MODEL & TEMEL MATEMATİK KAVRAMLAR
PROF. DR. VEDAT CEYHAN
Matematik model
• Model, üzerinde çalışılan olayı açıklamak için seçilmiş değişkenleri kapsar. Örneğin, tüketici tercihleri, piyasa dengesi, toplam talep-toplam arz, enflasyon-işsizlik ilişkisi
• Matematik modelin elemanları Değişkenler
Sabit sayılar
Parametreler
Değişkenler
• Değişken, büyüklüğü değişebilen, farklı değerler alabilen model elemanlarına verilen addır. Örneğin, girdi ve çıktıların fiyatları, miktarları, harcamalar,
gelirler, masraflar, kârlar, yatırımlar, ihracat ve ithalat
• Sembollerle gösterilir.
• Endojen değişken: Değerinin ne olduğu model kapsamında araştırılan değişkendir.
• Egzojen değişken: Model kurulurken olayla ilgisi
olan, ancak çeşitli nedenlerle modele dahil edilmeyen değişkendir.
Sürekli ve süreksiz değişken
• İki rakam arasında her değeri alabilen değişkenlere, sürekli değişken (continuous variable) denir. Ağırlık, hacim, fiyat, uzunluk, sıcaklık vb.
• İki rakam arasında sadece belli değerleri alabilen değişkenler ise süreksiz değişkenlerdir (discrete variable). İşçi sayısı, bir günde doğan çocuk sayısı, haftanın günleri, zardaki rakamlar, futbol skorları vb.
Sabit sayı ve parametre
• Değişkenler sık sık sabit sayılarla birlikte yazılırlar (3P, 200C gibi).
• Sabit sayı bir değişkenin önünde yer aldığında ona, önünde yer aldığı değişkenin katsayısı adı verilir.
• aP veya dC gibi sembolle ifade edilen sabit sayılar, farklı değerler alabilirler. Bunlar bir bakıma değişken sabitlerdir! Bu özel konumlarından dolayı bunlara
parametrik sabitler veya sadece parametre de denir.
Özdeşlikler ve eşitlikler
• Özdeşlik, bir değişkenin bütün değerleri için sağlanan eşitliktir.
• Tanımlar özdeşlik formunda ( ) yazılmalıdırlar.
• Örnekler
• Kâr özdeşliği: Kar R–C.
Toplam masraf sabit masraf + değişken masraf
Fonksiyon
Fonksiyon, bir değişkenin diğerine bağlı olarak nasıl değiştiğini açıklayan eşitliktir.
Ekonomide fonksiyonlar genel olarak, teknolojideki değişiklikleri (üretim fonksiyonunun değişmesi) veya
politikadaki değişiklikleri (vergilerde yapılan değişiklikler gibi) göstermek amacıyla kullanılmaktadır.
C = 75 + 10 Q C = 110 + Q2
Toplam masraf
Üretim
İlişki & Fonksiyonel İlişki
Bir değişkenin diğeri ile ilişki içinde olması, aralarında fonksiyonel bir ilişki olduğu
anlamına gelmez.
İlişkinin fonksiyonel olması için, x’in her
değerine karşılık sadece 1 tane y değeri
olması gerekir.
Fonksiyonel olmayan ilişki
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
y
x
Bağımlı ve bağımsız değişken
y f (x )
Bağımlı değişken
Fonksiyon
Bağımsız değişken
Açık ve kapalı fonksiyon
• Açık fonksiyon: Hangi değişkenin hangisine bağlı olduğunun bilindiği fonksiyon
y = 3x
4• Kapalı fonksiyon: Hangi değişkenin hangisine bağlı olduğunun belirtilmediği fonksiyonlardır.
y - 3x
4= 0
Sayı sistemi
Sayı sistemi
Reel sayılar Kompleks sayılar (1+ 4; 1 2i) Rasyonel sayılar İrrasyonel sayılar
(3 ; -2 ; 1/3; 68.271271) (;e; 3 ; 3.010010001; log10 3)
Reel sayılar
• Ondalık olarak gösterilmeleri mümkün olan sayılardır.
• R harfi ile gösterilirler.
• Reel sayıların sınıflandırılması 1) Rasyonel sayılar
2) İrrasyonel sayıla
rRasyonel sayılar
• Ondalık kısımları tekrar eden veya iki sayının bölümü şeklinde gösterilebilen sayılardır.
3 = 3.00000... = 3.0 -2 = -2.00000 ...= -2.0
0.33333... 0.3
13
0 = 0.00000 ... = 0.0 2.090909... 2.09
2311
19 301
İrrasyonel sayılar
• Ondalık kısımlarının sonu gelmeyen ve tekrar etmeyen sayılar, irrasyonel sayılardır. İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde gösterilemezler
.
3.141592654 3 1.7320508 3 5 1.7099759 log10 3 0.4771212
Kompleks (karmaşık) sayılar
• Sanal sayılarla birleşen reel sayılardan
oluşan ifadelerdir.
Koordinat sistemi
• Reel sayılar, koordinat sistemi üzerinde gösterilebilirler.
• Yatay eksen: x-ekseni (apsis)
• Dikey eksen: y-ekseni (ordinat)
• Her iki eksen orijinde (0;0) birbirini dik
olarak keserler
Eşitsizlikler
• Reel sayıları semboller vasıtasıyla (< veya >),
büyüklüklerine göre karşılaştırmaya reel sayıların eşitsizliği denir.
• Eşitsizlikler geçişkenlik (transitivity) özelliği taşırlar.
a>b ve b>c ise a>c
• Bir eşitsizliğin iki tarafına da aynı sayı eklenir veya
çıkarılırsa, eşitsizliğin değeri değişmez
Açık ve kapalı aralık
• Açık aralık: Bir değişken, a ve b gibi iki sayı arasında bütün değerleri alıyorsa (a ve b değerleri dahil),
• Kapalı aralık: Eğer değişken a’dan büyük, b’den küçük bütün değerleri alıyorsa
a x b
Mutlak değer
• Sayı ekseninde x reel sayısına karşılık gelen noktanın orijine olan uzaklığına, x’in mutlak değeri denir.
• şeklinde gösterilir.
• x’in uzunluğu olduğu için, tüm reel sayıların
mutlak değerleri pozitiftir.
Mutlak değerin özellikleri
1. npozitif sayısı için 2n x2n x tir.
2.
0 0
x x
x
x x
x
3. Mutlak değerin bazı işlemleri aşağıdaki gibidir:
a) x x
b) x y y x . ( x y 0dır. x y 0 x y dir. ) c) xy x y
d) (y 0) y
x y
x
e) x y x y
Mutlak değerin özellikleri (2)
4. a pozitif reel sayı olmak üzere:
x a a x a
(Gerçekten, mutlak değerin özelliğine göre, x 0 ise x a ; x 0 ise x a veya a
x olur. Bu iki sonuç birleştirildiğinde, a x a elde edilir ) x a x a veya x a
x a x a veya x a. 5. Üçgen eşitsizliği: x y x y x y
Eşitsizliklerin çözümü (1)
• Değişkenlerin eşitsizliğini sağlayan değerlerine, eşitsizliğin çözümü denir.
• Örnek 1
• 3x + 3 > x + 4
• İlk yapılması gereken, bilinmeyenleri bir araya toplamaktır :
• 3x – x > 4 – 3 Buradan eşitliklerde olduğu gibi sonuca gidilir: 2x > 1 ; x >1/2
Eşitsizliklerin çözümü (2)
Örnek 2 - x/2 > 2x + 1 - x > 2(2x + 1)
- x – 4x > 2 ; x < - 2/5 Örnek 3
1 5
6
x (x1 0) 65(x-1)
115x ; x11/5
Eşitsizliklerin çözümü (3)
Örnek 4 9 5
x
Önce mutlak değer işaretini kaldıran bağıntıyı uygulayalım:
9 5 9
x Buradan sonuca gidelim:
14 4
5 9 5
9
x x
Örnek 5 2 1
5
x (x 0) 2 1
5
1
x Her iki taraftan da 5’i çıkaralım: 2 1 5 5
1
x
2 4 6
x Eşitliğin iki tarafını da -2’ye bölelim: 1 2 3
x Tersini alalım:
2 1 3
1 x
Doğru çizimleri
• 1. yol: Eşitlikte x yerine herhangi bir değer (tercihen 0) koyarak y için bir değer, y yerine
herhangi bir değer (tercihen 0) koyarak x için bir değer bulunur. Daha sonra elde edilen iki nokta birleştirilerek eşitliğin grafiği çizilir.
• 2. yol: Eşitliğin, değişkenlerden biri bağımlı,
diğeri bağımsız olacak şekilde düzenlenir ve
sabit terim ile eğim kullanılarak grafik çizilir.
E
D
F B
C
A
DOĞRU GRAFİKLERİ
İki doğrunun kesiştiği
noktanın koordinatlarını bulmak
• İki doğrunun birbirini kestikleri noktanın koordinatlarını bulmak için, fonksiyonlar birbirine eşitlenir ve
değişkenlerin değerleri hesaplanır:
1. doğru denklemi: y = 10 – 2x 2. doğru denklemi: y = - 2 + x
10 – 2 x = - 2 + x - 2 x – x = - 2 - 10
- 3 x = - 12 x = 4
Bulunan x değeri fonksiyonlardan herhangi birinde yerine konarak diğer değişkenin değeri bulunur; y = 2.
Fonksiyon çeşitleri
• Polinomiyal fonksiyonlar
• Üstel fonksiyonlar
• Logaritmik fonksiyonlar
• Çok değişkenli fonksiyonlar
Polinomiyal fonksiyonlar
• Polinom= “çok terimli”
• Tek bağımsız değişkenli (örnekte x) polinomial fonksiyon aşağıdaki gibi gösterilir.
• Polinomiyal fonksiyonlar
0
) 0
(x y a x
f (sabit polinom) x
a a
y 0 1 (doğru biçiminde polinom)
2 2 1
0 a x a x
a
y (ikinci dereceden polinom veya kuadratik polinom)
3 3 2
2 1
0 a x a x a x
a
y (üçüncü dereceden polinom veya kübik polinom)
y
7
x
(a) y = 7
y
1 2
5 x (b) y = 5 + 0.5 x
Şekil 2.7 Polinom Şeklindeki Bazı Fonksiyonların Eğrileri
Üstel fonksiyonlar
• Üstel fonksiyonların genel formu
• a ve c sabit sayılar
• x ve y değişkenler
Logaritmik fonksiyonlar
• Logaritma, 1500’lü yılların sonlarında John
Napier (1550-1617) tarafından dört işlemi ikiye indirme (toplama ve çıkarma) uğraşları
sonucunda bulunmuştur. Logaritmik fonksiyon:
y=log
bx
• Logaritma kuralları hatırlanmalı !!!!!!!
y c2>c1 c1 y
y (1) 32x b>1
y 3x
1 y=log b x
x x (a) (b)
Şekil 2.8 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Eğrileri
