1.1Giri¸s 1RijitCisimlerinD¨uzlemselKinemati˘gi

S¸ekil 1:

S¸ekil 2: Katı (rijid) cismin d¨uzlemsel hareket tipleri

1 Rijit Cisimlerin D¨ uzlemsel Kinemati˘ gi

1.1 Giri¸s

Dersin 2. b¨ol¨um¨unde noktasal cismin kinematik ba˘gıntılarını elde etmi¸stik.

Aynı ba˘gıntıları rijit cisimlerin d¨uzlemsel kinemati˘ginde de kullanaca˘gız, ama burada rijit cisimlerin d¨onme hareketi de g¨oz ¨on¨une alınacaktır.

Rijit cismi, iki noktası arasındaki mesafesi de˘gi¸smeyen cisim olarak tanımlayabiliriz.

Bir rijid cisim d¨uzlemsel hareket etti˘ginde onu olu¸sturan t¨um par¸calar paralel d¨uzlemlerde hareket eder.

D¨uzlemsel rijit cismin hareketi a¸sa˘gıda g¨osterilen d¨ort kategoriye ayrılabilir.

a) Do˘grusal ¨oteleme b) E˘grisel ¨oteleme

c) Sabit bireksenetrafında d¨onme d) Genel d¨uzlemsel hareket Oteleme:¨

Katı cismin hareketinde, her t anında katı cismin maddesel noktalarının hızları birbirine e¸sit ise hareket ¨oteleme dir. Hız v = v(t) ¸seklindedir. Nokta-

S¸ekil 3: Katı cismin e˘grisel ¨otelemesi

S¸ekil 4: Katı cismin do˘grusal ve dairesel ¨otelemesi

ların y¨or¨ungeleri birbirlerine paraleldir.

D¨onme: x,y,z‘e g¨ore katı cismin hareketinde, Katı cismin OO’ ekseni

¨uzerindeki t¨um C,D,E,...,K gibi noktaların hızları sıfır ise katı cisim OO’ ek- seni etrafında d¨onme hareketi yapıyor denir. OO’ eksenine de D¨onme Ekseni denir.

Genel D¨uzlemsel Hareket:

D¨onme ve ¨oteleme hareketi ile aynı anda yapılıyorsa katı cismin hareketine Genel D¨uzlemsel Hareket denir.

Genel Hareket: Yukarıdaki ¨ozel hallere uymayan t¨um katı cisim hare- ketlerine GENEL HAREKET denir.

OTELEME:¨ Yer vekt¨or¨u

r_B = r_A+ r_B/A Hız vekt¨or¨u:

v_B = dr_B dt = d

dt(r_A+ r_B/A) = v_A+ v_B/A r_A/B = sbt oldu˘gundan (katı cisim ve ¨oteleme)

v_B/A ≡ 0 ⇒ vA = vB

S¸ekil 5: Katı cismin e˘grisel ¨otelemesi

S¸ekil 6: Genel d¨uzlemsel hareket

S¸ekil 7: Katı cismin genel hareketi

S¸ekil 8: ¨Oteleme

S¸ekil 9: D¨onme

˙Ivme vekt¨or¨u:

aB = dvB

dt = dvA

dt = aA

NOT: Bir tek noktanın hız ve ivme vekt¨or¨u ¨oteleme hareketinde katı cismin t¨um noktalarının hız ve ivmelerini temsil eder. Do˘grusal ¨otelemede do˘grultuları de˘gi¸smez. E˘grisel ¨otemelede de˘gi¸sir.

1.1.1 D¨onme

Bir rijit cismin d¨onmesi onun a¸cısal hareketi ile tarif edilir.

β sabit olmak ¨uzere, ¸sekilden θ2 = θ1 + β ve bu ifadenin zamana g¨ore t¨urevini alırsak ˙θ₂ = ˙θ₁ ve ¨θ₂ = ¨θ₁ aynı zamanda ∆θ₂ = ∆θ₁ yazılabilir.

B¨oylece rijid cismin d¨uzlemsel hareketinde t¨um noktalarının aynı a¸cısal yer de˘gi¸stirme, aynı a¸cısal hız ve aynı a¸cısal ivmeye sahip oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.

1.1.2 A¸cısal hareket denklemleri

A¸cısal hızı w, α a¸cısal ivmesi olan bir rijit cismin d¨uzlemsel hareketi θ₂ = θ₁ + β ⇒ w₂ = dθ₂

dt = dθ₁ dt = w₁ ise Katı cismin bir tek a¸cısal hızı vardır.

w₁ = w₂ = ... = w = ˙θ w = ^dθ_dt = ˙θ

α = dw

dt = ˙w → ˙w = dw dθ

dθ

dt = wdw

dθ ⇒ wdw = αdθ Veya

α = d²θ

dt² = ¨θ ⇒ ¨θ = d ˙θ

dt ⇒ ¨θ = d ˙θ dθ

dθ

dt = ˙θd ˙θ

dθ ⇒ ˙θd ˙θ = ¨θdθ denklemleri ile verilir. E˘ger a¸cısal ivme sabit ise:

α = dw

dt = ˙w = sabit ⇒ w = w0+ αt bulunur. Veya wdw = αdθ‘dan:

w² 2 − w₀²

2 = α(θ − θ₀) ⇒ w² = w₀²+ 2α(θ − θ₀) w = dθ

dt = w₀+ αt ⇒ θ = θ₀ + w₀t + 1 2αt² Burada θ₀ ve w₀; t=0 anındaki a¸cısal konum ve a¸cısal hızdır.

1.1.3 Sabit bir eksen etrafında d¨onme

Sabit bir eksen etrafında d¨onen rijid cismin d¨onme eksenine normal (dik) bir d¨uzlemi g¨oz ¨on¨une alalım. ˙Ikinci b¨ol¨umde ¨o˘grendi˘gimiz e¸sitlikleri yeniden yazarsak;

v = rω

a_n = rω² = v²/r = vω a_t= rα

Hatırlatma:

S¸ekil 10: Sabit bir eksen etrafında d¨onme

Oteleme: Cismin ¨uzerindeki her do˘grunun hareket boyunca orijinal do˘gruya¨ paralel kaldı˘gı harekettir.

i) Do˘grusal ¨otelemede cismin her noktası paralel do˘grular ¨uzerinde hare- ket eder.

ii) E˘grisel ¨otelemede cismin her noktası paralel e˘griler boyunca hareket eder.

D¨onme: Cismi olu¸sturan t¨um noktalar sabit bir eksen etrafında dairesel y¨or¨unge izlerler.

Genel D¨uzlemsel Hareket: Bu, d¨onme ve ¨otelemenin birle¸simi bir harekettir.

EKSEN ETRAFINDA D ¨ONME OA = re_r, r = sabit ⇒ v = dOA

dt = (re_r˙) = r˙e_r = r(dθ

dte_θ) = rwe_θ; v = rw ivme:

a = dv dt = d

dt(rwe_θ) = r ˙we_θ+ rw ˙e_θ = r ˙we_θ+ rw(−dθ dte_r)

a = −rw²e_r + r ˙we_θ bulunur.Bu vekt¨orleri vekt¨orel ¸carpım ile de elde edebiliriz: ω × OA ¸carpımını hesaplayalım.

a × (b × c) = (a.c)b − (a.b)c ω = wk = we_z

OA = rer

ω × OA = wk × (re_r) = rwe_θ = v_A ⇒ v = ω × OA = ω × r ivme:

a = dv dt = d

dt(ω × OA) = ˙ω × OA + ω ×dOA

dt ⇒ ˙ω × OA + ω × ω × OA = a

S¸ekil 11: Eksen etrafında d¨onme

a = ˙ω × OA + (ω.OA)ω − w²OA = α × r + (ω.r)ω − w²r te˘getsel ivme:

α × r = ˙wk × re_r = r ˙we_θ = a_t normal ivme:

ω × ω × r = wk × (wk × re_r) = wkw(rwe_θ) = −rw²e_r

−e_r = e_n ⇒ w × ω × r = −rw²e_n = a_n, a = a_t+ a_n = a_te_t+ a_ne_n Vekt¨orel ¸carpım kullanılarak daha ¨once verilen e¸sitlikler:

v = ˙r = ω × r

a = ˙v = ω × ˙r + ˙ω × r

= w × (w × r) + ˙ω × r

= w × v + α × r

v = ω × r

a_n = ω × (ω × r) at= α × r

|a| = a =

q

a²_t + a²_n

Problem 5/1 1800 dev/dak a¸cısal hızı ile saat y¨on¨unde d¨onen (s¨urt¨unmesiz) bir kasna˘gın a¸cısal ivmesi saatin tersi y¨on¨unde α = 4t(rad/s²) dir.

a) a¸cısal hızın 900dev/dak d¨u¸smesi i¸cin ge¸cen zamanı b) kasna˘gın d¨onme y¨on¨un¨un de˘gi¸smesi i¸cin ge¸cen zamanı

c) Saat y¨on¨unde + saatin tersi y¨on¨unde toplam devir sayısını ilk 14 saniye i¸cin hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um 5/1:

a)

dw

dt = α = 4t ⇒ w = 2t²+ w₀; t= 0 da w = −1800(^2π₆₀) = −60π(rad/s)

⇒ w0 = −60π ⇒ w = 2t²− 60π

Saat y¨on¨unde w = 900dev/dak yerine yazılırsa:

−9002π

60 = 2t²− 60π ⇒ t² = 15π ⇒ t = 6.86 b) 0 = 2t²− 60π → t = 9.71s y¨on de˘gi¸sir.

c) Saat y¨on¨undeki 9.71 saniyelik d¨onme sayısı +ters y¨ondeki geri kalan zamandaki d¨onme sayısı= cevap

dθ = wdt =

Z _θ1

0 dθ =

Z _9.71

0 (−60π + 2t²)dt Birinci aralıkta alınan yakla¸sık yol ve devir:

θ₁ = [2

3t³− 60πt]|^9.71₀ = −1220rad N₁ = 1220

2π = 194.2

˙Ikinci aralıkta: _Z

θ2

0 dθ =

Z ₁₄

9.71(2t²− 60π)dt θ2 = [2

3t³ − 60π]|¹⁴_9.71 = 410rad N₂ = 420

2π = 65.3 Toplam Devir:N₁+ N₂ = 194.2 + 65.3 = 259.5

NOT: θ1 Negatif alanı veθ2 pozitif alanı temsil ediyor.

Problem 5/2

A di¸slisine ba˘glı bir motor, B di¸slisini ve ona ba˘glı tamburu d¨ond¨urmek- tedir. L y¨uk¨u hareketsiz halden 2 m/s hıza sabit bir ivme ile 0.8 m yol kat ederek ula¸sıyor.

S¸ekil 12: A¸cısal hız - zaman

S¸ekil 13: Problem 5/2

(a) Kablonun C noktasındaki ivmesini,

(b) A di¸slisinin a¸cısal hızını ve ivmesini hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um 5/2:

a)Kasnak ¨uzerinde kabloda kayma olmadı˘gunu farzedelim. L y¨uk¨un¨un d¨u¸sey hız ve ivmesi gerekli. C de aynı ¸sekilde v te˘getsel hız ve a_t te˘getsel ivmesi gerekli. L‘nin do˘grusal hareketi i¸cin sabit ivme:

v² = 2as ⇒ a = v² 2s = 4

1.6 = 2.5m/s² = a_t a_n normal ivme ve a_t te˘getsel ivme olmak ¨uzere

a_n = v² r = 2²

0.4 = 10m/s²

a_c =^qa²_t + a²_n =√

10²+ 2.5² = 10.31m/s²

b) A di¸slisinin a¸cısal hareketi B nin a¸cısal hareketinden belirlenir.

v = wr ⇒ B i¸cin v_B = r_Bw_B ⇒ w_B = v_B r_B = 2

0.4 = 5rad/s a_t= rα ⇒ B i¸cin α_B= (a_t)_B

rB

= 2.5

0.4 = 6.25rad/s² v_A= r_Aw_A = r_Bw_B ve a_A= r_Aα_A = r_Bα_B

w_A= r_Bw_B

r_A = (0.300)5

0.100 = 15rad/s ve,

α_A= r_Bα_B

r_A = (0.300)6.25

0.100 = 18.75rad/s² Problem 5/3

Saat y¨on¨unde d¨onen dik a¸cılı bir kiri¸sin a¸cısal hızının de˘gi¸sme oranı aza- larak 4rad/s². A noktasının hızı ve ivmesi i¸cin vekt¨orel ifadeleri, w= 2 rad/s a¸cısal hızı i¸cin bulunuz

C¸ ¨oz¨um5/3:

ω = −2k rad/s; α = 4k rad/s² v = ω × r ⇒ −2k × (0.4i + 0.30j) v = (0.6i + 0.8j)m/s

S¸ekil 14: Problem 5/3

S¸ekil 15: Problem 5/4

a_n = ω × (ω × r) = ω × v a_n = −2k × (0.6i + 0.8j)

= (−1.6i − 1.2j)m/s² a_t= α × r = 4k × (0.4i + 0.30j) a_t= (−1.2i + 1.6j)m/s²

a = a_t+ a_n = (−2.8i + 0.8j)m/s² ⇒ a = |a| = 2.83m/s²

1.2 Mutlak Hareket

Rijit cisimlerin d¨uzlemsel kinematik analizini bu b¨ol¨umde inceleyece˘giz. ˙Ilgili rijit cismin konumunun geometrik ba˘gıntılarını kullanıp burada zamana g¨ore t¨urevlerini alıp hız ve ivmeyi elde edece˘giz.

Problem 5/4

r yarı ¸capındaki bir teker d¨uz bir y¨uzey ¨uzerinde kaymadan yuvarlanıyor.

Tekerin a¸cısal hareketini, merkezinin do˘grusal hareketi cinsinden ifade edi- niz. Tekerin kenarındaki bir noktanın y¨uzeyle temas etti˘gi andaki ivmesini hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um 5/4:

Kayma yok OO‘= s=C‘A; s = rθ ⇒ v_O = r ˙θ; a_O = r ¨θ Burada v_O =

S¸ekil 16: Problem 5/5

˙s, a_O = ˙v_O = ¨s, w = ˙θ ve α = ˙w = ¨θ dir. Sabit eksenin orjini keyfi alınabilir.

Genelinde ¸cemberin temas noktası uygundur.C temas noktası ¸cembersel y¨or¨unge

¨uzerinde C‘noktasına yer de˘gi¸stirdi˘ginde yeni konumu:

x = s − r sin θ = r(θ − sin θ); y = r − r cos θ = r(1 − cos θ)

˙x = r ˙θ(1 − cos θ) = vO(1 − cos θ); ˙y = r ˙θ sin θ = vOsin θ

¨

x = ˙v_O(1 − cos θ) + v_O˙θ sin θ; ¨y = ˙v_Osin θ + v_O˙θ cos θ

¨

x = aO(1 − cos θ) + rw²sin θ; ¨y = aOsin θ + rw²cos θ

˙Istenen anda θ = 0 ⇒ ¨x = 0 ve ¨y = rw² elde edilir.

Herhangi bir θ i¸cin v = ˙xi + ˙yj = vO(1 − cos θ)i+vOsin θj ve a = ¨xi + ¨yj = [a_O(1 − cos θ) + rw²sin θ]i + [a_Osin θ + rw²cos θ]j

θ = 0‘da hız= v = ˙xi + ˙yj = 0 ve ivme a = ¨xi + ¨yj = rw²j

Problem 5/5: L y¨uk¨u ¸sekilde g¨or¨ulen palanga ve kablo d¨uzene˘gi ile yu- karı kaldırılmaktadır. Her bir kablo, palangasına g¨uvenli bir ¸sekilde sarıldı˘gından kayma olmamaktadır. L y¨uk¨un¨un ba˘glandı˘gı palangalar birbirine tek bir rijit cisim olacak ¸sekilde birle¸stirilmi¸stir. L y¨uk¨un¨un hızını ve ivmesini;

a-Palanga 1 w₁ = 0, ˙w₁ = 0, Palanga 2 w₂ = 2rad/s, ˙α₂⁼w˙₂ = −3rad/s² b- Palanga 1 w1 = 1, ˙w1 = 4rad/s²,Palanga 2 w2 = 2rad/s, ˙α2=w˙2 =

−2rad/s²

Durumları i¸cin hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um 5/5 1 veya 2 makaralarının kenarlarındaki bir noktanın te˘getsel yer de˘gi¸simi, hızı ve ivmesi; A nın veya B nin d¨u¸sey hareketindeki de˘gerlere e¸sittir.(Kayma yok)

a hali: B anlık olarak A ya g¨ore dθ a¸cısıyla dt zamanında AB’ konumuna gelir.

S¸ekil 17:

dS_B= ABdθ ⇒ v_B = ABw, (a_B)_t = ABα

dS_O= AOdθ ⇒ v_O = AOw, a_O = AOα

v_D = rw ⇒= 0.1(2) = 0.2m/s, a_D = r₂α₂ = (0.1)(−3) = −3m/s² C¸ ift makara i¸cin:

w = vR

AB = vD

AB = 0.2 0.3 = 2

3rad/s α = (a_B)_t

AB = a_D

AB = −0.3

0.3 = −1rad/s²

b hali: C nin hareketiyle yani A hareketiyle AB → A⁰B⁰ ne hareket eder.

S¸ekilden

AB : dS_B− dS_A= ABdθ ⇒ v_B− v_A= ABw ⇒ (a_B)_t− (a_A)_t= ABα

AO : dS_O− dS_A= AOdθ ⇒ v_O− v_A= AOw ⇒ a_O− (a_A)_t= AOα

v_C = r₁w₁ = (0.1)1 = 0.1m/s; v_D = r₂w₂ = (0.1)(2) = 0.2m/s

a_C = r₁α₁ = (0.1)(4) = 0.4m/s²; a_D = r₂α₂ = (0.1)(−2) = −0.2m/s²

S¸ekil 18: Problem 5/6

C¸ ift makara i¸cin

v_B− v_A= ABw ⇒ w = v_B− v_A

AB = v_D− v_C AB

w = 0.2 − 0.1 0.3 = 1

3rad/s

α = aB)t− (aA)t

AB = aD − aC

AB = −0.2 − 0.4

0.3 = −2rad/s² O‘nun ve L y¨uk¨un¨un hareketi i¸cin ise:

vO = vA+ AOw = vC + AOw = 0.1 + 0.11

3 = 0.13333m/s

a_O = (a_A)_t+ AOα = a_C− AOα = 0.4 + 0.1(−2) = 0.2m/s² Problem 5/6

E¸skenar ¨u¸cgen bir levhanın kendi d¨uzlemindeki hareketi D silindiri yardımı ile kontrol ediliyor. E˘ger silindirin pistonu yukarı do˘gru sabit 0.3m/s hızıyla hareket ediyorsa θ = 30^o oldu˘gunda B noktasının (yatay yataklanmı¸s mes- netin merkezi) hızını ve ivmesini bulunuz.

C¸ ¨oz¨um 5/6:

v_A= ˙y = 0.3m/s, a_A= ¨y = 0 B‘nin hareketi x²+ y² = b² den

2x ˙x + 2y ˙y = 0 ⇒ ˙x = −y x˙y

x¨x + ˙x² + y¨y + ˙y² = 0 ⇒ ¨x = −˙x²+ ˙y² x − y

xy¨ y = b sin θ, x = b cos θ, ¨y = 0 yazılarak,

a_B = ¨x = −v_A² b sec³θ

bulunur. Sayısal de˘gerler yerlerine yazılırsa (v_A= 0.3m/s ve θ = 30^o) v_B = −0.3 1

13 = −0.1732 a_B = −(0.3)²(^√2₃)³

0.2 ⇒ a_B = −0.693m/s²

CB‘nin a¸cısal hareketi levha i¸cerisindeki herhangi bir ¸cizginin hareketi ile

¨orne˘gin AB ile aynıdır. A¸cısal hız:

y = bsinθ ⇒ ˙y = b ˙θcosθ, w = ˙θ = v_A b sec θ olarak, ve a¸cısal ivme:

α = ˙w = v_A

b ˙θ sec θ tan θ = v_A b (v_A

b sec θ) sec θ tan θ

bulunur. Sayısal olarak w = ^0.3_0.2^√2₃ = 1.732rad/s ve α = ^{(0.3)2(2)2(1)}

(0.2)²√ 3²√

3 = 1.732rad/s²

1.3 Ba˘ gıl Hareket

Katı cismin AB do˘grultusu 4t zamanında A’B’ konumuna hareket etsin. Bu hareket:

a) AB nin B’A” ne ¨otelenmesi (4r_B kadar)

b) B’ etrafında 4θ kadar d¨onme hareketinin s¨uperpozisyonu olarak ka- rakterize edebilirix. Hareket d¨uzlemseldir. Yer de˘gi¸stirmesi ise 4r_A/B dir.

S¸ekil (a)

Rijit bir cismin iki noktasını (A ve B) g¨oz ¨on¨une alalım. x-y d¨onmeyen eksen takımını B noktasına ba˘glayalım.

S¸ekil 19: Ba˘gıl hareket

∆r_A= ∆r_B+ ∆r_A/B

vA= vB+ v_A/B

ifadesini elde ederiz. Bu daha ¨once 2. b¨ol¨umde g¨ord¨u˘g¨um¨uz e¸sitlik ile aynı, tek farkı burada A ve B noktaları arasındaki mesafe sabit oldu˘gundan

|4r_A/B| = r4θ = BA4θ = B⁰A⁰⁰4θ Yukarıdaki ifadeyi zaman dilimi ile b¨ol¨up limitini alırsak

v_A/B = lim_n→0 ^4r_4t^A/B ⇒ |v_A/B| = lim_4t→0|^4r_4t^A/B| = lim_4t→0|r^4θ_4t|

= r^dθ_dt = rw = v_A/B Skaler Hız

burada vA/B = ω × r ve rA/B = r olarak g¨osterilirse;

v_A/B = ω × r = ω × BA = ω × r_A/B Ba˘gıl Hız yazabiliriz. Sonu¸cta a¸sa˘gıdaki form¨ul elde edilir.

v_A= v_B+ w × r (Katı cismin d¨uzlemsel hareketinin hızlar alanı)

NOT:w⊥Hareket d¨uzlemi b ve c den ba˘gıl skaler (lineer) hız A ile B noktasını birle¸stiren do˘grultuya daima diktir.

Hızların izd¨u¸s¨um form¨ull¨u:

S¸ekil 20: S¨uperpozisyon

S¸ekil 21: ˙Izd¨u¸s¨umler

v_A= v_B+ v_A/B = v_B+ w × BA AB = Le ile skaler ¸carparsak

Le.v_A = Le.v_B+ Le.(w × BA)

Le.v_A = Le.v_B ⇒ AB.v_A= AB.v_B ⇒ AK = BH

NOT: A,B,C aynı do˘gru ¨uzerinde olmamk kaydı ile Le.vA = Le.vB ⇒ AB.v_A = AB.v_B form¨ul¨u katı cisimlerin her t¨url¨u hareketinde kullanılır.

Ornek problem 5/7 r=300mm yarı¸caplı tekerlek sa˘ga do˘gru kaymadan¨ yuvarlanıyar. Merkezinin hızı vO = 3m/s Tekerle˘gin ¨uzerindeki A noktasının verilen konumdaki hızını hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um 5/7

vA= vO+ w × OA vO = wr ⇒ w = ^v_r^O = _0.3³ = 10rad/s

v_A/O = ω × OA ⇒ v_A/O = rO˙θ = (0.2)(10) = 2m/s v_A² = v²_O+ v²_A/O+ 2(v_O)(v_A/O)cosβ

v_A² = 3²+ 2²+ 2(2)(2)cos60⁰ = 19(m/s)² v_A = 4.36m/s

S¸ekil 22: Problem 5/7

C noktasının hızı sfırdır. Referans noktası olarak alınabilir. ¨Oyleyse:

v_A= v_C + v_A/B = v_A/C v_A/C = ¯ACw = AC(v_O

OC) = 0.436

0.3 (3) = 4.36m/s v_A= v_A/C = 4.36m/s

Ornek Problem 5/7 nin Vekt¨¨ orel C¸ ¨oz¨um¨u

v_A = v_O+ v_A/O = v_O+ w × OA = v_O+ w × r_O w = −10krad/s , r_O = 0.2(−cos30i + sin30j)

r_O= (−0.1732i + 0.1j)m , v_O= [3i)m/s

v_A= 3i +

¯¯

¯¯

¯¯

¯

i 0

−0.1732 j 0 0.1

k

−10 0

¯¯

¯¯

¯¯

¯

= 3i + 1.732j + 1.0i

vA= (4i + 1.732i)m/s ⇒ vA= |vA| =

q

4²+ (1.732)² v_A= 4.36m/s elde edilir. Doj˘grultusu ilk ¸c¨oz¨um ile aynıdır.

Problem 5/8

CB krankı, C noktası etrafında salınırken OA krankının O etrafında salınmasına sebep oluyor. Mekanizma CB’nin yatay ve OA’nın d¨u¸sey oldu˘gu noktadan ge¸cerken CB’nin a¸cısal hızı, saatin d¨onme y¨on¨un¨un tersine 2 rad/s ise bu anda OA ve AB’nin a¸cısal hızlarını hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um 5/8

Vekt¨orel ¸c¨oz¨um yapalım:

v_A= v_B+ v_A/B

v_A= v_B+ w_AB × r_A/B = v_O+ w_OA× r_A

S¸ekil 23: Problem 5/8

S¸ekil 24: Problem 5/9

w_OA = w_OAk, , w_CB = 2k w_AB = w_ABk

r = 100j , r_B = −75i r_A/B = −175i + 50j Yukarıdaki ifadeler yerlerine yazılınca;

w_OAk×100j = 2k×(−75i)+w_ABk×(−175i+50j)−100w_OAi = −150j−175w_ABj−50w_ABi i : −100w_OA= −50w_AB

j : 0 = −150 − 175w_AB ⇒ w_AB = −6 7rad/s wOA= −3

7 Not: Daima vekt¨orel ¸c¨oz¨um¨u tercih ediniz.

Ornek problem 5/9: ¸sekildeki krank sisteminde OB kolu saat y¨on¨unde¨ 1500 dev/dak ile d¨ond¨u˘g¨une g¨ore θ = 60^o iken A pistonunun v hızını ve AB nin ¨uzerindeki G noktasının hızını ve AB nin a¸cısal hızını belirleyiniz.

AG=250mm,GB=100mm,r=125mm

C¸ ¨oz¨um 5/9

v_A= v_B+ v_A/B

v_B = v_O+ w_OB× OB , v_A= v_Ai

vAi = wOB× (−125 cos 60i + 125 sin 60j) + wABk × (−350 cos βi − sin βj) S¸imdi yukarıdaki denklemde gerekli olan β a¸cısını hesaplayalım.

sin β = BH

AB = BH 350 sin 60 = BH

OB = BH 125 BH = 350 sin β = 125 sin 60

sin β = 125

350sin 60 = 0.309 β = arcsin 0.309 = 18^o β = 18^o de˘geri yerine konulursa,

v_Ai = −(1500)(2π

60)k × 125(−0.5i + 0.866j + w_ABk × 350(−0.95i − 0.309j) v_Ai = (157)(125)(−0.5j + 0.866i) − 350(−0.95j − 0.309i)

i : v_A= −16995.2 + 108w_AB

j : 0 = 9812.5 − 332.5wAB ⇒ wAB = 29.51rad/s v_A= −16995.2 + 108(29.51) = 20181.25mm/s = 20.181m/s S¸imdi G noktasının hızını hesaplayalım;

v_G = v_B+ v_G/B = v_B+ w_GBk × BG vB = vO+ wOB× OB = wOB× OB v_B = −157k × (−125 cos 60i + 125 sin 60j)

v_B = 9817.47j + 17004.36i

BG = 100(cos 18i + sin 18j) = 95.1i + 30.9j w_BG = w_AB = 29.5 dev/dak

Bulunanlar yerlerine yazılırsa;

vG = 981747j + 17004.36i + wBGj × (95.1i + 30.9j)

S¸ekil 25: Problem 5/10

v_G = 981747j + 17004.36i + 95.1w_BGj − 30.9w_BGi vG= [17004.36 − 30.9(29.5)]i + [9817.47 + 95.1(29.5)]j

v_G= 16092.8i + 12622.9j v_G =^q(16.092)²+ (12.6229)² =√

418.26 = 20.45m/s

Ornek Proble 5/10: S¸ekildeki vidayı d¨ond¨urerek C noktsına a¸sa˘gıya do˘gru¨ 0.25 m/s d¨u¸sey hız kazandırılıyor. θ = 30^o oldu˘gu anda yataklı OB kolunun a¸cısal hızını hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um 5/10:

v_B = −0.25j = v_C v_B = v_O+ w × OB + v_A OB ve O₁B uzunluklarını hesaplayalım:

cos 30 = 0.45

OB ⇒ OB = 0.45

0.866 = 0.5196m sin 30 = O₁B

OB ⇒ O₁B = 0.5196(0.5) ⇒ O₁B = 0.259 ' 0.26

−0.25j = −wk × (−0.45i + 0.26j) + v_A

−0.25j = 0.45wj + 0.26i + v_A(− cos 30i + sin 30j)

−0.25j = 0.45wj + 0.26i − 0.866v_Ai + 0.5v_Aj

j : −0.25 = 0.45w + 0.5v_A

i : 0 = 0.26w − 0.866v_A⇒ v_A= ^0.26w_0.866

−0.25 = 0.45w + (0.5)0.26w 0.866

−0.25 = 0.45w + 0.15w ⇒ w = −0.25

0.60 = −0.4rad/s

v_A = 0.67(0.41) = 0.27m/s

Not: ω = wk alınmı¸s idi. w = −(−0.41)k = 0.41k saatin tersi y¨onde d¨onme var.