BİRDEN ÇOK DEĞİŞ ĞİŞKEN DURUMUNDA

(1)

B B İ İ RDEN RDEN Ç Ç OK OK DE DE ĞİŞ ĞİŞ KEN KEN

DURUMUNDA

OPT OPT İ İ M M İ İ ZASYON ZASYON

(2)

22 Şekil 2.1’i dikkate alalım. Maksimum nokta olan A ve minimum nokta olan B’de

z=f(x)

fonksiyonunun bir durgunluk değeri vardır. Bir başka ifadeyle,

z

’nin bir uçdeğerinin (minimum ya da maksimum) olabilmesi için,

x

değişirken

dz=0

olmalıdır.

Ancak bu koşul tek başına bir minimum ya da maksimum için yeterli değildir. Örneğin Şekil 2.1’de C noktasında

dz=0

^olmakla

beraber, bir uçdeğer oluşmamaktadır.

Birinci sıra koşula göre,

f′(x)=0

olmalıdır. Bunu diferansiyel denklem yoluyla şöyle ifade edebiliriz:

( ) 0 , 0

dz = f x dx ′ = dx ≠

(3)

33

Ş Ş ekil 2.1 Durgunluk Noktalar ekil 2.1 Durgunluk Noktalar ı ı

z = f ( x )

z

A

B

C

0 z

0 dz =

x

(4)

44 Şekil 2.1’de A noktasının soluna (

dx<0

) ve sağına (

dx>0

) gidildiğinde her iki durumda da

z

’nin değeri azalmaktadır (

dz<0

). Diğer bir ifadeyle, farklı

x

değerleri için

d(dz)<0

ya da

d

²

z<0

’dır diyebiliriz.

d

²

z<0

koşulu, maksimum için ikinci sıra koşulun (yeterlik koşulu) diferansiyelidir. Bunu şöyle gösterebiliriz:

2 2

( )

( ) 0 , 0

( ) 0

d dz dx d z

f x dx

dx dx

d z f x dx

= = ′′ < ≠

= ′′ <

(+)

(-)

(5)

55

d

²

z

ifadesini açarak yazalım ve

dx

²

(≡(dx)

²

)

teriminin bir karesel terim (dolayısıyla pozitif) olduğunu görelim.

[ ] ( )

( )

2

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

d z d dz d f x dx df x dx d z f x dx dx f x dx

′ ′

= = =

′′ ′′

= =

Dolayısıyla maksimizasyon için yeterli olan

d

²

z<0

ikinci sıra koşulu ile

f′′(x)<0

eşdeğerdir.

(6)

66 Yukarıdaki incelemeyi şöyle genelleştirebiliriz :

( ) 0 f ′′ x ≤

z z

’’ninnin maksimumu imaksimumu iççin :in :

( ) 0 f ′′ x ≥

z z

’’ninnin minimumu iminimumu iççin :in :

ya da

2

0 d z ≤

z’z’ninnin maksimumu içmaksimumu için :in :

2

0 d z ≥

z’z’ninnin minimumu içminimumu için :in :

(7)

77 İki değişkenli bir fonksiyonu şöyle ifade edebiliriz :

( , ) z = f x y

İkisi birden sıfır olmamak koşuluyla farklı

dx

^ve

dy

^değerleri

için

dz=0

birinci sıra koşulu oluşturur. Fonksiyonun birinci sıra toplam diferansiyelini yazalım:

0 , 0 , 0

x y

dz = f dx + f dy = dx ≠ dy ≠

Yukarıdaki koşul altında, diferansiyel denklemin sıfır olabilmesi yani

dz=0

olabilmesi için;

y

0 f z

y

= ∂ = 0 ∂

x

f z

x

= ∂ =

∂

^ve ^olmalıdır.

(8)

88

Ş Ş ekil 2.2 ekil 2.2 İ İ ki Se ki Se ç ç im De im De ğ ğ i i ş ş kenli kenli Modelde Maksimum

Modelde Maksimum

z

x

y

• A

0

(9)

99

Ş Ş ekil 2.3 ekil 2.3 İ İ ki Se ki Se ç ç im De im De ğ ğ i i ş ş kenli kenli Modelde Minimum

Modelde Minimum

z

x

y

B •

0

(10)

1010

Ş Ş ekil 2.4 ekil 2.4 İ İ ki Se ki Se ç ç im De im De ğ ğ i i ş ş kenli kenli Modelde Eyer Noktas

Modelde Eyer Noktas ı ı

-5 -10 0

5 10

-10

-5

0

5

10 -100

-50 0 50 100

-100 -50 0 50 100

z ^C ^z

x y

(11)

1111

Yukarıdaki Şekil 2.2, 2.3 ve 2.4’ü birinci sıra koşul açısından inceleyelim. Şekil 2.2’de A noktasında, Şekil 2.3’de B

noktasında ve Şekil 2.4’de C noktasında

dz=0

birinci sıra koşulu sağlanmaktadır. Bu noktalarda,

z z 0

x y

∂ ∂

= =

∂ ∂

x y

0 f = f =

ya da

sağlanmaktadır. Ancak birinci sıra koşul uçdeğer için gerekli olmakla birlikte yeterli değildir.

(12)

1212 Şekil 2.2 ve 2.3’te sırasıyla maksimum ve minimum oluşmasına rağmen, Şekil 2.4’te bir eyer noktaseyer noktasıı oluşmaktadır. Şekil 2.4 at eğerine benzemesinden ötürü bu biçimde adlandırılmaktadır.

z , x

’e göre bir maksimum vermekle birlikte,

y

’e göre bir minimumdur.

Şimdi ikinci sıra koşuluna bakalım. Öncelikle ikinci dereceden kısmi türev kavramını inceleyelim.

z=f(x,y)

fonksiyonunun iki tane birinci dereceden kısmi türevi vardır:

x

,

y

z z

f f

x y

∂ ∂

= =

∂ ∂

(13)

1313

y

sabit kalırken, f_x’in

x

’e göre türevi,

x

’in ikinci dereceden kısmi türevidir.

2 2

( )

xx

z x z

f x x

∂ ∂ ∂ ∂

= =

∂ ∂

Benzer tanımı

y

için de yapabiliriz.

x

sabit kalırken, f_y’in

y

’e göre türevi,

y

’nin ikinci dereceden kısmi türevidir.

2 2

( )

yy

z y z

f y y

∂ ∂ ∂ ∂

= =

∂ ∂

(14)

1414

Ayrıca

f

_x ve

f

_y ‘nin hem

x

hem de

y

’nin birer fonksiyonu olduğunu da göz önünde tutarsak, şu çapraz ikinci derece kısmi türevleri de elde ederiz.

2

( )

xy

yx

z y z

f x x y

z x z

f y y x

∂ ∂ ∂ ∂

= =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

= =

∂ ∂ ∂

Young Teoremi:

xy yx

f = f

(15)

1515

Örnek 1: Ö rnek 1:

Aşağıdaki fonksiyona ilişkin kısmi türevleri bulalım.

3

5

2

z = x + xy y −

Birinci derece kısmi türevler :

3

2

5 , 5 2

x y

z z

f x y f x y

x y

∂ ∂

= = + = = −

∂ ∂

Bunların bir kere daha

x

ve

y

’e göre kısmi türevlerini alırsak, ikinci dereceden kısmi türevleri elde etmiş oluruz.

2 2 2

2

6 ,

2

2 , 5

xx yy xy yx

z z z

f x f f f

x y x y

∂ ∂ ∂

= = = = − = = =

∂ ∂ ∂ ∂

(16)

16 Örnek 2Örnek 2 : Aşağıdaki fonksiyona ilişkin kısmi türevleri bulalım.

16

2 y

z = x e ⁻

Birinci derece ve ikinci derece kısmi türevler :

2

2 2

2

2 2

2

2 ,

2

y y

x y

y y

xx yy

y

xy yx

z z

f xe f x e

x y

z z

f e f x e

x y

f f z xe

x y

− −

−

∂ ∂

= = = = −

∂ ∂

= = = =

∂ ∂

= = ∂ = −

∂ ∂

(17)

İkinci S İ kinci Sı ı ra Toplam Diferansiyel ra Toplam Diferansiyel

dz

’nin diferansiyelini alarak,

d

²

z

ikinci sıra toplam diferansiye- lini elde ederiz.

1717

2

2 2

2 2 2

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

x y x y

xx xy yx yy

xx xy yy

dz dz

d z d dz dx dy

x y

f dx f dy f dx f dy

dx dy

x y

f dx f dy dx f dx f dy dy f dx f dydx f dxdy f dy

d z f dx f dxdy f dy

∂ ∂

= = +

∂ ∂

∂ + ∂ +

= +

∂ ∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎣ + ⎦ + ⎣ + ⎦

= + + +

= + +

(18)

ÖÖrnek 3: rnek 3: fonksiyonunun birinci sıra ve ikinci sıra toplam diferansiyellerini bulalım.

3

5

2

z = x + xy y −

¹⁸¹⁸

( ) ⁽ ⁾

2

2 2 2

3 5 , 5 2

3 5 5 2

2 6 10 2

x y

xx xy yy

dz f dx f dy

f x y f x y

dz x y dx x y dy

d z f dx f dxdy f dy d z xdx dxdy dy

= +

= + = −

= + + −

= + +

= + −

(19)

1919

Ş Ş ekil 2.5 ekil 2.5 İ İ ki Se ki Se ç ç im De im De ğ ğ i i ş ş kenli Modelde kenli Modelde Maksimum

Maksimum

-10 -5 0

5 10

-10

-5

0

5

10 -200

-150 -100

-50 0

-200 -150 -100

-50 0

z

(20)

Şekil 2.5’de kırmızı noktayla işaretlenen yerde birinci sıra koşulların sağlanmış olduğunu varsayalım . Eğer

dx

ve

dy

rasgele farklı değerler alırken,

dz

sürekli azalıyorsa (yani

d

²

z<0

), bu noktada bir maksimum vardır diyebiliriz. Tersi durumda bir minimum vardır. Ancak bazı durumlarda

d

²

z=0

olabileceğini de göz önünde bulundurarak, genel kuralı şöyle yazabiliriz :

( dz = f

_x

= f

_y

= 0)

2020

z z

’nin’nin maksimum demaksimum değğeri ieri iççin :in :

d z

²

≤ 0

2

0 d z ≥

z z

’nin’nin minimum değminimum değeri ieri iççin :in :

(21)

2121

Uç değeri belirlemek için kullanacağımız yukarıdaki kuralı şimdilik ispat vermeksizin ikinci derece kısmi türevler cinsinden açık olarak yazalım.

2 2

0 , 0 , 0

xx yy xx yy xy

f f f f f d z

< < > ⇒ <

> > > ⇒ >

(22)

2222

Şekil 2.5’de şeklin durgunluk noktasında çizilen doğu-batı ve kuzey-güney yönlü oklardaki hareketler bu koşullarda

f

_xx ve

f

_yy

ikinci derece kısmi türevleriyle gösterilmektedir. Ancak

dx

^ve

dy

rasgele değişirken bir uç değerin garanti altına alınabilmesi

için, diğer olası yönlerde de

dz

’nin ya sürekli azalıyor (maksimum için) ya da sürekli artıyor (minimum için) olması gerekir. Bu,

f

_xy çapraz türevi ile simgelenmiştir.

(23)

2323 Şimdi bir uç değeri belirlemek için kullanacağımız birinci sıra ve ikinci sıra koşulları topluca aşağıdaki tabloda verelim.

Koşul Maksimum Minimum

Birinci Sıra Koşul

İkinci Sıra Koşul

x y

0 f = f = f

_x

= f

_y

= 0

2

0 , 0

xx yy

xx yy xy

f f

f f f

< <

>

²

0 , 0

xx yy

xx yy xy

f f

f f f

> >

>

(24)

2424

ÖÖrnek 4rnek 4 : fonksiyonunun uçdeğer- lerini bulalım. Bunun için öncelikle fonksiyonun birinci derece ve ikinci derece tüm kısmi türevlerini buluruz ve yukarıda verdiğimiz tablodaki koşulları kullanarak uçdeğerin var olup olmadığını sınayabiliriz.

3 2 2

8 2 3 1

z = x + xy − x + y +

24

2

2 6 , 2 2

48 6 , 2 , 2

x y

xx yy xy yx

f x y x f x y

f x f f f

= + − = +

= − = = =

(25)

Birinci sıra koşul gereği

f

_x ve

f

_y denklemlerini sıfıra eşitleyelim,

x

^ve

y

için çözelim.

2525

* * *

1 1 1

* * *

2 2 2

0 , 0 , 0

1 1 23

, ,

3 3 27

x y z

= = =

= = − =

24

2

2 6 0

2 2 0

x

y

f x y x

f x y

= + − =

= + =

(26)

2626

Şekil 2.6’da bu fonksiyonun çizimi yer almaktadır. Yukarıda bulduğumuz durgunluk değerlerini Şekil 6’da iki ayrı nokta ile gösterdik. Bu noktalarda

dz=0 o

lmaktadır. Şimdi de bu noktalardaki durgunlukların birer uçdeğer oluşturup oluşturmadıklarına bakalım. Bunun için, birinci sıra koşulları sıfıra eşitleyerek bulduğumuz

x

^* ve

y

^* değerlerini, ikinci derece türevlerini değerlendirmede kullanırız ve ikinci sıra koşulların işaret incelemesini yaparız.

(27)

2727

6 0 2 0 2

xx yy xy

f f f

= − <

= >

=

Bu nokta, bir eyereyer noktasıdır.

2 2

10 0 2 0 2

20 , 4

xx yy xy

f f f

= >

=

= =

>

* *

1

0 ,

1

0 x = y =

* *

2 2

1 1

3 , 3

x = y = −

Bu nokta, bir

minimum minimum noktasıdır.

(28)

2828

Ş Ş ekil 2.6 U ekil 2.6 U ç ç de de ğ ğ erin Belirlenmesi ( erin Belirlenmesi ( Ö Ö rnek 4) rnek 4)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

-0.5 -0.25

0 0.25

0.5

-1 0 1

2

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

y x

z

3 2 2

8 2 3 1

z = x + xy − x + y +

z z

* * *

2 2 2

1 1 23

, ,

3 3 27

x = y = − z =

* * *

1

0 ,

1

0 ,

1

0 x = y = z =

(29)

2929 Örnek 5Örnek 5 : fonksiyonunun uçdeğerlerini bulalım. Örnek 4’de uyguladığımız yöntemi burada da kullanalım.

2

^x 2^y

z = + x ey e − − e

2

1 0

2 2 0

x x

y y

f e

f e e

= − =

* *

1

*

0 , , 1

x = y = 2 z = −

2

2 2

1 0

4 4 0

0 4 , 0

x xx

y yy

xy

xx yy xy

f e

f e e

f

f f e f

f f f

= − = − <

=

= =

>

* *

1 0 , 2

x = y =

Bu nokta, bir

maksimum maksimum noktasıdır.

(30)

3030

Ş Ş ekil 2.7 U ekil 2.7 U ç ç de de ğ ğ erin Belirlenmesi ( erin Belirlenmesi ( Ö Ö rnek 5) rnek 5)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5

0 0.5

1 -6

-4 -2

0

-6 -4 -2

0

y x

z

2

^x 2 ^y

z = + x ey e − − e

* *

1

*

0 , , 1

x = y = 2 z = −

•

(31)

ÖÖrnek 6a:rnek 6a: fonksiyonunun uçdeğerlerini bulalım.

3 2

13

( x x y )

z e = ⁻ ^{+ −}

3131

( )

3 2

13

3 2

13

( )

2

( )

1 0

2 0

x x y x

x x y y

f x e

f y e

− + −

= − =

* * *

1 , 0 , 1.95 1 , 0 , 0.51

x y z

= = =

= − = =

(32)

3232

( ¹

²

)

²

⁽ ¹³^x³ ^{x y}²⁾

f

xx

= ⎡ ⎢ ⎣ − x − x e ⎤ ⎥ ⎦

⁻ ^{+ −}

23

*

1 2

0 1 2

0

xx

x f e

y

x f e

y

−

= − → =

=

= → = −

=

23

*

1 2

0 1 2

0

yy

x f e

y

x f e

y

−

= − → = −

=

= → = −

=

3 2

13

( )

4

2

^x ^{x y}

f

yy

= ⎡ ⎣ y − ⎤ ⎦ e

⁻ ^{+ −}

(33)

3333

*

1 0

0 1 0

0

xy

x f

y

x f

y

= − → =

=

= → =

=

( ¹

²

)

²

⁽ ² ⁾

⁽ ¹³^x³ ^{x y}²⁾

xy yx

f = f = − x − y e

⁻ ^{+ −}

(34)

3434

( )( )

23

2 2

3 3

23

2 2

3 3

2

( , , ) ( 1,0,0.51)

2 0

2 2 0

( , , ) (1,0,1.95)

2 0

2 2 0

xx

xx yy xy

xx

xx yy xy

x y z

f e

f f f e e

x y z

f e

f f f e e

= −

= >

> → − <

=

= − <

> → − − >

Bu nokta bir eyer noktasıdır.

Bu nokta bir

maksimum

noktasıdır.

(35)

3535

Ş Ş ekil 2.8 U ekil 2.8 U ç ç de de ğ ğ erin Belirlenmesi ( erin Belirlenmesi ( Ö Ö rnek 6a) rnek 6a)

-2 -1

0 1

2

-2 -1

0 1

2

0 0.5

1 1.5

-1 0

1 2

-1 0

1 2

3 2

13

( x x y )

z e = ⁻ ^{+ −}

•

(36)

ÖÖrnek 6b:rnek 6b: fonksiyonunun uçdeğerlerini bulalım.

( ² ) (

⁴

³ )

⁴

z = x − + y −

3636

4( 2)

3

0 f

x

= x − =

*

2 ,

*

3 ,

*

0 x = y = z = 4( 3)

3

0 f

y

= y − =

12( 2)

2

0 f

xx

= x − =

xy

0 f =

12( 3)

2

0 f

yy

= y − = d z

²

= 0

*

2 ,

*

3 x = y =

Bu durum, uçdeğer sınaması için şu ana kadar kullandığımız koşulları sağlamamakla birlikte, noktasında bir minimuma sahiptir.

*

2 ,

*

3 ,

*

0 x = y = z =

(37)

3737

Ş Ş ekil 2.9 U ekil 2.9 U ç ç de de ğ ğ erin Belirlenmesi ( erin Belirlenmesi ( Ö Ö rnek 6b) rnek 6b)

-1000

-500

0

500

1000

-1000 -500

0 500

1000 0 5×10¹¹ 1×10¹² 1.5×10¹²

2×10¹²

0 5×10¹¹ 1×10¹² 1.5×10¹²

2×10¹²

x

y z

( ² ) (

⁴

³ )

⁴

z = x − + y −

*

2 ,

*

3 ,

*

0 x = y = z =

•

(38)

d

²

z

teriminin işaretinin pozitif mi, negatif mi olduğunu belirlemek için, karesel biçim kavramını kullanarak, iki ya da daha çok seçim değişkeninin yer aldığı modellerde uçdeğer

sınamasını daha kolaylıkla yapabileceğimiz kurallara ulaşacağız.

Önce biçim ve karesel biçim kavramlarını tanıyalım.

Her bir terimin aynı derecen olduğu polinoma, biçim diyoruz.

Örneğin

4x-9y+z

polinomu, üç değişkenli doğrusal bir biçimdir.

4x

²

-xy+3y

² polinomu da, ikinci dereceden (karesel) bir biçimdir.

3838

(39)

Şimdi ifadesini karesel biçim çerçevesinde inceleyelim. Şu kısaltmaları kullanalım:

2 _xx 2

2

_xy _yy 2

d z = f dx + f dxdy + f dy

³⁹³⁹

2

, , ,

,

xx

yy xy yx

q d z u dx v dy a f

b f h f f

≡ ≡ ≡ ≡

≡ ≡ =

Anımsarsak, ikinci sıra uç değer koşula göre,

dx

ve

dy

’nin kendisinin ve değişimlerinin hangi değer aldıklarından bağımsız olarak, bir minimum için

d

²

z>0

, bir maksimum için

d

²

z<0

olmalıdır. Bu durumda,

q>0

^{ya da}

q<0

elde edebilmek için,

u

ve

v

herhangi değerler alabilirken,

a

,

b

ve

h

katsayılarına hangi kısıtlamaları koymalıyız.

(40)

4040

q

karesel biçimindeki değişkenlerin değeri ne olursa olsun (tümü aynı anda sıfır olmamak koşuluyla);

q q >0 >0 ise pozitif belirli ise pozitif belirli

q q ≥ ≥ 0 0 ise pozitif yar ise pozitif yar ı ı belirli belirli q q <0 <0 ise negatif belirli ise negatif belirli

q q ≤ ≤ 0 0 ise negatif yar ise negatif yar ı ı belirli belirli

Değişkenler farklı değerler alırken

q

işaret değiştiriyorsa,

q q

belirsizdir

belirsizdir deriz.

q=d

²

z

belirsiz ise, bir eyer noktası vardır.

(41)

İki seçim değişkenli durum için determinant sınamasını elde edebilmek için,

q

karesel biçimini kullanacağız :

4141

2

q au = + huv bv +

u

² ve

v

² pozitif olduklarından,

a

ve

b

katsayılarının işaretlerine konulacak kısıtlamalardan işaretin rahatça ne olabileceğini söyleyebiliriz. Ancak bu haliyle

2huv

teriminin işaretiyle ilgili kesin bir şey söyleyemeyiz. Bu nedenle de

q

’nun kesin negatif belirli mi ya da pozitif belirli mi olduğunu söyleyemeyiz. Bu belirsizlikten kurtulmak için bazı matematik işlemler yapalım.

q

karesel biçimine

h

²

v

²

/a

terimini ekleyip çıkaralım.

(42)

4242

2 2 2 2

2

2 h v

2

h v

q au huv bv

a a

= + + + −

Eşitliğin sağındaki ilk üç terimi

a

ortak parantezine, son iki terimi de

v

² ortak parantezine alıp düzenleyelim.

2 2

2 2 2

2

2 2

2

2h h h

q a u uv v b v

a a a

h ab h

q a u v v

a a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ + + ⎥ ⎢ + − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ − ⎤

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ + ⎥ ⎦ + ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

a

ve değişkenleri birer kare ifade olduklarından,

q

’nun işareti tümüyle

a

,

b

ve

h

katsayılarının işaretine bağlıdır.

(43)

4343

a > 0

ve

ab-h

²

> 0

ise

q > 0

(pozitif belirli)

a < 0

ve

ab-h

²

> 0

ise

q < 0

(negatif belirli).

Bu genel koşulu determinant yoluyla ifade edelim. Bunun için

q

karesel biçimini aşağıdaki gibi yeniden yazalım.

[ ]

2 2 2 2

2

2 ( ) ( ) ( ) ( )

q au huv bv q au huv huv bv

q a u h uv a h u

q u v

h b v h uv b v

= + + → = + + +

= + + + ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ = ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦

D

diyelim.

(44)

4444

a > 0

ve

ab-h

²

> 0

ise

q > 0

(pozitif belirli)

a < 0

ve

ab-h

²

> 0

ise

q < 0

(negatif belirli).

Matris biçimini kullanarak, işaret belirliliği kuralını yeniden yazalım.

2

0 a h

D ab h

h b

= = − > q > 0

0 a >

ve ise

2

0 a h

D ab h

h b

= = − > q < 0

0 a <

ve ise

(45)

4545

a

terimini de

D

determinantının bir alt determinantı (birinci ana minör determinantı) olarak düşünebiliriz ve

|D

₁

|

şeklinde yazabiliriz. İşaret belirliliği koşullarını buna göre yazalım.

1

0 D >

^ve

D > 0

^ise

q > 0

0 q <

1

0 D <

^ve

D > 0

^ise

(46)

4646 Matris biçimiyle verdiğimiz

q

karesel biçiminin kısaltmalarını yerlerine yazarak yeniden düzenleyelim.

[ ]

2 xx xy

yx yy

f f dx

d z dx dy

f f dy

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Hessian Matris

Hessian matris, bir denklem sisteminin ikinci derece kısmi türevlerinden oluşan matristir. Hessian matrisi kullanarak,

d

²

z

’nin işaret belirliliği için bir şeyler söyleyebiliriz.

2

0

xx xy

xx yy xy

yx yy

f f

f f f

f f

⎡ ⎤

= − >

⎢ ⎥

⎣ ⎦

xx

0 f >

^ve

(47)

4747

2

0

xx xy

xx yy xy

yx yy

f f

H f f

f f

= = − f >

^ise

xx

0 f >

^ve

d z

²

> 0

2

0

xx xy

xx yy xy

yx yy

f f

H f f

f f

= = − f >

^ise

xx

0 f <

^ve

d z

²

< 0

Burada f_xx terimini, bir alt Hessian determinant olarak düşünebiliriz ve |

q

₁| biçiminde gösterebiliriz.

(48)

Yukarıda iki seçim değişkenli model için verdiğimiz karesel biçimlerden hareketle işaret belirliliği ve uç değerin bulunmasını şimdi de üç değişkenli bir durum için uygulayalım ve bir basamak daha yukarıdaki genel işaret belirliliği ve uçdeğer sınama koşullarını elde edelim. Daha sonra bunu

n

değişkenli duruma genelleştirelim.

u

₁

, u

₂ ve

u

₃ gibi üç değişkenli bir karesel biçimi şöyle yazabiliriz :

4848

2

1 2 3 11 1 12 1 2 13 1 3

2

21 2 1 22 2 23 2 3

2

31 3 1 32 3 2 33 3

( , , ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

q u u u d u d u u d u u d u u d u d u u d u u d u u d u

= = + +

+ + +

(49)

Bu üç değişkenli karesel biçimi şimdi de matris biçimde ifade edelim :

11 12 13 1

1 2 3 1 2 3 21 22 23 2

31 32 33 3

( , , )

d d d u

q u u u u u u d d d u u Du

d d d u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′

= = ⎡ ⎣ ⎤ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4949

u′

D u

D

matrisinden kendisi de olmak üzere üç tane ana minör determinant elde edilir.

11 12 13

11 12

1 11 2 3 21 22 23

21 22

31 32 33

, ,

d d d

d d

D d D D D d d d

d d

d d d

= = = =

(50)

5050 Üç seçim değişkenli bir modelde

q

’nun işaret belirliliği için koşulları

D

determinantlarını kullanarak yazalım:

1

0 D >

2

0 D >

3

0 D = D >

ise,

q

pozitifpozitif belirlidir.

1

0 D <

2

0 D >

3

0 D = D <

ise,

q

negatifnegatif belirlidir.

(51)

5151 ÖÖrnek 7:rnek 7: karesel biçiminin pozi- tif belirli mi, negatif belirli mi olduğunu inceleyelim.

Bu karesel biçimi matris görüntü olarak ifade etmeye çalışalım.

2 2 2

1

6

2

3

2

1 2

4

2 3

q u = + u + u − u u − u u

2

1 2 3 1 1 2 1 3

2

2 1 2 2 3

2

3 1 3 2 3

1

1 2 3 1 2 3 2

3

( , , ) 1( ) 1( ) 0( ) 1( ) 6( ) 2( )

0( ) 2( ) 3( )

1 1 0

( , , ) 1 6 2

0 2 3

q u u u u u u u u

u u u u u

u

q u u u u u u u

u

= = − +

− + −

+ − +

− ⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⎢ − − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(52)

5252

3

1 1 0

1 6 2 11 0

0 2 3

D D

−

= = − − = >

−

1

1 0

D = >

2

1 1

1 6 5 0

D −

= = >

−

olduğundan,

q

pozitifpozitif

belirlidir.

(53)

5353

n

değişkenli karesel biçimi, doğrudan

D

matrisinin ana minörlerini yazarak gösterelim ve işaret belirliliği için genel koşulu oluşturalım.

11 12

1 11 2

21 22

11 12 1

21 22 2

1 2

, ,...,

...

... ... ... ...

...

n n n

n n nn

d d

D d D

d d

d d d

D D

d d d

= =

(54)

5454 Pozitif belirlilik

Pozitif belirlilik için tüm ana minörlerin determinantları pozitif olmalıdır.

1

0 ,

2

0 ,...,

_n

0 D > D > D = D >

Negatif belirlilik

Negatif belirlilik için tüm ana minörlerin determinantlarının işaretleri aşağıdaki gibi olmalıdır.

1

0 ,

2

0 ,...,

_n

0 D < D > D = D >

n. ana minör , eğer n çift sayı ise pozitif, tek sayı ise pozitif negatif

negatif olmalıdır. .

D

n

= D

(55)

5555

u'Du

karesel biçiminin işaret belirliliği için karakteristik kök yöntemi denilen bir yöntemi de kullanabiliriz.

D

bir kare matris olmak üzere;

Dx rx =

Matris denklemini sağlayacak bir

u'Du

vektörü ve

r

^skaleri

bulmak mümkünse,

r

skalerine matrisinin karakteristik kökü

(eigenvalue),

x

vektörüne de karakteristik vektör (eigenvector) denilmektedir. Bu denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazarak düzenleyelim.