Zaman serisi verilerinin düzeltilmesi PROF. DR. VEDAT CEYHAN

PROF. DR. VEDAT CEYHAN

Zaman serisi verilerinin

düzeltilmesi

 Şu ana kadar konuşulan metotlar statik tahmin metotlarıydı.

Trend analizi

Ayrıştırma metotları

 Düzeltme metotları dinamik yöntemlerdir. Tahminler komşu değerlere bağlı olarak sürekli

düzenlenmektedir

Statik ve dinamik tahmin

 İlk tanıtan Holt, 1957’de mevsimsel olmayan zaman

serilerinin trende sahip olmaması durumunda kullanılacak düzleştirme yöntemini önerdi.

 Holt 1958’de ise trendi katarak yeni bir düzleştirme yöntemi geliştirdi.

 Brown (1959), Holt, Modigliani, Muth ve Simon (1960) ve modele mevsimselliğin katılımını sağlayan Winters (1960) düzelştirme yöntemlerinde gelişme sağladılar.

 Mevsimselliği de içine alan genelleştirilmiş ve Holt-Winters yöntemi olarak da adlandırılan yöntem de Winters (1965) tarafından önerildi.

Düzleştirme metotlarının gelişimi

 Hareketli ortalama

 Mevsimsel olmayan düzleştirme metotları 1) Tekli üssel düzeltme (Brown)

2) Çiftli üssel düzeltme (Holt)

 Mevsimsel düzleştirme metotları 1) Winters metodu

Düzleştirme metotları

 Bu yöntem zaman serisi verileri trend ve mevsimlik değişim unsurlarına sahip olmadığında kısa dönemlik tahminlerde kullanılmaktadır.

 Zaman serisindeki periyot sayısı, m (k) sayısını vermektedir.

 Genel formu

Hareketli ortalama (1)



 1 ( ... )

1

1 t m

t t

t X X X

Y M

İhracat (milyon TL)

Hareketli ortalama (k=2)

Düzeltilmiş ihracat (milyon TL)

Hata

181296 205993 216552 127140 100543 124789 140701 114638 99543 95849 101398 132355 76035 37040 45907 80394 27515 30043

32631

* 193645 211273 171846 113842 112666 132745 127670 107091 97696 98624 116877 104195 56538 41474 63151 53955 28779 31337

*

* 193645

211273 171846 113842 112666 132745 127670 107091 97696 98624 116877 104195 56538

41474 63151 53955 28779

*

* 22907,5 -84132,5 -71303,0 10947,5 28035,0 -18107,0 -28126,5 -11241,5

3702,0 33731,5 -40841,5 -67155,0 -10630,5 38920,5 -35635,5

-23911,5 3852,0

Hareketli ortalama (2)

Hareketli ortalama (3)

Actual Smoothed Actual Smoothed

20 10

0 220000

120000

20000

Ihracat

Time

MSD:

MAD:

MAPE:

Length:

Mov ing Av erage

1,51E+09 31364 46 2

Moving Average

 Veriler üssel olarak ağırlıklandırılmış ortalamalar hesaplanarak düzeltilmektedir.

 Uzun dönem eğilimi (trend) ve mevsimlik değişimi içermeyen zaman serisi verilerinde daha iyi sonuç vermektedir.

 Kullanılan eşitlikler

Tekli üssel düzeltme

(single exponential smoothing)

)

1

( 





t

Y A

A  

t At

Y  



Düzeltme faktörü 1

 0 ile 1 arasında değerler alır. Küçük düzeltme faktörü, küçük değişime sahip tahmin demektir.

 Seçimi

(i) belirlenmiş bir düzeltme faktörünü kullanma

İlk 6 gözlemin ortalaması başlangıç düzeltme değeri olarak kabul edilir.

(ii) optimum düzeltme faktörünü kullanma

Öncelikle başlangıç düzeltme değerinin bulunması gerekir.

Düzeltme faktörü (α)

Hafta Hasta sayısı 1

2 3 4

400 380 411

?

Örnek uygulama (1)

 Adım 1: Başlangıç değerinin bulunması [(400+380)/2=390]

 Adım 2: Üçüncü haftanın ortalaması bulunur

 Adım 3: Tahmin

1 . 392 )

390 ( 90 . 0 ) 411 ( 10 .

3  0  

A

4 . 394 )

1 . 392 (

90 . 0 )

415 (

10 .

4

 0  

A

 Türkiye 1985-2003 pamuk ihracatı

Örnek uygulama (2)

Actual Smoothed Actual Smoothed

20 10

0 220000

120000

20000

Ihracat

Time

MSD:

MAD:

MAPE:

Alpha:

Smoothing Constant

2,11E+09 40110 66 0,200

Single Exponential Smoothing

Single Exponential Smoothing Data Ihracat Length 19,0000 NMissing 0

Smoothing Constant Alpha: 0,2 Accuracy Measures MAPE: 63 MAD: 39033 MSD: 1,87E+09

Row Time Ihracat SMOO1 FITS1 RESI1 1 1 181296 163768 159386 21910,5 2 2 205993 172213 163768 42225,4 3 3 216552 181081 172213 44339,3 4 4 127140 170292 181081 -53940,5 5 5 100543 156343 170292 -69749,4 6 6 124789 150032 156343 -31553,5 7 7 140701 148166 150032 -9330,8 8 8 114638 141460 148166 -33527,7 9 9 99543 133077 141460 -41917,1 10 10 95849 125631 133077 -37227,7 11 11 101398 120785 125631 -24233,2 12 12 132355 123099 120785 11570,5 13 13 76035 113686 123099 -47063,6 14 14 37040 98357 113686 -76645,9 15 15 45907 87867 98357 -52449,7 16 16 80394 86372 87867 -7472,8 17 17 27515 74601 86372 -58857,2 18 18 30043 65689 74601 -44557,8 19 19 32631 59078 65689 -33058,2

 Zaman serisi verileri trende sahip olduğunda daha iyi sonuçlar vermektedir.

 Bu düzeltmede hem trend ortaya konulmakta hem de üssel düzeltme yapılmaktadır.

 Trendle düzenlenmiş üssel düzeltme (trend adjusted exponential smoothing) olarak da anılmaktadır.

Çiftli üstel düzeltme

(double exponential smoothing)

Çiftli üstel düzeltme (2)

Ortalama: A_t Y_t  (1)(A_t1 T_t1) Mevcut trend: CT_t  A_t  A_t1

Ortalama trend: T_t  CT_t  (1 )T_t1 Tahmin: Y^ t^1  A_t T_t

Üssel olarak düzeltilmiş ortalama

t dönemindeki mevcut trend

t döneminde üssel olarak

düzeltilmiş trend tahmin

Düzeltme faktörü

Trend için düzeltme faktörü

Örnek uygulama (1)

Medikal Analiz AŞ isimli bir tahlil laboratuarı kendisine başvuran hastaların kan tahlillerini yapmaktadır. Bir haftada kan tahlili yaptırmak isteyen hasta sayısını tahmin etmek istediğimizi düşünelim. Bundan önceki 4 haftada ortalama olarak 28 hasta kan tahlili için laboratuara başvurmuştur. Bu dönemdeki trend her hafta ilave 3 hasta şeklindedir. Bu hafta geçmişteki ortalamalardan düşük olarak 27 kan tahlili isteği gelmiştir.     0.2olacak şekilde gelecek hafta için tahminde bulunalım.

Örnek uygulama (2)

İkinci hafta için tahminimiz aşağıdaki gibidir:

32 )

3 28 ( 8 . 0 ) 27 ( 2 .

1  0   

A T₁  0.2(2.2) 0.8(3)  2.8 2

. 2 28 2

.

1 30  

CT Y^{ 2}  30.2  2.8  33

Örnek uygulama (3)

Eğer 2. haftadaki kan tahlili isteği gerçekte 44 ise, üçüncü hafta için tahminimiz aşağıdaki gibi olacaktır:

2 . 35 ) 8 . 2 2 . 30 ( 8 . 0 ) 44 ( 2 .

1 0   

A T₁ 0.2(5.0)0.8(2.8) 3.2 0

. 5 2 . 30 2 .

1 35  

CT Y^2 35.23.238.4

Örnek uygulama (4)

Actual Predicted Actual Predicted

20 10

0 220000

120000

20000

Ihracat

Time

MSD:

MAD:

MAPE:

Gamma (trend):

Alpha (lev el):

Smoothing Constants

8,05E+08 21527 26 0,200 0,200

Double Exponential Smoothing for Ihracat

Double Exponential Smoothing Data Ihracat

Length 19,0000 NMissing 0

Smoothing Constants Alpha (level): 0,2 Gamma (trend): 0,2 Accuracy Measures MAPE: 26 MAD: 21527 MSD: 8,05E+08

SMOO1 LEVE1 TREN1 FITS1 RESI1 184024 184024 -9136,8 184707 -3410,5 181109 181109 -7892,6 174888 31105,4 181883 181883 -6159,1 173216 43335,9 166007 166007 -8102,5 175724 -48584,2 146432 146432 -10397,0 157905 -57361,8 133786 133786 -10846,8 136036 -11246,5 126492 126492 -10136,4 122939 17761,6 116012 116012 -10205,1 116355 -1717,3 104554 104554 -10455,6 105807 -6263,8 94449 94449 -10385,6 94098 1750,6 87530 87530 -9692,2 84063 17335,0 88741 88741 -7511,5 77838 54517,2 80191 80191 -7719,3 81230 -5194,7 65385 65385 -9136,5 72471 -35431,5 54180 54180 -9550,2 56249 -10341,6 51783 51783 -8119,7 44630 35763,9 40434 40434 -8765,6 43663 -16148,2 31343 31343 -8830,6 31668 -1625,0 24536 24536 -8425,8 22512 10118,6

 Serinin içinde uzun dönem eğilimi (trend) ve mevsimlik değişmelerin etkisi olduğunda

kullanılmaktadır.

 Bu yöntem dinamik olarak trend, mevsimlik

değişimlerin etkisi ve devresel hareketleri tahmin etmektedir.

 Bu yöntemde üç farklı düzeltme faktörü kullanılmaktadır.

Winters Metodu

Düzeltmede kullanılan eşitlikler (Toplamsal model)





) 1

( )

(  _   _  _

 _{t t p t t}

t Y S L T

L  





 _{t t t}

t L L T

T  

p t t

t

t Y L S

S   (  )  (1) _

p t t

t Lt T S

Y _{  }

  ₁  ₁ 

t dönemindeki devresel hareketler

Devresel hareketlere ait düzeltme faktörü

t dönemindeki trend

Trende ait düzeltme faktörü

t dönemindeki mevsimlik değişim

Mevsimlik değişime ait düzeltme faktörü

t dönemindeki zaman serisi değeri

Tahmin

Dönem sayısı

Örnek uygulama (Çarpımsal model)

Actual Smoothed Actual Smoothed

15 10

5 0

15,5 14,5 13,5 12,5 11,5 10,5 9,5 8,5 7,5

C2

Time

MSD:

MAD:

MAPE:

Delta (season):

Gamma (trend):

Alpha (lev el):

Smoothing Constants

0,73284 0,74476 6,71275 0,200 0,200 0,200

Winters' Multiplicative Model for C2

Winters' multiplicative model

Data C2

Length 16,0000 NMissing 0

Smoothing Constants Alpha (level): 0,2 Gamma (trend): 0,2 Delta (seasonal): 0,2 Accuracy Measures MAPE: 6,71275 MAD: 0,74476 MSD: 0,73284

Row Time C2 SMOO1 FITS1 RESI1 1 1 8,2 7,2883 7,7521 0,44794 2 2 10,5 10,0758 10,6947 -0,19475 3 3 12,8 12,1330 12,8289 -0,02886 4 4 9,3 9,4813 9,9950 -0,69497 5 5 9,1 9,1944 9,6477 -0,54768 6 6 11,4 12,1091 12,6568 -1,25675 7 7 13,2 14,1614 14,7292 -1,52920 8 8 9,8 10,5480 10,9185 -1,11848 9 9 9,4 9,9981 10,3026 -0,90258 10 10 12,5 12,7594 13,0977 -0,59771 11 11 13,7 14,8039 15,1626 -1,46260 12 12 10,2 10,8772 11,0968 -0,89682 13 13 9,9 10,2318 10,4040 -0,50398 14 14 12,8 13,0786 13,2715 -0,47151 15 15 14,2 14,9042 15,1011 -0,90115 16 16 10,7 10,9432 11,0612 -0,36118

Örnek uygulama (Toplamsal model)

Actual Smoothed Actual Smoothed

15 10

5 0

15 14 13 12 11 10 9 8

C2

Time

MSD:

MAD:

MAPE:

Delta (season):

Gamma (trend):

Alpha (lev el):

Smoothing Constants

0,69773 0,75090 6,99047 0,200 0,200 0,200

Winters' Additive Model for C2

Winters' additive model

Data C2

Length 16,0000 NMissing 0

Smoothing Constants Alpha (level): 0,2 Gamma (trend): 0,2 Delta (seasonal): 0,2 Accuracy Measures MAPE: 6,99047 MAD: 0,75090 MSD: 0,69773

Row Time C2 SMOO1 FITS1 RESI1 1 1 8,2 7,0813 7,6413 0,55868 2 2 10,5 10,2447 10,8270 -0,32702 3 3 12,8 12,2782 12,8475 -0,04750 4 4 9,3 9,2046 9,7720 -0,47199 5 5 9,1 9,3921 9,9406 -0,84061 6 6 11,4 12,1224 12,6373 -1,23726 7 7 13,2 13,9511 14,4165 -1,21652 8 8 9,8 10,4719 10,8886 -1,08863 9 9 9,4 10,3265 10,6996 -1,29962 10 10 12,5 12,7261 13,0473 -0,54732 11 11 13,7 14,5025 14,8018 -1,10180 12 12 10,2 10,9006 11,1558 -0,95582 13 13 9,9 10,5865 10,8034 -0,90344 14 14 12,8 13,0296 13,2104 -0,41041 15 15 14,2 14,6043 14,7687 -0,56870 16 16 10,7 10,9975 11,1392 -0,43916

Düzeltmede kullanılan eşitlikler (Çarpımsal model)





) 1

( ) /

( _   _  _

 _{t t p t t}

t Y S L T

L

 





 _{t t t}

t L L T

T

 

p t t

t

t Y L S

S 





p t t

t Lt T S

Y _{  }

  ( ₁  ₁) /

 Sabrınıza ve ilginize teşekkür ederim!!!!

Katkı ++++++

Soru ?????????????

Eleştiri #########

vceyhan@omu.edu.tr