Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

(1)

Tek Tür Modeli Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Belçikal¬matematikçi Pierre F. Verhulst 1838 y¬l¬nda insan nüfusu için a ( P ) = ( r sP ) önerdi

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P

K ) (2)

K = r /s

Model 1930 y¬l¬nda Pearl taraf¬ndan meyve sine¼ gi nüfusuna ve 1935 de G.F. Gause taraf¬ndan hamam böce¼ gi nüfusuna uyguland¬

r = çevre etkisiz büyüme oran¬, s = nüfus yo¼gunlu¼gu etkisi Büyüme oran¬n¬n s¬f¬r oldu¼ gu nüfusa denge nüfusu

Lojisitik denklem için bu, P

e

= 0 (ki bu durum bizim için ilgi çekici de¼ gildir) veya 1 P

_e

/K = 0 yani P

_e

= K = r /s durumu

K çevre ta¸ s¬ma kapasitesi (doygunluk düzeyi)

(2)

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Belçikal¬matematikçi Pierre F. Verhulst 1838 y¬l¬nda insan nüfusu için a ( P ) = ( r sP ) önerdi

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P

K ) (2)

K = r /s

Model 1930 y¬l¬nda Pearl taraf¬ndan meyve sine¼ gi nüfusuna ve 1935 de G.F. Gause taraf¬ndan hamam böce¼ gi nüfusuna uyguland¬

r = çevre etkisiz büyüme oran¬, s = nüfus yo¼gunlu¼gu etkisi

Büyüme oran¬n¬n s¬f¬r oldu¼ gu nüfusa denge nüfusu

Lojisitik denklem için bu, P

e

= 0 (ki bu durum bizim için ilgi çekici de¼ gildir) veya 1 P

_e

/K = 0 yani P

_e

= K = r /s durumu

K çevre ta¸ s¬ma kapasitesi (doygunluk düzeyi)

Nuri ÖZALP (Ankara Üniversitesi) 7 !^MATEMAT·^{IKSEL B·}^IYOLOJ·^I7 ! Nüfus Dinami¼gi ve Kararl¬l¬k 11 / 21

(3)

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Belçikal¬matematikçi Pierre F. Verhulst 1838 y¬l¬nda insan nüfusu için a ( P ) = ( r sP ) önerdi

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P

K ) (2)

K = r /s

Model 1930 y¬l¬nda Pearl taraf¬ndan meyve sine¼ gi nüfusuna ve 1935 de G.F. Gause taraf¬ndan hamam böce¼ gi nüfusuna uyguland¬

r = çevre etkisiz büyüme oran¬, s = nüfus yo¼gunlu¼gu etkisi Büyüme oran¬n¬n s¬f¬r oldu¼ gu nüfusa denge nüfusu

Lojisitik denklem için bu, P

e

= 0 (ki bu durum bizim için ilgi çekici de¼ gildir) veya 1 P

_e

/K = 0 yani P

_e

= K = r /s durumu

K çevre ta¸ s¬ma kapasitesi (doygunluk düzeyi)

(4)

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Belçikal¬matematikçi Pierre F. Verhulst 1838 y¬l¬nda insan nüfusu için a ( P ) = ( r sP ) önerdi

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P

K ) (2)

K = r /s

Model 1930 y¬l¬nda Pearl taraf¬ndan meyve sine¼ gi nüfusuna ve 1935 de G.F. Gause taraf¬ndan hamam böce¼ gi nüfusuna uyguland¬

r = çevre etkisiz büyüme oran¬, s = nüfus yo¼gunlu¼gu etkisi Büyüme oran¬n¬n s¬f¬r oldu¼ gu nüfusa denge nüfusu

Lojisitik denklem için bu, P

e

= 0 (ki bu durum bizim için ilgi çekici de¼ gildir) veya 1 P

_e

/K = 0 yani P

_e

= K = r /s durumu

K çevre ta¸ s¬ma kapasitesi (doygunluk düzeyi)

(5)

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Belçikal¬matematikçi Pierre F. Verhulst 1838 y¬l¬nda insan nüfusu için a ( P ) = ( r sP ) önerdi

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P

K ) (2)

K = r /s

Model 1930 y¬l¬nda Pearl taraf¬ndan meyve sine¼ gi nüfusuna ve 1935 de G.F. Gause taraf¬ndan hamam böce¼ gi nüfusuna uyguland¬

r = çevre etkisiz büyüme oran¬, s = nüfus yo¼gunlu¼gu etkisi Büyüme oran¬n¬n s¬f¬r oldu¼ gu nüfusa denge nüfusu

Lojisitik denklem için bu, P

e

= 0 (ki bu durum bizim için ilgi çekici de¼ gildir) veya 1 P

_e

/K = 0 yani P

_e

= K = r /s durumu

K çevre ta¸ s¬ma kapasitesi (doygunluk düzeyi)

(6)

dP

dt

= ( r sP ) P

¸

Sekil: Lojistik denklemin faz düzlemi

Parabol kesim noktalar¬ P = 0 ve P = r /s

( 0, r /s ) de dP /dt > 0;(t ! ⁰ ^için ^P ( t ) artarak r /s ye yakla¸s¬r) ( r /s, ∞ ) da dP /dt < 0 (t ! ⁰ ^için ^P ( t ) azalarak r /s ye yakla¸s¬r)

(7)

Theorem

P

e

= K = r /s denge nüfusu kararl¬d¬r.

Fact (Yöntem 1 )

Kararl¬l¬k Teoreminden f

⁰

( P ) = ^d

dP [( r sP ) P ] = r 2sP olup, f

⁰

( P )j

P=_{r /s}

= r < 0 oldu¼gundan P

_e

= K = r /s denge noktas¬

(asimptotik) kararl¬d¬r.

(8)

Fact (Yöntem 2)

Faz düzlem e¼grisine denge nüfusunun kom¸ sulu¼gunda

dP

dt = m ( P r s )

do¼grusu ile yakla¸ sal¬m. Burada m e¼gimi P = r /s noktas¬nda negatiftir.

Bu lineer diferensiyel denklemin çözümü

e

^mt

P ( t ) = ^r

s e

^mτ

+ C ve P ( 0 ) = P

₀

( r /s ye yak¬n ) için

P ( t ) = ^r

s + ( P

₀

r s ) e

^mt

olur. m < 0 oldu¼gundan, t ! ^∞ ^için ^P ! ^{r /s} dir. Görüldü¼gü gibi P asla sonlu zamanda r /s ye ula¸ samaz. Ayr¬ca P

₀

ba¸ slang¬ç ko¸ sulu denge noktas¬na yak¬n oldu¼gu için dengeden sapma s¬f¬ra yakla¸ s¬r. Bu ise denge nüfusunun kararl¬olmas¬demektir.

(9)

Fact (Yöntem 3) (Pertürbasyon yöntemi)

P = ^r

s + εP

1

( εP

1

dengeden sapma ) diyelim. j ^εP

¹

j ^{r /s} ^(Yani ^lim

^t!∞

εP

1

r /s = 0) dir. Lojistik denklemden ε dP

₁

dt = ^r

s + εP

1

( r r εsP

1

) dP

₁

dt = sP

₁

r s + εP

1

εP

1

çok küçük oldu¼gundan, lineer olmayan terimi iptal edebiliriz. Böylece, dP

₁

dt = rP

₁

=) ^P

¹

( t ) = Ce

^rt

! ⁰ ( t ! ∞ )

(10)

¸

Simdi lojistik denklemi P ( 0 ) = P

0

ba¸slang¬ç ko¸sulu alt¬nda çözelim.

dP

P ( r sP ) = dt =) ¹ _r ( ¹ P

s

r sP ) dP = dt 1

r ( ln j ^P j ^ln j ^r ^sP j) = ^t + c =) ¹ _r ^ln _r ^P _sP = t + c P ( 0 ) = P

₀

ba¸slang¬ç ko¸sulunu kullan¬rsak,

P P

0

r sP

₀

r sP = e

^rt

lim

t!∞

r sP = 0 oldu¼ gundan, ( r sP

0

) / ( r sP ) oran¬n¬n i¸sareti pozitif oldu¼ gundan

_P^P

0

r sP0

r sP

= e

^rt

veya düzenlenirse P = ^P

⁰

^re

rt

( r sP

₀

+ sP

₀

e

^rt

) =) ^P = ^{r /s} 1 + ^r ^sP

⁰

sP

₀

e

^rt

! ^r _s ( t ! ^∞ )

(11)

¸

Sekil: Lojistik e¼ gri.

¹_r

ln

^{r sP}_sP ⁰

0

,

_2s^r

dönüm noktas¬

Bir kültürdeki mayan¬n büyümesi lojistik e¼ griye oldukça uymaktad¬r.

Lojistik model üç sabit içerir. r , s ve P

0

. Modeli test etmek için üç bilinen

ko¸sula gereksinim vard¬r. Örne¼ gin, üç farkl¬zamanda P ( t

₀

) = P

₀

,

(12)

Tek Tür Modeli Allee etkisi

Tek Tür Modeli – Allee etkisi

Warder C. Allee (1931): Hayvanlar¬n sürü halinde ya¸samalar¬ve sosyal davran¬¸slar¬:

Dü¸sük nüfus boyutlar¬nda veya yo¼ gunluklar¬nda nüfus büyümesinde azalma olur. Dü¸sük yo¼ gunluklu nüfuslarda, nüfus geni¸s alanlara yay¬l¬r ki bu da çiftle¸smelerin dolay¬s¬ile nüfusun azalmas¬na neden olur.

Buna Allee etkisi denir. Nüfus modellerinde Allee etkisi s¬kl¬kla, alt¬ndaki nüfuslar¬n yokoldu¼ gu bir e¸sik de¼ ger olarak modellenmektedir.

· Ikinci dereceden polinom tipli bir büyüme oran¬

dP

dt = ( a

1

+ a

2

P + a

3

P

²

) P = f ( P ) P (3) Burada a

1

< 0, a

2

> 0 ve a

3

< 0 d¬r. Büyüme katsay¬s¬

a ( P ) = a

1

+ a

2

P + a

3

P

²

= a

3

( P α

1

)( P α

2

) , 0 < α

1

< α

2

olacak ¸sekilde bir pozitif maksimum büyüme oran¬mevcuttur. Üç denge noktas¬P

_e

= 0, α

1

, α

2

dir.

(13)

dP /dt yi P nin fonksiyonu olarak çizersek P eksenini 0 ve α

1

ve α

2

de

kesen bir kübik e¼ gri elde ederiz. Oklar çözümün zamanla nas¬l de¼ gi¸sti¼ gini

göstermektedir

(14)

df ( P ) dP = a

3

d

dt [( P α

1

)( P α

2

) P ]

= a

3

[( P α

1

)( P α

2

) + ( P α

1

) P + ( P α

2

) P ] olup,

^df_dP⁽^P⁾

P=0

= a

3

α

1

α

2

< 0 ve

^df_dP⁽^P⁾

P=α2

= a

3

( α

2

α

1

) α

2

< 0 oldu¼ gundan P

_e

= 0 ve α

2

denge noktalar¬(asimptotik) kararl¬d¬r.

df(P) dP P=α2

= a

3

( α

1

α

2

) α

1

> 0 oldu¼ gundan P

e

= α

1

denge noktas¬

karars¬zd¬r.

(15)

PROJE 1: HÜCRE BÜYÜMES· I

E¼ ger, büyüme s¬ras¬nda hücrenin ¸sekil ve yo¼ gunlu¼ gu de¼ gi¸smiyorsa, hücre büyümesinin ilk evrelerinde, hücrenin w ( t ) a¼ g¬rl¬¼ g¬na ba¼ gl¬bir model geli¸stirebiliriz:

dw

dt = ( c aw ) w

^2/3

= c ( 1 w /K ) w

^2/3

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Belçikal¬matematikçi Pierre F. Verhulst 1838 y¬l¬nda insan nüfusu için a ( P ) = ( r sP ) önerdi

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P

K ) (2)

K = r /s

Model 1930 y¬l¬nda Pearl taraf¬ndan meyve sine¼ gi nüfusuna ve 1935 de G.F. Gause taraf¬ndan hamam böce¼ gi nüfusuna uyguland¬

r = çevre etkisiz büyüme oran¬, s = nüfus yo¼gunlu¼gu etkisi Büyüme oran¬n¬n s¬f¬r oldu¼ gu nüfusa denge nüfusu

Lojisitik denklem için bu, P

= 0 (ki bu durum bizim için ilgi çekici de¼ gildir) veya 1 P

/K = 0 yani P

= K = r /s durumu

K çevre ta¸ s¬ma kapasitesi (doygunluk düzeyi)

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Belçikal¬matematikçi Pierre F. Verhulst 1838 y¬l¬nda insan nüfusu için a ( P ) = ( r sP ) önerdi

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P

K ) (2)

K = r /s

Model 1930 y¬l¬nda Pearl taraf¬ndan meyve sine¼ gi nüfusuna ve 1935 de G.F. Gause taraf¬ndan hamam böce¼ gi nüfusuna uyguland¬

r = çevre etkisiz büyüme oran¬, s = nüfus yo¼gunlu¼gu etkisi

Büyüme oran¬n¬n s¬f¬r oldu¼ gu nüfusa denge nüfusu

Lojisitik denklem için bu, P

= 0 (ki bu durum bizim için ilgi çekici de¼ gildir) veya 1 P

/K = 0 yani P

= K = r /s durumu

K çevre ta¸ s¬ma kapasitesi (doygunluk düzeyi)

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Belçikal¬matematikçi Pierre F. Verhulst 1838 y¬l¬nda insan nüfusu için a ( P ) = ( r sP ) önerdi

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P

K ) (2)

K = r /s

Model 1930 y¬l¬nda Pearl taraf¬ndan meyve sine¼ gi nüfusuna ve 1935 de G.F. Gause taraf¬ndan hamam böce¼ gi nüfusuna uyguland¬

r = çevre etkisiz büyüme oran¬, s = nüfus yo¼gunlu¼gu etkisi Büyüme oran¬n¬n s¬f¬r oldu¼ gu nüfusa denge nüfusu

Lojisitik denklem için bu, P

= 0 (ki bu durum bizim için ilgi çekici de¼ gildir) veya 1 P

/K = 0 yani P

= K = r /s durumu

K çevre ta¸ s¬ma kapasitesi (doygunluk düzeyi)

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Belçikal¬matematikçi Pierre F. Verhulst 1838 y¬l¬nda insan nüfusu için a ( P ) = ( r sP ) önerdi

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P

K ) (2)

K = r /s

Model 1930 y¬l¬nda Pearl taraf¬ndan meyve sine¼ gi nüfusuna ve 1935 de G.F. Gause taraf¬ndan hamam böce¼ gi nüfusuna uyguland¬

r = çevre etkisiz büyüme oran¬, s = nüfus yo¼gunlu¼gu etkisi Büyüme oran¬n¬n s¬f¬r oldu¼ gu nüfusa denge nüfusu

Lojisitik denklem için bu, P

= 0 (ki bu durum bizim için ilgi çekici de¼ gildir) veya 1 P

/K = 0 yani P

= K = r /s durumu

K çevre ta¸ s¬ma kapasitesi (doygunluk düzeyi)

Tek Tür Modeli – Lojistik (Verhulst-Pearl) denklem

Belçikal¬matematikçi Pierre F. Verhulst 1838 y¬l¬nda insan nüfusu için a ( P ) = ( r sP ) önerdi

dP

dt = ( r sP ) P = rP ( 1 P

K ) (2)

K = r /s

Model 1930 y¬l¬nda Pearl taraf¬ndan meyve sine¼ gi nüfusuna ve 1935 de G.F. Gause taraf¬ndan hamam böce¼ gi nüfusuna uyguland¬

r = çevre etkisiz büyüme oran¬, s = nüfus yo¼gunlu¼gu etkisi Büyüme oran¬n¬n s¬f¬r oldu¼ gu nüfusa denge nüfusu

Lojisitik denklem için bu, P

= 0 (ki bu durum bizim için ilgi çekici de¼ gildir) veya 1 P

/K = 0 yani P

= K = r /s durumu

K çevre ta¸ s¬ma kapasitesi (doygunluk düzeyi)

= ( r sP ) P

¸

Sekil: Lojistik denklemin faz düzlemi

Parabol kesim noktalar¬ P = 0 ve P = r /s

( 0, r /s ) de dP /dt > 0;(t ! 0 için P ( t ) artarak r /s ye yakla¸s¬r) ( r /s, ∞ ) da dP /dt < 0 (t ! 0 için P ( t ) azalarak r /s ye yakla¸s¬r)

Theorem

P

= K = r /s denge nüfusu kararl¬d¬r.

Fact (Yöntem 1 )

Kararl¬l¬k Teoreminden f

( P ) = d

dP [( r sP ) P ] = r 2sP olup, f

( P )j

( 0, r /s ) de dP /dt > 0;(t ! ⁰ ^için ^P ( t ) artarak r /s ye yakla¸s¬r) ( r /s, ∞ ) da dP /dt < 0 (t ! ⁰ ^için ^P ( t ) azalarak r /s ye yakla¸s¬r)

( P ) = ^d

P ( t ) = ^r

P ( t ) = ^r

olur. m < 0 oldu¼gundan, t ! ^∞ ^için ^P ! ^{r /s} dir. Görüldü¼gü gibi P asla sonlu zamanda r /s ye ula¸ samaz. Ayr¬ca P

P = ^r

dengeden sapma ) diyelim. j ^εP

j ^{r /s} ^(Yani ^lim

dt = ^r

=) ^P

! ⁰ ( t ! ∞ )

P ( r sP ) = dt =) ¹ _r ( ¹ P

r ( ln j ^P j ^ln j ^r ^sP j) = ^t + c =) ¹ _r ^ln _r ^P _sP = t + c P ( 0 ) = P

veya düzenlenirse P = ^P

^re

) =) ^P = ^{r /s} 1 + ^r ^sP

! ^r _s ( t ! ^∞ )