877555 ADAP == 5

(1)

DENEME – 1 GEOMETRĐ PROBLEMLERĐNĐN ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe):

ÇÖZÜM 1: APB üçgenini A noktası etrafında 60

^o

döndürerek ADC üçgenini oluşturalım.

60

^o

∠ PAD = ve AD = AP = 5 olduğundan ADP üçgeni eşkenardır. Kenarları 5 – 7 – 8 olan

PDC üçgeninde kosinüs teoremi yardımı ile ∠ DPC = 60

^o

olduğunu görmek kolaydır. Böylece

60

^o

60

^o

120

^o

∠ APC = + = olup APC üçgeninde kosinüs teoreminden:

2 2 2

5 8 2.5.8.cos120

^o

AC = + −

olup AC = 129 elde edilir.

60^o 60^o

8

7

5

B

A

D

P

C

ÇÖZÜM 2: Daha genel olarak:

ABC üçgeninin içinden alınan herhangi bir P noktası için AP, BP, CP doğruları karşılarındaki

kenarları sırasıyla D, E, F noktalarında kesiyorsa

PD PE PF 1

AD + BE + CF = … (1) ve AP BP CP 2

AD + BE + CF = … (2)

eşitlikleri vardır. Bu problemi çözeceğiz.

C B

A

E

H D

P

K F

(2)

A ve P noktalarından [BC] kenarına indirilen dikme ayakları H ve K olsun. PKD ve AHD dik

üçgenlerinin benzerliğinden PD PK

AD = AH dır. Ayrıca taban uzunlukları eşit üçgenlerin alanları

oranından ( )

( )

A PBC PK

A ABC = AH olduğundan ( )

( )

PD A PBC

AD = A ABC dir. Benzer şekilde ( )

( )

PE A PCA

BE = A ABC ve

( )

PF A PAB

CF = A ABC olur. Bu üç alan eşitliğini taraf tarafa toplarsak

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1

PD PE PF A PCA A PBC A PAB A ABC

AD + BE + CF = A ABC + A ABC + A ABC = A ABC =

elde edilir. Bu eşitlik yardımı ile 2. eşitliğe de ulaşabiliriz:

1 1 1

AP BP CP AD PD BE PE CF PF PD PE PF

AD BE CF AD BE CF AD BE CF

     

− − −

+ + = + + = −       + −     + −  

     

3 PD PE PF 3 1 2

AD BE CF

 

= −   + +   = − =

 

buluruz.

R

B C

A

J L

H K

O

D F E

877555 ADAP == 5

DENEME – 1 GEOMETRĐ PROBLEMLERĐNĐN ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe):

ÇÖZÜM 1: APB üçgenini A noktası etrafında 60

döndürerek ADC üçgenini oluşturalım.

60

∠ PAD = ve AD = AP = 5 olduğundan ADP üçgeni eşkenardır. Kenarları 5 – 7 – 8 olan

PDC üçgeninde kosinüs teoremi yardımı ile ∠ DPC = 60

olduğunu görmek kolaydır. Böylece

60

60

120

∠ APC = + = olup APC üçgeninde kosinüs teoreminden:

5 8 2.5.8.cos120

AC = + −

olup AC = 129 elde edilir.

8

7

7

5

5

5

ÇÖZÜM 2: Daha genel olarak:

ABC üçgeninin içinden alınan herhangi bir P noktası için AP, BP, CP doğruları karşılarındaki

kenarları sırasıyla D, E, F noktalarında kesiyorsa

PD PE PF 1

AD + BE + CF = … (1) ve AP BP CP 2

AD + BE + CF = … (2)

eşitlikleri vardır. Bu problemi çözeceğiz.

A ve P noktalarından [BC] kenarına indirilen dikme ayakları H ve K olsun. PKD ve AHD dik

üçgenlerinin benzerliğinden PD PK

AD = AH dır. Ayrıca taban uzunlukları eşit üçgenlerin alanları

oranından ( )

( )

A PBC PK

A ABC = AH olduğundan ( )

( )

PD A PBC

AD = A ABC dir. Benzer şekilde ( )

( )

PE A PCA

BE = A ABC ve

( )

( )

PF A PAB

CF = A ABC olur. Bu üç alan eşitliğini taraf tarafa toplarsak

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1

PD PE PF A PCA A PBC A PAB A ABC

AD + BE + CF = A ABC + A ABC + A ABC = A ABC =

elde edilir. Bu eşitlik yardımı ile 2. eşitliğe de ulaşabiliriz:

1 1 1

AP BP CP AD PD BE PE CF PF PD PE PF

AD BE CF AD BE CF AD BE CF

     

− − −

+ + = + + = −       + −     + −  

     

3 PD PE PF 3 1 2

AD BE CF

 

= −   + +   = − =

 

buluruz.

R

R

Özel olarak P noktasını, üçgenin G ağrılık merkezi, I iç merkezi ya da O çevrel merkezi

olarak seçtiğimizde de eşitlik doğru kalacaktır. (P = G alındığından (1) ve (2) eşitliklerinin çok

açık bir şekilde sağlandığına dikkat ediniz). Özel olarak P = O alınırsa (2) eşitliği

AO BO CO 2

AD + BE + CF = şekline gelir. AO = BO = CO = R olduğundan 1 1 1 2

AD + BE + CF = R

elde edilir.