4.1 De¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi u = u(x

B ¨ol ¨um 4

Sabit katsay¬l¬lineer denklemler için de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi

Bu bölümde özellikle iki de¼gi¸skenli ve sabit katsay¬l¬homojen bir denklemin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümler ailesini belirleyerek,

karakteristikler yöntemi ile de çözümün elde edilebilmesi durumunda, elde editti¼gimiz çözümleri kar¸s¬la¸st¬r¬yor,

de¼gi¸slenlerine ayr¬labilir çözümlerin özel fonksiyon aileleri ile ifade edilirken, genel çözümün çok daha geni¸s bir s¬n¬f¬içerdi¼gini ve

genel çözümde seçilen uygun fonksiyonlar ile de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümlerin elde edilebildi¼gini gözlemliyoruz.

4.1 De¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi

u = u(x; y) ve L sabit katsay¬l¬bir lineer operatör olmas¬durumunda

Lu = 0 (4.1)

homojen denklemini gözönüne alal¬m. ·Ikinci bölümde sadece birinci basa- maktan ve üçüncü bölümde ise sadece ikinci basamaktan türevler içeren L operatörleri için karakteristikler yöntemi ile (4.1) denkleminin çözümünün

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

nas¬l bulunabilece¼gini incelemi¸stik. Bu bölümde ayn¬denklemleri bir kez de de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi ile çözece¼giz ve ayr¬ca hem birinci ve hem de ikinci basamaktan terimler içeren ve karakteristikler yöntemiyle inceleyemedi¼gimiz baz¬denklemlerin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilençözümlerini elde edece¼giz.

De¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi, verilen problemin her çözümünü bulmak yerine

u(x; y) = X(x)Y (y) (4.2)

biçimindeki çözümlerini ara¸st¬r¬r. Öncelikle birinci basamaktan denklemlerle ba¸slayal¬m.

ÖRNEK 4.1.

u_x+ u_y = 0 (4.3)

denkleminin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailelerini belirleyiniz. Elde et- ti¼giniz çözüm ailelerini karakteristikler yöntemiyle elde edece¼giniz genel çözüm ile kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

(4.2) biçimde çözüm arayarak,

X⁰(x)Y (y) + X(x)Y⁰(y) = 0

veya her iki yan¬s¬f¬rdan farkl¬kabul etti¼gimiz X(x)Y (y) ile bölerek, X⁰(x)

X(x) + Y⁰(y) Y (y) = 0 veya

X⁰(x)

X(x) = Y⁰(y)

Y (y) (4.4)

elde ederiz. (4.4) ün sol taraf¬ yaln¬zca x in fonksiyonu iken sa¼g taraf ise yal- n¬z y nin fonksiyonudur ve bu durumuda söz konusu e¸sitli¼gin sa¼glanabilmesi için her ikisi de bir sabite e¸sit olmal¬d¬r, bu sabit için geleneksel olarak notasyonu kullan¬l¬r, yani

X⁰(x)

X(x) = Y⁰(y)

Y (y) = ; 2 R (4.5)

sa¼glanmal¬d¬r. Böylece (4.5) den

X⁰(x) + X(x) = 0; (4.6)

Y⁰(y) Y (y) = 0 (4.7)

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

baya¼g¬diferensiyel denklemlerini elde ederiz. Bu denklemlerin genel çözüm- lerini ise s¬ras¬yla key… c1; c₂ sabitleri ile

X(x) = c₁e ^x; Y (y) = c₂e ^y

olarak elde ederiz. O halde de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi ile (4.3) için elde etti¼gimiz çözümler ailesini, c = c1c₂ olmak üzere,

u = ce ^xe ^y = ce ^{(y x)} (4.8)

olarak elde ederiz.

Öteyandan 2. Bölümde inceledi¼gimiz karakteristikler yöntemi ile de ayn¬

denklemin genel çözümünü key… f fonksiyonu ile

u = f (y x) (4.9)

olarak elde ederiz. (4.8) ve (4.9) çözümlerini kar¸s¬la¸st¬rd¬¼g¬m¬zda de¼gi¸sken- lerine ay¬rma yönteminin, genel çözüm fonksiyonlar ailesinden elde edilebilen özel çözümler ailesini belirledi¼gini görüyoruz, örne¼gin (4.9) da f (x) = ce^x alarak (4.8) ile verilen çözümü elde ederiz.

ÖRNEK 4.2.

u_xx+ u_yx= 0 (4.10)

denkleminin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailelerini ve karakteristikler yön- temi ile de genel çözümünü belirleyiniz. Sonuçlar¬n¬z¬ kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Ne gözlemliyorsunuz?

Çözüm.

(4.2) biçimde çözüm arayarak,

X⁰⁰(x)Y (y) + X⁰(x)Y⁰(y) = 0

veya her iki yan¬s¬f¬rdan farkl¬kabul etti¼gimiz X⁰(x)Y (y)ile bölerek, X⁰⁰(x)

X⁰(x) = Y⁰(y) Y (y) = veya

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

X⁰⁰(x) + X⁰(x) = 0; (4.11)

Y⁰ Y = 0 (4.12)

elde ederiz. Öncelikle (4.11) den V := X⁰ ile V⁰+ V = 0 ve bu denklemi çözerek,

V = c₁e ^x elde ederiz, o halde

X⁰ = V = c₁e ^x denkleminin her iki yan¬n¬n x e göre integrali ile

X = c₁

e ^x+ c₂ elde ederiz. Benzer biçimde (4.11) den

Y = c₃e ^y

elde ederek, de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümü, X(x) ve Y (y) nin çarp¬m¬

olarak,

u = ce ^y+ d= e ^{(y x)} (4.13)

biçiminde ifade edebiliriz, burada c = c2c₃; d = c₁c₃ key… sabitlerdir.

Öte yandan verilen denkleme karakteristikler yöntemini uygulayacak olur- sak,

au_xx+ bu_xy+ cu_yy = 0 genel format¬na göre, örne¼gimiz için

a = 1; b = 1; c = 0 olup,

= b² 4ac = 1 > 0 olup, denklemimiz hiperbolik bir denklemdir ve

ax²+ bx + c = x²+ x = x(x + 1) = 0

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

dan köklerimizi b1 = 0; b2 = 1ve genel çözümümüzü u = F (y + b₁x) + G(y + b₂x)

= F (y) + G(y x) (4.14)

Elde etti¼gimiz bu çözümü de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi ile elde etti¼gimiz (4.13) ile kar¸s¬la¸st¬rd¬¼g¬m¬zda, de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi ile elde etti¼gimiz çözümün karakteristikler yöntemi ile elde edilen çözümden elde edilebilen özel bir çözüm ailesi oldu¼gunu görüyoruz:

F = ce ^x; G = d= e ^x; for ; c; d 2 R:

ÖRNEK 4.3.

u_xx+ u_x+ u_y = 0

denkleminin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailelerini belirleyiniz.

Denklem ikinci basamaktand¬r, ancak dü¸sük basamaktan türevler de içerdi¼gi için 3. Bölümde inceledi¼gimiz karakteristikler yöntemini do¼grudan uygulaya- may¬z. (4.2) ile verilen biçimde çözüm arayarak,

X⁰⁰Y + X⁰Y + XY⁰ = 0

veya her iki yan¬s¬f¬rdan farkl¬kabul etti¼gimiz X(x)Y (y) ile bölerek, X⁰⁰

X +X⁰ X + Y⁰

Y = 0 veya

X⁰⁰ X + X⁰

X = Y⁰ Y = ba¼g¬nt¬s¬ndan

X⁰⁰+ X⁰+ X = 0 (4.15)

Y⁰ Y = 0 (4.16)

baya¼g¬diferensiyel denklemlerini elde ederiz.(4.16) denkleminin çözümleri Y (y) = e ^y

¸seklindeki üstel fonksiyonlard¬r.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(4.15) denkleminin çözümleri ise

X(x) = e^rx

¸seklinde olup, yerine yaz¬l¬rsa r de¼gerlerini r²+ r + = 0 denkleminin kökleri olarak

r₁( ) = 1 +p

1 4

2 ; r₂( ) = 1 p 1 4 2 elde ederiz.

< 1=4 için r1( ) ve r2( ) reel ve birbirinden farkl¬d¬r, o halde (4.15) denkleminin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi

e^{r1( )x}; e^{r2( )x}

dir. O halde (4.2) denkleminin çözümler ailesini key… c1; c2 sabitler ile u = c₁e^{r1( )x}+ c₂e^{r2( )x} e ^y

olarak ifade edebiliriz.

= 1=4için r1( ) = r₂( ) = 1=2 olup, lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi e ^x=2; xe ^x=2

dir ve key… c1; c₂ sabitleri ile (4.2) denkleminin çözümler ailesini u = (c₁+ c₂x) e ^x=2e^y=4

biçiminde ifade edebiliriz.

> 1=4 için r1( ) ve r2( ) kompleks e¸slenik say¬lard¬r:

r₁( ) = 1 + ip

4 1

2 ; r₂( ) = 1 ip

4 1

2

Bu durumda (4.2) denkleminin çözümler ailesini key… c1; c2 sabitleri ile u = e ^1=2x c1cos(

p4 1

2 x) + c2sin(

p4 1

2 x) e ^y biçiminde ifade edebiliriz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

ÖRNEK 4.4.

u_t = au_xx; a > 0

¬s¬denkleminin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailelerini belirleyiniz.

u = X(x)T (t) (4.17)

biçiminde de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümleri ara¸st¬ral¬m. Bu çözüm for- munu denklemde yazarak,

X(x)T⁰(t) = aX⁰⁰(x)T (t)

veya her iki yan¬s¬f¬rdan farkl¬kabul etti¼gimiz aX(x)T (t) ile bölerek, T⁰(t)

aT (t) = X⁰⁰(x) X(x) = ba¼g¬nt¬s¬n¬düzenleyerek

X⁰⁰(x) + X(x) = 0 (4.18)

T⁰(t) + aT (t) = 0 (4.19)

denklemlerini elde ederiz. (4.19) denkleminin bir çözümü T (t) = e ^at

olup, di¼ger çözümleri de sabit katlar¬d¬r. sabitinin pozitif, s¬f¬r veya negatif olmas¬durumuna göre problemimizin çözümünü formüle edebiliriz.

> 0ise formüllerimizde köklü ifadelerin yer almamas¬için = k²; k >

0 olarak yazabiliriz. Böylece (4.18) denklemi X⁰⁰(x) + k²X(x) = 0

olarak ifade edilebilir. Bu denklemin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi fsin(kx); cos(kx)g

dir. O halde (4.17) çarp¬m¬ ile tan¬mlanan çözümümüzü key… c1; c₂ sabitleri ile

u(x; t) = (c₁sin(kx) + c₂cos(kx))e ^ak2t

biçiminde ifade edebiliriz. Bu çözümün t ! 1 için u ! 0 özelli¼gini sa¼glad¬¼g¬n¬kolayca görürüz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

= 0 ise

X⁰⁰(x) = 0

denklemini elde ederiz ki bu denklemin lineer ba¼g¬ms¬z çözümleri f1; xg

dir. O halde çözümümüzü key… c1; c₂ sabitleri ile u(x; t) = c₁+ c₂x

biçiminde ifade edebiliriz. Bu çözümü verilen ¬s¬denkleminin zamanla de¼gi¸smeyen, yani

u_t= 0

ba¼g¬nt¬s¬n¬sa¼glayan çözümü olarak yorumlayabiliriz.

< 0 ise formüllerimizde köklü ifadelerin yer almamas¬ için = k²; k > 0 olarak yazabiliriz. Böylece (4.18) denklemi

X⁰⁰(x) k²X(x) = 0

olarak ifade edilebilir. Bu denklemin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi e ^kx; e^kx

dir, ancak ilerleyen bölümlerimizde s¬n¬r-de¼ger problemleri için daha uygun oldu¼gu gerekçesiyle bu küme yerine, bu kümenin elemanlar¬yar- d¬m¬yla elde edilebilen

sinh(kx) = e^kx e ^kx

2 ; cosh(kx) = e^kx+ e ^kx 2 ile tan¬mlanan

fsinh(kx); cosh(kx)g

kümesini dikkate alaca¼g¬z. O halde (4.17) çarp¬m¬ile tan¬mlanan çözümümüzü key… c1; c2 sabitleri ile

u(x; t) = (c₁sinh(kx) + c₂cosh(kx))e^ak2t

biçiminde ifade edebiliriz. Bu çözümün t ! 1 için u ! 1 özelli¼gini sa¼glad¬¼g¬n¬ve dolay¬s¬yla …ziksel özellik sa¼glamad¬¼g¬n¬ifade edebiliriz.

Çünkü ¬s¬denklemi olarak dü¸sündü¼gümüzde denklem hiç bir ¬s¬kayna¼g¬

içermezken bu durum …ziksel olarak kabul edilebilir de¼gildir, denklem s¬cak olan bölgelerdeki ¬s¬y¬daha dü¸sük s¬cakl¬k bölgelerine difüze eder, kendili¼ginden ¬s¬üretmez!

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

ÖRNEK 4.5.

u_tt = c²u_xx

dalga denkleminin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümünü belirleyiniz.

u = X(x)T (t) (4.20)

biçiminde de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümleri ara¸st¬ral¬m. Bu çözüm for- munu denklemde yazarak,

X(x)T⁰⁰(t) = c²X⁰⁰(x)T (t)

veya her iki yan¬s¬f¬rdan farkl¬kabul etti¼gimiz c²X(x)T (t) ile bölerek, T⁰⁰(t)

c²T (t) = X⁰⁰(x) X(x) = ba¼g¬nt¬s¬n¬düzenleyerek

X⁰⁰(x) + X(x) = 0 (4.21)

T⁰⁰(t) + c²T (t) = 0 (4.22)

denklemlerini elde ederiz. sabitinin pozitif, s¬f¬r veya negatif olmas¬duru- muna göre problemimizin çözümünü formüle edebiliriz.

> 0ise formüllerimizde köklü ifadelerin yer almamas¬için = k²; k >

0 olarak yazabiliriz. Böylece denklemlerimiz X⁰⁰(x) + k²X(x) = 0 T⁰⁰(t) + k²c²T (t) = 0

olarak ifade edilebilir. Bu denklemlerin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi s¬ras¬yla

fsin(kx); cos(kx)g ; fsin(kct); cos(kct)g

dir. O halde (4.20) çarp¬m¬ile tan¬mlanan çözümümüzü key…c1; c₂; c₃; c₄ sabitleri ile

u(x; t) = (c₁sin(kx) + c₂cos(kx))(c₃sin(kct) + c₄cos(kct)) biçiminde ifade edebiliriz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

= 0 ise

X⁰⁰(x) = 0; T⁰⁰(t) = 0

denklemlerini elde ederiz ki bu denklemlerin lineer ba¼g¬ms¬z çözümleri s¬ras¬yla

f1; xg ; f1; tg

dir. O halde çözümümüzü key… c1; c₂; c₃; c₄ sabitleri ile u(x; t) = (c₁+ c₂x)(c₃+ c₄t) biçiminde ifade edebiliriz.

< 0 ise formüllerimizde köklü ifadelerin yer almamas¬ için = k²; k > 0olarak yazabiliriz. Böylece (4.21),(4.22) denklemleri s¬ras¬yla

X⁰⁰(x) k²X(x) = 0 T⁰⁰(t) k²c²T (t) = 0

olarak ifade edilebilir. Bu denklemlerin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi s¬ras¬yla

fsinh(kx); cosh(kx)g ; fsinh(kct); cosh(kct)g

dir. . O halde (4.20) çarp¬m¬ile tan¬mlanan çözümümüzü key…c1; c₂; c₃; c₄ sabitleri ile

u(x; t) = (c₁sinh(kx) + c₂cosh(kx))(c₃sinh(kct) + c₄cosh(kct)) olarak elde ederiz.

ÖRNEK 4.6. Yukar¬da Örnek 4.5 ile > 0 için elde edilen de¼gi¸skenlerine ayr¬labilir çözüm ailesinin bir eleman¬n¬n, örne¼gin

c₁ = c₂ = c₃ = c₄ = 1

seçene¼gi ile elde edilen çözümünü, D’Alembert çözümü ile kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

De¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm hangi ba¸slang¬ç de¼gerleri ile D’Alembert çö- zümüne kar¸s¬l¬k gelmektedir?

Belirtilen parametre seçimleri ile yukar¬da elde etti¼gimiz u(x; t) = (sin(kx) + cos(kx))(sin(kct) + cos(kct))

= cos(k(x ct)) + sin(k(x + ct)) (4.23)

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

çözümünü göz önüne alal¬m. Bu çözümün x ct = sabit; x + ct = sabit karakteristikleri boyunca sabit olan dalga denklemi çözümü oldu¼gu aç¬kça görülmektedir.

Ayr¬ca bu çözümün

u_tt = c²u_xx; u(x; 0) = f (x) u_t(x; 0) = g(x)

ba¸slang¬ç de¼ger probleminin

u(x; t) = 1

2(f (x + ct) + f (x ct)) + 1 2c

x+ctZ

x ct

g(s)ds (4.24)

D’alembert çözümü ile ili¸skisini incelemek istiyoruz. (4.23) den

u(x; 0) = f (x) = sin(kx) + cos(kx) (4.25) u_t(x; 0) = g(x) = kc (sin(kx) + cos(kx)) (4.26) elde ederiz. ¸Simdi D’alembert çözümünün (4.23) i verdi¼gini görmek istiyoruz.

Bu nedenle formülde yer alan ifadeleri hesaplamaya çal¬¸sal¬m:

f (x + ct) = sin(k(x + ct)) + cos(k(x + ct))

= sin(kx) cos(kct) + cos(kx) sin(kct) + cos(kx) cos(kct) sin(kx) sin(kct) f (x ct) = sin(k(x ct)) + cos(k(x ct))

= sin(kx) cos(kct) cos(kx) sin(kct) + cos(kx) cos(kct) + sin(kx) sin(kct) ifadelerinden

1

2(f (x + ct) + f (x ct))

= sin(kx) cos(kct) + cos(kx) cos(kct)

= sin(k(x + ct)) (4.27)

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

elde ederiz. Ayr¬ca gerekli cebirsel i¸slemler sonucunda 1

2c

x+ctZ

x ct

g(s)ds

= k 2

x+ctZ

x ct

(sin(ks) + cos(ks)) ds

= 1

2[ cos(ks) + sin(ks)]^x+ct_{x ct}

= cos(kx) sin(kct) + sin(kx) sin(kct)

= cos(k(x ct)) (4.28)

elde ederiz. (4.27) ve (4.28) ile elde etti¼gimiz sonuçlar¬toplayarak u(x; t) = sin(k(x + ct)) + cos(k(x ct))

elde ederiz ki bu sonuç de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi ile elde etti¼gimiz (4.23) ile ayn¬d¬r.

ÖRNEK 4.7. Sönümlü dalga denklemi olarak bilinen u_tt+ u_t= c²u_xx; > 0; 1 < x < 1 denkleminin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümlerini belirleyiniz.

u = X(x)T (t) (4.29)

biçiminde de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümleri ara¸st¬ral¬m. Bu çözüm for- munu denklemde yazarak,

X(x)T⁰⁰(t) + X(x)T⁰(t) = c²X⁰⁰(x)T (t)

veya her iki yan¬s¬f¬rdan farkl¬kabul etti¼gimiz c²X(x)T (t) ile bölerek, T⁰⁰(t)

c²T (t)+ c²

T⁰

T = X⁰⁰(x) X(x) = ba¼g¬nt¬s¬n¬düzenleyerek

X⁰⁰(x) + X(x) = 0 T⁰⁰(t) + T⁰(t) + c²T (t) = 0

denklemlerini elde ederiz. sabitinin pozitif, s¬f¬r veya negatif olmas¬duru- muna göre problemimizin çözümünü formüle edebiliriz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

> 0ise formüllerimizde köklü ifadelerin yer almamas¬için = k²; k >

0 olarak yazabiliriz. Böylece denklemlerimiz

X⁰⁰(x) + k²X(x) = 0 (4.30) T⁰⁰(t) + T⁰(t) + k²c²T (t) = 0 (4.31) (4.30) denklemin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi

fsin(kx); cos(kx)g

dir. (4.30) denkleminin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi ise

= ² 4k² nin i¸saratine göre de¼gi¸sir.

–e¼ger > 0 ise > 0 oldu¼gu için > 2k sa¼glanmal¬d¬r. Bu durumda

r_1;2 =

p 2 < 0

olup (4.31) denkleminin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi e^r1t; e^r2t

dir ve (4.29) ile tan¬mlanan çözümümüzü key… c1; c₂; c₃; c₄ sabitleri ile

u = (c₁sin(kx) + c₂cos(kx))(c₃e^r1t+ c₄e^r2t)

olarak ifade edebiliriz.Bu çözümden t ! 1 için u ! 0 elde ederiz ki bu sonuç sönümlü dalga denkleminin beklenen özelli¼gidir. Bu durumda dalga hareketi sal¬m yapmadan söner ki budurum a¸s¬r¬

sönüm olarak adland¬r¬l¬r.

–e¼ger = 0 ise bu durumda

r₁ = r₂ = 2

olup, (4.31) denkleminin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi e ^t=2; te ^t=2

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

dir ve (4.29) ile tan¬mlanan çözümümüzü key… c1; c2; c3; c4sabitleri ile

u = (c₁sin(kx) + c₂cos(kx))(c₃e ^t=2+ c₄te ^t=2)

olarak ifade edebiliriz. Bu çözümden de t ! 1 için u ! 0 elde ederiz.

–e¼ger < 0 ise > 0 oldu¼gu için 0 < < 2k sa¼glanmal¬d¬r. Bu durumda

r_1;2 = ip 2

olup (4.31) denkleminin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi

e ^=2tsin(

p

2 t); e ^=2tcos(

p 2 t)

dir ve (4.29) ile tan¬mlanan çözümümüzü key… c1; c₂; c₃; c₄sabitleri ile

u = e ^=2t(c1sin(kx)+c2cos(kx))(c3cos(

p

2 t)+c4sin(

p 2 t)) olarak ifade edebiliriz. Bu çözümden t ! 1 için zaman ekseni boyunca sal¬n¬ml¬sönüm ad¬verilen bir dalga pro…li olu¸sur, yani yine u ! 0 d¬r, fakat > 0 durumuna k¬yasla sönüm yava¸sça ve sal¬n¬m yaparak gerçekle¸sir.

< 0 ve = 0 durumunda da çözümleri belirleyebilir ve t ! 1 için çözüm davran¬¸s¬n¬belirleyebiliriz(Al¬¸st¬rma 10).

Gözlem 4.1.

Özetle bu bölümde, sabit katsay¬l¬ ve

au_xx+ bu_xy + cu_yy+ du_x+ eu_y+ f u = 0

ile verilen lineer ve homojen bir denklemin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümler ailesinin nas¬l elde edilebilece¼gini inceledik.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

Deklemin sadece birinci basamktan türevleri içeren alt s¬n¬f¬n¬2. Bölümde ve sadece ikinci basamaktan türevler içeren alt s¬n¬f¬n¬ise 3. Bölümde karakteristikler yöntemi yard¬m¬yla incelemi¸stik.

Karakteristikler yönteminin de uygun oldu¼gu durumlarda elde etti¼gimiz çözümleri kar¸s¬la¸st¬rarak, de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümlerin genel çözüm içerinde özel bir alt aileye kar¸s¬l¬k geldi¼gini gözlemledik.

Genel çözüm ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenlerin uygun lineer kombinasyonlar¬n¬n key… fonksiyon ailesi olarak ifade edilirken , de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümler ise, her birisi bir baya¼g¬diferensiyel denklem çözümleri olarak, özel e¼gri ailelerinin çarp¬mlar¬ndan olu¸smaktad¬r.

De¼gi¸skenlerine ay¬rma yönteminin bir avantaj¬, de¼gi¸sik basamaktan türev içeren ve karakteristikler yönteminin uygun olmad¬¼g¬ problemlere ait özel çözüm ailelerinin de elde edilmesine imkan sa¼glamas¬d¬r.

Bir di¼ger avantaj¬ ise özel fonksiyonlar içeriyor olmas¬ ve dolay¬s¬yla çözüm hakk¬nda daha öz bilgi veriyor olmas¬d¬r. Bu özellik, ileride inceleyece¼gimiz üzere sonlu bölge problemlerinde verilen ilave bilgiler yard¬m¬yla istenilen çözümü kolayca seçebilmemize imkan sa¼glamak- tad¬r. Oysa en genel çözümden verilen yan bilgileri sa¼glayan çözümü seçmek her zaman kolay veya bazen de mümkün olmayabilir.

De¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemini homojen denkleme veya verilen bir denklemin homojen k¬sm¬na uygulayabiliriz, oysa karakteristikler yön- teminde böyle bir k¬s¬tlama yoktur.

Al¬¸st¬rmalar 4.1.

1. u = u(x; y); ve a; b; c sabitler olmak üzere (a)

aux+ buy = cu

de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailesini belirleyiniz.

(b) Elde ett¼giniz çözüm ailesini 2. Bölümde karakteristikler yöntemi ile elde etti¼gimiz genel çözüm ile kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

(c) Genel çözümdeki key… fonksiyonun uygun seçimi ile de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümü elde edebilir misiniz?

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

2. u = u(x; y) olmak üzere (a)

u_xx u = 0

denklemlerin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailesini belirleyiniz.

(b) Elde etti¼giniz çözümü 1. Bölümde baya¼g¬ diferensiyel denklem çözüm yöntemi ile elde etti¼gimiz genel çözüm ile kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

Genel çözümdeki key… fonksiyonun uygun seçimi ile de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümü elde edebilir misiniz?

3. u = u(x; y) olmak üzere (a)

u_xx u_x 6u = 0

denkleminin baya¼g¬ diferensiyel denklem yöntemiyle genel çözü- münü elde ediniz.

(b) Verilen denklemin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümü ailesini elde ediniz.

(c) Genel çözümdeki key… fonksiyonun uygun seçimi ile de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailesini elde edebilir misiniz?

4. u = u(x; y) olmak üzere (a)

u_yy 3u_y+ 2u = 0

denkleminin baya¼g¬ diferensiyel denklem yöntemiyle genel çözü- münü elde ediniz.

(b) Verilen denklemin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailesini elde ediniz.

(c) Genel çözümdeki key… fonksiyonun uygun seçimi ile de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözümü elde edebilir misiniz?

5. u = u(x; y) olmak üzere

u_xx+ u_y = 0

denkleminin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailesini belirleyiniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

6. u = u(x; y) olmak üzere (a)

u_xx+ u_yy = 0

Laplace denkleminin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailesini be- lirleyiniz.

(b) Parametrelere özel de¼ger vererek elde edece¼giniz herhangi özel çözümü belirleyiniz.

(c) Belirledi¼giniz özel çözümü genel çözümde uygun olarak seçece¼giniz F ve G fonksiyonlar¬yard¬m¬yla elde ediniz?

7. u = u(x; y) olmak üzere Helmholtz denklemi olarak bilinen u_xx+ u_yy = k²u

denkleminin de¼gi¸skenlerine ayr¬labilen çözüm ailesini belirleyiniz.

8. u = u(x; t) olmak üzere

u_t+ cu_x = u_xx

denklemine adveksiyon-difüzyon denklemi ad¬verilir. Bu denklemin v_t= v_xx

ile verilen difüzyon denklemini sa¼glayan v = v(x; t) fonksiyonu ile u = e^at+bxv

biçiminde çözümüne sahip olabilmesi için a ve b yi c sabiti cinsinden belirleyiniz.

9. Soru 7 ye de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemini do¼grudan uygulayarak elde etti¼giniz sonucu kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

10. Örnek 4.7 de göz önüne ald¬¼g¬m¬z

u_tt+ u_t= c²u_xx; > 0; 1 < x < 1

sönümlü dalga denkleminin < 0 ve = 0 için de¼gi¸skenlerine ayr¬la- bilen çözüm ailelerini belirleyiniz. Elde etti¼giniz çözümlerin t ! 1 için davran¬¸s¬n¬inceleyiniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

[1] Duchateau, P., Zachmann D, Applied Partial Di¤erential Equations, Dover Pub., New York, 1989.

[2] Coleman, P. Matthew, An introduction to Partial Di¤erential Equations with MATLAB, Chapman& Hall/CRC, 2004.

[3] Coskun, E. Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kodlama, http://erhancoskun.com.tr

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r