Parametrelerin De¼ gi¸ simi Yöntemi Bu bölümde

(1)

Parametrelerin De¼ gi¸ simi Yöntemi Bu bölümde

a

₀

(x) y

⁰⁰

+ a

₁

(x) y

⁰

+ a

₂

(x) y = f (x) (1) denkleminin bir özel çözümü sabitlerin de¼ gi¸ simi veya parametrelerin de¼ gi¸ simi yöntemi yard¬m¬yla hesaplanmaktad¬r; burada a

₀

(x) ; a

₁

(x) ; a

₂

(x) katsay¬lar¬

ve f (x) bir (a; b) da sürekli ve her x 2 (a; b) için a

0

(x) 6= 0 d¬r. Bu yönteme göre önce kar¸ s¬l¬k gelen homogen

a

0

(x) y

⁰⁰

+ a

1

(x) y

⁰

+ a

2

(x) y = 0 (2) denkleminin lineer ba¼ g¬ms¬z y

1

(x) ve y

2

(x) çözümleri bulunur. Bu çözümlerin (a; b) de tan¬ml¬olduklar¬aç¬kt¬r. Buradan (2) nin genel çözümü

y

h

= c

1

y

1

(x) + c

2

y

2

(x) dir.

¸

Simdi (1) in (a; b) de tan¬ml¬olan bir özel çözümü

y

_p

= c

₁

(x) y

₁

(x) + c

₂

(x) y

₂

(x) (3)

dir; burada 8

<

:

c

⁰₁

y

1

+ c

⁰₂

y

2

= 0 c

⁰₁

y

₁

+ c

⁰₂

y

₂

= f (x)

a

₀

(x)

(4)

dir. (4) den önce c

⁰₁

ve c

⁰₂

bulunur. Sonra integralleri al¬narak c

₁

(x) ve c

₂

(x) elde edilir. Bunlar¬n (3) de yerlerine yaz¬lmas¬yla verilen denklemin bir özel çözümü elde edilir. Not edelim ki burada ortaya ç¬kan integrasyon sabitleri yerine s¬f¬r al¬nmaktad¬r.

Örnek 1.

x

²

y

⁰⁰

2xy

⁰

+ 2y = x

⁹⁼²

denkleminin bir özel çözümünü bulunuz; burada kar¸ s¬l¬k gelen homogen denkleminin ba¼ g¬ms¬z çözümleri y

1

= x ve y

2

= x

²

dir.

Çözüm

y

_h

= c

₁

x + c

₂

x

²

y

p

= c

1

(x) x + c

2

(x) x

²

olup,

c

⁰₁

x + c

⁰₂

x

²

= 0 c

⁰₁

(1) + c

⁰₂

(2x) = x

⁵⁼²

:

Bu sistemden c

⁰₁

= x

⁵⁼²

ve c

⁰₂

= x

³⁼²

bulunur ve integral al¬n¬rsa

c

1

= 2

7 x

⁷⁼²

ve c

2

= 2 5 x

⁵⁼²

1

(2)

elde edilir. Böylece verilen denklemin özel çözümü, c

1

ve c

2

nin yerlerine yaz¬l- mas¬yla

y

p

= 4 35 x

⁹⁼²

olarak bulunur.

Örnek 2.

x

²

(1 ln x) y

⁰⁰

+ xy

⁰

y = (1 ln x)

²

x

denkleminin bir özel çözümünü bulunuz; burada y

1

= x ve y

2

= ln x kar¸ s¬l¬k gelen homogen denklemin lineer ba¼ g¬ms¬z çözümleridir.

Çözüm

y

_p

= c

₁

(x) x + c

₂

(x) ln x olup, parametrelerin de¼ gi¸ simi yönteminden

c

⁰₁

x + c

⁰₂

ln x = 0 c

⁰₁

+ c

⁰₂

1 x = 1 ln x x

³

sistemi elde edilir, buradan c

⁰₁

= ln x

x

³

ve c

⁰₂

= 1

x

²

olup, integrallerinin al¬n- mas¬yla c

1

= ln x

2x

²

+ 1

4x

²

ve c

2

= 1

x bulunur. Bu de¼ gerlerin yerlerine yaz¬l- mas¬yla bir özel çözüm

y

p

= 1 2 ln x 4x

¸ seklinde elde edilir.

2