KPSS 2017
30.
Eğitimde
yıl
önce bİz sorduk
soru
92
120 Soruda
GEOMETRİ
konu anlatımlı pratik bilgiler
sınavlara en yakın özgün sorular ve açıklamaları çıkmış sorular ve açıklamaları
GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR
Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu
KPSS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI KİTAP ISBN 978-605-318-483-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
© Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”
34. Baskı: 2016, Ankara Yayın-Proje: Özlem Sağlam Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.
İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA
(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.net
E-ileti: pegem@pegem.net
Değerli Adaylar;
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde
önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır.
Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;
GEOMETRİ
- Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar, - Çokgenler ve Dörtgenler,
- Çember ve Daire, - Analitik Geometri ve - Katı Cisimler
bölümlerinden oluşmaktadır.
Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir.
Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular ve - cevaplı testlere;
yer verilmiştir.
Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi sınav komisyonuna teşekkürü bir borç biliriz.
Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Kerem Köker - Kenan Osmanoğlu
SUNU
1. BÖLÜM GEOMETRİK KAVRAMLAR VE
DOĞRUDA AÇILAR ...1
Geometrik Kavramlar ...2
Tanımsız Kavramlar ...2
Açılar...2
Açının Ölçüsü ...2
Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler ...2
Açı Ölçü Birimleri ...2
Derecenin Alt Birimleri ...3
Açı Çeşitleri ...3
Dar Açı ...3
Dik Açı ...3
Geniş Açı ...3
Doğru Açı ...3
Tam Açı ...3
Komşu Açılar ...3
Açıortay ...3
Tümler Açılar ...4
Bütünler Açılar ...4
Ters Açılar ...5
Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar ...5
Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen ile Meydana Getirdiği Açılar ...5
Kenarları Paralel Açılar ...7
Kenarları Dik Açılar ...7
Üçgenler ...10
Üçgen Çeşitleri ...10
Açılarına Göre Üçgenler...10
Kenarlarına Göre Üçgenler ...10
Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar ...11
Yükseklik ...11
Açıortay ...11
Kenarortay...11
Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler ...12
Dik Üçgen ...16
Pisagor Teoremi ...16
Öklid Bağıntıları ...17
Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ...18
Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler ...19
Üçgende Açıortay Teoremleri ...21
İç Açıortay Teoremi...22
Dış Açıortay Teoremi ...23
Üçgende Kenarortay Teoremleri ...25
Ağırlık Merkezi ...25
Kenarortay Bağıntıları ...27
Özel Üçgenler...29
İkizkenar Üçgen ...29
Eşkenar Üçgen...31
Üçgende Alan ...35
Üçgende Benzerlik ...40
Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı ...40
Tales Teoremi ...42
Temel Orantı Teoremi ...42
Çapraz Tales Teoremi ...43
Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı ...44
Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı ...45
Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları ...48
Üçgen Eşitsizliği ...48
Çıkmış Sorular ...53
Cevaplı Test - 1 ...56
Cevaplı Test - 2 ...58
Cevaplı Test - 3 ...60
Cevaplı Test - 4 ...62
Cevaplı Test - 5 ...64
Cevaplı Test - 6 ...66
Cevaplı Test - 7 ...68
Cevaplı Test - 8 ...70
Cevaplı Test - 9 ...72
Cevaplı Test - 10 ...74
Cevaplı Test - 11 ...76
Cevaplı Test - 12 ...78
Cevaplı Test - 13 ...80
2. BÖLÜM ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER ...83
Çokgenler ...84
Dışbükey ve İçbükey Çokgenler...84
Düzgün Çokgen ...85
Dörtgenler ...90
Dörtgenlerde Alan ...91
Paralelkenar ...93
Paralelkenarda Alan ...94
Paralelkenarın Alan Özellikleri ...94
Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler ...96
Eşkenar Dörtgen ...97
Dikdörtgen ...98
İÇİNDEKİLER
Kare...100
Yamuk – Deltoid ...102
İkizkenar Yamuk ...105
Dik Yamuk ...107
Deltoid ...107
Çıkmış Sorular ...108
Cevaplı Test - 1 ...110
Cevaplı Test - 2 ...112
Cevaplı Test - 3 ...114
Cevaplı Test - 4 ...116
Cevaplı Test - 5 ...118
3. BÖLÜM ÇEMBER VE DAİRE ...121
Çemberde Açı ...122
Çemberde Yardımcı Elemanlar ...122
Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ...123
Merkez Açı ...123
Çevre Açı ...124
Teğet Kiriş Açı ...125
İç Açı ...125
Dış Açı ...125
Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ...127
Kirişler Dörtgeni ...127
Çemberde Uzunluk ...128
Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti ...128
Kuvvet Ekseni ...130
İki Çemberin Ortak Teğetleri ...131
İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ...133
Üçgenin Çemberleri...133
Üçgenin İç Teğet Çemberi ...133
Üçgenin Dış Teğet Çemberi ...134
Teğetler Dörtgeni ...134
Dairede Alan ...135
Dairenin Alanı ve Çevresi ...135
Daire Diliminin Alanı ...135
Çember Yayının Uzunluğu ...135
Daire Kesmesinin Alanı ...135
Daire Halkasının Alanı ...136
Çemberde Benzerlik ...137
Çıkmış Sorular ...139
Cevaplı Test - 1 ...140
Cevaplı Test - 2 ...142
Cevaplı Test - 3 ...144
4. BÖLÜM ANALİTİK GEOMETRİ ...147
Noktanın Analitik İncelenmesi ...148
Analitik Düzlem ...148
İki Nokta Arasındaki Uzaklık ...149
Doğrusal Noktalar...150
Doğrusal Olmayan Noktalar ...152
Doğrunun Analitik İncelenmesi ...155
Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ...155
Doğrunun Grafiğinin Çizimi ...157
Doğrunun Denklemleri ...158
Özel Doğrular ...160
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ...160
Doğru Demeti ...162
Simetriler ...165
Noktanın Simetriği ...165
Doğrunun Simetriği ...168
Eşitsizlikler ...170
Çıkmış Sorular ...172
Cevaplı Test ...173
5. BÖLÜM KATI CİSİMLER ...175
Prizma ...176
Dikdörtgenler Prizması ...177
Küp ...179
Silindir ...179
Dönel Silindir ...180
Piramit ...182
Düzgün Piramit ...182
Kesik Piramit ...183
Koni ...183
Küre ...185
Çıkmış Sorular ...186
Cevaplı Testler - 1 ...187
Cevaplı Testler - 2 ...189
G eometr İ k K avramlar ve
D oğruda A çılar
� GEOMETRİK KAVRAMLAR
� DOĞRUDA AÇILAR
� ÜÇGENLER
� ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ
� ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR
� ÜÇGENDE AÇILAR
� DİK ÜÇGENLER
� ÜÇGENDE AÇIORTAY TEOREMLERİ
� ÜÇGENDE KENARORTAY TEOREMLERİ
� ÜÇGENDE ALAN
� ÜÇGENDE BENZERLİK
� ÜÇGENDE AÇI – KENAR BAĞINTILARI
... ren her an özlemlerimize açıktır; ama onun dilini e bu dilin yazıldığı har leri öğrenmeden e ka ramadan anlaşılamaz. ren matematik diliyle yazılmıştır;
har leri üç enler, daireler e diğer eometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.
Galıleo
Yıllara Göre Çıkmış Soru Analizleri
2012
12011
12010
12009
12008
22007
22006
-2005
22013
12014
12015
-2016
12
PEGEM AKADEMİ
GE ME İK KA AM A E D DA A A
GEOMETRİK KA RAMLAR
Tanımsı Kavramlar
okta, doğru, düzlem ibi ka ramlar tanımsız ka ram- lardır.
N ta
Kalem ucunun k ğıt üzerine bıraktığı işaret eya izdir.
oktanın belli bir alanı, hacmi eya boyutu yoktur. okta büyük har le österilir.
rneğin;
A noktası B B noktası
D ru
İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.
A B d
Doğrular enelde küçük har le temsil edilirler. d doğrusu eya AB diye sembolize edilebilir.
D ru Parçası
iki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birle- şim kümesine doğru parçası denir.
A B
doğru parçası AB6 @ sembolü ile österilir.
CD "CD
6 @ doğru parçası
CD "CD doğru parçasının uzunluğu olarak österilir.
Işın
Bir ucu başlan ıç noktası olup diğer ucu sonsuza iden noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.
A B
d
AB "
6 B ışını diye okunur.
Yarı D ru
6AB ışınından başlan ıç noktası yani noktasının çı- kartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB arı d rusu denir.
A B
d AB AB"
@ ışını diye okunur.
D lem
Bir masanın üstü, dur un su yüzeyi ibi tamamen düz e aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluştur- duğu kümeye d lem denir.
AÇILAR
Başlan ıç noktaları aynı olan iki ışının bir- leşimine Açı denir.
Yani; 6AB ve AC6 ışınlarının birleşimi ile oluşan açı B ya da
B açısıdır.
B açısı BAC%
ya da CAB%
açısı ile österilir.
Açının lç s AB ve AC
6 6 ışınları arasında kalan böl eye At nın ölçüsü de- nir. er At na ile arasında bir tek reel sayı karşılık elir. Bu reel sayıya B açısının ya da
B açısının ölçüsü denir.
Yani B açısının ölçüsü α dır.
ve (mBAC%)=m( )At =α eya (BAC) ( )A
s % =s t =α
ile österilir.
Eş Açılar lçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.
Yani; ( )m At =m B( )t &A ileB açýlarý eş açılardır.
Açının D lemde A ırdı ı Böl eler
erhan i bir açı düzlemi üç arklı böl eye ayırır. Bu böl- eler
. çının kendisi . çının iç böl esi
. çının dış böl esi
Açı lç Birimleri
Dere e Grad Rad an açı ölçü birimleridir. enelde ölçü birimi olarak derece kullanılır. 20 40o, o,... şeklinde
österilir.
Bu üç arklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle erebiliriz,
D: Derece G: Grad
adyan olmak üzere
D G R
180 200 π = = bağıntısı ardır.
A
B
C
[
AB∪[
AC=AA
B
C α
A
B
C α II.
I.
III.
3
Not
Bir ışının başlan ıç noktası etra ında bir tur dön- dürülmesi ile oluşan açı 360o, 400 Grad ve 2π
adyandır.
Dere enin Alt Birimleri '
. '
''
' '' '' dýr Bir derece
Bir dakika Bir saniye 1 60
1 1
11 60 1 3600
o o
o
"
"
"
=
=
= _
` a bb b
AÇI ÇE İTLERİ
Dar Açı
lçüsü 0o ile 90o arasında olan açılara dar açı denir.
Yani;
< < 90 dar açýdýr.
0o a o+α
Di Açı
lçüsü 90o olan açıya di açı de- nir.
Yani; α=90o+αdik açýdýr.
Geniş Açı
lçüsü 90o ile 180o arasında olan açılara eniş açı denir.
Yani;
< < 180 geniþ açýdýr.
90o a o+α
D ru Açı
lçüsü 180o olan açıya d - ru açı denir.
Yani;
doðru açýdýr.
180o+
α= α
Tam Açı
lçüsü 360o olan açıya tam açı denir.
Yani;
tam açýdýr.
360o+
α= α
A
B
C α
A B
C α
A B
C α
α =180°
C A B
α =360° A
B
Örnek
, O, B noktaları doğrusal, (DOB) ,
m % =2α
(m COD%)=7α ve (m AOC%)=3α
Yu arıda i verilenlere öre α aç dere edir
B D Çö m
, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı ereği 180o lik açı meydana etirirler.
Yani; 3α+7α+2α=180o dir.
. bulunur
12 180
15
o o
&
&
α α
=
=
K mşu Açılar
Köşeleri e birer kenarı ortak olan iç böl elerinin kesişimleri boş küme olan açılara mşu açılar denir.
Yani; COB%
ile BOA%
komşu iki açıdır.
AÇIORTAY
çıyı iki eşit açıya ayıran ışına açı- rta denir.
Yani; (m COB%)=m(BOA%) dır.
6OB ye COA%
nın açıortayı denir.
6OC ile OA6 ye açıortayın kolları ke- narları denir.
Örnek
, O, B noktaları doğru- sal OC6 ile OF6 açıortay
(DOE) m % =80o
Yu arıda i verilenlere öre (m COF% aç dere edir) B D
C D
A O B
α 7α 2α
A B C
O
A B C
O
A O B
80° C
D E
F
4
Çö m
, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana elen açıların ölçüleri toplamı 180o
dir.
(AOC) (COD) ,
m % =m % =α
(EOF) (FOB)
m % =m % =β
dersek
180 2 2 100 50
2α+2β+80o= o& a+ b= o&a+ =b o
m( ) 130
(COF) COF
m % = + +α β 80o& % = o
bulunur.
Örnek
Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54o dir.
Buna öre u i i açının ölç leri t lamı aç dere e- dir
A) 100 B) 104 C) 106 D) 108 E) 110 Çö m
BOC% ile COA%
komşu iki açıdır. OD6 ile OE6 açıortaydır.
(DOE) m % =54o
erilmiş (m BOD%)=m(DOC%)=α , (COE) (EOA)
m % =m % =β
dersek m(DOE%)= + =α β 54o dir.
Buradan (m BOC%)+m(COA%)=2α+2β
( )
2 108o
54o
& α β+ =
S bulunur.
Not
çıortay üzerinde alınan herhan i bir noktanın, açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.
6OD açıortay, OB6 ile OA6 açıortayın kolları ol- mak üzere
, ,
CK = OB DL = OB
6 @ 6 6 @ 6
ve
CE= OA DF = OA
6 6 6 @ 6
çizilirse
. ,
,
CK CE DL DF ve
KO EO LO FO dur
= =
= =
O C
D B
E F A L
K
A O B
80° C
D E
α F
α β
β
T MLER AÇILAR
lçüleri toplamı 90o olan iki açıya t mler iki açı denir.
Yani α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere
90o+ a
α β+ = ile β tümler iki açı- dır.
α nın tümleri 90’ o- a nın tümleri 90o- b dır.
B T NLER AÇILAR
lçüleri toplamı 180o olan iki açıya t nler açılar denir.
Yani; α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere
180o+
α β+ = α ile β bü- tünler iki açıdır.
α nın bütünleri 180’ o- a β nın bütünleri 180’ o- b dır.
Örnek
Bir açının atının 5o a lası a nı açının t mlerine eşit ldu una öre açının t nleri aç dere edir
B D Çö m
Açı T mleri
α 09 o- a dır.
Denklem kurulursa;
90 dýr.
. bulunur
4 5
5 85 17
o o
o& o
= -
α α
α α
+
= =
O halde açının bütünleri
180 17 163
180o-α = o- o= o bulunur.
Örnek
Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm , kalan 10o dir.
Buna öre ç açı aç dere edir
B D A B
α β C
O
A O B
β α C
5
Çözüm:
Bütünler iki açı α ile β olsun
O halde α β+ =180o dir.
Verilen denklem yazılacak olursa
10�
4 =4 10 dir.�
Buradan α=4β+10o denklemi 180o
α β+ = denkleminde yerine yazılacak olursa
180 5 170
dýr.
4 10
34 146
o o o
o o
&
&
&
+ =b b=
β
β α +
=
=
O halde küçük açı β =34° bulunur.
TERS AÇILAR
Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan birbirine komşu olmayan açılara ters açılar denir.
Yani; Kesişen d1 ve d2 doğrula- rında at ile ct, bt ile dt açıları ters açılardır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a c= ve b d= dir.
PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESEN İLE YAPTIĞI AÇILAR
// ,
d d1 2 a, b, c, d, x, y, z, t bulun- dukları açıların ölçüleridir.
(i) Yöndeş açılar //
d d1 2 ise
at ile xt, bt ile yt, dt ile tt, ct ile zt yöndeş açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Yani; a x b y c z d t= , = , = , = dir.
d1
d2
b a c d
d1
d2
b a c d y x z t
(ii) İç ters açılar //
d d1 2 ise
ct ile xt ve dt ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Yani; c x= ve d y= dir.
(iii) Dış ters açılar //
d d1 2 ise
at ile zt ve bt ile tt dış ters açılardır.
Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Yani; a z= ve b t= dir.
(iv) Karşı durumlu açılar //
d d1 2 ise
ct ile yt ve dt ile xt karşı durumlu iki açıdır. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı 180o dir.
Yani; c y 180+ = o ve d x 180+ = o dir.
Not
Karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.
Yani; //d d1 2 AC6 ile BC6 açıortay &6AC=6BC dir.
d2 d1 d3
B C A
PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİRDEN ÇOK KESEN İLE MEYDANA GETİRDİĞİ AÇILAR
(i) // ;d d d1 2 3+d4= " ,B ,
α ,δ β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere α δ β+ = dır.
(ii) // ;d d1 2 ,
α ,β δ bulundukları açı- ların ölçüleri olmak üzere
360o α β δ+ + = dir.
Not
Paralel doğrular n doğruyla kesilirse meydana ge- len aynı yönlü açıların ölçüleri toplamı n 180: o dir.
d2
d1
A d3 B
C d4
d2
d1
A B
C
