Harmonik Fonksiyonlar

Harmonik Fonksiyonlar

Analitik bir fonksiyonun reel ve imajiner ksmlar harmonik e³lenik fonksiyon lardr. Bundan dolay analitik fonksiyonlar üzerine tüm teoremler, harmonik e³lenik fonksiyon çiftleri için de geçerlidir. Harmonik fonksiyonlar kendi alan- larnda önemli olmakla beraber, genelde kolayca uygulanan komleks metodlar için her zaman uygun de§ildir. Bu durum, harmonik e³lenik fonksiyonlar tek de§erli olmad§nda ksmen do§rudur. Bu bölümde Cauchy teoremiyle yakndan ba§lantl olan harmonik fonksiyonlarn baz olgularn görece§iz. Daha deyal

özellikler sonraki bölümlere braklm³tr.

Tanm ve Temel Özellikler Reel de§erli bir u (z) yada u (x, y) fonksiyonu tanml ve bir Ω bölgesinde tek de§erli olsun. u (x, y) fonksiyonu sürekli olmakla beraber, birinci ve ikinci ksmi türevlere sahipse ve

4u =∂²u

∂x² +∂²u

∂y² = 0 (54)

³eklinde, Laplace denklemini sa§lyorsa, Ω bölgesinde harmonik veya bir potansiyel fonksiyon denir.

Regülarite ko³ullarnn zayf olabilece§ini sonra görece§iz ancak, bu nokta göreli olarak dü³ük öneme sahiptir.

ki harmonik fonksiyonun toplam ve harmonik bir fonksiyonun bir sabitle çarpm yine harmoniktir. Bu Laplace denkleminin lineer karakterine uygun bir durumdur. En basit harmonik fonksiyonlar ax + by ³eklindeki lineer fonksiyon- lardr. (r, θ) ³eklindeki kutupsal formda ise (54) denklemi,

r ∂

∂r

 r∂u

∂r

 +∂²u

∂θ² = 0 (neden?)

f (z) = u + iv z = x + iy = r.e^iθ= r.cosθ + i.r.sinθve ux= v_y, uy= −v_xolmak üzere,

x = r.cosθ, y = r.sinθ ^∂x_∂r = cosθ ^∂y_∂r = sinθ ^∂x_∂θ = −r.sinθ ^∂y_∂θ = r.cosθ ur= ^∂u_∂r =^∂u_∂x^∂x_∂r +^∂u_∂y^∂y_∂r = uxcosθ + uysinθ

uθ= ^∂u_∂θ =^∂u_∂x^∂x_∂θ +^∂u_∂y^∂y_∂θ = −r.uxsinθ + r.uycosθ

u_rr = ^∂u_∂x^r∂x_∂r + ^∂u_∂y^r∂y_∂r ayn ³ekilde uθ, uθθ, (ve gerekirse, vr, v_rr, v_θ, v_θθ) bulunarak u için Laplace denklemlerinin sa§land§ görülür; u ve v harmonik oldu§undan C −R e³itli§i (r, θ) formunda olmak üzere, ur= ¹_rvθve uθ= −r.vr

³eklindedir.

formunu alr. Bu da bize log r fonksiyonunun harmonik bir fonksiyon oldu§unu ve sadece r' ye ba§l herhangi bir harmonik fonksiyonun

a log r + b

formunda olmas gerekti§ini gösterir. θ argüman ise tek bir ³ekilde tanmla nabildi§i her yerde harmoniktir.

Ωbölgesinde u harmonikse, f (z) = ∂u

∂x − i∂u

∂y (55) analitiktir. U = ^∂u_∂x ve V = −^∂u_∂y yazarsak,

u_xx= ∂U

∂x =∂²u

∂x² = −∂²u

∂y² = ∂V

∂y = u_yy uxy=∂U

∂y = ∂²u

∂x∂y = −∂V

∂x = uyx

buluruz. Bu, harmonik fonksiyondan analitik fonksiyona geçmek için en natürel yöntem olarak aklda tutulmaldr.

(55)denkleminde diferansiyele geçersek;

f dz = ∂u

∂xdx +∂u

∂ydy

 + i



−∂u

∂ydx +∂u

∂xdy



(neden?) (56)

Bu ifadede, u'nun diferansiyeli, reel ksm,

du = ∂u

∂xdx +∂u

∂ydy dir.

E§er u'nun v gibi bir harmonik e³leni§i varsa, v⁰nin diferansiyeli de imajiner ksm olu³turur (56 ifadesinde);

dv = ∂v

∂xdx + ∂v

∂ydy = −∂u

∂ydx +∂u

∂xdy

³eklindedir.

Genel olarak burada tek de§erli bir e³lenik fonksiyon yoktur ve bu durumda dvnotasyonunu kullanmamak en iyisi olacaktr. Onun yerine

∗du = −∂u

∂ydx +∂u

∂xdy

notasyonunu kullanabiliriz. Buna du' nun e³lenik diferansiyeli denir. “u halde (56)daki ifadeyi yeni notasyona göre,

f dz = du + i ∗ du (57) olarak yeniden yazalm.

Cauchy teoremi sayesinde f dz' nin integrali, Ω bölgesinde sfra homolog olan çemberi yok eder.

γE§risine göre bir a noktasnn indexi:

Diferansiyellenebilir bir γ e§risi, a noktasndan geçmiyorsa,´

γ dz

z−a integrali 2πi 'nin bir katdr.

´

γ dz

z−a = n(γ, a).2πi ( n(−γ, a) = −n(γ, a) oldu§u açktr.) Burada iki durum sözkonusu;

i) γ e§risi bir çemberin içindeyse, çemberin d³ndaki bütün a noktalar için, n(γ, a) = 0olur.

ii)a'nn bir fonksiyonu olan n(γ, a), γ tarafndan belirlenen bütün bölgelerde bir sabit olarak bulunur. 0 ise snrlanmam³ olan alanda kalr.

Lemma:

Orijinden geçmeyen bir γ kapal e§risi üzerinde iki z1 ve z2 noktas alalm. z1

altyar düzlem, z2 üst yardüzlemde bulunsun.

z₁den z2ye γ1, z2den z1e giden γ2 e§rileri γ kapal e§rilerini olu³turmak üzere, γ₁ reel exenin negatif ksmndan geçmiyor, γ2de reel exenin pozitif ksmndan geçmeden γ e§risini tamamlyorsa, n(γ, 0) = 1

Tanm: Bir Ω açk kümesinde bulunan bir kapal bir γ e§risi, sfra homolog ise -Ω ya göre- , Ωnn tümleyeninde bulunan bütün a noktalar için n(γ, a) = 0 olur.

Cauchy teoreminin tanm bu kavramla beraber daha bir kolayla³r;

E§er Ω bölgesinde f(z) analitikse, Ω bölgesinde sfra homolog olan her γ kapal

e§risi için, ˆ

γ

f (z)dz = 0 olur.

Di§er taraftan, du'nun mutlak diferansiyelinin integrali bütün çemberleri ortadan kaldrr. (57)⁰den, Ω bölgesinde sfra homolog olan bütün γ çemberleri

için, ˆ

γ

∗du = ˆ

γ

−∂u

∂ydx + ∂u

∂xdy = 0 (58)

Bu son integralin bahsetmeden geçilemeyecek bir yorumu vardr. γ e§risi z = z(t) ile tanmlanm³ ise, e§imin açs-yönü α = arg z⁰(t) ile belirlidir ve dx = |dz| cos α , dy = |dz| sin α dr. E§imin normali β = α −^π₂ oldu§undan α = β +^π₂ olur ve, buradan da, cos α = −sinβ ve sin α = cos β elde edilir.

∗du = −∂u

∂ydx +∂u

∂xdy e³itli§inde yerine koyarsak,

∗du = −∂u

∂y|dz| cos α +∂u

∂x|dz| sin α

∗du = ∂u

∂y|dz| sin β +∂u

∂x|dz| cos β

∗du = (∂u

∂ysin β +∂u

∂xcos β) |dz|

parantez içini yeni bir notasyonla yeniden yazarsak,

∂u

∂n = ∂u

∂xcos β + ∂u

∂ysin β buradan da

∗du = ∂u

∂n|dz|

³eklinde gösteririz. (58) ifadesi, ˆ

γ

∂u

∂n|dz| = 0 (60)

³eklinde yeni bir formda yazlm³ olur.

Bu klasik notasyondur. Bunun asl avantaj ^∂u_∂n, γ da dikey yönlü de§i³im mik- tarn gösterir. Örnek olarak;

pozitif yönlü olsun γ : |z| = r e§risinde ^∂u_∂r ksmi türevinin yerini ^∂u_∂n ala- bilir. Dezavantaj ise, sradan bir çizgi integrali olarak ifade edilemez, ancak e§ri ölçüsüne ait bir integral olarak alnr. Bu sebepten, klasik notasyon, homoloji teorisiyle alakas açsndan daha az natureldir, bundan dolay ∗du notasyonunu tercih ediyoruz.

Basit ba§lantl bölgede, ∗du nun integrali bütün kapal e§rileri yok eder ve unun tek de§erli e³lenik fonksiyonu olan v, toplamsal bir sabit tarafndan be- lirlenir.

Çoklu ba§lantl bölgede e³lenik fonksiyonlarn periodlar vardr.

ˆ

γi

∗du = ˆ

γi

∂u

∂n|dz|

ifadesi homoloji tabanl kapal e§rilere ili³kindir.

ˆ

γ

∗du = ˆ

γ

−∂u

∂y dx +∂u

∂xdy = 0

e³itli§inin, harmonik fonksiyon çiftlerine ait önemli bir genellemesi vardr;

Ω bölgesinde, u1 ve u2 harmonik olsun. Sfra homolog olan her γ kapal

e§risi için, ˆ

γ

u1∗ du2− u2∗ du1= 0

teorem 16 ya göre, γ = ∂R Ω bölgesinde bir dikdörtgen olmak üzere, R de u1 dve u2 nin, v1, v2gibi tek de§erli iki e³lenik fonksiyonlar olsun.

u1∗ du2− u2∗ du1= u1dv2− u2dv1= u1dv2+ v1du2− d(u2v1)

Burada d(u2v1)tam dif.dir ve u1dv2+ v1du2 ise, (u1+ iv1) (du2+ idv2)

nin imajiner ksmdr. Son diferansiyel F1f2dz formunda yazlabilir. Tabi R'de F₁(z)ve f2(z)analitik oldu§u takdirde. F1f₂dznin integrali Cauchy teoremiyle yokolur, elbette imajiner ksm da öyle. Böylece ³unu ispatlam³ oluruz;

Teorem 19:

Ωbölgesinde sfra homolog olan her kapal γ e§risi için, u1ve u2harmonikse, ˆ

γ

u1∗ du2− u2∗ du1= 0 (60)

u₁ = 1, u2 = u için (58) formülü elde edilir. Son teoremdeki e³itli§i klasik notasyonla yazarsak,

ˆ

γ

 u1

∂u2

∂n − u2

∂u1

∂n



|dz| = 0

Ortalama De§er Özelli§i Teorem 19' u uygulayalm:

u1= log a u2 ise |z| < p de harmonik bir u fonksiyonuna e³it olsun. Ω için delinmi³ bir 0 < |z| < p diski alalm ve γ için ise pozitif yönlü Ci: |z| = r_i< pçemberinde C1− C2disk olsun. |z| = r çemberinde ∗du = r. ^∂u_∂r
dθ olmak üzere,

log r₁ ˆ

C₁

r₁∂u

∂rdθ − ˆ

C₁

u dθ = log r₂ ˆ

C₂

r₂∂u

∂rdθ − ˆ

C₂

u dθ di§er bir deyi³le, ˆ

|z|=r

u dθ − log r ˆ

|z|=r

r∂u

∂rdθ

ifadesi bir sabittir. Hatta u harmonik olsa bile. Ayn ³ekilde, ˆ

|z|=r

r∂u

∂rdθ yine bir sabittir. Bu da ³unu bize getirir;

Teorem 20. |z| = r birim çemberinde bir harmonik fonksiyonun aritmetik an- lam, log r 'nin lineer fonksiyonu olmasdr;

1 2π

ˆ

|z|=r

u dθ = α log r + β (61)

ayn zamanda, e§er bir α = 0 diskinde u harmonikse, bunun aritmetik anlam

usabittir.

β = u (0)alrsak, süreklilikten, yeni bir orjin dü³ünerek,

u (z₀) = 1 2π

ˆ ^2π

0

u z₀+ re^iθ
dθ (62) bu ifade için maximum prensibine bakalm, ve bir teorem verelim;

Teorem.12. (maximum prensibi) f(z) analitik ve Ω bölgesinde sabit olmayan bir fonksiyon olsun. Bu durumda |f (z) | nin bu bölgede maximumu yok- tur.Kant kolaydr; w0= f (z0) Ωbölgesinde reel ya da complex de§erli olsun, Ωnn imajnda |w −w0| < olacak ³ekilde bir kom³uluk vardr. Bu kom³u- luk ise |w0| dan büyük noktalar içerir. O halde |f (z) | nin maximumu

|f (z₀) |olamaz.

Teorem.12'. Kapal bir E kümesinde tanml ve sürekli bir f (z) fonksiyonu e§er E'nin bütün iç noktalarnda analitikse, |f (z) |' nin maximumu E'nin snrlarndadr.

Ekapal ve kompakt oldu§undan |f (z) | E kümesinde maximuma sahiptir.

Bir z0 noktas için dü³ünelim. z0snrda ise, kantlanacak bir ³ey yok. z0

iç noktada ise, |z − z0| < δkom³ulu§unda, ki bu E'de bir disktir, |f (z) | nin |f (z0) |gibi bir maximumu vardr.

f (z) = _2πi¹ ´

γ

f (ξ)dξ

ξ−z formunu ³öyle dönü³türelim; z0 merkezli, r yarçapl bir γ e§risi olarak, ξ = z0+ r.e^iθ dξ = ire^iθdθolsun. z = z0 için,

f (z₀) = 1 2π

ˆ ^2π

0

f z₀+ r.e^iθ
dθ

bu ifadenin türevlenmi³ halinin (62) oldu§u açktr. Bu da bizi harmonik fonksiyonlarda maximum prensibine götürür:

Teorem 21. Sabit olmayan bir harmonik fonksiyon tanml oldu§u bölgede ne bir maksimuma ne de bir minimum sahiptir. Bunun sonucu olarak kapal

ve snrl bir E kümesinde ise, maksimum ve minimum E kümesinin snr- lar üzerindedir.

Analitik fonksiyonlard maximum prensibi ile ayn kant geçerlidir. Bu teo- rem −u harmonik fonksiyonu için de, f (z) 6= 0 olmak üzere _{f (z)}¹ fonksiy- onu için de ve log |f (z) | harmonik fonksiyonu için de geçerlidir.

Poisson Formülü. Maximum prensibi bizi önemli bir sonuca götürür; e§er u (z), E gibi snrl bir kapal küme içinde sürekliyse, ve iç noktalarda harmonikse, tek bir ³ekilde, E snrlar üzerideki de§erleri tarafndan be- lirlenir. E§er u1, u2 ayn snr de§erlere sahip iki fonksiyon ise, u1− u2

harmonik fonksiyonu 0 snr de§erine sahiptir. Maximum ve minimum prensibi, u1− u2farknn, idantik olarak E'nin sfrna giden bir fonksiyon oldu§unu söyler.

Snr de§erleri verildi§inde u fonksiyonun tespit edilmesi gibi bir prob- lem ortaya sürüldü§ünde, en basit anlamda bir kapal disk üzerinde ele alarak bulmaya çal³alm.

62 formulu diskin merkez noktasnda u nun de§erini belirler. Ancak bizim ihtiyacmz, sadece merkezde de§il diskin her noktasnda durumun ne ola- ca§dr.

|z| ≤ R kapal diskinde harmonik olan bir u(z) harmonik fonksiyonu alalm.

z = S (ξ) =R. (Rξ + a) R + ξ

Lineer transformasyonu, |ξ| ≤ 1 i, |z| ≤ R ye resmeder. ξ = 0, z = 0 noktasna resmediliyorsa e§er. u (S (ξ)) fonksiyonu |ξ| ≤ 1 için harmoniktir ve 62 den dolay,

u (a) = 1 2π

ˆ

|ξ|=1

u (S (ξ)) d arg ξ

olur.

ξ = ^R(z−a)_R2−az den, d arg ξ = −i^dξ_ξ = −i

1

z−a+_R2−a−z^a  dz =

z

z−a+_R2^az_−az dθ bulunur. R²= z.z e³itli§inden, dθ nn katsays için

z

z − a+ a

z − a= R²− |a|²

|z − a|² yada buna e³de§er olarak,

1 2

 z + a

z − a+z + a z − a



= Rez + a z − a yazlabilir.

Buradan iki forma ula³tk;

u (a) = 1 2π

ˆ

|z|=R

R²− |a|²

|z − a|² u (z) dθ = 1 2π

ˆ

|z|=R

Rez + a

z − au (z) dθ (63) Bu Poisson formülüdür. Kutupsal formda ise,

u r.e^1ϕ
= 1 2π

ˆ ^2π

0

R²− r²

R²− 2rR cos (θ − ϕ) + r²u R.e^iθ
dθ

Türev ile, kapal bir disk içindeki u (z) fonksiyonunun harmonik oldu§unu biliyoruz. Ayn ³ekilde (zayf bir ko³ul) u (z) açk bir diskte harmonik, ka- pal bir diskte süreklidir. Gerçekten, e§er 0 < r < 1 ise, u (rz) kapal bir diskte harmoniktir ve buradan

u (ra) = 1 2π

ˆ

|z|=R

R²− |a|²

|z − z|² u (rz) dθ

ifadesine ula³rz. Burada artk yapaca§mz ³ey r −→ 1 olmasdr. Çünkü u (z) |z| ≤ R de düzgün sürekli ve u (rz) −→ u (z) yaknsakl§ |z| = R için düzgündür.

Bütün bu bulduklarmz bir teoremle sonuçlandralm:

Teorem 22. u (z) fonksiyonu, |z| < R için harmonik, |z| ≤ R için sürekli olsun.

∀|a| < Riçin,

u (a) = 1 2π

ˆ

|a|=R

R²− |a|²

|z − a|² u (z) dθ (64)

Bu teorem bizi u'nun e³lenik fonksiyonuna yönlendirir. 63 formülü,

u (z) = Re





 1 2πi

ˆ

|ξ|=R

ξ + z

ξ − zu (ξ)dξ ξ





 (65)

kö³eli parantez içindeki ifade, |z| < R için z'nin bir analitik fonksiyon oldu§unu gösterir. Buradan yola çkarak;

f (z) = 1 2πi

ˆ

|ξ|=R

ξ + z

ξ − zu (ξ)dξ

ξ + iC (66)

e³itli§inin reel ksmnn u (z) oldu§unu söyleyebiliriz. C herhangi bir reel sabit. Bu formül Schwarz formülü olarak bilinir.

Özel olarak 64 ifadesinde u = 1 olarak alrsak, ∀|a| < R için, ˆ

|z|=R

R²− |z|²

|z − a|² dθ = 2π (67) olur.

Schwarz Teoremi Teorem 22 bize verilen bir harmonik fonksiyonun bir çem- ber üzerindeki de§erleri ile ilgili bir ifade sunar. Fakat, 64 te

u (a) = 1 2π

ˆ

|a|=R

R²− |a|²

|z − a|² u (z) dθ

e³itli§in sa§ taraf |z| = R de tanml bir u için, e§ri parçasnn sürekli olmas anlamndadr. 65 te,

u (z) = Re





 1 2πi

ˆ

|ξ|=R

ξ + z

ξ − zu (ξ)dξ ξ







ifadesinde integral, analitik bir fonksiyonun reel ksm olarak yazlabilir ve bundan dolay da harmonik bir fonksiyondur. Sorumuz ³udur; u (z) fonksiyonu |z| = R de snr de§erlere sahip midir? Notasyonu anla³lr klmak için, R = 1 olarak belirlenmi³, 0 ≤ θ ≤ 2π aral§ndaki herhangi bir e§ri parçasnda sürekli olan bir U (θ) fonksiyonu için,

P v (z) = 1 2π

ˆ ^2π

0

Ree^iθ+ z

e^iθ− zU (θ) dθ

ifadesine U'nun Poisson integrali diyoruz. P v (z) yalnzca z'nin de§il, U'nun da bir fonksiyonu, bir çe³it fonksiyonel. Bu fonksiyonel lineerdir;

PU +V = Pu+ PV

ve bir c sabiti için,

PcV = cPv

olur. PU pozitif lineer fonksiyonel oldu§undan, U ≥ 0 ise, PV (z) ≥ 0olur.

67 formülünü, yani ˆ

|z|=R

R²− |z|²

|z − a|² dθ = 2π

ifadesinden, Pc = cçkar. Fonksiyonelin lineer ve pozitif karakterinden, m ≤ U ≤ M e³itsizli§i, m ≤ PU ≤ M elde edilir.

Snr de§er sorusu hakkndaki a³a§daki teorem, H. A. Schwarz tarafndan kantlanm³tr;

Teorem 23. |z| < 1 için PU(z)fonksiyonu harmoniktir ve, lim

z−→eiθ0

PU(z) = U (θ0) (68) limiti, θ0 noktasnda U'nun sürekli oldu§unu gösterir.

U'nun harmonik oldu§unu zaten biliyoruz. Snrdaki davran³n inceleye- lim. Birim çemberin tümleyeni için, C1ve C2alalm. U1fonksiyonu C1de U

ya rastlayarak C2yi yoketsin. U2de ayn ³eyi C2için yapsn. PU = PU₁+PU₂

oldu§u açktr. PU₁den C1 üzerinde bir çizgi integrali oldu§u gözönünde tutularak, kapal C1 d³nda her yerde harmoniktir. A³a§daki ifade,

Ree^iθ+ z

e^iθ− z = 1 − |z|²

|e^iθ− z|²

|z| = 1de, z 6= e^iθ olan yerleri yok eder. Devam edersek, C2açk yaynda PU₁ = 0 dr. Ayrca süreklilikten dolay, z −→ e^iθ ∈ C2 oldu§unda PU₁−→ 0dr.

68 formülünde, U yerine U − U (θ0)olarak almaya ihtiyaç duymuyorsak, U (θ0) = 0 farzedebiliriz.  > 0 verildi§inde, C1 ve C2 yi ³öyle buluruz;

C2 nin bir iç noktas e^iθ0 olsun ve e^iθ ∈ C2 için |U(θ)| < ₂^ olsun. Bu

³artlarda her θ için, |U2(θ)| < ^₂ ve her |z| < 1 için |PU2(z)| < ₂^ olur.

Di§er taraftan, U1 sürekli ve e^iθ0 da yokeden oldu§undan |z − e^iθ0| < δ oldu§unda |PU1(z)| < ^₂ olacak ³ekilde δ vardr.

|P_U(z)| ≤ |P_U1| + |P_U2| < ifadesi, |z| < 1 ve |z − e^iθ0| < δiçin sa§lanm³ olur.

“ekilde Poisson formülünün geometrik gösterimi, Schwarz teoremi içinde açklaycdr. Birim çember içinde bir z noktas bulunuyor. Çember üz- erinde e^iθve e^iθ∗noktalar z ile ayn düz hat üzerinde. Basitçe,

1 − |z|²= |e^iθ− z|.|e^iθ∗− z| (69) ancak ^(e_eiθ∗^iθ−z)−z oran negatif. Bundan dolay,

1 − |z|²= −(e^iθ− z).(e^iθ∗− z)

olarak yazmak durumundayz. θ nn bir fonksiyonu θ∗ oldu§u gözönünde tutularak ve diferansiyelden, z bir sabit olacak ³ekilde,

e^iθdθ

e^iθ− z = e^−iθ∗dθ∗

e^−iθ∗− z (70) ve mutlak de§erlerini alarak,

dθ∗

dθ =    

e^iθ∗− z e^iθ− z

    69 ve 70' den

1 − |z|²

|e^iθ− z|² = dθ∗

dθ

buradan da,

PU(z) = 1 2π

ˆ ^2π

0

U (θ) dθ∗ = 1 2π

ˆ ^2π

0

U (θ∗) dθ

bulunur. Di§er bir deyi³le,PU(z)yi bulmak için, her U(θ) de§erini, z nin zt noktasndaki de§erle yer de§i³tirmek ve çember üzerindeki averajn(?) almak gerekir.

Reeksiyon (Simetri) Prensibi Simetri prensibi Lineer Transformasyonlarda incelendi. Schwarz tarafndan formüle edilen bu konunun bir çok genel varyantlar vardr. Reeksiyon prensibi, u(z) bir harmonik fonksiyon ise, u(z) fonksiyonunun da harmonik olmas ve f(z) analitik fonksiyon ise, f (z)nin de analitik olma hallerini incelerken olu³tu. Daha düz bir ifadeyle, bir bölgede u(z) harmonik, f(z) analitikse, Ω nn bulundu§u bölgenin reel exene göre simetri§inde yer alan Ω∗ bölgesinde, z in fonksiyonlar olarak u(z) harmonik, f(z) analitiktir. Öyle ki, z ∈ Ω∗ ⇐⇒ z ∈ Ω ³eklinde g.y.k gerçekle³melidir. Bu ifadenin kant, trivial olarak do§ruland§nda görülür.

Simetrik bir bölgeyi ele alalm: Ω∗ = Ω. Çünkü Ω ba§lantldr; en azndan bir açk aralkta reel exen ile kesi³melidir. f(z) nin Ω da analitik oldu§unu ve reel exenin enazndan bir açk aral§nda reel oldu§unu dü³ünelim.

f (z) − f (z)analitik oldu§undan ve bir aralkta yok eden oldu§undan sfra idantiktir. Bundan dolay Ω bölgesinde, f(z) = f(z) olacaktr. f = u + iv notasyonuna göre yazarsak, u(z) = u(z) ve v(z) = −v(z)

Buras önemlidir çünkü, f(z) yi Ω nn her yerinde analitik olarak biliy- oruz. Ω ile Ωnn üstyar düzlemi olan Ω⁺n kesi³imi, ayn zamanda, Ω ile reel exenin kesi³imini σ ile gösterelim. Göstermek istedi§imiz ³u;

Ωnn her yerinde analitik olan f(z), Ω⁺ ile kstland§nda, f(z) = f(z) simetri ko³ulunu sa§lar m? Di§er bir deyi³le, teoremimizin bu ksm, Ω da f(z) nin analitik sürekli oldu§unu iddia edebilir mi?

Her ne kadar bu bir hipotez olsa da çok güçlü bir formülasyon. Gerçekten, ana mesele ³u ki, imajiner ksm olan v(z) σ üzerinde yok eder ve reel ksm hakknda farzedece§imiz hiç bir ³ey kalmaz. O halde reeksiyon prensibine ait tanmlamay harmonik fonksiyonlar üzerinde dü³ünebiliriz.

Teorem 24. Simetrik bir Ω bölgesinin üst yar düzlemdeki ksm Ω⁺ olsun.

Varsayalm ki, v(x), Ω⁺∪ σ da sürekli, Ω⁺da harmonik ve σ üzerinde sfr olsun. O halde v nin Ω ya do§ru olan bir harmonik uzants, v(z) = −v(z)

³eklindeki simetrik ili³kiyi sa§lar. Ayn ³artlarda, Ω⁺ta analitik olan bir f (z) fonksiyonunun imajiner ksm v ise, f(z) de, f(z) = f(z) ³artn

sa§layacak bir analitik uzantya sahiptir.

Kant için, Ω⁺ta v(z) ye e³it bir V (z) fonksiyonu olu³turalm. Ω⁺ta −v(z) ye e³it, σ da 0 olsun. V nin σda harmonik oldu§unu gösterece§iz.

Ω bölgesi içinde, x0 ∈ σ merkezli bir disk dü³ünelim ve V nin bu disk- teki snr de§erlerine ili³kin Poisson integrali de PV olsun. V −PV fark üst yar diskte harmoniktir. Bu yar çemberi siler (teorem 23), çap üzerindedir, çünkü V −→ 0 iken tanmdan dolay, and PV vanishes by obvious symme- try. Maximum ve minimum prensibi, üst yar düzlemde V = PV yi sa§lar ve ayn kantlar alt yar düzlem için de tekrarlanabilir. V bütün diskte harmoniktir, özellikle de x0 noktasnda.

Teoremin geri kalan için, σ merkezli bir disk alalm. Bütün disk için v yi zaten incelemi³tik. v ayn zamanda −u0 ³eklinde bir e³lenik harmonik fonksiyona da sahip oldu§undan, ayn diski u0= Re f (z), üst yar diskte alabiliriz.

U0(z) = u0(z) − u0(z) alalm. Reel çap üzerinde ^∂U_∂x⁰ = 0 ve ayn zamanda,

∂U0

∂y = 2∂u0

∂y = −2∂v

∂x = 0

∂U0

∂x − i^∂U_∂y⁰ fonksiyonu analitik oldu§undan, reel exeni siler, idantiktir. U0

sabit oldu§undan sfra e³ittir. u0(z) = u0(z)kantlanm³tr.