PROF. DR. VEDAT CEYHAN
KANONİK
KORELASYON
ANALİZİ
KANONİK KORELASYON NEDİR?
•Kanonik Korelasyon Analizi çok
değişkenli bir istatistiksel yöntem olup, iki farklı değişkenler kümesi arasındaki en büyük ilişkiyi araştırmaya çalışır.
•Bu analiz çok sayıdaki değişkeni iki alt kümeye ayırıp az sayıda doğrusal
bileşenlere indirgeyerek, değişkenler arasındaki ilişkinin yorumlanmasında birçok kolaylık sağlar.
Kanonik Korelasyon analizi çoklu regresyon analizinin bir uzantısıdır. Çoklu regresyon
analizinde X değişken grubu q tane ve Y değişken grubu p=1 tane değişken içermekte iken, kanonik korelasyon analizinde ise X değişken grubu q tane
ve Y değişken grubu p adet (p>1) değişken içermektedir. Bu analizde X değişken grubu
içerisindeki değişkenlerin doğrusal
kombinasyonları ile Y değişken grubu içerisindeki değişkenlerin doğrusal kombinasyonları
arasındaki korelasyon katsayıları araştırılır.
Araştırmada incelenen özellikler üç ayrı küme(X,Y ve Z değişken kümesi)
oluşturuyor ise, kanonik korelasyon analizi yerine kısmi kanonik korelasyon
analizi kullanılmaktadır. Kısmi kanonik korelasyon analizinde, temel mantık
değişken kümelerinden birinin etkisi sabitlendiğinde, diğer iki değişken
kümesi arasındaki maksimum
korelasyonlu ve birim varyanslı bileşenler elde etmektir.
Anahtar Terimler
Kanonik Korelasyon ve Kanonik Değişken:
X değişken kümesinde p ve y değişken
kümesinde q adet (p < q ) değişken var ise, bu iki değişken kümesindeki değişkenlerin
doğrusal kombinasyonları alınarak, bunlar arasındaki korelasyon hesaplanabilir. Bu şekilde kombinasyonlar arasında karşılıklı
olarak hesaplanan katsayılarına kanonik korelasyon, en büyük korelasyona ilk kanonik
korelasyon, değişik kümelerinden oluşan doğrusal kombinasyonlara ise kanonik
değişken adı verilir.
Kanonik Fonksiyon: Doğrusal iki kanonik değişken arasındaki ilişkidir. Her bir kanonik fonksiyon bağımlı ve bağımsız
değişkenler setini oluşturan iki kanonik değişkene sahiptir. İlişkinin gücü
kanonik korelasyon tarafından belirlenir.
Kanonik Skor:
Herhangi bir durumda bir kanonik değişken üzerindeki değerlerdir, bu değerler
değişkenin kanonik katsayılarına dayanmaktadır. Analizlerde kanonik katsayılar durumun standart edilmiş skorları ile çarpılır ve her bir durumun
kanonik skor çıktısı ile toplanır.
Özdeğer(eigenvalues) ve Kanonik Kök:
Kanonik korelasyonların karelerinin alınması bağımlı ve bağımsız
değişkenlerin ilgili optimal ağırlıklı değişkenleri arasındaki paylaşılmış varyans miktarının tahmin edilmesini sağlar. Aynı zamanda özdeğer olarak
da bilinir.
Kanonik Ağırlık:
Kanonik ağırlık, kanonik fonksiyon
katsayısı veya kanonik katsayı olarakta adlandırılır: Standart kanonik ağırlıklar
bireysel değişkenlerin herhangi bir
kanonik korelasyona katılımının oransal önemini değerlendirmede kullanılır(
Kanonik ağırlığın bilinen verilişi standart edilmiş biçimdedir, buna göre ‘kanonik ağırlıklar’ karşılaştırıldığında genellikle
‘standart edilmiş terimi’ varsayılır)
Gereksizlik (redundancy) Katsayısı:
d, Rd olarakta adlandırılır. Orijinal bir değişken setinin diğer setten bir kanonik değişken(genellikle ilk) kullanılarak tahmin
edilmesinde varyansın % sini ölçer.
Gereksizlik katsayısını anlamı yüksek
tahmin kabiliyetidir. Özellikle araştırmacılar bağımsız kanonik değişkeninin bağımlı orijinal değişken değerlerini ne kadar iyi
tahmin ettiği ile ilgilenirler.
1.3. Kanonik Korelasyon Analizinin Amaçları
Kanonik Korelasyon analizinin amaçları aşağıdaki gibi sıralanabilir:
• Aynı bireyden elde edilen iki değişken
kümesinin istatiksel olarak biribirinde bağımsız olup olmadığının test edilmesi,
• Kümeler arası korelasyona en fazla katkıda bulunan her iki değişken kümesindeki
değişkenlerin belirlenmesi,
• Bağımsız ve bağımlı değişken kümelerine ait değişkenler arasındaki korelasyou maksimum yapan doğrusal kombinasyonların
belirlenmesi,
Kanonik korelasyon analizi ayrıca aşağıda belirtilen amaçlar içinde kullanılabilir:
• Bir değişken kümesinin diğer bir değişken kümesi tarafından ne ölçüde açıklanabildiğinin belirlenmesi,
• Bir kanonik değişkenin dahil olduğu değişkenler kümesinin açıklayıcı gücüne ne ölçüde katkı
sağlayabildiğinin belirlenmesi,
• Bir Kanonik değişenin dahil olmadığı değişkenler kümesinin açıklayıcı gücüne ne ölçüde katkı
sağlayabildiğinin belirlenmesi,
• Farklı kanonik fonksiyonların ilişkileri açıklamak ya da tahmin etmedeki nispi(göreli) gücünün ne kadar oluğunun belirlenmesi.
1.4 Kanonik Korelasyon Analizinin Uygulanabilmesi için Gerekli
Varsayımlar
• Değişken kümeleri arasındaki ilişki doğrusal olmalıdır.
• Her iki değişken kümesinin çok değişkenli normal dağılış göstermesi gerekir.
• İki grup değişken kümesinde yer alan değişkenlerin eşit sayıda olma zorunluluğu yoktur.
• Stevens(1986) değişkenler arasındaki kanonik
korelasyon katsayısının 0,7 ve daha büyük tahmin edilmesi durumunda örnek büyüklüğünün 50,
katsayısının 0,50 olması durumunda 100, daha düşük olması durumunda ise örnek büyüklüğünün 200
olmasının uygun olacağını bildirmiştir.
• Değişkenler arasındaki korelasyonu önemli düzeyde etkilemesi nedeni ile veri kümesinde aykırı değerlerin analiz öncesinde saptanarak gerekli düzeltme ya da elimine edilmesi gerekmektedir.
• Her değişken kümesindeki değişkenler arasında çoklu bağlantı veya çoklu birlikte değişim(multicollinearty) bulunmamalıdır.
1.7 Kanonik Korelasyonların Elde Edilmesi
Kanonik korelasyon analizinin
uygulanmasında verilerin çok değişkenli normal dağılım göstermesi, ele alınan
özellikler arasında çoklu
bağlantı(multicolinearity) olmaması ve güvenilirlik bakımından örnek genişiliğinin
mümkün olduğunca büyük olması
(değişken sayısının 5 katı kadar) gerekir.
Değişkenlerin doğrusal
kombinasyonlarından oluşan yeni değişkenlere kanonik değişkenler adı
verilir.
Buna göre ilk setteki değişkenler X1, X2,……….., XP ve
ikinci setteki değişkenler
Y1, Y2,……….., Yq olarak belirtilirse
bunların doğrusal kombinasyonları;
Z= U1 X1+ U2 X2+………..+ UP XP (1) W= V1 Y1+ V2 Y2+………..+ VP YP (2) şeklindedir.
Katsayıların matrisleri ise;
U=[ U1, U2,……….., UP]
V = [V1, V2,……….., VP]
Katsayıların matrisleri ise;
U=[ U1, U2,……….., UP]
V = [V1, V2,……….., VP]
Olarak belirtildiğinde, iki doğrusal
kombinasyonu arasında en büyük U ve V nin bir fonksiyonu olarak rzv ifade edilir.
Analiz sonucu elde edilen
katsayıların hangilerinin önemli olup olmadığı test edilir.
1.6. Önem Testleri:
Kanonik korelasyon analizinin bir amacıda boyut indirgemedir. Bu nedenle bulunan kanonik değişken çiftlerinden kaç tanesinin
önemli olduğu, yani değişken grupları arasındaki ilişkinin (kovaryansın) kaç tanesi
ile büyük ölçüde açıklanabileceğine karar vermek gerekir. Bu amaçla geliştirilmiş birçok
yöntem bulunmaktadır. Bunlardan iki tanesi ele alınacaktır.
a)Wilks Lamda(Barlet Testi): Kanonik Korelasyon analizi sonucu elde edilen kanonik korelasyon katsayılarının kontrolü için en yaygın olarak kullanılan test yöntemi
Barlett tarafından 1941 yılında geliştirilen Wilks Lamda yada Barlett test istatistiğidir.
H0: p1=p2=p3=… =pp= 0 H1 : En az bir p2 ≠ 0
H0 hipotezinin reddedilmesi durumunda değeri en büyük olan katsayı hipotezden çıkartılacak ve işlemler H0 hipotezi kabul
edilinceye kadar tekrarlanacaktır.
Test için; r2 kitle değeri pi2’ nin kestirimini göstermek üzere, Wilks tarafından önerilmiş olan Λ katsayı
kullanılmaktadır.
Bu katsayı kullanılarak elde edilen χh2 test istatistik değeri,
p q serbestlik dereceli khi-kare
tablo değeri ile
karşılaştırılmaktadır. İlk denemede H0 hipotezinin reddedilmesi durumunda, j adım sayısını göstermek üzere yukarıdaki formüllere benzer biçimde olan
aşağıdaki formüller
kullanılmaktadır.
Özellikle, kümelerdeki değişken
sayılarının çok olması durumunda test için yukarıda verilen sürecin izlenmesi
işlem hacminin çok olması nedeniyle zaman kaybettiricidir. Bu nedenle elde
edilen kanonik korelasyon
katsayılarının sıralanarak aralarındaki en büyük aralığın (maximum gap)
belirlenmesi ve test işlemine bu aralığın üst değeri ile başlaması zamandan tasarruf açısından yararlı
olacaktır.
Örnek: p= 4, q= 6 olmak üzere 20 gözlemli bir örnekten kanonik korelasyon katsayılarının kareleri (ri2) büyükten küçüğe doğru 0.9, 0.8, 0.4, 0.3 biçiminde bulunmuş olsun. Yukarıda anlatılanlar ışığında bulunan katsayıların önem kontrolleri:
1. Adım:
H0: p1=p2=p3=p4= 0 H1 : En az bir p2 ≠ 0
Λ = ∏(1-ri2)= (1-0,9)(1-0,8)(1-0,4)(1- 0,3)=0,0084
Log(0,0084)=-4,779
χh2 = - [ (n-1)-(p+q+1)/2] log (Λ)= - (19-5,5)(-4,779)=64,52
χ2(pq;α) = χ2 (24;0,05)= 36,42 ; χh2=64,52>36,42
olduğundan, H0 hipotezi reddedilir.
Yani en az 1 tane pi değeri sıfırdan farklıdır, r2 =0,90 a karşılık gelen
r1=0,9487’dir.
2. Adım:
H0: p2=p3=p4= 0
H1 : En az bir p2 ≠ 0 i=2,…,4 ve j=2 iken Λ* = (1-ri2)= (1-0,8)(1-0,4)(1-0,3)=0,084;
log(0,084)=-2,48
χh2 = - [ (n-1)-(p+q+1)/2] log (Λ)= -(13,5)(- 2,48)=33,48; χ2(p-1)(q-1);α)=
χ215;0,05=25
33,48>25 olduğundan, H0 hipotezi reddedilir. En az bir tane pi değerinin sıfırdan farklı olduğuna ve test dışına
çıkarılmasına karar verilir.
3. Adım;
H0: p3=p4= 0
H1 : p2 yada p4 ≠ 0 ; j=3 iken Λ* = (1-ri2)= (1-0,4)(1-0,3)=0,42;
log(0,42)= -0,8675
χh2= -(1,35)(5-0,8675)=11,71; χ2(p-2)(q- 2);α)= χ28;0,05=15,51
χh2 =11,71<15,51 olduğundan H0 hipotezi kabul edilir.
Sonuç olarak, en büyük iki kanonik korelasyon katsayısının önemli, geriye kalan iki tanesinin önemsiz olduğu ve bu iki
değişken kümesi arasındaki mevcut
ilişkinin ilk iki kanonik korelasyon katsayısı ve kanonik değişken vektörü ile
açıklanabileceği söylenebilir.
Hesaplanan Λ katsayısının sıfıra yakın olması H0 hipotezinin reddedileceğini, 0,5
civarında yada daha büyük olması ise H0 hipotezinin kabul edileceği işaret
etmektedir.
b) Roy’un En Büyük Özdeğer Yaklaşımı:
Heck tarafından geliştirilmiş grafiklerden (Heck’s Charts) yararlanılan bu yöntemde
ri2 yi test emek için ilk olarak;
S= p+ 1-i
Eşitliklerinden s,m ve parametreleri hesaplanmakta ve parametrelere karşılık gelen α (s, m, ) tablo değerleri kritik değer
olarak kullanılmaktadır. Ele alınan ri2 > α (s, m, ) ise Ho hipotezi reddedilerek aynı
işlem i+ 1’inci kanonik korelasyon için sürüdürülmekte ve işlemler Ho hipotezi
kabul edilince sona ermektedir. Heck grafiklerinin her kaynakta bulunmaması ve
grafiklerden elde edilen kritik değerlerin kesiN değil yaklaşık değerler olması
nedeniyle bu yöntem yaygın olarak kullanılmamaktadır
UYGULAMA
ÖRNEK: Uygulamada kullanılan veriler, İstanbul
Üniversitesi İstanbul Tıp Fakültesi Hastanesine şişmanlık şikayeti ile başvuran hastalar arasında tesadüfi olarak elde
edilmiştir. Diğer bir anlatımla verilerin anakütlesi İstanbul Tıp Fakültesine şişmanlık şikayeti ile başvuran hastalar, kullanılan örnekleme tekniği basit tesadüfi bir örneklemedir.
Hastalar üzerinde toplam altı değişken ölçülmektedir:
X1: BOY(CM)
X2: BEDEN AĞIRLIĞI(KG) X3: BEDEN KÜTLE İNDEKSİ(KG/m2)
Y1: UYGLUK KEMİĞİNİN ÇEVRESİNİ UZUNLUĞU(CM) Y2: BELDEN YUKARI ÖLÇÜLEN KASALARIN
UZUNLUĞU(CM) Y3: DERİ ALANI (CM2)
X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3 175,25 75,57 24,61 109,47 73,91 1,81 180,45 144,78 44,46 126,49 71,63 2,3
176,6 118,74 37,92 131,83 93,98 2,86 178,5 127,64 39,59 137,92 78,99 2,77 165,75 81,91 29,81 107,19 78,49 1,78 190,5 137,79 36,03 136,91 60,2 2,38 185,25 172,09 46,56 148,59 70,1 2,92 183,3 161,29 46,78 132,33 77,72 2,59 193,5 135,26 36,11 126,75 58,93 2,06 182,56 122,56 36,77 135,89 62,99 2,37 174,55 161,29 42,63 143,76 76,2 2,89 183,6 172,72 48,02 144,02 71,88 2,83 164,9 74,29 30,82 118,11 58,42 0,74 162,35 113,03 32,81 112,27 72,64 1,83 159,51 81,28 31,95 108,46 54,1 1,36 195,56 151,76 37,47 138,18 76,45 2,74 165,35 143,51 41,05 140,46 65,28 2,58 199,4 161,29 40,22 148,84 62,48 2,81 158,5 93,98 23,79 122,43 68,83 2,11 165,95 133,99 37,02 129,54 69,85 2,34
• 1. Adım
2. Adım
3. Adım
4. Adım
5. Adım
6. OUTPUT
SONUÇLARIN YORUMLANMSI Tablo1: Önem Testi
Test Adı Değer F Önem Seviyesi
Pillais 0,97952 0,016
Hotellings 5,50694 0
Wilks 0,13615 0
Roys 0,84259
• Tabloda çalışma için önem Pillais,
Hotellings, Wilk ve Roys testleri ile önem derecesi ölçülmüştür. Buna göre tüm testler kanonik fonksiyonun 0,01 önem
seviyesinde anlamlı olduğunu göstermektedir.
Tablo 2: Kanonik Korelasyon Katsayıları
Özdeğer Kanonik Korelasyon Kanonik R2
1 5,353 0,918 0,843
2 0,138 0,349 0,121
3 0,016 0,124 0,15
SONUÇ
• İncelenen değişken kümeleri arasındaki uyumu ifade eden özdeğerler birinci boyut için 5,353 olarak
hesaplanmıştır. Bu değerlerin karakökü olan kanonik korelasyon katsayıları birinci boyutta 0,918 dir. Bu değerler 1. boyutta ele alınan değişken kümeleri arasında pozitif yönde kuvvetli bir ilişki olduğunu
göstermektedir. Diğer boyutlardaki ilişki istatistiksel olarak anlamlı değildir.
• Bu durumda boy(x1) ile örneğin uyluk kemiği çevresinin uzunluğu(y1) arasında anlamlı bir ilişki varken diğer
değişkenler arasındaki ilişki analizde anlamlı çıkmamıştır.
TEŞEKKÜRLER
