¨umlere limit- leme metodu denir [38].

Tanım 2.1.23. A ve B iki limitleme metodu olmak ¨uzere her B-limitlenebilen dizi aynı limite A-limitlenebilir ise A ya B den daha kuvvetlidir denir ve bu durum A ⊇ B ¸seklinde yazılır [38].

Tanım 2.1.24. X ve Y aynı bir F cismi ¨uzerinde tanımlanan iki vekt¨or uzayı olmak ¨uzere T : X −→ Y lineer d¨on¨u¸s¨um¨u birebir ve ¨orten ise bu d¨on¨u¸s¨ume lineer izomorfizm adı verilir [25, 27, 39].

Tanım 2.1.25. λ ve µ herhangi iki dizi uzayı ve her k, n ∈ N i¸cin ank lar reel veya kompleks sayılar olmak ¨uzere A = (ank) bir sonsuz matris olsun. Bu takdirde her bir n ∈ N i¸cin

(Ax)_n =P

k

a_nkx_k

olmak ¨uzere; e˘ger her x = (x_k) ∈ λ dizisi i¸cin x in A d¨on¨u¸s¨um¨u olan Ax = {(Ax)_n} dizisi, µ dizi uzayında ise A matrisine λ dan µ ye bir matris d¨on¨u¸s¨um¨u ta- nımlıyor denir ve A : λ −→ µ olarak yazılır. A : λ −→ µ ye olan b¨ut¨un A matrislerinin sınıfı (λ : µ) ile g¨osterilir [36, 40].

A = (a_nk) sonsuz bir matris i¸cin (Ax)_n =P

ka_nkx_k dir. Daha a¸cık olarak

(Ax)_n =





















a₀₀ a₀₁ a₀₂ ... a_0k ...

a10 a11 a12 ... a1k ...

. . . ... . ...

a_n0 a_n1 a_n2 ... a_nk ...

. . . ... . . ..



















 .

























 x₀ x₁ x₂ ... x_k

...



























=























 P

k

a_0kx_k P

k

a_1kx_k ... P

k

a_nkx_k ...

























¸seklindedir.

r = (re k) vees = (sk) reel sayıların yakınsak iki dizisi olmak ¨uzere her k, n ∈ N i¸cin

b_nk(r_k, s_k) =











rk , k = n s_k , k = n − 1

0 , −

olarak tanımlanan B(er,es) = {b_nk(r_k, s_k)} matrisine ikili dizisel band matrisi

denir. Daha a¸cık bir ifade ile

B(er,s) =e





















r₀ 0 0 0 ...

s₀ r₁ 0 0 ...

0 s1 r2 0 ...

0 0 s₂ r₃ ...

. . . . ...



















 dir.

˙Ilk olarak ikili dizisel band matrisini Srivastara ve Kumar [41, 42], Panigrahi ve Srivastava [43] ve Akmedov ve El-Shabrawy [44] kullanmı¸s olup son zamanlarda Candan [1–3], Nergis ve Ba¸sar [23, 24] ve bazı matematik¸ciler ¸calı¸smalarında bahsi ge¸cen matrisi kullanmı¸slardır.

Kiri¸s¸ci ve Ba¸sar’ın [45] nolu ¸calı¸smasının devamında; B(er,es) d¨on¨u¸s¨umleri klasik dizi uzaylarında ve hemen hemen yakınsak dizilerin uzayın da olan t¨um dizilerin uzaylarını Candan [1] ve [3] nolu ¸calı¸smalarda, `(p) uzayında olan b¨ut¨un dizileri i¸ceren mutlak olmayan tipten `( eB, p) dizi uzayını ise H. Nergis ve F.

Ba¸sar [24] nolu ¸calı¸smalarında tanımladılar. Kısaca [23] nolu ¸calı¸smada `( eB, p) uzayının alpha-, betha- ve gamma- duallerini hesaplayıp bazını in¸sa ettikten sonra

`( eB, p) uzayından bazı dizi uzaylarına matris d¨on¨u¸s¨umlerini karekterize ettiler.

Yine H. Nergis ve F. Ba¸sar [24] nolu ¸calı¸smalarında `( eB, p) uzayının rotundlu˘gu gibi geometrik ¨ozelliklerinin yanı sıra Kadec-Klee ve d¨uzg¨un Opial ¨ozeliklerini incelediler.

B(r,e es) matrisinde ¨ozel olaraker = e vees = −e alınırsa a¸cık olarak ∆⁽¹⁾ matrisi elde edilir. Bununla birlikter = re vee es = se alınırsa genelle¸stirilmi¸s fark matrisi olan B(r, s) matrisi elde edilir. Dolayısıyla B(er,es) matrisinin etki alanı ile ilgili sonu¸clar ∆⁽¹⁾ ve B(r, s) matrislerinin etki alanı ile ilgili sonu¸clardan daha genel ve daha kapsamlıdır. Burada ¸sunu da belirtelim ki t¨um ¸calı¸sma boyunca

1 p_k + 1

p⁰_k = 1 (2.1.2)

olarak kabul edilecektir. N = {0, 1, 2, ...} do˘gal sayılar c¨umlesinin b¨ut¨un sonlu c¨umlelerinin koleksiyonu da F ile g¨osterilecektir.

3. B C e ¸ ˙IFT BANT MATR˙IS˙IN˙IN `(p) UZAYINDAK˙I ETK˙I ALANI

Bu b¨ol¨umde matris etki alanı tanımından faydalanılarak in¸sa edilmi¸s olan literat¨urdeki bazı ¸calı¸smalara yer verildikten sonra B(er,es) dizisel ¸cift band matrisinin

`(p) dizi uzayındaki etki alanı olan `( eB, p) tam paranormlu lineer dizi uzayı tanımlanarak bazı ¨ozellikleri incelenmi¸stir.

3.1 Mutlak Olmayan Tipten `( e B, p) Dizi Uzayı

Tanım 3.1.1. λ bir dizi uzayı, A da sonsuz bir matris olmak ¨uzere;

λ_A = {x = (x_k) ∈ ω : Ax ∈ λ} (3.1.1)

olarak tanımlanan c¨umleye A matrisinin λ−etki alanı denir. Burada λ_A da bir dizi uzayıdır [23].

Her k ve n do˘gal sayısı i¸cin

snk =

( 1 , 0 ≤ k ≤ n 0 , k > n

ile tanımlanan S = (snk) matrisi i¸cin S d¨on¨u¸s¨umleri, `(p) uzayında olan b¨ut¨un dizileri i¸ceren `(p) notasyonu ile g¨osterilen dizi uzayı Choudhary ve Mishra [46]

tarafından tanımlanmı¸stır.

Kısmi toplamlar dizisi, `∞(p) dizi uzayında olan t¨um dizilerin c¨umlesi [47]

nolu ¸calı¸smada Ba¸sar tarafından bs(p) dizi uzayı olarak tanımlanmı¸stır. (3.1.1) g¨osterimi ile `(p) ve bs(p) uzayları; `(p) = [`(p)]<sub>S</sub>, bs(p) = [b∞(p)]<sub>S</sub> olarak g¨osterilir. C¸ ok yakın zamanda Nergiz ve Ba¸sar [24] ve [23] nolu ¸calı¸smalarında B(er,s) d¨e on¨u¸s¨umleri `(p) uzayında olan b¨ut¨un dizilerin c¨umlesini `( eB, p) dizi uzayı olarak tanımladılar. Daha a¸cık bir ifade ile 0 < p<sub>k</sub>≤ H < ∞ olmak ¨uzere `( eB, p)

uzayı

`( eB, p) =



(xk) ∈ ω :P

k

|sk−1xk−1+ rkxk|^pk < ∞



c¨umlesidir.

Her k ∈ N i¸cin pk = p alınması durumunda `( eB, p) dizi uzayı daha ¨once Kiri¸s¸ci ve Ba¸sar [45] tarafından tanımlanan ˜`_p uzayına indirgenir. `( eB, p) dizi uzayı (3.1.1) g¨osterimi kullanılırsa a¸sa˘gıdaki gibi yazılabilir:

`( eB, p) := [`(p)]

Be.

Bir x = (x_k) dizisinin B(er,es) d¨on¨u¸s¨um¨u olan dizi y = (y_k) dizisi ise her k ∈ N i¸cin

y_k= {B(er,es)x}_k = s_k−1x_k−1+ r_kx_k (3.1.2) olur ki, buradan ¸cok a¸cık bir ¸sekilde

`( eB, p) = [`(p)]_B(

r,ees)

= {x = (xk) ∈ ω : B(er,es)x ∈ `(p)}

= {x = (x_k) ∈ ω : y ∈ `(p)}

=



x = (x_k) ∈ ω :P

k

|y_k|^pk < ∞



=



(x_k) ∈ ω :P

k

|s_k−1x_k−1+ r_kx_k|^pk < ∞



(3.1.3) elde edilir.

S¸imdi a¸sa˘gıdaki teoremde kullanılacak olan, Alman matematik¸ci Hermann Minkowski tarafından elde edilen ve literat¨urde Minkowski e¸sitsizli˘gi olarak bilinen e¸sitsizli˘gi verelim.

Lemma 3.1.1. Hepsi birden sıfır olmayan x_i, y_i i = 1, 2, ... reel ya da kompleks sayıları ve 1 < p < ∞ sayısı i¸cin

_∞ P

i=1

|x_i+ y_i|^p

¹_p

≤

_∞ P

i=1

|x_i|^p

¹_p +

_∞ P

i=1

|y_i|^p

¹_p

dir.

Teorem 3.1.1. 1 ≤ p < ∞ ve x = (x_n) ∈ `<sub>p</sub> olmak ¨uzere kxk<sub>`</sub>

p =

 _∞ P

n=1

|x_n|^p

¹_p

ile tanımlanan k.k_`

p : `<sub>p</sub> → R fonksiyonu `p uzerinde bir normdur.¨ k.k_`

p, `<sub>p</sub> uzayı i¸cin do˘gal normdur. Bu norm `_p ¨uzerindeki d_`p metri˘gini indirger yani

d`p(f, g) = kf − gk<sub>`</sub>

p

dir [29].

˙Ispat. i) Her x = (x_n) ∈ `<sub>p</sub> i¸cin kxk<sub>`</sub>

p =

 _∞ P

n=1

|x_n|^p

¹_p

≥ 0 dır. x = (x_n) ∈ `<sub>p</sub> i¸cin kxk<sub>`</sub>

p = 0 olsun. Bu durumda kxk_`

p = 0 ⇐⇒

 _∞ P

n=1

|x_n|^p

¹_p

= 0

⇐⇒

∞

P

n=1

|x_n|^p = 0

⇐⇒ |x_n| = 0 her n ∈ N i¸cin

⇐⇒x_n = 0 her n ∈ N i¸cin

⇐⇒x = 0 oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.

ii) Her x = (x_n) ∈ `<sub>p</sub> ve her λ ∈ R i¸cin kλxk<sub>`</sub>

p =

 _∞ P

n=1

|λxn|^p

¹_p

=

 _∞ P

n=1

|λ|^p|xn|^p

¹_p

=



|λ|^p

∞

P

n=1

|λxn|^p

¹_p

= (|λ|^p)^1p

 _∞ P

n=1

|x_n|^p

¹_p

= |λ|

 _∞ P

n=1

|x_n|^p

¹_p

= |λ| kxk_`

p

olur.

iii) Minkowski e¸sitsizli˘gi kullanılarak ¨u¸cgen e¸sitsizli˘ginin sa˘glandı˘gı g¨osterilebilir. Her x = (x_n) ∈ `<sub>p</sub> ve y = (y<sub>n</sub>) ∈ `_p i¸cin Minkowski e¸sitsizli˘gini kullanılarak

_∞ P

n=1

|xn+ yn|^p

¹_p

≤

 _∞ P

n=1

|xn|^p

¹_p +

_∞ P

n=1

|yn|^p

¹_p

yazılabilir. Buna g¨ore

kx + yk_`

p =

_∞ P

n=1

|x_n+ y_n|^p

¹_p

≤

 _∞ P

n=1

|x_n|^p

_p¹ +

 _∞ P

n=1

|y_n|^p

¹_p

= kxk_`

p+ kyk_`

p

olur. O halde 

`<sub>p</sub>, k.k<sub>`</sub>

p



bir normlu uzaydır.

Burada ¸sunu da belirtelim ki 0 < p < 1 olması durumunda kxk_`

p =

 _∞ P

n=1

|x_n|^p

¹_p

norm tanımlamaz. Ger¸cekten

x = (1, 0, 0, ..., 0, ...) y = (0, 1, 0, ..., 0, ...) alındı˘gında

x + y = (1, 1, 0, ..., 0, ...) olur. Bu durumda

kxk_`

p = (1^p)^1p = 1 ve

kyk_`

p = (1^p)^1p = 1 olup

kx + yk_`

p = (1^p+ 1^p)^1p = 2^1p

bulunur. B¨oylece ¹_p > 1 oldu˘gundan kxk_`

p + kyk_`

p = 1 + 1 = 2 < 2^1p = kx + yk_`

p

elde edilir ki bu 0 < p < 1 olması durumunda kxk_`

p =

 _∞ P

n=1

|x_n|^p

¹_p

nin `_p

¨

uzerinde norm tanımlamadı˘gını ispatlar. Fakat d_{`p</sub>(x, y) = kx − yk<sup>p</sup><sub>`}

p, 0 < p < 1

`_p i¸cin bir metriktir.

Teorem 3.1.2. `( eB, p) dizi uzayı, h(x) =

 P

k

|s_k−1x_k−1+ r_kx_k|^pk

_M¹

(3.1.4)

paranormu ile paranormlu tam metrik uzaydır [23].

˙Ispat. `(B, p) uzayının toplama ve skalerle ¸carpma i¸slemleri ile bir lineer uzaye oldu˘gunu g¨ostermek kolaydır.

i) Her x, y ∈ `( eB, p) i¸cin (x + y) ∈ `( eB, p) oldu˘gu g¨osterilmeli. `( eB, p) nin (3.1.3) daki tanımından

P

k

|s_k−1(x_k−1+ y_k−1) + r_k(x_k+ y_k)|^pk

=P

k

h|(s_k−1x_k−1+ r_kx_k) + (s_k−1y_k−1+ r_ky_k)|^pkMiM

≤P

k

h

|sk−1xk−1+ rkxk|^pkM + |sk−1yk−1+ rkyk|^pkMiM

≤

 P

k

|sk−1xk−1+ rkxk|^pkM

M

+

 P

k

|sk−1yk−1+ rkyk|^pkM



< ∞

dur. B¨oylece (x + y) ∈ `( eB, p) dir.

ii) Her x, y ∈ `( eB, p) ve α ∈ R i¸cin αx ∈ `( eB, p) oldu˘gunu g¨ostermek i¸cin P

k

|α (s_k−1x_k−1+ r_kx_k)|^pk = |α|^pkP

k

|s_k−1x_k−1+ r_kx_k|^pk

< ∞

olup αx ∈ `( eB, p) dir. O halde `( eB, p) bir lineer uzaydır.

Oncelikle (3.1.4) ile tanımlanan h nın bir paranorm oldu˘¨ gu g¨osterilmeli. θ = (0, 0, ...) oldu˘gundan h(θ) = 0 oldu˘gu ve x ∈ `( eB, p) i¸cin h(x) = h(−x) e¸sitli˘ginin sa˘glandı˘gı kolay bir ¸sekilde g¨or¨ulebilir. ¨U¸cgen e¸sitsizli˘gi i¸cin Minkowski e¸sitsizli˘gin- den faydalanıldı˘gında her x, y ∈ `( eB, p) alınıp kolay bir ¸sekilde a¸sa˘gıdakiler yazılabilir:

h(x + y) =

 P

k

|sk−1(xk−1+ yk−1) + rk(xk+ yk)|^pk

_M¹

=

 P

k

h|(s_k−1x_k−1+ r_kx_k) + (s_k−1y_k−1+ r_ky_k)|^pkMiM_M¹

≤

 P

k

h

|sk−1xk−1+ rkxk|^pkM + |sk−1yk−1+ rkyk|^pkMiM_M¹

≤

 P

k

|s_k−1x_k−1+ r_kx_k|^pk

_M¹ +

 P

k

|s_k−1y_k−1+ r_ky_k|^pk

_M¹

=h(x) + h(y)

dir. (λ_n) , λ_n −→ λ (n → ∞) olmak ¨uzere skalerlerin bir dizisi, x⁽ⁿ⁾
∞

n=0 dizisi de xⁿ ∈ `( eB, p) elemanlarının h(x⁽ⁿ⁾− x) −→ 0 (n → ∞) olacak ¸sekilde ki bir dizisi olsun. Buna g¨ore

h(λ_nx⁽ⁿ⁾− λx) ≤ h [(λ_n− λ) (xⁿ− x)] + h [λ (λ_n− λ)] + h [(λ_n− λ) x] (3.1.5)

yazılabilir ki λ_n −→ λ (n → ∞) oldu˘gundan yeterince b¨uy¨uk n ler i¸cin

|λ_n− λ| < 1 alınırsa

n→∞lim h [(λ_n− λ) (xⁿ− x)] ≤ lim

n→∞h(x⁽ⁿ⁾− x) = 0 (3.1.6) olur. Buna ilaveten

n→∞lim h [λ (λ_n− λ)] ≤ maxn

1, |λ|^Mo . lim

n→∞h(x⁽ⁿ⁾− x) = 0 (3.1.7) dir. Aynı zamanda

n→∞lim h [(λ_n− λ) x] ≤ lim

n→∞|λ_n− λ| .h(x) = 0 (3.1.8)

dır. Dolayısı ile (3.1.5), (3.1.6), (3.1.7) ve (3.1.8) den

h(λ_nx⁽ⁿ⁾− λx) −→ 0, (n → ∞)

elde edilir. Bu da h nın `( eB, p) ¨uzerinde bir paranorm oldu˘gunu g¨osterir. Bunlara ilaveten h(x) = 0 ise

 P

k

|s_k−1x_k−1+ r_kx_k|^pk

_M¹

= 0

dır. Buradan her bir k ∈ N i¸cin |sk−1x_k−1+ r_kx_k|^pk = 0 elde edilir. E˘ger k = 0 yazılırsa |s−1x−1+ r₀x₀|^p0 = 0 olup r₀ 6= 0 ve s−1 = 0 oldu˘gundan x₀ = 0 olur.

E˘ger k = 1 ise x₀ = 0 oldu˘gundan x₁ = 0 olur. Bu ¸sekilde t¨umevarım ile her k ∈ N i¸cin x_k = 0 elde edilir. Yani x = (0, 0, ...) = θ dır. Bu ise h nın total paranorm oldu˘gunu g¨osterir. S¸imdi `( eB, p) dizi uzayının tam oldu˘gunu g¨osterebilmek i¸cin

xⁿ =n

x⁽ⁿ⁾₀ , x⁽ⁿ⁾₁ , x⁽ⁿ⁾₂ , ..., x⁽ⁿ⁾_k , ...o

olmak ¨uzeren x⁽ⁿ⁾₀ o

, `( eB, p) de bir Cauchy dizisi olsun. (˙Ispatın geri kalan kısmında B(er,s) matrisinin yerine ee B yazılacaktır.) Bu taktirde verilen her ε > 0 i¸cin n₀(ε) pozitif tamsayısı vardır ¨oyle ki her n, m > n0(ε) i¸cin h(x⁽ⁿ⁾− x^(m)) < ε kalır. Her bir k ∈ N sabiti ve n, m > n0(ε) i¸cin

 Bxe ⁿ



k− Bxe ^m



k

  ≤

 P

k

 Bxe ⁿ



k− Bxe ^m



k

pk_M¹

= h(x⁽ⁿ⁾− x^(m)) < ε

dur. Her n, m > n₀(ε) i¸cin n

Bxe ⁰

k

, Bxe ¹

k

, ...o

dizisi her k sabiti i¸cin reel sayıların bir Cauchy dizisidir. R tam oldu˘gundan dolayı 

Bxe ⁿ

k

−→  Bxe 

k

, (n → ∞) yazılabilir. Bu sonsuz tane elemanın

Bxe 

0, Bxe 

1, Bxe 

2, ... limitleri kullanılarak

n

Bxe



0,

 Bxe



1,

 Bxe



2, ...

o

dizisi tanımlanırsa, her bir k ∈ N ve her n, m ≥ n₀(ε) i¸cin

 P

k

 Bxe ⁿ



k− Bxe ^m



k

pk_M¹

≤ h(xⁿ− x^m) < ε

olur. m, k −→ ∞ i¸cin limit alınırsa her n > n₀(ε) i¸cin

h(xⁿ− x) =

 P

k

 Bxe ⁿ

k− Bxe ^m

k

pk_M¹

< ε

kalır. Bu ise xⁿ−→ x ∈ `( eB, p) oldu˘gunu g¨osterir. `( eB, p) lineer uzay oldu˘gundan x ∈ `( eB, p) dir, yani x<sup>n</sup>−→ x (n → ∞) ve x ∈ `( eB, p) oldu˘gundan dolayı `( eB, p) tamdır.

Teorem 3.1.3. `( eB, p) uzayı mutlak olmayan tipten bir dizi uzayıdır.

˙Ispat. |x| = (|x_k|) olmak ¨uzere en az bir x ∈ `( eB, p) i¸cin h(x) 6= h(|x|) oldu˘gunu g¨osterelim. Bunun i¸cin

(x_k) = 1, −1, 1, −1, ..., (−1)^k, ...

ve (sk) = (rk+1) olarak tanımlanırsa

h(x) =

 P

k

|s_k−1x_k−1+ r_kx_k|^pk

_M¹

= (|s−1x−1+ r₀x₀|^p0 + |s₀x₀+ r₁x₁|^p1 + |s₁x₁+ r₂x₂|^p2 + ...)^M1

= (r₀^p0 + (r₁ + r₁(−1))^p1 + (r₂(−1) + r₂)^p2 + ...)^M1

= (r₀^p0)^M1 , (x−1 = 0)

olur. Buna kar¸sın

h(|x|) =

 P

k

|s_k−1|x_k−1| + r_k|x_k||^pk

_M¹

= (|s−1|x−1| + r₀|x₀||^p0 + |s₀|x₀| + r₁|x₁||^p1 + |s₁|x₁| + r₂|x₂||^p2 + ...)^M1

= (r₀^p0 + (r1+ r1)^p1+ (r2+ r2)^p2 + ...)^M1

= (r₀^p0 + 2r^p₁¹ + 2r^p₂² + ...)^M1

bulunur ki a¸cık olarak h(x) 6= h(|x|) dir. Bu da ispatı tamamlar.

Teorem 3.1.4. `( eB, p) deki yakınsaklık koordinatsal yakınsaklıktan daha kuvvetli- dir [23].

˙Ispat. ¨Oncelikle h(xⁿ − x) −→ 0 (n → ∞) olmasının her k ∈ N i¸cin xⁿ_k −→ xk (n → ∞) olmasını gerektirece˘gi g¨ostermelidir.

Sabit bir k i¸cin

n→∞lim  

s_k−1x⁽ⁿ⁾_k−1+ r_kx⁽ⁿ⁾_k − s_k−1x_k−1− r_kx_k   

pk

≤ lim

n→∞

P

k

sk−1x⁽ⁿ⁾_k−1+ rkx⁽ⁿ⁾_k − sk−1xk−1− rkxk

pk

(3.1.9)

= lim

n→∞[h(xⁿ− x)]

= 0 dir. B¨oylece k = 0 i¸cin

n→∞lim  

s−1x⁽ⁿ⁾₋₁ + r₀x⁽ⁿ⁾₀ − s−1x−1− r₀x₀   

p0

= lim

n→∞

r₀x⁽ⁿ⁾₀ − r₀x₀   

= lim

n→∞|r₀| 

x⁽ⁿ⁾₀ − x₀  

= 0 dır ve |r₀| > 0 oldu˘gundan lim

n→∞|r₀| 

x⁽ⁿ⁾₀ − x₀ 

 = 0, yani  

x⁽ⁿ⁾_k − x_k 

 −→ 0 (n →

∞) ger¸ce˘gi elde edilir. Benzer olarak her bir k do˘gal sayısı i¸cin 

x⁽ⁿ⁾_k − x_k 

−→ 0, (n → ∞) (3.1.10)

sonucuna ula¸sılır.

Teorem 3.1.5. (`_p)_Be koordinatsal toplama ve skalerle ¸carpma i¸slemleri altında lineer uzaydır ve 1 ≤ p < ∞ olmak ¨uzere

kxk :=

 P

k

|sk−1xk−1+ rkxk|^p

¹_p

(3.1.11)

ile bir BK − uzayıdır [23].

˙Ispat. Teoremin ilk kısmının ispatı rutin bir uygulamadır, bu nedenle detayları bırakılmı¸stır. `p nin bilinen normuna g¨ore bir BK−uzayı ve B(er,es) matrisi bir

¨

u¸cgen matris oldu˘gundan Wilansky’nin [48] nolu ¸calı¸smasındaki Teorem 4.3.2 ye g¨ore 1 ≤ p < ∞ i¸cin (`_p)_B(

r,ees) bir BK−uzayıdır.

Teorem 3.1.6. (r_n) ve (s_n) pozitif reel sayıların yakınsak iki dizisi ise mutlak olmayan tipten `( eB, p) dizi uzayı, her k ∈ N i¸cin 1 < p^k ≤ H < ∞ olmak ¨uzere

`(p) uzayına lineer paranorm olarak izomorfiktir [23].

˙Ispat. Bu iddianın do˘grulu˘gunu ispatlamak i¸cin `(B, p) dizi uzayı ile `(p) dizie uzayı arasında bir lineer bijecsiyonun mevcut oldu˘gunu g¨ostermek gerekir.

T : `( eB, p) −→`(p)

x −→T (x) = eB(˜r, ˜s)x

d¨on¨u¸s¨um¨u tanımlansın. Her x, z ∈ ω ve her α ∈ R i¸cin

T (αx + z) = eB(˜r, ˜s) (αx + z)

= eB(˜r, ˜s)αx + eB(˜r, ˜s)z

= s_k−1αx_k−1+ r_kαx_k+ eB(˜r, ˜s)z

= α (s_k−1x_k−1+ r_kx_k) + eB(˜r, ˜s)z

= α eB(˜r, ˜s)x + eB(˜r, ˜s)z

= αT (x) + T (z)

oldu˘gundan T d¨on¨u¸s¨um¨u lineerdir.

T (x) = eB(˜r, ˜s)x = θ

ise x = θ oldu˘gunun g¨osterilmesi i¸cin a¸sa˘gıdaki yol izlenir. Her k ∈ N i¸cin s^k−1 > 0 ve r_k > 0 oldu˘gundan

T (x) = eB(˜r, ˜s)x = s_k−1x_k−1+ r_kx_k = 0

ise x = θ olur ki bu T d¨on¨u¸s¨um¨un¨un injectif oldu˘gunu g¨osterir.

Her y ∈ `(p) i¸cin B⁻¹(˜r, ˜s) invers matrisi kullanılırsa T (x) = y den B(˜e r, ˜s)x = y ve buradan x = B⁻¹(˜r, ˜s)y veya daha a¸cık bir ifade ile

x_k = {B⁻¹(˜r, ˜s)y}_k olur. Bu e¸sitlikten faydalanılarak x dizisi i¸cin genel terim a¸sa˘gıdaki gibi elde edilir.

x₀ = 1 r₀y₀ x₁ = 1

r₁

 −s₀ r₀



y₀ + 1 r₁y₁ x₂ = 1

r₂

 −s₁ r₁

  −s₀ r₀



y₀+ 1 r₂

 −s₁ r₁



y₁+ 1 r₂y₂ x₃ = 1

r₃

 −s₂ r₂

  −s₁ r₁

  −s₀ r₀



y₀+ 1 r₃

 −s₂ r₂

  −s₁ r₁



y₁+ 1 r₃

 −s₂ r₂



y₂+ 1 r₃y₃ ...

xk =1 r_k

 −s_k−1 r_k−1



. · · · . −s₂ r₂

  −s₁ r₁

  −s₀ r₀

 y0

+ 1 r_k

 −s_k−1 r_k−1



. · · · . −s₂ r₂

  −s₁ r₁

 y1

+ 1 r_k

 −s_k−1 r_k−1



. · · · . −s₂ r₂

 y2

...

+ 1 r_k

 −s_k−1 r_k−1

 y_k−1 + 1

rk

y_k

oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Yani

x_k =

k

P

j=0

1 r_k

k−1

Q

i=k−j

 −s_i r_i

 y_k−j olur ki bundan faydalanılarak

s_k−1x_k−1+ r_kx_k =s_k−1

k−1

P

j=0

1 r_k−1

k−2

Q

i=k−1−j

 −s_i r_i



y_k−1−j + r_k

k

P

j=0

1 r_k

k−1

Q

i=k−j

 −s_i r_i

 y_k−j

=s_k−1 r_k−1

k−1

P

j=0 k−2

Q

i=k−1−j

 −s_i r_i



y_k−1−j +

k−1

P

j=0 k−1

Q

i=k−j

 −s_i r_i

 y_k−j

+

k−1

Q

i=k−k

 −s_i r_i

 y_k−k